1

2 Neke specijalne funkcije

Neelementarne funkcije pod nazivom “specijalne“, nastale su kao rezultat rešavanja

raziličitih matematičkih modela u fizici i tehničkim naukama, i to najčešće kao rešenja diferencijalnih jednačina. Njihove vrednosti se ne mogu dobiti analitički (pomoću elementarnih funkcija), nego odgovarajućim numeričkim postupcima. Po formi, mogu se podeliti u dve klase:

• Funkcije u formi određenih integrala,

• Funkcije u formi beskonačnih konvergentnih redova

Vrednosti specijalnih funkcija su tabelirane u matematičkim priručnicima, a u softverskim proizvodima namenjenim za matematičke proračune (Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab itd.) postoje odgovarajuće funkcije.

1.1 FUNKCIJA GREŠKE

Pri rešavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina provođenja toplote i difuzije često se

pojavljuje funkcija greške, definisana kao:

∫ −

π=

xt dtex

0

22)(erf (2.1)

Dakle, erf(x) je funkcija gornje granice integrala eksponencijalne funkcije 2xe− .

Da se podsetimo da se u matematičkoj analizi dobija vrednost sledećeg nesvojstvenog integrala:

∫∞

− π=

0 22

dxe x (2.2)

Koristeći taj rezultat, dobijamo :

1)(erflim =∞→

xx

(2.3)

2

Izvod i integral funkcije

Funkciju diferenciramo imajući u vidu da je izvod određenog integrala po promenljivoj gornjoj granici jednak podintegralnoj funkciji :

22 22)(erf

0

xx

t edtedxdx

dxd −−

π=

π= ∫ (2.4)

Za integral se dobija parcijalnom integracijom:

Cxxxdxx +−π

+⋅=∫ )exp(1)(erf)(erf 2 (2.5)

Zaista,

{ Cexxxdxexxvduuvdxx xx

dvu

+π

+⋅=π

−⋅=−= −−∫∫∫22 1)(erf2)(erf)(erf

321

Izračunavanje vrednosti funkcije. Numerička nestabilnost

Pošto se integral kojim je definisana funkcija greške ne može dobiti analitički, on se može izračunati samo numerički, sa zadatom tačnošću, izračunavanjem parcijalne sume beskonačnog reda, čija je suma tražena funkcija. Tako se funkcija greške može razviti u red :

∑∞

=

++

+−

π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−++−

⋅+

⋅−

π=

0

121253

)12(!)1(2

)12(!)1(

5!23!12)(erf

n

nn

nn

nnx

nnxxxxx LL (2.6)

što ostavljamo čitaocu da izvede, integracijom Maklorenovog reda podintegralne funkcije.

Praktično izračunavanje pomoću reda (2.6) je praćeno ozbiljnim problemima za veće vrednosti argumenta (x > 5) Naime, neophodno je radi postizanja zadovoljavajuće tačnosti sumirati vrlo veliki broj članova reda, što je praćeno akumulacijom mašinske greške (greška računara), koja onemogućava dobijanje traženog rezultata. Za takav proračun se kaže da je nestabilan, jer tokom računskog procesa početna neznatna greška računanja raste i prevazilazi dozvoljenu granicu. Kod nekih nestabilnih računskih procesa računska greška u toku procesa monotono raste po apsolutnoj vrednosti, dok se kod nekih uočavaju oscilacije greška sa povećanjem amplitude.

Jasno je da je numerička nestabilnost pri izračunavanju parcijalnih suma beskonačnih redova utoliko veća ukoliko je konvergencija reda sporija, jer ono uključuje veći broj računskih operacija (veći broj članova reda).

Realizacija u Mathcad-u

U Mathcad-u se vrednosti erf(x) dobijaju pozivanjem Mathcad funkcije erf(x)

3

Vežba 1. Nacrtati u Mathcad-u funkciju erf(x) u intervalu [-2, 2]

Vežba 2. Proveriti u Mathcad-u identitete (2.4) i (2.5)

Vežba 3. Analizirati i testirati numeričku stabilnost sledeće dve Mathcad funkcije za približno izračunavanje funkcije greške:

Erf2 x( ) z x←

s 0←

ε 10 9−←

n 0←

s s z+←

z z−2n 1+

2n 3+( ) n 1+( )⋅⋅ x2

⋅←

n n 1+←

z ε>while

s s2

π⋅←

sreturn

:=

Erf1 x N,( )2

π0

N

n

1−( )n x2n 1+

n! 2n 1+( )⋅∑=

⋅:=

1.2 INTEGRALNE EKSPONENCIJALNE I TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Integralna eksponencijalna , sinusna i kosinusna funkcija su definisane redom kao integrali:

0,)exp()(Ei ≠= ∫∞−

xdtt

txx

(2.7)

,sin)(Si0∫=x

dtt

tx (2.8)

0,cos)(Ci >−= ∫∞

xdtt

txx

(2.9)

Mogu se izvesti sledeće granične vrednosti datih funkcija:

−∞==−∞= )0(Ci,0)0(Si,)0(Ei (2.10a)

2)(Si,)(Ei π=∞∞=∞ (2.10b)

Numeričke vrednosti funkcija se dobijaju kao parcijalne sume sledećih beskonačnih redova:

4

∑∞

= ⋅++γ=

0 !ln)(Ei

n

n

nnxxx (2.11)

∑∞

=

−+

−−−=

1

121

)!12)(12()1()(Si

n

nn

nnxx (2.12)

∑∞

= ⋅−++γ=

1

2

)!2(2)1(ln)(Ci

n

nn

nnxxx (2.13)

U datim razvojima, γ predstavlja Ojlerovu (Euler) konstantu :

∫∞

∞→

− =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++++=−=γ

0

577215665.0ln131

211limln KL n

ntdte

n

t (2.14)

Vežba 1. Koristeći simboličko izračunavanje u Mathcadu, proveriti definiciju Ojlerove konstante γ i izračunati je sa preciznošću od 9 decimala. Definisati Mathcad funkciju za približno izračunavanje integralne eksponencijalne funkcije, koristeći razvoj (2.11), pri čemu sumu beskonačnog reda treba aproksimirati sumom prvih 101 članova. Koristeći tu funkciju, nacrtati grafik Ei(x) u intervalu [-2, 2]

Vežba 2. Definisati Mathcad funkcije za približno izračunavanje integralnog sinusa i kosinusa, koristeći razvoje (2.12, 13), pri čemu sume beskonačnih redova treba aproksimirati sumama prvih 50 članova. Nacrtati njihove grafike u intervalu (0, 15]

Vežba 3. S obzirom da integral kojim je definisan integralni sinus nije nesvojstven, njegove vrednosti bi se mogle računati numeričkom integracijom. Definisati Mathcad funkciju za izračunavanje integralnog sinusa numeričkom integracijom i testirati je uporedo sa funkcijom definisanom u prethodnoj vežbi.

1.3 GAMA I BETA FUNKCIJA

Gama funkcija , )(xΓ definisana je, za pozitivne vrednosti argumenta, kao parametarski nesvojstveni integral, tj. x figuriše kao parametar u podintegralnoj funkciji:

0,)(0

1 >=Γ ∫∞

−− xdtetx tx (2.15)

Izračunaćemo vrednosti Gama funkcije za x = 1 i x = 1/2:

1)1(0

0

=−==Γ∞−

∞−∫ tt edte (2.16a)

5

∫∫∞

−

=

∞−− π===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

0)(

0

21 2

22

21 duedtet u

ut

t (2.16b)

Potražićemo graničnu vrednost funkcije kada 0→x :

∫ ∫∫−∞

∞−

∞

−=

−

∞=−=−===Γ0

0

0)(

)0(Ei)0( duuedu

uedt

te uu

ut

t

(2.17)

Kada x raste, )(xΓ raste vrlo brzo, u šta ćemo se uveriti u Vežbi 2., i pri tom se vrlo brzo približava elementarnoj funkciji:

x

ex

xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π≈Γ

2)( (2.18)

Kažemo da se Gama funkcija asimptotski približava datoj elementarnoj funkciji, tj. da je ta funkcija asimptotska aproksimacija Gama funkcije. Aproksimacija (2.18) je poznata pod imenom Stirlingova (Stirling) formula.

Parcijalnom integracijom se može izvesti sledeća rekurentna formula :

)()1( xxx Γ=+Γ (2.19)

Uzastopna primena rekurentne formule za celobrojnu pozitivnu vrednost, x = n daje:

)1(12)2)(1()1()1()()1( Γ⋅⋅−−==−Γ−=Γ=+Γ LL nnnnnnnnn

i pošto je 1)1( =Γ (2.16a) ,

!)1( nn =+Γ (2.20)

Tako se Gama funkcija može smatrati generalizacijom faktorijela, na koga se svodi za pozitivne celobrojne vrednosti argumenta. Primenom Stirlingove formule, faktorijeli većih brojeva se mogu približno dobiti, kao:

n

ennn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π≈ 2! (2.21)

Nesvojstveni integral (2.15) konvergira samo za pozitivne vrednosti x, pa je definicija Gama funkcije ograničena na interval x > 0. Koristeći međutim rekurentnu formulu u obliku:

x

xx )1()( +Γ=Γ (2.22)

može se proširiti definicija Gama funkcije i na negativne vrednosti argumenta . Naprimer,

6

π−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Γ 2

2121

21

Iz (2.22) sledi da funkcija ima vertikalne asimptote u x = 0, kao i za sve negativne celobrojne vrednosti

Vežba 1. Izračunati u Mathcad-u )21(Γ i )21(−Γ numerički i simbolički

Vežba 2. Nacrtati grafik )(xΓ u opsegu : 5)(,4 ≤Γ≤ xx i uporedi sa teorijom.

Beta funkcija

Beta funkcija je definisana kao parametarski integral sa dva parametra :

∫ >−=Β −−1

11 0,,)1(),(o

yx yxdtttyx (2.23)

Između Beta i Gama funkcije postoji veza:

)()()(),(

yxyxyxB

+ΓΓΓ

=

1.3 BESELOVE FUNKCIJE Beselove (Bessel) funkcije su partikularna rešenja poznate Beselove dif. jednačine (Pogl.

), koja predstavlja matematički model prenosa toplote i komponente u sistemima cilindrične geometrije. One imaju formu beskonačnih stepenih redova. Interesovaće nas ponašanje Beselovih funkcija samo u oblasti 0≥x , s obzirom da x ima fizičko značenje dimenzije tela kroz koga difunduje toplota ili masa.

Beselova funkcija prve vrste

Beselova funkcija prve vrste, reda p, definisana je kao stepeni red:

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−

=0

2

2)1(!)1()(

n

pnn

px

pnnxJ (2.24)

Ako je red celobrojan, p = m, ona postaje:

7

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=0

2

2)!(!)1()(

n

mnn

mx

mnnxJ (2.24a)

Naprimer, Beselova funkcija prve vrste nultog reda je red:

L+−+−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= ∑∞

=28

8

026

6

24

4

2

22

20 )!4(2)!3(2)!2(221

2)!()1()( xxxxx

nxJ

n

nn

Može se pokazati da se Beselove funkcije prve vrste, reda 1/2 i – 1/2 svode na elementarne funkcije:

xx

J sin221 π= (2.25a)

xx

J cos221 π=− (2.25b)

Zaista,

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Γ−

Γ+

Γ−

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ−

= ∑∑∑∞

=

+∞

=

+∞

=

+

L29!3227!22252232

2

2)23(!)1(2

22)23(!)1(2

2)23(!)1()(

7

7

5

5

3

321

0

1221

0

2121221

0

212

21

xxxxx

xnnx

xxnnx

xnn

xJn

nn

n

nn

n

nn

Ako primenimo rekurentnu formulu (2.19):

( )

( ) xx

xxxxx

xxxxx

xJ

x

sin2!7!5!3!121

12

21232527!32212325!22212322122112)(

sin

753

1

21

7

7

5

5

3

321

21

π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅−

⋅Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π4444 34444 21

L

321

L

Vežba 1. Nacrtati grafike Beselove funkcije prve vrste, nultog, prvog i drugog reda u intervalu [0, 15]

Beselova funkcija druge vrste

Definiše se Beselova funkcija druge vrste, celobrojnog reda, m, Ym(x) Izrazi su vrlo kompleksni i daćemo samo Beselovu funkciju druge vrste, nultoga reda:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π= ∑

∞

=

+

1

222

100 )!(2

)1()(2

ln2)(n

nn

nn xn

hxJxxY (2.26)

8

gde je γ Ojlerova konstanta (2.14), a hn je parcijalna suma harmonijskog reda:

n

hn1

31

211 ++++= L (2.26a)

Ova funkcija je u literaturi poznata i kao Veberova (Weber) funkcija.

Vežba 2. Nacrtati grafike Beselove funkcije druge vrste, nultog, prvog i drugog reda u intervalu [0, 15]

Modifikovane Beselove funkcije prve i druge vrste

Modifikovana Beselova funkcija prve vrste je definisana kao:

)()( ixJixI pp

p−= (2.27)

odnosno,

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ=

0

2

2)1(!1)(

n

pn

px

pnnxI (2.28)

Za 21 i 21 −== pp svodi se na elementarne funkcije:

xx

xI sinh2)(21 π= (2.29a)

xx

xI cosh2)(21 π=− (2.29b)

Definisana je modifikovana Beselova funkcija druge vrste, celobrojnog reda (modifikovana Veberova funkcija), Km(x) i daćemo samo izraz kojim je definisana modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1

2

200 2)!()(

2ln)(

n

nn x

nh

xIxxK (2.30)

Vežba 3. Nacrtati grafike modifikovanih Beselovih funkcija 1010 ,,, KKII u opsegu [0, 3] za argument i [0, 2.5] za funkcije.

Asimptotsko ponašanje Beselovih funkcija za velike vrednosti argumenta

Za velike vrednosti argumenta, važe sledeće aproksimacije:

9

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

π−

π≈

24cos2)( px

xxJ p (2.31a)

)24

sin(2)( π−

π−

π≈ mx

xxYm (2.31b)

xxxI pπ

≈2

)exp()( (2.31c)

)exp(2

)( xx

xK m −π

≈ (2.31d)

Neke rekurentne formule

Daćemo neke od rekurentnih formula, koje su korisne dobijanje vrednosti funkcija jednog reda i njihovih prvih izvoda preko poznatih vrednosti funkcija iste vrste drugog reda:

)()()(

),(2)()( 111 xJxpxJ

dxxdJ

xJxpxJxJ pp

pppp −==+ −+− (2.32a)

Analogna formula, formuli (2.32a), važi i za funkciju )(xYp .

)()()(

),(2)()( 111 xIxpxI

dxxdI

xIxpxIxI pp

pppp −==− −+− (2.32b)

)()()(

),(2)()( 111 xKxpxK

dxxdK

xKxpxKxK pp

pppp −−=−=− −+− (2.32c)

ZADACI

2.1 Pokazati metodama matematičke analize da je erf(x) neparna i monotono rastuća funkcija.

2.2 Pokazati (metodama matematičke analize) da je funkcija ∫=x

dxxxF0

)(erf)( parna funkcija

i nacrtati njen grafik u intervalu [-2, 2]

2.3 U literaturi se definiše komplementarna funkcija greške kao:

∫∞

−

π=

x

t dtex22)(erfc

10

a) Pokazati da je erf(x) + erfc(x) = 1

b) Pronaći u Mathcad-u ovu funkciju i nacrtati je u intervalu [-2, 2]

c) Proveriti u Mathcad-u identitet u a)

2.4 Gustina verovatnoće slučajne promenljive X sa normalnom raspodelom je :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σµ−

−σπ

= 2

2

2)(exp

21)( xxf

gde su µ i σ srednja vrednost i disperzija raspodele. Funkcija raspodele verovatnoće slučajne promenljive X , F(x) predstavlja verovatnoću da bude xX < :

∫∞−

=≤=x

dttfxXPxF )()()(

Pokazati da se funkcija normalne raspodele može izraziti kao:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σµ−

+=2

erf121)( xxF

2.5 Imajući u vidu da je, praktično, funkcija greške jednaka 1 za 5.4>x , modifikovati funkciju Erf2(x) (Vežba 3.), koristeći instrukcije if i otherwise, da bi se izbegle greške pri izračunavanju za veće vrednosti argumenta.

2.6 Dokazati granične vrednosti : −∞=−∞= )0(i,)0(Ei C

2.7 Izvesti razvoj za integralni sinus (2.12).

2.8 Pokazati da je integralni sinus neparna funkcija i to:

a) Analizom njenog reda (2.12)

b) Koristeći geometrijsku interpretaciju određenog integrala

2.9 Izvesti sledeće rezultate: π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Γπ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

34

23,

815

27

2.10 Izvesti definiciju: 1!0 =

2.11 Polazeći od Stirlingove formule izvesti aproksimaciju (2.21). Izračunati približno faktorijele brojeva 5, 7 i 10 i relativne greške rezultata.

2.12 Izračunati integral

∫∞

−

0

2.5 2

dxex x

2.13 Pokazati da je :

11

2

1ln1

0

π=∫ dx

x (Pomoć: uvesti smenu tex −= )

2.14 Pokazati : 0

)1(=

+Γ−=γx

xdxd

2.15 Pokazati da je ),(),( xyyx Β=Β

2.16 Pokazati da je :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Β=

−∫ 3

1,21

31

1

1

03x

dx (Pomoć: uvesti smenu ux =3 )

2.17 Napisati prvih 5 članova reda kojim je definisana funkcija )(2 xJ

2.18 Posmatrajmo niz, koga smo sreli u toku uprošćavanja funkcije )(21 xJ :

L+⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

−⋅ 21232527!32212325!2221232212 7

7

5

5

3

3 xxxx

Ako prozvod svih neparnih brojeva od 1 do 2n+1, označimo kao

!)!12(13)32)(12)(12( +=⋅−−+ nnnn L

onda se opšti član posmatranog niza može prikazati kao:

!)!12(!2)1(

2!)!12(!2

)1(12

112

12

+−=

+−

+

++

+

nnx

nnx

n

nn

nn

nn

Pokazati matematičkom indukcijom da je :

)!12(!)!12(!2 +=+ nnnn

odakle slede da se radi o Maklorenovom razvoju funkcije sin x

2.19 Pokazati (2.25b)

2.20 Izvesti izraz (2.28)

2.21 Pokazati (2.29a,b)

2.22 Izvesti sledeće aproksimacije za male vrednosti argumenta:

xxK

xxY

pxxIxJ p

p

pp

ln)(

ln2)(

)1(2)()(

0

0

−≈

π≈

+Γ≈≈

2.23 Pokazati da je:

12

0)(,0)(Y

)(,0)(

)0(,)0(Y

) broj ceo je(0)0()0(

1)0()0( 00

=∞=∞

∞=∞=∞

∞=−∞=

==

==

mm

pp

mm

mm

K

IJ

K

mIJ

IJ

2.24 Proveriti grafički aproksimacije (2.31a,b) za p =2

2.25 Proveriti grafički aproksimacije (2.31c,d)

2.26 Pronaći prve (po veličini) tri nule funkcije )(2 xJ

2.27 Pronaći prve (po veličini) tri nule funkcije )(2 xY

2.28 Napisati formule kojima se, polazeći od vrednosti funkcija )( i )( 10 xJxJ mogu dobiti vrednosti funkcija )( i )( 32 xJxJ i proveriti ih u Mathcad-u

2.29 a) Pokazati :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π= x

xx

xx

xxJx

xx

xxJ cos3sin32)(,cossin2)( 2

2

2523

i proveriti simbolički u Mathcad-u.

b) Pokazati da se , uopšte, bilo koja Beselova funkcija prve vrste, reda 21+m ( m je ceo broj) može izraziti preko elementarnih funkcija.