9/30/20091SPREZANJE BETON - BETONSpregnute
konstrukcije9/30/20092POGLAVLJE I - KRATAK PRIKAZ DOSADANJIH RADOVA
NA PROBLEMU PUZANJA BETONA1.1 Dischingerov izraznSE ddE1dd+ =pri
emu oznake imaju slijedee znaenje: - ukupna veliina deformacije -
koeficijent teenjas- koeficijent skupljanjan- granina vrijednost
koeficijenata teenja u trenutku t = tnNedostatak ove teorije je to
ne opisuje realno deformacije u periodu rastereenja; naime ovim
izrazom se ne registriraju reverzibilne (zaostale elastine)
deformacije. MHM EMNM9/30/200931.2 Poboljani Dischingerov izrazU
smislu poboljanja Dischinger-ovog izraza (teorija starenja betona)
predloeno je koritenje Maxwell-Kelvin-ovog modela, gdje
Kelvin-ovelement daje deformacije zaostalog puzanja i povratnog
puzanja.Eb0MPoboljana teorija starenja bolje opisuje ponaanje
betona. Meutim u praksi se, eksperimentalno pokazalo da poboljana
teorija starenja nije u stanju opisati relaksaciju napona pod
konstantnim deformacijama.1.3 Nasljedna teorija starenja Maslov -
ArutjunjanPo ovoj teoriji funkcija specifinog teenja uzima se u
obliku:( ) ( ) ( )| | = te 1 , t Cgdje je funkcija koja uzima u
obzir starenje betona( ) 9/30/20094EHEK KIako nasljedna teorija
starenja znatno uspjenije opisuje vremenske deformacije betona od
prethodnih teorija, ona nije nala iru primjenu u teoriji
konstrukcija. Razlog je to se zadatak odreivanja stanja napona i
deformacija i za statiki odreene sisteme svodi na rjeavanje
integralnih, odnosno diferencijalnih jednaina sa promjenljivim
koeficijentima.1.4 Rjeenje Dischinger-ove diferencijalne jednaine
premaautorima Rusch i JungwirthRusch i Jungwirth su dali rjeenje
Dischinger-ove diferencijalne jednaineza lokalno sprezanje dva
elementa: elastinog i elementa sklonog puzanju (betonski luk sa
elinom zategom ili prednaprezanje bez kontakta) i kontinuirano
sprezanje (armirani beton, prednaprezanje sa kontaktom, spregnuti
nosa).9/30/20095Z = 1Sybz( ) + + = 1 E C C a t , s s 0 , ad d t ,
ak t , aIzraz (1-3) daje relativno jednostavno rjeenje za
naprezanje u elementima armiranog betona usljed uticaja vremenskih
deformacija. Meutim, ovim postupkom nisu obuhvaene promjene
dugotrajnog optereenja, razliite starosti betona ili eventualne
promjene na sistemu usljed puzanja i skupljanja. U tom sluaju
rjeenje je jedino mogue primjenom difereninih postupaka.1.5
Prijedlog Trost-a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | t , s 0 t t 0b t 1 1E1t +
+ + + = Ovaj postupak ima prednost jer se preko koeficijenta u
proraun mogu unijeti teoretske postavke, te dobiti tanije
vrijednosti koje odgovaraju stvarnosti.9/30/200961.6 Prijedlozi
raznih autora- Prijedlog prof.uriaProf. uri je uveo algebarsku vezu
umjesto integralne veze izmeu napona i deformacija.s0dE1E + += + =
2d 00s 0E 2 21E1 + + |.|
\| + = - Izraz po Ulickom( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( )( ) ( ) + +
+ = , tt E 2t, t 1E 2 tt s0Nedostatak ovog prijedloga je isti kao i
kod teorije starenja -ne opisuje reverzibilne (viskoelastine)
deformacije.9/30/20097- Prijedlog prof.IvkoviaEb0101iE10E1i1i( ) (
) ( ) ( ) (((
+= = dk e1kEktkt kt1kk0 ik kti 1t 1Ei 1 0 bDijagram koeficijenta
teenja uraen prema ovom prijedlogu je u saglasnosti sa dijagramom
predloenim CEB preporukama.- Trost Baant-ov modul( )( ) ( )0 00TB,
t , t 1 EE + =Ovaj postupak se pokazao dosta taan za istorije
deformacija afine funkciji puzanja , dok u sluaju ostalih tipova
deformacija moe posluiti samo za preliminarnu
ocjenu.9/30/20098POGLAVLJE II LINEARNE ALGEBARSKE VEZE
TEORIJEPUZANJA OVRSLOG BETONASvojstva ovrslog betona su u optem
sluaju funkcija izvanredno velikog broja razliitih uticajnih
faktora:-karakteristika primjenjenih komponenata agregata, cementa,
vode i aditiva, -kvantitativnih odnosa ovih materijala u masi
svjeeg betona,-tehnolokih faktora,-postupaka izrade konkretnog
betonskog elementa,-uslova eksploatacije,-dimenzija konstruktivnog
elementaNajvei broj svojstava betona zavisi od ostvarene strukture
betona.Reoloka svojstva betona naelno bi uvijek trebalo posmatrati
u funkciji svojstava strukture, vremena, termohigrometrijskih i
drugih parametara vezanih kako za sam materijal, tako i za okolinu
i sredinu.Beton je po reolokim svojstvima viskozan elastian
materijal.9/30/20099Jednaine ravnotee i jednaine kompatibilnosti su
osnovni principi mehanike i vrijede za sve materijale.
Karakteristina svojstva pojedinih materijala su odreena jednainama
konstitucije, koje predstavljaju odnos izmeu napona i
deformacije.De( ) = t ( ))` = = tt0Vrijednost deformacije u vremenu
t zavisi od svih vrijednosti naprezanjaza , koje varira izmeu0i t.
( ) Ako je materijal linearno elastian, prethodni izraz se moe
pojednostaviti( ) ( ) t D t = Meutim, viskoelastian materijal
karakterizira deformacioni proces koji ovisi o cijeloj istoriji
naprezanja i njegova konstitutivna relacija mora imati oblik
funkcionala.9/30/200910(t)1 0t0 1t(t)00Deformacija viskoelastinog
tijela pod konstantnim naprezanjemPonaanje materijala se definie
kao linearno ako za istoriju naprezanja:( ) ( ) ( ) ( ) t , ; t 0 2
1 + = odgovara istorija deformacije:( ) ( ) ( ) ( ) t , ; t 0 2 1 +
= Ovo se ujedno naziva princip superpozicije i koristi se u svim
pretpostavkama do sada datih linearnih teorija puzanja
betona.9/30/200911Granica naprezanja do koje beton ima linearno
ponaanje je:C C f 4 , 0 Za linearno podruje moe se pisati:( ) ( ) =
, t D t 0gdje je specifina funkcija puzanja, definirana kao odgovor
u trenutku t na jedinstven korak naprezanja primijenjen u trenutku
t.( ) , t DStarenje betonaPoreenje funkcija D(t,) materijala koji
stari i materijala koji ne stari9/30/200912Reoloki modeliRiesz
teorema (istorija deformacija viskoelastinog tijela u linearnom
podruju) :( ) ( )( ) ( ) ( ) += t0d , t dt E ttDa bi se objasnilo
ponaanje betona, kao viskoelastinog materijala, pod djelovanjem
optereenja, koriste se saznanja reologije, kao dijela fizike, koji
se bavi izuavanjem deformacija tijela usljed definiranih sila.1
E1E2En2nE11E22Enna) b)Standardni model za vrsto tijelo Reoloki
modeli9/30/200913Primjena Kelvin ovog modela za opis preraspodjele
naprezanja izmeu starog i novog betona - autorski radNOVI
BETONSTARIBETON) t ( ) t () t (E + =&diferencijalna jednaina
prvog reda tipa: + p(t) y = r(t) y&Uz poetni uslov da je y(t0)
= y0, rjeenje jednaine je: y(t) = + ttttttpdt ttpd pde y d r e e
000 00) ( Iz uslova kompatibilnosti dobije se jednaina: += tt) t
(Eb00 bbnbb0bndt e ) (1) t ( E) t (E) ( 1Nakon provedenih
matematikih transformacija dobije se rjeenje za odreivanje
naprezanja u novom betonu usljed vremenski ovisnih deformacija :( )
( ) ( ) t0tbnEeb0 b b e t = 9/30/200914POGLAVLJE III DEFINICIJA
PROBLEMA PRERASPODJELE NAPREZANJA U BETONSKIM PRESJECIMAPrimjeri
kompozitnih presjekaO Omont.prednapregnutinosac (MPN)mont.
oplatabeton "in situ"beton "in situ"beton "in situ"beton "in
situ"beton "in situ"mont.prednapregnutinosac
(MPN)mont.prednapregnutinosac (MPN)mont.prednapregnutinosac
(MPN)mont.prednapregnutinosac (MPN)9/30/200915Mehanizam
peraspodjele naprezanja i presjenih sila unutar armiranobetonskih i
prednapregnutih konstruktivnih
elemenataPP-PPbetonPfedermax.PbetonRadni dijagram betona i
oprugettpa,bt t0t0BETONCELIKtDijagram deformacije betona i elika
pod konstantnim naprezanjem9/30/200916Ako se zanemari relaksacija
elika (armatura), moe se smatrati da je elik idealno elastian
materijal. Pod konstantnim dugotrajnim optereenjem deformacija je
konstantna.d = d/E ; = const. d = 0 d = 0U vremenskom intervalu dt
dolazi do razlike u veliini deformacije u betonu i eliku. Razlika
je posljedica vremenski ovisnih deformacija betona (puzanje i
skupljanje).Iz uslova kompatibilnosti jasno je da e se naprezanje
d, koje nastaje kao posljedica vremenski ovisnih deformacija
betona, pojaviti u armaturi. Poto moraju uvijek biti zadovoljeni
uslovi ravnotee, a ne dolazi do promjene vanjskog optereenja, ovaj
prirast naprezanja d u armaturi, ujedno je pad naprezanja u betonu
PRERASPODJELA NAPREZANJA.dp= 0 da+ db= 0Na analogan nain se moe
objasniti preraspodjela naprezanja izmeu dva viskozno-elastina
materijala razliitih karakteristika.9/30/2009172121tt0 t1 tDijagram
deformacije betona pod konstantnim naprezanjemZbog razliitog
prirasta deformacija d dolazi do preraspodjele naprezanja d izmeu
betona 1 i betona 2.12ARMATURAdio beton-betondio
armatura-betona,btt1 t t t0*9/30/200918Metode rjeavanja
preraspodjele naprezanja u kompozitnim presjecima (teorija k
elemenata)Ukupni moment i normalna sila u proizvoljnom poprenom
presjeku: = =F0F0dF y M dF NDijagram naprezanja pojedinih dijelova
kompozitnog presjekaE11E2E30u2101u20302u1u9/30/200919Ako se
promatra jedan dio poprenog presjeka k, onda su presjene sile: =
=kkF0 kF0 kdF y MdF NFKk0kuPrilikom prorauna presjenih sila
pojedinih dijelova, mora se zadovoljitisljedee:1. Suma svih
presjenih sila pojedinih dijelova poprenog presjeka jednaka je
presjenoj sili ukupnog poprenog presjeka,2. Deformacije pojedinih
dijlova usljed vanjskih presjenih sila su kompatibilne i odgovaraju
deformaciji ukupnog presjekaMoraju biti zadovoljeni uslovi ravnotee
i uslovi kompatibilnosti.9/30/200920Preraspodjela presjenih
silaOsnovni razlozi koji dovode do preraspodjele presjenih sila su
vremenski ovisne deformacije betona (skupljanje i
puzanje).Matematika funkcija puzanja, koja dosta dobro aproksimira
rezultate eksperimenata, moe se uzeti:( ) ( )ctelpe b a t = =Iz
rubnih uslova: za t = 0; (t) = 0za t = ; (t) = (t) = (1-ect)Veliina
c u eksponentu funkcije se dobijaeksperimentalno (test puzanja).
9/30/200921Vremenski ovisne deformacije dovode u vremenu dt do
promjene konstantnih vrijednosti presjenih sila Nbo+ Nbt, Mbo+ Mbt,
Nao+ Nat.U pojedinim dijelovima poprenog presjeka javljaju se
sljedee deformacije dt:BETON (materijal koji pue)CENTRINO OPTEREEN
POPRENI PRESJEK ++= d dF EN NA EdNdSb bbt 0 bb btt , bbEKSCENTRINO
OPTEREEN POPRENI PRESJEK +++ ++ dI EM MI EdMd dF EN NF EdNb bbt 0
bb bt , bSb bbt 0 bb btt , bARMATURA, ELIK ZA PREDNAPREZANJE, ELINI
NOSA (materijal koji ne pue)deformacija armaturedeformacija elinih
nosaaa at , ael , aF EdNd= N Nt , NN Nt , NNI EdMF EdNd+=
9/30/200922Proraun preraspodjele poprenih sila se radi u sljedeim
koracima:1. Odreivanje presjenih sila pojedinih dijelova poprenog
presjeka u trenutku t,2. Ispisivanje promjene deformacije pojedinih
dijelova poprenog presjeka za interval vremena dt3. Postavka uslova
ravnotee za presjene sile pojedinih dijelova u trenutku t i t+dt,4.
Postavka uslova kompatibilnosti deformacija u intervalu vremena
dt,5. Zamjena presjenih sila Nbt, Mbt, Nat, i uvoenje njihovih
diferencijala dNbt, dMbt, dNat iz uslova ravnotee u uslove
kompatibilnosti,6. Uz pomo funkcija puzanja dobijanje sistema
diferencijalnih jednaina za proraun presjenih sila ovisnih o
vremenu.Rjeenje problema preraspodjele presjenih sila, u
matematikom smislu, svodi se na rjeenje sistema linearnih
diferencijalnih jednaina.U nastavku su postavljeni sistemi
lineranih diferencijalnih jednaina za primjere iz prakse: -
sanirani armiranobetonski stub, - spregnuta prednapregnuta greda, -
ojaana armiranobetonska greda, - polumontana stropna konstrukcija,
- spregnuti popreni presjek beton+elik.9/30/200923Rjeenje sistema
linearnih diferencijalnih jednaina za sanirani armiranobetonski
stub autorski radbsbnasanNas = X - sila u staroj armaturiNan= Y -
sila u novoj armaturiNbs= Z - sila u starom betonuNbn= W - sila u
novom betonuUslov ravnotee: 0 dW dZ dY dX = + + +Uslovi
kompatibilnosti:an an as as F E dYF E dX=ssssbs bs0bs bs as as d dF
E Z ZF E dZF E dX ++= nsnnbn bn0bn bn as as d dF E W WF E dWF E dX
++= 9/30/200924Dobije se sistem diferencijalnih nehomogenih
jednaina, koje imaju homogeno i partikularno rjeenje. Detalji
rjeenja sistema dati su u magistarskom radu.Rjeenje sistema
jednaina su funkcije promjene presjenih sila u starom i novom
betonu, te staroj i novoj armaturi.3pqp H Dqre X X X + + = + = ( )
2 3spqD Dqre 1 q Y +||.|
\|+ + = )) m e ( Y X D (21W 1 + = )) m e ( Y X D (21Z 1 + + =
Konstante D1, D2 i D3 su integracione konstante. Odabir matematikog
oblika integracionih konstanti uslovljava ponaanje funkcija X, Y, Z
i W. 9/30/200925Osim tanog rjeenja sistema linearnih
diferencijalnih jednaina, postoje priblini postupci od kojih se
izdvajaju: rjeenje pomou pribline funkcije toka vremenski ovisnih
presjenih sila i diferenina metoda.Rjeenje pomou pribline funkcije
toka vremenski ovisnih presjenih silaPretpostavljena funkcija
promjene presjene sile u betonu9/30/200926Diferenina metodaDijagram
promjene presjene sile u betonu u ovisnosti od koeficijenta
puzanjaPoboljanje diferenine metode moe se dobiti korekcijom
.9/30/200927Iz prethodno izloene definicije problema moe se
konstatovati slijedee:1. Tano rjeenje problema preraspodjele
naprezanja u kompozitnim presjecima, koji se nalaze u naponskom
stanju I, je rjeenje sistema linearnih diferencijalnih jednaina,
koje se dobijaju iz uslova ravnotee i uslova kompatibilnosti,2.
Promjena presjenih sila u pojedinim dijelovima kompozitnog presjeka
ovisi od promjene vremenski ovisnih deformacija (puzanje i
skupljanje), prema tome funkcija promjene presjenih sila ovisi od
funkcije promjene vremenskih deformacija,3. Odabir funkcije puzanja
i skupljanja vri se na osnovu eksperimentalnih rezultata,4. Kod
kompozitnih presjeka koji se nalaze u naponskom stanju II sistem
linearnih diferencijalnih jednaina nije dovoljan za rjeenje, s
obzirom da poloaj neutralne osi zavisi od optereenja. Dakle
potrebno je rjeavati iterativnim postupkom, za pojedine korake
poloaja neutralne osi.9/30/200928POGLAVLJE IV PRIMJERI ZA
ILUSTRACIJUPreraspodjela naprezanja u saniranom armiranobetonskom
stubu6040 10 1060401010Razmatrimo primjer stuba centrino
pritisnutog silom P = 2,0 MN, koji se sastoji od betona C16/20
armiranog sa 425. Nakon 30 godina, stub je ojaan dodatnim slojem
betona C30/37, debljine d = 10 cm armiranog sa 2020 i optereenog
dodatnim optereenjem P = 2,0 MN.Odredit emo presjene sile u betonu
postojeeg dijela stuba, dimenzija 40/40 cm, i armaturi za
stubstarosti 28 dana (t1 = 0) i starosti t2= 30 g, prije saniranja,
a potom presjene sile u starom i novom betonu i staroj i novoj
armaturi, od trenutka nanoenja dodatnog optereenja t3 = 30 g + 28
dana do trenutka t4= .Karakteristike presjeka su:- postojei beton
C16/20 Ebs= 27 500 MN/m2b/h = 40/40 cm- stara armatura Fa= 19,6
cm2(425) Eas= 210 000 MN/m2- novi beton C30/37 Ebn = 32 000 MN/m2d
= 10 cm- nova armatura Fa= 62,8 cm2(2020) Ean= 210 000
MN/m29/30/200929a) t1= 0Nat1= 0,173 MNNbt1= 1,827 MNb) t2= 0uslov
ravnotee: dNa+ dNb= 0 dNa= - dNbuslov kompatibilnosti: = + d - da
aatF EdNb bbtF EdNb bbtF ENs9/30/200930Nbt= Nb0- sila u betonu u
vremenu t||.|
\|+ b bsb F E N0||||.|
\| + ta ab bF E F Ee 111t(30 g) = 3,33 st= -21 10-5Proraunati
koeficijent puzanja i mjera skupljanja za beton starosti 30g:Nat2=
0,591 MNNbt2= 1,409 MNc) t3= 30g + 28dana (ojaanje stuba i nanoenje
dodatnog optereenja N = 2,0MN )Iz uslova ravnotee i kompatibilnosti
mogu se direktno dobiti presjene sile u pojedinim dijelovima
poprenog presjeka:N = 0 Nas+ Nan+ Nbs+ Nbn= Nbs bsbsas asasF ENF
EN=bn bnbnas asasF ENF EN=an ananas asasF ENF EN=Nast3= 0,066
MNNbst3= 0,702 MNNant3 = 0,211 MNNbnt3 = 1,022 MN9/30/200931d) t4=
s= 0,422 n= 3,55 ss= -1,43 10-5 sn= -21,23 10-5Proraun
preraspodjele presjenih sila od trenutka ojaanja stuba uraen je na
slijedei nain :d1) Diferenina metoda,d2) Rjeenje sa
pretpostavljenom funkcijom promjene presjenih sila u betonu,d3)
Rjeenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne
jednaine,d4) Pomou Kelvin-ovog modelad5) Postupak po
Stangenberg-ud6) Proraun presjenih sila u funkciji od stare
armature (veina autora).d1) Diferenina metodauslov ravnotee u
trenutku tn: Xn+ Yn+ Zn+ Wn= 0uslov ravnotee u trenutku tn+1: Xn+1
+ Yn+1+ Zn+1+ Wn+1= 0uslov kompatibilnosti u intervalu vremena t =
tn+1- tnssssbs bsn cbs bsn nas asn nF E Y YF E Y YF E X X ++=+ + 1
1n-bn bnn cbn bnn nas asn nF E Z ZF E Z ZF E X X ++= + + 1 1nsn an
ann nas asn nF E W WF E X X = + + 1 1gdje su: X = Nas; Y = Nbs; Z =
Nbn; W = Nan9/30/200932d2) Rjeenje sa pretpostavljenom funkcijom
promjene presjenih sila u betonu u obliku parabole drugog redadNbs+
dNbn+ dNas + dNan= dNan ananas asasF EdNF EdN=( ) + +||.|
\| = sbs bsbss s ssbs bsbsas asasdF ENdF ENF EdN 022ssssss sbs
bsbsd dF EN ||.|
\| + 2( ) + +||.|
\| = nbn bNbnon n nnbn bnbnas asasdF ENdF ENF EdN 22nnsnnnnnnbn
bnbnd dF EN ||.|
\| + 2d3) Rjeenje primjenom osnovne Dischinger-ove
diferencijalne jednaineModifikovani izraz za preraspodjelu
presjenih sila izmeu dva betona razliitih karakteristika:||||.|
\|||.|
\|+ = + 110 0 2 21 b bb bF E F Eb bsb b bt e F E N N
N9/30/200933d4) Pomou Kelvin-ovog modelaIzraz je izveden u
poglavlju II ( ) ( ) ( ) t0tbnEeb0 b b e t = d5) Postupak po
Stangenberg-uStangenberg je koristio iste jednaine (uslov ravnotee
i uslov kompatibilnosti), s tim to je u uslovima kompatibilnosti
uzeo da je:Nbs0 + Nbst= dNbst odnosno Nbn0 + Nbnt= dNbntStangenberg
je dao vezu izmeu puzanja i skupljanja starog i novog betona u
obliku:||.|
\|||.|
\| + + tntntn tsn , ts11d6) Proveden je isti postupak kao pod
d5) samo su presjene sile odreene u funkciji od stare armature, to
je sluaj kod veine autora koji su se bavili ovim problemom.
Stangenberg je odredio presjene sile u funkciji od starog
betona.9/30/200934Tabela: Presjene sile u MNIz pregleda rezultata
je vidljivo da se primjenom raznih postupaka dobiju ekstremne
vrijednosti u pojedinim dijelovima poprenog presjeka. Meutim, sa
sigurnou se moe tvrditi, da u vremenu od trenutka ojaanja
armiranobetonskog stuba do t = dolazi do porasta naprezanja u novoj
armaturi, staroj armaturi i starom betonu, a da dolazi do pada
naprezanja u novom betonu.9/30/200935Utvrivanje kapaciteta
nosivosti ojaanog armiranobetonskog stubaMaksimalna nosivost
postojeeg stuba je:Nsd=Fcd+ Fsd= Ac fcd+Asd sd =0,4 0,4 0,85 +
19,610-4 400 =2,235 MN5 , 116Karakteristina nosivost je: 596 , 14 ,
1235 , 24 , 1 = = = sdk NNUkupno optereenje u konanom stanju je:Nt
= = 2,0 + NPoetno optereenje preuzima postojei stub, a dodatno
optereenje preuzimaju postojei i novi dio stuba.Nstaro= 2,0 +
Kstaro NNnovo = Knovo NKapacitet nosivosti proraunat je po
Stangenberg-ovom postupku (d5) i postupku oznaenom sa (d6).Mogue
dodatno optereenje u trenutku t = 0 N = 0,612 MNMogue dodatno
optereenje u trenutku t = :d5) N = 0,337 MNd6) N = 0,405
MN9/30/200936Programski algoritam9/30/200937Preraspodjela
naprezanja kod spregnute prednapregnute gredePrimjer uraen u
knjizi, navedena u literaturi pod brojem 5, autora Alfreda Mehmela,
uraen je i postupkom opisanim u poglavlju
III.75156012621FZS2SiS1Ib1= 0,0027m4y1z= 0,34 mEb1= 40000
MN/m2BETON 2 : Fb2= 0,09 m2Ib2= 0,000108m4y2z= 0,60 mEb2= 30000
MN/m2ARMATURA : FZ= 0,0012 m2EZ= 200000 MN/m2BETON 1 : Fb1= 0,09
m2Promatrat emo promjenu naprezanja u betonima 1 i 2, od trenutka
ovravanja betona 2 (t1) do t2 = .4,892,783,702,883,117,8112,83
10,40t1 t2Preraspodjela presjenih sila sa novog na stari beton po
Mehmel-u:X(t) = 0,0758 MNy(t) = 0,00665 MN9/30/200938Preraspodjela
presjenih sila sa novog na stari beton postupak opisan u poglavlju
III2121a a21y2y1N1N2M1M2uslovi ravnotee: 0 N N 2 1 = + 0 M M 2 1 =
+ uslovi kompatibilnosti:22 b 2 bt 2 202 b 2 b21 b 1 b1dI E M MI
EdMI EdM ++= ++++ += + d yI E M MI EdMd dF EdNF EdNyI EdMF EdNa 22
b 2 bt 2 202 b 2 b22 S2 b 2 b22 b 2 b2a 11 b 1 b11 b 1 b1Rjeenjem
sistema jednaina kako je pokazano u primjeru stuba, dobiju se
izrazi za sile preraspodjele:9/30/20093922 bI2 bE 11 bI1 bE 1 2 bI2
bE 10 e M M + = ( ) ||.|
\| + = e F EI E y MF E N N N b bb bab bS12 22 222 2 0
010,4013,409,703,531,1412,832,883,117,814,892,783,70Mehmel postupak
iz magistarskog rada9/30/200940Preraspodjela naprezanja kod
armiranobetonske gredeIzrazi dobiveni za prednapregnutu gredu mogu
se primijeniti i za armiranobetonsku gredu, to je pokazano na
primjeru datom u knjizi [ 14 ] (str.464).Rjeenja primjera iz knjige
data su u sljedeoj tablici:Proraun se radi iterativnim postupkom.
Prvo se za poetni iznos presjenih sila odredi poloaj neutralne osi,
potom se za preraspodijeljene presjene sile odredi novi poloaj
neutralne osi, te za novi poloaj neutralne osi preraspodjela
presjenih sila.Proraun iterativnim postupkom sa 3 koraka i dobiveno
je rjeenje :naprezanje u betonu: 2b m MN 36 , 3 = naprezanje u
pritisnutoj armaturi: 2 Ia m MN 130 = 9/30/200941Na osnovu
prethodnih primjera spregnute prednapregnute grede i
armiranobetonske grede, moe se zakljuiti da je primjenjeni postupak
upotrebljiv i za sluaj ojaanja armiranobetonskih greda kao na
narednoj slici.12Nb1Nb2Nb1Na Naxx0Oznaimo sa X0 poloaj neutralne
ose prije nanoenja ojaanja grede. Usljedpoveanja statike visine,
doi e do pomjeranja neutralne ose prema gore. To pomjeranje nije
proporcionalno poveanju visine, jer se sa poveanjem visine poprenog
presjeka poveava i optereenje.Novi poloaj neutralne ose je X0- X, i
poetni je korak provoenja postupka iz prethodnog primjera. Usljed
veeg inteziteta skupljanja i puzanja novog betona od inteziteta
skupljanja betona grede, sila Nb2 e se smanjivati, a sila
Nb1poveavati (preraspodjela presjenih sila sa novog betona na stari
beton).
