Stabilizacija opti£kog frekventnog £e²lja

Domagoj Kova£i¢Fizi£ki odsjek, PMF, Bijeni£ka c. 32, 10 000, Zagreb

20.1.2017

U ovom je radu izvr²ena stabilizacija opti£kog frekventnog £e²lja koriste¢i tehniku hete-rodine spektroskopije. Ona uklju£uje mjerenje frekvencije udara izme�u jednog moda frek-ventnog £e²lja i kontinuiranog lasera, te stabilizaciju iste. Osim toga, mjeri se i stabilizirafrekvencija repeticije pulsnog lasera koji £ini frekventni £e²alj. Obje frekvencije nalaze se urasponu od 0-40 MHz, a stabilizirane su na red veli£ine mHz u vremenu integracije od 100s,²to daje relativnu frekventnu to£nost od oko 10−10. U svrhu mjerenja stabilnosti frekvencijanapravila se statisti£ka obrada podataka te izra£unala Allanova devijacija.

I. OPTI�KI FREKVENTNI �E�ALJ

Mjerenje apsolutnih frekvencija u opti£komvalnom podru£ju, te ultra-precizna opti£ka spek-troskopija predstavljale su jedan od najve¢ih iz-azova u podru£ju metrologije, te atomske i mo-lekulske �zike. Rje²enje se pojavilo u obliku op-ti£kog frekventnog £e²lja, tzv. opti£kog ravnala,za koji je prof. J. Hallu i prof. T. Hanschu do-djeljena Nobelova nagrada 2005. godine. Da-nas je frekventni £e²alj raspostranjen u razli£i-tim podru£jima eksperimentalne �zike, od opti£-kih satova gdje je omogu¢io preciznosti mjerenjavremena na skali od 10−18 s [1], do astronomijegdje je omogu¢io testiranje teorije ekspandiraju-¢eg svemira. Frekventni £e²ljevi koriste se i zavisoko preciznu atomsku i molekulsku spektro-skopiju, a od nedavno primjenjuju se i u podru-£ju hladnih atoma.Spektar frekventnog £e²lja sastoji se diskretnih,jednoliko udaljenih frekventnih linija u opti£kompodru£ju. Takav spektar nastaje kao rezultatemisije pulsnog lasera koriste¢i tehniku zaklju-£avanja modova, eng. mode locking. Tehnikazaklju£avanja modova temelji na principu sin-hronizacije longitudinalnih modova laserske re-zonatorske ²upljine u jednoj to£ki prostora, tj.name¢e se konstantna fazna razlika izme�u lon-gitudinalnih modova koji osciliraju unutar rezo-nantne ²upljine. Zbog toga, na razli£itim mjes-tima rezonatorske ²upljine dolazi do konstruk-tivne i destruktivne interferencije longitudinal-nih modova ²to uzrokuje stvaranje ultra-kratkihpulseva. Tehnikom zaklju£avanja modova ti-pi£no se postiºu laserski pulsevi vremena traja-

nja od oko 100 fs, a ovisno o duljini rezonatorafrekvencija repeticije moºe biti u rasponu od 80do 100 MHz.

Slika 1. Longitudinalni modovi svjetlosti u rezonant-noj ²upljini i svjetlosni pulsevi. Slika 1(a): Prikaz3 longitudinalna moda svjetlosti u rezonantnoj ²up-ljini. Zbog konstantnog pomaka u fazi izme�u susjed-nih modova postoje to£ke unutar ²upljine u kojimase maksimumi svih modova superponiraju te kreirajusnaºne pulseve svjetlosti.Slika 1(b): Prikaz ovisnosti intenziteta svjetlosti opoloºaju unutar rezonantne ²upljine. U to£kama su-perpozicije maksimuma modova nastaju pulsevi.

Na Slici 1 shematski je prikazan princip tehnikezaklju£avanja modova na primjeru tri longitudi-nalna moda koji osciliraju s konstantnim relativ-

2

nim pomakom u fazi unutar opti£ke ²upljine.Na Slici 1(a) mogu¢e je uo£iti poloºaje unutar²upljine u kojima se maksimumi modova zbra-jaju te upravo u tim to£kama nastaju pulsevisvjetlosti. Titranjem modova, pulsevi se gibajukroz rezonantnu ²upljinu te dolaskom na jednood zrcala izlaze iz lasera.Na Slici 2 prikazan je intenzitet pulseva u vre-menskoj i frekventnoj domeni, a ovisno o brojupulseva koji izlaze iz lasera. Na lijevom dijelu

Slika 2. Prikaz intenziteta pulseva u vremenskoj ifrekventnoj domeni [2]

Slike 2 prikazano je pet razlicitih slucajeva ka-rakteriziranih s razlicitim brojevima pulseva uvremenskoj domeni, dok desni dio Slike 2 pri-kazuje njihove odgovaraju¢e Fourierove transfor-mate. Uo£avamo da spektar samo jednog pulsaima oblik gausijana. Pove¢avanjem broja pulsevaspektar se sastoji od niza diskretnih ekvidistant-nih frekventnih linija koje £ine frekventni £e²alj.Detaljni prikaz niza ultra-kratkih pulseva u vre-menskoj domeni i odgovaraju¢eg frekventnog£e²lja u spektralnoj domeni prikazan je na Slici 3.Pulsevi su vremenski odvojeni za vrijeme ponav-ljanja pulseva T = 1

frep, te sadrºe pomak u fazi

(eng. phase shift) ∆ϕ de�niran kao vremenskaudaljenost izmedju envelope pulsa, prikazano cr-veno, i maksimuma elektricnog polja pulsa, pri-kazano plavo. Pomak u fazi je jednak za bilokoja dva uzastopna pulsa i nastaje zbog kromat-ske disperzije svjetlosti koja uzrokuje razliku iz-me�u grupne i fazne brzine u propagaciji elek-tromagnetskog vala.Frekventna domena £e²lja prikazana je na do-

Slika 3. Vremenska i frekventna karateristika frek-ventnog £e²lja. Gornja slika: Niz pulseva odvoje-nih za vrijeme repeticije T = 1

frep. Elektri£no polje

pulsa (val nositelj) prikazan je plavom bojom, dok jecrvenom bojom prikazana envelopa pulsa svjetlosti.Izme�u susjednih pulseva postoji pomak u fazi ∆ϕ.Donja slika: Frekventni £e²alj. Modovi £e²lja udaljenisu za frep, a najniºi mod £e²lja je od nule udaljen zafceo. Preuzeto iz [3]

njem dijelu Slike 3. Razmak izme�u susjednihmodova £e²lja odre�en je frekvencijom repeticijefrep, a vrijednost odmaka prvog moda opti£ke²upljine od nule naziva se frekvencijom pomakafceo.Frekvencija n-tog moda frekventnog £e²lja danaje sa:

fn = nfrep + fceo (1)

gdje fn predstavlja opti£ku frekvenciju n-togmoda, a n je broj longitudinalnog moda (uku-pan broj modova je n ∼ 106). Frekvencije repe-ticije i pomaka nalaze se u RF podru£ju. Velikbroj fazno uskla�enih modova lasera omogu¢avaprijelaz iz RF frekvencija (MHz) u opti£ke frek-vencije (400-700 THz).

II. STABILIZACIJA FREKVENCIJEREPETICIJE

Velika preciznost mjerenja frekvencija u op-tickom zahtjeva iznimnu stabilnost mjernog ure-�aja, u ovom slu£aju frekventnog £e²lja. Iz rela-cije (1) vidi se da fn ovisi o dva parametra: frepi fceo, te stoga je za potpunu stabilizaciju frek-ventnog £e²lja u principu potrebno stabiliziratite dvije frekvencije u RF podru£ju. Prvo se ra-zvio postav za stabilizaciju frep i on je prikazan

3

na Slici 4.

Slika 4. Eksperimentalni postav za stabilizaciju frek-vencije repeticije. Zelenim strelicama ozna£en je refe-rentni signal RF1 na koji se zaklju£ava frekvencija re-peticije, a crvenim strelicama ozna£en je signal frek-vencije repeticije. LPF i HPF predstavljaju nisko-propusne i visokopropusne �ltere.

Postav se sastoji od rubidijevog frekventnogstandarda, temperaturno stabiliziranog oscila-tora, izvora signala, detektora faze, PID kontro-lera i niza niskopropusnih (LPF) i visokopropus-nih (HPF) �ltera. Metoda stabilizacije temeljise na principu usporedbe dva RF signala u de-tektoru faze -RF1 koji predstavlja visoko stabi-lizirani signal i RF2 kojeg ºelimo stabilizirati.Temperaturno stabilizirani oscilator generira sig-nal od 475 MHz i fazno se uskla�uje sa frekvent-nim standardom koji radi na 10 Mhz. Time sig-nal s oscilatora (RF1) poprima frekventnu to£-nost Rb standarda, te se dalje moºe koristiti kaovisoko stabilizirana referenca. Kako je frep laserakojeg koristimo u eksperimentu oko 80.5 MHz,izlazna frekvencija oscilatora od 475 MHz morase spustiti do 80.5 MHz. To se radi pomo¢u ge-neratora frekvencije, DDS9m plo£e. Na kraju,visokostabilizirani signal prolazi kroz LPF od 98MHz kako bi se signal o£istio od neºeljenih vi²ihharmonika te ulazi u detektor faze.RF2 predstavlja frekvenciju repeticije femtose-kundnog lasera, a generira se mjerenjem vremenadolaska laserskih pulseva na brzu fotodiodu. Tajsignal prolazi kroz visokopropusni �lter od 41-800 Mhz te ulazi u detektor faze.

A. Detektor faze i PID kontroler

Pri stabilizaciji frekvencije repeticije koristi seposeban tip povratne veze poznat kao fazno za-klju£ana petlja (eng. phase locked loop, PLL).Detektor faze vr²i usporedbu RF1 i RF2 signala i

generira vremenski promjenjiv napon (tzv. errorsignal) na svom izlazu (ovisno o ulazu, tj. razliciRF1 i RF2):

Verr(t) = A · cos(φref − φlaser) (2)

gdje φref i φlaser predstavljaju faze RF1 i RF2.Error signal se iz detektora faze ²alje na PID kon-troler.PID kontroler koristi error signal sa ulaza te gamjenja koriste¢i proporcionalni, integriraju¢i ideriviraju¢i £lan [4], a u svrhu bolje regulacijeizlaznog napona s obzirom na ²umove i ostalevremenske promjene koje se javljaju u sistemu.Proporcionalni £lan mnoºi error signal s kons-tantom Kp, te daje proporcionalni odgovor dansa

P = VerrKp (3)

Pove¢anjem konstante Kp pove¢ava se brzina od-govora sistema, no preveliki iznos konstante uz-rokuje ubrzano osciliranje promatrane varijable(u na²em slu£aju frekvencije) te moºe do¢i do iz-bacivanja sustava iz ravnoteºe.Integriraju¢i £lan proprocionalan je iznosu i tra-janju error signala, tj. dobiva se integriranjemerror signala u vremenu

I = Ki

∫Verr(t)dt (4)

Deriviraju¢i £lan promatra derivaciju error sig-nala u vremenu

D = KdVerr

dt(5)

Deriviraju¢i £lan poku²ava predvidjeti pona²anjesistema analiziranjem trenutnog stanja sistema.Jedna od slabosti deriviraju¢eg £lana je njegovaosjetljivost na smetnje u sistemu (noise).Na Slici 5 dana je fotogra�ja dijela elektronikekoja je u eksperimentu koristena za stabilizacijufrep. Cilj je posti¢i RF1=RF2, pri £emu je er-ror signal jednak nuli. Ukoliko se RF2 pove¢aili smanji u odnosu na RF1, korekcija na laser jetakva da se RF2 vraca u blizinu RF1. U svrhukorekcije frep, izlazni napon iz PID regulatora ²a-lje se natrag na laser i to konkretno na piezzoelement. Piezzo element pomi£e jedno od zr-cala rezonantne ²upljine ²to mjenja duljinu same

4

Slika 5. Detektor faze i PID kontroler. Prikazani suulazni signali RF1 i RF2, error signal te PID kontrole

²upljine. Pomicanjem zrcala efektivno se mjenjafrekvencija repeticije lasera te se omogu¢uje nje-zino zaklju£avanje na ºeljenu referencu odre�enuRb standardom.

III. STABILIZACIJA FREKVENCIJEUDARA

Stabilizacija frekvencije udara pokazala se kaopuno kompleksniji problem od stabilizacije frek-vencije repeticije. Shodno tome razvijen je ci-jeli niz tehnika za njenu stabilizaciju. Pojedinemetode koriste vi²e frekventne harmonike samogfrekventnog £e²lja (tzv f-2f [5] i 2f-3f [6] teh-nike), dok druge metode koriste visokostabili-zirane kontinuirane (cw) lasere za stabilizacijufrekvencije udara. Na takav na£in se ne stabi-lizira fceo, nego opti£ka frekvencija n-tog moda,tj. fn. Upravo je tehnika stvaranja udara iz-me�u frekvencije vanjskog lasera i frekventnih li-nija £e²lja primjenjena u na²em laboratoriju.Na slici 6 prikazani su spektri frekventnog £e²-lja i cw lasera. Kontinuirani (cw) laser je diodnilaser tvrtke Moglabs s valnom duljinom od 780nm, stabiliziran metodom polarizacijske spetro-skopije [7]. Frekventni £e²alj je Er:dopirani laserkoji emitira na 1560 nm. Kori²enjem generatoradrugog harmonika (eng. Second Harmonic Ge-nerator, SHG) frekventno udvostru£avamo valnuduljinu Er:dopiranog lasera na 780 nm. Ovimpostupkom osiguravamo da su frekvencije cw la-

sera i frekventnog £e²lja bliske. Prikaz dobivenog

Slika 6. Frekventne linije £e²lja i frekvencija vanjskereference. Na grafu su ozna£ene frekvencija vanjskoglasera (plava linija) i njene dvije najbliºe linije frek-ventnog £e²lja (crvene linije). Preuzeto sa [8]

signala udara (eng. beat signal) dan je na Slici7.

Slika 7. Frekvencija udara frekventnog £e²lja i cwlasera. Preuzeto sa [9]

Postav za stvaranje udara dan je na Slici 8.Udari se stvaraju detektiranjem laserske zrakefrekventnog £e²lja i cw lasera na zajedni£koj fo-todiodi. Rezultantni signal naziva se beat signali ima frekvenciju jednaku razlici frekvencija £e²-lja i frekvencije vanjskog lasera

fbeat = fcw − fn (6)

5

Slika 8. Opti£ki dio postava za stabilizaciju frekven-cije udara

Signal udara se tada ²alje kroz elektroni£ki diopostava za stabilizaciju, prikazanog na Slici 9.

Slika 9. Elektroni£ki dio postava za stabilizaciju frek-vencije udara

Frekvencija udara se stabilizira referenciranjemna Rb frekventni standard, ²alje u mikser sig-nala te proslje�uje na PI kontroler. PI kontro-ler povratnom vezom kontrolira struju pumpnihdioda femtosekundnog lasera te na takav na£instabilizira frekvenciju udara.

IV. MJERENJA FREKVENCIJA IANALIZA REZULTATA

Za mjerenje frekvencija repeticije i udara ko-ri²teni su postavi na Slikama 4, 8 i 9. Mjerenjeje izvr²eno kori²tenjem broja£a frekvencija (eng.frequency counter) te programskog paketa La-bview. Brzina mjerenja je 1 mjerenje u sekundi.

Mjerenje frekvencije repeticije

Pri mjerenju frekvencije repeticije izvr²ena sudva niza mjerenja, jedan niz za nezaklju£ani frek-

ventni £e²alj, a drugi za frekventni £e²alj zaklju-£an kori²tenjem postava sa Slike 4. Rezultatimjerenja dani su na slici 10. Na Slici 10 prika-

Slika 10. Ovisnost frekvencije repeticije o vremenuza zaklju£ani i nezaklju£ani frekventni £e²alj. Na osiordinati nalaze se odstupanja izmjerenih vrijednostifrekvencije od srednje vrijednosti uzorka

zana su odstupanja izmjerenih vrijednosti frek-vencije od srednje vrijednosti uzorka u ovisnostio vremenu. Uo£avamo da se za nezaklju£anifrekventni £e²alj frekvencija repeticije promjeniza 55 Hz za vrijeme mjerenja od 1000 s, ²to je6 redova veli£ine manje od same frekvencije re-peticije (frep ' 80.5Mhz). Ova je nestabilnostfrekvencije uzrokovana je nepostojanjem aktiv-nog sustava stabilizacije tj. laser klizi(eng. drift)u vremenu zbog razlicitih parametara okoline kao²to su npr. promjena temperature, buke, tokazraka i oni onemogu¢avaju provo�enje eksperi-menta s hladnim atomima za koje ¢e se navedenilaser koristiti. S druge strane, izmjerene frek-vencije repeticije zaklju£anog lasera se na ovojskali ne razlikuju od srednje vrijednosti uzorka.Stoga, promotrimo frekvenciju repeticije zaklju-£anog lasera na manjoj skali koja je prikazanana Slici 11. Uo£avamo da se za zaklju£ani frek-ventni £e²alj frekvencija repeticije promjeni 10mHz u vremenu mjerenja od 1000 s ²to je 9 re-dova veli£ine manje od same frekvencije i jasanje pokazatelj uspje²no izvr²ene stabilizacije frek-vencije repeticije.

6

Slika 11. Ovisnost frekvencije repeticije o vremenuza zaklju£ani frekventni £e²alj na miliherznoj skali

Mjerenje frekvencije udara

Za mjerenje frekvencije udara kori²teni supostavi sa Slika 8 i 9. Mjerenja su ponovno izvr-²ena kori²tenjem broja£a frekvencija. Dobivenirezultati dani su na Slici 12.

Slika 12. Mjerenje ovisnosti frekvencije udara o vre-menu za zaklju£ani frekventni £e²alj

Sa Slike 12 moºe se uo£iti ista razina stabilnostifrekvencije udara reda veli£ine mHz, sli£no kaoi kod stabilizacije frekvencije repeticije. Ipak,vaºno je uo£iti ve¢u rasutost izmjerenih frekven-cija uzrokovanu razli£itim metodama stabiliza-cije. Ova razlika u rasp²enosti utjecati ¢e na re-zultate statisti£ke analize.

Vremenska stabilnost frekventnog £e²lja

Analiza stabilnosti frekvencije izvr²ena je ko-ri²tenjem ra£una Allanove devijacije-statisti£kemetode posebno dizajnirane za analizu stabil-nosti frekvencija u satovima, oscilatorima i po-ja£alima. Za razliku od standardne devijacijede�nirane kao korijena kvadrata razlike izme�uizmjerenih vrijednosti i njihove srednje vrijed-nosti, Allanova devijacija dana je kao korijenkvadrata razlike izme�u dviju uzastopno izmje-renih usrednjenih vrijednosti. Prije analize po-dataka,potrebno je de�nirati veli£ine kori²tene uAllanovoj devijaciji. Neka je x(t) ovisnost frek-vencije na broja£u frekvencija o vremenu. U na-²em slu£aju x(t) predstavlja signal koji dolazi nabroja£ frekvencija. Na samom ure�aju mogu¢eje postaviti vrijeme mjerenja svake frekvencije(sample rate) τ , te je on postavljen na τ = 1 s.Tada je mogu¢e de�nirati usrednjenu razloma£kufrekvenciju (eng. average fractional frequency)

y =xi+1 − xi

τ(7)

gdje je τ dano kao vrijeme mjerenja svake frek-vencije (eng. sample time).U na²em mjerenjuvarijabla y moºe se promatrati kao usrednjenaizmjerena frekvencija u intervalu mjerenja od 1sekunde. Allanova devijacija je tada de�niranakao

σy(τ) =1

2(M− 1)

M=i−1∑i=1

(yi+1 − yi)1/2 (8)

Gra�£ki prikaz varijabli x(t) i yi dan je na Slici13. Za ra£unanje Allanove devijacije σy(τ) ko-riste se vrijednosti yi sa Slike 13 i uvrste u rela-ciju(8).Kako bi izra£unali σy(2τ), potrebno je usrednjitiizmjerene frekvencije x(t) u intervalu dvostrukogsample rate (τ = 2 s). Te nove frekvencije moguse nazvati yi usrednjene preko 2τ te ih ponovouvr²tava u relaciju (8) i dobiva Allanova devi-jacija σy(2τ). Pove¢avanjem vrijednosti τ po-trebno je usrednjavati sve ve¢i i ve¢i broj susjed-nih frekvencija yi pri ra£unu Allanove devijacije.Opisani postupak izvr²en je na frekvencijama re-peticije i udara izmjerenim u laboratoriju. Re-zultati su dani na slici 14.

7

Slika 13. Gra�£ki prikaz ra£una Allanove devijacije

Slika 14. Allanova devijacija za frekvencije repeticijei udara

Na grafu na Slici 14 prikazane su Allanove de-vijacije za nezaklju£ani laser, te za stabilizirane

frekvencije repeticije i udara. Mogu¢e je uo£itirast nestabilnosti za nestabilizirani frekventni £e-²alj ²to je o£ekivano pona²anje budu¢i da frek-vencija kontinuirano klizi u vremenu (Slika 9).S druge strane, Allanove devijacije za stabilizi-rani frekventni £e²alj se smanjuju sa pove¢anjemτ ²to je jasan znak kvalitetno izvr²ene stabiliza-cije. Vaºno uo£iti ve¢u devijaciju za frekvencijuudara u odnosu na frekvenciju repeticije. Ovajrezultat uzrokovan je ve¢om rasp²eno²¢u frekven-cija udara.

V. ZAKLJU�AK

U ovom seminarskom radu poja²njene su me-tode dobivanja i stabilizacije frekventnog £e²-lja. Uspio sam stabilizirati frekvencije repeti-cije i udara te sam izmjerio njihovu promjenu uvremenu za zaklju£ani i nezaklju£ani frekventni£e²alj. Izmjereni rezultati daju stabilnost frek-vencija reda mHza ²to je 9-10 redova manje odsamih frekvencija, £ime smo efektivno stabilizi-rali frekventni £e²alj. Kona£no, napravio samanalizu dobivenih podataka kori²tenjem metodeAllanove devijacije. Rezultati daju devijaciju iz-me�u 10−3 i 10−4 £ime smo potvdili dobru sta-bilnost frekventnog £e²lja.

VI. ZAHVALE

Htio bih zahvaliti mentoru Damiru Aumilerui Ticijani Ban na ukazanom strpljenju i prene-senom znanju pri izradi ovog seminara. Usto,posebne zahvale doktorandu Nevenu �anti¢u nastrpljivim i vi²estrukim poja²njavanjima tehni£-kih detalja.

[1] Andrew D. Ludlow, Nathan M. Hinkley, Je�reyA. Sherman, Nate B. Phillips, Marco Schioppo,Nathan D. Lemke, Kyle P. Beloy, M Pizzocaro,Christopher W. Oates,"An atomic clock with 10-18 instability"

[2] Damir Aumiler, �Rezonantna interakcija atomai molekula s femtosekundnim laserskim frekvent-nim £e²ljem�

[3] https://www.vahala.caltech.edu/Research/

FreqDiv

[4] http://www.ni.com/white-paper/3782/en/

[5] R. Holzwarth, Th. Udem, T. W. Hänsch, J. C.Knight, W. J. Wadsworth, and P. St. J. Ru-ssell,"Optical Frequency Synthesizer for Preci-sion Spectroscopy",Phys. Rev. Lett. 85, 2264

[6] C.R. Locke, E.N. Ivanov, P. S. Light, F. Bena-bid, and A.N. Luiten,"Frequency stabilisation ofa �bre-laser comb using a novel microstructured�bre"

8

[7] Pearman, C. P. et al. Polarization spectroscopyof a closed atomic transition: Application to laserfrequency locking. J. Phys. B 35, 5141-5151

[8] https://www.rp-photonics.com/frequency_

combs.html

[9] http://cold.ifs.hr/research/research-2/