STATISTICKI UZORCI KOPRIVICA

7/25/2019 STATISTICKI UZORCI KOPRIVICA

1/28

Dr MILO KOPRIVICA

STATISTIKI UZORCI

(s k r i p t a)

BEOGRAD, 2001.


2/28

2

PREDGOVOR

Ovaj rukopis o statistikim uzorcima namijenjen je prvenstveno studentima umarskihfakulteta, a mogu ga koristiti i nauni radnici, odnosno strunjaci u oblasti umarstva.Izloena materija o uzorcima je logian nastavak ranije izloene materije o statistikim meto-dama u naoj knjizi umarska biometrika, knjiga I (Koprivica, M., 1997). U predgovoru teknjige najavljeno je pisanje i knjige II sa tri osnovna poglavlja: statistiki uzorci, statistikitestovi i osnovni planovi ogleda. Pisanje preostala dva poglavlja bie uskoronastavljeno.

Zbog velike potrebe za izloenom materijom o statistikim uzorcima odlueno je da serukopis stavi na raspolaganje studentima i ostalim potencijalnim korisnicima, bez prethodnerecenzije. Kao takav ovaj rukopis slui za internu upotrebu, pri emu autor teksta zadrava svaprava.

S obzirom da je rukopis nastao u kratkom vremenskom intervalu, skreemo panjuitaocu da su u tekstu mogue manje greke i nejasnoe. Zbog toga, biemo zahvalni svakomitaocu koji dobronamjerno ukae na eventualne nedostatke.

Beograd, januar 2001. Milo Koprivica


3/28

- - 3

SADRAJ

1. Osnovni pojmovi o uzorku........................................................................................................2

2. Opravdanost primjene uzorka ..................................................................................................3

3.. Izbor elemenata skupa u uzorak.................................................................................................3

4. Osnovni tipovi uzoraka ............................................................................................................65. Karakteristike skupa sredina uzoraka .....................................................................................8

6. Karakteristike skupa proporcija uzoraka ................................................................................11

7. Procjena parametara skupa pomou uzorka...................... .....................................................12

7.1. Procjena parametara u osnovnom skupu pomou jednostavnog uzorka............................147.11 Procjena aritmetike sredine u skupu........................................................................147.12 Procjena proporcija u osnovnom skupu.....................................................................177.13 Procjena parametara u konanim skupovima...........................................................187.14 Procjena agregatnih veliina u skupu........................................................................18

9. Planiranje veliina uzorka..........................................................................................359.1 Planiranje veliina jednostavnog uzorka ....................................................................... ....369.2 Planiranje veliina stratifikovanog uzorka.. .................................................................. ....39


4/28

2

1. OSNOVNI POJMOVI O UZORKU

Masovne pojave, odnosno njihova obiljeja, moemo prouavati potpunimobuhvatanjem jedinica masovne pojave (statistikog skupa) ili djeliminim obuhvatanjem.Na primjer, u jednoj sastojini ili veem kompleksu ume, radi utvrivanja zapremine(zalihe) drveta, moe se izvrili potpun premjer prenika i visina svih stabala ili premjer

samo manjeg broja stabala. U sluaju kad obuhvitamo dio statisti

kog skupa radi se ostatistikom uzorku. Odmah treba istai da bilo koji dio skupa ne moe biti uzorak u

statistikom smislu.Da bi jedan dio skupa bio uzorak, potrebno je da zadovoljiva dva osnovna uslova:

da reprezentuje (predstavlja) osnovni statistiki skup s obzirom na strukturuposmatranog obiljeja, i

da postoji mogunost (metod) procjene greke uzorka, tj. koliko su parametridobijeni iz uzorka stvarna procjena parametara osnovnog skupa, kao i zakljuciizvedeni na bazi uzorka o statistikom skupu.

Ova dva uslova objasniemo potpunije na primjeru.

Ako elimo pomou uzorka da procijenimo srednji prenik stabala u sastojini,uzorakodabranih stabala treba da sadri stabla svih debljina (prenika), od najtanjeg donajdebljeg, i to proporcionalno njihovom ueu (zastupljenosti) u sastojini (osnovnom,statistikom skupu). Drugim rijeima, uzorak treba da bude umanjena "slika" statistikogskupa. Za takav uzorak kaemo da je reprezentativan, tj. predstavlja statistiki skup sobzirom na strukturu posmatranog obiljeja. Ako u uzorku stabala raunamo srednji preniktreba unaprijed znati da to nee biti stvarni srednji prenik svih stabala u sastojini, veda jesrednji prenik iz uzorka pogrena vrijednost. Ova injenica je logina jer se prilikomizbora elemenata skupa (stabala) za uzorak ne moe postii potpuna (savrena)reprezentativnost, zbog varijabilnosti elemenata u osnovnom statistikom skupu. Jasno je,

kada bi ponovili uzimanje uzoraka dva i vie puta, svaki put bi dobili razliite vrijednostisrednjeg prenika stabala. Razlika izmeu stvarne sredine statistikog skupa (sastojine) i

sredine uzorka (dijela sastojine), naziva se g r e k a u z o r k a. Greka uzorka, odnosno grekaprocjenjivanog parametra u skupu, uvijek postoji u primjeni uzorka. Ona se jo naziva ig r e k a re p r e z e n t a t i v n o s t i. Zbog toga, ti-eba da postoji statistiki metod da biocijenili greku uzorka sa odgovarajuom v j e r o v a t n o o m (p o u z d a n o u). Unaem primjeru treba da znamo koliko je srednji prenik stabala iz uzorka stvarna procjenasrednjeg prenika svih stabala u sastojini.

Navedeni uslovi za statistiki uzorak su rijeeni teoretski. U praktinom radu prvi us-lov (o reprezentativnosti) postie se objektivnim (sluajnim) izborom elemenata (jedinica)

skupa u uzorak, a drugi uslov (procjena greke uzorka) rjeava se primjenomodgovarajuih statistikih formula (obrazaca) koje su razvijene na bazi matematikestatistike, posebno teorije vjerovatnoe sluajne promjenljive i teorijskih rasporeda.

Radi lakeg snalaenja u daljem izlaganju napominjemo da smo za statistiki skupkoristili oznake: N, X ,P , S2,S, A, a za statistike uzorke: n,x , p, s2, s.


5/28

- - 3

2. OPRAVDANOST PRIMJENE UZORKA

Drutveno i ekonomski primjena metoda uzorka je uvijek opravdana iz jednostavnograzloga - zato bi troili vrijeme i novac na potpuno obuhvatanje jedinica skupa, akomoemo pomou uzorka (djeliminog obuhvatanja jedinica skupa) postii pouzdanu (dobru)procjenu parametara osnovnog skupa. Primjenom metoda uzorka tedimo vrijeme i novac, a

praksa je u mnogim strukama pokazala da se mogu postii i bolji rezultati nego potpunimobuhvatanjem jedinica skupa. Takav je sluaj i u umarstvu, na primjer prilikom potpunog i

djeliminog premjera stabala u sastojini (umi) radi procjene zapremine drveta po hektaru ili nacijeloj povrini. Pri izvodenju potpunog premjera angauju se velika novana sredstva, veliki brojesto nedovoljno kvalifikovanih radnika, a potrebno je mnogo vremena da bi se premjer zavr-io. Posebno treba istai da je tada mogunost kontrole kvaliteta premjera mala. Postojc i drugiizvori greaka u koje ovdje ne moemo posebno ulaziti (npr. greke u utvrdivanju povrinemjerene sastojine ili ume, greke u primjeni tablica, greke tehnike prirode - mjerenja visina iprenika stabala, greke instrumenata kojima se vri mjerenje i slino). Kada je rije oumarstvu, tj. inventuri (premjeru, taksaciji) uma, treba odmah prihvatiti injenicu da nemasavreno tanih mjerenja i da potpuni premjer stabala u umi u razne svrhe ne obezbjcduje

potupuno taan rezultat. Istina, tada nema greke uzorka (greke reprezentativnosti), all postojitzv, tehnika greka. U sluaju primjene uzorka - djeliminog premjera stabala, tedi sevrijeme, novac i sredstva rada, premjer stabala izvodi manji broj kvalifikovanih strunjaka,postoji mogunost kontrole izvedenih mjerenja, a uz sve navedeno, ako se smanje tehnikegrekc u mjerenju i obradi podataka, mogu se dobiti dobri rezultati. Iz ovog primjera jasno je dauzorak ima puno drutveno, ekonomsko i humano opravdanje. Zbog toga je metod uzorkaopteprihvaen (teoretski i praktino) u svim strukama, a u umarstvu je naao idealno mjestoprimjene, prvenstveno u inventuri uma.

Pored navedenog, ima sluajeva kada je primjera metoda uzorka neizbjena, tj. kadaprimjera potpunog obuhvatanja jedinica osnovnog skupa nekim posmatranjem ili analizom nije

mogua. To je sluaj kada se radi o beskonanim skupovima ili kada prilikom posmatranja(ispitivanja) jedinica skupa dolazi do njihovog oteenja iii unitenja. Za ovo poslednjcnaveemo primjer iz umarstva. Da bi utvrdili starost stabala ili sastojine u praksi to radimo iliobaranjem ili buenjem odreenog broja stabala tzv. Preslerovim (priratajnim) svrdlom. Znai,koristimo uzorak, a jasno je da sva stabla ne smijemo obuhvatiti posmatranjem jer bi dolo donjihovog unitenja, odnosno oteenja. Slini primjeri se mogu lako nai i u drugim strukama.Ilustrativni su primjeri sa ispitivanjem trajnosti gorenja sijalica, analizom krvi pacijenata islino.

3. IZBOR ELEMENATA SKUPA U UZORAK

U statistikoj teoriji, a naroito u praksi, postoji vie naina (mogunosti) za izbor ele-menata (jedinica) skupa u uzorak. Odmah da istaknemo, u ovom pogledu umarstvo ima nizspecifinosti koje se posebno prouavaju u dendrometriji (nauci o premjeru pojedinanih sta-bala i sastojina ili uma), naroito u dijelu koji se naziva inventura ili taksacija uma.

Od valjanosti izbora elemenata skupa u uzorak direktno zavisi i pouzdanost rezultata(procjena i zakljuaka) izvedenih pomou uzorka.


6/28

4

U principu, elementi osnovnog skupa mogu biti izabrani u uzorak na dva naina:s u bj e k t i v n o i o b j e k t i v n o. Statistika kao nauka poznaje i priznaje samoobjektivan nain izbora, ali se u prtasi ranije primjenjivao i subjektivan nain izbora

jedinica skupa u uzorak. U nekim sluajevima subjektivan izbor (ako je zasnovan na veojstrunosti i iskustvu a malom uzorku) moe dati dobre rezultate. Meutim, poto nemastatistike mogunosti da se ocijeni stepen subjektivnosti, odnosno pristrasnosti lica koje vri

izbor, nema ni mogunosti ocjene greke uzorka (reprezentativnosti).

Subjekt ivan izbor moe biti: n a s u m i c e ili p o l i n o j p r o c j e n i. Naprimjer, ako u sastojini (skupa)treba izabrati jedan dio stabala za razna istraivanja to se moeizvesti kreui se kroz sastojinu nasumice (ne razmiljajui). Bolji izbor je izbor po linoj(strunoj) procjeni. Prilikom ovog izbora struno lice ima u vidu cilj i svrhu istrazivanja, amaksimalno (razmiljajui) angauje svoje znanje i iskustvo. Meutim, koliko neko zna ikoliko je iskusan i struan to su prilino neodreene i subjektivne kategorije. U sluaju kadase radi o malim uzorcima ovaj izbor, uz sva ogranienja, moe dati dobre rezultate, a uumarstvu se nekada ne moe ni izbjei.

Objektivan izbor moe biti: s l u a j n i i s i s t e m a t s k i. Statistika kao nauka

uvaava samo sluajan izbor, koji se u praktinom radu izvodi na dva naina: lutrijski ilipomou tzv. tablice sluajnih brojeva. Za izvoenje bilo kog od ova dva naina izbora potre-ban je prethodni potpun popis (spisak) svih jedinica osnovnog skupa. Ovo u umarstvurijetko moe da se obezbjedi, pa se umjesto sluajnog najee primjenjuje sistematskiizbor. Iako statistika teorija o uzorcima ne poiva na sistematskom ve na sluajnomizbora, sistematski uzorak, naroito u umarstvu pri inventuri uma, daje bolje (preciznije)rezultate od sluajnog uzorka. Za ovo postoje brojni primjeri u empirijskim istraivanjima iu praksi. Primjenu pojedinih objektivnih naina izbora jedinica skupa u uzorak objasniemo,opet, najlake na primjeru izbora stabala u sastojini u uzorak.

Za provoenje lutrijskog naina izbora potrebno je prethodno sva stabla (koja ine sta-tistiki skup) obrojiti umskom kredom ili farbom od 1 do N. Isto toliko ceduljica trebaobrojiti i staviti u neku posudu a zatim izmijeati i izvlaiti jednu po jednu cedulju dokle neizvuemo dovoljan broj. Broj ceduljica odgovara broju stabala u sastojini, a broj izvuenihceduljica odgovara broju stabala koja ine uzorak. Ovako formiran uzorak jeobjektivan, a koliko je i reprezentativan to zavisi, u prvom redu, od varijabiliteta stabala(elemenata skupa) po posmatranom obiljeju i od veliine uzorka.

Za primjenu tablice sluajnihbrojeva (tabela 1), takoe moramo prethodno obrojitistabla u sastojini, kao kod primjene lutrijskog naina izbora, ali nam ovdje ne trebaju cedu-ljice. Umjesto toga sluimo se tablicom sluajnih brojeva. Ove tablice su konstruisane tako dasvi brojevi u njima imaju istu i nezavisnu vjerovatnou pojavljivanja. Svaka jedinica skupa

ima vjeiovatnou da bude izabrana u uzorak p = 1/N. Brojevi su raspore

eni slu

ajno, aradi preglednosti svrstani su u grupe od po pet redova i pet kolona. Tablice

primjenjujemo na sljedei nain. Pretpostavimo da u sastojini ima 2.500 stabala i da trebaizabrati 30 stabala. S obzirom da je broj stabala u skupu (N) etvorocifren broj; da bi izabralibroj stabala u uzorku (n) potrebno je da izaberemo 30 etvorocifrenih brojeva od 0001 do2500. Poetak u tablici biramo sluajno, kao i nain itanja (vertikalno ili horizontalno).Pretpostavimo da smo izabrali sam poetak tablice i da itamo brojeve vertikalno. Poetnietvorocifren broj je 2041, pa je prvo stablo koje ulazi u uzorak stablo sa ovim rednimbrojem. Sljedei broj u tablicama je 0008, to znai da je drugi element uzorka stablo sarednim brojem 8; isti postupak se nastavlja sve dok ne formirano uzorak od 30 elemenata(stabala).


7/28

- - 5

Sluajan izbor jedinica skupa u uzorak moe biti: bez ponavljanja ili saponavljan jem. Na istom primjeru objasniemo razliku izmeu ova dva izbora. Izbor bezponavlj-anja podrazumjeva da jednom izabrana jedinica skupa ne moe biti ponovo (ili vieputa) izabrana u uzorak. Kod lutrijskog izbora to znai da se izvuene ceduljice ne vraajuponovo u posudu iz koje su izvuene, a kod primjene tablica sluajnih brojeva ako priizboru sluajnih brojeva naiemo na isti broj da ga treba ispustiti. Izbor sa ponavljanjempodrazumjeva suprotno, tj. da jedan isti ele ment u skupu moe biti izabran u uzorak dva ilivie puta, odnosno da se ceduljica koja je izvuena svaki put vraa u posudu ili da se utablici sluajnih brojeva isti broj uzima svaki put kada se pojavi.

U terminima vjerovatnoe kod izbora bez ponavljanja, vjerovatnoa izbora jedinicaskupa u uzorak se stalno mijenja (poveava), a kod izbora sa ponavljanjem vjerovatnoa iz-bora ostaje ista od poetka do kraja izbora. To se lako moe objasniti na prethodnom prim-

jeru. Prije poetka izbora sva stabla u sastojini (2500) imaju istu vjerovatnou da budu iza-brana u uzorak, tj. 1/2500. Ako radimo bez ponavljanja, vjerovatnoa bilo kog stablaod preostalih u skupu je 1/2499, sljedeih stabala 1/2.498 itd. Kada se primjenjuje izbor sa

ponavljanjem, vjerovatnoa izbora ostaje konstantna 1/2500.U statistikoj teoriji ova podjela na izbor bez ponavljanja i izbor sa ponavljanjem jeznaajna i uvijek se posebno naglaava. Medutim, u praktinom radu, ako se radi ovelikim statistikim skupovima ova podjela gubi na znaaju, ali se kod malih statistikihskupova ne moe zanemariti.

Sistematski nain izbora jedinica skupa u uzorak, takoe, postavlja uslov prethodnogobrojavanja (popisa) svih jedinica skupa. Jasno je da je ovaj uslov u umarstvu praktinonajee nemogue ispuniti, pa je problem rijeen na zadovoljavajui nain, to emo obja-sniti kasnije. Sistematski izbor se provodi tako da se prvo skup raunski podijeli u viegrupa, pa se iz prve grupe jedan element izabere u uzorak sluajno, a iz ostalih grupasistematski, tj. tako da se na prvi sluajno izabrani broj dodaje broj elemenata u grupi itd. U

naem primjeru je N = 2500 , a n = 30. Ako podijelimo broj stabala u sastojini (skupu) sabrojem stabala u uzorku, dobijamo broj stabala koji sadri svaka grupa, tj. 2500 : 30 =83,3-,ili,priblino 83 stabla. Lutrijski ili pomou tablice sluajnih brojeva izabrali smonpr. stablo broj 10 iz prve grupe. Sljedei brojevi stabala su 10+83 = 93,93 + 86 = 176itd. Sistematski izbor karakterie to da se poslije sluajnog izbora elementa u prvojgrupi ostali elementi za uzorak biraju sistematski (na istoj udaljenosti).

U umarstvu je problem sistematskog izbora rijeen na zadovoljavajui nain, aizbjegnuto je obrojavanje svih jedinica osnovnog skupa (stabla ili male probne povrineveliine npr. 1, 2, 3, ... ari, oblika kvadrata, pravougaonika ili kruga). Pri sistematskomizboru stabala za mjerenje njihovog prenika ili visine, odnosno i prenika i visine,najee se u sastojinama postavljaju tzv. vizurne dui, pa se na istom rastojanju, npr. 100

m, vre mjerenja na stablima. U inventuri uma, u cilju procjene zapremine drveta,zapreminskog prirasta i drugih taksacionih elemenata, postavljaju se u sastojini probnepovrine (najee oblika kruga, na udaljenosti centara npr. 100 m) i na njima vrepotrebna mjerenja. U sutini, sastojini je prektvena mreom probnih povrina ukvadratnom rasporedu (najee 100 x 100 m). 0 primjeni sistematskih uzoraka u umarstvubie vie govora u dendrometriji.


8/28

6

4. OSNOVNI TIPOVI UZORAKA

U statistikoj teoriji (a naroito u praksi) razvijen je veliki broj razliitih tipova (pla-nova) uzoraka s osnovnim ciljem da se u zavisnosti od veliine i varijabiliteta elemenata ustatistikom skupu uz to manje trokove dobije to preciznija procjena parametara uskupu pomou uzorka. Najee se primjenjuju sljedei tipovi uzorka: jednostavni sluajniuzorak, stratifikovani uzorak; dvoetapni ilivieetapni uzorci, dvofazni ili viefazni uzorak,uzorak grupa ili skupina, uzorak promjenljive vjerovatnoe izbora (selekcije) jedinica skupa,sistematski uzorak i mnogi drugi.

U daljem izlaganju osvrnuemo se na osnovne karakteristike pomenutih tipova uzo-raka.

Jednostavni sluajni uzorak. Ovaj tip uzorka je esto u upotrebi a primjenjuje se na

male i homogene statistike skupove. Pojam homogenosti skupa treba shvatiti ire, u smislu daskup moe biti i prilino nehomogen (mjeren vrijednou standardne devijacije ili koefici-

jenta varijacije), ali je ta nehomogenost izraena prilino ravnomjerno u cijelom skupu, naprimjer, u umarstvu na cijeloj povrini sastojine.Utom sluaju u skupu nije mogue nazretii izdvojiti neke dijelove skupa (podskupove) koji bi sami za sebe bili homogeniji od ostalih di-

jelova. Uzorak se formira sluajnim (objektivnim) nainom izbora jedinica skupa bez ili saponavljanjem. U umarstvu ovaj tip uzorka primjenjujemo u rasadnicima, u umskim kul-turama u jednodobnim sastojinama i drugim pogodnim sluajevima kada bi primjena sloe-nijih tipova (planova) uzoraka bila suvina, tj. ne bi znaajnije doprinijela poveanju preciz-nosti procjene parametara osnovnog skupa. Umjesto sluajnog izbora u umarstvu se eekoristi sistematski izbor, ali se i tada uzorak tretira kao sluajni uzorak. U tom smislugovorimo o jednostavnom sistematskom uzorku, a praktino i teorijski se misli na jednostavnisluajni uzorak.

Stratifikovani uzorak. Za razliku od jednostavnog sluajnog (sistematskog)uzorka, stratifikovani uzorak se primjenjuje na velike heterogene statistike skupove.

Heterogenost mora hiti izraena u skupu tako da jemogue, (ukoliko vene postoje) izdvojitihomogene dijelove skupa(podskupove koji se u statistici obino nazivaju s t r a t u m i ili b lo k o v i. Karakteristino je za stratume (blokove, podskupove) da su jedinice skupaunjima meusobno homogenije (slinije), a izmeu njih heterogenije (razliitije). U_umarstvuovaj tip uzorka se moe uspjeno primjeniti u brdskim i planinskim umama. U velikimstatistikim skupovima uvijek se moe nai neki pogodan osnov za podjelu skupa na

homogenije dijelove (stratume). U umarstvu to moe biti starost sastojina, bonitet stanita,debljina ili visina stabala, geoloka podloga, tip zemljita itd. Cilj primjenestratifikovanog uzorka najee nije samo da se dobije to preciznija procje na parametaraosnovnog statistikog skupa, ve i da se istovremeno dobiju podaci o podskupovima. Naprimjer, u umarstvu nam ne moe biti cilj samo da procijenimo zapreminu drveta pohektaru i ukupno u nekoj umi, ve istovremeno postavljamo i cilj da dobijemo to istonpr. po sastojinama, dobnim razredima (starosnim klasama), ili po osnovnim tipovimauma, po proizvodnim tipovima uma ili gazdinskim klasama i slino. Nivo i ciljstratifikacije moe biti zaista razliit, pa se kod ovog tipa uzorka javlja problem brojastratuma i pristup u izboru elemenata skupa u uzorak, koji u sutini moe biti:neproporcionalan, proporcionalan i optimalan. O ovim problemima bie vie govora u

izlaganju kasnije. Treba jo napomenuti da se kod ovog tipa uzorka u svakom podskupu(stratumu) u prvom fazi izbora i obrade podataka uzorka postupa praktino na nain kaoda je istovremeno rijeo vie jednostavnih sluajnih uzoraka. Iz svakog stratuma izabere se


9/28

- - 7

po jedan sluajan (sistematski) uzorak. Ovaj tip uzorka ima najiru primjenu.

Dvoetapni ili vieetapni uzorak. Ovaj tip uzorka se primjenjuje na velike ihomogene stalistike skupove. Izbor jedinica u uzorak tee u dvije ili vie etapa. U prvojetapi skup se dijeli, ili je vepodijeljen, na tzv, p r i m a r n e j e d i n i c e, a svaka primarna

jedinica se sastoji od s e k u n d a r n i h j e d i n i c a. I sekundarna jedinica se, u nekimsluajevima, moe dalje dijeliti pa se formira vieetapni uzorak. U umarstvu ovaj tip uzorkase moe uspjeno primijeniti u ravniarskim umama. Ako nam je cilj da procijenimozapreminu drveta po hektaru i ukupno na cijeloj povrini ume, primarne jedinice mogu dabudu dijelovi te ume (odjeljenja), a sekundarne jedinice probne povrine razliitog oblika.Jasno je da se i ove povrine po potrebi mogu podijeliti na jo manjc povrine itd.Karakteristika ovog tipa uzorka je da se u svakoj sljedeoj fazi mijenja (smanjuje) veliinaposmatrane jedinice. Ovaj tip uzorka polazi od pretpostavke da svaka primarna jedinicamoe podjednako uspjeno reprezentovati osnovni statistiki skup. To dozvoljava da seznaajno smanjetrokovi izvoenja uzorka, a da se postibne precizna procjena parametarau skupu. Naravno, to prvenstveno zavisi od varijabiliteta posmatranog obiljeja u skupu i od

veliine uzorka.Uzorak je fleksibilan. Na prmjer, ako nam je cilj procjena zapremine drveta u nekoj

umi na odabranim primarnim jedinicama (povrinama) mozemo da mjerimo prenike svimstablima, u drugoj etapi rada na sekundarnim jedinicama (manjim povrinama) mjerimo ivisine stabala, a na jo manjim povrinama u treoj etapi mjerimo i debljinski priraststabala. Ovako postvljen plan uzorka naziva se jo i v i e s t e p e n i u z o r a k.

Dvofazni ili viefazni uzorci.Ovaj tip uzorka se moc primijeniti u velikim i homo-genim.skupovima ili u velikim i heterogenim skupovima. U umarstvu se primjenjujenajee u inventuri uma. Karakteristino je za ovaj tip uzorka da se izbor jedinica skupa uuzorku vri u dvije ili vie faza. Na primjer, kad konstimo avio snimke za procjenuzapremine drveta po hektaru i ukupno na cijeloj povrini, ili pri utvrivanju (procjeni)stepena umovitosti u prvoj fazi na aviosnimcima posebnim metodom aerofototaksacije,izabere se veliki broj probnih povrina (taaka), a u drugoj fazi se na terenu odaberemanji broj takvih probnih povrina i izvri potreban premjer. Povrina na avio snimku i naterenu je iste veliine (naravno u odreenoj razmjeri). Rezultati koji se dobijaju u prvoj idrugoj fazi dovode se u vezu pomou metoda regresije i korelacije. S obzirom da sumjerenja na terenu preciznija, u daljim fazama rada rezultati dobijeni pomou avio snimakase mogu korigovati pomou regresionog modela. Ovaj tip uzorka u inventuri ume se nazivad u p l i u z o r a k. Takoe, pri izradi zapreminskih tablica uzorak moe biti formiran kao d vo f a z n i ili v i e f a z n i u z o r a k. U prvoj fazi mogu se utvrivati (mjeriti) elementizapremine stabla ili sastojine (prenik i visina) i odredit i zapremina. Primjenom metoda

regresije i korelacije dobija se regresioni model na bazi koga se izrade zapreminske tablicekoje se koriste u drugoj fazi rada, tj. dalje se mjeri samo prenik i visina stabala, azapremina uitava iz tablica.

Uzorci grupa ili skupina.Radi smanjenja trokova u izuzetno velikim skupovimana odreenim mjestima vri se prikupljanje potrebnih podataka na dijelovima skupa koji suskoncentrisani u vie grupa (skupina). U umarstvu se primjenjuje prilikom izvoenja tzv.nacionalnih inventura uma (teritorija neke drave).

Uzorak promjenljive vjerovatnoe selekcije.Ovaj tip uzoraka ima primjenuu sluajevima kada se izbor jedinice statistikog skupa povezuje sa njihovim znaajem(veliinom). One jedinice skupa koje su znaajnije za procjenu vrijednosti parametara u skupuimaju veu vjerovatnou da budu izabrane u uzorak od manje znaajnih jedinica. U umarstvu

ovaj uzorak ima iroku primjenu. Naime, lako je razumljivo da za procjenu taksacionihelemenata sastojine ili veeg kompleksa ume (npr. zapremine ili zapreminskog prirasta), veiznaaj (uticaj) imaju deblja od tanjih stabala. Znaaj se poveava sa poveavanjem debljine


10/28

8

stabla. Zbog toga, piilikom izbora stabala sastojine (elemenata skupa) u uzorak deblja stablaimaju veu, a tanja stabla manju vjerovatnou da budu izabrana u uzorak. To se u praksi prostietako to se na probnim povrinama tanja stabla mjere na manjoj probnoj povrini, a deblja naveoj. Veliina probne povrine je funkcija debljine stabla. O ovome e biti vie rijei udendrometriji (Biterlihov metod i metod koncentrinih krugova).

5. KARAKTERISTIKE SKUPA SREDINA UZORAKA

U izlaganju o statistikim skupovima koje ine prirodne ili vjetaki stvorene jediniceskupa istaknute su tri osnovne karakteristike: a r i t m e t i k a (ili neka druga) s r e d i n a,standardna devijacija i oblik rasporeda. Ovdje e biti govora o specifinom - vjetakinastalom statistikom skupu, tj. o skupu koga ine sredine uzoraka.

Iz osnovnog skupa sa brojem elemenata N moemo izvui teoretski i praktino vieuzoraka, pri emu svaki uzorak ima istu velinu (broj elemenata) n. Broj uzoraka oznaiemo sak i on zavisi od toga da li se izvodi izbor elemenata u sluajni jednostavni uzorak bez ili saponavljanjem.

Bez ponavljanja mogue je iz skupa izvui uzoraka,

=

n

Nx , odnosno

)!(!

!

nNn

Nx

= .

Sa ponavljanjem mogue je iz skupa izvui uzoraka,

nNk = .

Na primjer: ako osnovni skup imaN = 10, a elimo izvui uzorke veliine n = 2, tadabez ponavljanja moemo formirati 45 uzoraka (da se razlikuju bar u jednom elementu), a sa

ponavljanjem 100 uzoraka.Jasno je da u svakom uzorku moemo izraunati aritmetiku sredinu, tj.,

kxxxx ,......,,, 321 .

Ovaj niz sredina ini specifian statistiki skup. Postavlja se pitanje kakve su osobineovog skupa. Ovdje emo morati izostaviti matematiko-statistiko dokazivanje tih osobina zbogobimnosti, pa emo ih samo navesti taksativno kao dokazane injenice u statistici i provjerene upraksi.

l. Aritmetika sredina skupa koga ine sredine svih moguih uzoraka jednaka je arit-

metikoj sredini osnovnog skupa

XX =

( X- sredina svih moguih uzoraka, X - sredina osnovnog skupa).Ova tvrdnja i relacija vai za oba naina izbora elemenata skupa u jednostavni sluajni

uzorak, tj. bez ponavljanja i sa ponavljanjem.


11/28

- - 9

2. Varijansa (standardna devijaciju) skupa koga ine sredine svih moguih uzorakamanja je od varijanse osnovnog skupa. Taj odnos moemo izraziti relacijom,

n

SS

x

22= , odnosno

n

SS

x =

gdje je,xx

SS ,2 - varijansa istandardna devijacijasredina uzorka;

SS ,2 - variijansa i standardna devijacija osnovnog skupa;

n - broj elemenata u svakom od kuzoraka.Ova relacija vai samo ako se primjenjuje izbor elemenata iz skupa sa ponavljanjem. U sluaju

kad se primjenjuje izbor bez ponavlanja, dobija se manja varijansa od izbora sa ponavljanjem. Ukonanim skupovima tada se uvodi tzv. k o r e k c i o n i f a k t o r,

1

=

N

nNKf

Formula za varijansu

i standardnu devijaciju tada glasi,

1

22

=N

nN

n

SS

x, odnosno

1

=

N

nN

n

SS

x.

U beskonanim skupovima korekcioni faktor se ne moe koristiti. Analizom korekcionogfaktora vidi se da kada se izjednai veliina skupa i veliina uzorka, varijansa skupa sredina je

jednaka nuli. To je teoretska pretpostavka, a uzorak tada i ne postoji. Dalje, ako je broj elemenata uskupu jako veliki u odnosu na broj elemenata u uzorku, tada je korekcioni faktor blizu jedan, panema praktinog znaaja. U statistici je prihvaeno pravilo da korekcioni faktor treba koristiti ako

je tzv. s t o p a i z b o r a 05,0/ Nn . U protivnom, ako je stopa izbora, tJ. uee veliineuzorka u veliini osnovnog skupa manja od 5%, korekcioni faktor se moe izostaviti. Neki autori

kao granicu navode 10%.Standardna devijacija skupa koga inesredine uzoraka naziva se jo i s t a n d a r d n a g r

e k a s r e d i n e u z o r k a ili samo s t a n d a r d n a g r e k a s r e d i n e. S obzirom daje svaka sredina u skupu koga ine sredine uzoraka pogrena (nije prava), naziv standardna grekase time opravdava.

3. Raspored skupa koga ine sredine uzoraka je normalan u sluaju kada osnovniskup iz koga su uzorci uzeti ima normalan raspored, bez obzira na veli inu uzorka. S obzirom da

je raspored sredina uzoraka normalan on je definisan sa dva parametra: aritmetikom sredinom

)(X i varijansom standardne greke )( 2X

S , odnosno standardnom grekom )(X

S . Zbog toga, sve

osobine koje ima normalni raspored (nestandardizovani i standardizovani) ima i raspored sredina

uzoraka.

Raspored aritmetikih sredina uzoraka prikazan je na grafikonu 1.-

Sa grafikona 1 se vidi da u intervalu imaX

SX ima 68% svihsredina uzoraka, odnosno

u intervaluX

SX 96,1 ima 95% svih sredina uzoraka, a u intervaluX

SX 58,2 ima ak 99%

svih sredina uzoraka. Iskazano na drugi nain to znai da od 100 uzoraka ima 68 uzoraka ija sesredina ne razlikuje od aritmetike sredine osnovnog skupa za vie od jedne standardnegreke, odnosno ima 95 uzoraka gdje razlika nije vea od 1,96 standardnih greaka i 99 uzorakagdje razlka nije vea od 2,58 standardnih greaka.


12/28

10

Graf. 1: Raspored aritmetikih sredina uzoraka

Ova osobina rasporeda sredina uzoraka je posebno znaajna jer teoretski slui kao os-

nova za procjenu sredine skupa (i nekih drugih parametara) na osnovu sredine jednog uzorka.Takode, ova osobina je teoretska osnova za razne statistike provjere (testiranje).

U mnogim.sluajevima oblik osnovnog skupa ne znamo, ili on znaajno odstupa odnormalnog rasporeda. Po centralnoj graninoj teoremi, bez obzira na oblik osnovnog skupa,raspored sredina uzoraka bie normalan ako su uzorci dovoljno veliki. Preciznije reeno, akoosnovni skup iz koga izvlaimo uzorke nije normalan, raspored sredina uzoraka tei normal-nom rasporedu kada n. Veliina uzorka zavisi od oblika rasporeda osnovnog skupa. toraspored osnovnog skupa vie odstupa od normalnog rasporeda potreban je vei uzorak. Ustatistikoj teoriji pod velikim uzorkom podrazumeva se uzorak sa 30 i vie elemenata, a uzorcikoji imaju manje od 30 elemenata nazivamo m a l i u z o r c i.

Kada osnovni skup nema normalni raspored a uzorak sadri manje od 30 elemenata, tadasredine uzoraka nemaju normalni vetzv. S t u d e n t o v ili t- r a s p o r e d. Matematiki izrazovog rasporeda se znaajno razlikuje od izraza normalnog rasporeda, all su ova dvarasporeda po obliku veoma slini. Studentov raspored je simetian kao i normalni raspored, ali

je spljoten odozgo. Stepen spljotenosti se smanjuje sa poveanjem veliine uzorka. Radilakeg razumijevanja standardizovani normalni raspored (z-raspored) i standardizovani Stu-dentov raspored (t-raspored) prikazani su na grafikonu 2.

Graf. 2: Normalni i Studentov raspored


13/28

- - 11

U odnosu na normalni raspored t-raspored je razvuen, tj. da bi obuhvatili 68% sre-dina malih uzoraka ili 95% i 99% potreban je iri interval nego kod normalnog rasporeda.Kao to je normalni raspored standardizovan (kao z-raspored) i Studentov raspored je stan-dardizovan (kao t-raspored). Zbog toga prii izvoenju procjena parametara osnovnogskupa ili prilikom testiranja parametara u skupu ako se radi o malim uzorcima, trebakoristiti tablicu t-rasporeda (tabela 2). O nainu primjene ove tablice bie govora kasnije.

6. KARAKTERISTIKE SKUPA PROPORCIJA UZORAKA

Drugi vaan parametar osnovnog skupa je p r o p o r c i j a elemenata u skupu saodreenom osobinom, koju nazivamo jo i r e l a t i v n a f r e k v e n c i j a. Na prim jer,ako u sastojini (osnovnom statistikom skupu) imamo N = 2.500 stabala i ako smopregledom svih stabala utvrdili broj stabala napadnutih nekom boleu N1= 500, tada jeproporcija oboljelih stabala u sastojini P1= N1/Njednaka 0,20 ili 20%. Meutim, u praksise procjena proporcije u osnovnom skupu utvruje ne potpunim obuhvatanjem svih jedinicaskupa vena osnovu uzorka. Zbog toga je potrebno da upoznamo osobine skupa koga ineproporcije svih uzoraka.

S obzirom da je proporcija specifian vid aritmetike sredine osobine koje smonaveli za raspored aritnietikih sredina skoro u potpunosti vae i u ovom sluaju. Najvanijeosobinerasporeda proporcija su sljedee:

1. Aritmetika sredina proporcijaiz uzoraka veliine njednaka je proporcijiosnovnog statistikog skupa,

PP =

( P - aritmetika sredina proporcija uzoraka, P - proporcija osnovnog statistikog skupa).

Ova relacija vai i kod izbora uzoraka sa ponavljanjem i bez ponavljanja.

2. Varijansa i standardna devijacija skupakogaine proporcije uzoraka sa

ponavljanjem su,

n

QPS

P

=

2, odnosno

n

QPS

P

= .

pri emu je Q = 1 - P.

Kada se koriste uzorci bez ponavljanja, tada se prethodnim izrazima dodaje korekcioni

faktor,

1

2

=

N

nN

n

QPS

P, odnosno

1

=

N

nN

n

QPS

P.

Izraz 2P

S nazivamo v a r i j a n s a s t a n d a r d n e g r e k e p r o p o r c i j e, a njen

korijenP

S s t a n d a r d n a g r e k a p r o p o r c i j e.

Standardna greke proporcije pokazuje prosjeno odstupanje proporcija uzorakaod proporcije osnovnog skupa. To je ustvari standardna devijacija skupa koga dineproporcije uzoraka. S obzirom da su proporcije uzoraka pogrene, to opravdava njennaziv.

3. Oblik rasporeda proporcija uzoraka ima oblik binomskog rasporeda akose radi o uzorcima sa ponavljanjem. Proporcije iz uzoraka bez ponavljanja formirajutzv. hipergeometrijski raspored. Meutim, ako je uzorak veliki,tada ova dva rasporedateoretski tee


14/28

12

normalnom rasporedu pa moemo da primijenimo centralnu graninu teoremu, koja u ovomsluaju glasi: sa porastom veliine uzorka raspored proporcija uzoraka tei normalnomrasporedu.

Postavlja se pitanje kolika treba da bude veliina uzorka da bi mogli primijeniti nor-malni raspored. U praksi se koriste sljedei uslovi:

np>5 i nq>5

Ako je p = 0,5 navedeni uslovi bide ispunjeni vekod veliine uzorka n 10. Za ek-stremne vrijednostippotrebni su veoma veliki uzorci, da bi primjena normalnog rasporeda bilaopravdana.

Ako su ispunjeni navedeni uslovi za primjenu normalnog rasporeda tada se proporcijauzoraka grupiu u pojedinim intervalima isto kao i aritmetike sredine uzoraka (graf. 3).

Poto je uslov za primjenu normalnog rasporeda pri procjenama i testiranjima propor-cija osnovnog skupa pomou uzorka da su uzorci veliki, u ovom sluaju primjena Studentovog(t-rasporeda) ne dolazi u obzir.

Na analogan nain kao to je razmatran skup sredina uzoraka i skup proporcijauzoraka mogli bi analizirati i osobine skupa koga ine varijanse uzoraka. U to ovdje nemoemo ulaziti, ali emo samo napomenuti da oblik ovog rasporeda zavisi od varijanse os-novnog skupa i od veliine uzorka. Za male vrijednosti nraspored je izrazito asimetrian, ali sapoveanjem veliine uzorka on postaje sve vie simetrian.

7. PROCJENA PARAMETARA SKUPA POMOU UZORKA

U prethodnim izlaganjima o specifinim skupovima koje ine sredine ili proporcijesvih uzoraka uzetih iz osnovnog statistikog skupa polazili smo od pretpostavke da znamovrijednosti parametara u osnovnom statistikom skupu. To nam je posluilo da izvedemo teo-retska razmatranja. Meutim, u praksi je situacija obrnuta. Vrijednosti parametara u osnovnomskupu po pravilu ne znamo, ve najee raspolaemo informacijama iz jednog uzorka.

Zakljuivanje se odvija u suprotnom smjeru - od uzorka ka skupu. To moemo predstavitiematski (ema 1).


15/28

- - 13

U daljem izlaganju pokazaemo metode pomou kojih se na bazi izraunatih vrijed-nosti u uzorku zakljuuje o vrijednosti parametara u skupu. Zadraemo se na parametrima

skupa koji se najee procjenjuju u praksi (aritmetika sredina, proporcija i varijansa, od-nosno standardna devijacija).

U statistici se razlikuju tzv. t a k a s a t a i i n t e r v a l n a procjena nepoznatihparametara osnovnog skupa. Ako prihvatimo pretpostavku da je vrijednost parametra uskupu (npr. aritmetike sredine) jednaka dobijenoj vrijednosti parametra u uzorku,govorimo o takastoj procjeni. Medutim, u tom sluaju bi sigurno pogrijeili s obzirom daznamo da je dobijena vrijednost parametra u uzorku manje ili vie pogrena u odnosu nastvarnu (pravu) vrijednost nepoznatog parametra u skupu. Umjesto takaste procjenekoristi se skoro iskljuivo intervalna procjena vrijednosti nepoznatog parametra u skupu. Utom sluaju, s obzirom da se radi o procjeni na bazi uzorka, zakljuke uvijek izvodimo saodreenom (dogovorenom) vjerovatnoom, odnosno sa odreenim rizikom da emopogrijeiti. Najee se koristi vjerovatnoa 95% ili 99%, odnosno rizik 5% ili1%.

Prije same procjene parametara u osnovnom skupu treba vidjeti kojiminformacijama o osnovnom skupu raspolaemo - da li poznajemo oblik rasporeda ieventualno varijansu tog skupa? Meutim, ako se u statistici izlau metode procjeneparametara skupa na bazi uzorka kada nam je poznat oblik rasporeda i njegova varijansa,treba istai da je to vie teoretska pretpostavka da bi se lake shvatio i objasnio sammetod procjene nego praktina mogunost. Na primjer, teko je zamisliti mogunost dapoznajemo varijansu osnovnog skupa a da ne znamo aritmetiku sredinu i slino.

U daljem izlaganju pokazaemo kako se procjenjuje aritmetika sredina i proporcijaosnovnog skupa na bazi parametara dobijenih u jednostavnom uzorku. Takode, bie rijei i

o procjeni agregatnih veliina osnovnog skupa, odnosno o procjeni agregata ili totalaskupa.


16/28

14

7.1 Procjena parametara u osnovnom skupu pomou jednostavnog uzorka

O jednostavnom sluajnom i jednostavnom sistematskom uzorku bilo je govora u pret-hodnom izlaganju. Ovdje emo samo podsjetiti da se jednostavni uzorak primjenjuje na male ihomogene statistike skupove. Bcz obzira da li je u pitanju sluajan ili sistematski izbor, kori-ste se formule jednostavnog sluajnog uzorka.

7.11 Procj ena ar i tmct ike sredine u skupu

Radi lakeg objanjenja ovog postupka poiemo od pretpostavke da je varijansa os-novnog skupa poznata i da osnovni skup ima normalan raspored. U ovom sluaju i rasporedsredina svih moguih uzoraka iz osnovnog skupa je normalan, pa moemo uopteno napisatinejednainu koja odreuje interval u kome e se nalaziti nepoznata aritmetika sredina os-novnog skupa. Ta nejednaina glasi,

xx szxXszx +

Ako elimo da procjena sredine bude izvedena sa pouzdanou 1 - = 0,95, odnosna sarizikom a = 0,05, tada prethodno nejednainu moemo napisati kao,

xx sxXsx + 96,196,1

U ovoj nejednaini xje aritmetika sredina uzorka, a xs je greka aritmetike sredine

nssx /= .Koeficijent 1,96 je vrijednost standardizovanog obiljejazoitana iz tablica nor-

malnog standardizovanog rasporeda.

Poslednju nejednainu, radi lakeg shvatanja samog metoda, predstaviemo grafiki(graf. 4).

Na grafikonu 4 interval A sadri pravu sredinu osnovnog skupa, a interval B ne sadri.


17/28

- - 15

Postoji 95% vjerovatnoe da interval sadri pravu vrijednost aritmetika sredineosnovnog skupa. Prisutan je rizik od 5% da smo pogrijeili u zaklju ivanju. Greka e s e

javiti ako smo izabrali jedan od 5% rijetkih uzoraka sa malom ili velikom vrijednou uodnosu na X.

Kao to se vidi iz navedene nejednaine, mi intervale formiramo prema sredini naeguzorka a ne prema sredini skupa, jer nam je sredina skupa nepoznata.

Postupak procjene sredine skupa u ovom sluaju pokazaemo na primjeru.Pretpostavimo da na osnovu uzorka n = 25 elemenita trcba da procjenimo sredinu

osnovnog skupa X, koji ima normalni raspored i varijansu S2 = 100. Ako je aritmetika sredinau izabranom uzorku 123=x interval pouzdanosti aritmetika sredine skupa e biti,

25/1096,112325/1096,1123 + X

92,12608,119 X Sa pouzdanou 95% tvrdimo da je aritmetika sredini osnovnog skupa jednaka jednoj

vrijednosti u intervalu od 119,08 do 126,92. Ovo tvrenje se zasniva na injenici da bi u dugom

nizu izvlaenja uzoraka (n= 25) 95% ovako formiranih intervala sadravalo vrijednost X.Postoji rizik od 5% da je stvarna vrijednost aritmetika stredine skupa manja od 119,08 ili veaod 126,92. Rizik je podijeljen ravnomjerno na obe strane intervala ((/2 = 2,5%).

Granice intervala nizivamo g r a n i c e p o u z d a n o s t i p r o c j e n e. Prilikomprocjene aritmetike sredine osnovnog skupa cilj nam je da interval bude to ui, tj. daprocjena bude preciznija. Pri istoj pouzdanosti (odnosno riziku) granice intervala procjene semogu suziti poveavanjem veliine uzorka. Pri istoj veliini uzorka ako poveamo stepenpouzdanosti, npr. na 99%, tada dobijamo kao rezultat iri interval - neprecizniju procjenuaritmetike sredine skupa.

U praksi se najee koristi nivo pouzdanosti od 95% jer se istovremeno postievisoka pouzdanost i relativno precizna procjena. esto su i nivo pouzdanosti i nivo preciznostiunaprijed zadati. Tada veliinu uzorka treba da planiramo (odredimo) tako da ispuni obazahtjeva. O ovome e biti govora kasnije.

U sluaju kad nam je poznata varijansa osnovnog skupa a nije poznat oblik rasporeda,ili znamo da osnovni skup nema normalan raspored, koristimo centralnu graninu teoremu.Tada iz osnovnog skupa treba izabrati veliki uzorak i izvesti procjenu aritmetika sredineosnovnog skupa na veizloeni nain.

Pretpostavimo da varijansa osnovnog skupa nije poznata (to je najei sluaj upraksi) a da osnovni skup ima normalan raspored. Ako ne znamo vri jednost standardne

devi jacije ne moemo da izraunamo standardnu greku nSSx /= niti da odredimo interval

pouzdanosti aritmetika sredine skupa. Zato je potrebno prvo procijeniti nepoznatu vrijednost

standardne devijacije u skupu. Standardnu devijaciju skupa (S) zamijeniemo njenomtakastom ocjenom iz uzorka (s). Tada u obrascu za standardnu greku dobijamo njenu proci-

jenjenu vrijednost i obiljeavamo je sa,

n

ssx =

Poto smo procijenili standardnu greku moemo da odredimo interval pouzdanostiprocjene, ali ne moemo da koristimo svojstva standardizovanog normalnog rasporeda


18/28

16

(z-raspored). Umjesto normalnog rasporeda koristimo Studentov ili t-raspored. Standard-izovano obiljeje t ima veu disperziju od standardizovanog obiljejaz. Vrijednost t oita-vamo iz tablica t-distribucije, a ona zavisi od stepena pouzdanosti (rizika (/2) i od tzv. s t e p e n a s l o b o d e (V=n-1).

Stepen slobode defniemo kao broj nezavisnih vrijednosti u uzorku umanjen za brojogranienja koja se nameu ovim vrijednostima.

Na primjer, imamo tri broja: X1, X2 i X3 i njihova aritmetika sredina jednaka je 10.Ako je X1 = 15 a X2= 10, tada je trei broj ustovljen vrijednou aritmetike sredine iiznosi X3= 5. U drugom sluaju, ako je X1= 20 a X2= 8, tada je X3= 2. Primijetimo dasmo dva broja izabrali slobodno, a trei broj je bio uslovljen aritmetikom sredinom.Dakle, u uzorku veliine n aritmetika sredina uzoraka se ponaa kao ogranienje kojenam ostavljaju n - 1 stepeni slobode. Sa stepenom slobode emo se esto susretati,ali on nee uvijek biti n - I .

Sada da se vratimo procjeni aritmetike sredine osnovnog skupa, tj. odreivanjuintervala pouzdanosti. U ovom sluaju koristimo sljedeu nejednainu,

xx stxXstx +

U nejednaini je:

x - aritmetika sredina uzorkat - vrijednost iz tablica t-rasporeda, koja zavisi od stepena slobode n - 1 i rizika

/2,

xs - standardina greka aritmetike sredine uzorka.

Pretpostavimo da je raspored stabala po debljini u jednodobnoj sastojini smre nor-malan i da smo sluajnim postupkom u uzorak izabrali n = 13 stabala. Izraunali smoaritmetiku sredinu u uzorku x = 30,77 cm i standardnu devijaciju s = 8,62 cm. Utablicama t-rasporeda itamo za (13 - 1) i nivo rizika 0,05 (odnosno 0,05/2) vrijednost t =2,1788. Ovdje treba napomenuti da je rizik ravnomjerno rasporeen na lijevoj i desnojstrani t-rasporeda, koji je simetrian. Zatim raunamo standardnu greku, .

39,213

62,8===

n

ssx .

Zamjenom izraunatih i zadatih vrijednosti u posljednjoj nejednaini dobijamo,

39,21788,277,3039,21788,277,30 + X

98,3556,25 X Rezultat tumaimo na isti nain kao kad smo koristili procjenu sredine osnovog

statistikog skupa pomou standardizovanog normalnog rasporeda, tj. sa pouzdanou95% prosjeni prenik svih stabala u sastojini (skupu) nalazi se u intervalu od 25,56 cm do

35,98 cm. Lako je zapaziti da je interval povjerenja irok, odnosno da je procijenjenavrijednost srednjeg prenika neprecizna. Imajui u vidu veliinu uzorka to se moglo ioekivati . Za precizniju procjenu pri istom nivou pouzdanosti potreban je vei uzorak.

U tablici t-rasporeda moe se zapaziti da se sa poveanjem stepena slobode, tj.veliine uzorka vrijednosti tprilbliavaju z vijednostima normalnog rasporeda, pa se kod

veoma velikih uzoraka umjesto t-rasporeda moe koristiti z-raspored. Tada intervalpouzdanosti aritmetike sredine skupa iznosi,

xx szxXszx + .


19/28

- - 17

Upotreba pojedinih teorijskih rasporeda opravdana je samo ako su ispunjene nekepretpostavke koje se odnose na osobine osnovnog skupa i veliina uzorka. U najveem brojustuajeva eksperimentalni rezultati su pokazali da pretpostavka o normalnom rasporedu os-novnog skupa nije neophodna za primjenu t-rasporeda u procjeni aritmetike sredine osnovnogskupa. Dovoljno je da osnovni skup bude simetrian i unimodalan, pri emu je posebno vanoda uzorak ne bude suvie mali.

7.12 Procjena proporcije u osnovnom skupuU ovom izlaganju ograniiemo se na velike uzorke, pod uslovom da su zadovoljene

nejednakosti,

np>5 i nq>5.

U ovom sluaju koristimo za ocjenu proporcije osnovnog skupa normalni raspored,odnosno standardizovano obiljeje z.

Za formiranje intervala pouzdanosti proporcije osnovnog skupa koristi se u sutini istipostupak kao kod procjene aritmetike sredine osnovnog skupa, tj.

pp SzpPSzp +

S obzirom da standardnu greku proporcije treba izraunati po formuli,

n

QPSp

=

to ne moemo uraditi zbog toga to ne znamo proporciju (P) u osnovnom skupu, pa je moramoprocijeniti na osnovu proporcije uzorka (p) po formuli,

1

=

n

qpsp .

Kada je uzorak veliki u imeniocu umjesto n - 1 moemo koristiti samo n.Sada moemo.napisati obrazac sa procijenjenom standardnom grekom proporcije,

pp szpPszp +

Primjer: pretpostavimo da smo u sastojini bora na uzorku od 600 stabalakonstatovali da ima 81 oboljelo stablo. Na osnovu ovog rezultata treba ocijeniti sapouzdanou 0,90, proporciju oboljelih stabala u sastojini (skupu).

Proporcija oboljelih stabala u uzorka je,

135,0600

81===

n

mp ,

odnosno 13,5%. Vrijednost z itamo iz tablice normalnog rasporeda.

Procijenjena vrijednost standardne greke proporcije uzorka je,

1014,01600

865,0135,0

1 =

=

=

n

qpsp .


20/28


21/28

- - 19

FstxFXstxF xx + )()(

Agregat (total) skupa je procijenjen sa istom pouzdanou i sa istompreciznou kao i aritmetika sredina skupa.

Slino se postupa i prilikom procjene proporcije u osnovnom statistikom skupu, od-nosno procjene broja elemenata skupa sa odreenom osobinom.

Prava proporcija nekog svojstva u skupu je,

N

NP i= ,

pa jeNi=PN.

S obzirom da ne znamo proporciju osnovnog skupa ve je procjenjujemo intervalno nabazi proporcije uzorka, tada i broj sluajeva u skupu koji imaju posmatrano svojstvo Niprocjenjujemo intervalno po sljedeoj nejednaini,

NszpNszpN pip + )()(

U primjeru koji smo naveli za procjenu proporcije skupa - sastojine smre (pogl.7.12) dobili smo proporciju u uzorkup= 0,135. Ako elimo izvesti procjenu proporcije skupa sapouzdanou 0,95 (rizik 0,05) i ako u sastojini (skupu) ima 17.000 stabala, tada moemo pisati,

000.17)014,096,1135,0()014,096,1135,0(000.17 + iN

000.1716244,010756,0000.17 iN

762.2829.1 iN

Sa pouzdanou 95% odnosno s rizikom 5% moemo oekivati da se ukupni broj oboljelihstabala u sastojini nalazi u intervalu od 1.829 do 2.762 stabala.


22/28


23/28

- - 35

9. PLANIRANJE VELIINE UZORKA

Pri planiranju veliine uzorka osnovni je princip da se postigne maksimalna preciznost,odnosno tanost, procjene uz minimalne trokove. S obzriom da se preciznost procjeneizraava pomou standardne greke, problem planiranja veliine uzorka se moe postavitidvojako: minimizirati trokove za datu standardnu greku ili minimizirati standardnu greku za

date trokove. Planiranje veliine uzorka u razne svrhe, a naroito za inventuru uma, jeizuzetno kompleksan problem u koji ovdje ne moemo ire ulaziti. Ograniiemo se na pla-niranje veliine jednostavnog uzorka. Prije nego preemo na dalje izlaganje o ovomproblemu, potrebno je da ukaemo na razliku izmeu termina, koje smo veupotrijebili, p r ec i z n o s t i t a n o s t p r o c j e n e pomou uzorka. Preciznost je mjerareprezentativnosti uzorka i izraava se standardnom grekom posmatrnog parametra(aritmetika sredina, proporcija, standardna devijacija itd.). Pri raunanju vrijednostistandardne greke polazi se od pretpostavke da su sva mjerenja ili izbrajanja za posmatranoobiljeje izvedena bez greke. Variranje koje se javlja u skupa ili uzorku kod posmatranogobiljeja posljedica je samo prirodnog (sluajnog) variranja. Meutim, pri svakom mjerenjaili izbrajanja javljaju se sluajne (neizbjene) greke, a mogu biti prisutne i sistematske iligrube greke. Naravno, greke ove vrste mogu imati veliki uticaj na ukupnu valjanost,odnosno stvarnu tanost procjene. Znai, tanost je iri pojam od preciznosti procjene, jer jetanost procjene rezultat greke uzorka (reprezentativnosti) i tzv. tehnike greke (grekeizvan uzorka). Iz ovog pojanjenja pojmova preciznost i tanost proizilazi da mjerenjamoraju biti u granicama dozvoljenih odstupanja, inae se moe dogoditi da imamo preciznua nedovoljno tanu procjenu. Ovo je est sluaj u umarstvu pri inventuri sastojina i umskihkompleksa pomou uzorka. No, i o ovome e biti vie govora u dendrometriji.

U irem smislu planiranje uzorka obuhvata izbor tipa (plana) uzorka i odreivanje veli-

ine (obima) uzorka. Uvijek se nastoji da se uzorak podesi tako da se uz minimalne trokovedobije to preciznija (tanija) procjena. Efikasniji je onaj uzorak koji pri istim trokovimadaje manju standardnu greku (veu preciznost). Takoe, ekonominiji je onaj uzorak koji

je pri istoj preciznosti procjene jevtiniji. Iz ovoga proizilazi da uzorak treba biti efikasan, tj.dovoljno precizan i ekonomian. Da bi se postigla efikasnost uzorka treba prvo, na baziteoretskih znanja o tipovima uzoraka i na bazi upoznavanja (preliminarnog prouavanja)osnovnog statistikog skupa za koji se planira uzorak, odabrati tip uzorka (jednostavni,stratifikovani, dvoetapni, uzorak skupina, uzorkk promjenljive vjerovatnoe selekcije jedinicaskupa, itd.) a zatim odrediti potrebnu veliinu uzorka. Kod kombinovanih uzoraka trebasainiti dalje plan uzorka (raspored elemenata po stratumima - neproporcionalan,proporcionalna ili optimalan, ili kod dvoetapnog uzorka raspored primarnih i sekundarnih

jedinica u izabranim primarnim jedinicama i slino).


24/28

36

9.1 Planiranje veliine jednostavnog uzorka

Ako nejednainu za procjenu sredine skupa pomou jednostavnog sluajnog uzorkanapiemo kao jednainu po kojoj odreujemo granice intervala pouzdanosti procjene tadamoemo izvesti formulu za odredivanje veliine jednostavnog uzorka u cilju procjene arit-metike sredine skupa. Postupak izvodenja je sljedei:

N

n

n

stxX = 1 .

Ako u ovojjednaini zanemarimo korekcioni faktor i prebacimo aritmetiku sredinuuzorka na lijevu stranu znaka jednakosti dobijamo,

n

stxX =

Razliku izmeu aritmetike sredine skupa (X) i aritmetike sredine uzorka (x )oznaiemo sa d, pa dobijamo,

n

std =

U ovojformuli dje ukupna razlika izmedu sredine skupa i sredine uzorka, tj. apsolutnagreka uzorka. Ako prethodni izraz kvadriramo i sredimo jednainu po n dobijamo konanoformulu za odredivanje veliine jednostavnog uzorka,

2

22

d

st

n

=

ili

2

)( d

st

n

=

Ova formula za odredivanje veliine uzorka je izvedena uz zanemarivanje korekcionogfaktora. Medutim, ako se pri planiranju veliine uzorka pokae da je stopa izbora n/N visoka,potrebno je izvriti korekciju po formuli,

N

n

nnk

+

=

1

U formuli je sa nkoznaena konana veliina uzorka.

Iz formule za odre

ivanje veliine uzorka vidi se da je potrebno poznavati standardnudevijaciju posmatranog obiljeja u skupu, odnosno njenu procijenjenu vrijednost u skupu (s), i

greku uzorka xstd = . Takoe, treba odrediti koeficijent t iz tablica t-rasporeda za odabranu

vjerovatnou (pouzdanost) procjene.

Problem se rjeava na sljedei nain:Prvo se pretpostavi da e uzorak biti vei od 30 elemenata, pa je na primjer za vjero-

vatnou 95% t = 2,0. Do vrijednosti standardne devijacije moe se doi na vie naina. Pomogunosti treba koristiti rezultate ranijih istraivanja u istom statistikom skupu, tj. podatak ovrijednosti standardne devijacije. Ukoliko nema takvih podataka, a ako znamo da osnovni skupima priblino normalni raspored, tada se vrijednost standardne devijacije ocijeni na bazi

raspona variranja (varijacione irine) vR ,

66min vmac RXXs


25/28

- - 37

U umarstvu se pri inventuri uma, radi sigurnosti, varijaciona irina dijeli sa 4, umjestosa 6. U sluaju kad ne moemo da koristimo jednu od prethodnih mogunosti moramo postavitiprobni uzorak (manjeg obima) tzv. "pilot uzorak" i izraunati vrijednost standardne devijacije.

Vrijednost greke uzorka (d) u apsolutnim jedinicama mjere se zada unaprijed. To jeustvari razlika izmeu stvarne sredine osnovnog skupa i sredine uzorka. Vrijednost greke

uzoraka se odredi na bazi iskustva. To je greka uzorka ili greka aritmetrike sredine pri una-prijed zadatoj vjerovatnoi, koja se moe tolerisati.

Primjer: Treba planirati veliinu uzorka, tj. odrediti broj stabala u sastojini koju trebapremjeriti da bi se procijenio srednji prenik svih stabala u sastojini sa vjerovatnoom 95% i samaksimalnom grekom 2,5 cm. Na bazi ranijih mjerenja utvreno je da standardna devija-cija prenika stabala iznosi 7,5 cm. Ukupan broj stabala u sastojini je veliki, pa ne treba koris-titi korekcioni faktor.

Po formuli za odreivanje veliine jednostavnog uzorka u velikim skupovima raunamo,

365,2

5,70,2)(22=

==

d

stn

Znai, za postizanje eljene tanosti uz vjerovatnou 95% u sastoniji treba premjeriti 36stabala, koja treba odabrati objektivno (sluajno ili sistematski).

Uz pretpostavku da je sastojina mala i da stopa izbora prelazi 5%, npr.N = 550 stabala,tada bi dobijeni rezultat trebalo korigovati,

348,33

0655,1

36

550361

36

1

==

+

=

+

=

Nn

nnk

Ako se u primjeni planirane veliine uzorka pokae da je uzorak bio nedovoljne veli-ine moe se pomou rezultata ovog uzorka jo jednom planirati veliina uzorka i izvestidopuna ve obavljenog mjerenja. U tom sluaju ak se ne mora ponovo raunati aritmetikasredina i varijansa novog uzorka kao cjeline, vese to moe uraditi samo za dodatno mjerenjea iz prehodnog i dodatnog mjerenja moe se direktno izraunati sredina i varijansa sa cijeliuzorak.

Teoretski gledano, pri istoj pouzdanosti procjene, poveanjem veliine uzorka moemopostii bilo koje, pa i najmanje, odstupanje sredine uzorka od sredine skupa. Ali treba imati uvidu da se standardna greka aritmetike sredine veoma sporo smanjuje i da nijeopravdano uzimati suvie veliki uzorak. Bolje je potraiti neku ravnoteu izmedu trokovaizvoenja uzorka i koristi od njega.

Da bi greku uzorka smanjili za xputa potrebno je da poveamo veliinu uzorka x2 puta. Naprimjer, ako u prethodnom primjeru elimo da smanjimo greku srednjeg prenika sa 2,5na 1,25 cm, tj. 2 puta, potrebno je da poveamo uzorak 4 puta, tj. 36 4 = 144. Da bi smanjiligreku sa 2,6 na 0,83 cm, odnosno za 3 puta, potrebno je poveati uzorak 9 puta, tj. 36 9 =

324. Umjesto da poveavamo veli

inu uzorka po svaku cijenu, moda je bolje izvritikvalitetnije (preciznije) mjerenje prenika stabala pa e i sama procjena srednjeg prenika

sastojine biti tanija.


26/28

38

Veliina jednostavnog uzorka moe se planirati i na osnovu poznavanja koeficijentavarijacije (relativnog varijabiliteta) i relativne greke uzorka. U tom sluaju, koji je u umarstvuei, koristimo sljedeu formulu,

2%

2%

2

d

Ktn v

=

ili

2

%

%

)( d

Ktn v

=

Ako u sastojini poznajemo npr. koeficijent varijacije visina stabala Kv = 30%, a moemotolerisati greku uzorka 5% (da stvarna srednja visina ne odstupa od srednje visine iz uzorka za vieod 5%) uz vjerovatnou 95%, tada je potrebna sljedea veliina uzorka,

144)5

300,2( 2 =

=n

U sluaju da je osnovni skup mali i ovdje treba izvriti korekciju dobijenog rezultata na istinain kao u sluaju kad je za planiranje veliine uzorka koriena standardna devijacija (apsolutnamjera varijabiliteta) i greka uzorka bila iskazana u apsolutnimjedinicama.

Kada pomou jednostavnog uzorka elimo da procijenimo proporciju u osnovnom sta-tistikom skupu tada se, polazei od jednaine za odreivanje granica intervala pouzdanosti procjeneproporcije,

N

n

n

qpstpP

= 1

1

uz analogne raunske operacije i odbacivanje korekcionog faktora moe se izvesti formula zaplaniranje veliine uzorka,

2

2

1d

qptn

=

Broj elemenata potrebnih za uzorak je ustvari vei za 1 od izraunatog. Veliina uzorkazavisi od odnosa p i q, zatim od dozvoljene greke uzorka i, naravno, od vjerovatnoe sa kojomplaniramo (obino 95% ili 99%). Matematiki se moe dokazati da je za isto t i isto d potrebna

najvea veliina uzorka kad je p = q. Ako jepznaajno razliito od qtada je potreban manji uzorak.Dokaz je sljedei:

2

)1(

ppy

ppy

qpy

=

=

=

Da bi ova funkcija bila u maksimumu poti-ebno je pi-vi izvod popizjednaiti sa nulom,

1-2p=0

p= 1 /2

Iz ovog dokaza proizilazi da je najbolje ako nemamo podatak o proporciji posmatranogobiljeja u skupu, uzeti maksimalni proizvod qp = 0,25.


27/28

- - 39

Ako je skup veliki u odnosu na planirani uzorak koristi se formula u prethodnom obliku, aako je skup mali, tj. kada je stopa izbora %5/ Nn , treba izvriti korekciju prethodnu odreeneveliine uzorka,

N

n

n

n k 11

1

)1( +

=

Primjer: Treba planirati veliinu uzorka pomou koga treba da se procijeni proporcijaoboljelih stabala u sastojini smre. Procjenu treba izvesti sa vjerovatnoom 95%, a greka proporcijene smije biti vea od 0,10. Preliminarnim obilaskom sastojine utvreno je da ima oboljelih stabala

oko 35%.

Uz pretpostavku da se korekcioni faktor moe zanemariti, potrebna veliina uzorka je,

461

5,4501,0

455,0

10,0

65,035,00,21

2

2

==

=

n

n

Konano, trebalo bi u uzorak uzeti 47 stabala, i to na objektivan nain (sluajnim ilisistematskim izborom).

Ako je stopa izbora vea od 5% odreena veliina uzorka se mora korigovati, tj.,

43)1(

5,420836,1

46

550

461

46)1(

==

+

=

k

k

n

n

Korigovana veliina uzorka je 44 stabla.


28/28

Documents

STATISTICKI UZORCI KOPRIVICA