Mérés és adatgyűjtésLevelező

Tájékoztatás és bevezetés

Mingesz Róbert

2015.02.12.

2

Tájékoztató

3

Honlap

http://www.inf.u-szeged.hu/~mingesz/Education/MA/

• tájékoztató

• ppt-k

• házi feladatok

• vizsga anyagok

• friss irodalomjegyzék

4

Tematika – alapok

• Méréselmélet alapjai

• Mértékegységek használata

• Valószínűségszámítás és statisztika

• Mérési hibák, mérési hibák kezelése

5

Tematika – műszerek

• Jelek mintavételezése

• A/D és D/A konverzió

• Műszerek felépítése és használatuk

6

Tematika – alkalmazások

• Szenzorok és aktuátorok

• Műszerek programozása, mérőszoftverek

7

Laboratóriumi gyakorlat (ősz)

• LabVIEW fejlesztőkörnyezet megismerése

• Mérőszoftverek készítése

• Műszerek használata

• Mérések, eredmények kiértékelése

8

Ajánlott irodalom

• Gerzson Miklós: „Méréselmélet”, 2011, Typotex Kiadó, Tankönyvtár

• Kemény Sándor, Deák András: „Mérések tervezése és eredményeik értékelése”, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1990.

• Schnell László szerk.: „Jelek és rendszerek méréstechnikája”, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.

• Analog Devices: „The Data Conversion Handbook”

... további irodalom a honlapon ...

9

Hallgatói értékelések

10

• Több gyakorlati példa és esettanulmány lesz

Gyakorlat és több esettanulmány (legalább egy mindenki szorgalmára bízott letölthető pdf-ben közzétett) nélkül az elmélet túl egyhangú és zavaros.

2012-2013 II. félév

11

• Idén is lehet pluszpontokat szerezni

A szerezhető plusz pontok ösztönző hatással voltak rám, és több hallgatótársamra, azt gondolom a jövőben a lehetőségek szerint ezt a potenciált továbbra is tartsa fent az oktató. Az előadás anyaga, az otthon elvégzendő házi feladatokkal maximálisan összhangban volt, a tananyag mélyebb elsajátítását segítette elő.

2013-2014 II. félév

12

• Több számolási példa lesz• Hibalehetőségek szélesebb körű

ismertetése

Fontos az ipari felszerelések megismerése, legalább olyan szinten h milyenek léteznek, de nem hiszem, hogy erre egy fél kurzust kellene eltölteni. Lehetne kicsit számolgatósabb, még több előforduló/gyakorlatban elkövethető hiba ismertetése, ilyesmi helyette.

2013-2014 II. félév

13

Követelmények

14

Értékelés: pontozás alapján

• Házi feladatok (20 p)

• Pluszpontok

• Vizsga (2x40 p)• Szóbeli vizsga

• „Beugró”

• 2 tétel

15

Tájékoztató ponthatárok

Pont Jegy

50-59 2

60-74 3

75-89 4

90-∞ 5

• A 90 pont felett elért pontmennyiség hozzáadódik a gyakorlat első jegyzőkönyvének pontszámához

16

Minimum követelmények

• Szorgalmi időszak: min 10 p(vizsga feltétele)

• Beugró teljesítéseHa a beugró sikertelen, a vizsgát nem lehet folytatni

• Mindkét tétel: min 20 p / tételHa az első tétel nem éri el a 20 pontot, a vizsgát nem lehet folytatni

• Összesen legalább 50 p

17

Vizsga – Szóbeli

• 2x40 pont

• Felkészülés: 40 perc

• Felelet: 15-20 perc

18

Vizsga – Beugró

• Számolási feladat• A házi feladatokhoz hasonló feladatokból

• Alapkérdések a teljes anyagból• A lehetséges kérdések listája elérhető lesz

• Elfogadás feltétele:• Számolás menetének bemutatása

• Kielégítő válasz az összes kérdésre

• A beugró sikeres teljesítése még nem elég az elégséges érdemjegyhez!

19

Vizsga – Tételek

• Tétel anyaga

• Kapcsolódás a többi anyaghoz

• Szóbeli kérdések

20

Pluszpontok

• Órai munka (<30 p)

• Órákon való részvétel• 4 alkalom: + 2 p

• 5-6 alkalom: + 4 p

• Hibák jelzése (<30 p)

• Egyéni pluszfeladatok (<30 p)

21

Pontlevonások

• Jelenléti ívvel való visszaélés:• -1 pont / alkalom

• Házi feladat másolása:• 0 pont a házira

• - 5 pont

• Vizsgán nem megengedett eszköz használata:• Elégtelen vizsga

• - 5 pont

22

Reklamáció

• Minél hamarabb

• Legfeljebb UV időszak végéig

• Beadott anyagok megőrzése:UV időszak végéig

23

Pontszám követése

• Google drive táblázat

• Ha valaki nem szeretné, hogy ott megjelenjen az aktuális eredménye, időben szóljon!

24

Bevezetés

26

Mérések a világban

• Háztartások

• Közlekedés

• Kereskedelem

• Biztonságtechnika

• Egészségügy

• Gyártás

• Tudomány

27

A mérés szerepe a tudományban

• Tudományos megismerés• Valóságra vonatkozó új ismeretek

• Ismeretek alkalmazása

• Hipotézisek + elméletek

• Empirikus megismerés (mérések):• Elméletek ellenőrzése

• Konkrét paraméterek megállapítása

28

Mérés szerepe az iparban

• Gyártásirányítás• Folyamatelemzés, folyamatirányítás

• Minőségbiztosítás• Nyersanyag, késztermék ellenőrzése

• Gyártási biztonság• Emberek, létesítmény, környezet biztonsága

• Gyártásszervezés• Darabszám, minőség

29

Mérések megbízhatósága

• Mérési hibák, véges pontosság

• Mérési eljárás megbízhatósága

• Elméletek, modellek megbízhatósága

30

A mérés definíciója I.

A mért jellemzők leképezése egy szimbólumhalmazra

• Alma színe → piros

• Ember magassága → 195 cm

31

A mérés definíciója II.

Egy mennyiség nagyságának jellemzése a választott mértékegységben jellemzett

számmértékkel

• Mennyiség = számmérték ∙ mértékegység

• Magasság = 1,65 ∙ m

32

A mérés definíciója III.

Egy ismeretlen mennyiség egy ismert állandónak gondolt mennyiséggel való

összehasonlítása

• Ez az állandó (etalon) rendelkezésre kell álljon

• Közvetlen / közvetett összehasonlítás

33

Metrológiai alapfogalmak

• Mérhető mennyiség

• Mennyiségrendszer

• Alapmennyiség

• Származtatott mennyiség

• Mennyiség dimenziója

• Egység dimenziójú mennyiség

• Mértékegység

• Mértékegységrendszer

• Alapegység

• Származtatott egység

• Koherens mértékegység

• Koherens mértékegységrendszer

• Mennyiség értéke

• Mérőszám

• Egyezményes skála / referencia-skála

34

Törvényi háttér

• Európai Uniós szabályozás: Mérőeszköz Irányelv (MID) 2006. október 30.

• Jogi szabályozás Magyarországon• 1991. évi XLV. Törvény a mérésügyről

• 127/1991. (X.9.) Kormányrendelet

• Mérésügyi szervezet:Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal (MKEH) Metrológiai Főosztály

35

SI mértékegységrendszer

36

Elnézett mértékegység

http://en.wikipedia.org/wiki/Gimli_Glider

37

Mars Climate Orbiter

• 655 000 000 $(144 000 000 000 Ft)

• Metrikus vsBirodalmi egységek

http://en.wikipedia.org/wiki/Mars_Climate_Orbiter

38

Egységrendszerek

• i. e. 4. évezredEgyiptom, Mezopotámia:hossz, tömeg, idő

• Tradicionális egységek:Emberi test a mérték

• Megfelelő etalonok

39

Etalonok

• Mérések során erre vezetjük vissza a mért mennyiséget

• Szempontok:• Pontosság

• Reprodukálhatóság

• Könnyű elérhetőség

• Elméleti alátámasztás

40

Metrikus rendszer

• Francia forradalom (1791.)

• Méter:A Párizson áthaladó délkör negyvenmilliomod része

• Gramm:1 cm3 víz tömege az olvadó jég hőmérsékletén

• Népszerűsítés: világkiállítások

41

Metrikus rendszer

• Méteregyezmény (1875.)CGS mértékegységrendszer

• MKS rendszer (1889.)méter, kilogramm, másodperc

• MKSA rendszer (1946.)amper

• SI Nemzetközi egységrendszer (1960.)

42

Ahol nem az SI-t használják

• Kivételek: Burma, Libéria, USAhttp://en.wikipedia.org/wiki/International_System_of_Units

43

Az SI alapegységei

44

Másodperc (s)

• Korábbi def.:az 1900. trópusi év 1/31556925,9747 része

• cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama

45

Méter (m)

• Korábban:etalon hossza,

fény hullámhossza

• Relativitáselmélet:a fény sebessége állandó

• A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/299 792 458 másodperc időtartam alatt megtesz.

• Mérés: hullámhosszra visszavezetve

46

Kilogramm (kg)

• Franciaország

• 90% platina, 10% irídium

• Etalon másolata több országban

• Állandó?

47

Ampere (A)

• Az amper az az állandó áram,mely ha két egyenes, vákuumban levő, végtelen hosszú, egymástól párhuzamosan 1 méterre levő elhanyagolható kör keresztmetszetű vezetőn át folyik, akkor a fellépő erő méterenként N.

48

Kelvin (K)

• A kelvin úgy definiált, hogy a víz hármaspontjánál a hőmérséklet értéke 273,16K. A hármaspontnál a víz három különböző halmazállapota egyensúlyban jelenik meg.

49

Kandela (cd)

• Egy kandela (cd) fényintenzitás esetén az Hz frekvenciájú monokromatikus fény egy adott irányban egységnyi szteradián térszögbe sugárzott teljesítménye 1/683W.

50

mól (mol)

• Egy mól anyagmennyiség definíció szerint annyi azonos elemi részt tartalmaz, mint ahány atom található 0,012kg szén 12-es izotópban.

51

SI kiegészítő egységek

• Síkszög: A radián a kör két sugara által bezárt szög, melyek a körből éppen egy sugárnyi ívet jelölnek ki.

• Térszög: A szteradián annak a kúpnak a térszöge, melynek a csúcsát a gömb középpontjába helyezve a gömb felületéből éppen a sugár négyzetével egyenlő területet jelöl ki a gömb felszínén.

52

Probléma: tömegegység változása

53

Javaslat új definíciókra (2014?)

• Természeti állandók:• Planck állandó

• Elemi töltés

• Boltzmann állandó

• Avogadro szám

• Változatlanok maradnak:m, s, cd

54

SI prefixumok

Jele Szorzó Név

Y 1024 yotta

Z 1021 zetta

E 1018 exa

P 1015 peta

T 1012 tera

G 109 giga

M 106 mega

k 103 kilo

h 102 hekto

da / dk 101 deka

Jele Szorzó Név

y 10-24 yocto

z 10-21 zepto

a 10-18 atto

f 10-15 femto

p 10-12 piko

n 10-9 nano

µ (u) 10-6 mikro

m 10-3 milli

c 10-2 centi

d 10-1 deci

55

Bináris prefixumok

• kilo: k = 1000

• kibi: Ki = 1024 = 210

• További prefixumok:mebi (Mi), gibi, tebi, pebi, exbi, zebi, yobi

56

SI Származtatott mértékegységek

57

Korlátozás nélkül használható egységek

• Térfogat: liter (l, L)

• Síkszög: fok (°), ívperc, ívmásodperc

• Tömeg: tonna (t)

• Idő: perc (min), óra (h), nap (d)

• Sebesség: km/h

• Munka: Wh

• Hőmérséklet: °C

58

Korlátozásokkal használható egységek

• Hosszúság: tengeri mérföld, csillagászati egység, parsec, fényév

• Terület: hektár

• Síkszög: gon

• Tömeg: atomi egység

• Nyomás: bar, mmHg, atm

• Energia: elektronvolt

• Teljesítmény: VA, var

59

Mértékegységek átváltása

• Átváltás: hány nm 35 km?

60

Mértékegységek átváltása

• Hány g/cm3 2700 kg/m3

61

Számolás mértékegységekkel

• Egy ellenálláson 36 V feszültsége esik, a

rajta átfolyó áramerősség 12 mA. Mekkora az

ellenállás?

62

Más mértékegységrendszerek

USA hagyományos mértékegységrendszer

• Hivatalos egységrendszer itt: USA

• A technikai életben elterjedt

63

Hosszúság

• hüvelyk (inch), 1” = 1 in = 2,54 cm

• láb (foot), 1 ft = 12 in

• yard, 1 yd = 3 ft

• mérföld (mile), 1 mi = 1760 yd

64

Térfogat

• gallon, 1 gal = 3,785 l

• US pint, 1 pt = 473,176 ml

• teáskanál (teespoon), 1 tsp = 4,928 ml

65

Tömeg

• uncia (ounce), 1 oz = 28,34 g

• font (lb), 1 lb = 16 oz

• tonna (short ton), 2000 lb = 907,18 kg

66

További egységek

• Fahrenheit

• Kalória (Calorie), 1 cal = 4,184 J

• Lóerő (Horsepower), 1 HP = 746 W

• Nyomás:Pound per square inch, 1 psi = 6 894,7 Pa

67

A statisztika alapjai

70

Alapfogalmak

71

Tömegjelenség

• Tömegjelenség: azonos körülmények között akárhányszor lejátszódhat, megfigyelhető vagy elvégezhető jelenség

• Pl:• Kockadobás

• Pénzfeldobás

• Golyó kihúzása urnából

• Számsorsolás

72

Véletlen jelenség

• Véletlen jelenség: a kimenetelét a figyelembe vehető tényezők összessége nem határozza meg egyértelműen

• Nem tudjuk az esemény kimenetét befolyásolni

• Véletlen tömegjelenség: olyan tömegjelenség, ahol az egyes események kimenete nem megjósolható

73

Véletlen kísérlet

• Véletlen tömegjelenség megfigyelése

• Véletlen tömegjelenség mesterséges előidézése

• Pl:• Kocka feldobása

74

Elemi esemény

• Elemi esemény: egy kísérlet egyes megkülönböztethető véletlentől függő, lehetséges kimenetelei

• Pl. kockadobás esetén elemi esemény:

75

Eseménytér

• Eseménytér: az összes lehetséges elemi eseményből álló halmaz

• Példa kockadobás eseménytere:

76

Esemény

• Esemény: a kísérlet során vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eseménytér részhalmaza.

• Példák kockadobás esetén:• Az eredmény hatos

• Az eredmény páros

• Valami kijött 1 és 6 között

• Jele pl. A

77

Valószínűség

• Egy A esemény valószínűsége (P(A)): a kísérletet (végtelen) sokszor elvégezve, az esetek hány százalékában következik be az A esemény.

78

Példa

• Kockadobás eredménye: ’5’:Kiszámolás: kombinatorika

• Kockadobás eredménye páros:

79

Események uniója és metszete

• Unió: legalább az egyik esemény bekövetkezik

• Metszet: mindkét esemény bekövetkezik

• Mindig igaz:

• Egymást kizáró események esetén:

80

Események függetlensége

• Az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezési valószínűségét. Ekkor:

• Pl. kék dobókocka ’5’, piros dobókocka ’6’

81

Feltételes valószínűség

• Feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A is bekövetkezik

• Kapcsolódik: Bayes Formula

82

Valószínűségi változó

• Olyan mennyiség, amelynek számértéke valamilyen véletlen esemény kimenetelétől függ.

• Pl:• Kockadobás eredménye:

• Ember → magassága

83

Valószínűségi változók típusa

• Diszkrét: Megszámlálhatóan sok lehetséges érték,minden egyes értékhez egy valószínűséget lehet hozzárendelni.• pl. pénzfeldobás eredménye

• Folytonos: Értékei folytonosan kitöltenek egy intervallumot.• pl. tojás tömege

84

Valószínűségi változók jellemzői

85

Várható érték

• A véletlen kísérletek során a valószínűségi változó értékei a várható érték körül ingadoznak

• Definíció:

• Mérések során a várható értéke sokszor a valódi értékkel azonosítjuk

86

Várható érték számolása

• Diszkrét eset:

• Folytonos eset:

87

Példa

• Dobókocka várható értéke:

88

A várható érték tulajdonságai

• Konstanssal való szorzás:

• Valószínűségi változók összege:

89

Szórás

• Megadja, hogy mennyire térnek el az egyes eredmények a várható értéktől

• Definíció:

90

Szórás számolása

• Diszkrét eset:

• Folytonos eset:

91

Példa

• Dobókocka eredményének szórása:

92

Szórás tulajdonsága

• Konstanssal való szorzás:

• Valószínűségi változók összegecsak, ha az egyes értékek függetlenek egymástól:

93

Sűrűség és eloszlásfüggvény

94

Histogram

• Diszkrét valószínűségi változó jellemzése:az egyes értékekhez hozzárendelt valószínűség

95

Eloszlásfüggvény (CDF)

• Ha minden x értéknél ki tudjuk számítani a valószínűséget, akkor az eloszlásfüggvény:

96

Sűrűségfüggvény (PDF)

• Folytonos valószínűségi változó jellemzésepl.:

97

Eloszlásfüggvény folytonos esetben

• Folytonos valószínűségi változó jellemzésepl.:

98

Eloszlásfüggvény használata

• Példák:

99

Példák grafikusan ábrázolva

100

Nevezetes eloszlásokDiszkrét valószínűségeloszlások

101

Binomiális eloszlás

• Mi annak a valószínűsége, hogy egy n mérést tartalmazó kísérletben az A esemény pontosan k-szor következik be?

• Legyen ,

102

Poisson-eloszlás

• Binomiális eloszlás határeloszlása(,)

• Példa: időegység alatt elbomlott atomok száma

103

Hipergeometrikus eloszlás

• Példa: mi annak a valószínűsége, hogy M selejtet tartalmazó N számú alkatrészből kiválasztott n elemből álló mintában a selejtek száma k.

104

Nevezetes eloszlásokFolytonos eloszlások

105

Egyenletes eloszlás

106

Exponenciális eloszlás

• Példa: mi a valószínűsége annak, hogy egy alkatrész x=2000 órán belül nem hibásodik meg?

107

Gauss-eloszlás (Normális eloszlás)

𝑓 (𝑥 )= 1

√2𝜋 𝜎2𝑒−

( 𝑥−𝜇 )2

2 𝜎2

108

Normalizált Gauss-eloszlás

𝑢=𝑥−𝜇

𝜎⇒ 𝑓 (𝑥 )= 1

√2𝜋𝑒− x

2

2

109

Centrális határeloszlás-tétel

• Sok, független valószínűségi változó összegének eloszlása közelít a Gauss-eloszláshoz

• Következmény: a természetben előforduló jelenségek nagy része Gauss-eloszlást követ

110

Statisztika

111

Sokaság és minta

• Statisztikai sokaság: objektumok összessége, mindegyik objektumhoz tartozik egy numerikus jellemző (valószínűségi változó)• Pl.: emberek magassága

• Megfigyelés (mérés): a sokaságból kiválasztunk egy halmaztmintavételezés → minta• Pl. egy osztályban lévő emberek

112

Becslés

• A sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján

• Becslés: • Torzítatlan becslés:

• Konzisztens becslés:

• Becslési módszerek• Legkisebb négyzetek módszere

• Maximum-likelihood- (legnagyobb valószínűség) módszer

113

Mérési hibák

114

Mérési hibák típusai

• A méréseket mindig hiba terheli→ a mért érték eltér a valódi értéktől

• Determinisztikus hibák

• Véletlenszerű hibák

• Durva mérési hiba

115

Determinisztikus hibák

(rendszeres mérési hibák)

• okok:• nullponthiba

• skálahiba

• hőmérséklet hatása a mérésre

• ...

• Előre meghatározott → kompenzálhatóKompenzálni kell!

116

Véletlenszerű hiba

(mérési bizonytalanság)

• minden mérésnél más és más értékű

• nem megjósolható → nem kompenzálható

• okok:• zavarforrások

• hőmérsékletingadozás

• ...

• kezelés: statisztikai módszerek

117

Durva mérési hiba

• Jelentős eltérés a várt értéktől

• Okok:• figyelmetlenség

• tévedés

• hibás érintkezések

• hibás műszerek

• ...

• Ki kell szűrni

118

Mérési hibák összehasonlítása

119

Mérések hibája

Abszolút hiba Hi

ahol:

• az aktuális mért érték

• a helyes érték(esetleg átlag)

Relatív hiba hi

• általában %-ban adjuk meg

• Sok esetben a hiba abszolútértékét használjuk

120

Példa

• Egy mérés eredménye: 3,55 m

• A valódi érték: 3,50 m

• Abszolút hiba:

• Relatív hiba:

121

Mérési eredmény megadása

123

Valószínűségi változók a mérésekben

• Maga a mért mennyiség véletlenszerű• pl. emberek magassága

• A mért mennyiséghez egy véletlenszerű zaj adódik hozzá• pl. csillag mért intenzitása

124

Mérési hibák következménye

• A mérés során kapott értékek eltérnek a fizikai mennyiség valódi értékétől

• Determinisztikus hiba:• korrigálható

• korrigálni kell!

• Statisztikus hiba• nem kiszámítható

• nem korrigálható

• kezelés: statisztikai módszerrel

125

A mérési eredmény megadása

• Megadunk egy intervallumot:

• : valódi érték (várható érték)

• : mért adat

• : a hiba nagyságát jelző konfidencia-intervallumA valódi érték a megadott intervallumon belül van valamekkora p valószínűséggel.

• Szignifikanciaszint: annak az esélye, hogy tévedünk (a valódi érték az intervallumon kívül van)

126

Ismert szórás esetén

• λ meghatározása:• Csebisev-egyenlőtlenség

• Általában feltételezzük: a mérési hiba normál eloszlású

127

Normál eloszlású hiba

ahol: F a normális eloszlás eloszlásfüggvénye:

• λ értéke:

• pl:

128

N mérési adat, σ ismert

• Valódi érték becslése: átlag (középérték)Jobb becslés mint egyetlen kiválasztott adat

• Az átlag konzisztens és torzítatlan becslés

• A mérési adatok alapján számolt középérték is ingadozik

129

Az átlag szórása

• Ha a mérési hibák egymástól függetlenek:

130

N mérési adat, σ ismert

• A mérési eredmény megadása:

• Fontos feltétel: az egymás utáni mérések hibái egymástól függetlenek

131

Korrigált empirikus szórás

• Nem ismerjük: valódi érték, szórás

• Szórás becslése a mérési adatok alapján: Korrigált empirikus szórás

• konzisztens, torzítatlan becslés

132

N mérési adat, σ ismeretlen

• Korrigált empirikus szórás használata

• Gauss-eloszlás helyett t-eloszlás

133

λ, tN-1 meghatározása

• Statisztikai programcsomagok: beépített függvény

• Táblázatp 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999

α 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001

λ 1,64521 1,96039 2,57624 2,80739 3,29076

N p 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999

α 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001

2 tN-1 6,31370 12,70615

63,65672

127,3213

636,619

3 tN-1 2,91996 4,30264 9,92477 14,08897

31,59903

5 tN-1 2,13183 2,77638 4,60409 5,59755 8,61026

10 tN-1 1,83307 2,26215 3,24979 3,68960 4,78089

100 tN-1 1,66036 1,98416 2,62640 2,87130 3,39150

134

Szignifikanciaszint megválasztása

• Szempontok:előírások, szokások, tévedés költsége

Terület α λ

Bölcsésztudományok 5% 1,96

Természettudományok 1% 2,57

Mérnöki tudományok 0,3% 3

0,1% 3,29

0,05% 3,5

135

Összefoglaló táblázat

• 1 mérés, σ ismert

• N mérés, σ ismert

• N mérés, σ ismeretlen

136

Példák

137

1. példa: 1 adat, σ ismert

• Tömegmérés mérési adata:

• A szórás ismert, értéke:

• Adjuk meg az szignifikanciaszinthez tartozó eredményt!

138

Megoldás

• A mérés eredménye

• Számjegyek száma:• konfidenciaintervallum:

2-3 értékes jegy, felfelé kerekít

• mérés eredménye:annyi tizedesjegy, ahány a konfidenciaintervallumban van

139

2. példa: N adat, σ ismert

• Az előző feladatban megadott feltételek mellett hány mérési adatot kell gyűjtenünk ahhoz, hogy a mérés hibája 0,01 kg alá csökkenjen?

140

Megoldás

• Tehát legalább 20 mérést kell végezni

141

3. feladat: N adat, σ ismeretlen

• Egy mérést elvégezve a táblázatban megadott értékeket kapjuk.

• Adjuk meg az szignifikanciaszinthez tartozó eredményt!

Ri Ω

7,20

7,19

7,19

7,22

7,23

142

Megoldás

• A mérési eredmény megadása:

143

... vége ...Köszönöm a figyelmet