1

Statisztika Sportszervező BSc képzésNBG GI866G4

2010-2011-es tanév II. félév

Oktató:Dr. Csáfor Hajnalkafőiskolai docensVállalkozás-gazdaságtan Tsz.E-mail: hcsafor@ektf.hu

Statisztikai alapfogalmakalapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak

Statisztika fogalmaSokaság és ismérvStatisztikai adat és mutatószámStatisztikai sorokStatisztikai táblák Mérési szintekAdatfelvétel, adatszerzési módokKérdőívszerkesztésAdatok pontossága

Statisztika fogalma

Tömegesen előforduló jelenségek egyedeirevonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

adatgyűjtésadatgyűjtésadatfeldolgozásadatok elemzése

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.),vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)

Statisztika fogalma

Egyidős az állammal…Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás”XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer központikialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József)Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867)1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)

Statisztikai sokaság és ismérv

Statisztikai sokaság:A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)

Sokaság fajtái:diszkrét – folytonos (elkülönült egységek –

önkényes elkülönítés)

álló – mozgó (időpont – időtartam)

2

Statisztikai sokaság és ismérv

Statisztikai ismérvek:Olyan vizsgálati szempontok, amelyek

l já k á é i j ll h őkalapján a sokaság egységei jellemezhetők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat az ismérv változatainak nevezzük.

Statisztikai sokaság és ismérv

Ismérvek fajtái:1) Időbeli ismérvek2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek3) Mennyiségi ismérvek4) Minőségi ismérvek

- Alternatív ismérvek- Közös ismérvek- Megkülönböztető ismérvek

Tárgyi ismérvek

Feladat/1.

Sokaság Egy konkrét egység

Ismérv Ismérv-változat

Ismérvfajta/Mérési skála

A magyar Kiss Réka Születési 1976 Időbeli/A magyar népesség

2007. január elsején

Kiss Réka Születési idő

1976 Időbeli/intervallum

Lakóhely Budapest Területi/nominális

Nem Nő Minőségi/nominális

Életkor 29 Mennyiségi/arány

Feladat/2.

Adottak az alábbi sokaságok:Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő.A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején.BCE oktatói 2006 szept 4 énBCE oktatói 2006. szept. 4-én.Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián.

Feladat:Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!Az egyes sokaságokra vonatkozóan soroljon fel közös és megkülönböztető ismérveket, majd nevezze meg ezek típusát is!

Feladat/3.Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!

Nem (férfi, nő)Él kÉletkorMagasságTestsúly Családi állapotIskolai végzettség FoglalkozásBruttó havi fizetés

Statisztikai adat és mutatószám

Statisztikai adat:Az egyedekről szerezhető információ.fogalmi jegy

Statisztikai mutatószám:Valamilyen statisztikai módszerrel a

fogalmi jegyidőbeli azonosítótérbeli azonosítószámértékmértékegység.(mérés vagy számlálás) Például:

194.000(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó Ft/fő/hó

rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám.

3

Statisztikai sorokA sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése.

Sorkészítés célja szerint:Csoportosító sorÖsszehasonlító sor

Valódi statisztikai sorok

Leíró sor

Ismérvfajtáknak megfelelően:Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok

Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek

Nem valódi statisztikai sor

Statisztikai sorok

Csoportosító statisztikai sor:A sokaság belső

Ismérv-változatok

Egységek száma

C1C2

f1f2összefüggéseit fejezi

ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők.(időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)

C2..

Ci.

Ck

f2..fi.fk

Összesen: N

Statisztikai sorok

Összehasonlító statisztikai sor:Összehasonlító

d t k t ti tik i

Ismérv-változat

Számérték/ mértékegység

C1 adatadatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők.(idősor, területi)

C2..

Ci.

Ck

adat..

adat.

adat

Statisztikai táblákStatisztikai sorok összefüggő rendszere.

Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok)Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.

Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlítóCsoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok)Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja.

Kombinációs tábla (csoportosító sorok)Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.

Statisztikai táblák

Egyszerű statisztikai tábla

Egy városban az orvosellátottság alakulása:

Év Orvosok száma (fő)

Lakosok száma (fő)

Egy orvosra jutó lakosok száma

1990 240 80 000 333,3

1999 360 100 000 277,8

gy g

Statisztikai táblák

Csoportosító statisztikai tábla

Búzatermelés adatai 1991-ben:

Körzet Termés (ezer tonna)

Termésátlag (t/ha)

Dunántúl 2000 5,2Alföld 3000 5,31Észak 705 4,71

Összesen 5705 …

4

Statisztikai táblák

Kombinációs statisztikai tábla

Osztályzat A B C Összesen

Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:

Osztályzat A B C Összesenkar hallgatóinak megoszlása

5 19 23 19 614 32 49 40 1213 24 36 56 1162 20 36 82 1381 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457

Statisztikai táblák

Dimenziószám:Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.

Táblakészítés szabályai:Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb)Oldalrovatok, fejrovatEgy rovat sem üres (--, ●(●). 0,0)Forrásmegjelölés

Mérési szintekCsak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatókszámértékké alakíthatók.

Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.

Mérési szintek

4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:

Né l / i áli é é i iNévleges/nominális mérési szintSorrendi/ordinális mérési szintKülönbségi/intervallum mérési szintArányskálán történő mérés

Mérési szintek

Névleges/nominális mérési szint:Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez.Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják.Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető.

Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma

Mérési szintekSorrendi/ordinális mérési szint:A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát.Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét.A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje.

Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása

5

Mérési szintek

Különbségi/intervallum mérési szint:A skálaértékek különbségei is információt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről.g gy gyA skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.

Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.

Mérési szintek

Arányskálán történő mérés:A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya isskálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Az értékek különbsége önmagában semmit sem mond, csak arányskálán értelmezhetők.

Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)

Adatszerzési módok

Teljeskörű felvétel Részleges felvétel

Monográfia Reprezentatív megfigyelések

Egyéb részleges adatfelvétel

Véletlenen alapuló

Nem véletlen(kontrolált)

Kérdőívszerkesztés

Alapos szakmai hozzáértésTömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdésekFőleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő)j g y )Ne legyen túl hosszúAjánlott az anonim adatfelvételKompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzükVéglegesítés előtt: próbalekérdezésHa nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány

Adatok pontossága

aA ±

d b l hib k l

αAa

=

l hib k lSzignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthetőszámjegyek

: a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke

Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát

ahol ,2

10ˆk

≤a

k10

Például Mo. népessége (90-ben):

10.277 ezer ± 500 fő

Statisztikai elemzések

áviszonyszámokkal

6

Viszonyszámok

Viszonyszám fogalmaViszonyszámok fajtáiMegoszlási és koordinációs viszonyszámokDinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggésekIntenzitási viszonyszámokViszonyszámok grafikus ábrázolása

Viszonyszámok

Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa

, ahol A: a viszonyítás tárgya(viszonyítandó adat)

B: a viszonyítás alapja

Azonos adatokból (%) – Különböző fajta adatokból (int.)

BAV =

Viszonyszámok fajtáiCsoportosító sorokból:

Megoszlási viszonyszámok (Vm)Koordinációs viszonyszámok (Vk)

Összehasonlító sorokból:Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb)Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt)Területi összehasonlító (Vö)

Leíró sorokból:Intenzitási viszonyszámok (Vi)

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi kiKoordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítjaDinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados

Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévő-sokaság adataiból számított viszonyszám

adata)időszakbázis(aBadata)aktárgyidősz(aAV=

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási viszonyszám:

adat)vonatkozóegészéresokaság(aBrészadata)egy sokaság(aAVm=

Koordinációs viszonyszám:

adat) vonatkozóegészére sokaság(aB

részadat) szolg. alapjául sviszonyítá(aBrészadat)ott (viszonyítAVk =

Dinamikus viszonyszámok

Bázisviszonyszám:

Láncviszonyszám:

b

t

yybVdb =/

/ iylVdlLáncviszonyszám:

Összefüggések:

1

/−

=iy

lVdl

ii

i lbb

=−1 ii

k

ikk blbl...ll =→=⋅⋅ ∏

=232

7

Feladat/1.

ÉvMagyarországra

érkező külföldiekKülföldre utazó

magyarok Elemezze bázis- és lá i á kk l

Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:

ezer fő ezer fő

2000 31 141 11 065

2001 30 679 11 167

2002 31 739 12 966

2003 31 412 14 283

2004 36 635 17 558

2005 38 555 18 622

láncviszonyszámokkal a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását!

Megoldás

MegoldásViszonyszámok fajtái

Feladatmutató viszonyszám:

dBá i idadata tervezettTárgyid.Vf =

Teljesítménymutató viszonyszám:

adata Bázisid.

énye teljesítm tervezettTárgyid.adata ténylegesTárgyid.Vt =

Viszonyszámok fajtái

Területi összehasonlító viszonyszám:

adata terület ndóViszonyítaVö=adata terület szolg. alapjául sViszonyítá

Vö=

Intenzitási viszonyszámVi = A/B

Fajlagos mérőszámokPl: 100 km-re jutó üzemanyag

Sűrűséget ellátottságot kifejezőSűrűséget, ellátottságot kifejezőPl: orvossal való ellátottság, népsűrűség

Átlagos értéket kifejezőPl: 1 főre jutó átlagkereset

ArányszámokPl: 100 főre jutó születések száma

Gazdálkodás hatékonyságát jelző mutatókPl: 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP

8

Intenzitási viszonyszám

Egyenes intenzitási viszonyszám:A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. viszonyszám növekedésével.yPl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)

Fordított intenzitási viszonyszám:Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken.Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma

Intenzitási viszonyszám

Nyers intenzitási viszonyszám:

Pl: tejhozam / tehenek számaPl: tejhozam / tehenek száma dolgozók / hallgatók

Tisztított intenzitási viszonyszám:

Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma oktatók / hallgatók

Definíciók

Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek valamint az ugyanezenszemélyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma.

Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.

Definíciók

Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege.Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

Definíciók

Öregedési index: az idős népesség (65–X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában.Házasságkötés: a hivatalosan eljáróHázasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság.Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.

Definíciók

Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés illetőleg köldökzsinór-szívműködés, illetőleg köldökzsinórpulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt.Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.

9

Definíciók

Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utániéletműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül.Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott.

DefiníciókVárható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.

Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.

Grafikus ábrázolás

Grafikus ábrázolás

Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában.(megérteni és készíteni is fontos)( g )Alapvetően arányokat érzékeltet.Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks.Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak.Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.

Grafikus ábrázolás

Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. (megoszlások, összehasonlítás)

Grafikus ábrázolás

Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás)

10

Grafikus ábrázolásOsztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.

Grafikus ábrázolás

Vonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása.

Grafikus ábrázolás

Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben.

Grafikus ábrázolás

Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget.

Grafikus ábrázolás

Kartodiagram: területi sorok esetén

lk l h tóalkalmazható, az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja.

Grafikus ábrázolás

Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére h álh tóhasználható, a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal.

11

Grafikus ábrázolásPiktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenségeta jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt.

Mennyiségi ismérv szerinti elemzésszerinti elemzés

Számított és helyzeti középértékekSzóródás, szóródási mérőszámokS ó ódás, s ó ódás é ős á o

Középértékekkel szembeni követelmények

maxmin xKx <<

1. közepes helyet foglaljon el az értékek között

2. tipikus érték legyen: álljon közel az előfordulóértékek zöméhez

3. legyen pontosan definiálva

4. könnyen értelmezhető legyen

5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen

Középértékek

Számított HelyzetiSzámított középértékek (átlagok)

számtani átlagharmonikus átlagmértani átlagnégyzetes átlag

Helyzeti középértékek:

módusz medián

Átlagok

Súlyozatlan SúlyozottSzámtani

nx

x i∑=n

xfx ii∑=

Harmonikus

Mértani

Négyzetes

∑=

ix

nx1

n n

∑∑=

i

i

i

xff

x

nixx ∏= n f

iixx ∏=

nx

x i∑=2

∑∑=

i

ii

fxf

x2

12

Ugyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje

maxmin xxxxxx qgh ≤≤≤≤≤

hx gxés érzékeny a kiugróan alacsony értékekre

x qxés érzékeny a kiugróan magas értékekre

1. feladat

Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8.

Feladat) S á í ki á i h ik é i éa) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és

a négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból

számolt átlagok sorrendjét!

Megoldás

54

8543=

+++=x 681.485434 =⋅⋅⋅=gx

Számtani átlag: Mértani átlag:

4

404.4

81

51

41

31

4=

+++=hx 2 2 2 2

q3 4 5 8 114x 28,5 5.339

4 4+ + +

= = = =

Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:

2. feladat

Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: ( ) adatok: 3, 4, 5, 8

( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1ix

if( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1

Feladat:a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani

és a négyzetes átlagot!b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket az előző

feladat a) részében kapott eredményekkel!

if

Megoldás

1.481514434=

⋅+⋅+⋅+⋅=x 907.3854310 1144 =⋅⋅⋅=x

Mértani átlag:Számtani átlag

10

762.3658.210

81

51

44

34

10==

+++=hx

907.38543gx

347.410

81514434 2222

=⋅+⋅+⋅+⋅

=qx

Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:

Mediánaz az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb.

a) egyedi adatokból a rangsorból az -edik érték1+ng

b) osztályközös gyakorisági sorból:

osztópont:

, ahol

: a medián osztályköznek a gyakorisága,

meme

me

me hf

fn

xMe ⋅−

+=−

'1

02

mef

21+n

2n

13

Módusz

diszkrét ismérv esetén: a leggyakrabban előforduló érték

folytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték

Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból

0x

momo hkk

kxMo ⋅

++=

21

10

: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

, ahol

0mox

12 +−= momo ffkmoh

11 −−= momo ffk

: a móduszt tartalmazó osztályköz hossza

Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámítottgyakoriságok alapján történik.

Megjegyzések

A módusza kiugró, extrém értékekre érzéketlennem mindig létezik (például, ha minden értéknem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő)

3. feladat

Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft.-ban:

75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70

Feladat:Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel!

Megoldás

75 ... 70X 7414+ +

= =

Számtani átlag:

A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74

5,72

152

1==

+nMedián:

Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nálkevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezerFt-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége.

Rangsor készítése:64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86

ezer Ft.

4. feladatEgy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:

Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma 10 – 19 1020 – 29 2830 – 39 4240 – 49 1550 – 59 5

Összesen 100

Feladat:Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!

14

Megoldás

Értékesített benzin mennyisége (liter)

Gépkocsik száma

Osztály-közép

Kumulált gyakoriság

10 – 19 10 15 1020 – 29 28 25 3830 – 39 42 35 8040 – 49 15 45 9550 –59 5 55 100

Összesen 100 --- ---

=⋅++⋅+⋅

==∑∑

100555...25281510

i

ii

fxf

x

A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.

32,7 liter

Megoldás

502

1002

==n Mef →≥50'

me

hfn

xMe1

'

02

−−+= =⋅

−+= 10

42385030

Medián:sme= és a 3. osztályközben van

32,86 literme

meme h

fxMe 0, + 42

A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt,a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon.

,

momo hkk

kxMo ⋅+

+=21

10, =⋅

−+−−

+= 10)1542()2842(

)2842(30

A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget tankoaz adott napon.

33,41 liter

Módusz: 3. osztályközben van

Szóródás

Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.

Szóródási mérőszámok

1) Terjedelem:annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek.y

minmax xxT −=

Szóródási mérőszámok

2) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

A szórás négyzetét varianciának hívjuk.n

xxi∑ −=

2)(σ

nxxf ii∑ −

=2)(

σ

222 xxq −=σ

A szórás néhány tulajdonságai

A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő.Az xi ismérvértékek additív transzformációja

tá ó á ált ikután a szórás nem változik.Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.

15

Szóródási mérőszámok

3) Relatív szóráskülönböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.

A relatív szórás az xi ismérvértékek additív transzformációja esetén változik, multiplikatív transzformációja esetén nem változik

10 −≤≤ nVx

V σ=