O1

z1

y1

b

y

y1

z1

a

O=T

z

y

dA

z

Određivanja momenta inercije pri translaciji koordinatnog sistema

E2 > E1

E1,A1

z

2E2,A2

T2

z11

T1

E1,A1

2

z

E1,n,A2

1

z2y

zo

y

T

Reduciranje poprečnog presjeka sastavljenog od različitih materijala

Cc , Ac

Ci , Ai

Cs, As

be

hc

hs

ac

as

a

z

y

Spregnuti presjek čelik - beton

y

z

h/2

h/2

Ap2

Ap1

aco

ap2

ap1

aca2

a1

Ap1 > Ap2

Aco

Cc,Ac

Ai,Ci

Prednapregnuti betonski presjek

as

ac

hs

hc

be

Cs, As

Ci , Ai

Cc , Ac

acp (acr)

Cp, Ap(Cr, Ar)

Cci , Aci

z

y

ap(ar)

Spregnuti prednapregnuti presjek

σc(Ee) σc(Ec) σc,uk

Qd+Qk

Ti(t=0)

Ti(t=besk.)

dugotrajnoopterećenje

kratkotrajnoopterećenje

ukupnoopterećenje

Naponska stanja spregnutog presjeka konstrukcije poduprte za vrijeme izvođenja

Qk

σčelik σc(Ec) σc,uk

Ti(t=0)

Ta

ukupnoopterećenje

kratkotrajnoopterećenje

dugotrajnoopterećenje

Naponska stanja spregnutog presjeka konstrukcije nepoduprte za vrijeme izvođenja

M

NESPREGNUTI PRESJEK

Sa

Sb

a

DEFORMACIJENAPONI

Mb n.l.

Ma

σa

n.l.

σmaxMaEaJa

EbJbMb

σb

Naponska stanja nespregnutog presjeka

ELASTIČNO SPREGNUTI PRESJEK

Si

Sa

Sb

a

N

σa

NAPONI DEFORMACIJE

σa

M

n.l.

N

Ma

Mbnσb

EaJiM

NMb

δ

NMb

Naponska stanja parcijalno spregnutog presjeka

SPREGNUTI PRESJEK

Mb

NAPONI

NSa

Sb

Ma

N

a M

Mb

DEFORMACIJE

MbN

N

MEaJi

σa

nσb

Naponska stanja potpuno spregnutog presjeka

Mb

t - to

Mačelik Sa

N

Sbbeton

SiM

Nσa > σ'a

nσb < nσ'b

puzanje

∆Ma

σ'a

+

∆N

nσ'b

-∆Mb

∆N

naponit - tn

+

n∆σb

-

+

-σ'a

σa > σ'a

Preraspodjela naprezanja unutar spregnutog presjeka usljed tečenja betona

ε(t)

τ

τ

τ1τ0 t

τ0 τ1 t

σ(t)

ε0

σ0

ε

ε

v

e

Deformacija viskoelastičnog tijela pod konstantnim naprezanjem

τ

tD(t,τ)

D(t,τ)

t,ττ0 τ1 τ2

a) b)

C(t,τ0)

1/E

(τ)

D(t,τ)

t,ττ2τ1τ0

Funkcija D(t,τ) uz uzimanje u obzir efekta starenja betona

Usporedba funkcija D(t,τ) materijala koji stari i koji ne stari

ε

τ1τ0 η

tε0

σ

Et

a)

T

εσ

τ1 τ1

Eσ0

t

tE

b)

?0

t

t

8ε

ε

σ

σ

τ0 τ1

η

σ0 ε0

Reološki modeli viskoznog materijala: (a) Maxwell-ov model, (b) Kelvin-ov model

η1E1

E2

En

η2

ηn

E1

η1

E2

η2

En

ηn

Generalizirani reološki modeli

t

t

t

t

ε σ

εσ

τ0 τ1 τ0 τ1

σ0 ε0

θ

Ta)

b) c)

E1

E2η

E 8

σ

Standardni model za čvrsto tijelo

ϕ Ebo

σ

dϕtτ

σ

µM=Ebo·

Ebo

dt

82

Maxwell-Kelvin model

Z=1

Prednaprezanje grede čelimo za prednaprezanje izvan betonskog presjeka

Ebo

σ

(i)E1i µ1i

(1)E10 µ10

Reološki model za prijedlog prof.Ivkovića

E1

ε1

E2

E3

ε0

εu

ε2

σ10

σ1u

σ20

σ30

σ2u

σ1u

Kompozitni poprečni presjek sastavljen od materijala sa različitim modulima elastičnosti

FK

σk0

σku

Dio k kompozitnog poprečnog presjeka

FK

Sk

ψk

ψk yεk

y

εy

Dilatacija i krivljenje proizvoljnog vlakna poprečnog presjeka

N2

M

V

σb0

σz /hz

Nz0

εz

εz M b0

II

b

h

y0

+y

nn

SbII IISb

Pravougaoni poprečni presjek u naponskom stanju II

P P

-P

Pbe

ton

Pfe

der

max

.Pbe

ton

Radni dijagram betona i opruge

t

t

σ

σp

εa,εb

tt0

t0

BETON

CELIK∆εt

Dijagram deformacije betona i čelika pod konstantnim naprezanjem

2

1 2

1ε

tt0 t1 tDijagram deformacije betona pod konstantnim naprezanjem

1

2

ARMATURA

dio beton-betondio armatura-beton

εa,εb

∆ε

tt1 ttt0 *

Razvoj deformacija betona i armature spregnutog presjeka beton-beton

t

ϕ

ϕ(t) ϕ

8

funkcija puzanja

ϕ

Nbt

ϕ8

(Mbt) (Mb

)N

b

8

8

Nbt= 8Nb

8ϕϕ (2- )ϕ

ϕ8Pretpostavljena funkcija promjene presječne sile u betonu

t(ϕ)

tn

(ϕn)tn+1

(ϕn+1)∆tn

(∆ϕn)

Nb0

Nb0

+N

bt

Nbt

n Nbt

n+1

Dijagram promjene Nbt u zavisnosti od ϕ

Nb0

+N

bt

N b0

ϕn ϕn+1

∆ϕn ϕ

Nb0

+N

btn N

btn+

1N

b0 +

(Nbt

n+1 -N

btn)

λ Dijagram promjene presječne sile Nbt usljed djelovanja puzanja

Spregnuti presjek čelik-beton

beton "in situ"

mont. oplatamont.prednapregnutinosac (MPN)

Spregnuta prednapregnuta greda

b2

b1

Polumontažne stropne konstrukcije

bsbn

asan Sanirani armiranobetonski stub

Tabela 6.1: Struktura koncepta dokaza Granično stanje Nosivost Upotrebljivost

Zahtjevi Sigurnost osoblja Sigurnost konstrukcije

Ugodnost osoblja Funkcija konstrukcije Izgled konstrukcije

Kriteriji dokaza

Gubitak sigurnosti položaja Otkaz čvrstoće

Otkaz stabilnosti Zamor materijala

Ograničenje naprezanja Izgradnja prslina

Deformacije Vibracije

Situacije za dimenzioniranje Stalno i promjenljivo

Izvanredno Zemljotres

Rijetka odnosno karakteristična Česta

Kvazi – česta

Akcija na nosivu konstrukciju Računska vrijednost naprezanja

(destabilizirajući uticaji, poprečne sile)

Računska vrijednost djelovanja (naprezanja, širine prslina,

deformacije)

Reakcija nosive konstrukcije Računska vrijednost otpornosti (stabilizirajući uticaji, čvrstoća materijala, otpornost presjeka)

Kriteriji upotrebljivosti (dop. naprezanje, dekompresija, širina

prslina, deformacije)

Reprezentativne vrijednosti promjenljivog opterećenja

Odnosi između pojedinih parcijalnih faktora sigurnosti

Tabela 6.2. Nezavisni uticaji na objekte visokogradnje Stalni uticaji Promjenljivi uticaji Vlastita težina Prednaprezanje Pritisak zemlje Stalni pritisak tekućine

Gk Pk

Gk,E Gk,H

Korisno opterećenje, Prometno opterećenje Snijeg i led Vjetar Temperaturni uticaji Promjenljivi pritisak tekućine Slijeganje temeljnog tla

Qk,N Qk,S Qk,W Qk,T Qk,H

Qk,∆ Posebni uticaji Ad Uticaji od zemljotresa AEd

Tabela 6.3 Faktori kombinacije ψ

Uticaji ψ0 ψ1 ψ2 Korisno opterećenje

Kategorija A: Stambeni i izložbeni prostori Kategorija B: Poslovne prostorije Kategorija C: Sajamske prostorije Kategorija D: Prodajni prostori Kategorija E: Skladišta

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8

Pokretno opterećenje Kategorija F: Vozila ≤ 30kN Kategorija G: 30kN < Vozilo ≤ 160kN Kategorija H: Krovovi

0,7 0,7 0,0

0,7 0,5 0,0

0,6 0,3 0,0

Snijeg i led Mjesta do nadmorske visine +1000m Mjesta preko nadmorske visine +1000m

0,5 0,7

0,2 0,5

0,0 0,2

Vjetar 0,6 0,5 0,0 Uticaji temperature 0,6 0,5 0,0 Slijeganje tla 1,0 1,0 1,0 Posebni promjenljivi uticaji1) 0,8 0,7 0,5 1) Uticaji u visokogradnji koji nisu eksplicitno navedeni

Tabela 6.4 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za uticaje

1,00

-γAPosebni uticaji

1,00

1,30

γQNezavisni promjenljivi uticajinepovoljno

1,00

1,00γGNzavisni stalni uticaji (vidi gore)

Otkaztemeljnog

tla kroz lomu tlu

1,00

-γAPosebni uticaji

1,00

1,50

γQNezavisni promjenljivi uticajinepovoljno

1,00

1,00

1,35

1,00

γG,supγG,inf

Nezavisni stalni uticaji (vidi gore)nepovoljno

povoljno

Otkazkonstrukcij

e njenogdijela ilitemelja,

kroz lom ilipretjerane

deformacije

1,00

-γAPosebni uticaji

1,00

1,50

γQNepovoljni promjenljivi uticaj

1,00

0,95

1,05

0,95

γG,supγG,inf

Kod malih oscilacija stalnih uticaja, kao što je dokaz sigurnostiupotrebe

nepovoljnopovoljno

1,00

0,95

1,10

0,90

γG,supγG,inf

Stalno opterećenje: vlastita težina konstrukcije, stalni uticaji, uticajitla, podzemna voda i slobodno stojeća voda

nepovoljnopovoljno

Gubitakstabilnosti

konstrukcije

AP/T

SituacijeSimbolUticajiKriterij

dokaza

P – Stalna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 1)T – Prolazna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 2)A – Posebna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 3)

Tabela 6.5 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva materijala

1,30γR,f

at1,15γs,f

at1,50γc,fa

tDokaz na zamor

1,10γRA1,00γs

A1,30γcA

Posebna situacija za dimenzioniranje

1,30γR1,15γs1,50γcStalna i prolazna situacija za

dimenzioniranje

Armatura, PrednapetaBeton

NelinearniproračunLinearno-elastični proračun

Otpornost prema

SPREGNUTI PRESJEK

nσb

NAPONI

σa

Puno sprezanje

0

granicno opterecenje spregnutog nosaca

100%

otpornost na podužno smicanje

granicno opterecenje

granicno opterecenje celicnog nosaca

parcijalna smicuca veza

puna smicuca veza

Kvalitativan odnos između graničnog opterećenja i otpornosti na podužno smicanje

F=0

hc

hs

L D

A

B

C

D

L+us

A

F L+uc

C

ε

κ

hc

hs

ds/dx ds/dx

B

s

ε ε

ε ε ε

ε

cs

s

c

κ

κ

(a) (b)

(c1) (c2) (c3)

Klizanje u spoju čeličnog nosača i betonske ploče: (a)nenapregnut spregnuti presjek; (b) napregnut spregnuti presjek; (c1) bez sprezanja; (c2) potpuno sprezanje; (c3) parcijalno sprezanje

smax

s

δ

kapacitet deformacije

S

δ MDRd=ΣPRd

z

Nc,f=Nad

δ

M

(a)

(b)

stvarni dijagramracunski dijagram

smax

s

ε σ

σ

DRd<ΣPRd

Nad=ΣPRd

Nc,f=Nad

Nad<ΣPRd

Uticaj deformacionih karakteristika moždanika na raspodjelu naprezanja unutar spregnutog presjeka: (a) duktilni moždanici; (b) kruti moždanici

hs

hc

h1

Nad=PRd

Nc,f=PRd

σn.o.

ε

σ ε

Ms

hc

hs

h3 n.o.

Nc,f=PRd

Nad=PRd

Ms

hc

hs

h2

n.o.

n.o.

σ ε

Nc,f=PRd

Nad=PRd

Mmj.,S

Mpl,d,S

Na,d =Na,d

DRd

Msd,mj. L1

L

Md

Mmj.,F

Mpl,d,F

Nc,l = Na,l

Mpl,d,FNa,l

L1

qd Nc,l

Nc,d

Mpl,d,S

Nc,d

Definicija stepena sprezanja

Mpl,RdMpl,a,Rd

0,4 ηpot. 1,0 η

Mpl,RdMSd,mj.

1,0

Mpl,RdMSd

"tacno"

približno

Određivanje potrebnog stepena sprezanja

qgran.

Wgr

an.

W

qpl

qel

q

Klasa 1Klasa 2

Klasa 3

Klasa 4

Wpl

Wpl

,red.

Wel

f y

0,85 fck

fy

σp,Rd

Klasa 1 i 2 Klasa 3 Klasa 4

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka pojedinih klasa

+

-

F/2

F/2

F/2

F/2

w

hc

Nekompatibilne deformacije iskrivljenja na mjestu diskontinuiteta smicanja

hc

beff beff

(beff) l (beff)d (beff) l (beff)d

e1 e2 ekonz.

bl=e1/2 bd=e2/2

w=bl+bd

beff

s x max s x

Konstantna raspodjela s x naprezanjaStvarna raspodjela s x naprezanja

Definisanje efektivne širine

beff

,1

beff

,2

beff

,0

beff

,2 beff

,1

12

34

L1 L2 L3

L1/4

L1/2

L1/4 L2/4 L2/2 L2/4

b1 b2

b0

beff

b0

be1 be2

Ekvivalentni rasponi Le

hs

hcxpl

Npl,a,Rd

Npl,c,Rdn.o.

y

z

Valjani profil

Moždanik

Betonska ploca

zpl

αcf cd

f yd

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka opterećenih momentom savijanja u polju

hs

hc

xa

Npl,a,Rd

Ns

n.o.y

z

za

f sd

f yd

f yd

+ -

NaAaz

zs

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka opterećenih momentom savijanja nad

hs

hc

xan.o.

y

zfyd

f yd

+ -αcf cd

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka za slučaj Nc < Na

hs

hc

xan.o.

y

zfyd

f yd

+ - αcf cd

Nc=ηNpl,c,Rd

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka sa parcijalnim smičućim spojem

f yd

f yd

+ - αcf cd

f yd

f yd=

f yd

αcf cd

Nc=ηNpl,c,Rd

+Na=ΣPRd

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka sa parcijalnim smičućim spojem

NRd

MRd

Mel,Rd

Mpl,Rd

Npl,a,RdNel,a

TEORIJA ELASTICNOSTI

ELASTO-PLASTICNA ANALIZA

Nosivost na savijanje spregnutih presjeka sa parcijalnim smičućim spojem

0,5Vpl,Rd

Vpl,Rd

V

Mpl,Rd,V Mpl,Rd

M

1 2

3

Dijagram interakcije moment savijanja - poprečna sila (M-V)

f yd=τRd 3

Nad,N

Vsd

Aa,N

Uzimanje u obzir dejstva poprečne sile kroz redukciju plastičnog momenta nosivosti

Bočno-torziono izvijanjeIzvijanje rebra čeličnog nosača

A

Atf

sM

Izvijanje pojasnice čeličnog nosača

00

1 2 3

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2LT

λLT

Kriva χLT - LTλ

Tb Ns

ybi

Ti

Ms

(+)

-

+

-

+

+

+

(-)

Unutrašnje sile usljed skupljanja betona betonske ploče

L1

V1

Ns=Asf yd

Ncd=Ac0,85f cde

DRd=V1L1

Podužna sila na spoju betonskog i čeličnog dijela spregnutog presjeka

Vrste spojnih sredstava

F1

tf

hpod.>0,2d 1.3d F2

PRd

hst>

5d

0,5d 1.5d

e

d

BETONpraznina uzrokovana klizanjem

zona loma

Efekat trna moždanika sa glavom

S1 Sp SzS2

Dmax

DB

elasticno podrucje plato plasticnosti

Sult

E

C

Sila smicanja

Klizanje

Eksperimentalna kriva opterećenje - klizanje kod moždanika sa glavama

eT>

4d 5d<eL<6hc

ee>1,3d

tf>0,

4d

A-A

bf eT

hc hm

hpod

d

Aee>1,3d

A

5d<eL<6hc

Konstruktivna pravila za moždanike sa glavama

n1

l/2

n2 n3

VAvi

Podužni raspored moždanika

VL2

I II IIIL

l1 l2Npl.a.Rd

l2

SM

pl.R

dMpl.Rd

F

Ncfqd

l1

qd

VL1

qd

Ns

Ncf

Npl.a.Rd

Podrucje I

Podrucje II

Unutrašnje sile u prvom polju spregnutog kontinuiranog nosača

ε fyd

+

PRd PRd

Zpl.1

Zpl.2

fyd

MRd

Nc=ΣPRd-

-

αcfcd

Spregnuti nosač sa konstantnom raspodjelom moždanika opterećen kontinuiranim opterećenjem

+

fyd

bf

hp

za

zpl.2zpl.1

be

+Npl.a.Rd

fyd fyd 2fyd

Nf

Ncαcfcdαcfcd

- -

MRd

Raspodjela naprezanja kada je neutralna linija čeličnog dijela presjeka u gornjoj pojasnici

αcfcd

be

fyd

+

hc

tfhp

zpl.1

zazpl.2

bf

MRd

Npl.a.Rd

fydfyd 2fyd

+

Nw

Nc--

- -Nf

αcfcd

Raspodjela naprezanja kada je neutralna linija čeličnog dijela presjeka u rebru

6 m 6 m

22

Proračunski primjer

Ag

Ad

a

a

a

ab b

Dokaz podužnog smicanja betonskog pojasa

Granična vrijednost Građevinski element δmax δg+p

*

• Krovovi, uopšteno • Krovovi, kada progib utiče na vanjski izgled objekta • Stropovi, uopšteno • Stropovi i krovovi, koji nose malter ili druge pokrovne slojeve od

nefleksibilnog materijala, • Stropovi na stubovima

Kod konzola uzimaju se vrijednosti L = 2L

L/200 L/250 L/250 L/250

L/400

L/250 L/300 L/300 L/350

L/500

* Granična vrijednost za ugibe bez ugiba od vlastite težine.