sustavski pristup modeliranju - unizg.hr · B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju Protočnikotlastireaktor(PKR)sidealnimmiješanjem Parametarska

Uvod

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju

- modeliranje preuzima vodeću ulogu u razvoju procesa- modelima pokušavamo razumjeti, mijenjati, projektirati i voditirealne procese- pri razvoju modela moramo sagledati cjelovitost problema zajednosa svim ograničenjima i utjecajima koje procesu nameće njegovaokolina- metodološki pristup izgradnji matematičkih modela- osnovni koncept modeliranja, opis elemenata i postupakasustavnog pristupa modeliranju – �zlatna pravila� modeliranja

Što je matematičko modeliranje?


MATEMATIČKO MODELIRANJE JE OPISIVANJE OPAŽENIH POJAVA NEMATEMATIČKIH

SUSTAVA/PROCESA/PROIZVODA MATEMATIČKIM JEZIKOM!!!

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem

V, cA, rA

qV,0, cA,0

qV, cA

- idealno miješanje

- r = konst. (rUL = rIZ)

- qV – volumni protok

- cA – molarna koncentracija

- V- volumen

- 0 – početni uvjeti

- rA – brzina reakcije

Ukupna bilanca tvari:

,0dd V VV q qt= -

( ) ( ),0

dd V V

Vq q

tr

r×

= × -

,0dkonst. 0 konst.dV VVq q Vt

= = Þ = Þ =

Primjer 1.



- t - vrijeme zadržavanja

- kemijska reakcija A ® B (reakcija prvog reda)

- cA (u reaktoru) = cA (u izlaznom toku) – iz pretpostavke o idealnom miješanju

Bilanca tvari reaktanta A:

V

Vq

t =

A A Ar k c= ×

A,0 AAA A

d **d

c cc k ct t

-= - ×

( ) ( )AA,0 A A A

d:

d V V V

V cq c q c V k c q

t×

= × - × - × ×

( )AA,0 A A A

d :dc c c k ct

t t t× = - - × ×

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjemBilanca tvari za reaktant A izvedena na temelju

- općeg pristupa – bilanca tvari (zakon o očuvanju mase)

- dodatnih podataka o procesu (kinetika reakcije)

- pretpostavki (idealno miješanje, konstantna gustoća, jednakost ulaznih i izlaznih protoka)

- analitičko rješenje (*)

- numeričke metode – uobičajeniji pristup rješavanju matematičkih modela procesa jer rezultirajuće diferencijalne jednadžbe uobičajeno nemaju analitičko rješenje

( )( )( )( ) ( )( )

A

A

1/A,0 1/

A A,0A

1

1

k t

k tc e

c t c ek

t

t

t

- + ×

- + ×× -

= ++ ×

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjemUsporedba analitičkog* i numeričkog rješenja jednadžbe**

- cA,0 = 1 mol dm-3, qV = 0,2 dm3 min-1, V = 1 dm3, T = 130 °C (403,15 K)

- kA preuzeta iz literature za reakciju hidrolize anhidrida octene kiseline (Arrhenius)

kA = 0,444 min-1

( )44,9510

6 1A 1,15 10 minR Tk e

- ×-×= × ×

0 5 10 15 20 250.0

0.3

0.6

0.9

1.2

c [m

ol d

m-3]

t [min]

analitièko rješenje numerièko rješenje

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjemParametarska analiza

- analiza utjecaja parametara procesa na ponašanje procesa

- analiza utjecaja promjene temperature na konverziju, ravnotežnu koncentraciju i konstantu brzine reakcije

T / K X / - cA / mol dm-3 kA / min-1 273,15 0,0004 0,998 1,19 × 10-3 293,15 0,0084 0,991 1,74 × 10-3 313,15 0,0303 0,970 6,36 × 10-3 333,15 0,0895 0,911 1,99 × 10-2 353,15 0,2138 0,786 5,48 × 10-2 373,15 0,4030 0,597 1,35 × 10-1 393,15 0,6037 0,396 3,04 × 10-1 413,15 0,7602 0,240 6,34 × 10-1 433,15 0,8605 0,140 1,23 453,15 0,9189 0,081 2,26

Primjer 1.



Bezdimenzijski model procesa

- pojednostavljeni i transparentniji prikaz matematičkog modela procesa**

- cA,v = cA,0 – karakteristična (referentna) ulazna koncentracija procesa

- u – bezdimenzijska koncentracija

- q - bezdimenzijsko vrijeme

Ad 1du u k ut t

-= - ×A

A,0

cuc

=

d d d dd d d du t u ut t

tq q

× = × =

Ad 1du u k ut

t t× = - - × ×

tqt

=ddttq

=

Ad 1 ***du u k utq= - - × ×

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjemBezdimenzijski model procesa

- Da – Damköhlerov broj

- uS – bezdimenzijska koncentracija u stacionarnom stanju

- u stacionarnom stanju

- analitičko rješenje bezdimenzijskog matematičkog modela procesa***

S1

1u

Da=

+

ADa kt= ×

( )( ) ( ) ( )( )1(1 ) 1 0 0

1

DaDae e u Da uu

Da

qq

q+ ×- + × × - + + + ×

=+

Primjer 1.


Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjemBezdimenzijski model procesa

- simulacija procesa

- Da = 2; u(0) = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 i 1,0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00

0.25

0.50

0.75

1.00

u [-]

q [-]

u = 0 u = 0,2 u = 0,4 u = 0,6 u = 0,8 u = 1,0

Pravila modeliranja


- povezivanje eksperimenta i modela – učinkovito rješavanje realnihproblema na laboratorijskom, pilotnom i industrijskom nivou- analiza procesa – svrha modeliranja u procesnom inženjerstvu- analiza procesa – primjena znanstvenih metoda u definiranjuproblema i razvoj postupaka njihovog rješavanja- sustavni pristup modeliranju – sedam koraka postupkamodeliranja

Opis problema

Definiranje mehanizama

Skupljanje informacija o

sustavu

Postavljanje modela

Rješavanje modela

Provjera rješenja

Ocjena valjanosti

modela

1 2 3 4

567

Primjer 2.



V, cA, rA

qV,0, cA,0

qV, cA

1. Opis problema

1.a) Procesni sustav

- idealni protočni kotlasti reaktor (PKR)

- egzotermna reakcija prvog reda A ® B

- konstantan protok, qV,0 = qV- konstanta gustoća, r0 = r

- adijabatski sustav, Q = 0

1.b) Svrha modela

- predvidjeti promjenu koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A

Primjer 2.



2. Mehanizam procesa- kemijska reakcija, kinetika 1. reda

3. Skupljanje informacija o sustavu- procesni podatci potrebni za rješavanje problema:

- kinetički podatci, reakcijska entalpija

- fizikalno kemijska svojstva tvari (primjerice specifična toplinski kapacitet reaktanta)

- procesni uvjeti (ulazna koncentracija reaktanta, protok, početna temperatura, gustoća,…)

- literaturni i/ili eksperimentalni podatci, procijenjeni pomoću korelacijskih jednadžbi

Primjer 2.



4. Postavljanje modela4.a) Pretpostavke modela

- idealno miješanje

- konstantna fizikalno-kemijska svojstva tvari

- nema gubitaka tvari i energije u okolinu

4.b) Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata

- idealno miješanje omogućuje razvoj modela sa usredotočenim parametrima

- bilance tvari i energije za prostorni bilančni element – volumen reakcijske smjese (£ VR)

4.c) Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina

- zavisne promjenjive veličine: koncentracija reaktanta A, cA, i temperatura, T

- nezavisne promjenjive veličine: vrijeme, t

Primjer 2.



4.d) Zapis bilanci- bilanca tvari reaktanta A

- bilanca energije

A0 A

d *dn q q r Vt= - - ×

,0 ,UL ,IZ Ad **d V m V m rH q H q H H r Vt

r r= × ×D - × ×D - D × ×

Primjer 2.



4.d) Zapis mehanističkih i konstitutivnih veza

A 0

AER Tk k e

-×= ×

0 A,0Vq q c= ×

A A Ar k c= ×

A An c V= ×

( )P refH V c T TrD = × × × -

( )IZ IZP refH c T TD = × -

( )UL ULP refH c T TD = × -

AVq q c= ×

Primjer 2.



- iz bilance tvari reaktanta A*

- iz bilanca energije**

- početni uvjeti:

cA(t = 0) = cA,0

T(t = 0) = T0

( )AA,0 0 A

dd

AER T

AcV q c c k e c Vt

-×× = × - - × × ×

( )UL IZ AddP V P rTV c q c T T H r Vt

r r× × × = × × × - - D × ×

Primjer 2.



5. Rješavanje modela- sustav dvaju diferencijalnih jednadžbi prvoga reda

- definirani početni uvjeti

- primjena numeričkih metoda

6. – 7. Provjera rješenja i ocjena valjanosti modela- rezultate simulacije modela usporediti sa eksperimentalnim rezultatima realnog procesa

- primjena modela za predviđanje promjene koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A

Pravila modeliranja


Opis problema- definiranje procesnog sustava i svrhe modeliranja

Procesni sustav je dio stvarnog svijeta s definiranim fizikalnimgranicama.

Svrha modeliranja označuje predviđenu primjenu modela.

Potrebno opisati:- ulazne i izlazne veličine- vrstu prostorne ovisnosti (distribuirani ili usredotočeniparametri/stanja procesa)- vremenske ovisnosti u pretpostavljenom modela (statički ilidinamički)

Pravila modeliranja


Procesni sustav- sustav u kojemu se odvijaju fizikalno-kemijski i/ili biokemijskiprocesi- u modeliranju cjelovit tehnološki proces, dio procesa, procesnajedinica ili dio neke aparature- definiranje granica sustava- definiranje procesa koji se odvijaju unutar promatranog sustava- dijagram toka procesa ili shema procesnih tokova – grafički prikazrealnog procesnog problema sa pojednostavljenom shemom sustava

Pravila modeliranja


Procesni sustav- povezuje se sa okolinom preko ulaza i izlaza- ulazi dolaze iz okoline i nisu direktno povezani sa događajima usustavu- izlazi su odziv odnosno odgovor sustava okolini

ULAZ IZLAZsustavx!

y!"

Procesni parametri

Procesni parametri su veličine koje se ne mijenjajutijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju)proces.

Procesni parametri se procijenju na temelju mjernihpodataka. Ne mjere se direktno (npr, konstanta brzinekemijske reakcije k, energija aktivacije Ea).

Pravila modeliranja


Procesne varijable

… su veličine koje se mijenjaju i mjere tijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju) proces.

- zavisne

- nezavisne

Pravila modeliranja


Procesne varijable

MASA TVARI - m

VRIJEME - t

PROCESNE VARIJABLE, KOJE OZNAČAVAJU KEMIJSKI SASTAV TVARI :množina tvari-n, molarni udio–x ili y, maseni udio-w, volumni udio-j i koncentracija–c,g.

PROCESNE VARIJABLE KOJE SE IZVODE IZ MASE I VOLUMENA:gustoća- r, relativna gustoća-d i specifični volumen-v.

PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU TOK TVARI:maseni protok-q , volumni protok- qv i molarni protok-qm

PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU STANJE PROCESA:temperatura – T i tlak - p

Pravila modeliranja


Pravila modeliranja


Svrha modeliranja- definira složenost modela procesa i matematički opis razvijenogmodela- dinamička simulacija- stacionarna simulacija- projektiranje procesa- vođenje procesa

Svrha modeliranja


Dinamička simulacija- svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako je ta promjena značajnazovemo ih dinamičnim sustavima- u dinamičnim sustavima izlazne veličine ovisne o dinamičkojpromjeni ulaznih veličina, a ne samo o trenutnoj vrijednosti ulaznihveličina- model dinamičnog sustava daje vremensku promjenu izlaznihveličina za dane vrijednosti ulaznih veličina, uz pretpostavljenustrukturu modela i parametre procesa

Svrha modeliranja


Stacionarna simulacija- svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako ta promjena ne utječe naodziv procesa govorimo o stacionarnom stanju sustava- model stacionarnog procesa daje ovisnost izlaznih veličina za danespecifične ulazne veličina, uz pretpostavljenu strukturu modela iparametre procesa

Svrha modeliranja


Projektiranje procesa- primjena modela u svrhu procjene vrijednosti bitnih parametaraprocesa na temelju poznatih ulaznih veličina, poznatih i željenihizlaznih veličina i za prethodno definirane strukture modela- rješenje pomoću primjene različitih optimizacijskih tehnika, kojigeneriraju takve vrijednosti parametara procesa, da je odstupanjeizmeđu poznatih i/ili željenih izlaznih veličina i izlaznih veličina kojegenerira model minimalno

Svrha modeliranja


Vođenje procesa- primjena dinamičkih ili stacionarnih modela zajedno sa mjerenimvrijednostima ulaznih i/ili izlaznih veličina u svrhu:- izračuna vrijednosti ulaznih veličina za koje se dobivajuprimjereni odzivi procesa- promišljeno pronalaženje odgovarajuće strukture modelazajedno s pripadajućim parametrima temeljeno na poznavanjuulaznih i izlaznih veličina procesa- procjena stanja i parametara modela definirane strukture kojinisu mjerljivi- prepoznavanje i otklanjanje pogrešaka u sustavu vođenjaprocesa

Pravila modeliranja


Definiranje mehanizama- definiranje fizikalno-kemijskih i biokemijskih procesa i pojava kojise odvijaju u promatranom sustavu- ovisno o svrsi modeliranja definiramo mehanizme procesa namolekularnoj, mikroskopskoj ili makroskopskoj razini- ovisno o svrsi i početnim uvjetima definiramo smislenepretpostavke i pojednostavljenja procesa- uobičajeni mehanizmi u modeliranju procesa:

- reakcijska kinetika, prijenos topline, prijenos topline konvekcijom, radijacija,difuzija tvari, konventivni prijenos tvari, prijenos tvari i topline kroz granični sloj,promjena agregatnog stanja, rast i odumiranje živih organizama, metabolički putovi isl.

- mehanizmi predstavljaju parcijalne modele cjelokupnogaprocesnog modela

Pravila modeliranja


Skupljanje informacija o (realnom) sustavu- kombinirani matematički modeli (gray box models)- direktno mjerenje vrijednosti parametara modela ili procjenaparametara temeljem korelacijskih jednadžbi- prikaz procesnih podataka i parametara modela zajedno saintervalom pouzdanosti- točnost mjerenja u industrijskim procesima �10 % – �30 %;pogreška procjene parametara modela dobijenih ulaboratorijskim ili pilotnim pokusima �5 % – �20 %; točnostpodataka reakcijske kinetike >� 10 %

- nedovoljno literaturnih podataka i/ili rezultata pokusa potrebnihza izračun parametara procesa ® potrebna dodatnapojednostavljenja u koracima 1 i 2

Pravila modeliranja


Postavljanje modela- izvedba ovoga koraka u razvoju modela daje modelu matematičkiznačaj i opravdava njegovo ime – matematički model- jednadžbe opisa promjena u nekom sustavu:

- algebarske- diferencijalne

- diferencijalne jednadžbe – bilance tvari i energije- algebarske jednadžbe – mehanističke jednadžbe- koraci u postavljanju modela:- pretpostavke modela- određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnihelemenata- definiranje karakterističnih promjenjivih veličina- zapis bilanci (tvari, energije, količine gibanja)- zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza

Pravila modeliranja


Rješavanje modela- izbor tehnike rješavanja matematičkog modela procesa

- analitičko rješenje- numeričke metode

- analitička rješenja kompleksnih matematičkih modela procesa nepostoje ili je njihovo određivanje vremenski zahtjevno- numeričke metode omogućuju rješavanje najkompleksnijihmatematičkih modela procesa (kratkoročna vremenska prognoza –rješavanje sustava od 105 – 106 parcijalnih diferencijalnih jednadžbi)- razvoj numeričkih metoda povezan sa razvojem računala- malo poboljšanje numeričkih algoritama utječe na vrijemeračunanja, kapacitet računala, točnost, pouzdanost i stabilnostrješenja- Taylor, Euler, Runge-Kutta (diferencijalne jednadžbe), Laplace,metoda razlika, metoda linija, kolokacije, (parcijalne diferencijalnejednadžbe), Simpson, trapez (integrali),…

Pravila modeliranja


Provjera rješenja- da li se model ponaša korektno? (TMODEL = -15 K)- da li model daje očekivane odgovore?- Provjera rješenja ¹ Ocjena valjanosti modela

Pravila modeliranja


Ocjena valjanosti modela- primjena modela moguća tek nakon ocjene ili potvrde njegovevaljanosti- usporedba rezultata simulacije modela sa nezavisnim opažanjima(mjerenjima) ili pretpostavkama- ovisna o procesnom sustavu, svrsi modeliranja i mogućnostipridobivanje nezavisnih opažanja za njegovu potvrdu- mogući postupci u ocjeni valjanosti modela:

- eksperimentalna provjera pojednostavljenja i pretpostavki modela- usporedba ponašanja modela i ponašanja realnoga sustava- razvoj analitičkih modela za pojednostavljene primjere- usporedba s drugim modelima, razvijenim za slične realne probleme- usporedba rezultata simulacije modela direktno sa procesnim podatcima(mjerenjima) - najuobičajenije!!!!

Pravila modeliranja


Ocjena valjanosti modela- svojstva modela koja omogućuju ocjenu njihove valjanosti

- točnost – model je točan ako su njegovi odzivi zadovoljavajuće blizu odzivimarealnog sustava- realnost opisa sustava – model se temelji na pretpostavkama o mehanizmimadjelovanja sustava koji su slični onima u realnom sustavu- preciznost – jednoznačnost rješenja (primjerice odziv procesa je krivulja, a neskup krivulja)- robusnost – relativna neosjetljivost modela na šumove prisutne u ulaznimpodacima- općenitost – mogućnost opisivanja širokog područja problema

- ne smije se provoditi sa podatcima korištenim u njegovu razvoju- parametarska analiza – analiza osjetljivosti procijenjenihparametara procesa- tumačenje rezultata simulacije modela- dokumentacija

Pravila modeliranja


Pretpostavke modela- utječu na rezultate simulacije modela- povezane sa jednadžbama modela i pripadajućim početnim irubnim uvjetima- najuobičajenije pretpostavke:

- vremenske karakteristike (stacionaran ili nestacionaran proces)- prostorne karakteristike (jedno-, dvo- ili tro-dimenzionalan problem)- vrste protoka (laminarno strujanje, čepoliko strujanje, povratnomiješanje…)- mehanizme (primjerice, brzina reakcije je zanemariva u odnosu s brzinomprijenosa tvari)- svojstva tvari (postojanje ili nepostojanje temperaturnih ili koncentracijskihovisnosti fizikalno-kemijskih svojstava tvari)- tražena točnost procijenjenih parametara, izlaznih veličina i sl.- geometrija sustava (zrno katalizatora opisujemo pravilnim sferičnimoblikom,…)

Pravila modeliranja


Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata- prostorni bilančni element (volumen reakcijske smjese u Primjeru1.)- realni sustavi – kompleksni za zadovoljavajuće opisivanje potrebnonjihovo dijeljenje na podsustave (faze u višefaznim sustavima,katalizatori i punila u kolonama, ugrađeni grijači)

Pravila modeliranja


Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina- povezane sa ulaznim i izlaznim veličinama sustava, kao i sa stanjemunutar sustava- uobičajene promjenjive ulazne i izlazne veličine:- tokovi tvari u masenim, množinskim i prostornimkoncentracijama- temperatura (bilance energije)- tlak- …

Pravila modeliranja


Zapis bilanci- tvari, energije, količine gibanja- za definirani prostorni bilančni element- za sustav i sve podsustave

Pravila modeliranja


Zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza- jednadžbe koje definiraju:- brzinu reakcije- brzinu prijenosa tvari, topline, količine gibanja- ravnotežna stanja- termodinamičke jednadžbe stanja i sl.

Documents

sustavski pristup modeliranju - unizg.hr · B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju Protočnikotlastireaktor(PKR)sidealnimmiješanjem Parametarska