Mérés és adatgyűjtésLevelező

Jelek mintavételezése

Mingesz Róbert

2015.03.16.

2

Házi feladatok

3

Gyakorló feladatok

• Érdemes megoldani

• Megoldás elérhető a honlapon(csak megoldás után nézzétek meg)

• A megoldásokat ne küldjétek el!

4

Házi feladat

• A honlapról letölthető

• Beadási határidő: 2014.03.27. 23:00utána félpontszám

• Beadás módja:• papíron

• elektronikusan: mingesz@inf.u-szeged.hu

5

Hibaterjedés

7

A mérési hiba terjedése

• Mért mennyiségek: hibával terheltek

• A belőlük számolt mennyiségek is hibával lesznek terhelve

• Az eredmény általános megadása:

8

Egy változó esetén

9

Több változó esetén

• A vizsgált mennyiség több mért mennyiségtől függ:

• Minden egyes mennyiség hibája növeli a végeredmény hibáját

• Egymástól független hibák esetén: szórásnégyzetek adódnak össze:

10

Hibaterjedés több változó esetén

Parciális derivált:

11

Példa

12

Megoldás

• Az átlagérték:

• A hibaterjedés:

13

Megoldás

• A végeredmény:

14

A mérési adatok feldolgozása

16

Elemi műveletek

• Adatok regisztrálása → lajstrom

• Számlálás → N

• Rangsorolás:• sorba rendezés

• sorszám hozzárendelése

• Összegzés

• Középérték

17

Követelmények a középértékkel szemben

• Legyen a mért adatok maximuma és minimuma között

• Egyszerű módszerrel számolható

• Könnyen értelmezhető

• Ne legyen érzékeny a kiugró adatokra (robosztus)

18

Számtani átlag

• Súlyozott átlag:

19

Mozgóátlag

• Időben változó mennyiségek átlagolása

• Utolsó N adat figyelembevétele:

20

Felejtő átlag

• Tipikus számolás rekurzív képlettel:

21

További átlagok

• Négyzetes átlag

• Mértani átlag (geometriai átlag)

• Harmonikus átlag

22

Momentumok

• r-ed rendű momentum:

• Első rendű momentum: átlag

• Centrális momentum: átlagtól való távolság

23

Módusz és Medián

• Módusz: A leggyakrabban előforduló érték

• Medián: sorba rendezett mérési eredmények esetén a középen lévő értékpáros mérési szám esetén a két középső eredmény átlaga• Érzéketlen a kiugró adatokra

24

Példa

• Egy cégnél 10 alkalmazott van foglalkoztatva, mindegyik 100 eFt-os bért kap havonta.

• A cégnek két főnöke van, mindketten 5 MFt-ot keresnek havonta.

• Mennyi az „átlag” bér?

25

Átlagbér – számtani közép

• Számtani közép

• Medián

26

Kvantilisek - osztópontok

• medián: két részre osztja a mérési adatokat

• tercilis: három részre osztja a mérési adatokatkét osztópont van

• kvartilis: negyedelhárom osztópont van

• kvintilis: ötödöl

• decilis: tizedel

• percentilis: századol

27

Szóródás

• Szóródás terjedelme (pk-pk érték)

• Interkvantilis terjedelemaz alsó és a felső kvantilis különbsége

• Átlagos abszolút eltérés

• Szórás• elméleti (ismerjük a tényleges értéket)

• tapasztalati

28

Mérési adatok ábrázolása

29

Doboz ábra (Box plot)

30

Jelek ábrázolása

HIBÁS ÁBRÁZOLÁS

31

Pontgrafikon

32

Leolvasást követő vonallal

33

Görbített vonal – nem jó!

HIBÁS ÁBRÁZOLÁS

34

Függvények illesztése

35

Függvény illesztése

• Mérés:• két vagy több, egymástól függő fizikai mennyiség

• , , ... – mért értékek

• , – ismeretlen paraméterek

36

Paraméterek meghatározása

• függvény illesztése ⇒ becslés a paraméterekre

• Módszerek• papíron, szemre

• Monte Carlo módszerek

• genetikus algoritmusok

• analitikus:• Legkisebb négyzetek módszere

• Maximum-likelihood-módszer

• közelítő megoldások (iterációs módszer)

• ...

37

Illesztés hibája

∆ 𝑦=𝑦 𝑖− 𝑓 ( 𝑦 𝑖 ,𝑎 ,𝑏 ,⋯ )

38

Legkisebb négyzetek módszere

• Cél: hibaösszeg minimalizálásaszélsőérték keresése

39

Egyenes illesztése

• Egyenes egyenlete:

40

Szélsőérték keresése

• elsőrendű deriváltak nullák:

41

A legjobb illesztés paraméterei

42

Korrelációs együttható (R)

• Az illeszkedés jóságát adja meg:• 0: nincs lineáris összefüggés a mennyiségek

között

• 1: tökéletesen illeszkedik az egyenes

43

Origón átmenő egyenes illesztése

• Pl: Ohm törvény: a tengelymetszet ≡ 0

•

44

Nemlineáris illesztés

• A legkisebb négyzetek módszere működhet

• Probléma: az adatok mérési hibája nem állandó

45

Nemlineáris illesztés: súlyfüggvény

• Ha ismerjük a szórást

46

Linearizálás

• A függvényünket átalakítjuk úgy, hogy egyenest tudjunk illeszteni

• Pl.: illesztendő függvény:

• mérve:

• ismeretlen pareméter:

• Keresett függvény:

• (a mért adatokból kiszámítható)

47

Linearizálás

48

Hipotézisvizsgálat

49

Megoldandó feladat:

• Tejüzem:joghurtok töltési mennyisége megfelel-e az előírásoknak.

• Előírás:• átlag: 200 ml

• szórás: 2%

• szignifikanciaszint: 3%

• 20 mérés átlaga: 196 ml

50

Hipotézisvizsgálat

• A felállított hipotézisek helyességének vizsgálata véletlen mintákra alapozva

• Cél: van egy feltételezett érték, azt vizsgáljuk, hogy az megfelel-e a valóságnak

• A minta:• támogatja a hipotézist

• szignifikánsan ellentmond neki

• Eljárás: statisztikai próbák

51

A hipotézisvizsgálat lépései I.

• Hipotézis megfogalmazása• Nullhipotézis (H0)

ennek a helyességéről akarunk megbizonyosódni

• Alternatív hipotézis (H1)

szemben áll a nullhipotézissel

• Próbafüggvény konstruálása

• Ha H0 helyes, a próbafüggvény ismert eloszlást

követ

52

A hipotézisvizsgálat lépései II.

• Elfogadási (E) és kritikus (K) tartomány felállítása a próbafüggvény értékeire

• Ha H0 igaz:

• : szignifikanciaszint

• : megbízhatóság

53

A hipotézisvizsgálat lépései III.

• A próbafüggvény konkrét értékének kiszámítása

• Döntés:• H0 elfogadása és H1 elutasítása

• H0 elutasítása és H1 elfogadása

54

Elkövethető hibák

H0 igaz H0 nem igaz

H0-t elfogadjuk helyes döntés másodfajú hiba

H0-t elvetjük elsőfajú hiba helyes döntés

• α: szignifikanciaszint, ennek értékét tudjuk szabályozni → kiszámítható kockázat

• β: annak a valószínűsége, hogy elfogadjuk H0-t, pedig nem igaz

• Ha α-t csökkentjük, β nő

55

Példa nullhipotézis választására

• H0 : nem érdemes befektetni

• H1 : érdemes befektetniH0 igaz

nem érdemes befektetni

H0 nem igazérdemes

befektetni

H0-t elfogadjukNem fektetünk be

helyes döntésúj lehetőség

keresése

másodfajú hibakihagyott lehetőség

H0-t elvetjükBefektetünk

elsőfajú hibaanyagi csőd

helyes döntés⇒ haszon

56

Statisztikai próbák

• Próbák típusai• Egyoldali próbák

(kisebb, nagyobb)

• Kétoldali próbák(benne van-e az intervallumon)

• Minták száma• Egy mintás próbák

• Két mintás próbák

• Több mintás próbák

57

Vizsgálat célja

• Várható érték tesztelése

• Szórás tesztelése

• Arány tesztelése

• Illeszkedésvizsgálat

• Függetlenség vizsgálat

58

Egymintás µ-próba (z-próba)

• A várható érték megegyezik-e a megadott µ0

értékkel:• H0: a populáció átlaga = µ0

• H1: a populáció átlaga ≠ µ0

• Normális eloszlás, σ ismert

• Próbafüggvény:

59

Elfogadási tartomány

|𝑧|≤ 𝑧1−𝛼

2

60

Példa egymintás µ próbára

• Tejüzem: joghurtok töltési mennyisége megfelel-e az előírásoknak.

• Előírás:• átlag: 200 ml

• szórás: 2%

• szignifikanciaszint: 3%

• 20 mérés átlaga: 196 ml

61

Megoldás

• próbafüggvény:

• az elfogadási tartomány⇒ a H0 hipotézist elutasítjuk:

az átlagos töltési mennyiség nem felel meg az előírásoknak

62

Egymintás t-próba

• A várható érték megegyezik-e a megadott µ0

értékkel

• Normális eloszlás, σ ismeretlen

• Próbafüggvény:

• Elfogadási tartomány:

63

További próbák

• Kétmintás T próba: két minta értékének azonosságának összehasonlítása• szórás ismeretlen

• a szórások megegyeznek/nem egyeznek meg

• Kétmintás, páros T próba: az egyes megfigyelések párba állíthatók (előtte-utána)

• χ2-próba: variancia (szórás) tesztelése• F-próba: varianciák egyenlősége

64

A próbákkal kapcsolatos nehézségek

• H0 megfelelő megválasztása

• Félreértelmezhető

• Ha a próbát többször elvégezzük, hibás eredményre juthatunkpl: gyógynövény hatékonysága (5% szignifikanciaszint)• 19 negatív eredmény ⇒ nincs publikálva

• 1 pozitív eredmény ⇒ publikálva

65

Bayes-módszer

66

Bayes-tétel

• – egy hipotézis

• – egy megfigyelhető esemény, befolyásolja az A-ba vetett hitünket

• – az hipotézis a priori valószínűsége

• – a posteriori valószínűség: ha bekövetkezik, az mennyire befolyásolja az -ba vetett hitünket

67

Bayes-tétel

• – ha a hipotézis igaz, mi a valószínűsége, hogy -t megfigyeljük

• – a esemény megfigyelésének valószínűsége (a hipotézis igazságától függetlenül)

: alternatív hipotézis

68

Példa 1

• Egy iskolában:• 60 % fiú

• 40 % lány

• A lányok fele nadrágot, a másik fele szoknyát hord

• Ha egy nadrágos diákot látunk, mi a valószínűsége, hogy lány?

69

Megoldás

• Hipotézis: – a megfigyelt diák lány

• Megfigyelés: – nadrágot hord

• Annak a valószínűsége, hogy lány: 25 %

70

Példa: Hamis pozitív teszt

• Ha a páciens beteg, a teszt az esetek 99 %-ban helyes eredményt ad

• Ha a páciens nem beteg, a teszt az esetek 5 %-ban ad hamis pozitív eredményt

• Csak minden 1000. tesztelt ember beteg

• A teszt eredménye pozitív.

• Mi a valószínűsége, hogy a páciens beteg?

71

Megoldás

• Hipotézis: – a páciens beteg

• Megfigyelés: – a teszt pozitív eredményt adott

72

Eredmény

Pozitív teszt ⇒• A páciens beteg: 1,9 %

• A páciens mégsem beteg (hamis pozitív): 98 %

73

Mérőberendezések tulajdonságai

75

A mérőberendezés felépítése

• Érzékelő:fizikai mennyiség → feldolgozható mennyiség

• Jelkondicionálás (erősítés, szűrés...)

• Feldolgozás

• Kijelzés

76

A műszerek legfontosabb jellemzői

• Pontosság (accuracy): az a maximális érték, amivel a kijelzett érték eltérhet a valódi értéktől.Pl. 1mm, 1%

• Felbontás (resolution): az a legkisebb változás a mérendő mennyiségben, melyet a műszer még követni képes.Pl. 1K

77

Nullponthiba (ofset)

Az a hiba, mely a mért értéktől függetlenül mindig ugyanakkora. Azonos azzal az értékkel, amit a műszer mutat 0 valódi értéknél.

78

Skálahiba

• A valós és amért érték hányadosa nem 1.

• A hiba arányos a mért értékkel.

79

Linearitáshiba

A mért érték nem lineáris függvénye a valós értéknek.

80

Hiszterézis

A hiba függ attól, hogy a mért érték nő vagy csökken. Oka pl. a súrlódás.

81

Reagálási / beállási idő

82

Sávszélesség

Váltakozó jelek mérésénél fontos

83

További jellemzők

• ZajA kijelzett érték ingadozása.

• ReprodukálhatóságA műszer hibái időben változnak

• Megbízhatóság (reliability)

• Referenciafeltételek

• Méréshatárok

• Túlterhelhetőség

84

További jellemzők

• Fogyasztás

• Védettségpor és vízállóság

• Hitelesítési lehetőségek

• InterfészekPC kapcsolat, ethernet, szoftverek

• Ár, garancia

• Gyártó

85

Digitális gépek/mérőműszerek

86

Jelek osztályozása

88

Determinisztikus jelek

• Periodikus jelek• Szinuszos jelek

• Általános periodikus jelek

• Nemperiodikus jelek• Kvázi periodikus jelek

• Tranziens jelek

89

Sztochasztikus jelek

• Stacionárius jelekA jellemző statisztikai tulajdonságok állandóak(várható érték, szórás)• Ergodikus jelek

• Nemergodikus jelek

• Nemstacionárius jelek

90

Pl. nem stacionárius folyamat

• Véletlen bolyongás (részeg matróz, diffúzió)

91

Ergodikus folyamatok

• Sokaságátlag: nagyszámú független kísérlet(mérés egy adott pillanatban)

• Időátlag: egyetlen kísérletet vizsgálunk, miközben az idő telik

• Ergodikus jelek: az időátlag és a sokaságátlag megegyezik ⇒sok folyamat helyett egyetlen folyamatot is vizsgálhatunk

92

Nem ergodikus jelek

• Az időátlag ≠ sokaságátlag ⇒a kísérletet többször meg kell ismételni

93

Fourier-sor

• Periodikus jelek: szinuszok és koszinuszok összege

• : periodikus függvény

• : periódusidő

• : frekvenciája

• : körfrekvencia

• : alapharmonikus körfrekvenciája

• : felharmonikus sorszáma

94

Együtthatók meghatározása

• Jel átlaga:

• További együtthatók

95

Fourier-transzformáció

• Nem periodikus jelek esetén használható

• : időtartománybeli reprezentáció• : frekvencia tartománybeli reprezentáció

(spektrum)

96

Mintavételezés

98

Mintavételezés

• folytonos jel → időben diszkrét jel

• Mintavételi frekvencia:

99

Mintavételi tétel

• Ha a jelben előforduló legnagyobb frekvenciájú komponens frekvenciája kisebb,mint a mintavételi frekvencia fele, a mintavételezés nem okoz információveszteséget.

100

Jel rekonstruálása

• Ha a mintavételi tétel teljesül, az eredeti jel teljes egészében rekonstruálható a mért adatok alapján (bármelyik időpillanatban)

101

Mintavételi tétel megsértése

• A magasabb frekvenciájú komponensek →

• Aliasing zaj (védekezés: mintavételi szűrő)

102

Véges minták

a) 0-val való kitöltés

103

Véges minták

b) periodikus kiterjesztés

104

Ablakfüggvény

• Cél: törés hatásának kompenzálása

• Egész számú periódus: nincs rá szükség

105

Fourier típusú reprezentációk

106

DFT

• Véges, mintavételezett minta ⇒ Diszkrét Fourier-transzformáció

• : mintavételezett jel

• j, k: 0..N-1

107

DFT

• : frekvenciatartománybeli reprezentáció (spektrum, az amplitúdó ½ része

• FFT: ugyanazt számolja, mint a DFT

108

Spektrum értelmezése

• DFT eredménye: kétoldalas spektrum

• Frekvenciafelbontás:

109

Teljesítménysűrűség-spektrum

• PSD (Power Spectral Density)

• Mekkora egy adott frekvenciatartományra eső teljesítmény

110

Decibelskála

• Spektrum ábrázolása• lineáris

• logaritmikus (függőleges tengely / mindkét tengely)

• Decibel számolása• négyzetes jelek esetén (pl. teljesítmény)

• lineáris jel esetén (pl. feszültség)

111

... vége ...Köszönöm a figyelmet