FRAKTALNA MEHANIKA

1

LEKCIJA 7 Prof.dr Đuro Koruga

7.1 FIBONAČIJEVI BROJEVI

Fibonači (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-1250)

posmatrajući prirodni proces, raznožavanje zečeva, došao je do

otkrća jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima

brojeva (1.61803....) i (0.61803....). Ovo svoje saznanje

publikovao je 1202. godine u knjizi Liber Abaci.

Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na više

načina , a mi ćemo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza

brojeva : 0,0!,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144........tako što se ovi

brojevi satavljaju u odnos:

0

!0 0

!0

0

1!0

1 1

1

!0

21

2 5.0

2

1

5.12

3 666.0

3

2

666.13

5 6.0

5

3

6.15

8 625.0

8

5

625.18

13 615.0

13

8

615.113

21 619.0

21

13

619.121

34 617.0

34

21

........ ........

61803.12

15

61803.0

2

15

Drugi pristup je preko kvadratnih jednačina. Prva kvadratna

jednačina

012 xx ,

daće rešenja, x1= -1.61803 i x2=0.61803..., dok će kvadratna

jednačina

012 xx

dati rešenja x1= 1.61803 i x2= -0.61803... što daje četiri rešenja:

-,, -, što se može grafički predstaviti

-

-

Leonardo de Pisa

Fibonacci

Fig.7.1: Shematski prikaz razmnožavanja

zečeva i generisanje Fibonačijevih brojeva

na bazi para brojeva (primena ovog zakona

najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema

koji generišu parove.

2

Medjutim, Binet je uopštio Fibonačijev niz u formi

što je predstavljeno na Fg. 7.2 .

Fig.7.2 : Binetovo uopšteneo rešenje Fibonačijevijeve serije

Ovo uopštenje daje rešenje i za vrednosti x 0, u formi:

Pored uočavanja fenomena razmnožavanja zečeva i formiranje

potpuno novog sistema brojeva Fibonači je deo veliki doprinos

matematici time što je indijsko-arabski system brojeva uveo u

matematiku zapadne civilizacije.

Od mnoštva primera primene i realizacije zlatnog preseka na

bazi Fibonačijevih brojeva ( raspored lišća na granama drveća-

princip minimum metanja,

pirmida u Egiptu, hramova u

antičkoj Grčkoj, proporcija

ljudskog tela, periodnog

sistema elementa, genetkog

koda i dr. ) Paskalov trougao i

šah su dava najelegantnija

primera primene Fibonačijevih

brojeva u matematicii i nuci

generalno.

“Leonard of Pisa or Fibonacci played an important role in

reviving ancient mathematics and made significant

contributions of his own. Liber abaci introduced the Hindu-

Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic

numerals into Europe”.

3

Da to pokažemo na šahovskoj ploči, polazimo od opšte poznate

činjenice da snaga svake figure zavisi od njene pokretljivosti po

šahovskoj tabli.

Dama je zato najjača šahovska figura, jer može sa svakog

polja učiniti više poteza nego bilo koja druga figura.

Da bi se dobio numerički

izraz za snagu svake pojedine

figure, može se ovom

problemu prići na sledeći

način, sl.7.4:

Slova , , ,S L T D

označavaju redom: Skakača,

Lovca, Topa, Damu.

Za svaku od tih figura

iskorišćena je samo četvrtina

dijagrama, jer pozicije su iste

u sva četri polja pa su isti

brojevi u ostale tri četvrtine

dijagrama simetrično

raspoređeni.

Ako sad sumu svih brojeva na čitavoj tabli nazovemo

potencijom figure kojoj ta suma pripada i označimo je

odgovarajućim slovom, dobija se:

S 336 , L 560 , T 896 , D 1456 .

Lako se ouočava da je: D T L . što nije ništa neobično, jer

dama sadrži u svom kretanju i poteze topa i poteze lovca.

Međutim, više iznenađuje relacija T L S , koja

omaogućava da se formiraju odnosi:

: :D T T L i : :T L L S .

Ako se ima u vidu da je:

D T L i T L S ,

Tada se dolazi do saznanja da su veličine , ,D T L i , ,T L S u

relaciji preko ZLATNOG PRESEKA, jer

D:T 1456:896 1.6...,

T:L 896:560 1.6...,

L:S 560:336 1.6..., .

Sva tri odnosa podudaraju se tačno na jednu decimalu,

jer nisu uzeti u obzir pešaci i kralj. Kada se sve to uzme u obzir i

uvede korekcioni faktor za odnos Dama = Top-Lovac ( dama je

jedna figura i stoji na jednom polju, a top i lovac su dve figure i

4

stoje na dva odvojena polja- situacija nije ista) dobija se da je

potencija šaha data kao rešenje zlatnog preseka.

Dodelite sada pojedinim organima ili funkcijama

ljudskog organizma šahovsku figuru sa spekta fizioloških

aktivnosti, imajui u vidu da biomolekuli i organizam kao celina

trebaju biti u harmoniji kao deo-celina.

Tabela 7.2: Staja biomolekula (klatrina,mikrotubula i dr ) koji na

osnovu svoje strukture imaju energetski zakon zlatnog preseka

Pored toga treba imati u vidu da se svi brojevi

dekadnog sistema mogu generisati iz i na sledeći (ili neki

drugi) način: - = 1

+ 2 = 2

2 + 2 = 3

3 - 3 = 4

( +)2 = 5

2(2 + 2) = 6

4 + 4 = 7

2(3 - 3) =8

3(2 + 2)= 9

2(( +)2) = 10

5 - 5 = 11

...........

6 +6 = 16

.............

(3 +3)2 = 20

...........

što postavlja uzročno-posledično pitanje dekadnog sistema: da

li se zlatni presek generiše iz prirodnih brojeva, ili priroda koja

radi po zakonu zlatnog preseka u našem umu generiše dekadni

broji sistem?

Harmonizovani sitem na

bazi I .

Suncokret kao prirodno

rešenje harmonizacije

strukturalno-energetsko-

informacionih procesa

koji daju (obezbeđuju)

harmnizovan odnos dela i

celine.

5

7.2 SAVRŠENI BROJEVI

Neki broj je savršen ako je zbir njegovih činioca jednak

njemu samom. Ovo je veoma važno prilikom izučavanja

sistema, a još važnije u inženjerskoj praksi prilikom određivanja

ustrojstva sistema. Stari Grci znali su za četiri savršena broja: 6,

28, 496 i 8128. Čnioci ova četiri broja su:

Primećujemo da kod drugog, trećeg i četvrtog savršenog

broja postoji mesto asimetrije. Tako naprimer kod drugog

savršenog broja posle 4 trebalo bi očekivati 8, ali to nije slučaj

jer 8 nije činilac broja 28. Isto je kod trećeg savršenog broja,

posle 16 je 31 (a ne 32), odnosno kod četvrtog 64 i 127. Posle

ovog jediničnog pomaka na datim mestima sistem se simetrično

udvostručava.

Računanje savršenih brojeva može se vršiti po dve formule

2n-1(2n-1)

2n (2n+1-1),

a vrednosti su sistematizovane u tabeli 7.2.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Računanje po formuli

2n-1

(2n-1)

Pro

izvo

d

čin

ilac

a

Sav

ršen

og

bro

ja

Računanje po formuli

2n (2

n+1-1) P

roiz

vo

d

čin

ilac

a

Sav

ršen

og

bro

ja

0

20-1

(20-1)=1/2 x 0= 0

?

20 (2

0+1-1)=1 x 1= 1

1(!)

1

21-1

(21-1)=1 x 1= 1

1

1

21 (2

1+1-1)=2 x 3= 6

61

6

2

22-1

(22-1)=2 x 3= 6

61

6

22 (2

2+1-1)=4 x 7= 28

282

784

3

23-1

(23-1)=4 x 7= 28

282

784

23 (2

3+1-1)=8 x15=120

1207

3,583 1014

4

24-1

(24-1)=8 x 15= 120

1207

3,583

1014

24 (2

4+1-1)=16x31= 496

4964

6,052 1010

5

25-1

(25-1)=16 x 31= 496

4964

6,052

1010

25 (2

5+1-1)=32 x 63= 2016

201617

1,5 1056

6

26-1

(26-1)=32 x 63=2016

201617

1,5 1056

26 (2

6+1-1)=64x127= 8128

81286

2,88 1023

7

27-1

(27-1)=64x127= 8128

81286

2,88 1023

27 (2

7+1-1)=127x = 32512

....

...................................

..........

....................................

........

6

Do danas najveći poznati savršeni broj otkriven je 2001

godine i glasi:

213466916(213466917 – 1),

a broj ima 4 miliona cifara, što znači da bi nam trebala 1000

stranica knjige da ispišemo njegovu vrednost!

7.3 SAVRŠENO-HARMONIZOVANI BROJNI

SISTEMI

Genetski kod je harmonizovani sistem (Lekcija 8) po

zakonu zlatnog preseka. Ali, da li je on kao prirodan kod i

savršen? (potražite odgovor samostalno, a ako ne uspete

naći će te rešenje u Lekciji 13).

Videli smo u poglavlju 7.2 da se svi brojevi dekadnog

sistema mogu generisati na bazi i , što znači da je

dekadni sistem harmonizovan sistem po zakonu zltnog

preseka. Od svih do sada poznaih brojnih sistema jedino je

Sumerski brojni sistem

(heksadekadni) sinergetski

savršeno-harmonizovani. To je

sistem po kome smo odredili

skalu vremena i računamo

vrednosti vremena.

Jedan obrt je podelje na

24 jedinice, tako da 1/24

jedinica u sebi sadrži manju

7

jedinicu koja je 60 puta manja, a zatim ova jedinica koja je

1/1440 manja od obrta (spina Zemlje) je podeljena na 60 manjih

jedinica 1/86400. Očigledno je da je spin Zemlje podeljen na par

dan-noć koji imaju 12 + 12 = 24 jedinice koje nazivamo čas

(toliko ima simetrijskih elementa ose 5-og reda u ikosaderaskom

sistemu). Manja jedinica, ovako dobijene jedinice je 60 puta

manja od časa i nazivamo je minut, a 60 puta manja od nje je

sekund.

Broj 60 je najmanji mogući sinergetski savršeno-

harmonizovani broj dekadnog i heksagonalnog sistema: prvi je

savršen, a drugi harmonizovan.

Kakao su stari Sumerani mogli da dođu do ovako

genijalnog sistema (koga mi ne menjamo i ako istorija pokušava

seve da promeni)? Jedan od mogućih, i najverovatniji, je da je

ovaj sistem utkan u nas preko bioloških ritmova i da su oni u

ono vreme samo reprodukovali (verovatno na bazi nesvesnog)

sistem na bazi koga smo ustrojeni. Sa tog aspekta interesantno

je posmatrati koji to prirodni fenomeni (ritmovi) mogu

proizvesti. Najbliži objašnjenju je gravitacono dejstvo Zemlja-

Mesec.

Ne kruži Mesec oko Zemlje, kako mi

obično kažemo u svakodnevnom životu, nego se

Sistem Zemlja –Mesec kreću oko zajedničkog

centra. Zbog toga postoji baricentar sistema

Zemlja – Mesec je udaljen od centra Zemlje

(4467 460) km, ili od površine (1904 460)

km, kada je Mesec u zenitu mesta.

Kako su centripetalne sile F1 (Zemlje), F2

(Meseca) jednake sa gravitacionim silama

između Zemlje i Meseca (F) to važi relacija F1 +F2 = F,

odnosno m1r12= m1r12 = F. Imajući u vidu da je

centripetalno ubrzanje Meseca isto ono koje daje Mesecu

sila gravitacije, to je F = m2g2, što na karaju dovodi do

rešenja da je

gg22

60

1 ,

gde je g ubrzanje teže na površini Zemlje. Ovo proizilazi iz

činjenice da je rastojanje između Zemlje i Meseca oko 60

puta veće od poluprečnika Zemlje. Drugim rečima, ritam

prirode ugradio je svoju vremensku skalu i svoj vremenski

sistem u nas.

8

Videli smo da se savršeni brojevi zasnivaju na binarnom

sistemu, pa kako karakteristika sistema (logika) zavisi od

osnove na kojoj je sistem zasnovan, to i logika sistema zavisi od

broja stanja te logike. Posle binarnog sistema i njegove logike,

slededeća logika je ternarna sa tri stanja. Medjutim, nas

interesuje takav brojni sistem u kome se za predstavljanje broja

koristi što manje simbola i razreda. Kako je veličina

informacione aparature K proporcionalana sledećim

veličinama: K = anR, gde je n broj razreda, R broj simbola u

datom brojnom sistemu i a je koeficijent proporcionalnosti, to

je broj simbola primenjenih u datom brojnom sistemu jednak

osnovi sistema R. Maksimalan broj Nmax koji se može zapisati

u n razreda sistema je: Nmax=Rn-1. Pri dovoljno velikom n:

Nmax Rn i dobija se:

R

Nn

ln

ln max

Ako uvrstimo n u jednačinu K=anR dobijamo:

eR

RR

K

R

NaK

1ln0

ln

ln max

Iz jednačina vidimo da dobijamo da sa aspekta brojnog

sistema i broja mesta za registrovanje informacije,

najekonomičnije bi bilo raditi u sistemu sa osnovom “e”.

Posmatrajmo rotaciju Zemlje oko svoje ose i njeno

kretanje oko Sunca. Da bi promenila položaj u prostoru za

jedinicu (svoj prečnik) zemlji je potreno 7.247 jedinica koja je 60

puta manja od jedinice ikosadarskog temporalnog sistema. Ako

optimalnu osnovu sistema stepnujemo ovom vrednosti

dobijamo

1440247.7 e

9

što predstavlja broj minuta koji ima sistem (spin Zemlje,

odnosno dan-noć).

Sun

Earth

RE

VE

Moon

Fig.7.5: Prosečni jedinični, „kvantni”, pomeraj Zemlje (za jedan njen

prečnk) u proecsu kretanja oko Sunca se desi za 7.247 minuta

7.4 ZAKON VELIKIH BROJEVA

Statističke raspodele (Maksvelova, Bolcmanova, Bose-

Ajnšajnova, Fermijeva i dr) koriste zakone velikih brojeva i u

njihovoj osnovi se nalazi broj e , koji kao što smo videli

predstavlja optimalnu osnovu sistema. U zavisnosti po kojoj

raspodeli se ponaša sistem možemo zaključiti o karakteru

sistema. Ponašanje sistema po datoj raspodeli je njen zakon i to

je ono što s eočuvava, dok pojedi elementi koji čine sistem

mogu imati preturabacije, ali ukupnost preturbaija ostaje

nepromenjena (ili jako bliska). Zato se sa aspekta sistema „dragi

Bog ne kocka”, kako kaže Ajnštajn, ali sa aspekta elementa

sistema „baca kockice”.

Sa aspekta prirodnih fenomena za nas su interesantni

oni sistemi velikih brojeva koji odražavaju zakone odnosa

električne i magnetne sile valentnih elektrona (104), i onaj koji

usaglašava odnos električne i gravitacione sile u nama (na

površini Zemlje), a on je reda veličine 108.

Interesato je da su oba ta sistema anticipirali stari

Kinezi, koji su kao i Sumerani, imali privilegiju da „osete” ritam

prirode i ono što je u nama pojimaju u mentalnom svetu našeg

bića.

10

Iz tabele 7.5. vidimo da su stari Kinezi imali četri

sistema velikih brojeva: na bazi 103, 104, 108 i na sistemu

kvadrata.

Tabela 7.3: Sarokineski sistem velikih brojeva koji je u saglasnosti sa

prirodnim fenomenima.

LITERATURA

1. Posamentier,S.S., Lehmann, I., The Fibonacci Numberss,

Prometheus Books, Amherst, 2007.

2. Dunlap,A.R., The Golden ratio and Fiboncci numbers,

World Scientific, Sngapore, 1997.

Sistem 亿

yì

兆

zhào

京

jīng

垓

gāi

秭

zǐ

穰

ráng

沟

gōu

涧

jiàn

正

zhēng

载

zài Faktor povećanja

Alternativni

sistem 經/经 杼 壤

1 105 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10 10

11 10

12 10

13 10

14

Svaki broj je 10 (十

shí) puta veći od

prethodnog.

2 108 10

12 10

16 10

20 10

24 10

28 10

32 10

36 10

40 10

44

Svaki broj je 10,000

(万 wàn) puta veći od

prethodnog.

3 108 10

16 10

24 10

32 10

40 10

48 10

56 10

64 10

72 10

80

Svaki boj je108 (万万

wànwàn) puta veći

od prethodnog.

4 108 10

16 10

32 10

64 10

128 10

256 10

512 10

1024 10

2048 10

4096

Svaki broj je za

kvadrat veći od

prethodnog.