Sveu cili ste J.J. Strossmayera u Osijeku matematikemdjumic/uploads/diplomski/AND26.pdfPoligonalni brojevi su nenegativni cijeli brojevi koji mogu biti prika-zani pomo cu to ckica

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studijmatematike

Zana Andabaka

Poligonalni brojevi

Zavrsni rad

Osijek, 2011.

1

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studijmatematike

Zana Andabaka

Poligonalni brojevi

Zavrsni rad

Mentor :

doc.dr.sc. Ivan Matic

Osijek, 2011.

2

Sazetak

Poligonalni brojevi su nenegativni cijeli brojevi koji mogu biti prika-

zani pomocu tockica u obliku nekog od pravilnih poligona. Brojevi

kojima cemo se najvise baviti su kvadratni poligonalni brojevi, tj.

brojevi oblika x2. Upoznajemo se sa Lagrangeovim teoremom, koji

se odnosi iskljucivo na kvadratne brojeve i govori da svaki prirodan

broj moze biti prikazan kao suma 4 kvadrata. Obradujemo binarne,

pa ternarne kvadratne forme, te posebno za binarne i posebno za

ternarne dokazujemo da postoji jedinstvena klasa ekvivalencije pozi-

tivno definitnih kvadratnih formi s diskriminantom 1, koje su oblika:

x21 + x2

2, odnosno x21 + x2

2 + x23. Za takve sume kvadrata trazimo

skupove brojeva (tj. svojstva i oblike tih brojeva) koje pomocu tih

klasa ekvivalencije mozemo reprezentirati.

Kljucne rijeci: poligonalni brojevi, Fermatov teorem, Lagran-

geov teorem, kvadratne forme, binarne i ternarne kvadratne forme,

sume dva kvadrata, sume tri kvadrata

3

Abstract

Polygonal numbers are nonnegative integeres which can be represen-

ted by dots in form of regular polygon. Numbers that we are going to

deal with the most are squared polygonal numbers (numbers in form

x2). We get familiar with Lagrange’s theorem, which solely refers

to squared numbers and tells us that every number can be represen-

ted as sum of 4 squares. We process binary, then ternary quadratic

forms and specialy for binary and specialy for ternary forms, we prove

that exists unique class of equivalence of positive definite quadratic

form with discriminant 1, which loks like: x21 + x2

2, for binary and

x21 + x2

2 + x23, for ternary quadratic forms. For those sums of squares

we seek sets of numbers (attributes and forms of those numbers) with

help of those equivalence classes we can represent.

Key words: polygonal numbers, Fermat’s theorem, Lagrange’s

theorem, quadratic forms, binary and ternary quadratic forms, sums

of two, sums of three squares

SADRZAJ 4

Sadrzaj

1 Uvod 5

2 Kvadratne forme 7

2.1 Binarne kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Ternarne kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Sume dva kvadrata 16

4 Sume tri kvadrata 19

5 Poligonalni brojevi 24

5.1 Teorem o poligonalnim brojevima . . . . . . . . . . . 25

1 UVOD 5

1 Uvod

Eukrit (ucenik Filolajev) brojeve je oznacavao slaganjem kamencica.Jedan kamencic je oznacavao jedinicu, dva dvojku, tri slozena u tro-kut predstavljala su trojku, itd. Daljnjim detaljnim proucavanjempredstavljanja brojeva pomocu tockica (kamencica) i njihovim obli-kovanjem u geometrijske likove, bavili su se Pitagorejci. Takve bro-jeve, prikazane pomocu tockica u obliku nekog pravilnog poligona(n-terokuta) nazivamo poligonalni brojevi.

Najjednostavniji poligon je trokut, po kome su nazvani trokutastibrojevi (0, 1, 3, 6, 10, . . . ). To su brojevi nastali slaganjem tockica utrokutasti niz kao sto prikazuje Slika 1. Samom Pitagori pripisujese otkrice da je suma prvih n prirodnih brojeva trokutasti broj:

1 + 2 + 3 + · · · + n =1

2n(n + 1),

sto se iz sljedece slike lako moze zakljuciti:

Slika 1: Trokutasti broj 10

Na slican nacin definiramo kvadratne brojeve (0, 1, 4, 9, 16, ...) :

Slika 2: Kvadratni brojevi

Primjetimo da je suma prvih n neparnih prirodnih brojeva kva-

1 UVOD 6

dratni broj, sto se vidi iz Slike 2.

1 + 3 + 5 + · · · + 2n− 1 = n2.

Peterokutne, sesterokutne i ostale n-terokutne brojeve dobijamo pra-vilno slazuci tockice u odgovarajuci oblik (Slika 3 ).

Slika 3: Peterokutni i sesterokutni brojevi

Dakle, peterokutni brojevi su: 0, 1, 5, 12, 22, 35 . . . A niz seste-rokutnih brojeva pocinje na sljedeci nacin: 0, 1, 6, 15, 28, 45 . . .Postoji pravilnost kojom se ti nizovi, ali i nizovi bilo kojih n-terokut-nih brojeva, nastavljaju. Ali vise o tome u posljednjem poglavlju,kao i o kljucnim teoremima o poligonalnim brojevima s naglaskomna Lagrangeov teorem koji je specijalni slucaj Fermatovog teoremakoji govori da se svaki prirodni broj moze predstaviti kao suma n n-terokutnih brojeva. Lagrangeov teorem se odnosi samo na kvadratnepoligonalne brojeve i govori da se svaki prirodan broj moze zapisatikao suma najvise cetiri kvadrata.

Ali prije toga upoznat cemo se sa kvadratnim formama. Najin-teresantnije ce nam biti one pozitivno definitne s diskriminantom1. Pokazat cemo da za takve kvadratne forme, bile one binarne iliternarne, postoji jedinstvena klasa ekvivalencije koja ce imati formuslicnu onoj koju spominje Lagrange. To ce nam biti vazno zbogproblema kojim cemo se baviti u poglavljima Sume dva kvadrata iSume tri kvadrata.

Lagrangeov teorem predstavlja klasu ekvivalencije koja reprezen-tira citav skup prirodnih brojeva, dok tvrdnje u kojima cemo iznositiuvijete kada se broj moze zapisati kao suma dva ili tri kvadrata, re-prezentiraju nesto manje skupove prirodnih brojeva. Dakle, bavitcemo se pitanjima, ”Koje prirodne brojeve mozemo zapisati u oblikusume dva, a koje kao sumu tri kvadrata?”.

2 KVADRATNE FORME 7

2 Kvadratne forme

Poveznica kvadratnih formi s poligonalnim brojevima, konkretno skvadratnim brojevima, lezi u Lagrangeovom teoremu, tj. u samomizrazu x2

1 + x22 + x2

3 + x24, sto cemo na primjeru i pokazati. U ovom

poglavlju iznijet cemo i dokazati da je svaka pozitivno definitna bi-narna (ternarna) kvadratna forma s diskriminatom 1 ekvivalentnakvadratnoj formi jedinicne matrice 2 × 2 (odnosno 3 × 3). Ali naj-prije upoznajmo se s osnovnim definicijama i svojstvima matrica ikvadratnih formi nuznih za shvacanje tih tvrdnji i dokaza.

Neka je A = (aij) matrica tipa m×n s cjelobrojnim koeficijentima.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...

am1 am2 · · · amn

Zamjenom redaka i stupaca matrice A dobivamo transponiranu ma-tricu AT , ciji su clanovi zadani na sljedeci nacin: aTij = aji zai = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n.Tada vrijede sljedece tvrdnje:(AT )T = A za sve matrice A reda m× n, i(AB)T = BTAT za svake dvije matrice A i B takve da je broj stu-paca matrice A jednak broju redaka matrice B.

Definicija 2.1 Ukoliko je matrica kvadratna, tj. A je tipa n×n,i ukoliko vrijedi A = AT , kazemo da je matrica A simetricna.

Oznacimo s Mn(Z) prsten matrica tipa n×n ciji su elementi cijelibrojevi. Ako je A simetricna matrica, A ∈ Mn(Z) i U ∈ Mn(Z),tada je u UTAU simetricno, tj. vrijedi:

(UTAU)T = UTAT (UT )T = UTAU.

2 KVADRATNE FORME 8

S SLn(Z) oznacimo grupu svih n × n matrica u Mn(Z) s determi-nantom jednakom 1. Za A ∈Mn(Z) i U ∈ SLn(Z) definiramo

AU = UTAU.

Definicija 2.2 Matrice A i B su ekvivalentne, i pisemo A ∼ B,ako vrijedi B = AU = UTAU za neki U ∈ SLn(Z).

Jednostavno je provjeriti da je prethodno definirana ekvivalencijamatrica relacija ekvivalencije.

Definicija 2.3 Svakoj simetricnoj n × n matrici A = (aij) pri-druzujemo kvadratnu formu QA s varijablama x1, x2, . . . , xn defi-niranu s:

QA(x1, x2, . . . , xn) =

n∑i=1

n∑j=1

aijxixj = xTAx, (1)

gdje je x = (x1, x2, . . . , xn)T vektor varijabli.

Primjer 1 Neka je matrica A zadana na sljedeci nacin:

A =

1 2 3

2 4 5

3 5 6

.

Iz (1) slijedi njena kvadratna forma:

QA = x21 + 4x1x2 + 6x1x3 + 4x2

2 + 10x2x3 + 6x23.

3

Definicija 2.4 Neka su A i B simetricne n× n matrice, i nekasu QA i QB njihove odgovarajuce kvadratne forme. Kazemo dasu te forme ekvivalentne, u oznaci QA ∼ QB, ako su matrice Ai B ekvivalentne, tj. A ∼ B.

Diskriminanta kvadratne forme QA je determinanta matrice A.

2 KVADRATNE FORME 9

Tvrdnja 2.1 Ekvivalencija kvadratnih formi je relacija ekviva-lencije, sto znaci da za ekvivalentne kvadratne forme QA, QB iQC vrijedi sljedece:

1. (refleksivnost) QA ∼ QA

2. (simetricnost) QA ∼ QB tada QB ∼ QA

3. (tranzitivnost) QA ∼ QB & QB ∼ QC tada QA ∼ QC.

Ekvivalentne kvadratne forme imaju istu diskriminantu.

Definicija 2.5 Kazemo da kvadratna forma QA reprezentira ci-jeli broj K ako postoje cijeli brojevi x1, . . . , xn takvi da vrijedi

QA(x1, . . . , xn) = K.

Ako su forme QA i QB ekvivalentne, tada su i matrice A i Bekvivalentne te postoji matrica U ∈ SLn(Z) tako da

A = B · U = UTBU.

Slijedi

QA(x) = xTAx = xTUTBUx = (Ux)TB(Ux) = QB(Ux).

Dakle, ako kvadratna forma QA reprezentira cijeli broj K, tada isvaka druga njoj ekvivalentna kvadratna forma takoder reprezentiracijeli broj K. Obzirom da je ekvivalencija kvadratnih formi relacijaekvivalencije, slijedi da svake dvije kvadratne forme koje su u istojklasi ekvivalencije reprezentiraju isti skup cijelih brojeva.

Kazemo da je kvadratna forma QA pozitivno definitna ako po-prima samo pozitivne vrijednosti, tj. QA(x1, . . . , xn) ≥ 1, za sve(x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0). Svaka forma ekvivalentna pozitivno defi-nitnoj kvadratnoj formi je pozitivno definitna.

Navedimo sada i primjer pozitivno definitne matrice s diskrimi-nantom 1.

2 KVADRATNE FORME 10

Primjer 2 Neka je I4 jedinicna 4× 4 matrica. Njena kvadratnaforma je

QI4(x1, x2, x3, x4) = x21 + x2

2 + x23 + x2

4

Oznacimo sa x vektor stupac:

x =

x1

x2

x3

x4

.

Kvadratnu formu te matrice mozemo zapisati u obliku

QI4(x1, x2, x3, x4) = xTI4x.

3

Kvadratne forme s dvije varijable nazivaju se binarne kvadratneforme. Slicno, forme s tri varijable nazivaju se ternarne kvadratneforme.

Za binarne i ternarne forme pokazat cemo da postoji samo jednaklasa ekvivalencije pozitivno definitnih kvadratnih formi s diskrimi-nantom 1. Pocnimo s binarnim formama.

2.1 Binarne kvadratne forme

Lema 2.1 Neka je

A =

(a11 a12

a12 a22

)simetricna matrica 2× 2, i neka je

QA(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22

njena odgovarajuca kvadratna forma. Binarna kvadratna formaQA je pozitivno definitna ako i samo ako

a11 ≥ 1


i diskriminanta d zadovoljava

d = det(A) = a11a22 − a212 ≥ 1.

Lema 2.2 Svaka klasa ekvivalencije pozitivno definitne kvadratneforme s diskriminantom d sadrzi barem jednu formu

QA(x1, x2) = a11x2 + 2a12x1x2 + a22x

22

za koju vrijedi

2|a12| ≤ a11 ≤2√3

√d.

Teorem 2.1 Svaka pozitivno definitna binarna kvadratna formas diskriminantom 1 je ekvivalentna formi x2

1 + x22.

Dokaz. Neka je Q pozitivno definitna kvadratna forma s dis-kriminantom 1. Prema Lemi 2.2, forma Q je ekvivalentna formia11x

21 + 2a12x1x2 + a22x

22 za koje vrijedi

2|a12| ≤ a11 ≤2√3< 2.

Obzirom da je a11 ≥ 1, dobivamo a11 = 1. Iz toga slijedi a12 = 0.Znamo da je diskriminanta jednaka 1, stoga slijedi

a22 = a11a22 − a212 = 1.

Prema tome, forma Q je ekvivalentna formi x21 + x2

2.2

2.2 Ternarne kvadratne forme

Promotrimo sada analogne rezultate za pozitivno definitne ternarnekvadratne fome.

Lema 2.3 Neka je

A =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33


simetricna 3×3 matrica, a QA njena odgovarajuca ternarna kva-dratna forma i neka je d diskriminanta forme QA. Tada vrijedi

a11QA(x1, x2, x3) = (a11x1 + a12x2 + a13x3)2 + GA∗(x2, x3),

gdje je GA∗ binarna kvadratna forma matrice

A∗ =

(a11a22 − a2

12 a11a23 − a12a13

a11a23 − a12a13 a11a33 − a213

)i GA∗ ima diskriminantu jednaku a11d. Ako je QA pozitivno defi-nitna tada je i GA∗ pozitivno definitna. Nadalje, QA je pozitivnodefinitna ako i samo ako vrijedi sljedece:

a11 = det(a11) ≥ 1

d′= det

(a11 a12

a12 a22

)i

d = det(A) ≥ 1.

Lema 2.4 Neka je B = (bij) simetricna 3× 3 matrica takva daje njena ternarna kvadratna forma QB pozitivno definitna. Nekaje GB∗ jedinstvena pozitivno definitna binarna kvadratna formatakva da vrijedi

b11QB(y1, y2, y3) = (b11y1 + b12y2 + b13y3)2 + GB∗(y2, y3).

Neka za bilo koju matricu V ∗ = (v∗ij) ∈ SL2(Z) vrijedi

A∗ = (V ∗)TB∗V ∗. (2)

Neka je GA∗ pozitivno definitna binarna kvadratna forma matriceA∗ i ekvivalentna formi GB∗. Za proizvoljne cijele brojeve r i skonstruiramo matricu

Vr,s = (vij) =

1 r s

0 v∗11 v∗12

0 v∗21 v∗22

∈ SL3(Z),


zbog (2) vrijediAr,s = V T

r,sBVr,s = (ai,j).

Neka je QAr,s odgovarajuca ternarna kvadratna forma matriceAr,s. Tada je

a11 = b11

i

a11QAr,s(x1, x2, x3) = (a11x1 + a12x2 + a13x3)2 + GA∗(x2, x3),

gdje je A∗ matrica definirana s (2) neovisna o r i s.

Lema 2.5 Neka su u11, u21 i u31 cijeli brojevi takvi da

(u11, u21, u31) = 1.

Tada postoji sest cijelih brojeva uij, i = 1, 2, 3 i j = 2, 3 koji cinematricu U = (uij) ∈ SL3(Z).

Dokaz. Neka je (u11, u21) = a. Izaberimo cijele brojeve u12 i u22tako da vrijedi

u11u22 − u21u12 = a.

Posto je (a, u31) = (u11, u21, u31) = 1, mozemo izabrati cijele brojeveu33 i b takve da vrijedi

au33 − bu31 = 1.

Neka suu13 = u11b

a

u23 = u21ba

u32 = 0.

Tada matrica

U =

u11 u12u11a b

u21 u22u21a b

u31 0 u33

ima cjelobrojne koeficijente i determinantu 1.

2


Lema 2.6 Svaka klasa ekvivalencije pozitivno definitne ternarnekvadratne forme s diskriminantom d sadrzi barem jednu formu

3∑i,j=1

aijxixj

za koju vrijedi

2max(|a12|, |a13|) ≤ a11 ≤4

33√d.

Teorem 2.2 Svaka pozitivno definitna ternarna kvadratna formas diskriminantom 1 ekvivalentna je formi x2

1 + x22 + x2

3.

Dokaz. Neka je Q pozitivno definitna kvadratna forma s diskri-minantom 1. Prema prethodnoj lemi forma Q je ekvivalentna formiQA =

∑aijxixj i vrijedi

0 ≤ 2max(|a12|, |a13|) ≤ a11 ≤4

3.

Obzirom da je d 6= 0, tada je i a11 6= 0 pa slijedi a11 = 1. Iz togazakljucujemo a12 = a13 = 0. Dobivamo matricu:

A =

1 0 0

0 a22 a23

0 a23 a33

gdje je

A∗ =

(a22 a23

a23 a33

)matrica 2× 2 s determinantom 1. Prema Teoremu 3.2 postoji ma-trica

U ∗ =

(u22 u23

u23 u33

)∈ SL2(Z)


takva da je (U ∗)TA∗U ∗ jedinicna 2× 2 matrica. Neka je

U =

1 0 0

0 u22 u23

0 u23 u33

.

Tada je matrica UTAU jedinicna 3× 3 matrica determinante 1.2

3 SUME DVA KVADRATA 16

3 Sume dva kvadrata

Prema Lagrangeovom teoremu, svaki prirodan broj mozemo zapisatikao sumu najvise cetiri kvadrata, sto znaci da postoje brojevi koji semogu zapisati i kao suma jednog, dva ili tri kvadrata. Problem sumejednog kvadrata je trivijalan, tj. to su ti kvadrati sami. Preostajenam se pozabaviti sumama dva i tri kvadrata. U ovom poglavlju ba-vit cemo se pitanjem: Koje brojeve mozemo zapisati kao sumu dvakvadrata? Ali prije toga uvedimo neke od pojmova teorije brojevavazne za shvacanje sljedecih tvrdnji i dokaza.

Neka su a 6= 0 i b cijeli brojevi. Ukoliko postoji cijeli broj x takavda vrijedi b = xa, tada kazemo da a dijeli b i pisemo a|b.Definicija 3.1 Neka su b i c cijeli brojevi. Cijeli broj a je najvecizajednicki djelitelj brojeva b i c ako je a najveci cijeli broj kojidijeli b i c, i oznacavamo ga s (b, c).

Ako je (b, c) = 1 tada kazemo da su brojevi b i c relativno prosti.

Definicija 3.2 Ako cijeli broj m 6= 0 dijeli razliku a − b, tadakazemo da je a kongruentan b modulo m i pisemo a ≡ b (mod m).

Definicija 3.3 Neka je (a,m) = 1. Ako kongruencijax2 ≡ a (mod m) ima rjesenja, onda kazemo da je a kvadratniostatak modulo m.

Prije zakljucka koje kriterije brojevi trebaju ispunjavati da bi semogli zapisati na taj nacin, promotrimo neke od tvrdnji:

Tvrdnja 3.1 Ako su m i n sume dva kvadrata tada je i njihovumnozak mn suma dva kvadrata.

Dokaz. Neka je m = x21 + y2

1 i n = x22 + y2

2. Mnozenjem slijedi:

mn = (x1x2 + y1y2)2 + (x1y2 − x2y1)2.

2

Tvrdnja 3.2 Prost broj p oblika 4k + 3 nije suma dva kvadrata.Ako p|x2

1 + x22, tada p|x1 i p|x2.


Tvrdnja 3.3 Ako prost broj p dijeli sumu kvadrata x21 + x2

2,(x1, x2) = 1, tada je i p suma dva kvadrata.

Tvrdnja 3.4 Prost broj p je suma dva kvadrata ako i samo akoje p = 2 ili p ≡ 1 (mod 4).

Pomocu navedenih tvrdnji dokazat cemo sljedeci teorem koji jeglavni kriterij kada broj moze biti suma dva kvadrata.

Teorem 3.1 Prirodan broj n moze se zapisati kao suma dva kva-drata ako i samo ako se u rastavu na proste faktore svi prostifaktori oblika 4k + 3 pojavljuju s parnom potencijom.

Dokaz. Ako je p = 4k + 3 i p|x21 + x2

2, tada prema Tvrdnji 3.2p|x1 i p|x2. Tada p2|n, pa mozemo promatrati broj n

p2 . U rastavu

broja n, p se javlja s parnom potencijom.Dovoljnost dokazujemo pomocu Tvrdnji 3.1 i 3.4. Broj n mozemo

zapisati kao n = m2n′, gdje je n′ produkt prostih brojeva oblika 4k+1(i mozda broja 2). Iz Tvrdnji 3.1 i 3.4, matematickom indukcijomslijedi da je n′ suma dva kvadrata: n′ = a2 + b2, pa slijedi da jen = (ma)2 + (mb)2. 2

Primjer 1 U mrezi dimenzije 10×10 plavom bojom oznaceni susami kvadrati brojeva, a zutom brojevi koji se mogu zapisati kaosuma dva kvadrata.

Slika 4: Sume dva kvadrata


Poigramo li se s tom mrezom, te od nje nacinimo mrezu od 8stupaca dobivamo ljepse sortirane ”obojene brojeve.”

Slika 5: Sume dva kvadrata do broja 96

3

4 SUME TRI KVADRATA 19

4 Sume tri kvadrata

Koji brojevi mogu biti zapisani kao suma tri kvadrata? Za dokazetvrdnji koje nude odgovor na to pitanje koristit cemo se cinjenicomda je broj suma tri kvadrata ako i samo ako moze biti prikazanpreko pozitivno definitne ternarne kvadratne forme s diskriminantom1, te s jos dva vazna teorema teorije brojeva: Gaussovim zakonomreciprociteta i Dirichletovim teoremom o prostim brojevima.

Definicija 4.1 Neka je p neparan prost broj. Legendrov simbol(ap) definiramo kao (ap) = 1 ako je a kvadratni ostatak modulo p,

a kao (ap) = −1 ako a nije kvadratni ostatak modulo p.

Uz to navest cemo jos neke jednakosti Legendrovih simbola:

• (Gaussov zakon reciprociteta) Ako su p i q razliciti prosti bro-

jevi, tada vrijedi (pg) = (qp)(−1)(p−1)(q−1)

2 .

• (−1p ) = (−1)

p−12

• (2p) = (−1)

p2−18

• (abp ) = (ap)( bp)

Teorem 4.1 (Dirichletov teorem o prostim brojevima) Za bilo kojadva prosta broja p i q postoji beskonacno mnogo prostih brojevaoblika p + nq, (n ≥ 0). Drugim rijecima, postoji beskonacnomnogo prostih brojeva koji su kongruentni s p modulo q. Brojevioblika p + nq cine aritmeticki niz.

Krenimo sada sa promatranjem kada i kako je moguce reprezenti-rati broj kao sumu tri kvadrata.

Lema 4.1 Ako postoji nenegativni cijeli broj k takav da je −kkvadratni ostatak modulo nk − 1, (n ≥ 2), tada n moze bitireprezentiran kao suma tri kvadata.


Dokaz. Ako je −k kvadratni ostatak modulo nk−1, tada postojecijeli brojevi a11 i a12 takvi da

a212 + k = a11(nk − 1) = a11a22,

gdje jea22 = nk − 1 ≥ 2k − 1 ≥ 1

ia11 ≥ 1.

Slijedi da jek = a11a22 − a2

12.

Tada matrica

A =

a11 a12 1

a12 a22 0

1 0 n

ima determinantu

det(A) = (a11a22 − a212)n− a22 = nk − a22 = 1.

Prema Lemi 2.3 , ako je kvadratna forma QA odgovarajuce matriceA pozitivno definitna, ima diskriminantu 1 i reprezentira broj n, tadaQA(0, 0, 1) = n. Prema Teoremu 2.2 forma x2

1 + x22 + x2

3 takoderreprezentira broj n.

2

Lema 4.2 Ako je n pozitivan cijeli broj i n ≡ 2 (mod 4), tada nmoze biti reprezentiran kao suma tri kvadrata.

Dokaz. Obzirom da (4n, n − 1) = 1, iz Teorema 4.1 slijedi daaritmeticki niz {4nj+n−1 : j = 1, 2, . . .} sadrzi beskonacno mnogoprostih brojeva. Izaberimo j ≥ 1 takav da izraz

p = 4nj + n− 1 = (4j + 1)n− 1

bude prost broj. Neka je h = 4j + 1. Obzirom da n ≡ 2 (mod 4)slijedi

p = hn− 1 ≡ 1 (mod 4).


Obzirom na prethodnu lemu, dovoljno je pokazati da je−h kvadratniostatak modulo p. Neka je

h =∏qi|h

qkii

gdje su qi razliciti prosti brojevi koji dijele h. Tada

p = hn− 1 ≡ −1 (mod qi)

za sve i, i

h ≡∏qi|h

qi≡3 (mod 4)

(−1)ki ≡ 1 (mod 4).

Tada je ∏qi|h

qi≡3 (mod 4)

(−1)ki = 1.

Znamo da vrijedi (−1

p

)= 1

ako p ≡ 1 (mod 4). (−hp

)=

(−1

p

)(h

p

)=

(h

p

)=∏qi|h

(qip

)ki

=∏qi|h

(p

qi

)ki


=∏qi|h

(−1

qi

)ki

=∏qi|h

qi≡3 (mod 4)

(−1)ki = 1.

2

Lema 4.3 Ako je n pozitivan cijeli broj i n ≡ 1, 3 ili 5 (mod 8),tada broj n mozemo zapisati kao sumu tri kvadrata.

Primjer 1 Cijele brojeve 99 i 45 mozemo zapisati kao sumu trikvadrata jer

99 ≡ 3 (mod 8),

45 ≡ 5 (mod 8)

i to izgleda ovako:

99 = 92 + 32 + 32

45 = 52 + 42 + 32.

3

Izrecimo sada nesto opcenitiji kriterij kada cijeli broj moze bitiprikazan u obliku sume tri kvadrata.

Teorem 4.2 Pozitivan cijeli broj K mozemo zapisati u oblikusume tri kvadrata ako i samo ako broj K ne mozemo zapisatikao

K = 4m(8k + 7), m, k ≥ 0

Dokaz. Kongruencije

x2 ≡ 0, 1 ili 4 (mod 8)

vrijede za svaki cijeli broj x, stoga slijedi da suma tri kvadrata nikadne moze biti kongruentna 7 modulo 8. Ako je cijeli broj 4n suma trikvadrata, tada postoje cijeli brojevi x1, x2 i x3 takvi da vrijedi

4n = x21 + x2

2 + x23.


Ako gornju jednakost podjelimo s 4 dobijemo:

n =(x1

2

)2

+(x2

2

)2

+(x3

2

)2

.

Iz cega slijedi da brojevi x1, x2 i x3 moraju biti parni, a 4mn je sumatri kvadrata ako i samo ako je n suma tri kvadrata. To dokazujeda ne postoji cijeli broj oblika 4m(8k + 7) koji moze biti suma trikvadrata, jer (8k + 7) ≡ 1 (mod 2).Svaki pozitivan cijeli broj K moze biti zapisan na jedinstven nacinkao K = 4mn, gdje je n ≡ 2 (mod 4) ili n ≡ 1, 3, 5 ili 7 (mod 8). IzLema 4.2 i 4.3 slijedi da pozitivan cijeli broj K ne moze biti sumatri kvadrata ako n ≡ 7 (mod 8). 2

Teorem 4.3 Ako je K pozitivan cijeli broj kongruentan 3 mo-dulo 8, tada je K suma tri neparna kvadrata.

Dokaz. Znamo da x2 ≡ 0, 1 ili 4 (mod 8) vrijedi za sve cijelebrojeve x. Ako je K jednak sumi tri kvadrata i kongruentan 3 modulo8, tada svaki od kvadrata treba biti kongruentan 1 modulo 8, iz cegaslijedi da svaki od kvadrata mora biti neparan.

2

Primjer 2 Nadopunimo li Sliku 5 brojevima koje mozemo za-pisati kao sumu tri kvadrata (oznacit cemo ih zelenom bojom)dobit cemo sljedecu mrezu brojeva:

Slika 6: Brojevi koji se mogu zapisati kao suma jednog, dva i tri kvadrata

3

5 POLIGONALNI BROJEVI 24

5 Poligonalni brojevi

Poligonalni brojevi su prirodni brojevi konstruirani u obliku nekogpravilnog poligona. Vec smo se upoznali s nekima od njih, ali nekanjihova svojstva zbog daljnjeg zakljucivanja vrijedi ponoviti.

Trokutaste brojeve smo dobili zbrajajuci prvih n prirodnih bojeva,

1 + 2 + 3 + · · · + n =1

2n(n + 1), (3)

a kvadratne zbrajajuci prvih n neparnih prirodnih brojeva,

1 + 3 + 5 + · · · + 2n− 1 = n2. (4)

Promatrajuci niz peterokutnih brojeva (1, 5, 12, 22, 35, 51 . . .)uvi-damo sljedecu pravilnost, razlika prva dva broja toga niza je 4,razlika sljedeca dva je 7, zatim 10, 13, 16 . . . Dakle, n-ti peterokutnibroj dobit cemo zbrajajuci prvih n prirodnih brojeva koji se razlikujuza 3:

1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 . . .Slicnu stvar mozemo provjeriti i za sesterokutne brojeve (1, 6, 15, 28,45, 66 . . .). Njih dobijamo zbrajajuci prvih n prirodnih brojeva kojise razlikuju za 4:

1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 . . .

itd.Opcenito, za svaki m ≥ 1, n-ti poligonalni broj reda m + 2, u

oznaci pm(n) predstavlja sumu prvih n prirodnih brojeva koji serazlikuju za m. Svaki poligonalan broj mozemo pronaci pomocusljedece formule:

pm(n) =mn(n− 1)

2+ n. (5)

Primjer 1 Koji je osmi sedmerokutni broj?Radi se o sedmerokutu, dakle m + 2 = 7, tj. m = 5. Trazimoosmi po redu, n = 8, pa iz (5) slijedi

p5(8) =5 · 8(8− 1)

2+ 8 = 148.

3


5.1 Teorem o poligonalnim brojevima

Na kraju, recimo nesto o vaznim teoremima poligonalnih brojeva.Covjek, bez kojeg ovaj rad mozda ne bi ni postojao je Fermat1. Onje iznio vrlo zanimljiv teorem o poligonalnim brojevima koji je znan-stvenicima zadavao muke skoro dva stoljeca jer ga je Fermat izniobez dokaza.Evo kako je glasio njegov iskaz tog teorema:

”Otkrio sam najljepsi teorem najvece opcenitosti:Svaki broj je trokutast broj ili je suma dva ili manje tro-kutasta broja; svaki broj je kvadratni broj ili je suma triili manje kvadratnih brojeva; svaki broj je peterokutnibroj ili je suma cetiri ili manje peterokutnih brojeva;analogno za sesterokutne, sedmerokutne i sve ostale po-ligonalne brojeve.

Precizna tvrdnja ovog vrlo lijepog i opcenitog teoremaovisi o broju kuteva. Teorem se temelji na najrazlicitijim itesko shvatljivim tajnama brojeva, ali ne mogu ovdje iznijetidokaz ...”

P. Fermat

Pierre de Fermat svoja je otkrica cesto dijelio sa svojim kolegamapreko pisama, ali uglavnom uz vrlo malo, ili gotovo bez, dokaza,zbog cega su ga nazivali i ”matematicarom amaterom”. Obzirom dani dokaz gore navedenog teorema nije podjelio ni s kim, znanstvenicisu ga pokusavali dokazati gotovo dva stoljeca.

Lagrange2 je 1770. godine dokazao jedan, u prethodnim poglav-ljima vec spomenut, specijalni slucaj tog teorema koji se od tadanaziva po njemu.

Teorem 5.1 (Lagrange) Svaki nenegativan cijeli broj je sumacetiri kvadrata.

1Pierre de Fermat (1601.-1665.) - francuski matematicar i pravnik2Joseph-Louis Lagrange (1736.-1813.) - francuski matematicar i astronom


Dokaz. (za detaljniji dokaz vidjeti [3]) Osnovna ideja ovog dokazaje metoda beskonacnog spusta koja se sastoji u sljedecem: pretposta-vimo da postoji neki prirodan broj koji se ne moze napisati u oblikusume cetiri kvadrata te odaberimo najmanji takav. Zatim pokazemoda postoji i manji broj s tim svojstvom, cime dobivamo kontradikcijus pretpostavkom.Koristi se Eulerov identitet:

(x21 + x2

2 + x23 + x2

4)(y21 + y2

2 + y23 + y2

4)

= (x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)2 + (x1y2 − x2y1 − x3y4 + x4y3)2

+(x1y3 − x3y1 + x2y4 − x4y2)2 + (x1y4 − x4y1 − x2y3 + x3y2)2,

te, sljedece cinjenice:

- ako p djeli sumu cetiri kvadrata onda je i on suma cetiri kvadrata

- za svaki prost broj p postoje cijeli brojevi x1 i x2 takvi dap|x2

1 + x22 + 1

2Nekoliko godina kasnije, tocnije 1796. Gauss3 dokazuje slucaj Fer-

matovog teorema koji se odnosi na trokutaste brojeve, i u svojubiljeznicu biljezi:

EΥPEKA! num = ∆ + ∆ + ∆,

zbog cega se taj teorem ponekad naziva i ”Eureka teorem”.

Teorem 5.2 (Gauss) Svaki nenegativan cijeli broj je suma tritrokutasta broja.

Dokaz. Trokutasti brojevi su cijeli brojevi oblika k(k+1)2 . Neka je

K ≥ 1. Prema Teoremu 4.3 , cijeli broj 8K + 3 je suma tri neparnakvadrata, dakle, postoje nenegativni cijeli brojevi k1, k2, k3 takvi davrijedi

8K + 3 = (2k1 + 1)2 + (2k2 + 1)2 + (2k3 + 1)2

3Johann Carl Friedrich Gauss (1777.-1855.) - njemacki matematicar


= 4(k21 + k1 + k2

2 + k2 + k23 + k3) + 3.

Podjelimo li cijelu jednakost s 8 dobivamo sljedeci izraz:

K =k1(k1 + 1)

2+

k2(k2 + 1)

2+

k3(k3 + 1)

2.

Gornja jednakost upravo predstavlja sumu tri trokutasta broja, stoje i trebalo pokazati.

2

Tek 1813. godine Cauchy4 dokazuje Fermatov ”opceniti teorem”u potpunosti.

Vec smo ga dokazali za trokutaste i kvadratne brojeve, pa ce nassada zanimati dokaz teorema za poligonalne brojeve reda m+ 2 gdjeje m ≥ 3.

Obzirom na (5), izrazimo prvih nekoliko poligonalnih brojeva:

pm(0) = 0

pm(1) = 1

pm(2) = m + 2

pm(3) = 3m + 3

pm(4) = 6m + 4.

Ako su n1, n2, . . . , ns prirodni brojevi, za r = 0, 1, . . . ,m + 2− sse brojevi oblika

pm(n1) + pm(n2) + · · · + pm(ns) + rpm(1)

nalaze na intervalu od m + 3 − s uzastopnih brojeva, od kojih jesvaki suma tocno m+ 2 poligonalna broja. U sljedecoj tablici prika-zat cemo neke pozitivne cijele brojeve kao sumu m + 2 poligonalnabroja reda m + 2. Prvi stupac predstavlja te brojeve kao sumu poli-gonalnih brojeva, a sljedeca dva najmanji i najveci broj koji taj izrazpredstavlja.

4Baron Austin - Louis Cauchy (1789.-.1857.) - francuski matematicar


rpm(1) 0 m + 2

pm(2) + rpm(1) m + 2 2m + 3

2pm(2) + rpm(1) 2m + 4 3m + 4

pm(3) + rpm(1) 3m + 3 4m + 4

pm(3) + pm(2) + rpm(1) 4m + 5 5m + 5

4pm(2) + rpm(1) 4m + 8 5m + 6

pm(3) + 2pm(2) + rpm(1) 5m + 7 6m + 4

pm(4) + rpm(1) 6m + 4 7m + 5

pm(4) + pm(2) + rpm(1) 7m + 6 8m + 6

2pm(3) + pm(2) 7m + 8 8m + 7

pm(4) + 2pm(2) + rpm(1) 8m + 8 9m + 7

pm(4) + pm(3) + rpm(1) 9m + 7 10m + 7

Ova tablica predstavlja sve pozitivne cijele brojeve do 10m + 7.Dva znanstvenika, Pepin5 i Dickson6 objavili su ovakvu tablicu kojapredstavlja sve pozitivne cijele brojeve za sve m ≥ 3 i N ≤ 120m.

Dakle, preostaje nam dokazati teorem o poligonalnim brojevimaza N > 120m. Za dokaz tog teorema bit ce nam potrebne sljedeceleme.

Lema 5.1 Neka je n ≥ 3 i N ≥ 2m. Neka L oznacava duzinuintervala

I =

(1

2+

√6N

m− 3,

2

3+

√8N

m− 8

). (6)

Tada je L > 4 (ako je N ≥ 108m) i L > hm (ako h > 3 iN ≥ 7h2m3).

Lema 5.2 Neka je m ≥ 3 i N ≥ 2m. Neka su a, b i r nenega-tivni cijeli brojevi takvi da vrijedi

0 ≤ r ≤ m5Theolipe Pipin (1826.-1904.) - francuski matematicar6L. E. Dickson (1874.-.1954.) - americki matematicar


iN =

m

2(a− b) + b + r.

Neka je I interval iz (6). Ako je b ∈ I, tada je b2 < 4a i3a < b2 + 2b + 4.

Lema 5.3 Neka su a i b neparni prirodni brojevi takvi da

b2 < 4a i 3a < b2 + 2b + 4.

Tada postoje nenegativni cijeli brojevi s, t, u, v takvi da vrijedi:

a = s2 + t2 + u2 + v2

b = s + t + u + v.

Teorem 5.3 (Cauchy) Ako je m ≥ 4 i N ≥ 108m, tada prirodanbroj N moze biti zapisan kao suma m + 1 poligonalnih brojevareda m+2, od kojih su najvise cetiri broja razlicita od 0 ili 1. Akoje N ≥ 324 tada n moze biti zapisan kao suma pet peterokutnihbrojeva, od kojih je barem jedan 0 ili 1.

Dokaz. Prema Lemi 5.1, duljina intervala (6) je veca od 4ako je N ≥ 108m, tada I sadrzi cetiri uzastopna cijela broja tedva uzastopna neparna broja b1 i b2. Ako m ≥ 4, b ∈ {b1, b2},a r ∈ {0, 1, . . . ,m − 3}, tada skup brojeva oblika b + r sadrzikompletan skup predstavnika kongruencije klase modulo m. Sadamozemo izabrati b ∈ {b1, b2} ⊆ I i r ∈ {0, 1, . . . ,m − 3} takve daN ≡ b + r (mod m).

Tada je

a = 2

(N − b− r

m

)+ b =

(1− 2

m

)b + 2

(N − r

m

)pozitivan prirodan broj, i vrijedi

N =m

2(a− b) + b + r. (7)


Prema Lemi 5.2, zbog b ∈ I slijedi

b2 < 4 i 3a < b2 + 2b + 4.

Prema Lemi 5.3, postoje nenegativni cijeli brojevi s, t, u, v takvi da

a = s2 + t2 + u2 + v2 i

b = s + t + u + v.

Tada (7) mozemo zapisati kao

N = m2 (s2 − s + t2 − t + u2 − u + v2 − v) + (s + t + u + v) + r

= pm(s) + pm(t) + pm(u) + pm(v) + r.

2

Primjer 1 Prikazimo broj 23 kao sumu tri trokutasta, kao sumucetiri kvadratna i kao sumu pet peterokutnih brojeva.

Rjesenje.Zapis broja 23 preko sume tri trokutasta broja:

23 = 21 + 1 + 1.

Kao suma cetiri kvadrata:

23 = 32 + 32 + 22 + 12 = 9 + 9 + 4 + 1.

i kao suma pet peterokutnih brojeva:

23 = 12 + 5 + 5 + 1 + 0

3

LITERATURA 31

Literatura

[1] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, PMF-Matematicki odjel, Za-greb, skripta

[2] I. Matic, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku, Osijek,skripta

[3] M.B. Nathanson, Additive number theory, Springer, 1996.

[4] V. Plazinic, Pitagorejsko bratstvo, Beograd, 1999.http : //alas.matf.bg.ac.rs/ ∼ zlucic/view pdf.php?id = 598

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat polygonal number theorem

Documents

Sveu cili ste J.J. Strossmayera u Osijeku matematikemdjumic/uploads/diplomski/AND26.pdfPoligonalni brojevi su nenegativni cijeli brojevi koji mogu biti prika-zani pomo cu to ckica