Stabilita ekonometrického modelu

Testovanie normality

Dôležitým predpokladom, ktorému sme v predchádzajúcich prednáškach nevenovali pozornosť, aj keď sme automaticky predpokladali jeho dodržanie, je predpoklad stability modelu – ktorý sa prejavuje v nemennosti použitých (vypočítaných) parametrov modelu.

Tento predpoklad je v aplikovanej praktickej ekonometrii neudržateľný, a je potrebné odlíšiť údajové segmenty vyžadujúce rozdielnu modelovanú štruktúru v čase. V takomto prípade dochádza k situácii, kedy sa vypočítané hodnoty parametrov v čase menia, čo sa prejavuje v kolísaní ich hodnôt, ako aj v kolísaní náhodných porúch odhadnutých pomocou rezíduí.

y Xβ u

Porušenie stability modelu sa prejaví relatívne veľkými a časovo korelovanými hodnotami rezíduí čo je možné zistiť najčastejšie dvomi spôsobmi:

• Grafickými metódami resp. testami typu CUSUM (cumulative sums – kumulatívne súčty)

• Chowowe testy

te

CUSUM TESTY.

y Xβ u

Predpokladajme lineárny klasický model

Parametre pri platnosti nulovej hypotézy o ich nemennosti v čase vedú k tzv. štatistikám CUSUM (cumulative sums) v jednotlivých časoch t s normálnym rozdelením:

β

1

0,t

it

i k

eCUSUM N t ks

t = k +1, ... , T

kde s je odhad reziduálnej štandardnej odchýlky σ. Zodpovedajúci CUSUM - test potom zisťuje zmenu príslušného modelu spočívajúcu v zmene parametrov v tom okamžiku t, v ktorom prvý raz:

β

2tCUSUM t k

V softvérových riešeniach má najčastejšie CUSUM test grafickú podobu:

Presné rozdelenie CUSUM – štatistiky pri platnosti nulovej hypotézy o nemennosti parametrov je dané vzťahom:

1t

t

et k t t ks

kde

1

1 t

t ii k

e et k

22

1

11

t

t i ti k

s e et k

Príklad

i Yi Xi1 Xi2 Xi3 1 11,9 19,5 43,1 29,1 2 22,8 24,7 49,8 28,2 3 18,7 30,7 51,9 37 4 20,1 29,8 54,3 31,1 5 12,9 19,1 42,2 30,9 6 21,7 25,6 53,9 23,7 7 27,1 31,4 58,5 27,6 8 25,4 27,9 52,1 30,6 9 21,3 22,1 49,9 23,2

10 19,3 25,5 53,5 24,8 11 25,4 31,1 56,6 30 12 27,2 30,4 56,7 28,3 13 11,7 18,7 46,5 23 14 17,8 19,7 44,2 28,6 15 12,8 14,6 42,7 21,3 16 23,9 29,5 54,4 30,1 17 22,6 27,7 55,3 25,7 18 25,4 30,2 58,6 24,6 19 14,8 22,7 48,2 27,1 20 21,1 25,2 51 27,5

Uvažujme hypotetické údaje, na základe ktorých sme kvantifikovali lineárny ekonometrický model

Podobným testom je možné testovať nemennosť parametra σ2 (tj. homoskedasticitu), kedy používame štatistiku CUSUMQt:

2

21

2

1

,

t

ii k

t T

ii k

e t kCUSUMQ

T ke

t = k +1, ... , T

Štatistika CUSUMQ potom detekuje na hladine významnosti zmenu príslušného modelu spočívajúcu v zmene parametra σ2 v tom okamžiku t v ktorom po prvý raz prekročí:

,tt kCUSUMQ cT k

Kde c je príslušná kritická hodnota V softvérových riešeniach má CUSUMQ test najčastejšie grafickú podobu, pričom špeciálne CUSUMQk = 0, CUSUMQT= 1

Príklad.

CHOWOVE TESTY

Chowove testy sa používajú na posúdenie stability parametrov ekonometrického modelu v celom obore hodnôt definovaných časovou premennou :

1,2,...,t TČasto však dochádza k zmenám parametrov v dvoch alebo viacerých segmentoch údajov, ktoré je potom potrebné vyšetriť. Konkrétne sa odporúča:• Grafické znázornenie časového priebehu vysvetľovanej a vysvetľujúcich premenných,

ktoré môže viesť k optickému vyznačeniu časového bodu zmeny v chovaní údajov,• Segmentácia údajov na základe známych historických udalostí, kedy dochádza k

štrukturálnym zmenám (napr. začiatok účinnosti nového zákona, významný pokles na burze, nástup novej vlády...),

• Aplikácia testov typu CUSUM, alebo priamo grafický priebeh rekurentných rezíduí.

V literatúre sa môžeme stretnúť s dvomi testami:1. Chowov test stability2. Chowov predpovedný test

Gregory C. Chow

CHOWOV TEST STABILITY

Prvý z týchto testov sa označuje ako test stability a odporúča sa v prípade, kedy počet pozorovaní v prvom segmente, označíme ho T1, popisujúci situáciu pred zmenou a počet pozorovaní T2 v druhom segmente po zmene situácie, by boli postačujúce pre konštrukciu samostatných modelov :1 2T T T

Nech model v prvom segmente má tvar:

1 2 2 3 3 ...t t t k kt ty x x x u 11,...,t T (1.)

model v druhom segmente má tvar:

1 1 2 2 2 3 3 3 2...t k k t k t k k kt ty x x x u

Uvažovaný test stability potom testuje nulovú hypotézu:

0 1 2 2: ... 0k k kH

t.j.: že modely v oboch segmentoch sú z hľadiska parametrov zhodné (stabilné).

(2.)

(3.)

Pri použití klasického F – testu potom máme obmedzený model

1 2 2 3 3 ...t t t k kt ty x x x u 1,...,t T (4.)

a neobmedzené modely (1.) (2.),ktoré sa oplatí pre väčšiu názornosť preformulovať s použitím umelej premennej do tvaru:

1 2 2 1 2 2 2... ...t t k kt k t k t t k t kt ty x x D D x D x u

1,...,t T

(5.)

kde 1

1 1 2

0, 1,...,1, 1,...,t

t TD

t T T T T

Uvedený F – test má tvar:

1

1

1

1

2 2 2

1 1 1 1 2

2 2 1 2

1 1

ˆ ˆ ˆ //

( ) / ( 2 )ˆ ˆ / 2

TT T

t t t t t tt t t T

T T

t t t tt t T

y y y y y y kRSS RSS RSS k

FRSS RSS T k

y y y y T k

(6.)

(7.)

s kritickým oborom:

1 2

1 2

2 , 2RSS RSS RSST k F k T k

k RSS RSS

Kde 2k je počet regresorov v neobmedzenom modeli, a k je počet obmedzení nulovej hypotézy(3.), RSS je reziduálny súčet štvorcov v obmedzenom modeli (5.), ktorý je možné získať ako súčet štvorcov v modeloch (1.) a (2.).Chovov test stability teda v podstate vyžaduje odhad troch klasických lineárnych regresných modelov, aj keď v praktických aplikáciách sa často odhaduje len model (5.) s umelou premennou.

(8.)

Chowov predpovedný (predikčný) test.

Druhý z Chowových testov sa označuje ako Chowov predikčný test a odporúča sa v situáciách kedy počet v prvom segment pred zmenou je výrazne vyšší ako počet pozorovaní v druhom segmente po zmene parametrov. V teste sa overuje predikčná schopnosť modelu z prvého segmentu pre druhý „predikčný“ segment.Nech model v prvom segmente je opäť:

1T2T

1 2 2 3 3 ...t t t k kt ty x x x u 11,...,t T (9.)

model v druhom predikčnom segmente má teraz tvar:

1 2 2 3 3 ...t t t k kt j ty x x x u 1 2, 1,...,t T j j T (10.)

kde sú chyby predpovedí. Test stability potom testuje nulovú hypotézu:

20 1 2: ,..., 0TH j

t.j.: že pri predpovediach z prvého segmentu pre druhý segment majú chyby predpovedí nulové stredné hodnoty a model z predikčného hľadiska vykazuje stabilitu.

(11.)

Pri použití klasického F – testu znovu vychádzame z obmedzeného modelu

1 2 2 3 3 ...t t t k kt ty x x x u 1,...,t T (12.)

a neobmedzený model pre oba segmenty opäť preformulujeme pomocou umelej premennej do tvaru:

2 21 2 2 1 1 2 2... ...t t k kt t t T tT ty x x D D D u (13.)

1,...,t T

kde t

1, t=T + j, j=1,...,T1 2D0, inak

Chowov predikčný test má potom tvar:

2

1

( ) // ( )

RSS URSS TFURSS T k

(14.)

a na hladine významnosti α má kritický obor:

12 1

2

,T k RSS URSS F T T kT URSS

kde k + T2 je počet regresorov v neobmedzenom modeli (13.), T2 je počet obmedzení nulovej hypotézy (11.) a URSS je reziduálny súčet štvorcov v neobmedzenom modeli (13.), ktorý je možné získať opäť ako súčet reziduálnych súčtov štvorcov v modeloch (9.) a (10.).

Chowov predikčný test teda opäť vyžaduje odhad troch klasických modelov lineárnej regresie (9.), (10.) a (12.)

Ak je počet pozorovaní T1 v prvom segmente pred zmenou výrazne nižší, ako počet pozorovaní T2 v druhom segmente po zmene parametrov, je možné predikčný test stability založiť na spätnej predpovedi z druhého segmentu pre prvý segment.

Chowove testy bývajú citlivé aj na iné typy nestability nielen na nestabilitu spôsobenú zmenami parametrov.

Testovanie normality

Testovacie postupy využívané v aplikovanej ekonometrii sú založené obvykle na predpoklade normality modelu, odporúča sa overiť pre OLS odhady (rezíduá), či je predpoklad normality prijateľný alebo nie. V literatúre sa často stretávame pri väčšom rozsahu údajov, že tento predpoklad sa považuje za automaticky splnený.Aj keď je možné postupovať rôzne, pre kvalitnú konštrukciu modelov je predsa len obvyklé využiť rôzne štatistické postupy overenia normality. Tieto postupy je možné rozdeliť na:• grafické (napr. Q – Q graf, P – P graf a iné.)• štatistické testy (test zhody, test Jarque - Bery, Shapiro-Wilkov W test, Doornik-Hansenov

test, Lillieforsov test a iné.

N(0,1)

N(0, σ2)

Zo štatistických testov sa často v aplikovanej ekonometrii používa test Jarque – Bery, ktorý pre OLS odhady pracuje s W štatistikov:

2 21 2ˆ ˆ6 24

W T

ktorá je založená na vlastnostiach koeficientov šikmosti (skewness) a špicatosti (kurtosis) normálneho rozdelenia. Pri výpočte štatistiky W sa využívajú výberové charakteristiky šikmosti a špicatosti :

21 2

221̂ 2

2̂3

21

1

1ˆT

t

t

x xT s

4

22

1

1ˆ 3T

t

t

x xT s

Nulová hypotéza predpokladá normalitu regresného modelu, má štatistika W asyptoticky rozdelenie (chí – kvadrát rozdelenie s 2 stupňami voľnosti), takže kritický obor na hladine významnosti α má tvar:

2 2

21 2 ,W