1

44.. SSTTRRUUCCTTUURRII DDEE CCOOMMUUTTAAŢŢIIEE MMUULLTTII--TTRREEAAPPTTĂĂ

4.1 STRUCTURI MONO-TREAPTĂ (CROSSBAR)

Comutatorul spaţial cu o singură treaptă este definit ca o matrice de puncte de conexiune (PC), comandate din exterior prin intermediul unităţii de comandă şi control (UCC). Matricea de conexiune are MN porturi şi este reprezentată în Fig. 4.1.

Por

tul 1

Por

tul 2

Por

tul 3

Por

tul M

-2

Por

tul M

-1

Por

tul M

Por

tul j

Fig. 4.1 Comutatorul mono-treaptă (crossbar)

Comutatorul, spaţial cu treaptă unică, tip crossbar asigură: interconectarea totală a tuturor porturilor; număr maxim al punctelor de conexiune în raport cu numărul

porturilor interconectate: MNNPC , dacă MN , 2NNPC ;

număr minim al rutelor interne pentru o pereche unică de porturi ji, :

rute 1N ;

probabilitatea de blocaj intern nulă: blocaj_ intern 0P .

2

De remarcat totuşi că unele dintre caracteristicile prezentate anterior se constituie în dezavantaje, de exemplu:

numărul de puncte de conexiune este maxim, în contextul în care preţul unui astfel de comutator este direct proporţional cu numărul de puncte de conexiune preţul devine maxim;

numărul de rute interne pentru o pereche de porturi ji, este 1, ruta internă fiind unică. În cazul defectării unui punct de conexiune, ruta care depindea de el nu se mai poate constitui şi, ca urmare, perechea de porturi ji, nu mai poate fi interconectată.

Pentru a diminua din dezavantajele menţionate anterior a fost definit un set de criterii pentru proiectarea optimală a acestor structuri de comutaţie.Aceste structuri sunt formate din grupuri de comutatoare cu o treaptă tip crossbar ale căror porturi de intrare şi ieşire sunt corelat interconectate cu ajutorul unor funcţii de permutare.

Criterii de proiectare optimală a comutatoarelor spaţiale multi-treaptă: asigurarea interconectării totale: ji , orice port de intrare să

poată fi rutat către orice port de ieşire; minimizarea punctelor de conexiune echivalente întregii structuri:

minimPCN ;

asigurarea unui număr maxim de rute interne între porturi:

rute maximN ;

minimizarea probabilităţii de blocaj intern: blocaj_ intern minimP .

În raport cu un sistem de comutaţie la nivel reţea se pot clasifica tipurile de conexiuni.

Tipuri de conexiuni (Fig. 4.2): locale, abonatul sursă şi abonatul destinaţie sunt conectaţi la acelaşi

comutator; de intrare, abonatul destinaţie este conectat la comutator, iar apelul

soseşte de la o altă centrală prin intermediul unei joncţiuni; de ieşire, abonatul sursă este conectat la comutator, iar apelul pleacă

către o altă centrală prin intermediul unei joncţiuni; de tip tranzit, niciunul dintre partenerii unei convorbiri nu sunt

conectaţi la acel sistem de comutaţie, apelul soseşte şi pleacă prin intermediul joncţiunilor.

Observaţii: abonat sursă, iniţiatorul convorbirii; abonat destinaţie, abonatul apelat de către iniţiatorul convorbirii.

3

După iniţiere, convorbirea este bidirecţională, nu se poate defini un sens al convorbirii.

Fig. 4.2 Tipuri de convorbiri

Observaţie: Funcţie de numărul mediu de centrale intermediare ce contribuie la formarea unei conexiuni, volumul traficului de tip tranzit poate depăşi ca pondere 80% din volumul total al traficului gestionat de o centrală. De exemplu, dacă o convorbire internaţională se realizează prin intermediul a zece sisteme de comutaţie, două dintre ele respectiv cele terminale realizează trafic de ieşire, respectiv intrare, iar alte opt realizează trafic de tip tranzit.

Fig. 4.3 Definirea traficului de tip tranzit

Traficul de tip tranzit este dependent de dimensiunea reţelei de comunicaţii, dar este corelat şi cu algoritmul de rutare utilizat, precum şi cu politica de management trafic la nivel reţea.

4

4.2 STRUCTURI MULTI-TREAPTĂ CU DOUĂ TREPTE

Se pleacă de la comutatorul crossbar MN şi se formează structura treptei 1 cu module de tip ba şi treapta 2 cu module tip dc . Se va respecta principiul accesibilităţii totale (Fig. 4.4).

Fig. 4.4 Structura generică multi-treaptă cu 2 trepte

La nivelul structurii din Fig. 4.4 se definesc unii parametri relevanţi în compararea eficienţei structurii. În Tabelul 4.1 sunt analizate caracteristicile referitoare la numărul porturilor, punctelor de conexiune, eficienţa utilizării acestora, precum şi numărul de rute interne aflate la dispoziţie pentru o combinaţie de porturi intrare-ieşire de tip ji, .

Tabelul 4.1 Parametrii globali comparativi

Parametrii Crossbar General 2Nr. porturi intrare R RNr. porturi ieşire S SNr. PC – treapta 1 - bRNr. PC – treapta 2 - ScNr. total PC SR ScbR

Nr. ieşiri din treapta 1 - ba

R

Nr. intrări în treapta 2 -d

Sc

Trasee interne 1 k

5

Pentru a putea compara parametrii definiţi în Tabelul 4.1 pentru cazul general vom folosi două exemple prezentate în Fig. 4.5.

Fig. 4.5 Exemple de structuri multi-treaptă cu 2 trepte

În Tabelul 4.2 sunt analizate caracteristicile referitoare la numărul de puncte de conexiune, eficienţa utilizării acestora, precum şi numărul de rute interne aflate la dispoziţie pentru o combinaţie de porturi intrare-ieşire de tip

ji, .

Tabelul 4.2 Parametrii comparativi: Crossbar, Exemplul nr. 1, Exemplul nr. 2

Parametrii Crossbar Exemplul 1 Exemplul 2Nr. porturi intrare 15 15 15Nr. porturi ieşire 16 16 16Nr. PC – treapta 1 - 60 60Nr. PC – treapta 2 - 48 96Nr. total PC 240 108 156Trasee interne 1 12 12Câştig utilizare PC 1 2,22 1,53

PC – puncte de conexiune

Compensarea blocajului intern pe structurile multi-treaptă se poate face prin utilizarea unor structuri de tip concentrator sau distribuitor. În Fig. 4.6 sunt prezentate două astfel de structuri care prezintă un număr diferit de rute interne la dispoziţie pentru a putea realiza conexiuni între porturile intrare-ieşire.

Numărul de porturi intrare-ieşire rămâne acelaşi. Numărul de puncte de conexiune este diferit:

BAkBkkANPC 1111 (4.1)

BAkBkkANPC 2222 (4.2)

6

Având în vedere faptul că: 21 kk , rezultă evident că:

21 PCPC NN (4.3)

Însă, câştigul utilizării punctelor de conexiune în raport cu comutatorul crossbar este diferit:

(crossbar)

(structură)PC

PC

N

N (4.4)

Fig. 4.6 Compensarea blocajului intern prin mărirea rutelor alternative

1

1 1

(crossbar)PC

PC

A BN

N k A B

(4.5)

2

2 2

(crossbar)PC

PC

A BN

N k A B

(4.6)

având în vedere faptul că 21 kk , rezultă însă că:

1 2 . (4.7)

Ca urmare, o eficienţă mai bună în utilizarea punctelor de conexiune conduce la creşterea probabilităţii de blocare internă ca urmare a numărului mai mic de rute interne aflate la dispoziţie.

În funcţie de raportul dintre valoarea lui N (numărul de porturi de intrare) şi a lui M (numărul de porturi de ieşire) putem defini comutatoarele crossbar ca fiind:

pătrate, dacă MN ; concentratoare, dacă MN (Fig. 4.7); distribuitoare, dacă MN (Fig. 4.7).

7

Fig. 4.7 Structură multi-treaptă cu 3 trepte

Îmbunătăţirea structurilor multi-treaptă cu 2 trepte se poate face prin inserarea unei trepte intermediare şi trecerea la o structură cu trei trepte(Fig. 4.7).

Se poate obţine astfel o creştere a fiabilităţii sistemului prin creşterea numărului de rute interne de câteva ori.

Apare de asemenea probabilitatea blocajului intern astfel, există situaţii în care deşi porturile de intrare şi de ieşire sunt libere, nu se găseşte o cale liberă în interiorul treptei 2. Acest lucru însă este diminuat faţă de structura cu 2 trepte.

Scade numărul de puncte de conexiune total:

KNNPC 1 (4.8)

M

K

M

NMKMMMNiNN

iPCPC 122

3

13 (4.9)

Exemplu numeric:Pentru: 200 ,10 ,100 KMN , se obţine:

000.202001001 PCN (4.10)

şi

310020001001000200101010101003 PCN (4.11)

astfel, câştigul punctelor de conexiune este:

1 200006,45

3 3100PC

PC

N

N (4.12)

Numărul de rute alternative este egal cu:

10 LM (4.13)

Comutatorul echivalent este total accesibil, adică orice port de intrare Npoate accesa orice port de ieşire K .

8

4.3 STRUCTURI MULTI-TREAPTĂ CU TREI TREPTEDE TIP CLOS

Sunt structuri de comutaţie multi-treaptă cu 3 trepte, astfel dimensionate pentru a se elimina blocajul intern (Fig. 4.8).

Treapta 1: aN

module de tip pa .

Treapta 2: P module de tip

bM

aN

.

Treapta 3: bM

module de tip bp .

Determinarea optimală a numărului de blocuri P de tip

bM

aN

din

treapta 2 astfel încât structura să nu devină blocabilă este problema Clos.

Fig. 4.8 Structura Clos cu 3 trepte

Determinarea soluţiei la problema Clos se poate face în două moduri: grafic şi analitic.

Soluţia grafică este prezentată în Fig. 4.9. Pentru demonstraţie se fac următoarele presupuneri pentru cazul cel mai defavorabil:

toate intrările cu excepţia uneia dintr-un modul pa din treapta 1 ocupă 1a module din treapta 2;

toate ieşirile cu excepţia uneia dintr-un modul bp din treapta 3 ocupă 1b module din treapta 2, altele decât cele de sus;

pentru realizarea unei interconectări intre intrarea liberă din modulul treptei 1 şi ieşirea liberă din modulul treptei 3 mai este nevoie de un modul de tip mn în treapta intermediară 2.

9

Astfel numărul de module din treapta intermediară (Condiţia Clos) devine:

1111 babap (4.14)

Fig. 4.9 Demonstraţie grafică structura Clos

Pentru fi mai sugestivă eficienţa utilizării unor astfel de structuri în cadrul structurilor multi-treaptă sunt prezentate în Fig. 4.10, Fig. 4.11 şi Fig. 4.12 treiexemple numerice.

Diferenţele dintre cele trei exemple constau în alegerea unor structuri diferite la nivelul modulelor crossbar. Se păstrează acelaşi număr de porturi de intrare şi de ieşire. Se observă că simpla rearanjare în module funcţionale a conexiunilor interne conduce la un număr echivalent de puncte de conexiune diferit la nivelul fiecărei structurii de comutaţie.

10

Fig. 4.10 Exemplu 1 de calcul pentru structura Clos 3

Fig. 4.11 Exemplu 2 de calcul pentru structura Clos 3

Fig. 4.12 Exemplu 3 de calcul pentru structura Clos 3

11

Condiţia Clos pentru reţele non-blocabile:

1 bap , (4.15)

unde: p - numărul de blocuri tip

b

M

a

Ndin treapta a II-a;

a - numărul de intrări în blocurile tip pa din treapta I;b - numărul de ieşiri în blocurile tip bp din treapta a III-a.

Condiţia Clos pentru reţele strict non-blocabile:

1 bap . (4.16)

Numărul de puncte de conexiune ClosPCN al reţelei Clos:

IIIPCIIPCIPCClosPC NNNN (4.17)

MpbM

aN

ppNN ClosPC

(4.18)

Dacă: MN şi nba , se obţine:

Np

nN

nN

ppNN ClosPC

2

2

2

2122n

NNn

n

NNp (4.19)

După derivare se obţine n optim ca fiind:2

Nn , cu această valoare se

determină numărul minim de puncte de conexiune al reţelei Clos 3 ca fiind:

124min NNN ClosPC . (4.20)

În Tabelul 4.3 sunt prezentate comparativ numărul punctelor de conexiune echivalent dintre structura crossbar şi Clos 3 optim.

Tabelul 4.3 Echivalente Crossbar şi Clos 3 optim

Număr de puncte de conexiuneNr. intrări

Crossbar Clos 3128 16.384 76801024 1.048.576 181.2672048 4.194.304 516.0968192 67.108.864 4.161.536

12

Structurile de tip Clos se pot extinde iterativ la 5, 7, ... trepte dacă se păstrează principiile enunţate la structura cu trei trepte. În Fig. 4.13 este prezentată o structură Clos cu 5 trepte. Valoarea lui 2p este calculată conform condiţiei Clos pentru structura echivalentă din treptele 2, 3 şi 4, iar valoarea 1peste calculată pentru structura echivalentă Clos formată din treapta 1 treapta (2,3 şi 4) şi treapta 5.

Fig. 4.13 Sisteme Clos 5 obţinute prin recurenţă plecând de la Clos 3

4.4 IMPLEMENTARE STRUCTURI MONO-TREAPTĂ (CROSSBAR)

Structura internă a unui comutator de tip crossbar este prezentată înFig. 4.14.

Fig. 4.14 Structura internă a comutatorului crossbar

13

Comutatorul are o arie de comutaţie de 16 linii şi 8 coloane echivalent 128 puncte de conexiune şi permite transferul informaţiei între cele 8 porturi de intrare şi 16 porturi de ieşire prin activarea controlată a punctelor de conexiune.

Structura echivalentă a matricei de comutare este prezentată în Fig. 4.15.

Fig. 4.15 Comutatorul crossbar echivalent 8 × 16

Comutatorul crossbar, compunere: arie de 128 de puncte de conexiune organizată într-o matrice de

16 linii şi 8 coloane; zonă de memorie de 128 de biţi adresabilă prin intermediul unui

decodor de adrese tip 7 la 128; zonă de memorie tampon pentru accesul sincronizat la matricea de

comutare.

Descrierea funcţionării pe baza diagramei de semnal din Fig. 4.16: semnalele de la pinii CS şi STROBE formează printr-un SI logic

pentru activarea circuitului; biţii de adresă se citesc pe frontul crescător al lui STOBE şi se

memorează pe frontul său descrescător; biţii de date se citesc pe frontul descrescător al lui STROBE. Dacă

au valoarea 1 logic, activează punctul de conexiune; RESET activ pe OL conduce la deschiderea tuturor punctelor de

conexiune, practic resetează memoria de 128 biţi scriind în fiecarelocaţie O logic.

1

2

3

16

1 2 8

14

Fig. 4.16 Diagrama semnalelor

Funcţionarea decodorului de adrese este prezentată în Tabelul 4.4.

Tabelul 4.4 Decodorul de adrese

15

4.5 FUNCŢII DE PERMUTARE ÎN STRUCTURILE MULTI-TREAPTĂ

Pentru structurile multi-treaptă o problemă deosebită o constituie maniera de interconectare a porturilor. Pentru a soluţiona această problemă se utilizează funcţii specifice de permutare.

O funcţie de permutare este un sistem fără memorie, cu N intrări şiN ieşiri interconectate conform unei funcţii bijective. Dacă notăm cu

}1,...,3,2,1,0{ NM mulţimea ordonată a nodurilor de intrare sau de ieşire, atunci permutarea este definită ca o bijecţie:

MMp : (4.21)

cu ,)( yxp unde Myx , .

Permutările cele mai des utilizate în studiul reţelelor de conexiune sunt: permutarea cu schimbare de ordin k; permutarea cu amestec perfect; permutarea de tip „fluture”; permutarea cu inversare a biţilor; permutarea prin deplasare.

4.5.1 Permutarea cu schimbare de ordin k

Se defineşte folosind relaţia:

1( ) ( ) 2 mod2 2 mod2

2k k k k

k kxS x x

, (4.22)

unde k este ordinul permutării, iar a este partea întreagă a lui a .Relaţia are o interpretare simplă dacă considerăm reprezentarea binară a

lui x cu n biţi: 021 ,...,, bbbx nn .

Cu această notaţie se vede că

kx

2 este rezultatul unei deplasări la

dreapta a lui x cu k poziţii şi pierderea celor mai puţin semnificativi biţi.După înmulţirea cu k2 partea întreagă revine în poziţia iniţială (în

reprezentarea binară), iar cei mai puţin semnificativi k biţi sunt zero.De exemplu, pentru 2k :

0,0,...,,22 21

22

nn bbx . (4.23)

16

Expresia x mod k2 reprezintă cei mai puţin semnificativi biţi din x , iar adunarea cu 12 k reprezintă schimbarea prin adunarea modulo 2 unui cuvânt binar având 1 pe poziţia bitului de ordin 1k , ceea ce este echivalent cucomplementarea bitului de ordin 1k .

Exemplu pentru 8 porturi şi 1k , prezentat în Fig. 4.17.

Fig. 4.17 Schimbare de ordin k (cu k = 1)

4.5.2 Permutarea cu amestec perfect (perfect shuffle)

Se obţine prin împărţirea mulţimii nodurilor în două submulţimi şi intercalarea lor. Transformarea este de fapt o permutare circulară spre stânga cu o poziţie a cuvântului binar asociat lui x :

1032 ,,...,, bbbb nn (4.24)

Analizând expresia, se observă că vectorul 0,,...,, 032 bbb nn reprezintă nx 2mod)2( , deci cele două grupe de intrări, definite prin 0,,...,, 032 bbb nn şi

1,,...,, 032 bbb nn se interconectează la ieşirile cu număr par, respectiv impar, după cum 1nb este 0 logic sau 1 logic.

Se pot defini şi amestecuri parţiale prin permutări numite de subamestec (amestec prin permutare pe primii k biţi, iar restul rămân nemodificaţi) sau superamestec (amestec prin permutarea ultimilor k biţi):

),...,,,,...,()( 0211)()( bbbbbaxa kkknkk

1021 ,,...,,,..., kkkn bbbbb (4.23)

şi

),...,,,,...,()( 0211)()( bbbbbaxa kknknnkk

0112 ...,,,,..., bbbbb knnknn (4.24)

17

Prin funcţia de tip subamestec se defineşte un număr de kn2 grupe de intrări/ieşiri. În interiorul fiecărei grupe se face amestec perfect. În cazul superamestecului, se permută ciclic cei mai semnificativi k biţi, iar ultimii

kn rămân nemodificaţi. Amestecul total are avantajul sporirii accesibilităţii în rutele de conexiune.

Exemplu pentru 8 porturi, prezentat în Fig. 4.18.

Fig. 4.18 Exemplu amestec perfect

4.5.3 Permutarea fluture

Se obţine prin permutarea primului şi ultimului bit din vectorul binar ce îl exprimă pe x :

),,...,,(),...,,()( 1120021 nnnn bbbbbbbfxf . (4.25)

Se pot defini şi permutări de tip subfluture şi superfluture prin inversarea poziţiilor a doi biţi situaţi la distanţa 1k , astfel:

),,...,,,,...,(),...,,...,()( 11201011)()( kkknkknkk bbbbbbbbbbfxf (4.26)

pentru subfluture şi:

),...,,,,...,,()( 01112)()( bbbbbbfxf knnknnknkk (4.27)

pentru superfluture.Exemplu pentru 8 porturi, prezentat în Fig. 4.19.

Fig. 4.19 Permutare fluture

18

4.5.4 Permutarea cu inversare a biţilor

Acest tip de permutare se bazează pe relaţia:

),...,,()( 110 nbbbxf . (4.28)

Subinversarea presupune inversarea celor mai puţin semnificativi k biţi. Superinversarea realizează inversarea pentru cei mai semnificativi k biţi.

4.5.5 Permutarea prin deplasare

Permutarea prin deplasare se face prin adunarea unei unităţi şi ajustarea modulo n2 , sub forma:

nxxf 2mod)1()( . (4.29)

Subdeplasarea realizează operaţia de adunare modulo numai pentru primii k biţi.

Superdeplasarea execută aceeaşi operaţie pe cei mai semnificativi k biţi. Pentru subdeplasare:

( ) ( ) 2 ( 1)mod22

k kk k

xf x x

. (4.30)

Pentru superdeplasare:

( ) ( ) 2 mod2n k nkf x x . (4.31)

Exemplu pentru 8 porturi, prezentat în Fig. 4.20.

Fig. 4.20 Permutare prin deplasare

19

4.6 REŢELE MULTI-TREAPTĂ

4.6.1 Reţele cu comutatoare binare

Un comutator binar este echivalent cu o matrice pătrată 22 . Dacă notăm cu 1x , 2x intrările şi cu 1y , 2y ieşirile unui astfel de comutator, el poate realiza funcţiile:

identică: 11 xy şi 22 xy ; inversare: 21 xy şi 12 xy ; difuzare: 1x : 121 xyy ; difuzare: 2x : 221 xyy .Presupunem că semnalul de intrare pe 1x sau 2x dispune de un bit – de tip

etichetă care indică ieşirea dorită 0 sau 1. Comutatorul foloseşte acest bit şi prin analiză poate decide rutarea către ieşirea notată cu 0 sau cu 1, conform bitului etichetă.

Comutatoarele binare sunt utilizate în reţelele de conexiune cu una sau mai multe trepte, eventual însoţite de reţele de permutare înainte şi după lanţul paralel de comutatoare.

Structura din Fig. 4.21 reprezintă o treaptă de comutatoare binare precedată de o reţea fixă de permutare succedată de o reţea cu permutarea inversă 1 .

Se obţine astfel o structură flexibilă prin comanda individuală a comutatoarelor.

Fig. 4.21 Comutatoare binare cu funcţie de permutare

Fiecare comutator binar poate executa una din cele patru funcţii definite mai sus, pentru comanda comutatorului fiind necesari 2 biţi, câte unul pentru fiecare treaptă de selecţie. Cei 2 biţi pot proveni chiar din structura semnaluluide intrare dacă se doreşte folosirea proprietăţii de autodirijare a comutatorului.

Funcţia de comutaţie aplicată asupra unui vector x cu N componente furnizat poate fi descrisă de relaţia:

20

1

2

210)1( ,...,,, NffffE (4.32)

În raport cu valorile celor doi biţi funcţia de comandă if poate fi descrisă de:

(1) , ,1,if s id h , (4.33)

unde:- 1s este permutarea cu inversare a biţilor;

- id este funcţia identică;- 1 este funcţia ce selectează la ieşire intrarea 1x ;- h este funcţia ce selectează la ieşire intrarea 2x .

Reţeaua din Fig. 4.21 este caracterizată de funcţia:1( ) ( ) (1) ( )E k k E k , (4.34)

unde este o funcţie de permutare ce precede treptele de selecţie.

4.6.2 Reţele tip Banyan

Aceste reţele au drumuri unice între perechile de porturi (intrare-ieşire). Utilizând comutatoare binare, se poate uşor obţine un demultiplexor în trepte

n2

1, unde n este numărul de trepte. Metoda poate fi aplicată pentru construcţia

unei reţele nn 22 prin extensia arborelui din Fig. 4.22.

Fig. 4.22 Demultiplexor cu comutatoare binare

21

O reţea Banyan se defineşte ca o structură cu mai multe intrări şi ieşiri, având un drum unic între o pereche de porturi de intrare şi o ieşire structură care poate fi descrisă printr-un graf orientat parţial ordonat, cu mai multe niveluridistincte.

Nodurile care nu au arce de ieşire se numesc vârfuri, iar cele care nu au arce de intrare se numesc de bază. Numărul de puncte de conexiune al reţelei Banyan este:

)2log(2 NN , (4.35)

unde s-a considerat: LFN .Reţeaua poate fi descrisă cu tripleta (F, S, L) fiind o dezvoltare recursivă

de ordin L a reţelei SF , unde S este numărul de arce de intrare (răspândirea unui nod - Spread), F este numărul de arce de ieşire (capacitatea de ieşire a unuinod – Fan Out), iar L reprezintă numărul de stagii (niveluri - Level).

Menţionăm în plus că, clasa Banyan se divide în două subclase: reţele Banyan neregulate în care comutatoarele pot fi de

dimensiuni diferite şi reţele Banyan regulate cu comutatoare elementare identice.

Pentru obţinerea grafului echivalent al reţelei de comutatoare dinFig. 4.22 se poate pleca de la Fig. 4.23:

Fig. 4.23 Dezvoltare iniţială reţea Banyan

Se va multiplica structura din Fig. 4.23, rezultând reprezentarea dinFig. 4.24.

Fig. 4.24 Multiplicare structură iniţială

22

Se obţine schema unei reţele de comutatoare Banyan 88 . Se observă că se asigură conectarea oricărei intrări la oricare ieşire, dar spre deosebire de un comutator Clos există o unică cale între o pereche de porturi intrare-ieşire.

Fig. 4.25 Graf echivalent reţea Banyan cu trei trepte şi 8 porturi

4.6.3 Reţele tip Delta

O reţea Delta se defineşte ca o structură de dimensiuni nn ba , construită din matrice de dimensiuni ba (aparţine clasei Banyan regulate).

Interconectarea treptelor se face astfel încât să existe un drum unic între o pereche intrare-ieşire.

Într-o reţea Delta, comanda unei matrice se poate face cu o singură cifră de adresă în baza b. Pentru n trepte (stagii) rezultă n cifre de adresă în baza b. Se pot defini şi reţele Delta generalizate cu comutatoare de dimensiuni diferite în diverse trepte. Interconectarea treptelor se face prin reţele de permutare cu amestec perfect. La modul general o reţea Delta de dimensiune nn ba poate fi reprezentată ca în Fig. 4.26.

Numărul de matrice în fiecare treaptă din cele n trepte rezultă din dimensiunile propuse nn ba iniţial în proiectare astfel:

numărul de matrice în treapta n :

1 nnbb

b ; (4.36)

numărul de legături între treapta 1n şi treapta n : 1 nba ; (4.37)

numărul de matrice în treapta 1n :

21 nn

babba ; (4.38)

23

numărul de matrice în treapta 1:01 ban . (4.39)

Fig. 4.26 Reţea Delta nn ba

Permutarea de ordin a permite împărţirea mulţimii de legături dintre două trepte în grupe. Fiecare legătură se conectează la matricea ba din treapta următoare.

Numărul total de comutatoare în reţeaua Delta este dat de:

babaNC

nn

(4.30)

unde ba .

Adresa D a unei ieşiri (destinaţii) în reţeaua Delta se scrie ca:

1 2 0, ,...,n n bD d d d (4.31)

cu

0

nj

jj

D d b

, (4.32)

unde jd sunt cifrele în baza b ale adresei scrise cu n cifre.

Fiecare cifră a adresei comandă comutatorul la care este conectată intrarea respectivă ( jd comandă etajul in ). Această proprietate poate fi

folosită pentru autodirijare prin reţea dacă mesajul comutat conţine în antetul său adresa D şi dacă fiecare comutator la care ajunge mesajul ştie să-şi extragă propria cifră de adresă pentru a executa comutaţia.

24

Printr-o metodă recursivă se poate obţine, plecând de la un comutator binar, o reţea Delta de ordinul k cu k2 intrări şi k2 ieşiri. Pe oricare intrare este aplicat mesajul care va ajunge mereu pe aceeaşi ieşire.

Un caz particular de reţea Delta este reţeaua rectangulară (Delta-b) în care ba .

Numărul total de matrice utilizat pentru reţeaua Delta-b este:1121 ... nnnn bnbbbb , (4.33)

iar numărul total de puncte de conexiune este 121 nnx bnbbnN . În

Fig. 4.27 este prezentată o reţea Delta de dimensiune 33 22 .

000

100

011

110

010

101

001

111

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

2

3

6

5

4

7

Fig. 4.27 Reţea Delta

Dacă o funcţie de permutare se aplică şi la intrarea în comutator, din reţea Delta rectangulară se obţine reţea Omega rectangulară, prezentată în Fig. 4.28.

Fig. 4.28 Reţea de comutatoare Omega

4.6.4 Reţea tip Benes

Reţelele de comutatoare cu căi multiple nu pot conecta oricare intrare la oricare ieşire simultan cum o fac cele cu permutări complete, ca de exemplu Clos, dar oferă mai mult decât o cale pentru o pereche intrare-ieşire.

25

Reţelele Benes sunt de regulă de dimensiune NN , cu un număr impar de stagii şi cu proprietatea că prin rearanjarea conexiunilor interne se poateelimina blocajul.

Structura Benes se poate obţine în mod recursiv (Fig. 4.29) plecând de la un comutator pătrat de tip NN şi punând problema înlocuirii sale cu o reţea cu mai multe stagii astfel încât să fie îndeplinite următoarele caracteristici:

numărul total de puncte de comutaţie mai mic decât NN ;

să includă două reţele de dimensiune 22NN în interiorul structurii;

posibilitatea eliminării blocajului intern prin rearanjarea conexiunilor.

Fig. 4.29 Generarea recursivă a reţelelor Benes

Pentru a se obţine accesibilitatea totală trebuie ca orice intrare sau ieşire

să aibă acces la ambele subreţele de dimensiune: 22NN .

Accesul la ambele subreţele se poate realiza cu comutatoare binare conectate la intrare şi la ieşire.

Principiul de descompunere se poate aplica mai departe în interiorul

fiecărei reţele 22NN . Există astfel 2

N comutatoare binare 22 în treapta 1

şi 2N comutatoare binare în treapta 3, iar numărul total de puncte de comutaţie

este mai mic decât cel al unui comutator crossbar de tip NN :

222 2 4

2 2XN N

N N

. (4.34)

Relaţia de mai sus este valabilă pentru 8N .

Relaţia din care rezultă numărul de puncte de comutaţie a impus condiţia 8N , ceea ce înseamnă că pentru o reţea Benes 44 , numărul de puncte de

comutaţie este 24, mai mare decât 16 necesare pentru o matrice pătrată 44 .

26

Fig. 4.30 Reţea Benes descompusă

Analizând problema blocajului intern al unei reţele Benes, se observă că

între oricare intrare şi oricare ieşire există 2N căi posibile (adică tocmai

numărul de comutatoare din stagiul median).Alegerea traseului se face după următorul algoritm: selecţie liberă a oricărei căi găsite libere între intrare şi stagiul median; urmată de o selecţie dirijată între stagiul median şi ieşire, specifică

comutatoarelor cu cale unică (calea este în acest caz indicată de adresa destinaţie).

Reţeaua Benes permite ca prin rearanjarea conexiunilor să se elimine blocajul intern. Un argument pentru această afirmaţie este faptul că reţeaua poate asigura orice permutare perechilor intrare-ieşire.

4.7 PROBABILITĂŢI DE BLOCAREALE STRUCTURILOR MULTI-TREAPTĂ

Comutatoarele strict fără blocare nu sunt folosite în practică decât foarte rar din raţiuni de ordin economic.

Calitatea serviciilor unei companii de telefoane se mai apreciază şi prin alţi parametrii, cum ar fi disponibilitatea, calitatea transmisiei, întârzieri în stabilirea legăturii.

O metodă de evaluare a probabilităţii de blocare se bazează pe metoda grafurilor de probabilitate.

Pentru un comutator spaţial cu trei stagii se poate construi grafulechivalent din Fig. 4.31.

27

Fig. 4.31 Graf Lee echivalent unui comutator cu trei stagii

În reprezentarea din Fig. 4.31 notaţiile utilizate au următoarea semnificaţie: p – este probabilitatea ca o linie de intrare/ieşire să fie ocupată; q – este probabilitatea ca o linie de intrare/ieşire să fie liberă, unde

pq 1 ; p – probabilitatea ca o legătură între treptele de comutaţie să fie

ocupată; q – probabilitatea ca o legătură între treptele de comutaţie să fie

liberă, unde 1q p .

β este un coeficient de expansiune a spaţiului şi se defineşte astfel kn .

Legătura dintre p şi p este dată de: pp . Se poate calcula astfel

probabilitatea de blocare a structurii ( B ) folosind relaţia:

21 1

kpB

. (4.37)

Metoda de determinare a blocajului intern Lee are dezavantajul că a presupus probabilităţi individuale de blocaj ca fiind independente. În realitate există o corelaţie între ele.

O analiză mai precisă a fost realizată de Jacobaeus care a ajuns la concluzia ca:

knk ppknk

nB

2

2

)2()!2(!

)!(, (4.38)

unde: n - numărul de intrări/ieşiri pentru o matrice din stagiul 1 sau 3,k - numărul de arii în stagiul 2 şi p reprezintă ponderea din timpul total în care intrarea este activă.

28

4.8 CONCLUZII

Studiul privind proiectarea reţelelor de comutaţie multi-treaptă a avut drept scop reducerea preţului de cost al acestora simultan cu controlul probabilităţii de blocaj intern.

Reţelele cu comutaţie multi-treaptă pot fi clasificate astfel: reţele cu permutări complete – Cos, Benes; reţele cu rută unică – Banyan; reţele cu rute multiple – Delta în cascadă, Banyan multiplicat; reţele tolerante la defectări – combinaţii ale tipurilor enunţate

anterior.Stabilirea rutelor şi dirijarea informaţiilor prin reţelele de conexiune se

face prin intermediul funcţiei de comandă. Comanda poate fi centralizată sau distribuită.

Prin comandă centralizată a comutaţiei înţelegem existenţa unei unităţi de comandă unice (la nivel logic şi chiar fizic) care generează comenzile către reţeaua de comutaţie pe baza: cererilor utilizatorilor, informaţiilor de rutare etc.

În comanda distribuită reţeaua de comutaţie asigură direct construcţia rutelor interne.

4.9 BIBLIOGRAFIE

[4.1]G. Niculescu, L. Ioan – Tehnici şi sisteme de comutaţie, Ed. MatrixRom, Bucureşti, 2001

[4.2]E. Borcoci – Sisteme de comutaţie digitale, Ed. Europa Nova, Bucureşti, 1994

[4.3]V. Drobotă – Reţele digitale în telecomunicaţii, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002

[4.4]J.C. Bellamy – Digital Telephony. Third Edition, Ed. John Wiley & Sons,Series in Telecommunications, New York, 2000

[4.5]R.A. Thompson – Telephone Switching Systems, Ed. ArtechHouse, Boston, 2000

[4.6]G. Niculescu, A. Dobre – Comutaţia telefonică electronică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1992

[4.7]T. Rădulescu – Telecomunicaţii, Ed. Teora, Bucureşti, 1997[4.8]S. Zahan – Telefonia digitală în reţelele de telecomunicaţii, Ed. Albastră,

Cluj-Napoca, 1997