JEDINICE I MJERE VELIL ] INAGeometri jske veli i ine - Vremenske veli i ine .Velidine za masu - Protodne veli i ineVeli i ine za silu - Energetske velidineToplinske velidine - Molne veli i ineVelidine zradenja

_

E lekr r i ineve l i i i ne-Sv je r losneve l id ine . . .

STARE JEDINICE I MJEREPOSEBNE MJERE .

N o m a l n i k u b n i m e t a r . . . .

i""!",ffitj;ji,lli,llxl;1ii'"::l :: : : :R A C U N A N J E S P O T E N C I J A M A I K O R I J E N I M A , , . . . . . , , ,

P o t e n c i j e - K o r i j e n i . . . . . .

LOGARITMI

S A D R Z A J

PRVI DIO

'73'77788082838588888888

89fJ99094979798

101103106" t1?1 1 3

StranaMATEMATIKAMatematiiki znakovi

't46147

1 4 91491491491 5 1

I2

2425

2627

33

3840

4444454646

485050-515 t525 2545456565ft60o lo z

636364

67676872

Osnovni odnosi trigonometri jskih funkcija . .T r i g o n o m e t r i j s k e f u n k c i j e d r a j u k u t o v a

. . . .

J rnus I t (os lnu \ - tangen\ I ko tangens ( lah l i ce)lz radunavan jes t ran ica iku tova t rcku ta

. . . . .

DETERMINANTE

R a i u n a n j e s l o g a r i t m i m a . . . .

Dekadski (Briggsovi) logaritmiTRIGONOMETRIJSKE FUNK

Baum-ova areometarska skalaBeaufortova skala

T V A R I . .SASTAV ryARI .

Kemijski elementi - perioJidni ;i;;;n"f .-""ri,Svojstva elemenata - Kristalna struktura kovina

K E M I J S K I S P O J E V I . . . . . . . -Kemijske vezeHidriai - oksidi- xa.uioi- Niiiiai

Kutovi prirodnog ookosaS T A T T K A . . . . . . . . . . . . . . .

Sila- Statidki moment sileRavnoteia sila - NosadiStatika uzeta

T E Z I S T A . . .Teii5ta l inija - TeZiSta l ikova _ Teziita ti iela

TRENJECvns roCe . . . . . .

Kinemat ika - K ine t ikaMoment tromosti mase . .Centrifugalna siJa - Sudar

Linearne jednadibe - Kvadratna jednadiba .

Jednad)be viSeg stupnja - BinomiNIZOVI I REDOVI

Aitmetiiki niz- Geometriiski niz . . . .VaZnij i redovi - Kamatno-liamatni raiun

FUNKCIJEPravac - Potencijalne krivuljeEksponencijatna i logaritamrira krivuii" i i"ri". r. i i"rri.Cun jos je tn ice C ik l i i ke k r ivu l je

. . :DERIVACIJA FUNKCIJE . . -

DiferencijalDerivacij i vi ieg rea" - p"i. i iui"" i. i*i j"Ceometri jrko znaienje derivacije f unkcile

INTEGRALNeodredeni integral - Odredeni integral . .N u m e r i i k o i n t e g r i r a n j e

. . . . . . . . .

D IFERENCIJ ALNE JEDNADZBE

J E D N A D Z B E . . .

L I K O V I I T I J E L A . . .Povr5ina i opseg ti jetaP o v r i i n e i v o l u m e n i t i j e l a

. . . .

VEKTORIZ_6ra lanje i oduziiuni. u"Lio.u - vn.;;;j; ;;i.;.;;Derivaci ja vektorskih funkci iSTATISTIKA

Kiseline i baze - Vrijednost pHJ O l l . . . .Organskispojevi Polimeri .

P R E G L E D T V A R I . . . . . . - - . . .

S f i t ine . .

MEHANIKAMasa i tezina - Gusto6a rehniikih materi jala .

Naprezan je - Ceomet r i j \ ke karak ter is t i ke p rer jekaV l a k i t l a k - S a v i j a n j e - S m i L - T o r z i j a . ' . . . . ' . . .I z v i j a n j e .S lozena op terecen ia

D I N A M I K A . . . . . .

1 1 41141 1 6117t1'71201221221?2125t281281301 3 61 3 8140140144

Statisriaka vjeroja,ro.i - si",itrietipiotj"iRazdioba udestalosti - Represi ia i korelaci iRegresi ja i korelar-i ja

SUSTAVI M'ERI\'IH JEDINICA . . ,_ _Velidinske jednadZbe i koherentne jedinice - Brojdane jednadZbe . . . . . .MEDUNARODNI SUSTAV JEDINICASI .

Osnovne jedinice SI - lzvedene jedinice SI - Decimalne mierne jedinice

VI

Ti tranj e

HIDROMEHANIKAV i s k o z n o s t

. . . .

HIDROSTATIKAHidrostati iki t lakAtmosfersko stanje

VI I

H I D R O D I N A M I K A . , . . .Bernoull i jevajednadiba ..Prit isak mlazaBrzina istjecanja - Koli i ina istjecanjaProtokZakoni sliinosti strujanja . .O t p o r i s t r u j a n j a u c i j e u i - u i u r - " i u i " . ; . . . . : : : : : . . . . : . : . . . . . . .Otpori gibanjakrozmedij .

HIDRAULTEKI STROJEVTSISALJKE (PUMPE)

Dobavnav is ina Dopustenaus isav i ; i ; ; -d ; ;c ; : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Stapne sisaljke - Turbopumpe - Ventilatori .

VODNE TURBINE . . . . , .Vodna snaga - Korisni pad .Snaga turbine - Brzohodnost turbina

TOPLINASpecifidna toplina (specifi ini toplinski kapacitet)EntalpijaTemperaturna rasteznost (dilataci ja)

OSNOVNI ZAKONI TERMODINAMIKE . . . .Pwi glavni zakon termodinamikeDrugi glavni zakon termodinamikePromjenes lan ja tvar i -KruZn iproces i . . . . . .

IDEALNI PLINOVIT o p l i n s k a s v o j s t v a p l i n o v a . . . . . .Povrative promjene stanja plinovaPriguiivanje

P R I J E N O S T O P L I N E . . . . . . .Toplinska vodljivost - Prijelz topiineTop l inskasvo js tva tvar i . . .Toplinsko zradenje - Prolaz toplineTehniiki izm jen j ivaii topline

TOPLINSKI UREDAJI I STROJEVISimboli .

P A R N I K O T L O V I . . . . . . . .t-iiita - Izmjenjivadi toplineSnaga parnog iotia xoii*ort p"tnog roiruN a p o j n e p u m p e . . . . . .

RADNA SPOSOBNOST

152t52l ) J1 5 41 5 5

226226228234237

?'7 |271271

1 5 61571 6 3

179l 8 l

238238239239

P A R E . .Eksergija pare - Raspoloiivi pad entalpije . . . .

P A R N I S T R O J E V I . , . . . . .S n a g a p a r n i h s t r o j e v a . , . .Stapni parni strojevi - Pame turbine

KONDENZACIJA , , . , , .PARNA POSTROJENJA .

Kondenzacijska parna postrojen jaRegenera t ivnogr i jan jenapo jnevode . . . . . . .M e d u p r e g r i j a v a n j e . . . . . . .Toplane .

MOTORI S NUTARNJIM IZG;IiANiEMS i s t e m i O t t o i D i e s e l . . . . . .4-taktni i 2-taktni motoriEkonomidnost motora s nutarnjim izgaranjem

K O M P R E S O R I . . . . .P r o m j e n e s t a n j a p l i n a . . . . .V i i e s i e p e n a k r i m p r e s i j a . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . .S tapn ikompresor i -Turhokompresor i . . . . .

P L I N S K E T U R B I N E . . . . . . . .Mlazni motori

TOPLINSKE PUMPE .

,f fl'f ::':::l::l i:':::1 _'lj:::lf tl'':l'Zasi6ena para - Pregrijana paraZ r a k ( t o p i i n s k a s v o j i v i ) . : . . . . . . . . .Moll ierov dijagramh, s za vodenu paruZ a r i c e n a v o d e n a p a r a ( t a h l i c e ) . . . . . .Voda i pregrijana vodena para (tablice)Zas i iena para rash ladn ih tvar iP r o m j e n a s t a n j a p a r e . . . .

SMJESE PLINOVA I PARASmjesa zraka i vodene pare (vlaini zrak) . . . .Suhi i zasiieni vlaini zrak (tablica)V l a 2 n i z r a k ( t a h l i c a ) . . . . . . . .Moflierov dijagram h, x zavlaLnizrakP r o m j e n e s t a n j a v l a i n o g z r a k a . . . .

STRUJANJE PLINOVA I PARA . .Istjecanje iz sapnica - Prigusivanje

I Z G A R A N J EPotreba kisika odnosno zraka - Kolidina dimnih plinova . . . . . .Ogrjevne mociSastav dimnih plinova - Entaipija dimnih plinovaTeoretska temperatura izgaranja - Kontrola izgaranjaGor iva .

V I I I

1641641641661701701'1 1

173173173173I / Or761761'77178

2432432442442452482492492s2253I ) -1255255255: ) l259259260261263l b )266266267268269269270

271271272273

2'762'77

IX

1821 8 31 8 41 8 41 8 51 8 71 8 8l 9 l2042082092092 1 0211

2152t6

Kompresijske toplinske pumpeApsorpcijske toplinske pumpeRashladne smiese

KLIMATIZACiJA I SUSENJE

2172 1 82 l { t21922022' l222

Ohmov zakonK i r c h h o f f o v i z a k o n i . . . . .Snaga i rad istosmjerne struje . .S p a j a n j e d j e l a t n i h o t p o r a . . . . . .Svojstva otpora razlidit ih materi jala

ELEKTROTEHI\IIKA ..ISTOSMJERNA STRUJA

Mjeren je temperature otporomT e r m o r i a p o n i ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . : . . . . . .Faradayer i zakon iAkumula tor i

Magnetsko po l je - Gu\ ro ia magnerskog tokaNos ivos t psgnq l4

MAGNETSKO I ELEKI'RICNO POLJE

Pad napona

P o k r e t a i .Cenerator i regulatorUredaj za paljenje . .

E L E K T R O N I K A . . , ,E lek t r ian ivent i l i . . .

2'182782792792812ti l282

ISPTTIVANJE TVRDOCEIspitivanje tvrdode po BrinelluIspitivanje tyrdoie po Vickersulspitivanje tvrdoie po RockwelluIspitivan je tvrdo6e um jetnih tvari

ISPIT IVANJA BEZ OSTECIVANJA MATERIJALA . . .Magnetsko isp i t i van je - Isp i t i van jeu l t rzvukom . . . . . . .lspit ivanja rendgenskim zrakama - Ispitivanje --zrakama

ISPITIVANJE SASTAVA MATERIJALAKemi jskaana l iza Spekt ra lnaana l izaIsp i t i van je i rk ren lem pr i h ruSen juM e t a l o g r a f r k i p r e g l e d i . . . .

3r'/317320324326330330:r31332332332334

Induktivitet - Elektri ino poljeKapacltetVodii elektridne struje u magnetskom polju . . .

I Z M J E N I C N A S T R U J A . . . . . . .Otporza izmjenidnu struju .Jednofazna struja - Trofazna strujaTranr [o rmac i ja i zmjen icne \ t ru je

ELEKTRICNO GRIJANJEJouleova topiinaProraiun pe6i

ELEKTRICNA RASvJEiA .E L E K T R O M O T O R I . , . . .

M o t o r i i r r o s m j e i n e ' t . u ; . . l l o i o . i . r 1 " n i c n . . i r u 1 . . . . . . . . . . . . . : : . . : : . .

S n a g r e l e k t r o m o t o r a - I z h o r e l e L l r o m o l o r u . . . . . . . . . .

ELEKTRICNI VODOVI NISKOG NAPONA 335336337338340340344346346349349350J ) lJ J I353354-1 )O358J ) d36036236'736'7368369369370370371372J I J

373

376377

XI

2822832832842842852862872872U9290290291291293293291294295295297300302302

304304304306

3 1 63 1 6

KOVI \S | { | } |ATER|JALI . . . . .ZELJEZO I NJEGOVE SLITINE

Cisto ieljezo - Tehnidko ieljezoS i s t e m Z e l j e z o - u g l j i k . . . . . .Utjecaj brzine ohladivanja austenita na strukturu delikaUtjecaj elemenata na strukturu delika

TOPLINSKA OBRADA CELIKAZarenje delika - Kaljenje delikaO p i e u p u t e z a t o p l i n s k u o b r a d u d e l i k a . . . . . . .

LIJEVANO ZELJEZOSivi l i jev - Tvrdi l i jev Temprovani l i jev

P R E G L E D V R S T A C E L I K A . . . . . .Razdioba delikaOznad ivan jevn ta ie l i kapoJUS . . .

K O N S T R U K C I J S K I C E L I C I . . . . . .

D i o d e - l s p r a v l j a d i . . . . . . . . . . .

T ranz is lo r i Osnovn i r ranz is to r rk ispo iev iMJERENJE ELEKTRI .NIH VEI IC iNA -

Elektridna mjerilaAKUSTIXA I OPTIKA

Va lovnog iban je . . . .Z v u k . . .Svjetlosl

Ispitivanje Zica rorzijom . . .Ispitivanje Tica imjenicnim pregiban jemlsprtrvanje sposobnosti za ialaienje . . . .

335J J )

Zaitita vodova_.Z'3!111e_ 119re 9 niskonaponskim portro;enjimaELEKTR ICNA OPREMA MOTORNI I - I VOZILA

Opii konstrukcijski ielici . .Uglj i ini konstrukcijski 6elici s garantiranim sasravomSitnozrnati konstrukciiski ieliciCelici za automate - Celici za oprugcN e l e g i r a n i d e l i c i z a v i j k e . m a t i c e i z a k o v i c e

. . . .

C e l i c i z a l a n c c - C e l i c i z a v a l j a n e c i j e v i . . .

C e l i c i z a k o t l o v s k i l i m . . . . .Ce l i c izacement i ran je -Ce l ic izapoho l jSavan je\ e l l c t za nr l r l ran jeDRUGI DIO

ISPITryANJE MATERIJALADijagram o. e

ISPITIVANJE CVRSTOCEViadni pokus - Pokus savijanjaTlaini pokus - Udarni pokus prema Charpyiu .

I S P I T I V A N J E T R A J N E C V R S T O C E . . . . , , , . . . . .

Ispitivanje rrajne staticke ivrstoceIspitivan je-dinamidke ivrsroie

TEHNOLOSKA ISPITIVANJA

3o'73073 1 03123 t 23 1 4

3r43 1 63 1 6

Magnetski l imHladno valjani deli ini l im

P O S E B N I C E L I C I . . . . . . . .Mikrolegirani konstrukci jski deliciCelici otporni prema habanjuCelici posrojani pri visim temperaturama . . . .Celici za ventile - Vatrostalni celiciCelici otporni prema kemijskim utjecajima . . . .

ALATNICELICI .U g l j i d n i a l a t n i d e l i c i . . . . . . . . . . .Ligirani alatni detici za hlaOnu oUraiuLegirani alatni delici za rad u vrutem .Brzorezni delici

CELTCNT LtJEv .Ugljiini ieliini lijev . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . : : . . . : : . : : : : : . . . . . . . . .kgirani ieliini Iijev za pobol jSan jeKemijski otporan delidni l i jevCelidni l i jev otporan pr-ema habanju . . . . .

PREGLED OZNAKA CELIKA . . . . . . . .

POLUPROIZVODI OD BAKRA I BAKRENIH SLIT INAB a k r e n e 5 i p k e i Z i c a . . . . . . . . . .L i m o v i - Z i c a - U i a d . . . . . .Bakrene ci ievi - Ciievi od bakrenih slit ina

POLUPROIZVODI OD MJEDI, CINKA I OLOVAMjedeni poluproizvodi - Cindani poluproizvodi . . .Olovni poluproizvodi

NEKOVINSKI MATERIJALIUMJETNE TVARI , . . . . . . . . ,

Mehani ika r tanja umjetnih t \ ar iM e h a n i d k a s v o j s t v a u m j e t n i h t v a n . . . . . . .Temperaturna upotrebl j ivost um jetnih tvariPu. to ianor t umie tn ih t ra r i .

KERAMICKI I GRADEVNI MATERIJALIVat ro . ta ln i keramick i mater i ja l iStaklo-Gradevnimaterijali-Drvo . . . .

ELEMENTI STROJEVAStandardni brojevi - Standardne dulj inske mjere

DOSJEDANJE STROJNIH DIJELOVAToleranc i jemjera-To le ranc i jemjer i la . . . . .D o s j e d i ( n a l i j e g a n j u ) . . . . .

POVRSINSKA HRAPAVOSTNAVOJI

Metarski navoji s trokutnim profi lom ISO . . . .Tolerancije metarskih navoja (ISO) - Navojni dosjediCiievni navoiiT r a p e z n i n a r e j i - K o s i ( p i l a s t i ) n a v o j i . . . . . .Obli navoji - Navoji za bicikle - Edisonovi navojiNavoji za oklopne cijevi - Navoji samoreznih vijaka

DOPUSTENA NAPREZANJADopuStena naprezanja najvaZnij ih kovinskih materijalaDopuiteno naprezanje za ielidne konstrukcije .U t j e c a j o b l i k a p r e d m e t a . . . . . . . .U t j e c a j t r a j a n j a o p t e r e c e n j a . . . .Utjeca j prom jenl j ivog opterecen ja

N E R A S T A V L J I V I S P O J E V I . . , .Zakov icn i soo iev i -Zavan . . .

378378378379

452452

.160462464464465465466

46746'l4704'70178484488488494503504

379380380383384384386386392394394399402402404405405406406407408

523527) z I5305 3 1532

544552) ) o)) /) ) 6

Oznake ielika prema standardima JUS i DIN . .Pregled oznaka domaiih i nekih stranih alatnih ielika

TVRDI METALILijevani tvrdi metali - Sinterovani tvrdi metali

LAKE KOVINEAluminij - Aluminijske slitineMagnezijske slit ine

B A K A R I B A K R E N E S L I T I N E : . . . .Bakar - Bakrene s l i t ine za gn jecen je .B a k r e n e s l i t i n e z a l i j e v a n j e . . . . . . . . .

N I K A L I N I K L E N E S L I T I N ECis t i n ika l - N ik lene r l r t ine za l i i evan ieN i k l e n e s l i t i n e z a g n j e i e n j e . . . ' . . . . . .

C INK I C INCANE SI . IT INECisti cink - Cindane slit ine za l i jevan;c . . . . . .

451458458458

459.159

OLOVO I OLOVNE SLITINE- ti'to orou-o - sritt"J""it I".iti.r i i"iii'i"ir"i'iKositrene i olovne slitine za lezaje

LEMOVITvrdi lemovi - Meki lemoviSrebrni lemovi - Alumini jski lemovr

POSEBNE SLITINE ZA ELEKTROTEHNIKUSlit ine za elektri ine otpcrnikeSlit ine za elektritne Zice za visoke temoeratureS l i t ineposebnee lek t r i inepermeah i lnor t i . . .Slit ine za permanentne magnete

TITAN I T ITANOVE SLIT INECisti t i tan * Titanove slit ine

OBLICI KOVINSKIH POLUPROIZVODAODLJEVCI OD SIVOG LIJEVA .

C i jev is ko ldakom-Ci jev ispr i rubn icom . . . . . .Fazonski ciievni komadi . . .

cELtcNI PdLUPRorzvoDl . . . . .Celik u Siokama - Plosnati ielikCe l i in iku tn ip ro f i l i - fe l i in ip ro f i l i t -Ce l i in ip ro f i l i I . . . . . .Konstrukcijske m jere deli inih profi laZ e l i e z n i i k e t r a i n i c e . . . . .Celie ni l imovi

4084094 1 04 1 04 1 04 1 04 1 04 1 14 1 1

412

41241141641,6420125126

428433434441441,446448449

5125 1 5) l b517520521J l 5

Celidne beiavne cijevi - Precizne deliine cijeviCeli ine ci ievi za ciievni navolCeli ina ti ia - Ceii ina u2ad - Celi ini lanci . .

ALUMINIJSKIPOLUPROIZVODI . . . . . . . . .A f u m i n i j s k e S i p k e : i i c e . . .Alumin i j sk i p io f i l i - p ro t i t i r - ' i i o i i i i i - p i . i i i i i . . . . . . . . . . .Toplo valjani l im

Lemljeni spojevi - Lijepljeni spojeviStezni spojevi

RASTAVLJIVI SPOJEVISpo jev i k l inov ima - Utorn i spo jev iSpojevi svornjacima i zaticima - Vijdani spojevi

STROJNI DIJELOVI ZA PRIJENOS KRUZNIH GIBANJAOsovrne .Remenski pri jenos - Landani pri jenos . . . . .Zupdani pri jenos - Tolerancije parova evolventnib delnika . . . .Proraaun ivrstode delnika . .Parovi stoZnikaParovi hiperboloidnih zupdanikaCilindridni puini pri jenos . .

532533f -t /537537

Okrugle cijevi

X I I

LEZAJI .Klizni leZajiValjni leZajiKug l i in i le ia j i - Va l j kas t i le la j ibacvas t r teza i l -S toZast i leZa i iA k s i j a l n i k u s l i d n i l . i " j i - n t ' . i 1 " i r i n r r " " r t i r . i " 1 i

. . . : : . . . . . . . . . : . . . . . . . . .- _Nosivost valjnih leiaja . .MAZIVA

LeZajna..vretenska, osovinska i ci l indarska uljaU | j e z a l r s o k c t | a k o v e . z u p c a n t k e i z u p d a n e p i i g o n e H - ro rau t lcko . komprerorsko . ru rh in rko i c i l i nd . r rsko u l j cMoto-rno uljeV a z e l i n s k o , i z o l a c i j s k o u l j e i u l j e z a o b r a d u

. . . . . . .

MStt za mazanje

TEHNOIiOGUAL T J E V A N T E

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : . . : . . : . . . . . . . ,ZAVARIVANJE KOVINAZavarivanje prit iskom - Zavarivanje taljenjem - Rezanjc kovinaZavarivanje i rezanje plamenombrex l ro tucnozavar rvanJe

. .

Todkasto zavariranje ieli inog l ima_

zavanvan je umje tn th tvanLEMLIENJEL J E P L J E N J E K O V I N A . . . . . .O B R A D A K O V I N A O D V A J A N J E M C E S T I C E

. . . . . . . . . . . .

Osnovi - Geometri jski oblik oltrrceT o k a r e n j e - B l a n j a ; j e i d u b t j e n j e

. . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . .u u s e n J e t r a z v r t a v a n l e - R e z a n j e n a v o j a

. . . . .

P i l jen je kov ina - C lodan je - d ruSen j ; .rosetrne obradePosto janos t a la ta - Opt ima lna brz ina rezan ja . .J r e o r 5 n J a g n r J e z d a - C e r v e r o b r i d i z a a l a t

. . . .

K o n i i n i d r S c i z a a l a t . . . . .

IVI"IERENJE KUTOVA I KONUSA

RAZNO ,TEHNICKO PISMO

KAZALO

DODATAKO INFORMATICI I RACUNARSTVU (Martin prasnidki)

X IV

N o m a l n i f o r m a t i p a p i r a . M j e r i l a . . . . . . . . . : . . . . . .

urcKa stova - Ktmskt trroievlrovARNE MrERE ZLiJEZi.riCiirl voziln . . : . .. . . . . . . . . . :. . . . . . . . . . .JUGOSLAVENSKI STANDARDI-JUS

. .

IZGOVARANJE STRANIH IMENA .IZVORI BROJCANIH PODATAKA

UPUTEza upotrebu priruinika

1. Pisanje radomaka s kosom razlomkovom crtomZbog sku6enog prostora i radi pojednostavnjenja tiskarskog sloga, raz-

lomci su pisani kosom razlomkovom crtom. Pri tome se smatra da se zna-denje razlomkove crte proteie do prvog znaka plus, minus ili puta:

a b l c d : a h f r c d t - t a b t l t c d lc a c

( a - r b ) l k r i l : ! + b a i b l c i d - o + ! + dc - d ' c

2. Omaiivanje vektoraVektori su u ovom prirudniku oznadeni:u tekstu - debljim tiskom simbola (a)u slikama - oznakom povrh simbola 1i)

jer bi u tekstu oznadivanje povrh simbola povecalo grafidke te5koie, dok bi u sli-kama bilo te5ko izvedivo razlikovanje izmeilu obidnog i deblje tiskanog simbola.

3. Oznadivanje ludne mjereDa u preradunavanju prema jednadZbama ne bi do5lo do zamjene iz-

medu mjere za kut (") i ludne mjere (rad), simboli su oznadeni:za kut (geometrijski) dza ludnu mjeru (analitidki kut) a

Osim toga je u svim jednadZbama, gdje se pojavljuje ludna mjera, dodanojoS upozorenje: d. (rad).4. Radunanje s veliiinskim jednadibamaU ovom su prirudniku u naaelu upotrijebljene samo velidinske jednadibe

(vidi str.67). Pri radunanju s velidinskim jednadibama moraju biti kolidinesvih vel id ina izra lene u koherentnim jedin icama.

Sve SI jedinice su medusobno koherentne. Stoga je pri radunanju s veli-dinskim jednadZbama rezultat uvijek pravilan ako se sve mjeri u jedinicama SI.

Za pregledne, jednostavne velidinske jednadZbe mogu se upotrijebiti i dru-ge koherentne jedinice, ako su prikladnije.

Pri kompliciranim velidinskim jednadZbama izbjegavaju se moguie pogre-Ske iskljudivom upotrebom jedinica SI. Kolidinske vrijednosti velidina, za-danih u bilo kojim drugim mjerama, valja stoga ponajprije pretvoriti u jedi-nice SI.

Pri proradunavanju velidina brojdanim jednadibama (vidi str.67) morajubiti zadani za svaku velidinu i podaci o njenoj mjeri.

5tr05605 6 1.5615 7 0.5 755{J r-5855 8 75885tlq59( )5 9 159259-l

597597600600603604606

Izbor maziva

60760760760{i6086 1 06 1 46 1 662362.1626628630

632632633633634oJ)638639

611

6 6 1

XV

P r i m j c r i ' :a) Brzina o: slt

Z,a'. s:24km, : 20 min : 0'333 h

j e u : 2 0 * : 2 o m / s

r 200i l i

r , : 24km :nkmlh ( :2o0,333 h

b) Cvrstoda oM: FMIAyZa: Fp1:7'5kN

'40 : 20mm2J e

o w :7 500

20 . 10 -6i l i 7500NO w : - '' -

20 mm2

c) Brzina istjecanja ro:y'ztshT LPIQ\7a ' . g : 9 , 81m/s2

/ r : 5 l 0 c mLP :2 ,5ba rq : I kg/dml

II

P R V I D I O

MATEMATIKA

Matemati6ki znakovi:240o0m: r 2 0 0 s

m/s)

: 7 5 0 0 N: 20 . 10-6 m2

: 375 . 106N/m2 ( : 375 MPa)

: 375 N/mm2 ( : 375 MPa)

: 9,81 m/s2: 5 , 1 m: 2,5 . 105 Pa: l0o0 kg/m3

. '

am

t /f

1/I

logrlgI narc

s incos

tancot

I im

J ( )AA

1 ,r lt ,

+

>+

nI

:=

I A \( r /i

jednakoistovjetno, identidnonije jednakopribliZno jednakomanje odveie odmanje ili jednakoveie ili jednakoplus - zbrajanjeminus - oduzimanje

Ii nuta

-- mnoZenjedijeljenjerazlomkova crtakosa razlomkova crtaokrugla Iuglata I zagradavi t i iasta Jokot l i toLtsporedno, paralelnopaiale lno i jednakosl r i r rosukladno, kongruentnoku tl uko d - d o

apsolutna vrijednosta na (potenciju) zkvadratni korijenn-ti korijenlogaritam za bazu bdekadski logaritamprirodni logaritamarkussinuskosinustangenskotangensfaktorijelaa povrh 6rmaginarna

. jedin ica{ i 2 : I ri inestczi kfunkcijaraziikadiferencijal

parcijalna derivacija

suma, zbroji ntegraloznake vek tora*

u s l i karna , f l - . u t i )k \ lL

je ,o : /1-(s ,et . s , t + z ,s ' to ' / ld) :24,smfs

d ) Top l i nsk i t ok O : k (T t -T )AZa ' . /< : lOow/m2K

t r : 7 0 ' Ch : 2 o ' CA:aOOd'J].2

j e @ : 1 0 0 5 0 ' 2 : 1 0 0 0 0 W (i ) Prandt lov broj P7: qcvl l

Za: s: 0,871 kg/dmlc : 1,850 kJ/kg Kv : 15,0 mm2/s1 : 0,144w/m K

je r , : 81 r

' t 8 : 0 ' l 5 ' 0 ' 10 6 :0 ' 144

. P o d a c i d e s n o o d v e r t i k a | n e c r t e s u d a n i u j e d i n i c a m a S l . - P r i p r o r a . u .nut"niuliiiei"nifii ;.anoJzui

'iioi"i*t? si niie botreu"a dimenzijska kontrola'

xvI

. . . ( od - do i s k l j ud i vo) . . . o d i s k l j u d i v o - d o@ beskonadnokonst konstantnoorto postotak, procentn,/oo promilppm di je lovi na mi l i iun

(partes pro millione)

: l0oW/m2K

T 1 - T r : 5 g g: 2 m 2

: l0kw)

r 67,8 (-)

, d,r ' I.1' :. r,rv3 |

d x l, . ) oer rvac la

, , o 'y IY - - O r u C a I

d r 2 -

l- 8? l kg /m3: I 8s0 J/kg K: I 5,0 . t6-e tnz/s: o , l 4 4 w / m K

C

? x:.Ii , o

I

+ U o r o m s u p r i r u C n i k u v c L t o r i o z n a C e n r : a -( r z t r s l a r s k i h r a z l o g a ) .

Potencije, korijeni itd.

y n T N tn24 vi

1000il

brojeva od I do 90

n23l/nn3ll

46

4 849505 l5 25 35.15 55 65 75lt596 0

n2

Il

l f ):,s.16-19

Iill (x)l l ll -1-i1 6 91 9 6l l 5I5 r ,: 8 9

.r6 |

.1 (X)

4

t 1l l t1 9: 0

.1096 .1,0(X) 0

.1 9 l I .1 , l2 l I5 l i32 .1,2.12 66 859 .1 ,358 913 000 1,17219 261 .1 ,582 6

| 0 6"1u .1,690.1I I 167 i1 .795 8I 3 lt l , l .1.899 01 5 6 : 5 5 , 0 0 0 0l7 576 -5 ,0990l 9 6 t t - r 5 , 1 9 6 2r t q S r < ) a t 5:.1-189 5.-185 217 000 5 .171 229791 5 ,567 8.r2 768 5,6-569.15 937 -5,7.1,16. r9 .104 5 ,8-11 0. l2 l t75 5 .916 I

I 296 .16656 6 ,0000I .169 5065-1 6,082 8I .14.1 5.1872 6,16.14l 5 2 l 5 9 - 1 1 9 6 , 2 4 5 0I 600 6.1000 6,.124 6r 6rJ l 68 92 t 6,.+03 I| 761 7.t 088 6,,180 71 8.19 '79 5O'l 6,557,1r 936 85 184 6 ,6-13 2I 0 2 - s 9 l l 2 5 6 . 7 0 8 2

Id

77n4

I1 .5: 1 6

5 1 2729

I 000I .l-l It7282 191

I ,000 0| , 1 t4 21 ,732 I2,0000t . 236 l

3 , 5 8 3 03.60rJ 81 ,634 23 . 6 5 9 33 ,6 t i ,103.708 43 . 7 3 2 53 , 7 5 6 33 .779 u3 . U 0 3 03 .825 9.r.84 8 53 .U70 93.1t9 3 01 . 9 1 4 93 .936 53 . 9 5 7 93 .979 1.1,(xx) 0.1.020 7.+,041 2.1.06I

-5'1,0u 1 ?, 1 , 1 0 1 6. l . t 2 l 3

2t . -7 39 |? 1 . 2 7 6 620.833 320,408 220.000 01 9.607 81 9 , 2 3 0 8I ti,867 91 8 . 5 1 8 5l S,l rJl rJl7 . t i57 1l 7 . 5 4 3 9t ' / .241 416.9 ,19 l16.666'71 6 .393 41 6 . 1 2 9 0I 5 .1173 01 5 . 6 2 5 0l 5.3 lt. l 61 5 . 1 5 1 514.915 ,1I 4 .705 S1 4..19 2 lJI 4 . 1 8 5 7I .1.08.15I 3 .Uf t8 9I l .69 t t 61 3 . 5 1 3 51 3 . - r 3 3 l

1,14.s li +z.trsl 50 .80153.9 .1I 57 .08I 60 ,221 63 .36166. -501 69 .65112.791 75 .93179.O7I t 2 , 2 Ir t i5 .35l 88 .s0

I 66 1.90| 7 31.94I 809.561 I JU5 ,74I 963.502042.822123,722 206 .1 82290.22r 1 7 S t { 12 ,163.012 5 5 1 , 7 62 642.082733.912 82 7.,1.ja a r r l 7

3 0 | 9 , 0 73 I | 7.1-s3 1 r 6 . 9 93 1 1 8 . 3 1. ] ,111. 1 93 5 1 5 . 6 53 63 | .6ltl 7 3 9 . 2 8I tr.1t{.,151 9 5 9 . r 9, 1 0 7 1 , 5 0.1 I l l5..r94100.1 i ,1.1.11 7.1J6"15 36 .46.1656.61.177I t . t6,1 90 1.(,75 0 2 6 . 5 55 l 5 l . ( ) ( r5 1 8 1 . 0 :5 , 1 t 0 . 6 I- 5 5 . 1 1 . 7 75 671.5( i

2 , : 1 . 1 9 5 l , 8 l 7 l2 ,6 .15 8 1 .912 92 ,828.1 2 ,0000-1 , (XX)0 2 ,08013 , 1 6 2 . r 2 , 1 5 1 41 , 3 1 6 6 2 , 2 2 1 0t,.164 l :.289,1- 1 . 6 0 5 6 2 , 3 5 1 3-1,7.+ l 7 2,.1 10 I.1.{37.10 2.,166l

2 ,5 r9 t t2,571 .12,62072.668.12, '7 r112 ,75n 92 ,U0 :02.It.1.1 92,util 51.9: . r 02,962 5.1,000 0-1,0-16 6.1,072.1-1,107 2-r.l.t I .1I , l7, l 83,207.51,2.39 6.1,271 I.1,301 9I t 1 ) l.r,.r62 0.r,391 2r,,12003,448 2.1,476 03,50.r 4I S ' lO 1

- r .556I

0,785 43 ,14 t 67,068 6

t2,5664r9,635 028,274 3-r8,484 550,265 563 ,617 378,539 895,031 2

I l-3,097132,"132l -5.r,938t76, '7 t5201,062226,980251,46928.r ,5293 1.1, l 59346,. r61.180, l . t3415.476.152,.389.+90,8745-10,929

6r5,7 52660,520706,858151,76880.+,2,18855,299907,920962,1l . l

I 017 ,88LO75,2lI l - r4,11I I 94,59| 256,64I .120,25I 385,44| 452,20l 520,s3l 590,43

I ,000 0 I 000 00o1,2-599 500,OO01,1122 .r..].1,..t33r,-slt7 J 250,000r,7 100 200,000

1 l J )6,2839,425

l 2 , 5 6 615.708

t66,66't r 8,850142,85i 2t,99r125,000 2-5 .1- .13l l l , l n 28 ,2 ' t1100,000 . r I ,4 I6

90,909 l 3.1,558ti.r,3.r.r.r ..17,69976,923 | .10,8,117 1 , i128 6 .11 ,98266,6667 1 t - ,12162,5(X)0 50 ,2655ti,tt2.15 5..r,407-s5 ,555 6 56 ,54952,63 I 6 59,69050,0000 62 ,832.17 ,6190 b5 ,971, 1 5 , 4 5 , 1 5 6 9 , 1 l 5l 1 l 7 R 1 7 ' 1 ( ?i l 1 ,666 7 75 , .198.10,0000 78.5,103 U , . 1 6 1 5 8 1 , 6 8 1.17,0.37 i) 8.1,82..1-r-5,71.1..r 87,965.1 .1 , .1828 91 ,106-13,133 3 91,248.r2,2-s8 I 97,.189. . r 1 ,250 0 100,53 I.r0,-r0-r 0 103,6732 9 . 4 1 1 8 1 0 6 , 8 1 428,57 I . l 109 ,95621,17 ' 78 u3 ,0972 7 , O 2 1 0 1 1 6 , 2 - 1 92 6 , 3 1 5 8 l t 9 , - 3 8 125.6410 122,52225,0000 125,6624,3902 128,812 3 , 8 0 9 5 1 3 1 , 9 52 1 , 2 5 5 8 1 3 5 , 0 9) ) 1 ) 1 1 l 1 e ) 122,2222 r.11,.17

2 l t6 9 '7 336 6 .78232209 103823 6 .855 72 3 0 4 1 1 0 5 9 2 6 . 9 2 8 22 10t I t7 649 7,000 02 5 0 0 1 2 5 ( X X ) 1 , 0 ' l 1 l2 6 0 1 1 3 2 6 5 1 7 . 1 1 t 12701 l 40 608 7 .2 .11 12 i l09 14887-7 7.280 I29 t6 t5 ' 7 464 7 .34853 025 l 66 375 7 .1 t623 1 3 6 1 7 5 6 1 6 7 . 4 i ] 3 33219 l ft5 193 7.549 ri3 36 .1 195 I I 2 7 .615 t i341 i l 205 379 7 .681 I3 600 21 6 000 1 .716tJ3 7 l l3 ll4.l-19694096

.1.1-s6

.1.1rJ9

.161.1l 7 6 i. l q()05 0 1 15 l r i l5 t : 95 1765 6 1 55 7765 9196 08,16 1 , 1 16 il006 -s6 l6 i216 uu97 0567 2 2 57 3967 5691 1111 911t i t (x )

226 91il 1 .8102

23 l l3 t1 l 1 .81401.50 047 7 ,937 3262111 rJ . ( )00027.1625 8 .062 32117496 8 .11 .10300 763 lt. t tt5 43144.12 l l . l ,16232IJ509 8 .306 6l4l000 11..166 6

.13 n976

.156 5 i347.1-s5 2,19 3 0395 1 2 ( X ) 05 3 1 4 , 1 155 1 36u51 | 787592 70 ,16 1 , 1 1 1 5636 05 66-58 503681 :172704969719 (XX)

6 l6 )

b. l6 5

61

70i l1 27.j1 17 57677l 81 9t(( |l{r{ll t3E 4r{5

-l-1 t.llil5 : e5 7 66 t 56 7 67 : 97ti-18.1 I9009 6 1

l 024I 089I 1 5 6l 2 : 5

3 5 7 9 1 1 i l . . l 2 6 l . 1 . l , l 0 l ll7 . l :4 l t l t . : l l J5 3 4 .160 2. 1 1 1 9 0 1 7 8 . 5 . 1 1 0 . 1 . 1 7 9 3-105 l l .1 8 .601I .+ . l9 l r . l.12 | 875 l t .660 l 1 .2112

t l.11

l 5

d o37l.1E

(ro

l r . 7 t 7 f i . l . l t . s E 1 . r . t 5 7 9u.775 ( ) l . :51 - r I l .9 t {7 1 )l l . l i l I r i 1 .2711 t : .1 t205l l , l l l tu2 .1 .1908 I l .6 .s l t lI t .9 ,1 , l l 1 . .1089 12 .50009.0000 .+ .3167 12 . -1 ,1579.055.1 .1 .3 .1 .15 t2 .195 I9 .1 l0 . l .1 .36 t I 11 . { ) .18 :9 . 1 6 5 ? , 1 , 3 7 9 5 1 1 . 9 0 . 1 1 19 2 1 9 5 , 1 . 3 9 6 1 { 1 1 . 7 6 1 79.1136 .1 . :11"1( )9 .317.1 t . .13 t 09..l l tOli . l . l i l l t09..13.10 1.16479..ltt6 lt -}.-l l i l '1

l l . 6 1 7 9 l 7 0 . l l l 5 1 1 0 8 . r i )I1 . .19 .13 t7 . r . l l -59-1 .1 .68| 1 . 3 6 3 6 1 7 6 . - + 6 ( ) 0 f l . l lI 1 . 1 3 6 0 1 7 9 . 6 0 6 l t i . 1 rl l . l l l l l l l l . 7 . 1 6 . 1 o l . r . l

n1 /i7 5 l 5 7 l q 5 l q 4778 688 9 ,591 780,1357 9,643'7830 5n4 9,695 4857 375 9 .746 8

I 1 9 1 0 1 6I 225 043

4,4919 r0 .98904 , 5 1 4 4 1 0 . t t 6 9 64,-5307 10.' 75274 , 5 4 6 8 1 0 . 6 3 n 3, 1 . 5 6 2 9 1 0 . 5 2 6 3

2 U5,1Jli2 89.03) q ) t l2 9 5 . 3 1298.,15

9.,13,10 333.019 .3458 336 ,159.259 3 339.299,1713 342,439.0909 3.15.58

Potencije, korijeni itd.

t r l In n 2

o stil,ae66,+7,616792,916 9 39.7117 01il i,22

broieva

n

9 l929 39 4959 69 19 8c 9

1 0 01 0 11 0 21 0 310'l1 0 51061 0 7'1031 0 91 1 0

8 2 8 1tt 464u6498 8369 0259 2169 4099 6049 801

10000

n

1 3 61 1 71 3 1 31 3 91 4 0

884736 9 ,7980 4 .57899126 '73 9 ,8489 . r .5947911 19? 9.899 5 4,6 I 0 ,19i0299 9.9499 4,626 l

I 000000 10.0000 4.641 610201 1 030301 10 .0499 .1 .657010404 1061 208 10 .0995 1 .612310609 1092 '727 10 ,1489 4 ,6875l0 81 6 1 l 24 86 .1 10 ,198 0 4 ,70)11 1 0 t 5 I 1 5 7 6 2 5 1 0 . 2 4 7 0 4 . 1 1 7 1

10,416? 301,59 7 238,2310,309 3 304.73 7389,8110,204r 307.88 7542.96l0 , l 0 l 0 311 ,02 ' 7691 .6910,0000 314,16 7 853,989 ,9010 317 ,30 t tO r 1 ,859 .8039 32 t ) , 41 8171 .289,708 7 323.-51i 8332,299 .6154 326 .73 8494 .879.5238 329.87 86-s9.01

l 4 l

1 4 31 4 4l 4 )

t66167l6 lJ1691 7 0l 7 l1' 72l 7 l1 7 11 7 5t 7 6t '7 iI 7 8119I 110

l 0 .295 6 4 .7326l 0 .344 l I . i17 5

8 tJ2.1.73r' i 992,029 1 60,88o l l t 1 ra q o l 1 r

I 4 6141l4 t i1191 5 01 5 1l 5 l1 5 3l -541 5 5

l l l" 1 2I l - ll l 4r 1 5I l 6117l l 8l l 91 2 01 2 1t221231241 2 51261271 2 8129130

l r 664 12591t2 10 ,392 3 1 ,762211881 1295029 10 .4 .103 4 . ' 7 '169t 2 1 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 0 . 4 8 1 J r 4 . 7 9 t 4l2 3 l l l 367 631 10 ,535 7 4 ,805 912544 1 .10 ,19111 10 ,5830 ,1 . t120312 i69 1412897 10 .630r 4 .8 -14612996 1 481 544 10 .677 I .1 .1 t .+U81 3 2 2 5 1 5 2 0 8 7 5 1 0 . ? 2 3 8 . 1 . 8 6 2 9

1 0 . 7 7 0 3 4 , 1 1 7 7 01 0 . 8 1 6 7 4 , 8 9 r 010,1t62 8 4,90,1910,90u 7 4 .91 8710,9545 4 ,9321I 1 ,0000 .1 ,916 II I ,045 4 4,959 711,0905 4 ,9 '732I I , t 3 5 5 4 . 9 8 6 6I 1 , l 80 3 5 ,00001 1 , 2 2 5 0 5 , 0 1 3 311,269 4 5,026 51 1 . 3 1 3 7 5 , 0 3 9 7I 1 ,357 rJ 5 ,052 811,401 8 5 .065 8I 1 ,445 5 5 ,078 81 1 , 4 8 9 I 5 , 0 9 1 61 l .5326 5 .10 .+51 t , 5 7 5 8 5 , 1 1 7 21 1 , 6 1 9 0 5 . 1 2 9 9

9.0090 3,18.72 9676,1i98 .92n6 351 .U6 9852 ,03I t , r i496 355,0() 10028,7ta,7119 3-58.1.1 10207,08,695 7 361 , ] |J 10 3 86.9

1 5 61 5 7l 5 u1 5 9i 6 0l 6 ll 6 lt 6 lI 6.11 6 5

1 3 11 3 21 3 3t 3 4t35

I 3 456 r 560 8961 1 6 8 9 1 6 0 1 6 1 313 92.1 I 6.13 0321 4 1 6 1 I 6 8 5 i 5 914400 1 72800014641 | ,1'71 561I 4884 1 815 848t5 129 I 860 86715376 19066241 5 6 2 5 1 9 5 3 1 2 515 rJ76 2000 376i6129 2 0.18 38316384 2097 1521 6 6 4 1 2 1 . 1 6 6 8 916900 2 197000

8,620 7 .36:1..1111.5.17 0 367 ,578.4746 3' 70,118.403,1 373,ti5t i .333 3 376.99'1 ,16 .1-5 l8 ( ) ,138.196 7 383.27t t .1301 386.428.0645 3r]9,5r,{ } ,0000 392,707.915 5 395.841 .$ 1A 398,987.8 t25 402.127 , 7 5 1 9 4 0 5 , 2 77,6923 408.417 . 6 3 3 6 4 1 1 , 5 57.575 8 414.697 , 5 1 8 8 4 1 7 , 8 31.4527 420,911.407 4 124.12

t'7161 2248(91t7 424 229996817689 235263'l17956 2406104t8225 24603'75

I 0568 ,31 0 7 5 r , 3I 0 935.911 122 .01 1 309,7I t .199,0I I 6rJ9.9r 1 882 ,31 2 076,3122' 71,812469.O1266'7,'712 868.0l 3 069,813273,213478,213 684,t i1 3 892.9t4't02,61 4 3 1 3 , 9

r80do9lod

1 tt 4961 8 7 6 919 0.+4l 9 3 2 11 9 6 0 0

2 5 1 5 4 5 62 5 7 1 3 5 326280'722 6 8 5 6 1 92 744000

i i n

r r .oor s 5Jt? t. tsm -fzt jo

t1 . '704 ' 7 5 . r55 1 1 .2993 430.4011. '74-73 5 .1676 1 .2461 ,133.541 1,71J9 l3 5. l 80 l 7 .1942 .136.681 1 . 8 3 2 2 5 . 1 9 2 - 5 7 . 1 4 2 9 4 3 9 . 8 2

n n 2

4

14526.il 4 1 1 t , lI 4 9 5 7 . 1t 5 t 7 4 . 1l -5 393.8

7.0922 142.96 l5 6l .1,57 ,0423 116,11 15 r {36 ,86 ,9930 449.25 16060,66 .9444 452,39 16286,06 , 8 9 6 6 . 1 5 5 . 5 3 1 6 5 1 3 . 06 ,8 ,193 451t .67 16741,56 . 8 0 2 7 4 6 1 , U 1 1 6 i ) 7 1 , 76 ,756 8 .164.96 17203. ,16 , 7 1 1 4 4 6 n , 1 0 1 7 . + 3 6 . 66 . 6 6 6 7 4 7 1 . 2 1 1 7 6 7 1 . 56 .6225 474.38 1190 ' 7 .96 . 5 7 9 0 1 7 ' 7 . 5 2 1 8 1 , 1 5 . 86 .5360 ,180.66 1{ i3U5. .16 ,4935 4 l t3 . t i l 111626. .0, a * I vrijedi:

kojoj traZimo eksponent 6 iz

l o g o a . - 1

l o o 1 = O

t z al rm log Jr + 0 r @ Z a

' m l o g " \ - + a z a- 6 7 A

Raiunanje s logaritmimalogo (z u ) : log , , a i log , , r ,

t . c . : . : t o g , r r - l o g o l

logo r i ' - - r , log , a

,

, , ' t l ,t o g a y u : l o g a r

Primjer1 u 3 l / itne # loe(zar I b ) logr i c2dr- 4 c . 0

. l o g 2 - - . 3 l o g c , l l o g b l o g 3 2 t o g c - , t o g 1 12

Pretvaranjc logaritama

log , , a , \ f logbu (M je modu l p re tvorbe)U upot reb i su dekadsk i (Br iggsov i ) logar i tm i s bazom a . : l0 i p r i rodn i

l o g a r i t m i s b a z o m a . . e ( e . 2 , 7 1 8 2 8 2 . . . ) .

Dekadski (Briggsovi) logaritmii m a j u b a z u a - 1 0

Oznadujemo ih log,ou : lg unpr. l g l O : l l g l 0 ^ : n

Svaki se dekadski logaritam sastoji oda) karakter is t ike (c i je log broja u logar i tmu), t j . potenci jc broja I0

koja odgovara mjesnoj vrijeCnosri prve brojke u danom broju a;b) mant ise (decimale u logar i rnru) koju za redosl i jed brojaka u danom

broju a potraiimo u tablicama na str. 28 i 29.Primjer

Karakteristika Mantisa t g ua > I

0 < a < l

a > 10 < a . : : l

64264,26,420,6420.0642

lg 162 -- 2l g l 0 r : Il g t 6 o : ol g l 0 r . - Il g l 0 2 2

. ,8075( iz tabl ica

za redoslijedbrolaka 642)

2,8075I ,80750,80750,8075 I0,8075 - 2

Oznadujemo ih

Prirodni logaritmiima ju bazu a : e :2 , '118282

log"u : ln u

I n e - l l n e d : I

Odnos dekadskih i pr i rodnih logar i tamalg u . 0,4343 ln u ln u : 2,3O26 lg u

Izraiunavanje prirodnih logaritama iz dekadskihln 6.42 =. 2,3026 . lg 6,42 - 2,3026 0,8075 1,8593

Pri rodni logar i tmi brojeva od 100 do 999 sabrani su u tabl icama na str .l0 i l l . Za sve se druge brojeve izra iunavaju pomocu

ln l 0 : 2 , 3026 i n l n 10 , ' - 2 , 1026 n

l n 642 :6 ,4646 ( i z t ab l i ca )Nprrn 6,42 - tn (642l l0or : tn 642 In 102 : 6,4646 _2 . 2.3026 - . 1.8594

Mantise dekedskih logarltame

i o . (x)43 0086 012t i

Montise dekadskih logaritama

in tcas i++: z+i i r+se i466 11'7a7505 751 3 7520 752t4 7536 '7513 755 I7582 ?589 7591 7601 761) 7619 76217651 '7664 1672 7679 761t6 7691 '7701

113't ' l ' l38 ,-115 1752 7761t 776'7 1111

l l .1 2 .1 3 ,1 4 .

(x)00041,10792l l . l 91 , 1 6 1

65 32662r16 1 2 l681 26902

0 l 700569093.1t2'71158.1

7,10.17,1817 5 5 9763,17709

0: l5 l 0492 053 IOri28 086,1 08991 1 7 3 1 2 0 6 1 2 3 91 4 9 2 l 5 2 l 1 5 5 31790 r8 l 8 1847 18752068 2095 2122 2 I 482330 2355 23110 2,105257' 7 2601 2625 26482Ul0 21333 2U56 2878

7 8 0 3 7 8 1 0 7 8 1 871t75 781t2 7t3lt97945 7952 7959801 , l 1 t021 8028It0ll2 r30li9 8096

71t25 71 t32 7 t t39 78467u96 7903 7910 79177966 1913 79{t0 1981i1035 8041 tt0,l8 1t0558 1 0 2 8 1 0 9 l l i l 6 l l l 2 2

77ta2 1789 '7'79671153 7860 7lJ6lJ1921 79 I 793117993 lt(X)o 8(n7lt06t 1J069 110758 1 2 9 l J l 3 6 1 1 1 . 1 28195 U202 8209riz6l 1t267 82'741t-32-5 It33l 83311ti3i.{l 11395 lJ40lIt45 t 1i.1578-513 f t5 l9it57 3 ti579u 6 3 3 U 6 3 98691 li69ll875 1 rJ756lJl{08 it lJl:1nl{65 8lr7ll l92 I l l9l711976 it9629 0 3 I 9 0 3 6901t5 90909 1 3 l t 9 1 . 1 19 1 9 1 9 1 9 692,13 92.l lt9291 929993:15 93509 395 9.1009.t.l5 9.1509,19.1 949995,12 95 .17 95529590 9595 96009618 96,+3 964i96u5 9689 969.19 7 3 1 9 7 3 6 9 1 1 19777 97U2 97U691123 9827 98329fi6{3 91172 9ri779912 99t' 7 992199-s6 9961 9965

02 12 025.1 02940607 0645 06820969 100,1 103u1 303 l 335 t367r 614 164. { I 6731 9 0 3 l 9 3 l 1 9 5 92 t 7 5 2 2 0 1 2 2 2 72430 2455 24802672 2695 2'1182900 2923 2945

033.1 031407 l I 0755to '72 1106I 399 1.1301 703 17321987 20142253 22'/92504 25292742 27652967 29tr9.r1 l t l 320133tt5 34043579 3598-3766 37843945 3962

4 1 3 31298445646091757

'711) 7419'7 490 71977566 i5747642 76491 1 t 6 1 ' 7 2 3

-

5 5

56575859

1 5 ,t 6 .1 7 .l E .1 9 .2 0 .2 1 .

2 3 .2 4 .

8149 r i156 8 l61 1 i l69 lJ l76 l t l l i 28 l l5 u l22 1 t228 1 t235 t t241 82 .18ll2 80 lJ2 tt7 1i293 11399 11306 ll l I 21J34.1 l l35l 8357 lt:163 8.170 {1376u.107 lJ4l 4 r{.120 ti.126 1t.132 8439

8 l t tg112548 3 1 9ri3 82it445

1 0 .31 .3 2 .3 3 .3 4 .

3010 3032 30543222 -1243 32633,12;1 3444 3464361 7 3636 36553802 3820 383rJ

1075 309632114 330,1i4tt3 350.2367.1 36921856 3871

3139 31603345 33653541 35603729 31473909 3927

5-51 456355'7 5258665971

39'79 399'74 t 50 .1166431I 43- r014i2 148'71624 ,1639111 | '1786.191 4 49211505 l 50655 l n 5 5 1 9 85 l l 5 5 3 2 8s .141 5 ,1535 5 6 3 5 5 7 556132 569.1579tJ 5tt095 9 1 r 5 9 2 16 0 2 1 6 0 3 16 1 2 8 6 1 3 86232 62436315 63 .156.135 6144

401,1 .103141 83 ,12004346 ,13624502 451 1 l.+65,1 ,1669,1800 ,lti1 41942 495-55079 50925 2 l 1 5 2 2 453,10 5353-5,165 547{]-5587 55995705 57175rJ2 I 583 25933 59446042 60536149 6 1 606253 62636355 63656454 6461

i10:18 .10651216 12324378 4-1934-5 3 3 "154846tt-l 4698.1829 ,1n431969 :19u35 1 0 5 5 1 1 95211 52505 366 5 : r785490 5502-s6 l I 56235729 5740-s843 5U555955 59666064 60756 l 70 6r 806274 62846375 63856474 6484

552' 7 -ss39 55515647 565U 56705763 5 '775 57865'477 5888 58995988 5999 60 r0

u,163 8.170 8,176u525 u-s3 t 11537l l5 l35 8591 8-s9786.15 8651 l{6578 7 0 4 1 1 7 1 0 l l 7 l 6{J761 lJ76ll 81711t820 ri l l25 81331i+{76 Ull82 ltfllT8931 ll93| l l9,1.l89ti7 l l99l 8991J9041 9041 90539 0 9 6 9 l 0 t 9 1 0 69 1 . 1 9 9 1 5 . 1 9 1 5 99201 92r )6 92 t )9 :53 9258 926: l9 -104 9 .109 9 l l59355 9360 93659405 9410 9 .1159.155 9,160 946-5950,1 9509 95 I 3

11,182 li4iill8543 lt5'191t603 ri609tt663 1t6698122 87218719 1J785883? ttl l , l l81193 8899u9,19 tt9-5.1900.1 91X)9905ri 90639 l l 2 9 1 1 79 l6 -5 9 l 7 ( )9211 9 l l l9269 92719 3 2 0 9 3 1 593 70 917- o

iznosi pq r - l

GodiSnji obrok otplate (anuitet) aof s, ako se zajam mora otplatiti u rokuod n godina uz po/6 kamata. iznosi

a : x e n

FUNKCIJEAko svakoj vrijednosti x za a ! x I b odgovara todno odredeni broj /,

kaZemo da je za interval la, b) dana funkcija I, koju piSemov : f(x)

r - argument ili neovisna varijabla.Krivulja nr) sastavljena je od svih todaka (-r,/(x)) u ravnini x,y.

Opii oblik jednadibeA x * B y + C : 0

Eksplicitni oblik jednadZbe, m : tand.

Y - m x + b 6 - o d s j e d a k n a o s i ySegmentni oblik

x l a * t l b : 1Jednadiba pravca kroz zadanu todku Pr (xr,

.yr) uz prikloni kut d (pri-klonski koeficijent z)

Y - Y t = m ( x - x t \JednadZba pravca kroz dvije zadane to6ke P1 (x1, y1) in Pz (tz, yz)

0 - yr) (xr - xz) : (x - x1) 0r- yz)PotenciJalne krivulje

Parabole kroz todku Po (xo, /o)/ x \ r

r : r o l ; fn : | \ - 'u l

Y: vo?lxd (pravac)

y: yoffr,)2 (kvadratna parabola)n : 3

y : yo@f x)3 (kubna parabola)Hiperbole kroz todku Po (ro, yo)

Yxn :Y6x { : kons tKonstrukcija krivulje

I + t a n p : 1 1 1 - t a n a fNpr. za tan c( : 0,25 je

m I , l 1 , 2 1 ,3 1 ,4tanE 0,278 0,307 0,336 0,367

Eksponencijalna i logaritarnska krivulja

Ekspone ncija lna kr iv ulja

Totke krivuljeY : a '

odretlujemo radunski.

Sinusne krivuljeSinusoida

Logaritamska krivulja

v li l210

- l

y : logox

a : e - y : l n r

a : 1 0 ! : l g x

Y : r s i n qr - amplituda

Za fazni kut e pomaknuta sinu-soida

y , : r s i n ( q * c )

/ : ce* s in(or + s)Yl : ce-a

T :2nlotLogaritamski dekrement

A : l n f t : a Eyi+r (D

y, i y1*1 su ordinate dvaju susjed-njih ekstrema.

1 4 0

-

g v+,r 7\ , -150

,t:

\ - . - - * - ; - - -

. . \ $ " ; q x

Krivulja prigulenog titrunja

47

Cuniosie{ntce,(?\---l-l xo -r" l / l

i l , /ff+-_-l l \

KrulnicaOpca jednadlba - za srediste u todki (rs, ys)

.

( x - xo )2 * ( y - yo )7 : 12SrediSnja jednadiba - za sredi5te u ishodi5tu(-ro : 0, ),0 : 0)

' r 2 + Y 2 : 1 2Tjcmenska jednadZba -s ordinatnom osi kao tangen-

tom(xo : r,./o : 0) y2 : 2rx _ x2Parabola

Tjemenska jednadlba -: s ordinatnom osi kao tan-gentom in s koordinatama larilta F(pl2,Ol

f :2px 2p - ParametarJednadZba parabole za tjeme s koordinatama (x- yo)

(Y - Y)2 :2P(x - xo)Za parabolu kojaje otvorena prema negativnom smje-

ru osi x ima desna strana jednadZbe negativni predznak.Za parabolu s osi u smjeru ordinate / su u jednadZbi koordinate x i y

zamijenjene.Op6i oblik jednadibe (za os u smjeru ordinate ),)

t : a x 2 * b x * cElipsa

SrediSnja jednadZbax2 la2+y2 lb2 :1

a, b - poluosi (u smjerovima x, /)Tjemenska jednadiba

,z : (bzfaz) x(Za _ x)Hiperbola (A - asimptote)

SrediSnja jednadZbax2la2_Jrzlb2: I

Tjemenska jednadlbaf : (b2f a21 x(x-za1

Pri istostranoj hiperboli (a: D) su asimp-tote medusobno okomite i zatvaraju s koordi-natnim osima kut 45"

48

x 2 - y 2 : a z

4 - Srrojarski priruanik 49

h

Ciklidke krivulje (trohoide)

Cikloida nastaje pri korrljanju kru-inice po pravcu

x : r ( ? - s i n r )/ : r ( 1 - c o s r )

r - kut kotrljanjai lrad)

Epicikloida nastaje pri kotrljanjukruinice po vanjskoj strani druge kru-Znice

r : r(m sin y - sin my)y : r\m cos t! - cos u r/)m : ( R l r ) f r : n * ln : R l r v : t l n

Hipocikloida nastaje pri kotrljanjukruZnice po nutranjoj strani druge kru-Znice

x : r (u s in V -s inmV\y : r (mcost l l + cosmv)a : ( R - r ' 1 f r : n - |n : R f r V : t l n

Evolventa (involuta) nastaje pri odmatanju oboda s kruZnrce. t : R ( s i n r - ? c o s r )- y : R ( c o s r * ? s i n r )

r : R/cosai - tanu( p : t a n d . - i : i n v a?, & (rad)

(Vrijednost i evolventne funkcije inv c zakutove cr : 15. . . 30 ' su na str . 546.)

DERIVACIJA FUNKCIJEDerivacija funkcije y : f(x) u toCki x

v' :.f'(x\: 1;- {Q + A')-4')Ar+O A x

Osnovna pravila deriviranjala(.x) t v(x)l' : u'(x\ + v'(x\lconst ' a( . r ) ] ' = consr . , ' (x)

f tan2x-( l

* cot2x)

lu(x) ' v(x)l' : u'(x) v(x) * u(x) v,(x)lr9).1,.\:)l' : .lu'(x) u(x) - u(') v,(xI/ty(rI2{atv(x)l} ' : u'(v). v '(x\

DerivaciF vilega redaAko je /'(x) derivacija funkcije y : I@), tada je derivacija drugoga reda(druga derivacija)'

l " (x) - l f 'k t l ' : y" - dzyfdx2Derivacija r-tog reda funkcije /(x)

f(n)(x) :,r"1,rr(x)J' : y(n\ : d,yldx"Parcijalna derivecija

Parcijalnu derivaciju funkcije z:f(x,y) - npr. po varijabli x - radu-namo tako, da nezavisnu varijablu x deriviramo, dok nezavisnu varijablu/ pritom smatramo konstantom.

Parcijalna derivacija po x funkcije Parcijalna derivacija po y funkcijez : f(x, y) z : f(x, y)0 z

.. .f(r + Lx, y) --f(x, y): l l mA x ar+o Ax

Totalni diferencijal funkcije z2 , t ,

d z : " -

d x * " '

d y

0 z

o y , 6 r : -? l l t( x l o y

dyd x

Derivacije elementarnih funkciiav ' : 0y ' :nxn- t n - rea ln i b ro jv,: l lQV;)-y : cost.v ' : -s in xY ' : l f c o s 2 x : 1vt : -lf sin2x :Y ' : a ' l n a

y ' : l l t l na )y' : tlQ,3o26x')

v, : t lv=x,r' : -tly'I+zr ' : r l 1 + x z 1Y ' : - l l 1 . t + x 2 ' ,

y- rn(x + l /xz + iz) i :1 lv ; , + a,Derivacije parametarski zadane funkciie

Diferenciial

x : x( t ) y : y( t \ , - parametary ' (x\ - ]Q) l i ( r )

Diferencijal funkcije y:f(x) u to6ki x iedy : f ' ( x )d , x : d f

Osnovna pravila pri radunanju diferencijalad[z(x) + y(r) ] : du + dv d[z(x) . v(r ) ] : u(r)dy { r (x)dudlconst . z(x)l : ge651 . 6, dtz(x)/v(x)l :[v(x)'du _ u(.r)dr]/[v(.r)]2

50

0 x

Geometrijsko zu[enje derivacije funkcijeDerivacija funkcije /'(x) jednaka je koefici-jentu naklona tangente na krivulju /(x) u todki r

.f,(r) : tan cTangenta na krivulju /(x) u todki P1 (r1,y1)

y - y1 : f'(x) (x - xi)Normala na krivulju /(.r) u toaki Pr (rr,/r)

y - yt : l-t lf 'k)l@

- x)Ekstremi funkcije /(.r) su u todki ro, ako je

-f,(xd _ of , , t x ^ t

INTEGRAL

Neodrelteni integral

I fv)a ' : 1(x) + c gdje je I ' (x) : f (x) , c : konstOsnovna pravila zz izradunavanje neodretlenog integrala

Jtz(x) t r (x) ldx : J a(x) d: + J v(x)d.rJ l c . u ( r ) J d . v : C f z ( x ) d r

Parcijalna integracija (integratia per partes\J z(x) d v : z(:) v(x) - J v(x) d z

Neki osnovni integrali

t a d x : a x + CJx "dx : ( x !+ t ) l@ + l ) + C n * - lI ( r l x ) d x : l n r + CI a x d x : a ' f l n a * CI e x d x : e ' + CJ l n : d x : x ( l n x - l ) * C J t l / s i n 2 x ) d x - - c o t . r + CJ s i n x d x : - c o s x + C J ( l / c o s 2 x ; d . x : t a n r * CJ c o s x d x : s i n x * C I 0 l / J ; r 1 d x : a r c s i n x * CJ t a n - r d x : - l n c o s x * C j t t / t t + x 2 ) l d x : a r c t a n x * CJ c o t x d r : t n s i n x * C S ( l / * - a ) a x : l n ( x + V x r 4 ) + C

Uvotlenje nove integracijske varijablex : x ( t ) d x : i ( r ) d r

I fQ) a' : I flx (t)l i (t) d tPrimjeri

t . ! ( a + b x f d x : l t " e l b ) d t : ( t l b ) ( a * b x ) n r r f @ + l ) + C n * Ia * b x : , d , r : ( l l b ) d t

2 . l e , ' d x : ( l f t l e , ' * C J s i n r x d x : - ( l / z ) c o s n r * Cn x : t d x : ( l l n ) d t

t . ! t l@2 * 4)dx - ( t14\ I t l t? l }2 * l ldx : , r f2)arctan(x12,1 -r Cx f 2 : r

Izratunavanje povriine i volumena rotacijskih tijelaRotacijsko ti jelo nastaje rotacijom krivulje y:/(x) oko osi x, a S x 5 D.

Povr5ina ,{ rotacijskog tijelab

, t . z n l r l / t t y ' 2 d x

Volumen Z rotacijskog tijelaD

V : r I y 2 d x

Numeri6ko integriranjeCesto treba izradunati vrijednost odretlenog integrala

b

t fQ)a'gdje je funkcija f(x) zadana u obliku tablice ili ne poznajemo njen neodre_deni integral.

Trapezna jednadiba,_

Interval [a,b] podijelimo na z jednakih dijelova Sirine /r :(b_a)ln.Konadne todke k-toga podintegrala su

x k r : r o + G _ l ) hX * : x O : - k h

pri demu vrijedi: xo : a, xn: b, .f(x) - yk, pa je

f f t n a * = n ( t n - y t + . . . t r , _ , - t ; t , lJ \ 2 2 tDiferencijalne jednaZdbe

Obiina diferencijalna jeclnadtba n-tog reda ima oblikq(x, y, y ' , y" , .

. . , / (n)) : 0Njeno opCe rjeSenje sadrii n neovjsnih proizvoljnih konstanti.

Diferencijalna jednadtba sa rastavljivim varijablamaf(x\dx - e j \dy

j . f t ' ) ax : . f eO)dy+c

Homogena dife r e nc ij alna jednad I ba

i : f ( ' - \\ ^ /Rjelavamo je supstitucijom

Opie rjeSenje

Linearna diferencijalna jednadZba t. reda

Opie rje5enje

gdje jeG (r) : J s,1x) dx

Homogena diferencijalna iednadiba 2. reda s konstantnim koeficiientima! " * a 1 y ' i a 2 y : g

RjeSenje pomoiuy _ ek", y, : p"t ",

otkuda proizlazi karakteristidna jednadZbak 2 + a r k * a r : g

Opde rjelenje diferencijalne jednadZbe ovisno je o korijenima k, i k2 karak_teristidne jednadZbe:

kr kz - razliditi realni brojeviy Cr*," - C2*t

kr , kz - jednaki realn i brojevi : k , : kz: ky : (Cr * C2x) *,

kt, kz - konjugirano kompleksni brojevi: k,,, : a + iby :

" (C r cosbx + C2s in6x )Nehomogene linearne diferencijalne jednadZbe 2. reda rje3avaju se me-

todom varijacije konstanti.

Y : u x , y ' - - u ' x + u

[ t^ ' : I i=du + c

Y ' + c @ ) v * f r ( x ) : oy : -e c(") I lr (x) ec(")d x * Ce-c(x\

Y" : k2eFx

OpCe rjelenje

) )

Zbro j ku tova a * f I ) , : 180 "Vis ina na c h : as i nF (h L c \

R o m b o i d a * b * h , a * 9 0 'A : ah : ab sina.O : 2 ( a * b )

T r a p e z a * b * c + d ( a ( ), a t s c . a L c .

A : h - D s l n dz 2

O : a * b l c * d

3. Viiekuri (poligoni)Broj stranica n Zbroj unutranjih kotova 180'(z-2)Povrsinu odredujeno rastavljanjem visekuta na trokute. Opseg je zbroj

svih stranica.

56

4. Pravilni viJekuti sa n stranicaSrediSnji kut 2$ : 2rln f lrad)

.

2p : 360.lnPovrSina A : n(a2|4)cotttOpseg O : naPromjer opisane kruZnice D : alsinqPromjer upisane kruZnice d - altanoPravilni f ikovi n I t l A o D dtrokutkvadratpeterokutSesterokutosmerokut

5. KrugPolumjer r,

4568

promjer dA : r 2 t : d2 r f 4O : 2 r z r : d n

KruZni isjeiak i odsjeiakSrodi5nji kut e acad)

LIKOVI I TIJELAPovr5ina i opseg likova

l - p o v r 5 i n a , O - o p s e gTrokuti

c.4x

o. / l ' \o/ o l f \

c

StraniceKutovi

a , b , c,a, B, y

Koordinate vr5aka A(xa, ya), B(xs,.yn), C(xc, -yc)

A - hcl2, { : / ( s - d ) ( r - 6 ) ( s - c ) Z s : a I b * cA : 1 1 2 . a b s i n 7 : 1 1 2 . a c s i n f : t l 2 . b c s n dA: l12. [ r , rLys-yc) + xB(pc-/A) + rc(-yA-. ] ,B) lO - a * b * c : 2 s

2- CetverokutiStranice a, b, (.c, d) Kutovi a, fl, (y, 6)

Kvadrat a l : b ' t h, t = 9O'I l o A : a 2| | o - 4 ao

Pravokutnik a * b : h. a - 9O'I l o A , a b

O : 2 t o - h lo

[ - 1 R o m b a \ . b t T h , a * 9 0I lh /o A

- - ah - azs inat q t t O _ 4 a

F-----7l ln lo

l"l I

dl lh \b/.1 \

L u k t : r $ T e t i v a / : 2 r s i n f ,

V i s i na ods je t ka n - r ( t - " o r { )\ z l

PovrSina odsjedka ,t" : 'j

Povrline i volumeni tileloZ - volumen, obujam, ,4o -- povrlina osnovke (baze), Ao - povrlina pla-

5ta, ,4 - oplo5je (ukupna povrlina), fi - visinal. Prizmac v : A o h

Pravokutni paralelepipod sa stranicama a,6, cV : a b c A : 2 ( o b I a c * b c \Di jagonafa d: l /a, + b, +;a

Kocka sa stranicom av : a 3 A o - o z h : a

A : 6 a 2a : a y ' t

Kugla Polumjei R, promjer D

v : ! r R t : 4 , 1888R i : I n o1 : o , s236D . '3 6

A : 4 ' .R2 - nD2

Kuglin isjedak i odsjedakpolumjer kugline paralele a : V aZr - h')volumen isjedkav" : rh2(R- h f 3 \volumen odsjedka

v , :2 vpz1, : z ,og44R2h3

povr5ina plalta odsjetkaA p : 2 t t R h

6. El ipsoid Poluosi a, 6, c V : ! abcr3

7. Rotacijska tijela (rota,cija krivulje x : /(r) oko osi r)Guldinova pravila

a) Rotira li ravninska krivulja okoosi koja leZi u istoj ravnini, ali krivuljune sijede, opisat ie kriwlja plohu kojoj jepovrlina jednaka umnoSku duljine krivutjer opsga kruZnice sto je opisuje teZi5tekrivulje :

d A : 2 r x d sA : 2 r ! x d s : Z n , x o s

b) Rotira li ravna ploha oko osi kojaleii u istoj ravnini, ali ne sijede plohu,opisat ie ploha volumen jednak umno5kupovr5ine plohe i opsega kruZnice Sto jeopisuje tetiste krivulje:

d V : 2 r x y d xV : 2 n I x y d x : 2 n x s A s

TetiSta linija, likova i tijela - vidistr. 122 d,o 124.

, r 1

Dijagonala2. Valjak

V : A " hUspravni valjak s polumjerom r

V : r 2 n h A o : r 2 nA - 2 r n ( r i h \

Suplji valjak s polumjerima R i rV : (R2 - 12)r .h Ao: (R2 - 12)n

Suplji valjak s tankom stijenkomDebeljina stijenke 6 : R- rS redn j i po l um je . p : R * t

2V : 2 p n 5 h A o : 2 P r 6

3. PiramidaI

V : ' A " h3

Kvadratna piramida sa stranicom osnovkea i visinom ft

V : a 2 h f 3Kut a izmedu osnovke i pobodke

tana.: 2hf aDi jagonala osnovke: a: ay 'ZAp: a2lcosu: d2l2cosaA : a z ( l * l / c o s a )

/-----i---

VEKTORI

Skalari su velidine podpuno odredene samo jednim podatkom (npr. vri-jeme, masa, radnja, energija, temperatura itd.).Skalare oznadujemo simbolima, npr, a.Vektori su velidine, odredene intenzitetom (apsolutnom vrijednolCu) i

smjerom (npr. sila, moment, brzina, ubrzanje itd.).Vektore oznadujemo znakom iznad simbola, npr. c ili debljim simbolom.

npr. a; geometrijski ih prikazujemo orijentiranim duZinama.rVektor i mogu bi t i s lobodni i l i vezani . Slobodni se vektor i mogu

pomicati u svojem smjeru ili paralelno kamo god u prostoru, a njihovohvatiSte moZe biti svaka todka u prostoru (npr. moment para sila). Vezanise vektori mogu pomicati samo u svojem smjeru, a njihovo hvati5te moZebiti samo neka toEka na pravcu u kojem djeluju (npr. sila, kutna brzina).- ViSe sila koje djeluju u istoj todki su slobodni vektori, ali ako djelujuu razliditim todkama, to su vezani vektori.

Apsolutna vrijednost vektora , a : a je dulina kojom prikazujemovektor.

Ako je vektor zadan svojim komponentama (koordinatama)

vrijedi d : \a" aY' a)

" V;?';"" ':Vektori o : (a", a, a,\ i b : (b,, by, b") su jednaki, ako su im jednake sve

komponentea, : b, ay: b" a, - b,

Radij vektor je vektor, koji vodi od koordinatnoga ishodiSta 0 dotodke p u prostoru, a oznadujemo ga sa r

r:0_p

Zbrejanje i oduzimanje vektoreVektore zbrajamo i oduzimamo po zakonu paralelograma.Z b r o j v e k t o r a s : a * b

Koordinate zbroja e : (s,, s, s") sus r : a r t b ,s r : a r - l b "s" : a" * b,

Razlika vektora d: a- bKoordinate ruzlike d: (d,, dy, d,) str

d , : a , - b "d, : a"- b,d , : a , - b ,

a i l b - b l a ( c + b ) + c : a ! ( b i c ) a - c - 00 : o - ( 0 , 0 , 0 )

MnoZenje vektoraa) Mnoienje vektora skalarom m, koji je proizvoljan realan broj

m a : (max, may, ma,)Vektor rna leii na istom pravcu kao i vektor o, a njegova je apsolutna

vrijednostm A : m d

Za m> 0 vektori c i mc su istog smislaza m< O vektori a i ma su suprotnog smisla

b) Skalarni produkt dvaju vektora a i b je skalaro b : a , b , + a y b r + a , b , : a b c o s a

c( je kut medu vektorima a i b; dobivamo ga izcosa :ab f ( a b )

a b : b a ( q I b ) c : a c I b cd . : 0 ' . a b : a bx - n l 2 : a b : O

Njegove koordinate su i koordinate todkeP(x, y, z\

r : \ x , y , z )r : r . V 7 t 7 l - 7

Ako vektor r zatvara s osima koordinatakutove a, pi y, bit Ce smjerni kosinusi vek-tora r

c o s d :r

C o s ) ' : -cosf : rr

'U ovom su prirudniku vektori oznadeni sa d- u slikama. a sa c - utekstu (iz tiskarskih rulogal.60

---t-;7

6 l

c) Vektorski produkt dvaju veklora a i b ie vektor

Koordinate vektorskog produkta c : (c,, c,, c,) suc, : arb, - a,b" c" : a,b, - a,b, c, : arb" - a"b,

c X b : - b X a ( c + b ) X c : a X c * b \ . co t : 0 , 7 r a X b : O

Povriina,4, koju odreduju vektori a i b, jez a t r o k u t A - - l l 2 l a x b z a p a r a l e f o g r a m A : a x t t

d) Mjeioviti produkt vektora a, b i c je skalar(a , b , c ) : o \ b X c ) : ( a X b ) c

Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta jednaka je volumenu I/ para_lelopipeda, konstruiranoga nad vektorima a, b i c u prostoru

V : a , b , c

Derivacija vektorskih funkcijaDefinicije vektorske funkcije a(t) realne varijable / i njene derivacije su

iste kao pr i skalarnoj funkci j i .Derivacija zbroja i razlike vektora

lma ( t ) + nb ( t ) l ' : ma ' ( t ) + nb ' ( t \Derivacija skalarnog produkta

[a ( t \ b ( t ) ] ' - a , ( t ) b ( t ) + a ( r ) b , ( r )Derivacija vektorskoga produkta

ta( t ) x b(r) l ' : a ' ( t ' ) x b( t ) + a( t \ x b ' ( t )Vektor a(r) s komponentama X, y i Z (koje su skalame funkcije)

ima derivacijua(t) : lx( t ) , Y( t ) , z( t ) l

a ' ( t ) : lX ' ( t \ , Y ' ( t ) " z ' ( t ) lFunkcija c(r,s) ima dvije parcijalne derivacije

3:--- ralelograma, omedenoga vektorima c i b. Vektor c==--

-

ima smisao, odreden po pravilu desnovojnog vij-b . - ' k a .

1 b X 0 Y A Z \ l A X d y" ' - \ u , ' u , ' , , ) " ' : ( ; ; ' , r '

c : a X bkoji stoji okomito na ravninu vektora a i 6. Nje-gova apsolutna vrijednost jednaka je povrlini pa-

STATISTIKAMatematidka se statistika bavi metodama vrednovanja pokusima dobi-

venih podataka, da bi ustanovila vjerojarne zakonitosti opaianih studajnihpo1ava i velidina.

Statistilka vjerojFtnostRelativna uiestolosl p dogadaja A odredena je omjerom

gdje znaie

m

n

z - broj ponavljanja pokusaz - broj koliko se puta dogadaj A zbio.Relativna je udestalost uvijek

o < p < lpri demu wijedi

za p : O 1e m: O: dogadaj nije mogui ni pri jednom opa2anju,za p:. 1 je m: n: dogadaj se zbiva pri svakom opaZanju.Ako je broj n vrlo velik, uzimamo, da je relativna udestalost p pribtiZno

;ednaka stotistiikoj vjerojatnosti dogaclaja A pri pokusu.Statistiiki prosjek

Najznadajnije karakreristike sludajnih velidina su prosjedna wijednostivarijanca.

Prosjetna vrijednost i je broj, oko kojeg su iranizane pokusima dobi-vene vrijednosti sludajne velidine

gdje su

x l T x z 1 . . . r x n l -x ) x ,

, nzl ,i : I

u broj jednakih pokusax, -- vrijednost sludajne velidine pri i-tom pokusu.

.

Ako su vrijednosti x, brojdano velike, moZemo odabratj pribliinu pro-slednu vrijednost X i radunati s razlikama

r +x X ) ( x , - X 1,2

Zbroj odstupanja vrijednosti sluiajne velidine x, od njene prosjednevrijednosti i jednaka je 0

) ( x i - x ) : 0| : l

'f;)i totalni diferencijal

oz

d a : a r d l { a " d s

63

Varijanca o2 ozna(.uje rasipanje pri pokusima dobivenih vrijednosri te jeprosjedna vrijednost kvadrata odstupanja-sludajne velidine x, od njene prosje-dne wijednosti

. l \ -

o - : ) \ x i - x ) .,?

Umjesto varijance desto se upor.ab,.;.ru,- mjera todnosti

, ln :

ol/ '

- raspon vrijednosti

Normalna razdioba

Pri normalnoj razdiobi tede krivuljaudestalosti po Gaussovu zakonu:

r l r x - r t 2' .

" - z l - " I

o v z rgdje su

i - prosjeina wijednosta - standardna devijacijaGaussova krivulja proteZe se od -o do * o, a simetridna ie s obzi-

rom na vrijednost x : x, gdje je najveca udestalost

x x r m a x - I - o , r s s to l / 2 t o

Od te vrijednosti krivulja vrlo naglo pada simetridno s obje strane i imainfleksiju u todkama x - i + o, gdje je udstalost

x : x r o Y : 1 . _ : 0 , 2 4 2 !o l ' 2 n e o

Kod manjih vrijednosti a krivulja je normalne razdiobe strma, a kodveiih a je poloZita.

Cjelokupna povr5ina lika medu Gaussovom krivuljom i apscisnom osiiznosi

A : I t d x : l

a povriine medu Gaussovom krivuljom i apscisnom osi u pojedinim inter-valima iznose:

u i n t e r va lu , +0 ,670 A -0 ,5u i n t e r v a l u i r a A - 0 , 6 8 3u i n t e r v a l u i : 2 a A : 0 9 5 5u intervalu i 1 3o A :0997

- standardna devijacija- / jf / r s -

" : l / ' ) t x , - x ) 2f ,.L

t : I- varijacijski kvocijent

I \ - .c o v ( I , ) , ) = - ) t x , - i ) ( . y , - y ), t _ t 4

, : ! . r c o % ,Ako pri pokusu mjerimo dvije sludajne velidine x i y, pri z pokusa

dobivamo za njil.r vrijednostix t , x2 , . . . , xn i n ! t , l z , . . . . ! ^

to Ce za velidine x i y znalajni brojevi biti:- kovarijanca ili korelacijski moment - korelacijski koefcijent

R : x - " r - . t - ; n

Ir ( x , y ) : : ] ] ] cov ( x , y )

o - o , ,

Uvijek je r(x,y) < l. Znak jednakosti vrijedi tada, ako je ovisnost medur i l b e n o l i n e a r n a .

Razdioba ulestalostiHistogram je dijagram, koji pokazuje

udestalost vrijednosti sludajne velidine. Unjemu se na apscisu nanose mjerene vrije-dnosti, a na ordinatu udestalost.

Iz grafikona razdiobe udstalosti (a)dobivamo spajanjem sredine vrhova iz-lomljenu crtu (b) koja se to vise pribli-Zava neprekidnoj krivulji, Sto je sitnijapodjela na apscisi.

Pokusom dobiveni histogram je pri-bliZenje zakonu razdiobe sludajne veli-dine.

Ostale znaiajnije razdiobe:/ n rb r n o m n a a t x ) | ' l P . t l - p ) " '\ r /

) < P ^P o i s s o n o v a p \ x ) : -

nadal je: Studentova, razdioba x2 i td.

5 - Strojarski pr imanik

/ n \ n l( " J : " ' ( n - x ) !t>0 - dana konstanta

Regresija i korelacija

Krivulja koja spaja pokusom dobivene n toeke, s apscisama xr, x2, . . ., xni ordinatama yt ,y2, . . . ,yn nazivamo regresi jskom kr ivul jom odgovarajuCihvel id ina x i y .

Zelimo pstanoviti funkcionalnu zavisnost (korelaciju) y : f(x).Linearna korelacija

vl Pravac regresije (p)Y : a + b x

a - odsjedak na osi ordinata,b - koeficijent smjera

, y - a

D - _ - - t a n d

Vrrjednosti brojeva a i b odretlujemo metodom najmanjih kvadrata, aotuda proiz lazi

{_ . , r , _ r r yb . = ' ' :

,1,-t't n xz

JednadZbe regresijskog pravca

r _ !- : "ou1r,/l (" x)

n 2

r - i : :9v (x '

-v) ( / - / )6 , 2

Produkt koeficijenata smjera dvaju regresijskih pravaca je kvadrat kore-lacijskoga koeficijenta r -- r(x,y\.Pravci zatvaraju kut )/, koji iznosi

| - r 2 6 , o u( d , , Yr or2 + or2

Ako je r : l, pravci su jednaki,a medu x i y postoji linearna zavisnost.

66

SUSTAVI MJERNIH JEDINICAVelitinske jednadZbe i koherentne jedinice

Ve l id ina je sve , S to se moZe nr i jen ja t i po ve l id in i i m jen , npr . pu i ,brzina, teZina, temperatura, elektridni otpor itd. Po srodnosti f izikalnih pojavas kojima su vezane, dijelimo velidine na geometri jske, vremenske, mehani-dke (masa, s j la , rad i snaga) , e lek t r idne, magnetske i td .

Fizikalni zakoni odreduju medusobnu zavisnost raznovrsnih velidina.Svaki matematidki izraz, koji pokazuje samo medusobnu zavisnost velidinaz o v e m o v e l i d i n s k o m j e d n a d Z b o m . t

Veli i ine mjerimo usporedivanjem s odredenom vrijednoSiu iste velidine,k o j u s m o o d a b r a l i z a j e d i n i c u .

J e d i n i c e k o j e o d g o v a r a j u v e l i d i n s k i m j e d n a d Z b a m a s u d i m e n z i j s k i k o -h e r e n t n e j e d i n i c e .

Od d imenz i i sk i koherenrn ih jed in ica moZemo samo neke odabra t i po vo l j i .N a z i v a m o i h o s n o v n i m j e d i n i c a m a . S v c o s t a l e j e d i n i c e k o j e o d r e c l ujemo iz osnovnih jedinica s pomocu odgovarajuiih velidinskih jednadZbi( > d e f i n i c i j s k e j e d n a d Z b e ( ) n a z i v a m o i z v e d e n i m j e d i n i c a m a .

Broj osnovnih jedinica veoma je malen. Za sve geometri jske velidine do-voljna je samo jedna osnovna jedinica: za dulj inu. Kinematika treba veidv i je osnovne jed in ice : za du l j inu i v r i jeme. U k ine t ic i n lo ramo t im dv jemadodat i i t re iu : za masu, a e lek t r i ine i magnetske ve l i . ine t ra ie jo5 i ie tv r tu :za jakost elektridne struje. Osim tih. potrebnc su jos osnovne jedinice za tem_peraturu, svjetlosnu jakost i kolidinu tvari (materije).

Sve druge jed in ice moZemo izves t i i z t ih osnovn ih jed in ica .Sus tav i jed in ica povezu ju osnovne i i zvedene jed in ice u za jedn i i ku

d i m e n z i j s k u k o h e r e n c i j u . N o v i m e d u n a r o d n i s u s t a v j e d i n i c a ( S l )odlikuje se dimcnzijskom koherencijom za sve znadajnije velidine u fizici i teh-n ic i .

Brojdane jednadibeAko se pri izboru razlidit ih velidina ne bismo obazirali na jedinice ostalih

velidina, mogli bismo fizikalne zakone prtkazati samo jednadibama u kolimabi - kao parazitne koeficijente - trebalo uzimati u obzir i medusobne omie-r c r a z l i i i t i h l e d i n i c a .

Takav matematidni izraz, pri lagoden povoljno odabranim dimenzijskinekoherentn im jed in icama, n i je v iSe ve l id inska lednad iba , veC samo bro j -c a n a j e d n a d Z b a .

Brojiane se jednadZbc upolrebi,iavaju samo kada se njima Zeii pr;kazatimedusobni omjer veli6ina (npr. prema rezultatirna nrjerenja kod pokusa) kojrhmedusobna fizikalna ovisnost (joS) nUe poznata. U svii l slucajevima ka

MEDUNARODNI SUSTAV JEDINICA SI

Godine 1799. u Francuskoj su uredovno ustanovl jene jedin ice: metarza du l j i nu i k i l og ram za masu .

Godine 1875. u Parizu je 11 d.riava potpisalo Mcdunarodnu metarsku kon-venciju, kojoj su postupno pfistupale nove drZave dlanice, tako da je konven-cija nakon sto godina imala 43 dlanice potpisnice (medu njima i Jugoslaviju),dok je metarski sustav upotrebljaYalo vei vise od 120 drZava.

Za ptimanle zakljudaka Medunarodne metarske konvencije bile su zadu-iene Generalne konferencije za utege i mjere.

Godine 1901. je prof. Giorgi predloiio novi Dapsolutni sustav jedinica

Izvedene jedinlce SIOd osnovnih jedinica medunarodnog sustava jedinica SI izvcdene su

dimenzijski koherente jedinice geometrijskih i vremenskih velidina :za povrsinu - rnzza volumen - mlza brzinu - m/s

za ubrzznje - m/s:za kutnu brzinu - l/sza kutno ubrzanje - l/s2

Jedinica za silu proizlazi iz Newonova zakona'. F : ma, iz kojeg slijedidimenzijski koherentna jedinica

za silu - kg m/s2 : NTa jedinica sile - nazvana )njutn (N)( - je ona sila koja tijelu mase

I kg daje ubrzanje 1 m/s2.Iz jednadibe z^ rad: W: Fs slijedi dimenzijski koherentna jedinica

z a r a d - N m - JTa jedinica energije (rada) - nazvana >diul (J)< - je rad sile I N

na putu od I m.U metlunarodnom sustavu jedinica SI J je istovremeno i koherentna

jedinica za toplinu, koja je samo poseban oblik energije.JednadZba za snagu: P : Wlt daje dimenzijski koherentnu jedinicu

za snagu Jis : WJedinica za snagu nazvana )vat (W)< - je rad I J, inrSen u I s.

Jedinica za energiju (rad) je dakle i J : Ws.

Na te glavne dimenzijski tof,..J.'tn" jedinice mevolt (V)< - je potencijalna razlika

izmeom (O)< - je otpor iznedu

dviju todaka vodida medu kojima pri naponu od t V te& istosmjerna strujao d l A .

Slidno su definirane i ostale koherentne jedinice medunarodnoga sustavajedinica SI.

70

Izvedene jedinice medunarodnoga sustava jedinica SI koje nose posebnoime:

za frekvencijuza siluza energuuza snaguza tlakza kolidinu elektricitetaza elektridni naponza elektridni otporza elektridnu vodljivostza elektri6ni kapacitetza elektridni induktivitet

- herc (hertz)- Djutn (newton)- dZul (joule)- vat (watt)- paskal (pascal)- kulon (coulomb)- vol t- om (ohm)- simens (siemerrs)- farad- henri (henry)* veber (weber)- lumen- luks ( lux)

H z : l s - lN : I kgm/s2t -

P a :

N mUsN/or,A s

v : l w / A

za gustoiu magnetskog toka _ teslaza magnetski tokza svjetlosni tokza razsvijetljenost

O : t v / AS : I Q - IF : l c / vH : l v s / Ar : l N / A mW b : l T m 2lm : I cdsrlx : I lm/m2B q :G y :S v -SI su

I s - lJlkeJ/kejedinice

za radioaktivnost _ bekerel (becquerel)

za apsorbiranu dozu zradenja _ grej (gray)za ekvivalentnu dozu zradenja _ sivert (sievert)Koherentne jedinicc meClunarodnoga sustava iedinica

za kutove:za ravninski kut - radijan I rad : puni ravninski kut/2rrza prostorni kut - steradijan l sr : puni prostorni Uutl+rOsim navedenih izvedenih koherentnih jedinica koje imaju posebna ime_

na, koherentne jedinice medunarodnog sustava jediniia SI su i sve jediniceizvedene neposredno iz osnovnih jedinica mnoZenjem ili dijeljenjem, npr.m2, m3, m4, s-1, s-2, K- lm/s, m/s2, m2/s, mr/s, kg/s, kg/mr, kg m

ili iz vei izvedenih jedinica s posebnim imenom. nor.N m, N/m2, N/mr, N s/m2, rad/sJlxg, t l t

Declmalne mjerne jediniceS obzirom na to da se mjerena velidina gdjekada mora izraziti neprikla-

dno velikim ili malim brojem jedinica, ustanovljeni su u medunarodnoms u s t a v u j e d i n i c a S I i d e c i m a l n i v i S e k r a t n i c i j e d i n i c a o b i l j e Z e n i p o -sebnim predmecima:

predmetak znak vri jednost predmetak znak vrijednostdeci d l0-t Icen t i c l o -2 f 'mi l i m l0-3mikro i, l0 6nano n 10 9piko p lo- t 'femo f l0- 15ato a 10-18

JEDINICE I MJERE VELICINA(dozvoljene jugoslavenskim zakonom o mjernim jedinicama i mjerilima)

Geometrijske veliCinel. Duljina I

Jedinica SI I metar (m)Druge mjere

nanometar I nm : l0 9m : l0{mmmikrometar I pr.m : l0-5m : l0-3mmmil imetar I mm: l0-3rncent imetar l cm : l0-2m: l0mmdecimetar I dm - l0- lm lOcmk i l o m e t a r l k m : l 0 3 mmorska miljar : 1852 m

2. Ploha, povriina A, SJedinica SI I kvadratni metar (m2)Druge mjere

dekahektok i lo k 103mega M 106

G l oeT l 0 r2

peta P l0 l5eksa E l0 r8

d a 1 0 t lh 1 0 2 1 "

glgatera

Ti se decimalni vi5ekratnici dodaju svim osnovnim i izvedenim jedini-cama s posebnim imenom, a pi5u se ispred tih jedinica i tik uz njih (bezrazmakal. npr.

km, mm, pn-r; dag, mg; ms, ps; mAkN, MN, mN; kJ, MJ; kW, Mw, Gw,Pisanjem predmetaka tik uz mjerne jedinice, decimalne se mjerne jedinice

razlikuju od izvedenih jedinica koje su umnoZak osnovnih ili izvedenih jedi-nica s posebnim imenom, prt koiima se rnora ostaviti razmak (vidi str' 7l )'Tako treba razlikovati nPr.:

ms : milisekundamN : milinjutnW/mK : vat po milikelvinu

: metar-sekunda

Pri svakoj je decimalnoj mjernoj jedinici mogui samo jedan predmetak,n p r , :

l 0 e m : I n m ( n e : - I p m m ) , 1 0 6 g : I M g ( n e : : I k k g )Decimalni se viSekratnici nc dodaju jedinicama, izralenim potenclom

(npr. jedinicama za povrlinu, volumen, frekvenciju itd.) Dakle:l m m 2 . : ( 1 0 3 p ) 2 : 1 0 6 m 2 ( n e : : l m ( m z ) - - 1 6 - l - 2 1I n s I : ( 1 0 e s ) I : l 0 e s - r ( n e : - I n ( s l ) : l O - e s I )I m m 2 / s : ( 1 0 3 m ) 2 / s = = l 0 - 6 m 2 / s ( n e : : I m ( m 2 / s ) : 1 0 - 3 m 2 / s )

I arooir*u viSekratnika da, h, d i c je ogranicena; dopuitena jc samo u sli je-deim sludajevima:

dag, dalm dm, dmr, dmr, dlha, hl cm, cm2, cm3, cma, cl

7Z

Mjere za volumen tekuiina (i sipkih tvari)

M S : M . S

m N : m . N : m e t a r - n j u t nW/m K : W/{m. K) : vat Po

metar-kelvinu

3. Volumen (obujam, zapremina) VJedinica SI I kubni metar (mr)Druge mjere

kubni milimetarkubni centimetarkubni decimetar

kvadratni milimetarkvadratni centimetarkvadratni decimetar

hektarkvadratni kilometar

l i tar**mikrolitarmililitarcentilitardecilitarhektolitar

I mm2 : 10-6m2I cm2 : l0 -4m2I dm2 : 10-2m2l a : 1 0 2 m 2I h a : l d m 2 : l 0 0 aI km2 ,= , 106m2 : l0oha

I mm3 - l0 -em3I c m 3 : l 0 6 m 3I d m 3 : l 0 - r m 3

I ( l L ) : 1 0 3 m 3 - - l d m spl (1 pr ,L) : l0 emr : 10-61 (10-6L)m l ( l m L ) : l 0 - 6 m 3 : l 0 3 l ( 1 0 - r L )c l ( 1 cL ) : l 0 -5m3 : I 0 2 l ( 10 -2L )d l ( 1 dL ) : l 0 4m3 : l 0 - ' I ( 10 - t L )h l ( l hL ) : l 0 - rmr - - l 02 l ( 102L )

' Smije se upotreblJavati samo za oznalivanje udaljenosti u pomorskom i zra-Cnom saobracaju. - .. Oznake za l it i l : I i L su jednakowijedne.

1 1

4. Ravninski kut a., &Ravninski kut je dio ravnine izmedu dva pravca koji sc sjeku u whu kuta.

Merimo ga duljinom luka medu sjeciStima pravaca i kruZnicc sa sre.diStemu vrhu kuta i to omjerima duljine luka i opsega kruZnice ili duljine lukai polumjera kruZnice (m/m : l).

Pr i rodna jedin ica za ravninski kut je I puni kut . . Puni kut je kutpri kojem je luk jednak opsegu kruinice.

Opienito su u upotrebi mjere za kut cr:kutni stupanj l" : puni kut/360kutna minuta l ' : l '160kutna sekunda l " : l '160: l '13600

Druge kutne mjere:gradusi l igon ls : punikut /40opravi kul : puni kut /4

Jedinica SI za ludnu mjeru ( : anal i t idk i ravninski kut) i je I radi jan(rad). Radijan je kut, pri kojem je luk jednak polumjeru kruZnice.I rad : puni kut f2r :360"12r : 57,29578" : 57"17'45"

Zbog razlikovanja su u ovom priru6niku ozna&ni:.._ kutovi, mjereni u stupnjevima, oznakama a, f, y ...- ludne mjere, mjerene u radijanima, oznakama A, B, i . . ,

Pretvaranje radijana u kutne stupnjeve

Pretvaranje kutnih stupnjeva, minuta i sekunda u radijanel " : 0 , 017453 rad l ' :0,000291 rad

rao radrad

l" : 0,000005 rad' i

0 ,017 50,034 90,052 40,069 80,087 30,1 04 7o,122 20, t 39 60 ,1 57 I0,1 74 50,1 92 00,209 40,226 90,244 30,26t 80,279 30.296' l0,314 2

0,13 I 60,349 I0,366 50,384 00,401 40 ,418 90,436 30,453 8o ,47120,488 70,506 I0,523 60,541 00,558 50,576 00,593 40 ,610 90.628 3

59 1,030

t 9202 l22z32425?627282930l l32

1 L

-10

3'l3839404 lA 1

43

4546474849505 l52) J

7374'157677?879808 l828384858687888990

|,2'14| ,291| ,309t,326t,344I , 361| ,3 ' t9l ,3961 , 4 1 3l ,431t ,u8t,466I ,483I , 5011 , 5 t 81 ,536I , 553I , 57 t

55 I 0,959 956 0,977 457 I 0,994 858 I , 012

67890I23

5

:

60 t ,u j6 l I l .06462 1,08263 | ,0996 4 l . l 1 76 5 1 . 1 3 46 6 I I , 1 5 26 7 | 1 , t 6 96 8 I , 1 8 769 t,zu7O I t ,2227t I t ,239

0,020,040,060,080 , l 00 , 1 20 , l 40 ,1 60 , t 80,20o,22o,24o,260,280,30

o,5 73t , 146) ) a )3,43 84,5 845,7306,8758,02 I9,167

10 ,313lt,459I 2,605I 3,?5 I14,891I 6,0431 7 ,1 89

Iud0,640,660,680,70o,720,74o,760,780,800,820,840,860,860,90n o t0,94

36,67037,8 I 538,96 I40, l 074 t , 25342,39943,54s44,69145,83146,98348,12849,2'1450,42051,566

5 t R S t

rad0,960,981,00I , 0 2I,04I ,06I ,08l , l 0| , l z| , 1 4I , 1 6I , 1 8I , 2 0t ) )| ,24| ,26

55,00456 ,1505'7,29658,44259,58860,'t346l ,87963,02564,17 |65,31766,46367,60968,75559,9017t,o4772,t93

| , 4 2|,441,46t ,48I , 5 0| , 5 2I , 5 41 , 5 6I i ?

8 l ,36082,50683,65284,79885,94487,09088,23689,38 I89,9s4

rado;z ia,rli0,34 19,4810,36 20,6260,38 21,7 '120,40 22,9t80,42 24,064o,44 | 25,2t00,46 26,3560,48 2'7,5020,50 28,6480,52 29,7940,54 r 30,9400,56 i 12,0860,58 | 33,2320,60 r 34,3770,62 35,523

r a d i "

1,28 | 73,33e1,30 I 74,485| ,32 75,630|,34 76,'t'16r ,36 77,9221,38 I 79,0681,40 I 80,214

| 0.0t7 I 4 0,067 | 7 0,1t7 | l0 0,167 | , |o 0.672 0.033 | 5 0,083 | 8 0,133 I 20 0.331 | 50 0.833I 0 .050 I 6 0 ,100 | e 0 ,150 | l o 0 , s0o I 60 l l :mo

| 0.000 | 4 0.0ot | 7 0,002 I to 0,001 | 40 0.0t I2 0.00t | 5 0,00t | 8 0,002 | 20 0,006 | 50 0.0143 0,001 | 6 0,002 | e 0.003 | 30 0.008 | 60 0,017

' tz | | ,2s6Pretvaranje kutnih minuta i sekunda u decimale kutnih stupnjeva

Pretvaranje decimala kutnih stupnjeva u kutne minute i sekunde

_ r ] ] ] _ l I _ _ - |0,001 +" l o,ooo iz ; I o,or 0.16. . 1 0.06 3.36. . 1 0.1 o. I o.o r le0,002 7" | 0,007 25' l 0.02 t . t2. . l 0,07 4 ' t2. ' l o.2 t2 ' I O.7 42'0.001 l t " | 0,008 29, ' | 0,03 r .48" 1 0.08 4.48, ,1 0.3 18' | 0:8 48'0,m4 14" | 0.00e 32" | 0,04 2,24. I o.os 5 '24, ' l o.4 , 24 ' I O.s , 54 '0 , 0 0 5 t 8 " 1 0 , 0 t 0 3 6 . 1 0 , 0 5 I l 0 , r o 6 . l o : s , 3 0 . 1 1 : 0 1 6 0 ,5. Prostorni kut

Jedinica za prostorni kut je I steradijan (sr)1 51 : puni prostorni kut/4r

_

' PredloZena je (po DIN-u), no medunarodnojoS nije usvojena, oznaka: pla(lat. plenus angulu5 : puni kut). Jedinica puni kut potpuno odgovara jedinici jedanokretaj (vidi str. 76).

_I110,645 80,663 20,680 70,698 I0 ,71 5 60,733 00,750 50,'767 90,785 40,802 90,820 30,837 80,855 20,8'72 70,890 I0,907 60,925 00,942 5

75

Vremenske -veliCincl'rijeme tJedinica Sl I sekt tncla (s)Druge mjere rniiisekunda i ms : l0..l s

kilcrsekunda I ks .: 103 sminuta i min == 60 ssat (hora) I h ' 6O min : 3600 sd a n ( d i e s ) I d : 2 4 h - ' 8 6 4 O O sgodina lannus)* i a :8760 l t 31 536 ks

Erzina NJedinica SI I metar u sekundi (mis)I)ruge mjere kilometar u sekundi I km/s =- l0r m/s

ki lometar t ra sat I km/h = l /3,6 mis6vor (mi l ia na sat) = ' 0,5144 m/sbrzina sljetlosti c6 - 299192.456' kmls

Librzanje oJe,Jinica SI I metar u sekundi na kvadrat (m/sl)Druga mjera zenaljsko ubrzan;e g ' 9,80665 m/sr

Frekvencija fJed in ica SI I herc (her tz i (Hz : s r )Druge rnjere kiloherc i kHz - 103 Hz

megaherc i MHz " 106 FIzgigaherc I GFlz - lOe Hz

5. Kruina frekvenciia o

Jedinica Sl I sekunda na minus prvu (s l)

6. Brzina rrlnje rtJedinica SI I okretaj u sekundi (okr7's)r*Druga mjera okretaj u minuti I okrlmin : l ic'O okris

7. Kutna brzina aJedinica Sl I radijan u sekundi (radis)

8. Kutno ubrzanje eJedinica SI I radijan u sekundi na kvadrat (rad/s2)

Velidine za

l. Masa m

Jedinica Sl I ki logram (kg)Druge mjere miligram

centlgramdecigramgramdekagrammegagrarnIOna

I mg : 10-6 kg : ig- : *l c g : 1 0 5 k 9 : , i 0 2 9I d g . . l 0 - 4 k g : 1 6 - t tl g : l 0 3 k gl d a g : 1 0 2 k 9 : l 0 gl M g : l 0 r k g - l tI t : i O r k g , - . l M g

a : 1 , 6 6 0 5 3 1 ' l 0 2 7 k gatomska .ledinica maser

2. Duiinska fiaso fr1

Jedinica Si I ki logram po metru (kg/m)Druge mjere kilogram po kilometru I kg/km = t0-r kg/m

teks , tex* i I t eks : l 0 b kc /m : i g / km

3. Ploina masa mA

Jedinica SI I ki logram po kvadratnom metru (kg,/m2)

4. Volumna masa, gustoia ( speciifua maso )4+*Jed in ica SI I k i logram po kubnom rne t ru {kg /mr1Druge mjeie gram po k,,ibnorr, decimetru I gidm'

gram po kubnonr centimetru I g/cmr 1k i logram po kubnom dec imet ru I kg idml !megagram po kubnom mrtru I Mgimr Itona po kubncm met iu I t lmr l

. - I kg lmi

: 103 kg /ml

r s obzirom na prestupne godine vri jedi u prosleku: I a:8765,76 !r :: 3 l 556,736 ks

tt Medunarodno ie predloZena, ali jo! nije usvojena, oznaka: rev/s (lat revolu't io : okretai). Jedinica oi(retaj potDuno odSovara je

ProtoCne veliCine

Protok mase q^, qJedinica SI I kilogram u skundi (kgls)Druge mjere gram u sekundi I s/s

meganjutn I MN - lOb N

Upozorenje !Velidine rte2ina( i >specifidna teZina< nisu spomenute u jugoslavenskom

zakonu o mjernim jedinicama i mjerilima.Teiina G je sila, k-oja proistjeie iz privladnosti Zemlje za masu m (G -

-. mg); mjerimo je dakle kao silu (N). U svakidanjem Zivotu upotrebljavamo))tezinu(< za vaganjem ustanovljenu masu (g, kg, t).'

Specifidna je teZina / (zbog prednosti nepromjenljive mas prema pro-mjenljivoj teZini) izgubila svoj smisao; stoga je treba u potpunosti zamjenitispeci f idnom masom (gustoCom) e ( t : pg).

* To je u snr is lu JUS A.A1.025 (1980). Po DIN-u val ja razl ikovat i >teZinu-s i luRelativni tlak pe( je razlika apsolutnoga tlaka p i (nekog drugog aliredovno) atmosferskog tlaka po: pe : p - pa

p:. pa p, - O prgtlak

p

Energetske veli[inel. Energija E, rad lf , toplina Q

Jed in ica SI I dZu l (Jou le ) (J . - N m)Druge mjere k i lod7u l

megadZulg igadZu lva t -sekundavat-satk i lova t -sekundak i lova t -sa tmegavat-sat

2. Snuga P, toplinski tok rItJedinica SI I vat (wi i t t ) (w =- JD)Druge mjere mi l lvat I mW == l0-3W

ki lovat I kW .- 103 Wmegavat I MW : 106 Wgigavat I GW ... lOY Wki lodZul u sekundi I kJ/s : I kWki lodZul na sat I kJ ih : l /3600 kW

l . TempcraluruToplinske veli i ine

Jed in ica SI za ( te rmod inami iku) tempera turu je I kc lv jn (K) .Jed in ica ke lv in je 273,16 . d io tempera turne raz l i ke i zn- redu apso lu tne

nule i trojne toake vode.Druga mjera za temperaturu je stupanj Celzija ( 'C).S tupan j Ce lz i ja je 100. d io tempera turne raz l i ke (p r i t laku od 1 ,01325 bar )

izmedu led i i ta i r re l i i ta vode.Jed in ica ke lv in i s tupan j Ce lz i ja su jednak i : I 'C - " I Ka) Temperaturna skalaApsolutna se temperatura ?' mjeri od apsolutne nule (0,00 K).Celzijeva se temperatura r mjeri od lediSta vode (0,00 C)'

r ( K ) - t ( ' c ) : 2 7 3 , 1 sT t

2, Temperaturno raztezanje a, fJedinica SI I metar po metru i kelvinu (m/m K : K-t)Druga mjera mikrometar po metru i kelvinu I gm/m K - l0 6 K I

3. Brzina zagrijavanja i ohladivanja Tlt @7|l'Jt)Jedinica SI I kelvin u sekundi (K/s)

lK/min : l /60 Kisl K/h - l/3600 K/s

4. Specifini toplinski kapacitet, speciftna toplinar cJedinica SI l diul po kilogramu i kelvinu (J/kg K)Druga mjera kilodZul po kilogramu i kelvinu I kJ/kgK : l0r UkgK

5. Entalpija HJedinica SI I dZul (J)Druga mjera kilodZul l k J

6. Specifiina entalpija hJedinica SI I dZul po kilogramu (J/kg)Druga mjera kilodZul po kilogramu I kJ/kg

7, Entropija SJedinica SI I diul po kelvinu (J/K)Druga mjera kilodZul po kelvinu l kJ iK

k J : l 0 3 JMJ .-= lu6 JC J : l u Y JW s : I Jw h : 3 6 0 0 Jk W s : l k Jkw h ..- 3600 kJM W h : 3 6 0 0 M J

Druge mjere kelvin u minutikelvin na sat

: l 0 r J

: t03 J/ks

: 103 J /K

b) Me

l. Molna masa mn Molne veliCineJedinica SI I kilogram po molu (kg/mol)Druge mjere gram po molu I g/mol

k i logram po k i lomotu I [ i / fmot2. Molni volumen V^

Jedinica Sl I kubni metar po molu (ml/mollDruga mjera kubni metar po kilomolu ' 1 6r/kmol

3. Koncentracija tvari (molarnosr) lfV^.

Jedinica SI t mol po kubnom metru (mol/ml;Druga mjera kilomol po kubnom metru I'kmol/m:

4. Molna toplina c^Jedinica SI I diul po molu i kelvinu (J/mol K)Druge mjere dZul po kilomolu i kelvinu I J/kmol K

kilodZul po kilomolu i kelvinu I kJlkmol Kkilodiul po molu i ketvinu I kJimol K

5. Molna entalpija h^

: t0-3 kg/mol: l0-3 ks/mot

- 1g-r 6r/mol

: 103 mol /ml

: l0-rJ/mot K: I J/mol K: l0r J/mol K

Elektridne velidineL Elektriina struja I

Jedinica SI I amper (ampere) (A)Druge mjere nanoamper I nA : l0-e A

mikroamper I pA : l0-5 Amiliamper I mA : l0-l Akiloamper I kA : l0r A

2. Koliiina elel(triciteta (elektrihi naboj) eJedinica SI I kulon (coulomb) (C : A s)Druge mjere milikulon I mC : l0 I C

ki lokulon I kC : l0r Camper - sekunda lAs _ lCamper - sa t lAh : 3600c

3. Elektriini napon (JJedinica SI I volt (V -.- W/Al

Jedinica SI I dZul po molu (J/mol)Druge mjere dZul po kilomolu

ki lodZul po k i lomolukilodZul po molu

6. Molna entropia smJedinica SI I dZul po molu i kelvinu (J/K mol)Druge mjere dZul po krlomolu i. kelvinu I J/Kkmot : l0_rJ/KmolIl[:;:i ?: Tfi:.]i:i":ff" ilj/[:Ti' : iJ/tflj:;

Velidine zradenjal. Aktivnost radioaktivnoga tzvora

Jedinica SI I bekerel (trecquerel) (Bq :5-r;2. Apsorbirana doza ionizirajutega zraienja

Jedinica SI I grej (gray) (cy : J/kg)3. Ekvivalentna doza ionizirajucega zraienja

Jedinica SI I sivert (sievert) (Sv : J/kg)4. Ekspozicijska doza ionizirajuiega zraienja

Jedinica SI I kulon po kilogramu (C/kg)8 2

Elektriina jakost polja EJedinica SI I volt po metru (V/m : N/C)Druge mjere milivolt po metru I mV/m : l0-3 V/m

kilovolr po metru I kv/m : 103 V/mvolt po milimetru I V/mm : l0r V/m

Elektriini otpor RJedinica SI I om (ohm) (O - v/A)Druge mjere miliom I mO : l0-r f)

kiloom I kQ : lor O6. Specifitni (elektitni'1 otpor p

Jedinica SI I om-rnetcr (e m)Druga mjera om-kvadratni mi l imetar na metar I Omm2/m : 10_6em

7. Elektriina vodljivost GJedinica Sl I s imens (s iernens) (S: l / ( t )

I J/kmol : l0-3 J/molI kJlkmol : l4molI kJ/mol : t03 J/mol

Druge mjere mikrovoltmilivoltkilovoltmegavolt

l p vl m Vl k vl M v

: l0-o V: l0-3 V: 1 0 3 v: I O 5 V

83

8. Kapacitet CJedinica SI I farad (F: C/V)Druge mjere pikofarad

nanofaradmikrofaradmilifarad

p F : t 0 1 2 FnF : l 0 -e FpF : 10-6 FmF : l 0 - l F

l n T : 1 0 - e TI p T - l 0 6 Tl m T : 1 0 - 3 7

I mWb : l0-3 Wb

9. Induktivitet LJedinica SI I henri (henry) (H : Vs/A)Druge mjere pikohenri I pH : t0 12 H

nanohenri I nH : l0-e Hm i k r o h e n r i l p l H : 1 0 6 Hmil ihenr i t mH : lg- t H

lO. Gustoca magnetskoga toka (magnetska indukcija) BJedinica SI I tesla (T : N/A m - Wb/m2)Druge mjere nanotesla

mikroteslamilitesla

11. Magnetski tok

8. Za silumilipondpondkilopondmegaponddinsthenepoundal

9. Za tlak i naprezanjefizikalna atmosferatehnidka atmosferastupac Zive (0'C)stupac vode (4'C)

10. Za dinamiiku viskoznoslcentlpoazpoaz (poise)dekapoaz

ll, Za kinematitnu viskoznoslcentistoksstoks (stokes)stupnjevi po Engleru "E:

.E t ,0 1,1 ' t ,2mm2/s 1,00 1,82 2,82"E 2,5 3,0 4,0mm2/s 16,7 21,1 29,5

l m pl pl k pl M pI dynl s tI pd.

I atml a tI m m H gl mm H2O : I kp/m2

:9 ,80665 . l 0 -5 N: 9,80665 . l0-r N:9 ,8665 N:9,80665 ' l0r N: l0-5 N: 1 0 3 N:0 , r 38254 N

12. Za energiju, rad, toplinukilopond-metarkoriska snaga-satkalorijakilokalorijalitar-atmosferaergfoot-poundhorse power-hourbritish thermal unit

13, Za snagu, toplinski tokkilopond-metar u sekundrkonjska snagakalorija u sekundikilokalorija na saterg u sekundifoot-pound per secondhorse powerbritish thermal unit per hour

14. Za temperaturu

: l 0 -3p: l 0 - ! kp

: 1 0 r k p: l 0 p N

: 760 mm Hg : l0l 325 Pa: I kp/cm2 : 98 065,5 Pa

:9,80665 J:2,648 . 106 !: 4 , 1 8 6 E J: 4186,8 J:98,0665 J: l0-7 J: 1,355 8 J: 2,685. lo5 J: t , 055 . t 03 J

:9 ,80665 W:735,49 w: 4 , 1 8 6 E W: 1 , 1 6 3 w: l0-7 W: 1