Cap 1 Procese de Comutatie

Capitolul 1

PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAIE

1.1 IntroducereProcesele de conectare i deconectare ale aparatelor de comutaie implantate n sistemul electroenergetic apar fie ca urmare a unor avarii (suprasarcini i scurtcircuite) fie ca urmare a unor manevre cu scopul de a dirija energia electric sau n cazul unor revizii. Producerea unui scurtcircuit precum i comutaia efectuat de un aparat sunt fenomene ce sunt nsoite de regimuri tranzitorii, caracterizate fie prin cureni anormali, fie prin tensiuni anormale. Aceste mrimi anormale produc solicitri electrodinamice, termice i dielectrice pentru echipamentele de comutaie i instalaiile electrice n general. Aceste solicitri sunt n general de scurt durat i unilaterale (cureni foarte mari sunt nsoii de tensiuni mici i invers, tensiuni foarte mari sunt nsoite de cureni mici). Aceste solicitri trebuie cunoscute pentru a se ine cont de ele la dimensionarea aparatelor i echipamentelor electrice dar i la exploatarea acestora. Teoremele comutaiei Teorema a I-a a comutaiei Fluxul magnetic printr-o bobina, cu inductana L , variaz n mod continuu (nu prezint salturi), deci este o funcie continu. Matematic se exprim astfel:

(0 ) = (0 + )unde t = 0 este momentul comutaiei. Energia magnetic nmagazinat n cmpul magnetic al bobinei este dat de relaia:Wm = 1 2 Li 2

(1.1)

(1.2)

innd cont de relaia = Li relaia (1.2) se mai poate scrie astfel :Wm = 2 2L

(1.3)

ntruct energia magnetic este o funcie continu, rezult c i fluxul magnetic este o funcie continu. n ipoteza parametrilor constani ai circuitelor ( L = const. ) i innd cont de relaia de proporionalitate dintre flux i curent relaia (1.1) poate fi particularizat astfel :

i (0 ) = i (0 + )

(1.4)

ceea ce nseamn c un curent nu prezint salturi printr-o inductan ( di / dt ). Teorema a II-a a comutaiei Sarcina electric la bornele unui condensator, cu capacitaea C variaz n mod continuu (nu prezint salturi), deci este o funcie continu. Matematic se exprim astfel:

Ioan C. POPA: ECHIPAMENTE ELECTRICE - vol. 1

q (0 ) = q (0 + )

(1.5)

Energia electric nmagazinat n cmpul electric dintre armturile condensatorului este dat de relaia:We = 1 Cu 2 2

(1.6)

innd cont de relaia q = Cu relaia (1.6) se mai poate scrie astfel :We = q2 2C

(1.7)

ntruct energia electric este de asemenea o funcie continu n timp, rezult c i sarcina electric este o funcie continu. n ipoteza parametrilor constani ai circuitelor ( C = const.) i innd cont de relaia de proporionalitate dintre sarcina electric i tensiune, relaia (1.5) poate fi particularizat astfel :

u (0 ) = u (0 + )

(1.8)

ceea ce nseamn c tensiunea la bornele unui condensator variaz continuu i nu n salturi ( du / dt ). Exemple de aplicare a teoremelor comutaiei. 1. Conectarea circuitului RL la tensiune continu. Se consider un circuit format dintr-o bobin de inductivitate L conectat n serie cu un rezistor de rezisten R i alimentate la o surs de t.e.m constant u (t ) = U prin intermediul ntreruptorului k la momentul t = 0 (fig. 1.1). Expresia curentului prin circuit se determin din ecuaia diferenial a circuitului (ecuaie diferenial liniar cu coeficieni constani, neomogen, de ordinul I) :Ri (t ) + L di (t ) =U dt

(1.9)

Fig. 1.1 Conectarea unui circuit RL la o surs de tensiune continu Soluia general a ecuaiei (1.9) este format din suprapunerea a dou componente :i (t ) = i f (t ) + i l (t )

(1.10)

2

Capitolul 1: PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAIE

unde i f (t ) este componenta forat i reprezint o soluie particular a ecuaiei neomogene (ecuaia 1.9) i este de forma termenului liber al ecuaiei, adic un termen constant n acest caz. Se caut deci o soluie ai carei parametri se determin complet prin substituie n ecuaie i identificare. Termenul liber U n cazul nostru fiind constant, se caut o soluie constant i f (t ) = I care nlocuit n relaia (1.9) conduce la relaia U = RI , de unde rezult :i f (t ) = U R

(1.11) general a ecuaiei omogene

Soluia de regim liber sau componenta liber este soluia (ecuaia (1.9) fr termenul liber) de forma : il (t ) =-t Ke

(1.12)

unde = L / R este constanta de timp a circuitului (reprezint timpul n care curentul ar atinge valoarea de regim permanent dac i-ar pstra viteza iniial de cretere). nlocuind cele dou componente ale curentului n relaia (1.10) se obine expresia curentului prin circuit : i (t ) = U + Ke R-t

(1.13)

Constanta K se determin cu ajutorul teoremei a I-a a comutaiei (condiia iniial la t = 0 )

i (0 ) = i (0 + ) = 0

(1.14)

pentru c nainte de nchiderea ntreruptorului k curentul este nul i el trebuie s fie nul i imediat dup nchidere. Aplicnd condiia (1.14) n ecuaia (1.13) se obine constanta K :i (0 ) = i (0 + ) = K + U =0 R

K =

U R

(1.15)

nlocuind pe K din (1.15) n relaia (1.13) se obine expresia curentului prin circuit n regim tranzitoriu (fig. 1.2) :

U i(t ) = 1 e R

-t

(1.16)

Tensiunea la bornele bobinei este (fig. 1.3): di u L (t ) = L = Ue dt-t

(1.17)

Se constat c tensiunea la bornele bobinei prezint un salt la momentul t = 0 i apoi tinde la zero cu variaie exponenial cu constanta de timp .

3


Fig. 1.2 Curentul i componentele sale la conectarea unui circuit RL la tensiune continu (U = 220 V, R = 50 , L = 0.5 H)

Fig. 1.3 Tensiunea la bornele bobinei la conectarea unui circuit RL la tensiune continu (U = 220 V, R = 50 , L = 0.5 H) 2. Conectarea circuitului RC la tensiune continu. Se consider un circuit format dintr-un condensator de capacitate C conectat n serie cu un rezistor de rezisten R i alimentate la o surs de t.e.m constant u (t ) = U prin intermediul ntreruptorului k la momentul t = 0 (fig. 1.4). Expresia curentului prin circuit se poate determina din ecuaia integro-diferenial a circuitului:Ri (t ) + 1 i (t )dt = U C

(1.18)

care prin derivare se transform ntr-o ecuaie diferenial pentru curent : 4


R

di (t ) 1 + i (t ) = 0 C dt

(1.19)

care se poate rezolva innd cont de condiia iniial pe condensator. Pentru a aplica ns teorema a doua a comutaiei transformm ecuaia (1.18) ntr-o ecuaiei diferenial avnd ca necunoscut tensiunea pe condensator, innd cont de relaiile urmtoare : q (t ) = Cu C (t ) Astfel, ecuaia (1.18) devine :

i (t ) =

du (t ) dq(t ) =C C dt dt

(1.20)

RC

du C + u C (t ) = U dt

(1.21)

Fig. 1.4 Conectarea unui circuit RC la o surs de tensiune continu Soluia general a ecuaiei (1.21) este :u C (t ) = u C f (t ) + u C l (t ) = U +-t Ke

(1.22)

unde = RC este constanta de timp a circuitului. Se constat c n acest caz tensiunea pe condensator nu poate prezenta salturi pentru c derivata trebuie s rmn finit pentru a fi compatibil cu ecuaia (1.21) aa nct din teorema a doua a comutaiei rezult (considerm condensatorul descrcat nainte de nchiderea ntreruptorului k ) : u C (0 ) = u C ( 0 + ) = U + K = 0 i soluia (1.22) devine (fig. 1.5) :-t 1 e u C (t ) = U

K = U

(1.23)

Din relaia (1.20) rezult expresia curentului (fig. 1.6) : du (t ) U i (t ) = C C = e dt R-t

(1.24)

5


Fig. 1.5 Tensiunea la bornele condensatorului i componentele sale la conectarea circuitului RC la tensiune continu (U = 220 V, R = 50 , C = 200 F)

Fig. 1.6 Curentul prin circuit la conectarea circuitului RC la tensiune continu (U = 220 V, R = 50 , C = 200 F)

1.2 Scurtcircuitul n reele electriceValorile curenilor de scurtcircuit ce pot apare n diferite puncte ale sistemului electroenergetic trebuie cunoscute, acestea fiind necesare pentru a defini parametrii aparatelor de comutaie dar i pentru alegerea acestora pentru a fi instalate ntr-un anumit punct al reelei electrice. Neglijnd curentul de regim permanent n raport cu curentul de scurtcircuit, scurtcircuitul poate fi asimilat cu o conectare a unui circuit RL la o surs de tensiune alternativ (curenii prin capacitile parazite au valori foarte mici pentru c datorit valorilor

6


mici ale acestor capaciti reactana capacitiv este foarte mare). Determinarea curentului de scurtcircuit se face n baza unor ipoteze simplificatoare : - n schemele echivalente, parametrii circuitelor electrice se presupun concentrai i constani iar inductanele se presupun liniare, fr miez de fier, dei n majoritatea cazurilor acestea sunt cu miez de fier (transformatoare, maini electrice, etc.). La scurtcircuit miezul magnetic se satureaz i liniile fluxului magnetic se nchid n principal prin aer ; - nchiderea circuitelor are loc fr arc electric. S presupunem un generator G care alimenteaz o linie electric de lungime l . In acest caz putem avea dou situaii de scurtcircuit (fig. 1.7): - n punctul k1 , cnd curentul de scurtcircuit este limitat n principal de reactana generatorului X g (reactana liniei fiind neglijabil, X l 0

(6)

Constanta de timp a circuitului rezult din relaia:

= tg r = tg(0.417) = 3.732

=

3.732 = 0.012 s 314

(7)

nlocuind n relaia (4) valorile lui S i t mS se obine valoarea curentului de oc pe faza S (n valoare maxim) :4 tmS 3 5 4 5 3.732 +e i yS = I sin(t mS S ) + e sin S = 13.1 sin sin = 15.232 kA 6 6 3 (8) Expresia curentului de oc pe faza T se scrie astfel:

16

Capitolul 1: PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAIE t mT i yT = I sin(t mT T ) + e sin T

(9)

Valoarea fazei iniiale a curentului, T , de pe faza T se calculeaz cu relaia (fig. 1.15):T = R + 4 4 3 = + = 3 6 3 2

(10)

Valoarea unghiului, t mT , pentru care se obine valoarea curentului de oc pe faza T este:t mT = T + 3 sign ( T ) = T = = 2 2 2 2

T < 0

(11)

nlocuind n relaia (9) valorile lui T i t mT se obine valoarea curentului de oc pe faza T (n valoare maxim) :

i yT

= 13.1 sin 3 + e 3.732 sin 3 = 18.745 kA 2 2 (12) 2. Curenii iniiali de scurtcircuit (valori efective), pe cele trei faze, se calculeaz astfel:2 2 2

tmT sin(t ) + e sin = I mT T T

I iscR

0.01 -0.01 I + I sin R e = 13.1 1 + 2 sin e 0.012 = 9.691 kA = I R (t = 0.01) = 6 2 2 2 2

I iscS

0.01 -0.01 I + I sin S e = 13.1 1 + 2 sin 5 e 0.012 = 9.691 kA = I S (t = 0.01) = 6 2 2 2 2

2

I iscT

0.01 -0.01 I + I sin T e = 13.1 1 + 2 sin 3 e 0.012 = 10.873 kA = I T (t = 0.01) = 2 2 2

2

3. Graficele curenilor de scurtcircuit pe cele trei faze sunt prezentate n fig........

1.3 Conectarea bateriei de condensatoare la o surs de tensiune alternativn cazul conectrii unei baterii de condensatoare la o surs de curent alternativ, din cauza unei distane mai mari ntre surs i bateria de condensatoare, inductana conductoarelor de legtur determin, imprun cu capacitatea, un circuit oscilant. n ipoteza neglijrii inductanei, se poate modela fenomenul de conectare prin conectarea unui circuit R, C la tensiune alternativ (fig. 1.1).

17


Fig. 1.14 Conectarea unui condensator la o surs de tensiune alternativ

Dac nchiderea circuitului are loc la momentul t = 0 , cu faza iniial a tensiunii ) ) 0 sau 0 U = 2U u (t ) = U sin(t + )

(1.44)

) Valoarea iniial instantanee a tensiunii va fi u (0) = U sin . Presupunem c sarcina condensatorului este nenul la momentul t = 0 , adic tensiunea iniial pe condensator este u C (0) = u 0 . Ecuaia diferenial a circuitului din figura 1.1 este :Ri +

) 1 i dt = u (t ) = U sin(t + ) C

(1.2)

innd cont c

i(t ) =

du dq =C C dt dt

(1.3)

Ecuaia (1.2) se transform astfel

RC

) du C + u C = U sin(t + ) dt

(1.4)

Soluia ecuaiei difereniale (1.4) se scrie sub formau C (t ) = u C f (t ) + u C l (t )

(1.5)

unde :u C f (t ) - componenta forat a soluiei ecuaiei difereniale; u C l (t ) - componenta liber a soluiei ecuaiei difereniale, reprezentnd soluia

general a ecuaiei difereniale omogene (cu termenul liber nul); n conformitate cu teorema a II-a a comutaiei se poate scrie relaiau C ( 0 ) = u C f ( 0) + u C l ( 0 ) = u 0

(1.6)

de unde rezult componenta liber la momentul iniialu C l ( 0 ) = u C f ( 0 ) + u 0

(1.7)

Pentru determinarea componentei forate a tensiunii pe condensator se folosete metoda simbolic n complex

18

Capitolul 1: PROCESE FUNDAMENTALE DE COMUTAIE- j( - - ) - j( - ) U 1 Ue j 1 - j 2 1 2 =U e 2 =I = = e = UCe C j jC Z jC Ze C

UC funde :

(1.8)

= - unghiul de conectare ; U - modulul tensiunii complexe la bornele condensatorului. UC = Z C Ecuaia n complex a componentei forate (1.8) se scrie n domeniul timp astfel

) ) u C f (t ) = U C sin( t + ) = U C cos(t + ) 2

(1.9)

Valoarea iniial a componentei libere (relaia (1.7)), innd cont de relaia (1.9) este ) u C l (0) = U C cos + u 0

(1.10)

innd cont de variaia n timp exponenial a componentei libere se obine expresia urmtoare-t ) u C l (t ) = (U C cos + u 0 )e

(1.11)

Astfel, expresia tensiunii la bornele condensatorului este (fig. 1.2 i fig. 1.3)t - ) cos(t + ) + u 0 + cos e ) u C (t ) = U C U C

(1.12)

Valoarea maxim a tensiunii la bornele condensatorului se obine la = 0 i t = ( t = 0.01 s )

u C max

0.01 ) u0 1 + ) + 1 e = UC UC

(1.13)

Fig. 1.2 Tensiunea i componentele sale la bornele condensatorului la conectarea la o

19


surs de curent alternativ (U = 380 V, R = 50 , C = 30 F , = / 2 , u 0 = 95 V )

Fig. 1.3 Tensiunea sursei i tensiunea la bornele condensatorului la conectarea la o surs de curent alternativ (U = 380 V, R = 50 , C = 30 F , = / 2 , u 0 = 95 V )

Expresia curentului prin circuit se calculeaz astfel (fig. 1.4 i fig. 1.xx) :i (t ) = C u -t du C ) = I sin(t + ) + tan ) 0 + cos() e U dt C 1 RC

(1.14)

unde :) ) I = C U C

tan =

Expresia curentului n momentul iniial ( t = 0 ) este :

) i(0) = I sin()

) I u0 ) + cos() RC U C

(1.15)

Dac condensatorul nu este ncrcat n momentul conectrii ( u 0 = 0 ) atunci expresia curentului n momentul iniial este:) ) ) I cos() ) i (0) = I sin() = I sin() + I cos() tan() RC

(1.16)

20


Fig. 1.4 Curentul i componentele sale la conectarea unui condensator la o surs de curent alternativ( u 0 = 0) Observaii : Valorea iniial a componentei libere a curentului prin circuit i valoarea iniial a componentei libere a tensiunii la bornele condensatorului depind de faza iniial a tensiunii u (t ) , adic de unghiul . Dac conectarea are loc n momentul cnd componenta forat a curentului i f (0) trebuie s aib valoarea maxim i prin urmare componenta forat a tensiunii la bornele

condensatorului trebuie s fie egal cu zero, deci cnd = / 2 , atunci il (0) = 0 i u Cl (0) = 0 i regimul permanent (stabilizat) prin circuit se stabilete dintr-o dat. Dac ns n momentul conectrii componenta forat a curentului i f (0) trebuie s fie zero i, prin urmare, componenta forat a tensiunii la bornele condensatorului u Cf (0) trebuie s aib valoarea maxim, ceea ce va avea loc pentru = 0 i pentru = atunci valorile iniiale a componentei libere a tensiunii la bornele condensatorului uCl (0) i respectiv a componentei libere a curentului il (0) sunt maxime posibile i anume:) I u Cl (0) = C ) I il (0) = RC

(1.17)

n acest caz valoarea iniial a componentei libere a curentului poate depi amplitudinea componentei forate de un numr de ori, egal cu raportul dintre reactana capacitiv 1 / C i rezistena R a circuitului. n ceea ce privete tensiunea la bornele condensatorului, n condiiile cele mai defavorabile, n perioada regimului tranzitoriu nu poate depi dublul amplitudinii componentei forate a tensiunii (a se vedea relaia 1.13, n ipoteza u 0 = 0 ), ntruct valoarea maxim a componentei libere nu poate depi amplitudinea componentei forate a tensiunii. ) Dac u 0 = U atunci tensiunea la bornele condensatorului poate atinge chiar triplul 21


amplitudinii componentei forate a tensiunii.Aplicaia 1.3 S se determine rezistena ce trebuie montat n serie la conectarea unei baterii monofazate de condensatoare, astfel nct curentul n momentul iniial al conectrii ( t = 0 ) s ) nu fie mai mare de 1.8 I , n ipotezele a) i b): a) conecarea are loc la = / 2 ; b) conectarea are loc la = 0 ; c) s se determine curentul n momentul iniial al conectrii dac rezistena circuitului este R = 3 i conectarea are loc la = . Se cunoate puterea bateriei Q = 15 kVar , iar tensiunea nominal U n = 380 V . Bateria de condensatoare are tensiunea iniial nul ( u 0 = 0 ). Rezolvare

Capacitatea bateriei se calculeaz cu relaia:C= 15000 Q = = 3.3 10 4 F 2 U n 314 380 2

(1)

a) Expresia general a curentului, considernd tensiunea iniial nul este :-t ) i(t ) = I sin(t + ) + tan cos() e

u (t ) = U sin( t + )

(2)

Dac = / 2 , curentul n momentul iniial ( t = 0) este :) ) i (0) = I sin( ) + tan cos( ) = 1.8 I 2 2

(3)

Din ecuaia (3) rezult : 1 0 0 = arccos = 0.982 rad = 56.21 , de fapt = 56.21 1 .8

(4)

Din relaiatan = 1 RC

R=

1 1 = = 6.432 4 C tan() 314 3.308 10 tan(56.210 )

Impedana circuitului este dat de relaia:1 1 2 = 11.578 Z = R2 + = 6.432 + 4 C 314 3.308 10 2 2

Amplitudinea curentului stabilizat prin circuit este:

22


) I =

2U n 1.41 380 = = 46.417 A 11,578 Z

Fig. A1.1 Curentul i componentele sale la conectarea bateriei de condensatoare la tensiune alternativ ( = / 2, R = 6.432 )

Valoarea curentului iniial va fi :) i (0) = I (sin() + tan() cos() ) = 46.417(sin(2.553) + tan(0.982) cos(2.553) ) = 83.551 A b) n cazul = 0 , valoarea curentului la momentul iniial este dat de relaia : ) i (0) = I (sin() + tan cos() ) = 0

ceea ce nseamn c indiferent de valoarea rezistenei conectate n seria cu bateria de condensatoare, valoarea curentului la momentul iniial ( t = 0 ) este nul ( i (0) = 0 , fig. A1.2). Rolul rezistenei este acela de a limita valoarea efectiv a curentului prin circuit n regim stabilizat. Valoarea de vrf a curentului n regim stabilizat folosind o rezisten de conectare R = 10 este:

) I =

2U n 1 R2 + C 2

=

1.41 380 1 10 2 + 4 314 3.308 10 2

= 38.72 A

Dup atingerea regimului stabilizat, rezistena se scurtcircuitez pentru a elimina pierderile prin efect Joule. Valoarea de vrf a curentului (valoarea maxim) dup scurtcircuitarea rezistenei de conectare este:

) I = 2U n C = 2 380 314 3.308 10 4 = 55.82 A

23


Fig. A1.2 Curentul i componentele sale la conectarea bateriei de condensatoare la tensiune alternativ ( = 0, R = 10 ) c) Unghiul de defazaj al curentului fa de tensiune este :1 1 = arctan = 1.269 rad = 72.691 0 = arctan 4 RC 314 3 3.308 10

Amlitudinea curentului stabilizat prin circuit va fi : ) I = 2U n 1 R2 + C 2

=

1.41 380 1 32 + 4 314 3.308 10 2

= 53.296 A

Conectarea are loc la = = 1.269 rad ( = 0 ) i valoarea iniial a curentului va fi (fig. A1.3):) ) ) ) I cos() I 53.296 i (0) = I sin = = = 171.022 A = 3.209 I RC RC 314 3 3.308 10 4

24


Fig. A1.3 Curentul i componentele sale la conectarea bateriei de condensatoare la tensiune alternativ ( = , R = 3 ) 4 6 2 IR 3

R =

g = 75 0

R =

IS

IT

25

Documents

Cap 1 Procese de Comutatie