SupersymtrieHarold Erbin 30 aot 2011
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Table des matiresTable des matires 1 Introduction 1.1
Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2 Calcul spinoriel 2.1 Variables de Grassmann . . . . .
. . . . . . 2.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2
Direntiation . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Intgration . . . . . . .
. . . . . . . 2.1.4 Variables conjugus . . . . . . . . . 2.1.5
Matrices de Pauli et relations utiles 2.2 Spineurs quatre
composantes . . . . . . . 2 5 5 6 8 8 8 9 10 11 11 12 14 14 14 15
18 19 21 22 24 24 24 25 27 28 28 29 29 29 34 35
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3 Algbre supersymtrique 3.1 Cas gnral . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rappels sur lalgbre de Poincar . .
. . . . . . . . . . . . . 3.3 Algbre de super-Poincar . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3.4 Reprsentations de lalgbre
supersymtrique . . . . . . . . 3.4.1 tat une particule sans masse,
sans charge centrale 3.4.2 tat une particule massive, sans charge
centrale . 3.4.3 tat une particule avec charges centrales . . . . .
4 Reprsentations sur les champs 4.1 Multiplet chiral N = 1 . . . .
. . . . . . . . . . . . 4.1.1 Introduction et champs auxiliaires .
. . . . 4.1.2 Calcul de lalgbre . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3
Transformation des champs . . . . . . . . . 4.1.4 Multiplet
antichiral . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Notation quatre
composantes . . . . . . . 4.1.6 Multiplet chiral rel . . . . . . .
. . . . . . 4.2 Multiplet gnral N = 1 . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Calcul de lalgbre . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2
Transformation des champs . . . . . . . . . 4.3 Calcul tensoriel :
produit de deux champs chiraux
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5 Superespace 37 5.1 Constructions : coordonnes et oprateurs . .
. . . . . . . . . . . 37 5.2 Drives spinorielles . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Superchamps . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6 Superchamp chiral :
construction et lagrangien 6.1 tude gnrale . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 6.2 Transformations dun superchamp chiral . . . . .
6.3 Oprations entre champs chiraux . . . . . . . . . 6.4 Lagrangien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Potentiel de Khler
. . . . . . . . . . . . . 43 43 45 45 47 48
. . . . .
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2
6.5
6.4.2 Superpotentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 6.4.3 Lagrangien supersymtrique sans interaction de jauge . .
Modle de WessZumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
48 50 50 52 52 52 52 54 54 54 57 57 58 58 60 62 63 65 65 65 67
67 68 72 73 73 74 75 75 75 79 80 80 80 83 85 87 87 87 88 88 89 89
90 91 91
7 Thories de jauge supersymtriques 7.1 Superchamp vectoriel . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 tude gnrale . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Gnralisation des
transformations de jauge . . . . . 7.1.3 Jauge de WessZumino . . .
. . . . . . . . . . . . . 7.2 Thorie de jauge ablienne . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Force du champ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 7.2.2 Couplage avec de la matire :
transformation globale 7.2.3 Couplage avec de la matire :
transformation locale . 7.3 Thorie de YangMills supersymtrique . .
. . . . . . . . . 7.3.1 Transformation de jauge non ablienne . . .
. . . . . 7.3.2 Force du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 7.3.3 Couplage avec la matire . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Lagrangien de YangMills . . . . . . . . . . . . . . . 7.4
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 lectrodynamique supersymtrique (SQED) . . . . . 7.4.2
Chromodynamique supersymtrique (SQCD) . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . .
8 Brisure de supersymtrie 8.1 Symtrie R . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Gnralits . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Thorme de Goldstone et
goldstino . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Lien entre symtrie R et
brisure de supersymtrie . . . . . . . . 8.4.1 Gnralits . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Autres propositions . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Axion R . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Brisure par terme F :
modles de ORaifeartaighWessZumino 8.5.1 Modle historique de
ORaifeartaigh . . . . . . . . . . . 8.5.2 Gnralisations . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Vides mtastables . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Brisure par terme D : mcanisme
de FayetIliopoulos . . . . . . 8.6.1 Modle simple . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Modle de FayetIliopoulos . . . .
. . . . . . . . . . . . 8.7 Autres mthodes de brisure . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 9 Modle standard supersymtrique minimal
9.1 Rappels sur le modle standard . . . . . . . 9.2 Particules . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Superpotentiel . . . . . . .
. . . . . . . . . 9.3.1 Couplage des champs . . . . . . . . 9.3.2
Parit R . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Brisure douce . . . .
. . . . . . . . . 9.3.4 Brisure de la symtrie lectrofaible . 9.4
tats propres de masses . . . . . . . . . . . 9.5 Discussion . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
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3
10 Supersymtrie tendue 10.1 N = 2 . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 10.1.1 Supermultiplet vectoriel . . . . 10.1.2 Hypermultiplet
. . . . . . . . . 10.1.3 Interactions . . . . . . . . . . . 10.2 N
= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Rduction
dimensionnelle . . . . . . . 10.3.1 Thorie de jauge d = 10 . . . .
10.3.2 Rduction dimensionnelle . . . 10.3.3 Rduction de laction de
jauge 10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . .
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93 93 93 94 95 95 97 97 97 99 99
11 Supercourants et thorie superconforme 100 11.1 Supermultiplet
des courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2
Thorie conforme des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102 11.3 Extension la supersymtrie . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 102 12 Supergravit 12.1 Relativit gnrale : formalisme de
Cartan . . . 12.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Coordonnes locales et ttrades . . . . . 12.1.3 Drive
covariante et connexion de spin 12.1.4 Tenseurs de torsion et de
Riemann . . . 12.1.5 quations du mouvement : connexion de 12.1.6
quations du mouvement : ttrade . . . 12.2 Champ de spin 3/2 . . . .
. . . . . . . . . . . . 12.2.1 En espace plat . . . . . . . . . . .
. . . 12.2.2 En espace courbe . . . . . . . . . . . . . 12.3
Supergravit N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 103 103
105 106 108 108 108 108 109 110
. . . . . . . . . . . . . . . spin . . . . . . . . . . . . . .
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A Annexes 111 A.1 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 111 A.2 Symtries . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Rfrences 112
Ces notes ont t rdiges lors dun stage sur la supersymtrie avec
F. Nitti et J. Mourad.
4
11.1
IntroductionMotivations
Le modle standard des particules fournit un cadre thorique
complet et qui, jusqu prsent, na jamais t en dsaccord avec
lexprience, fournissant mme des rsultats dune extrme prcision. Mais
plusieurs raisons incitent penser quil sagit dune thorie eective,
car de nombreux points ne sont pas expliqus ou posent problmes dans
ce modle, par exemple [26, 2] : le nombre de familles ; le (grand)
nombre de paramtres libres ; la quantication de la charge lectrique
; les constantes de couplage qui ne sont pas unies ; le problme de
la hirarchie (il existe 17 ordres de grandeurs entre la masse de
Planck mp = 1019 GeV et lchelle lectrofaible, caractrise par la
masse du boson Z 0 : mZ0 = 91 GeV) ; labsence de gravit. . . Lune
des extensions du modle standard la plus populaire tant sur le plan
phnomnologique que thorique est la supersymtrie. De nombreuses
expriences, comme le LHC, visent prouver sa validit et beaucoup
despoirs reposent sur cette dernire 1 . La dcouverte de la
supersymtrie est attache aux noms de B. Zumino et J. Wess, qui ont
publi leur premier papier sur le sujet en 1974 2 . Dans le modle
standard, les masses des fermions et des vecteurs sont "protges"
grce aux symtries chirale et de jauge [2, 25, 26]. Par contre, rien
ne prserve la masse des scalaires, qui peuvent diverger jusqu la
masse de Planck cause des corrections quantiques. Lide de la
supersymtrie est dassocier un partenaire fermionique chaque boson,
et inversement : les boucles de fermions dans les diagrammes de
Feynman contribuent avec un signe oppos celles des bosons, de sorte
quen ajustant des constantes de couplages, cest dire en permettant
une symtrie entre bosons et fermions (ou encore entre matire et
interaction), il est possible quelles se compensent exactement
[23]. Cette non-renormalisabilit est nonce travers plusieurs
thormes, qui sont relis aux proprits dholomorphie des constantes de
couplage et du superpotentiel. De plus, limportance de la
supersymtrie est dautant plus grande, quil sagit de la seule
extension possible de lalgbre de Poincar 3 et qui soit compatible
avec lexistence dune matrice S non triviale : sil existe des
gnrateurs tensoriels supplmentaires, alors langle de diusion ne
peut prendre que des valeurs discrtes (thormes de ColemanMandula et
HaagLopuszanskiSohnius) [8, 22, 30]. Mathmatiquement [26], les
gnrateurs Q de la supersymtrie sont fermioniques, et en ce sens il
faut tendre les algbres de Lie en des superalgbres, qui permettent
dinclure des anticommutateurs. Globalement, on a Q |fermion =
|boson Q |boson = |fermion (1.1)
1. Bien que, depuis les confrences de cet t 2011, loptimisme
quant la dcouverte de particules supersymtriques avant la n de
lanne ait t fortement tempr par labsence de rsultats en ce sens. 2.
Bien que plusieurs autres chercheurs aient tudi le sujet
auparavant, leurs travaux nont pas t aussi largement diuss [22]. 3.
Il est toujours possible davoir des groupes de symtries
internes.
5
Lapplication successive dune transformation puis de son inverse
conduit retrouver le mme systme, mis part une ventuelle
translation. Cela revient crire schmatiquement {Q, Q} P (1.2) o P
est limpulsion (gnrateur des translations). Les superpartenaires se
situent dans un mme multiplet qui forme une reprsentation de
lalgbre de la supersymtrie, au mme titre quun vecteur est constitu
de composantes qui sont mises en relation par les transformations
de Poincar, ou que les multiplets disospin (proton/neutron par
exemple). De plus, si la supersymtrie est rendue locale, cette
relation implique quil en va de mme pour les translations, ce qui
implique lapparition de la gravit. Ainsi, la supersymtrie locale
(appele supergravit) conduit naturellement inclure la gravit aux
cts des autres forces (notons toutefois que la thorie reste
non-normalisable). Toutefois, la supersymtrie implique que les
superpartenaires doivent avoir la mme masse (cela est d au fait que
les gnrateurs Q commutent avec P , et donc P P reste un oprateur de
Casimir) [26], ce qui en dsaccord avec les donnes exprimentales :
il faut donc briser la supersymtrie. Hlas, il sagit dune symtrie
dicile briser, et beaucoup deorts ont t consacrs mieux en
comprendre les mcanismes et les implications. Dun point de vue
pratique, et ce mme si la thorie de la supersymtrie tait fausse,
elle permet de faire beaucoup plus facilement certains calculs, et
peut donc servir pour obtenir des rsultats prliminaires de thories
plus ralistes [1]. Elle a permis aussi plusieurs avances en
mathmatiques et trouve des applications en matire condense [1].
Pour rsumer, la supersymtrie est intressante pour les raisons
suivantes : 1. elle rgle le problme de la hirarchie et ore plus
grande stabilit quantique ; 2. elle unie les constantes de couplage
; 3. elle ore un candidat pour la matire noire ; 4. elle propose un
premier pas pour lunication des thories de jauge avec la gravit ;
5. elle est ncessaire pour la thorie des cordes. Une introduction
historique complte peut tre trouve dans le livre de Weinberg [29,
chap. 24]. Kane a crit un livre de vulgarisation sur lhistoire et
les motivations de la supersymtrie [12].
1.2
Conventions
On choisit comme signature (+, , , ). Sauf mention contraire
(par exemple dans la section sur la supergravit), les indices grecs
du milieu de lalphabet (, , . . .) sont des indices de Lorentz, les
indices grecs du dbut de lalphabet (, . . .) sont des indices
spinoriels, et les indices latins sont des indices de symtrie
internes. Les spineurs deux composantes seront prfrs ceux quatre
composantes dans la majorit du texte. Les matrices de Dirac sont
dnies par = 0 0 5 = i 0 1 2 3 = I 0 0 I (1.3)
6
o les sont les matrices de Pauli gnralises = (I, i ) = = (I, i )
(1.4)
Le tenseur de LeviCivita est normalis 0123 = 0123 = 1 (1.5)
Au niveau des superchamps, nous suivrons de trs prs les
conventions de Bintruy [2].
7
2
Calcul spinoriel
Le livre de Mller-Kirsten et de Wiedemann [15] prsente en dtails
le calcul spinoriel, et on pourra en trouver des rsums dans [1, 2,
22]. On pourra trouver un formulaire complet la n du cours de
FigueroaOFarrill [7] (en prenant garde aux conventions !).
2.12.1.1
Variables de GrassmannGnralits
Soit une variable de Grassmann . Sa structure indicielle
(notation de van der Waerden) est la suivante : = (2.1) Le tenseur
antisymtrique et son inverse jouent le rle de mtrique : = avec la
normalisation 12 = 12 et les relations dorthonormalit = =
=
(2.2)
(2.3)
(2.4)
On dnit le produit de deux spineurs et par = = Le produit de par
lui-mme vaut = = = 1 2 + 2 1 = 21 2 = 21 2 et on en dduit la
relation trs utile 1 = 2 (2.6) (2.5)
Elle permet de dduire la plupart des relations entre les
variables de Grassmann. partir de cette formule, on peut dmonter 1
= 2 On a la formule de rarrangement de Fierz : () = () () (2.8)
(2.7)
8
2.1.2
Direntiation
On dnit la direntiation gauche par = = et (2.9)
= (2.10) Cette dernire ne peut agir que sur un objet directement
sa droite. Il faut donc prendre garde en drivant un produit. Par
dnition de la drive, on a , =
(2.11a) (2.11b)
{ , } = , La drive de 2 donne
= , = 0
() = 2
(2.12)
puisque ( ) = ( ) = ( ) = 2 En drivant encore une fois, on
obtient (2 ) = (2 ) = 2 = 4 soit () = 4 (2.13) Le dveloppement en
srie de Taylor dune fonction de Grassmann est nie : f () = f (0) +
f 1 2f (0) + (0) 2 (2.14)
Notons que lordre des variables est important dans le second
terme est important (mais pas le choix des indices). En utilisant
la relation (2.6), on peut rcrire le dernier terme : 1 1 = = 2 2 et
alors on peut mettre le dveloppement sous une seconde forme f () =
f (0) + f 1 2f (0) + (0) 4 (2.15)
9
2.1.3
Intgration
Soit une fonction gnrale f () = f0 + f1 . An de dterminer la
valeur de d (lintgration sur les variables de Grassmann est appele
intgrale de Berezin), calculons son carr :2 2
d do
=
d
d =
d
d =
d
d = 0 Ce choix permet aussi de rendre nul tout terme de surface
: d puisque f = f1 d = 0 et on peut alors toujours intgrer par
partie : d d f g = d f g f =0
(2.16)
(2.17)
(2.18)
La valeur de d nest soumise aucune condition et on choit une
normalisation telle que d = 1 et alors d f () = f1 Ainsi, drivation
et intgration sont quivalentes : d = (2.21) (2.20) (2.19)
Grce ces dnitions, lintgrale de Berezin est invariante par
translation : d f ( + ) = car d f ( + ) = (f0 + f1 ) d + f1 d = f1
= d f () d f () (2.22)
Lintgration plusieurs variables se gnralise sans problmes. Soit
deux variables de Grassmann ( = 1, 2), alors on dnit 1 1 d2 = d d =
d1 d2 4 2 de sorte avoir les proprits d2 = 0 d2 = 0 d2 = 1 (2.24)
(2.23)
10
2.1.4
Variables conjugus
Les dnitions et relations des sections prcdents stendent au cas
des variables de Grassmann conjugues = = ( ) (2.25)
en dehors du fait que la convention des indices est et que les
signes sont opposs :
12 = 12 = 1 = = = 2 = 21 2 = = 2.1.5 Matrices de Pauli et
relations utiles 1 2
(2.26a) (2.26b) (2.26c) (2.26d)
Les spineurs gauches qui vivent dans la reprsentation (1/2, 0)
du groupe de Poincar sont des variables de Grassmann, tandis que
les spineurs droits, de la reprsentation (0, 1/2) se comportent
comme des variables conjugues. La structure indicielle des matrices
de Pauli, qui forment une base pour lalgbre SL(2, C), est la
suivante : = = (2.27)
Elles permettent de passer de la reprsentation vectorielle la
reprsentation spinorielle. Soit V un vecteur, alors V = V V = 1 V 2
(2.28)
Les gnrateurs de Lorentz dans la reprsentation des spineurs
gauches sont = On dnit de mme = = 1 ( ) 4 = (2.30) 1 ( ) 4 =
(2.29)
Quelques relations plus ou moins connues des matrices de Pauli
sont = ( + ) = 2
(2.31a) (2.31b) (2.31c) (2.31d) (2.31e) (2.31f) (2.31g)
( + )
=
2
tr( ) = 2 = 2
= 2 = 2
11
On a
1 = ( ) 2 = = = 1 2
(2.32)
En eet :
1 2 1 = 2 1 4 (2.33)
De mme = car
= = = Et aussi 1 2 1 4 (2.34) 1 2
1 = 2 = 1 2
On a car
(2.35)
= = ( )( ) 1 4 1 1 = = (2 ) 4 4 1 = 2 =
2.2
Spineurs quatre composantes
Les spineurs quatre composantes ne seront presque pas utiliss et
donc nous nous contenterons de quelques formules et dnitions. Les
matrices de Dirac obissent aux relations danticommutation { , } = 2
(2.36)
On dnit les matrices antisymtriques 1 n comme la somme
totalement antisymtrique des produits des matrices i , divise par
n!. 12
Les gnrateurs de Lorentz dans cette reprsentation sont 1 1 = [ ,
] = 2 4 0 0 (2.37)
= i 5
13
3
Algbre supersymtriqueCette section repose fortement sur la revue
de Sohnius [22, sec. 2].
3.1
Cas gnral
Soient Bi et Fi les gnrateurs bosoniques et fermioniques, qui
obissent certaines relations de commutation 4 : commutation :
boson/boson ou fermion/boson ; anticommutation : fermion/fermion.
Si les deux objets sont de mme nature, alors le commutateur donnera
un boson ; dans le cas contraire, on obtiendra un fermion. Ces
direntes rgles sont une simples consquences des rgles daddition des
spins. Ces relations sont reprsentatifs dune algbre de lie gradue,
ou superalgbre [26, ex. 2.1.1] : [Bi , Bj ] = icijk Bk [Fi , Bj ] =
isijk Fk {Fi , Fj } = iijk Bk (3.1a) (3.1b) (3.1c)
Du fait des proprits dantisymtrie du commutateur, et de symtrie
de lanticommutateur, les coecients de structure possdent les
proprits suivantes : cijk = cjik ijk = jik (3.2) De mme, les
gnrateurs obissent aux identits de Jacobi : [[Bi , Bj ] , Bk ] +
[[Bk , Bi ] , Bj ] + [[Bj , Bk ] , Bi ] = 0 [[Fi , Bj ] , Bk ] +
[[Bk , Fi ] , Bj ] + [[Bj , Bk ] , Fi ] = 0 [{Fi , Fj } , Bk ] +
{[Bk , Fi ] , Fj } {[Fj , Bk ] , Fi } = 0 [{Fi , Fj } , Fk ] + [{Fk
, Fi } , Fj ] + [{Fj , Fk } , Fi ] = 0 que lon note aussi [[Gi , Gj
} , Gk } + cycliques = 0 (3.4) o lon ajoute un signe moins ds que
deux gnrateurs fermioniques sont changs. (3.3a) (3.3b) (3.3c)
(3.3d)
3.2
Rappels sur lalgbre de Poincar
Lalgbre de Poincar est constitue des gnrateurs associs deux
types de symtrie [21] : les symtries despace-temps SO(1, 3) :
translations P et transformations de Lorentz (boosts Ki , rotations
Ji ) J = J ; les symtries internes Bi .4. Sauf contexte qui
laisserait penser le contraire, ce mot est prendre dans le sens
gnral et dsigne donc la fois les relations de commutation et
danticommutation. On crira [Gi , Gj } un commutateur gnrique.
14
Les commutateurs des dirents gnrateurs est [1, 26] : [P , P ] =
0 [P , J ] = i( P P ) [J , J ] = i( J J + J J ) [Bi , Bj ] = icijk
Bk [Bi , P ] = [Bi , J ] = 0 Les deux oprateurs de Casimir sont P 2
= P P o W = W 2 = W W 1 P J 2 (3.6) (3.5a) (3.5b) (3.5c) (3.5d)
(3.5e)
(3.7)
est le vecteur de PauliLubanski. Pour une particule de masse non
nulle, on a W 2 = m2 S 2 tandis que pour une particule de masse
nulle on trouve W = P o est lhlicit, et dans ce cas W 2 = 0. Dans
ce cas, on a Bi , P 2 = Bi , W 2 = 0 (3.9) (3.8)
(3.10)
et les membres dun mme multiplet doivent avoir la mme masse (il
sagit du thorme de ORaifeartaigh) et le mme spin. Les relations de
commutation sont une consquence du thorme de ColemanMandula : les
seuls gnrateurs tensoriels sont P et J , et tout autre charge
bosonique doit commuter se comporter comme un scalaire de Lorentz,
et donc elle se comporte comme un objet de spin 0. Ainsi, si lon
veut ajouter de nouveaux gnrateurs qui permettent de changer
lhlicit dun tat, ils seront forcment de type fermioniques. Les
reprsentations de lalgbre de Poincar ne seront pas tudies plus en
dtails, et lon pourra se reporter au livre de Ryder [21] au
besoin.
3.3
Algbre de super-Poincar
Soient un espace de Hilbert H, | H et un gnrateur fermionique Q.
Dans ce cas 2 2 | Q, Q | = Q | + |Q | | 0 (3.11) Lgalit implique Q
= 0. Si un spineur Q appartient la reprsentation (j, j ), alors Q
appartient (j , j), et dans ce cas Q, Q (j + j , j + j ). Or le
seul objet bosonique de ce type est P (1/2, 1/2), donc on conclue
que Q (1/2, 0) et Q (0, 1/2). Le premier possde un indice non point
tandis que le second possde un indice point.
15
On considre N gnrateurs fermioniques Qi (i = 1, . . . , N ) et
leurs complexes conjugus Qi = (Qi ) (3.12) On parle de supersymtrie
tendue si N > 1. Sous une transformation de Lorentz, les
gnrateurs se comportent comme des spineurs 5 [Qi , J ] = Qi , J 1
Qi 2 1 = Qi 2 (3.13a) (3.13b)
Daprs ce que nous avons vu plus tt, lanticommutateur de Q et Q
est Qi , Qj = 2ij P (3.14)
En toute gnralit, on aurait d mettre une constante cij la place
de ij , mais il est possible de rednir les Q et Q an de normaliser
la constante. commutent avec limpulsion : dans le cas gnral,
Montrons que les Q et les Q on a [Qi , P ] = cij Qj Qi , P = c Qj
ij
(3.15a) (3.15b)
En prenant une nouvelle fois le commutateur avec P , on obtient
[[Qi , P ] , P ] = cij c ( ) Qk jk et lidentit de Jacobi donne [[Qi
, P ] , P ] [[Qi , P ] , P ] + [[P , P ] , Qi ] = 0 cij c ( ) Qk
cij c ( ) Qk = 0 jk jk cij c ( ) Qk = 0 jk o on a utilis (3.5a), do
CC = 0. On peut dcomposer le commutateur {Qi , Qj } en une partie
antisymtrique A (qui est proportionnelle un scalaire de Lorentz, et
donc dont le commutateur avec P est nul) et une partie symtrique S.
Dans ce cas on aura, daprs lidentit de Jacobi (la contraction avec
permet de saranchir de la partie symtrique) : 0 = [{Qi , Qj } , P ]
= {Qi , [P , Qj ]} {Qj , [P , Qi ]} = cjk Qi , Qk cik Qj , Qk (cij
cji )P 5. Ces lois suivent directement du fait que les matrices
sont les seules possder la bonne structure en indices. Ceci est
valable en gnral pour trouver les bons objets.
(3.16)
16
donc, combin la relation prcdente, on doit avoir CC = 0, do C =
0. On a donc les relations [Qi , P ] = Qi , P = 0 (3.17)
Les Q se situent aussi dans une certaine reprsentation des
symtries internes : [Qi , Br ] = (br )ij Qj Q , Br = Q (br )jii
j
(3.18a) (3.18b)
o on a choisi les br hermitiens (groupe interne compact). Ainsi,
le groupe de symtrie interne le plus large possible qui agisse sur
les Q est U(N ). La rgle de combinaison des spins impliquent que le
commutateur entre deux Q doit tre une combinaison de termes des
reprsentations (0, 0) et (1, 0). Toutefois, le seul gnrateur
bosonique de cette dernire est la partie self-duale de J , qui ne
commute pas avec P , ce qui est en dsaccord avec lidentit de Jacobi
[P , {Qi , Qj }] = {[P , Qi ] , Qj } + {[P , Qj ] , Qi } = 0 daprs
lexpression (3.17). On en dduit que le commutateur doit forcment
donner un scalaire de Lorentz et tre antisymtrique en , , et le
seul quil est possible de former est proportionnel : {Qi , Qj } = 2
Zij Qi , Qj = 2 Zji
(3.19a) (3.19b)
o les Z sont une combinaison des gnrateurs internes Zij = (aij
)r Br (3.20)
Les Zij sont appeles les charges centrales car ces gnrateurs
commutent avec tous les gnrateurs : [Q, Zij ] = [Zij , Zk ] = 0
(3.21) La symtrie de lanticommutateur et lantisymtrie de impliquent
Zij = Zji . On voit ainsi quil ne peut y avoir de charges centrales
pour N = 1. Rcapitulons lalgbre de super-Poincar : [P , P ] = 0 [P
, J ] = i( P P ) [J , J ] = i( J J + J J ) [Bi , Bj ] = icijk Bk
[Bi , P ] = [Bi , J ] = 0 [Qi , J ] = Qi , J 1 Qi 2 1 = Qi 2 17
(3.5a) (3.5b) (3.5c) (3.5d) (3.5e) (3.13a) (3.13b)
Qi , Qj
= 2ij P
(3.14) (3.17) (3.18a) (3.18b) (3.19a) (3.19b)
[Qi , P ] = Qi , P = 0 [Qi , Br ] = (br )ij Qj Qi , Br = Qj (br
)ji {Qi , Qj } = 2 Zij Qi , Qj = 2 Zji
et les Zij commutent avec tous les gnrateurs. On peut runir un
gnrateur et son conjugu dans un spineur de Majorana : Qi = Qi Qi Qi
= Qi Qi (3.23)
Dans ce cas, les rgles de commutations scrivent Qi , Qj = 2(ij P
+ i Im Zij + i5 Re Zij ) [Qi , P ] = 0 1 [Qi , J ] = Qi 2 (3.24a)
(3.24b) (3.24c)
3.4
Reprsentations de lalgbre supersymtrique
Commenons cette section par plusieurs remarques dordre gnral.
Lalgbre de Poincar tant une sous-algbre de celle de super-Poincar,
toute reprsentation de cette dernire en est aussi une de lalgbre de
Poincar (en gnral rductible) [1]. Ainsi, puisque chaque
reprsentation irrductible de Poincar est une particule, une
reprsentation irrductible de super-Poincar contiendra plusieurs
types de particules, qui sont relies entre elles par les Q. Il est
vident que toutes les particules dun mme multiplet doivent avoir la
mme masse, car P 2 demeure un oprateur de Casimir : P 2 , Qi = 0
(3.25)
daprs le commutateur (3.17). Nous verrons aussi dans le chapitre
sur la brisure de supersymtrie que lnergie de tout systme
supersymtrique doit tre positive ou nulle. Soit NF loprateur qui
compte le nombre de fermions [1, 26]. Dans ce cas, loprateur (1)NF
, qui vaut 0 pour un tat bosonique, et 1 pour un tat fermionique,
anticommute avec les Q, et alors tr (1)NF Qi , Qj = 2 tr (1)NF P =
tr (1)NF (Qi Qj + Qj Qi ) = tr Qi (1)NF Qj + Qi (1)NF Qj ) = 0 en
utilisant la cyclicit de la trace, do tr(1)NF = 0 18 (3.26)
et il y a autant dtats bosoniques que fermioniques. An de
construire les supermultiplets, nous allons utiliser la mthode de
Wigner, qui consiste construire la reprsentation du petit groupe de
superPoincar, puis appliquer les gnrateurs pour dduire le multiplet
entier [1, 2, 25, 26]. 3.4.1 tat une particule sans masse, sans
charge centrale
On se place dans le rfrentiel o P = (E, 0, 0, E). Lhlicit est
dnie comme Lp (3.27) = E donc W0 = E = L p (3.28) Dans ce cas, on
aura W0 Q |E, = Q W0 |E, + [W0 , Q ] |E, = EQ |E, + E 3 Q |E, 1 = E
I 3 2
Q |E,
o on a utilis la relation (3.9), ainsi que lexpression explicite
du commutateur : [W0 , Q ] = [L p, Q ] = pi Li , Q 1 1 = pi i Q = E
3 Q 2 2 en utilisant (3.28) et (3.13a), et comme P commute avec Q .
Pour i = 1, on trouve : 1 W0 Q1 |E, = E I 3 Q |E, 2 1 1 =E + Q1 |E,
2 en remplaant 3 . Ainsi, Q1 augmente lhlicit de 1/2. Un calcul
semblable donne 1 W0 Q2 |E, = E Q2 |E, 2 et Q2 diminue donc lhlicit
de 1/2. Finalement, cause du signe moins dans le commutateur
(3.13b), leet des Q sera oppos. Calculons lanticommutateur (3.14)
de Q et Q [2, 19] : Qi , Qj = 2ij P = 2Eij ( 0 + 3 ) = ij 4E 0 0
0
et donc Qi2 , Qj 2 = 0. Daprs la condition (3.11), on dduit que
Qi2 = 0 (3.29)
19
Dun autre ct, on a Qi1 , Qj 1 = 4Eij . En posant qi = (4E)1/2
Qi1 on obtient les relations : {qi , qj } = ij {qi , qj } = {i , qj
} = 0 q (3.31a) (3.31b) (3.30)
On reconnait une algbre de Cliord pour N fermions. Toute
reprsentation est caractrise par un tat de rfrence de Cliord, ou
"vide", not |E, 0 , qui est tel que qi |E, 0 = 0 i (3.32) En
appliquant qi , on obtient un tat dont lhlicit est augmente de 1/2
: qi |E, 0 = |E, 0 + 1/2, i o on garde note du gnrateur qui a t
appliqu. Ltat de vide est unique. En eet, on a qi qj |E, 0 = qi |E,
0 + 1/2, j = |E, 0 , ij = {qi , qj } |E, 0 qj qi |E, 0 =0
(3.33)
= ij |E, 0 donc |E, 0 , ij = ij |E, 0 On aura de mme qi qj |E, 0
= |E, 0 + 1, ij = j qi |E, 0 = |E, 0 + 1, ji q On remarque que ltat
est antisymtrique lorsquon change lordre des gnrateurs. Finalement,
aprs avoir appliqu les N gnrateurs, on atteint ltat de plus haute
hlicit : q1 qN |E, 0 = |E, 0 + N/2, 1 N (3.35) Toute nouvelle
application donnera zro car qi = 0, et lon pourra toujours 2
changer la position des gnrateurs jusqu obtenir un tel produit.
Ainsi, pour les multiplets sans masse, la plage couverte pour
lhlicit est de N/2. On note n le nombre de gnrateurs qi appliqus.
Le nombre dtats dhlicit 0 + n/2 est N d(n/2) = (3.36) n ce qui
correspond au nombre de manire dappliquer n parmi N gnrateurs. Les
principaux multiplets sont rsums dans le tableau 1. On note que les
multiplets N = 4 et N = 8 sont uniques et autoconjugus par CPT.
Lhypermultiplet peut ou peut ne pas tre CPT autoconjugu [1]. 20
(3.34)
Hlicit Chiral N = 1 Vectoriel N = 1 Graviton N = 1
Hypermultiplet N = 2 Vectoriel N = 2 Vectoriel N = 4 Vectoriel N =
4
2
3/2
1 1
1/2 1 1 1 2 4 56
0 1+1
1/2 1 1 1 2 4 56
1 1
3/2
2
1
1 1 1 28 2 1+1 6 70 1 1 28
1
1
1
8
8
1
Table 1 Principaux multiplets sans masse de la supersymtrie.
Pour les multiplets vectoriel N = 1 et N = 2, chiral et du
graviton, nous avons ajout les multiplets conjugus par CPT. Le
nombre total dtats estN
Ntot =n=0
N n
= (1 + 1)N = 2N
(3.37)
De mme, on remarque quil y a autant dtats dhlicit entire que
demientire : N/2 N/2 N N = (1 1)N = 0 2n 2n + 1 n=0 n=0 en accord
avec la remarque au dbut de la section. En principe, on peut
imaginer des multiplets qui ne sont pas symtriques par la parit
(par exemple, pour N = 1 et 0 = 0, on obtient = 0, 1/2), mais cela
est impossible si lon veut une thorie invariante de Lorentz.
Certaines conditions limitent le nombre de gnrateurs : N 4 pour
obtenir une thorie renormalisable (pas de particules de spin 3/2) ;
N 8 pour une thorie de la supergravit (pas de particules de spin
5/2, qui prsente des problmes pour tre couples la gravit). 3.4.2
tat une particule massive, sans charge centrale
Pour une particule massive, on se place dans le rfrentiel de
repos o P = (m, 0). Contrairement au cas des particules masse
nulle, les gnrateurs ne sannulent pas pour = 2 : Qi , Qi = 2ij P =
2m 0 On normalise alors les gnrateurs : qi = (2m)1/2 Qi (3.38)
On aura donc une algbre de Cliord pour 2N variables et il y aura
donc 22N tats avec chacun 2j + 1 degrs de liberts. Pour xer les
ides, considrons le cas N = 1 avec un vide |j0 (j0 1/2)
21
annihil par q [2]. Dans ce cas, lapplication successives des q
donne : |j0 q |j0 = |j0 1/2 1 q q |j0 = q q |j0 2 la dernire ligne,
et sont forcment dirents, et la contraction q q donne un objet de
spin j0 : ltat q q |j0 est donc lui aussi de spin j0 . Dans le cas
gnral avec N gnrateurs, ltat de spin maximal est obtenu avec q1,2
qN,2 , et sera de spin j0 +N/2. Le spin minimal sera de mme j0 N/2,
si j0 > N/2, sinon ce sera 0. Les principaux multiplets sont
rassembls dans le tableau 2. Notons quune thorie N > 1 contient
des champs de spin 1 ou plus, et que le multiplet vectoriel massif
possde les mmes degrs de libert quun multiplet chiral plus un
multiplet vectoriel non massifs, lun des champs rels du multiplet
chiral fournissant le degr de libert longitudinal du vecteur [2].
Spin Chiral massif N = 1 Vectoriel massif N = 1 0 2 1 1/2 1 2 1
1
Table 2 Principaux multiplets massifs de la supersymtrie.
3.4.3
tat une particule avec charges centrales
Daprs le lemme de Schur, un oprateur qui commute avec tous les
oprateurs doit tre un multiple de lidentit. Comme il sagit du cas
pour les charges centrales Zij , on peut les reprsenter par leur
valeur propre zr > 0. De plus, travers une transformation
unitaire, il est possible de mettre la matrice Z sous la forme 6
[2] z1 0 0 0 D (3.39) Z= D = 0 ... 0 D 0 0 0 zN/2 En substituant
lindice i par le groupe ar, o a = 1, 2 et r = 1, . . . , N/2, on
obtient les relations de commutations (sans somme sur r) : Qar ,
Qbs = 2ab rs P {Qar , Qbs } = ab rs zr Qar , Qbs = ab rs zr (3.40a)
(3.40b) (3.40c)
On peut montrer que les reprsentations non massives ne sont
compatibles quavec labsence de charges centrales (zr = 0, r). Dans
le cas massif, on considre les combinaisons linaires 1 2r A = (Q1r
Q ) r 2 (3.41)
6. Nous considrons le cas o N est pair, bien que le cas impair,
trait par Sohnius [22], est peine plus compliqu.
22
Dans ce cas, la seule relation de commutation non triviale est A
, (A ) = rs (2m r r zr ) (3.42)
et la condition de positivit de la mtrique donne la condition zr
2m (3.43)
Si tous les zr sont infrieurs 2m, alors nous avons le mme nombre
dtats que dans le cas sans charge centrale, et on parle de
multiplets longs. On note n0 le nombre de charges centrales dont la
valeur sature la limite : zr = 2m. Ces relations permettent
dobtenir certaines relations entre les gnrateurs, ce qui revient
rduire leur nombre de n0 . On aura donc une algbre de Cliord pour
2(N n0 ) variables, et on parle alors de multiplets courts [1,
2].
23
44.14.1.1
Reprsentations sur les champsMultiplet chiral N = 1Introduction
et champs auxiliaires
Ainsi que nous lavons vu, le multiplet non massif le plus simple
contient une particule de spin 0 et une autre de spin 1/2 : cela
correspond un champ scalaire et un spineur de Weyl [2, 23]. Avant
de considrer les transformations sur les champs, nous voyons tout
de suite que nous sommes face un problme : un champ scalaire
complexe possde deux degrs de liberts (on-shell et o-shell), tandis
quun spineur de Weyl en possde deux on-shell, et quatre o-shell.
Ainsi, bien que le nombre de degrs de libert soit identiques
on-shell, ce nest pas le cas o-shell, or il est en gnral dsirable
dtudier les thories o-shell ds que lon prend en compte les eets
quantiques. Considrons le lagrangien libre pour ces champs : L = +
i (4.1)
Le choix le plus simple de transformation (de paramtre ) que lon
peut postuler est = = (4.2) de manire ce que le lagrangien
Cherchons dterminer les variations et soit invariant ( une drive
totale prs) : L = ( ) + ( ) + i + i ( ) = + + i i + i ( ) = ( + i )
+ ( i ) + i ( ) et la variation est une drive totale L = i ( ) si =
i = i (4.3)
Il faut vrier si lalgbre se ferme correctement. Soit deux
transformations de paramtres 1 et 2 : [ 1 , 2 ] = 1 (2 ) 2 (1 ) =
i(2 1 1 2 ) et donc le commutateur de deux transformations sur
redonne la drive de , qui nest autre que laction de P sur ce champ
[ 1 , 2 ] = a P Faisons le mme calcul pour : [ 1 , 2 ] = i 2 ( 1 )
+ i 1 ( 2 ) = i 2 (1 ) + i 1 (2 ) = i(2 1 1 2 ) i(1 2 2 1 ) o on a
utilis la formule de rarrangement de Fierz (2.8), et on obtient [ 1
, 2 ] = a P i(1 2 2 1 ) 24 (4.5) a = 2 1 + 1 2 (4.4)
et lon remarque avec stupeur que lalgbre ne se ferme que si le
dernier terme est nul, cest dire que les quations du mouvement sont
vrifes pour ! Cela rejoint notre analyse au dbut de la section, o
nous rapportions que la thorie ne pouvait pas tre formule sous
cette forme simplie o-shell. La rsolution de ce problme demande
lintroduction de champs auxiliaires, cest dire qui ne se propagent
pas : de cette manire, lon obtient le bon nombre de degrs de libert
o-shell, et, puisquils ne sont pas dynamiques, ils ne comptent pas
dans le dcompte on-shell [2, 22, 23]. Ici, il faudra ajouter un
champ scalaire complexe pour obtenir les deux degrs manquants. Les
champs auxiliaires apparaissent naturellement lors de la
construction directe des supermultiplets (prochaine section) ou
dans le formalisme du superespace. 4.1.2 Calcul de lalgbre
On part dun champ scalaire complexe A(x) qui servira dtat de
rfrence pour notre reprsentation 7 [19, 22, 29]. On impose la
contrainte A, Q = 0 (4.6)
Cette contrainte est arbitraire et dnit le multiplet chiral.
Nous verrons plus loin ce quil advient lorsque lon retire cette
contrainte. On dnit les champs suivants : [A, Q ] = 2i { , Q } = iF
, Q = X On impose A de vrier lidentit de Jacobi avec Q et Q : [A, Q
] , Q + A, Q , Q = A, Q , Q 2i , Q = 2 [A, P ] 2iX = 2i A en
utilisant la contrainte (4.6) et le commutateur (A.6), do , Q = A
De mme, on aura {[A, Q ] , Q } + {[A, Q ] , Q } = [A, {Q , Q }] 2i
{ , Q } + 2i { , Q } = 0 2i(F + F ) = 0 = F = F F est donc
antisymtrique et forcment proportionnel : F = F , o F est un champ
scalaire, et donc { , Q } = i F7. Les rsultats importants sont
encadrs par anticipation.
(4.7a) (4.7b) (4.7c)
(4.8)
(4.9)
25
Lidentit de Jacobi pour A et deux Q est trivialement vrie. On
dnit les deux champs et : [F, Q ] = F, Q = En appliquant lidentit
de Jacobi pour : { , Q } , Q + , Q , Q = , Q , Q i F, Q + [A, Q ] =
2 [ , P ] i + 2i = 2i 2( ) = et on a pu sortir les drives car les
gnrateurs ne dpendent pas des coordonnes despace 8 . Maintenant, on
contracte par : 2 = 2 ( ) = 2 ( + ) = 4 comme = 2, et en utilisant
lantisymtrie de pour changer les indices. nest donc pas un nouveau
champ et on a : F, Q = 2 On calcule ensuite : [{ , Q } , Q ] + [{ ,
Q } , Q ] = [ , {Q , Q }] i [F, Q ] i [F, Q ] = 0 + = 0 et en
contractant par : 2 + = 0
(4.10a) (4.10b)
(4.11)
3 = 0 donc est nul et [F, Q ] = 0 (4.12) Il reste vrier que
lalgbre est bien ferme, cest dire que toutes les autres identits de
Jacobi sont nulles. Pour avec Q, on a , Q , Q + , Q , Q , Q , Q
= A, Q + A, Q + 0 = 0 8. Ceci est d au fait quil sagit de
charges conserves, qui proviennent dune intgration du courant de
Noether sur tout lespace
26
daprs la contrainte (4.6). On obtient trivialement 0 pour F avec
Q cause du commutateur (4.12). Pour F avec Q, le calcul est plus
long : F, Q , Q + F, Q , Q F, Q , Q
= 2 , Q + 2 , Q 0 = 2 ( A) + 2 ( A) 2 = 2 ( + ) A = 0
en changeant les indices et dans le premier membre, et en
utilisant lantisymtrie de . La parenthse est antisymtrique sous la
permutation , 2 2 tandis que lon a = , do la nullit. Finalement il
reste vrier lidentit pour F , Q et Q : [F, Q ] , Q + = 0 + 2
F, Q , Q + F, Q , Q { , Q } + 2 [F, P ]
= 2 (i F ) + 2i F = 2i( + ) F = 0
Lalgbre est donc bien ferme et on obtient le multiplet chiral
(gure 1) = {A, , F } (4.13)
qui contient deux champs scalaires complexes (deux fois deux
degrs de libert) et un spineur de Weyl (quatre degrs de libert).
4.1.3 Transformation des champs
An de calculer la variation des champs, on utilise un paramtre
qui commute avec tout ce qui est bosonique (nombres complexes
compris) et anticommute avec les fermions : il sagit de variables
de Grassmann. La variation dun champ est donne par = i , Q + Q soit
en composantes : = i , Q + Q (4.15) (4.14)
o = ( ) . partir des dirents commutateurs calculs prcdemment, on
obtient : A = 2 = F i A F = 2i (4.16a) (4.16b) (4.16c)
27
(a) Multiplet chiral.
(b) Multiplet antichiral.
Figure 1 Relations entre les champs des multiplets chiral et
antichiral. Remarquons que la variation de F est une drive totale,
et permet dcrire des actions invariantes. On peut montrer que le
commutateur de deux transformations successives scrit [ 1 , 2 ] = a
(i ) a = 2(1 2 2 1 ) (4.17) et lalgbre se ferme bien, puisque la
commutation de deux transformations est quivalente une translation
de vecteur a . Ainsi, une reprsentation triviale pour laquelle = 0
est constitue de champs constants. Il est possible dajouter des
indices aux champs 9 an dobtenir de nouveaux multiplets, qui eux
seront rductibles. 4.1.4 Multiplet antichiral
Choisir la contrainte [A, Q] = 0 au lieu de (4.6) aurait conduit
au multiplet antichiral , qui est construit par conjugaison
hermitienne : = A , , F (4.18)
Ce multiplet contient le mme nombre de degrs de liberts que le
multiplet chiral (4.13). 4.1.5 Notation quatre composantes
En utilisant la notation quatre composantes, le paramtre devient
un bispineur et la variation scrit = i , Q9. Attention, un indice
spinoriel inverse la statistique du champ.
(4.19)
28
et la variation des champs devient [ 1 , 2 ] = 2i1 2 4.1.6
Multiplet chiral rel (4.20)
En notant A et B, F et G les parties relles et imaginaires de A
et F , et en dnissant un spineur de Majorana partir de , on obtient
le multiplet chiral rel : = {A, B, , F, G} (4.21) avec les lois de
variations : A = B = 5 / = (F + 5 G) i (A + 5 B) / F = i / G = i5
(4.22a) (4.22b) (4.22c) (4.22d) (4.22e)
La prsence des 5 indique que A et F sont des scalaires, tandis
que B et G sont pseudoscalaires. La contrainte (4.6) revient
imposer que le spineur dans la variation de B soit 5 fois celui
dans A.
4.24.2.1
Multiplet gnral N = 1Calcul de lalgbre
Note : Bien que la mthode gnrale soit juste, les calculs dtaills
sont en partie faux au nivau des facteurs exacts. Cette fois-ci, on
tudie ce quil se passe lorsque lon nimpose aucune contrainte. On
choisit un champ scalaire complexe C qui servira dtat de base. On
dnit les champs suivants : [C, Q ] = 2i C, Q = 2i { , Q } = M , Q =
N (4.23a) (4.23b) (4.23c) (4.23d) (4.23e) (4.23f)
, Q = A , Q = B On impose en premier lieu lidentit de Jacobi
pour C, Q et Q : [C, Q ] , Q + C, Q , Q = C, Q , Q 2i , Q 2i , Q =
2 [C, P ] 2i A 2i B = 2i C 4A 4B = 4 C 29
en contractant 10 par , sachant que = 2 . On trouve donc
B = A C soit nalement , Q = (A C) Pour lidentit entre C et Q, on
a : {[C, Q ] , Q } + {[C, Q ] , Q } = [C, {Q , Q }] 2i { , Q } + 2i
{ , Q } = 0 M + M = 0
(4.24) (4.25)
et, comme pour le champ F du multiplet chiral, on trouve que M
est forcment proportionnel : M = M , do { , Q } = M Un calcul
exactement similaire pour C et Q C, Q , Q + C, Q , Q = C, Q , Q
(4.26)
montre que N doit tre proportionnel , do N = N et ainsi , Q On
dnit les nouveaux champs : [M, Q ] = M, Q = [N, Q ] = N, Q =
Lidentit de Jacobi avec , Q et Q donne { , Q } , Q + , Q , Q = , Q
, Q M, Q + [A , Q ] = 2 [ , P ] + [A , Q ] = 2i + 2 [A , Q ] = 2i
et en rcrivant le premier terme : = = on obtient 1 [A , Q ] = + i(
) 210. Cette technique sera rgulirement utilise par la suite.
= N
(4.27)
(4.28a) (4.28b) (4.28c) (4.28d)
(4.29)
30
On retombe bien sur le champ comme on pouvait sy attendre (gure
2). Le calcul entre et Q donne [{ , Q } , Q ] + [{ , Q } , Q ] = [
, {Q , Q }] [M, Q ] + [M, Q ] = 0 + = 0 Comme dans le cas du
multiplet chiral, on contracte par et on obtient = 0, donc [M, Q ]
= 0 (4.30) Un calcul tout fait semblable pour avec Q , Q , Q +
donne = 0, et donc N, Q = 0 Regardons maintenant lidentit pour M ,
Q et Q : [M, Q ] , Q + do { , Q } = 2i M La mme identit pour N [N,
Q ] , Q + donne , Q = 2i N On pose { , Q } = D et lon utilise
lidentit pour N et Q : {[N, Q ] , Q } + {[N, Q ] , Q } = [N, {Q , Q
}] { , Q } + { , Q } = 0 et par similitude avec M , on trouve D = D
et ainsi { , Q } = D On calcule maintenant lidentit de Jacobi pour
, Q et Q : , Q , Q + , Q , Q = , Q , Q (4.35) (4.34) (4.33) N, Q ,
Q = N, Q , Q (4.32) M, Q , Q = M, Q , Q 0 + { , Q } = 2 [M, P ]
(4.31) , Q , Q = , Q , Q
A C, Q + [N, Q ] = 2 , P A , Q + 2i + = 2i 2 A , Q + 4i + = 2i
31
ce qui donne 1 A , Q = i( ) 2i 2 1 = i( 2 ) 2 1 = i( ) 2 1 = i(
) 2 En conclusion, on obtient : 1 A , Q = i( ) 2 et on retrouve du
comme prvu. Le commutateur entre A , Q et Q vaut : [A , Q ] , Q + A
, Q , Q = A , Q , Q (4.36)
1 + i( ) , Q 2 1 + i( ) , Q 2
= 2 [A , P ]
1 , Q + i( ) A 2 1 +i( ) (A C) D = 2i A 2 soit aprs contraction
par et en renommant par : 1 2 , Q 2 = i A i (A C)
1 + 2 D + 2i A 2 , Q = i A i tr( ) (A C) + D + 2i( ) A 2 = i( 2
) A + 2i C + D
+ 2i( ) A = i( ) A + 2i 2 C + D + 2i( ) A = 2i 2 C + D + i( )
A
sachant que tr( ) = 2 . En abaissant les indices, on obtient enn
, Q = (D + 2i 2 C) + i ( ) A
(4.37)
32
Lidentit de Jacobi pour , Q et Q donne { , Q } , Q + , Q , Q = ,
Q , Q D, Q + 2i [N, Q ] = 2 [ , P ] + 2i = 2i D, Q
2 D, Q = 2i ( ) 2 D, Q = 4i grce lantisymtrie de . On obtient
alors D, Q = 2i Ensuite pour , Q et Q : , Q , Q = { , Q } , Q + , Q
, Q (4.38)
2 [ , P ] = 2i M, Q + [D, Q ] + 2i 2 [C, Q ] + i ( ) [A , Q
]
2i = 2i + [D, Q ] 4 2 i 2 i ( ) ( ) 2 i [D, Q ] = 2i( ) 2 2 4 2
i ( ) ( ) i 2 [D, Q ] = 2i ( ) 2 2 4 2 i ( ) ( ) i 2 [D, Q ] = 4i 2
2 4 2 2 i ( ) ( )
i = 4i 8 2 2 2 2i ( ) Il reste vrier que lalgbre est bien ferme
: Les identits pour M et Q, N et Q {[M, Q ] , Q } + {[M, Q ] , Q }
[M, {Q , Q }] = 0 N, Q , Q + N, Q , Q N, Q , Q =0
sont triviales comme leurs commutateurs sont nuls : M et Q : M,
Q , Q + M, Q , Q M, Q , Q
= , Q + , Q 0
33
et Q : , Q , Q + , Q , Q , Q , Q
= A , Q + A , Q 0 et Q : , Q , Q + , Q , Q , {Q , Q }
et Q : , Q , Q + , Q , Q , Q , Q
= 2i N, Q + 2i N, Q 0 = 0 car N, Q = 0. 4.2.2 Transformation des
champs
On a donc obtenu les champs composant le multiplet vectoriel
(gure 2) : V = C, , , M, N, A , , , D Finalement, en utilisant la
formule (4.14) = i , Q + Q les variations des champs sont [19] : C
= 2i( ) = M + A = (A C) + N M =
(4.39)
(4.14)
(4.40a) (4.40b) (4.40c) (4.40d) (4.40e) (4.40f) (4.40g) (4.40h)
(4.40i)
N = 1 1 A = + i( ) + i ( ) 2 2 = D + 2i N = 2i M D = 2i
Les relations entre les champs sont rsumes sur la gure 2.
Lalgbre est constitue : seize composantes fermioniques : , , ,
(quatre spineurs de Weyl complexes) ; seize composantes bosoniques
: C, M, N, D (quatre champs scalaires complexes) et A (un champ
vectoriel complexe). 34
En imposant la condition de ralit V =V (4.41)
on rduit le nombre de composantes huit de chaque type, et dans
ce cas : N = M C = C = D = D =
A = A
(4.42a) (4.42b)
Figure 2 Relations entre les champs du multiplet gnral. Les ches
pleines indiquent une relation directe, tandis que celles en
pointills signient que la drive du champ est prsente.
4.3
Calcul tensoriel : produit de deux champs chiraux
Il est possible de combiner plusieurs champs ensembles [22, sec.
4.4]. Le produit de deux champs chiraux A1 et A2 est un nouveau
champ chiral A1 A2 : en eet, on a A1 = A2 = 0 = (A1 A2 ) car (A1 A2
) = A1 A2 + A1 A2 = 0 Dans ce cas, la composante est donne par la
variation de A1 A2 : (A1 A2 ) = A1 A2 + A1 A2 = 1 A2 + A1 2 De mme,
on obtient la composante F en faisant varier la composante : (1 A2
+ A1 2 ) = 1 A2 + 1 A2 + A1 2 + A1 2 = F1 A2 + 1 2 1 2 + A1 F2 1 =
A1 F2 + F1 A2 1 2 2 35 (4.43)
Le champ produit a donc pour composantes 1 2 = 1 A1 A2 , 1 A2 +
A1 2 , A1 F2 + F1 A2 1 2 2 (4.44)
Les autres combinaisons possibles seront tudies dans le
formalisme du superespace.
36
55.1
SuperespaceConstructions : coordonnes et oprateurs
Lide est dtendre lespace de Minkowski repr par les coordonnes
(boso niques) x en un superespace repr par (x , , ). De cette
manire, les peuvent tre vus comme les gnrateurs des translations
gnrateurs Q et Q dans les directions fermioniques. Les coordonnes
et sont des variables de Grassmann et permettent ainsi de
reformuler lalgbre avec des commutateurs : Q, Q = 2 P car Q, Q = Q
Q Q Q = Q Q + Q Q = Q , Q = 2 P
(5.1)
On sintresse au quotient du groupe de super-Poincar par celui
des transformations de Lorentz : cela revient assimiler tous les
systmes qui ne dirent que par une transformation de Lorentz, et il
reste donc les translations [22]. Il existe direntes manires de
reprsenter les lments du groupe [15], et nous choisirons [30] G(x,
, ) = ei(xP +Q+Q) (5.2) An dtudier leet dune translation
fermionique, on tudie la composition de deux lments G(a, , ) et
G(x, , ) : G(a, , )G(x, , ) = ei(aP +Q+Q) ei(xP +Q+Q) = exp i (x +
a)P + ( + )Q + ( + )Q + i Q + Q, Q + Q 2
= exp i (x + a)P + ( + )Q + ( + )Q i + (2 2 )P ) 2 = exp i (x +
a + i i )P + ( + )Q + ( + )Q = G(x + a + i i , + , + ) o on a
utilis la formule de Hausdor (A.2), en tenant compte du fait que
les autres commutateurs sont nuls car [Q, P ] = 0. On remarque donc
quune translation fermionique saccompagne dune translation despace,
a priori complexe (comme on pouvait sy attendre, linverse nest
cependant pas vrai, puisque P commute). Innitsimalement, on a G =
G(x, , ), i(aP + Q + Q) = i(aP + Q + Q)G(x, , ) 37 (5.3)
An de trouver une reprsentation fonctionnelle, on dveloppe le
dernier terme : G(x + a + i i , + , + ) 1 + a + i i + + G(x, , ) =
G(x, , ) + a G(x, , ) + ( + i )G(x, , )
+ ( + i )G(x, , ) = G(x, , ) ia P G(x, , ) i Q G(x, , ) i Q G(x,
, ) Par identication, on trouve que P = i Q = Q =
(5.4a) (5.4b) (5.4c) (5.4d)
Q =
i( + i ) i( + i ) i( + i )
La variation dun champ est : F = i(Q + Q)F avec Q + Q = i ( + i
) i( + i ) = i( ) ( ) do = ( ) + i( ) (5.6) (5.5)
5.2
Drives spinorielles
En considrant cette fois-ci laction droite, et en demandant
quelle soit identique laction gauche, on obtient des drives qui
commutent avec les lments du groupe [30] : G(x, , )G(a, , ) = ei(xP
+Q+Q) ei(aP +Q+Q)
= exp i (x + a)P + ( + )Q + ( + )Q + i Q + Q, Q + Q 2
= exp i (x + a)P + ( + )Q + ( + )Q i + (2 2 )P ) 2 = exp i (x +
a + i i )P + ( + )Q + ( + )Q = G(x + a + i i , + , + )
38
et en dveloppant au premier ordre : G(x, , )G(a, , ) 1 + (a + i
i ) + + G(x, , ) = 1 + a + i
+ i G(x, , ) = (1 + a D + D + D )G(x, , ) Par identication, on
obtient alors : D = D = D = D = Un calcul simple montre que D , D =
2i (5.8) i i i (5.7a) (5.7b) (5.7c) (5.7d)
Remarquons aussi que, du fait de leur caractre spinoriel, les
drives troisimes et suprieures sont nulles : Dn = Dn = 0 De mme, on
a videmment D = D = 0 (5.10) n3 (5.9)
De part leur construction, ces drives anticommutent avec les
gnrateurs des translations : {D , Q } = D , Q = D , Q = D , Q =0
(5.11)
Calculons par exemple le premier anticommutateur : {D , Q } = i
, i( + i ) = i { , } , + , 2 + i , = 0
en utilisant le fait que tous les anticommutateurs sont nuls
(2.11). En terme de commutateur, on obtient [D , Q] = 0, et ainsi
de suite.
5.3
Superchamps
Une fonction des coordonnes (x, , ) peut tre dveloppe en srie de
et qui sera nie puisquil sagit de variables de Grassmann. Le
superchamp le , plus gnral sera donc V (x, , ) = C(x) + (x) + (x) +
M (x) + N (x) + A (x) + (x) + (x) + D(x) 39 (5.12)
puisque les termes du type 1 2 sont proportionnels . Les
coecients du dveloppement correspondent des champs sur lespace
bosonique et forment une reprsentation de lalgbre de supersymtrie
11 . Le coecient du terme est appel "terme D". Nous verrons quil
joue une importance particulire. Un superchamp ne constitue pas une
reprsentation irrductible et il faut chercher quelles contraintes
imposer. Ces dernires doivent tre covariantes, sans quoi une
transformation de supersymtrie briserait la contrainte choisie. On
peut identier les transformations des composantes en utilisant
lexpression explicite : V = ( )V + i( ) V = C + + + M + N + A + + +
D Calculons cette dernire expression terme par terme : Terme C : (
)C + i( ) C = i( ) C = i( + ) C Terme : ( ) + i( ) () 1 1 = + i i 2
2 i i = i + 2 2 Terme : ( ) + i( ) () i i = + i 2 2 Terme M : ( )M
+ i( ) (M ) = 2M + i M = 2M i M Terme N : ( )N + i( ) (N ) = 2N i
N11. ce stade l, il nest pas possible didentier directement ces
champs ceux que lon a dtermins par une construction directe (4.39),
puisquil est toujours possible de les dnir de direntes manires.
Toutefois le nombre de composantes est identique.
(5.6)
40
Terme A : ( ) A + i( ) ( A ) = A + A + i i 1 A 2
1 A 2 i = A + A + ( A F ) 2 i A F 2 = 1 2 (5.13)
comme
et en dnissant F = A A On a A = car est antisymtrique. Terme : (
)() + i( ) () 1 = + 2()() i 2 1 i = + 2 + 2 2 i = + 2 Terme : ( )()
+ i( ) () i = 2 Terme D : ( )(D) + i( ) (D) = 2 D + 2 D 1 F 2
41
Enn par identication : C = + = 2M + (A i C) = 2N (A + i C) i M =
+ 2 i N = 2 i A = + ( ) i( + ) 2 i = 2D + ( A F ) i N 2 i = 2D ( A
F ) i M 2 i D = ( ) 2 (5.14a) (5.14b) (5.14c) (5.14d) (5.14e)
(5.14f) (5.14g) (5.14h) (5.14i)
On reconnait plusieurs endroits les combinaisons i/2 et + i/2 :
on pourrait tre tent de faire les subsitutions i 2 i + 2
an de simplier les lois de transformations. Nous ne le ferons
pas tout de suite attendrons la section sur les thories de jauge, o
nous verrons que ce changement de variable est dautant plus
intressant car il rend la composante invariante de jauge. Toutefois
dans ce cas il faut aussi laccompagner du changement 1 D D + C 4
pour viter de faire apparaitre des termes en 2 . Notons que D est
une drive totale.
42
66.1
Superchamp chiral : construction et lagrangientude gnrale
Le choix le plus naturel de contrainte est dimposer que la drive
(anti-)spinorielle soit nulle [1, 22, 30] : D = 0 (6.1) o est un
superchamp quelconque. Montrons que ce dernier est chiral : pour
cela, nous allons chercher exprimer en fonction de variable dont la
drive spinorielle est nulle. Nous avons vu que D = 0. Dterminons f
(, ) telle que + f) = 0 : D(x D (x + f (, )) = ( + i )(x + f (, ))
f = 0 = i
do, aprs intgration et en prenant garde au fait que la drive
agit gauche : f (, ) = i (6.2)
On a pos la constante dintgration (qui dpend de ) zro. Ainsi, la
variable y = x i est telle que Dy = 0 (6.4) Ainsi, tout champ qui
sexprime seulement en fonction de (y, ) sera tel que (6.1) soit
vraie. En dveloppant ce champ, on obtient (6.5) (y, ) = A(y) + 2(y)
+ F (y) correspond donc bien un multiplet chiral. Avec ces
nouvelles variables, les drives spinorielles deviennent (les drives
sont par rapport y) D = 2i D = En eet, en utilisant la rgle de la
chaine, on a i = x y + y i (6.6a) (6.6b) (6.3)
y + x y x = i + i y y = 2i y
43
Dans le cas de D, le signe moins de (2.11) annulera le premier
terme de lavant dernire ligne. De mme on montre que les oprateurs Q
et Q deviennent Q = i Q = i + 2i (6.7) (6.8)
Pour obtenir le dveloppement en revenant en terme de x, on
pourrait utiliser le dveloppement en srie (nie) des coecients de .
Une autre mthode [25] est dintgrer directement (6.1) ( + i )(x, , )
= 0 ce qui donne 12 (x, , ) = ei (x, )
(6.9)
En dveloppant lexponentielle et le champ (x, ), on obtient (tous
les coecients dpendent de x) : (x, , ) = ei =
(x, )
1 A + 2 + F 1 i 2 1 = A + 2 + F i A + 2 2 A 4 soit nalement (x,
, ) = A + 2 + F i A i 1 2 A 4 2
(6.10)
Un superchamp antichiral est tel que D = 0 Il sexprime
naturellement en terme des variables (y , ) : (y , ) = A (y ) + 2(y
) + F (y ) Son expression en fonction des variables (x, , ) est (x,
, ) = A + 2 + F + i A i 1 2 A 4 2 (6.11)
(6.12)
(6.13)
car (i ) = i( ) = i( ) = i 12. En toute rigueur il aurait fallu
noter autrement le champ (x, ) qui sert de constante dintgration.
Il est aussi dirent de (y, ).
44
6.2
Transformations dun superchamp chiral
tudions les transformations des champs dun superchamp chiral
laide de la formule (5.5) : = i(Q + Q)(y, ) = i i i( + 2i ) (A + 2
+ F ) = 2 + (2 F ) 2i ( A + 2 ) 1 = 2 + (2F 2i A) 2 2i 2 = 2 + (2F
2i A) + i 2 = A + 2 + F et par identication : A = 2 = 2F i 2 A F =
i 2 (6.14a) (6.14b) (6.14c)
en dehors de signe et des facteurs 2 qui dpendent de la
normalisation choisie, on retrouve les lois de transformations du
multiplet chiral (4.16) dtermine par construction directe.
6.3
Oprations entre champs chiraux
La somme de deux champs chiraux est videmment un nouveau champ
chiral. Le produit de deux champs chiraux i et j vaut i j = (Ai +
2i + Fi )(Aj + 2j + Fj ) = Ai Aj + 2(Ai j + Aj i ) + (Ai Fj + Aj Fi
) + 2i j do i j = A i A j + 2(Ai j + Aj i ) + (Ai Fj + Aj Fi i j )
(6.15)
Le produit de trois champs chiraux est i j k = A i A j + 2(Ai j
+ Aj i ) + (Ai Fj + Aj Fi i j ) (Ak + 2k + Fk ) = Ai Aj Ak + 2 (Ai
j + Aj i )Ak + Ai Aj k
+ 2(Ai j + Aj i )k + Ai Aj Fk + (Ai Fj + Aj Fi i j )Ak = Ai Aj
Ak + 2(Ai Ak j + Aj Ak i + Ai Aj k ) (Ai j + Aj i )k + (Ai Aj Fk +
Ai Ak Fj + Aj Ak Fi Ak i j )
45
soit i j k = A i A j A k + 2(Ai Ak j + Aj Ak i + Ai Aj k )
(6.16)
+ (Ai Aj Fk + Ai Ak Fj + Aj Ak Fi Ai j k Aj i k Ak i j )
Le produit de plusieurs superchamps chiraux est encore un champ
chiral. Le produit dun champ chiral et dun champ antichiral est, en
terme de la variable x : j = i 1 i 2i + Fi + i A i 2 A i i 4 2 i 1
Aj + 2j + Fj i Aj j 2 Aj 4 2 i = A Aj + 2A j + A Fj iA Aj A j i i i
i i 2 1 A 2 Aj + 2Aj i + 2(j )(i ) + 2 Fj i i 4 i 2(i )( ) Aj i(i
)( j ) + Aj Fi + 2j Fi + Fi Fj iAj A i i 2(j )( A ) + ( A )( Aj ) i
i i 1 Aj i i(j )( i ) Aj 2 A i 4 2 A + i
et aprs simplication : j = A A j + i i 2A j + 2Aj i + A Fj + Aj
Fi i i + (iA Aj iAj A + i j )i i
+ + +
i i 2Fj i + A j A j i i 2 2 i i 2Fi j + Aj i Aj i 2 2 1 1 (Aj 2
A + A 2 Aj ) + A Aj i i i 4 2 i i + j i j i + Fi Fj 2 2
(6.17)
comme ( A )( Aj ) = A Aj i i 1 (i )( j ) = j i 2 Cette fois-ci,
nous remarquons que le produit est un superchamp gnral (et mme
rel).
46
Il reste traiter la dirence 13 dun champ chiral et de son
conjugu (en terme de x) : = A+ i 1 2 + F i A 2 A 4 2 i A + 2 + F +
i A 2 1 2 A 4
qui donne en simpliant 2 2 + F F 2i (Re A) i i i + 2 (Im A) 2 2
2 (6.18) qui est un superchamp imaginaire, donc i( ) sera un
superchamp rel, de mme que + . On remarque que la composante , qui
est celle associe au vecteur, se transforme comme une drive totale.
On peut donc utiliser ce superchamp pour gnraliser les
transformations de jauge : cest ce que nous ferons plus tard. = 2i
Im A +
6.4
Lagrangien
Dans cette partie nous nous contenterons de dcrire le lagrangien
de matire sans interaction de jauge (qui seront le thme de la
prochaine section) : nous nutiliserons que des superchamps
(anti-)chiraux. Nous utiliserons le formalisme du superespace, bien
quil suse de remplacer lintgration sur d2 (resp. d2 , 4 d ) par la
slection du terme F (resp. F , D). En tudiant les transformations
des champs (anti-)chiraux (resp. vectoriels) que les composantes F
(resp. D) se transforment comme une drive totale et sont donc de
bons candidats pour une densit de lagrangien 14 . Un lagrangien
supersymtrique est constitu de deux parties : le potentiel de Khler
K = K(, ) : il sagit du terme cintique ; le superpotentiel W = W ()
(et son complexe conjugu W = W ( )) qui comporte les termes de
masse et les interactions. Laction scrira donc S = Sk + Si = Lk =
Li = d4 x Lk + d4 K(, ) d2 W (i ) + h.c. d4 x Li (6.19a) (6.19b)
(6.19c)
13. Qui nous sera plus utile que la somme. Pour obtenir cette
dernire, il faut changer les parties relles imaginaires ainsi que
certains signes. 14. Nous anticipons dailleurs sur la prochaine
section propos du superchamp vectoriel. Toutefois il est ncessaire
pour crire le lagrangien dun champ chiral.
47
6.4.1
Potentiel de Khler
Le potentiel de Khler est une fonction gnrale des champs chiraux
i et antichiraux . Toutefois, pour tre renormalisable, on doit
choisir le potentiel i de Khler K(i , ) = gij j (6.20) i i o les
coecients gij sont constants. En gnral, il est possible de rendre
gij gale lidentit en rednissant les champs (somme sur i) et on
obtient ainsi le potentiel de Khler canonique : K(i , ) = i i i La
composante D dun tel potentiel est 1 1 |D = (A 2 A + A 2 A) + A A 4
2 i i 2 + + |F | 2 2 (6.21)
(6.22)
Les termes en A peuvent tre crits sous la forme dune drive
totale et dun autre terme : 1 1 (A 2 A + A 2 A) = (A A + A A) 2 A A
4 4 1 1 = (A A + A A) + A A 4 2 On aura donc i 2 |D = A A + ( ) +
|F | 2 1 (A A + A A) 4
(6.23)
On reconnait le terme cintique canonique pour un champ scalaire
complexe, la drive totale donnant un terme de surface dans laction.
On pourrait aussi crire un seul terme avec une drive spinorielle :
= ( ) 6.4.2 Superpotentiel
Le superpotentiel une fonction holomorphe de , puisquil ne dpend
pas de son complexe conjugu [24] : en eet, dans le cas contraire il
ne sagirait plus dun champ chiral. Cette proprit est trs importante
et conduit de nombreux thormes. Dterminons lexpression gnrale du
superpotentiel [1] en utilisant son dve-
48
loppement de Taylor (2.15) : W i (y, ) = W i (y, 0) + W 1 2W i
(y, 0) + i (y, 0) 4 2 i W 1 i W = W (Ak ) + (Ak ) + (Ak ) i 4 i i W
= W (Ak ) + (Ak ) i 2 i W i j 2 W 1 (Ak ) (Ak ) + 4 2 i i j W = W
(Ak ) + ( 2i + 2Fi ) (Ak ) i W 1 (Ak ) + ( 2i + 2Fi ) + 4Fi 4 i 2W
( 2j + 2Fj ) (Ak ) i j
en se souvenant que (y, 0) = A(y), de la relation (2.13) () = 4,
et en faisant attention lordre des drives. Dcomposons le calcul du
terme i j = i j . Le terme i vaut : i = (Ai + 2 i + Fi ) = 2 i 2 Fi
= 2i 2 Fi et de mme : Le produit vaut donc i j = ( 2i 2 Fi )( 2i +
2 Fi ) En notant de manire raccourcie W W = (Ak ) Ai i on obtient
nalement le dveloppement du superpotentiel W i (y, ) = W (Ak ) + 2i
W 1 2W W + Fi i j Ai Ai 2 Ai Aj (6.25) j = 2i + 2 Fi
(6.24)
et il sagit bien dun superchamp chiral, dont la dernire
composante est W ()|F = Fi W 1 2W i j Ai 2 Ai Aj (6.26)
Le deuxime terme fournit la matrice de masse des fermions :
MF,ij = 2W Ai Aj Ak , Ak
(6.27)
Le superpotentiel le plus gnral et renormalisable est 1 1 W (i )
= i i + mij i j + gijk i j k 2 3 49 (6.28)
6.4.3
Lagrangien supersymtrique sans interaction de jauge
On obtient ainsi le lagrangien supersymtrique gnral pour la
matire : L= d4 + d2 W () + h.c. (6.29)
i = A Ai + (i i i i ) + Fi Fi i 2 W W + Fi + Fi Ai A i 1 2W 1 2W
i j i j 2 Ai Aj 2 A A i j Les quations dEulerLagrange pour Fi et Fi
donnent Fi = W Ai Fi = W A i
(6.30)
(6.31)
En injectant ces expressions dans le lagrangien (et en omettant
les divergence totale), on obtient le lagrangien i L = A Ai + (i i
i i ) i 2 1 2W i j + h.c. V (Ai , A ) i 2 Ai Aj o V (Ai , A ) est
le potentiel scalaire, donn par i V = Fi Fi + =i
(6.32)
W W Fi Fi + Ai A i2
W Ai
2
W Ai2
2
soit V = Fi Fi =i
W Ai
(6.33)
On remarque que ce potentiel est toujours positif, ce qui est en
accord avec ce que nous verrons dans la section sur la brisure de
supersymtrie. Comme dans toute thorie des champs, la matrice de
masse au carr des scalaires est donne par la drive seconde du
potentiel scalaire :2 MS,ij =
2V Ai A j
Ak , Ak
+
2V A Aj i
Ak , Ak
(6.34)
6.5
Modle de WessZuminom 2 g 3 + 2 3
On considre le superpotentiel W () = + 50 (6.35)
Lquation du mouvement pour F est F = W = + m + g2 (6.36)
En rsolvant F = 0, on peut trouver le minimum du potentiel
scalaire : = et, la rednition du champ permet dliminer le terme en
du potentiel : W () = m 2 g 3 + 2 3 (6.39) (6.38) 1 m 2g m2 4g
(6.37)
51
77.17.1.1
Thories de jauge supersymtriquesSuperchamp vectorieltude
gnrale
Rappelons lexpression dun superchamp gnral (5.12) : V (x, , ) =
C(x) + (x) + (x) + M (x) + N (x) + A (x) + (x) + (x) + D(x) Pour le
superchamp vectoriel on impose la condition de ralit V =V (7.1)
(5.12)
et cela implique que : les champs C, A et D sont rels ; N = M ;
= et = (en formalisme quatre composantes, cela signierait que et
sont des spineurs de Majorana). On aura donc V (x, , ) = C(x) + (x)
+ (x) + M (x) + M (x) + A (x) + (x) + (x) + D(x) 7.1.2 Gnralisation
des transformations de jauge (7.2)
Rappelons que et i( ) sont des superchamps vectoriels. Ainsi V V
+ i( ) sera encore un superchamp vectoriel : V + i( ) = C + + + M +
M + A + + + D + i 2i Im A + 2 2 + F F (7.3)
i i 2i (Re A) + 2 2 i 2 (Im A) 2 = (C 2 Im A) + ( + i 2) + ( i
2) + (M + iF ) + (M iF ) + (A + 2 (Re A)) 1 1 + + + 2 2 1 + D + 2
(Im A) 2 52
En faisant les remplacements i 2 1 D D + 2 C 4 (7.4a) (7.4b)
on rend et D invariant par cette transformation. Finalement, en
modiant certains facteurs 15 de (7.2), on obtient la forme nale du
superchamp i i V (x, , ) = C + i i + M M + A 2 2 i i + i i 2 2 1 1
+ D + 2 C 2 2
(7.5)
Certains auteurs choisissent de dcomposer M en ses parties
relles et imaginaires : M M + iN . Les transformations de
supersymtrie scrivent alors C = i( ) = 2M + (A i C) M = A = + + + i
= 2D F 2 i D = ( ) 2 qui sont plus simples que celles du superchamp
gnral (5.14). Les variations des champs par (7.3) seront alors C =
2 Im A = 2 M = 2F A = 2 (Re A) = 0 D = 0 (7.7a) (7.7b) (7.7c)
(7.7d) (7.7e) (7.7f)
(7.6a) (7.6b) (7.6c) (7.6d) (7.6e) (7.6f)
La composante A se transforme comme une drive totale : cette
transformation peut donc servir de transformation de jauge gnralise
de paramtre : V V + i( ) (7.3)15. Plus dans lesprit de suivre les
conventions usuelles (pour une fois que presque tous les auteurs
saccordent presque sur lune delles. . .) que par relle simplicit,
bien que cela permette denlever les vacteurs i des
transformations.
53
7.1.3
Jauge de WessZumino
En choisissant les valeurs de Im A, et F , il est possible
dliminer les composantes C, et M (jauge de WessZumino) : 1 VW Z = A
+ i i + D 2 (7.8)
Il restera un paramtre, Re A, qui servira pour les
transformations de jauge. Cette jauge nest videmment pas
supersymtrique. 2 La seule composante non nulle de VW Z sera2 VW Z
= A A =
1 A A 2
soit2 VW Z =
1 A A 2 n3
(7.9)
et ainsin VW Z = 0
(7.10)
7.27.2.1
Thorie de jauge ablienneForce du champ
La jauge de WessZumino permet de mettre en vidence les degrs de
libert physiques : F (qui apparait dans les transformations), et D.
En comparant les dimensions de ces champs, on voit quils peuvent
correspondre un superchamp chiral W avec un indice spinoriel (la
premire composante sera donc ) : DW = 0 (7.11) On dnit de mme son
conjugu W par DW = 0. De plus, le choix le plus simple de
superchamp spinoriel construit partir de V est D V . Ainsi, comme
D3 = 0, le superchamp qui correspond nos attentes est 16 1 W = DD D
V 4 1 W = DD D V 4 Ces champs sont invariants par la transformation
(7.3) : DD D ( ) = DD D = D ( D , D D D ) = 2i D = 0
(7.12)
et de mme
(7.13)
On remarque de plus que lon a D W = D W 16. Le facteur 1/4 tant
choisi pour simplier la suite.
(7.14)
54
An de dterminer les composantes de W , nous allons utiliser les
coordonnes (y , ) pour VW Z : VW Z (y, ) = A (y + i ) i (y + i ) +
i (y + i ) 1 + D(y + i ) 2 = A (y) + i A (y) + i (y) i (y) 1 + D(y)
2 soit 1 VW Z (y, ) = A (y) + i (y) i (y) + D(y) + i A (y) 2 (7.15)
La drive covariante de ce champ est D VW Z = ( 2i ) 1 A + i i + D +
i A 2 A + 2i i + (D + i A ) = 2i A + 2
=
A
+ 2i i + D + i A
= =
1 1 2i ( ) A + 2 2 2 A + 2i i + D + i( + ) A A + 2i i + D + 2i
A
En antisymtrisant A en F = A A , on trouve D VW Z = A + 2i i + D
+ i F
(7.16)
Finalement, en notant que DD = 4, on obtient W = i + D + i F
(7.17)
Il sagit bien dun superchamp chiral construit sur la composante
. On donne le nom de jaugino ce dernier champ : il sagit du
superpartenaire associ au champ de jauge A . On note que ce champ
appartient forcment laa reprsentation adjointe, puisquil se trouve
dans la mme reprsentation que A : cest une des raisons pour
lesquelles on peut armer navoir dcouvert aucun jaugino (par exemple
les neutrinos ont t vus comme de potentiels candidats), puisque
nous ne connaissons aucun fermion de Majorana dans ladjoint. Le
seul invariant quil est possible de construire, et qui pourrait tre
candidat
55
pour un terme cintique, est W W = i + D + i F i + D + i F = 2iD
+ F + i + D2 + F F F + i
= + (2iD + 2 F ) 1 + 2i tr( )F F + D2 2 = + (2iD + 2 F ) i 1 +
2i F F + F F + D2 2 2 car on a = 1 2 1 1 = = tr( ) 2 2 1 = ( i )
4
ainsi que 1 1 tr( )F F = ( i )F F 2 4 1 F F F F 2iF F = 4 1 i =
F F F F 2 2 o F = 1/2 F . Finalement, on a i 1 d2 W W = 2i F F + F
F + D2 2 2 (7.18)
On remarque que ce produit contient les termes cintiques pour F
, et D (tous rels), ainsi que le terme dinstantons F F
(imaginaire). Ce dernier terme ne sera donc pas prsent dans le
lagrangien puisque lon ne conserve que la partie relle. Dans tous
les cas, il sagit dune drive totale 17 . On pourra donc utiliser
comme terme cintique pour le superchamp de jauge : Lg = 1 4 1 i 1
d2 W W + h.c. = F F + ( ) + D2 4 2 2 (7.19)
17. Nous verrons dans la section sur les thories de YangMills
quil est possible dintroduire une constante de couplae complexe an
de conserver ce terme. Cela peut-tre utile quand lon tudie les
dfauts topologiques.
56
7.2.2
Couplage avec de la matire : transformation globale
On considre tout dabord une transformation de jauge U(1) globale
[30] : = eit = eit (7.20)
o t est la charge du superchamp le paramtre (constant) de la
transformation (tous rels). Il ny a pas de somme sur les indices.
Comme est rel, le terme cintique K(i , ) = i i i est videmment
invariant : i eit i i it
(6.21)
e
i = i i
tudions maintenant la transformation du superpotentiel 1 1 W (i
) = i i + mij i j + gijk i j k 2 3 (6.28)
Terme linaire : il est vident, dapts la transformation (7.20)
que ce terme ne sera pas invariant, moins ti = 0 ou que i = 0 : i i
= i i = Terme quadratique : mij i j mij ei(ti +tj ) i j Linvariance
de ce terme impose donc les conditions : mij i j = mij i j = Terme
trilinaire : gijk i j k gijk ei(ti +tj +tk ) i j k Linvariance de
ce terme impose donc les conditions : gijk i j k = gijk i j k = ti
+ tj + tk = 0 gijk = 0 si ti + tj + tk = 0 (7.23) ti + tj = 0 mij =
0 si ti + tj = 0 (7.22) ti = 0 i = 0 si ti = 0 (7.21)
7.2.3
Couplage avec de la matire : transformation locale
On tudie maintenant une transformation de jauge locale de
paramtre = (x, , ) : = eit (x,,) (7.24) = eit (x,,) 57
doit lui-mme tre un superchamp chiral, sans quoi nen serait plus
un : D = eit
D +D eit=0
= it (D ) eit = 0 moins que ne soit chiral : D = 0 De mme, sera
antichiral : D = 0 (7.26) Ce qui a t dit quant linvariance du
superpotentiel dans la section prcdente ne change pas. Par contre,
le terme cintique (6.21) nest plus invariant : eit( )
(7.25)
Or nous avons vu dans ltude du superchamp vectoriel que la somme
i( ) est une gnralisation des transformations de jauge : V V + i( )
(7.3)
En introduisant un superchamp vectoriel, on peut alors former un
terme cintique invariant : Lk = et V (7.27) sous la condition que V
se transforme comme (7.3) sous la transformation (7.24). Nous
donnerons une autre expression de ce terme dans la prochaine
section, qui traite des thories de jauge non abliennes. Finalement,
notons que la composante D du superchamp vectoriel est la fois
invariante de jauge (7.7) et par supersymtrie (7.6). Il est donc
possible de lajouter au lagrangien (terme de FayetIliopoulos) : LF
I = d4 V = D (7.28)
Ce terme joue un rle important dans la brisure de
supersymtrie.
7.37.3.1
Thorie de YangMills supersymtriqueTransformation de jauge non
ablienne
Nous nous intressons un groupe G dont les gnrateurs sont nots T
a (qui sont des matrices hermitiques), associs aux paramtres a (a =
1, . . . , dim G). On dnit = a T a (7.29) o les indices a sont
somms. En notant les indices de matrice, on a j = a (T a )ij i
(7.30)
58
Nous considrons demble des transformations locales et ncriront
pas la dpendance des paramtres ; les a sont donc des superchamps
chiraux. Les champs se transforment comme = ei T = ei a a = ei T =
ei soit g = ia T a (7.32) Il est tout moment possible de
rintroduire la constante de couplage du groupe de jauge en faisant
le remplacement V gV . En introduisant les indices des champs, la
transformation prcdente scrit i i = eij ia a
(7.31)
j
(7.33)
Ces indices seront omis dans la suite, mais il faudra prendre
garde lordre des termes. Tout ce que nous pouvons crire, est que le
terme cintique (6.21) se transforme comme e2V ei e2V ei (7.34) car
V et ne commutent pas et il faudrait utiliser la formule de Hausdor
(A.2) [26]. Pour que ce terme soit invariant, il faut que V se
transforme comme e2V ei e2V ei
(7.35)
Au premier ordre, cette transformation reproduit celle du cas
ablien (7.3) : V = ei e2V ei e2V (1 + i )(1 2V )(1 i) (1 2V ) = i(
) Le superpotentiel est en gnral un terme du type ai1 in i1 in . Ce
terme sera invariant si le produit tensoriel de n fois la
reprsentation contient lidentit et si a est un tenseur invariant du
groupe [1]. Par exemple, si G = SU(3) et quil sagit de la
reprsentation fondamentale, on a bien id 3 3 3, et le tenseur
invariant associ est ijk . On a aussi id 3 3. Nous reviendrons
l-dessus en traint lexemple de la QCD supersymtrique (section
7.4.2). Linvariance du superpotentiel par une transformation de
jauge donne g W = W g i = iFi (a )ij T a j = 0 i
o on a utilis la variation de i . On a donc la relation a W =
iFi (T a )ij j = 0 a g (7.36)
59
7.3.2
Force du champ
Par analogie avec le superchamp (7.12), on dnit le tenseur de
force par 1 W = DD e2V D e2V 4 1 W = DD e2V D e2V 4 Montrons que W
se transforme bien dans ladjoint du groupe : 1 W = DD ei e2V ei D
ei e2V ei 4 1 i 2V i = DD e e e D ei e2V ei + ei D e2V ei 4
=0
+ ei e2V D ei 1 = DD ei e2V D e2V ei + ei D ei 4 1 i 2V = e DD e
D e2V ei 4 Il est possible de sortir les termes ei des drives D. Le
dernier terme la pnultime ligne est nul pour les mmes raisons que
dans le cas ablien : DD D ei = D D , D ei D D ei D ei = 0
(7.38)
= 2i On trouve donc
W ei W ei
Il est alors possible dobtenir son expression dans la jauge de
WessZumino (7.8), en notant que V 2 DV V 3 = 0 : 1 W = DD e2V D e2V
4 1 = DD (1 + 2V + 2V 2 )D (1 2V + 2V 2 ) 4 1 1 = DD(2D V ) DD 2D V
2 4V D V ) 4 4 1 1 = DD(2D V ) DD 2V D V + 2(D V )V 4V D V ) 4 4 1
1 = DD(2D V ) DD 2(D V )V 2V D V ) 4 4 soit, aprs simplication : 1
1 W = DDD (2V ) + DD [2V, D (2V )] 4 8 (7.39)
Si lon souhaite introduire la constante de couplage, on aura W
gW (il restera un g associ au second membre, qui se retrouvera dans
les commutateurs plus bas). 60
Le premier terme identique dans le cas ablien (7.17) en faisant
le remplacement V 2V : 1 DDD V = i + D + i ( A A ) 4 Nous allons
calculer le second terme, en utilisant les expressions (7.8) et
(7.16) (tous les champs dpendent de y) : 1 [V, D V ] = A + i i + D,
A 2 + 2i i + D + i F = [A , A ] + 2i A , + i , A i 1 = ( ) [A , A ]
+ A , 2 2 i , A 2 soit nalement, en introduisant = 1/4( ) : [V, D V
] = ( ) [A , A ] + i A , En utilisant le fait que DD = 4, on
obtient enn : 1 i 1 DD [V, D V ] = ( ) [A , A ] A , 8 2 2 En
combinant les deux termes, on obtient W = 2i 2 D + i ( A A ) + 2 +
2( ) [A , A ] 2i A ,
(7.40)
(7.41)
En dnissant le tenseur de champ de jauge et la drive covariante
(pour un champ dans ladjoint) par F = A A i [A , A ] D = i [A , ]
on obtient lexpression W = 2i 2 D + i F + 2 D
(7.42a) (7.42b)
(7.43)
Pour introduire la constante de couplage, il faut faire le
remplacement [, ] g [, ]. Finalement, on peut obtenir un terme
invariant en contractant les indices spinoriels et en prenant la
trace. On retombera directement sur lexpression ablienne (7.18), o
lon aura fait les remplacements (7.42) et multipli tout par 4: d2
tr(W W ) = tr 8i D 2F F + 2iF F + 4D2 (7.44)
61
On peut donc crire le lagrangien, o lon rintroduit la constante
de couplage g : Lg = 1 16g 2 d2 tr(W W ) + h.c. (7.45)
1 i 1 = tr F F + ( D D ) + D2 4 2 2 On peut aussi considrer une
constante de couplage complexe [1, 26] = i 1 + 2 2 4 g
(7.46)
o est langle du vide, et on obtient alors le lagrangien suivant
: Lg = 16 d2 tr(W W ) + h.c.
g2 i 1 1 F F + ( D D ) + D2 = tr F F 2 4 16 2 2 (7.47) 7.3.3
Couplage avec la matire
Il est possible dvaluer (7.27) dans la jauge de WessZumino (7.8)
; en eet, n comme VW Z = 0 pour n 3, on peut dvelopper
lexpontentielle : e2V = 1 2V + 2V 2 et le lagrangien (7.27) devient
Lk = 2 V + 2 V 2 (7.49) (7.48)
Le premier terme est le potentiel de Khler canonique (6.21).
valuons le second terme, en ne gardant que les termes en : V = A +
= i 1 2 + F + i A 2 A 4 2 1 A + i i + D 2 i 1 A + 2 + F i A 2 A 4 2
) 2 A ( A )(i A) + A (i + A 1 D A + 2(i )A 2
+ i A ( A )A + i i ( A A A A A A) + (A A) = 2 2 1 1 + A + A DA +
2 2 62
Le dernier terme peut scrire 1 A = ( A A ) 2 do V = i i ( A A A
A A A) + (A A) 2 2 1 1 + ( A A ) + A DA 4 2
(7.50)
Lquation (7.9) nous donne immdiatement le terme en V 2 : V 2 = 1
A A A A 2 (7.51)
Le lagrangien dinteraction matirejauge sera donc ( des
4-divergence prs) i 2 Lk = A A + ( ) + |F | 2 i( A A A A A A) i 2(A
A) 1 ( A A ) + A A A A + A DA 2 En introduisant la drive covariante
D = iA lexpression ci-dessus devient nalement i 2 Lk = (D A) D A +
( D D ) + |F | 2 i 2(A A) + A DA 7.3.4 Lagrangien de YangMills
(7.52)
(7.53)
Le lagrangien rassemblant le terme cintique des champs de jauge
(7.45), le terme de FayetIliopoulos (7.28), linteraction des champs
de jauge avec la matire (7.53) et le superpotentiel (6.25) est L= 1
16g 2 + d2 tr W W + g d2 W () + h.c. d4 A V A + d4 e2gV (7.54a)
1 i 1 = tr F F + ( D D ) + D2 + A DA 4 2 2 i 2 + (D A) D A + ( D
D ) + |F | 2 ig 2(A A) + gA DA + W () + h.c.
(7.54b)
Le terme de FayetIliopoulos nest autoris que si le groupe est
ablien : en eet, un terme du type D o D est dans ladjoint nest pas
invariant de jauge si le groupe est non ablien. Ainsi, A = 0 si le
groupe nest pas U(1). 63
En introduisant les indices de la reprsentation adjointe, on
obtient : 1 a i 1 L = Fa F + (a D a D a a ) + Da Da + g A DA 4 2 2
i + (D A) D A + ( D D ) + F F 2 a ig 2( A Ta a Ta A) + gDa A Ta A +
Fi 1 W 1 2W 2W i W i j + F i j i i j Ai 2 Ai Aj 2 A A A
(7.55)
Les quations du mouvement pour les champs auxiliaires sont Da =
gA T a A g a Fi = W i A
(7.56a) (7.56b)
Fi =
W Ai
En remplaant ces quations dans le lagrangien, on obtient 1 a i L
= Fa F + (a D a D a a ) 4 2 i + (D A) D A + ( D D ) 2 ig 2(a A Ta a
Ta A) 1 2W 1 2W i j i j V (A, A ) i Aj i A j 2 A 2 A o le potentiel
scalaire V est donn par 18 1 V = Fi F i + Da Da = 2 W Ai2
(7.57)
+
i
g2 2
(A T a A + a )2a
(7.58)
Dans le cas o lon considre que la matire est dans la
reprsentation adjointe, on peut crire tout le lagrangien sous forme
dune trace. Les termes dinteractions jaugematire se rcrivent : a A
T a = a A (T a )bc c = if abc a A c b b = if dbc tr(T a T d )a A c
b = a A c tr(T a T b , T c ) b = tr A , = tr , A o on a utilis les
relations (T a )bc = if abc soit nalement a A T a = tr , A = tr A
[, ] = tr A , en utilisant la cyclicit de la trace.18. Le calcul
est identique celui de la section sur le le lagrangien sans
interaction de jauge 6.4.3 ; il sut de rajouter le terme en D2
lquation (6.33).
tr(T a T b ) = ab
(7.59)
(7.60)
64
7.47.4.1
Exempleslectrodynamique supersymtrique (SQED)
On considre deux superchamps de charges respectives e. On
choisit le potentiel de Khler canonique K = e2ieV + + e2ieV + Il
est possible dcrire un terme de masse invariant : W = m+ = m(+ F +
F+ + ) (7.62) (7.61)
Les quations du mouvement pour les champs auxiliaires (7.56)
donnent F =
W = m
(7.63a) (7.63b)
D = e( + ) + Il est possible davoir la fois F = D = 0
(7.64)
donc il existe un vide o la supersymtrie nest pas brise, et pour
lequel = 0 Dans ce cas, la symtrie de jauge nest pas non plus
brise. Les termes dinteractions des fermions valent 2W =m + Le
lagrangien total est, aprs remplacement : 1 L = F F + i + (D + ) D
+ 4 + (D ) D + i+ D + + i D ie 2( + + + ) + ie 2( )+
(7.65)
(7.66)
(7.67)
1 m(+ + ) V ( , ) 2 avec 1 e2 V = F+ F+ + F F + D2 = m2 ( + + )
+ ( + )2 (7.68) + 2 2 + 7.4.2 Chromodynamique supersymtrique
(SQCD)
Ce modle sinspire de larticle de Bilal [1]. 2 Le groupe concern
est SU(Nc ) : il existe alors Nc 1 gluons Aa (a = 2 a 1, . . . , Nc
1) et autant de gluinos , tous dans la reprsentation adjointe. Pour
les quarks gauches, il faut ajouter un triplet de superchamps
chiraux i i i Qi = qL + 2L + FL (7.69) L 65
se transformant dans la fondamentale Nc , o i = 1, . . . , Nc
est le nombre de couleurs et o L = 1, . . . , Nf est le nombre de
saveurs. cela on ajoute un autre triplet dans lantifondamentale Nc
QL,i = qL,i + 2L,i + FL,i (7.70) pour les antiquarks gauche. Le
lagrangien dcrivant ce modle est celui dcrit dans la section
prcdente (7.54) avec W = 0 et A = 0 comme SU(3) ne contient pas de
facteur ablien. Il existe une symtrie globale SU(Nf )L SU(Nf )R
comme le lagrangien est diagonal pour indices de saveurs, la fois
pour QL et QL . Le lagrangien possde deux autres symtries U(1) :
U(1)B : Q ei Q Q ei Q U(1)A : Q ei Q Q ei Q (7.71)
Notons que la seconde symtrie est brise par une anomalie
quantique. Finalement, le lagrangien possde une symtrie U (1)R
(voir section 8.1) 19 . Au niveau classique, la symtrie totale est
donc SU(Nf )L SU(Nf )R U (1)B U (1)A U (1)R . Comme id Nc Nc , on
peut ajouter un terme de masse 20 : W (Q, Q) = mLM Qi QM,i L
(7.72)
Toutefois, grce aux symtries prsentes auparavant, il est
possible de diagonaliser ce terme (en slectionnant les tats propres
de masse) : W (Q, Q) =L
mL Qi QL,i L
(7.73)
Le lagrangien sera (en supprimant les indices) g 2 a 1 a L = Fa
F F F iD a a 4 16 2 a + (D q) D q + (D q) D q iD iD ig 2(q q) ig
2(q q) et V (q, q , q, q ) =L m2 qL qL + qL qL + L
(7.74)
1 2
mL L L + L L V (q, q , q, q )L
g2 2
q T a q + qT a qa
2
(7.75)
Les proprits plus avances de ce modle (dualit, brisure de
supersymtrie, condensation de jauginos. . .) sont dcrits dans [10,
24].19. Le R employ ici na rien voir avec celui de SU(Nf )R . 20.
On pourrait aussi considrer un terme du type aLM N ijk Qi Qj Qk ,
en prenant SU(3) L M N comme exemple. Toutefois un tel membre
violerait la conservation du nombre baryonique.
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88.1
Brisure de supersymtrieSymtrie R
Bien que la symtrie R soit une composante gnrale de la thorie,
cest dans
