Сличност троуглова

У оквиру наставне теме сличност троуглова

изучаваћемо: Талесову теорему последице Талесове теореме примену Талесове теореме ставове сличности примену сличности на правоугли

троугао

Подсетимо се: aко један пар паралелних правих b и c сече други пар паралелних правих p и q у тачкама B, B1, C и C1 тако да је

онда је BC = B1C1 и BB1 = CC1.

Сада говоримо о односу дужи које образује један пар правих које се међусобно секу и које секу други пар паралелних правих.

Нека праве b и c, које се секу у тачки A, секу пар паралелних правих p и q у тачкама B, B1, C и C1 тако да је:

У оваквој ситуацији, дужи AB и AB1 са праве b су пропорционалне су дужима AC и AC1 са праве c. Такође, дужи BC и B1C1 на правама p и q пропорционалне су претходним паровима дужи.

Ово тврђење је познато каоТалесова теорема.

Талесова теорема:Ако две паралелне праве секу краке конвексног угла са теменом у тачки A, и то један крак у тачкама B и B1, а други крак у тачкама C и C1, онда је:

1111 CBBC

ACAC

ABAB

Ако паралелне праве на једном краку неког угла образују једнаке одсечке, онда су и одсечци на другом краку међусобно једнаки.

Талесову теорему можемо применити у конструктивним задацима.

На пример, ако су два пара дужи пропорционална, познавајући дужине три дужи лако одређујемо дужину четврте.Пример. Нека су дате дужи a, b и c. Конструишимо дуж x тако да је a : b = c : x.

Нацртајмо најпре произвољан угао са теменом у тачки O. На једном краку одредимо тачке A и B такве да је OA=a и OB=b, а на другом тачку C такву да је OC=c. Најзад, кроз тачку B конструишемо праву паралелну са AC. Ова права сече крак OC у тачки X и важи OX = x, при чему је a : b = c : x.

Ставови сличности троуглова

Ако два троугла имају једнаке углове, онда су ти троуглови слични, то јест онда су пропорционални парови одговарајућих страница.

Став СУС: Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и угао који захватају ове странице у првом троуглу једнак углу који захватају одговарајуће странице у другом, тада су ти троуглови слични.

kCAAC

BAАB

AА

1111

1

и

.

kCBBC

CCBB

11

1

1

Став СCС: Ако су све странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла, тада су ти троуглови слични.

111111 CB

BCCAAC

BAAB

и

.

АBC 111 CBА~

.

Применом сличности на правоугли троугао долазимо до важних закључака.Нека је дат правоугли троугао и нека су његови елементи обележени као на слици.

ΔABC ~ ΔACD, па јe . p

bha

bc

ADCA

CDBC

ACАB

ΔABC ~ ΔCBD, па јe . h

bqa

ac

DCCA

BDBC

CBАB

ΔACD ~ ΔCBD, па јe . h

pqh

ab

DCDA

BDCD

CBАC

Последице ових једнакости:

qca 2 pcb 2 pqh 2

, и .

Користећи претходне једнакости можемо још једном доказати Питагорину теорему:

,

.

222 cccpqcpcqcba

Чињеница да је квадрат висине над хипотенузом једнак производу одсечака које она гради на хипотенузи омогућава нам да једноставно конструишемо дуж чија је дужина

yxуколико су задате дужи чије су дужине x и y.

Сада можемо да дефинишемо појам геометријске средине два позитивна броја:  

Ако су x и y позитивни бројеви, број

је њихова геометријска средина.

yx

Презентацију је израдила Мирјана Митић,наставник математике

Хвала на пажњи!