Slicnost trouglova

1

SLIČNOST TROUGLOVA

Za dve figure F i 1F kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja

figuru F prevodi u figuru 1F . Činjenicu da su dve figure slične obeležavamo sa 1F F .

Sličnost bi neformalno mogli da opišemo kao: Sličnost je preslikavanje neke figure F u figuru 1F tako da je razmera odgovarajućih duži figura F i 1F isti broj i

ako su odgovarajući uglovi jednaki.

Za utvrđivanje sličnosti trouglova koristimo četiri stava:

1

1 1

A B

C

ab

c A B

C

ab

c1 1

1

1

11

I stav Dva trougla 1 1 1 i ABC A B C su slična ako i samo ako je jedan par stranica jednog trougla proporcionalan paru

stranica drugog, a uglovi zahvaćeni ovim stranicama jednaki su među sobom. II stav Trouglovi 1 1 1 i ABC A B C su slični ako i samo ako su dva ugla jednog trougla jednaka sa dva odgovarajuća ugla

drugog. III stav Trouglovi 1 1 1 i ABC A B C su slični ako i samo ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

IV stav Dva trougla 1 1 1 i ABC A B C su slična ako i samo ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne

odgovarajućim stranicama drugog , uglovi naspram dveju od tih odgovarajućih stranica jednaki, a naspram drugih dveju odgovarajućih stranica su oba ugla oštra , oba prava ili oba tupa.

www.matematiranje.com

2

U zadacima , pošto zaključimo da su neka dva trougla slična, primenjujemo :

1 1 1 1: : : :a a b b c c O O k

Naravno :

1 1 1 1

je obim prvog trougla a

je obim drugog trougla

O a b c

O a b c

k je koeficijent sličnosti

Ovu gornju jednakost možemo zapisati i sa : 1 1 1: : : :a b c a b c

Vrlo lako možemo zaključiti da važe i sledeće proporcionalnosti:

1 1

1 1

1 1

1

1

1

2 2 2 2 2 21 1 1 1

: : :

: : :

: : :

: : : :

a a a a

b b b b

c c c c

a a t t h h

b b t t h h

c c t t h h

P P a a b b c c

Naravno ovde su : t- težišne duži, h – visine i P – površine sličnih trouglova.

primer 1.

Na crtežu su dati podaci o trouglovima ABC i PQR. Odrediti dužine stranica PQ i PR trougla PQR.

A B

C

P

Q

R12cm 6cm

15cm

4cm


3

Rešenje:

Uočimo najpre da su trouglovi slični po II stavu o sličnosti trouglova. Dalje predlažemo da sa crticama obeležite koja kojoj stranici odgovara.

Pogledajte na sledećoj slici:

A B

C

P

Q

R12cm6cm

15cm

4cm

Kako imamo podatke za najmanje duži ( sa po jednom crvenom crtkom) one će biti na početku proporcije...

: :

6 : 4 12 :

6 4 12

48

68

BC RQ AC PR

PR

PR

PR

PR cm

: :

6 : 4 15 :

6 4 15

60

610

BC RQ AB PQ

PQ

PQ

PQ

PQ cm

primer 2.

Ako su oznake i podaci kao na priloženom crtežu, odrediti dužinu zajedničke stranice BC trouglova ABC i CBD.

A

B

C

D

6cm

3cm


4

Rešenje:

Kao i u prethodnom primeru, trouglovi ABC i BCD su slični po II stavu , jer imaju po dva odgovarajuća ugla jednaka. I ovde ćemo upotrebiti trik sa crticama...

A

B

C

D

6cm

3cm

Uočimo dalje da nam stranice sa po tri crtice ( najduže) ne trebaju, jer nijedna od njih nema datu dužinu. Moramo paziti jer je zajednička stranica BC istovremeno najkraća za trougao ABC i srednja po dužini za trougao BDC. Dakle:

2

: :

6 : : 3

6 3

18

18

9 2 3 2

AB BC BC BD

BC BC

BC BC

BC

BC

BC

primer 3.

Stranice trougla ABC su a = 12cm , b = 18cm, c = 8cm. Odrediti obim njemu sličnog trougla čija je najduža stranica 27cm.

Rešenje:

5

Ovde ćemo upotrebiti:

1 1 1 1: : : :a a b b c c O O k

Najpre se pitamo : koja je to stranica u sličnom trouglu data? Pa pošto je b najduža stranica u prvom trouglu , to je 1 27b cm .

Dalje računamo obim prvog trougla:

12 18 8

38

O a b c

O

O cm

Sada koristimo deo ove velike proporcije koji nam treba:

1 1

1

1

1

1

: :

18 : 27 38 :

18 27 38

27 38

1857

b b O O

O

O

O

O cm

primer 4.

Dva trougla su slična. Zbir dve odgovarajuće visine je 121cm a koeficijent sličnosti je 1,75. Odrediti visine. Rešenje: Recimo da se radi o visinama koje odgovaraju stranici a , odnosno 1a . Tada je:

1121a ah h

A pošto znamo koeficijent sličnosti, onda je

1: 1,75a ah h . Upakujmo sad ove dve jednakosti:

1 1

1

1 1

1

1

1

1

: 1,75 1,75

121

1,75 121

2,75 121

121

2,75

44

1,75 1,75 44 77

a a a a

a a

a a

a

a

a

a a a a

h h h h

h h

h h

h

h

h cm

h h h h cm


6

primer 5.

Osnovice jednakokrakog trapeza ABCD su 12cm i 8cm, a njegova visina 3cm. Ako se prave AD i BC seku u taćki E, odrediti dužinu visine EF trougla ABE.

Rešenje:

12cm

8cm

x

3cm

F

N

Uočimo slične trouglove ABE i DCE , koji kao i u prethodnim zadacima imaju jednake uglove. Uočimo visinu trougla ABE koja je očigledno EF = 3 + x i visinu trougla DCE koja je EN = x.

11: :

12 :8 (3 ) :

12 8(3 )

12 24 8

12 8 24

4 24

6

a aa a h h

x x

x x

x x

x x

x

x cm

Dakle, visina trougla EF = 3 + x = 3 + 6 = 9 cm


7

primer 6.

Marko je visok 1,5 m i stoji pored jarbola koji je ortogonalan na vodoravnom pločniku. U jednom trenutku, dužine senki Marka i jarbola su 0,5 m i 6 m. Odrediti visinu tog jarbola. Rešenje:

x

1,5m

0,5m6m

jarbol

Mare

Uočimo slične trouglove i postavimo proporciju:

:1,5 6 : 0,5

0,5 6 1,5

6 1,5

0,5

6 3 18

x

x

x

x x m

Naravno , sličnost se primenjuje i kod četvorouglova, petouglova... Evo par primera:

primer 7.

Stranice četvorougla odnose se kao 20:15:9:8 , a zbir dve manje stranice njemu sličnog četvorougla je 25,5cm. Odrediti stranice drugog četvorougla.


8

Rešenje:

1 1 1 1: : : 20 :15 : 9 :8 : : : 20 :15 : 9 :8a b c d a b c d

Iz proporcije vidimo da su najmanje stranice c i d, odnosno 1 1i c d .

Onda mora biti: 1 1 25,5c d

1 1 1 1

1

1

1

1

: : : 20 :15 : 9 :8

20

15

9

8

a b c d

a k

b k

c k

d k

Ovo zamenimo u :

1 1

25,5 25,5 9 8 25,5 17 25,5 1,5

17c d k k k k k

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

20 20 1,5 30

15 15 1,5 22,5

9 9 1,5 13,5

8 8 1,5 12

a k a a cm

b k b b cm

c k c c cm

d k d d cm

primer 8.

Stranice petougla su 35mm,14mm,28mm,21mm i 42mm. Najmanja stranica njemu sličnog petougla je 12mm. Odrediti dužine ostalih stranica ovog petougla. Rešenje:

35

14

28

21

42

a mm

b mm

c mm

d mm

e mm

U zadatku kaže najmanja stranica sličnog petougla je 12mm, jasno je da to mora biti 1 12b mm

Kako važi da je :

9

1 1 1 1 1

1

14 7

12 6

a b c d ek

a b c d e

bk k k

b

Našli smo koeficijent sličnosti, vraćamo se da nadjemo dužine ostalih stranica…

11

35 35a

a mm k aa

6

7

11

5 6 30

14 14

mm

bb mm k b

b

6

7

11

2 6 12

28 28

mm

cc mm k c

c

6

7

11

4 6 24

21 21

mm

dd mm k d

d

6

7

11

3 6 18

42 42

mm

ee mm k e

e

6

7 7 6 42mm

Documents

Slicnost trouglova