Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

  • View
    166

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Vene Bogoslavov - homotetija i sličnost

Text of Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

  • 1007.*

    1008.*

    Odrediti realan broj m tako da razlomak X l - mx' - 3(3 - m) X - I .

    ___ :::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--- Ima konslantnll vrednosl (m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m za svako x.

    Ako je -.!. + -.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc

    b+c c +a a+b --+--+--=-3. abc

    abc a'+b ' + c ' --+--+--=------b + c a + c a + b abc

    2 :2 '2 . mnp.x Y Z d ' 1009.* Akoje -=-=-1-+ -+-, = I, ta aje

    x Y z a' b' c' m2 n2 p2 m2 + n2 + p2 . - , + - , + - , = , 2 ' Dokazatl. a' b' c' X + Y + z

    112

    VII G L A V A

    7. HOMOTETIJA J SLlCNOST

    7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

    Talesova teorerna. Neka su a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

    AB SA SB p ll q~ A'B' = SA' = SB" gde je k koefieijent proporeionalnosti. 1010. Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje su

    duzine m, 17 i p. lOll. Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc

    su m i 17 date dllzi. 1012. Na poillpravoj Ax dala je tacka B. Konslruisali na ovoj polupravoj

    C k . AB 5 tackll , ta 0 daje - =-. AC 8

    1013. Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova. 1014. Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina:

    , b' a e a - b,. d) a -

    a) a . b', b) - ' ) b' a+ b a

    lOIS. Ako su date duzi cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je duZina:

    1016.

    1017.

    1018.

    1019.

    ab a+b a+b a)-; b)--; e)--.

    c c a - c

    Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2. Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3.

    113

  • 1020. Neka je T teziste trougla ABC. Konstruisane su prave koje sadrie tacku T i patalelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tackal113 DiE. a) Odrediti odnose BD :BC i EC : BC; b) Dokazat, da su duzi BD, DE i EC jednake.

    1021. Na jednom kraku ugla MON , pocevsi od tell1ena. konstrui su se duzi OA, AB i BC, koje stoje u odnosu I : 2 : 3. Na drllgOll1 kraku konSlrui-sana je dui OA, = 5cll1.Vazi i BB, II AA , i CC, II AA ,. Odrediti duzinu odsecaka A, B, i B,C,.

    1022. Dat je trollgao ABC. Na pravoj BC dat je l1lspored tacaka 0 - B -- C - E tako da je BD = BC = CE o Neka je OF li B i EF IIC, a pre-sek pravih FA i BC je tacka M. Dokazati da je: a) MB :BD = = MC : CE; b) jednakost MB = MC; c) tacka A teZiste tTougla DEF.

    1023. Simetrala unutrasnjeg llgla trollgla ABC deli stranicu naspram le-mena iz kojeg polazi na dva odsecka koji su proporeionalni sa os-talim dvema stranieama trougla . Dokazati .

    1024. Simetrala spoljalinjeg ugla tTougla ABC deli stranieu naspram te-men a iz kojeg polazi na dva odsecka, koji Sll proporeionalni sa os-talim dvema stranieama. Dokazati.

    1025. U trouglu ABC konstruisanaje simetrala ugla A. Straniea AB = 8 cI11, AC= 14 em, a odsecak BD je za 3 em manji od odsecka DC(B- D-C). Izracunati stranieu BC.

    1026. U jednakokrakom trouglu krakje dodimom tackom upisane kruznice podeljen u razmeri 7: 5 (racunajuci od vrha) . Odrediti odnos kraka i osnoviee.

    1027. Straniee trougla ABC su a, b, c. Nekaje BD simetrala ugla B, 0 pre-sek simetrala uglova B i C. Odrediti odnos 00: OB.

    7.2. Homotctija Ako je 0 data tacka a k dati realan broj razlicit od nule. Preslikavanje u oznaci ho figureF na figuruF' pri kojem svakoj tacki M figureF pridruzuje tackll M' figure F' tako da je

    OM' =kOM, naziva se homotetija. Tacka 0 je eentat homotetije, k je koefieijent homo-tetije. Simbolicki:

    '*f. -ho(F) = F' ~ OM' = k OM.

    114

    1028. Konstruisati h01l10leticnu sliku za datu pravu (ugao_ trougao, kruzniea) ako Je data tatka centar hOll1otetije i ako jc:

    I I

    1029.

    1030.

    1031. 1032.

    1033.

    1034.

    1035.

    \036.

    1037.*

    1038.*

    1039.

    1040.

    a)k= 2'; b) k=- 2': e)k= 2; d)k=-2.

    Konstruisati h0l110teticnu sli ku datog cetvorougla ABCD ako Je:

    I ... k 3 a) A eentar 10l110tet'Je, =-; 2

    b) S eentar b0l110tetije i k = - I, gde je S srediste jedne straniee cetvorougla. Primenom homotetij e, datu duz AB podeliti na : a) tri odsecka, koj i su proporeionaln i datil11 odseccima III. n, p; b) pet jednakih delova. U dati ostrougli /:; ABC upisati jednakostranican tTougao MNP. Konstruisati kruinieu koja dodiruje krake datog ugla xSy i sadrii datu lackll A. H0l11010gne simetrale uglova dva homoteticna trougla paralelnc su Dokazali . Date su dYe kruzniee K(O) i K,(O , ), tako daje K n K, = {MI i dYe pravc p, q, tako da je pn 'I = {M) . Ako je K n pt A. MI. K,flp={M, B), Kflq={C,M} i K , nq={M.DI. lada JC AC II BD . Dokazati . Date su dYe kruznice. U jednu je upisan cetvorollgao. a u drugu treba upisati cetvorougao sli can prvom. U dati trougao upisati trougao cij e su stranice paralelne trima dalim neparalelnim pravama. Konstruisati trapez, ako se duZa osnoviea, jedan krak i visina odnose kao III : n : p i ako Sll dati ostar ugao izmedll duze osnOVlce , drugog kraka, kao i dijagonala koja sadrii teme datog ugla. Konstruisati jednakokraki trapez date visine ako se krak. razlika os-noyiea i dijagonala odnose kao Ill: n : p. Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala. ugao izmedu dijagonala i vis ina koja odgovara JednoJ stran,cl. ..

    . . I I k su dati odnos nJegovlh U dati trougao up,sat' para e ogral11 a 0 . . .. d I I . 'edna straDlea kOJa pnpa a straniea, ostar ugao jednak ug u troug a I J

    bilo kojoj straniei trougla.

    115

  • 1041. U dati krui:ni odsecak llpisati pravollgaon ik ako j e odnos dijagonale i jeclne straniee In : n, a duza strana pripada tetivi kruznog odsecka.

    1042. U dati konveksni kruzni isecak lIpisati : a) kruznieu; b) pravougaonik cije straniee stoj e u odnosu III : 11; c) kvadral.

    1043.* Date su tacke A i B i prava p kojoj ne pripadaj u date tacke. Konstru i sati krufuieu koja sadrZi date tacke i dod iruj e da tu pravu .

    1044.* Data je tacka A i prave p i I. Konstruisati kruznieu koja sadrZi tacku A i dodiruj e pravu p, a eentar joj pripada pravoj I.

    7.3. Slicnost trouglova

    Stavovi 0 slicnosti trouglova. Uocimo trouglove /';. ABC i /';. A'B 'C'.

    1. Ako je oa primer L A = L A' /I LB = L B ' tada j e /';. ABC - /';. A'B 'C'.

    20 Ak " AB AC o je oa pnmer LA = L A' /I -- = -- tadaj'e /';. ABC - /';. A'B'C'. A'B' A'B '

    30 Ak' . AB AC BC o jeoa pnOler-- = --=-- tada je/';.ABC - /';.A 'B'C' A'B' A'C' B 'C' .

    40 Ak' . AB BC ojena pnmer-- = - - /I LA = L A ' a uglovi C iC' su iIi oba ostra A'B ' B'C ' '

    iIi oba tupa, tada je /';. ABC - /';. A'B'C'. 1045. Tacka D pripada straniei AB trougla ABC, duz DK paraleloa j e stra-

    niei AC, tacka K E BC. Odrediti duziou duzi BK ako je AD : DB = 5 : 6 i BC = 22.

    1046. Ako su dva trougla slicoa, onda su ojihove medij ane proporeionalne odgovarajucirn straoiearna. Dokazati.

    1047. Visine u j eclnom trouglu su obmuto proporeiooalne odgovarajucim slraoiearna. Dokazati.

    1048. Proizvod bilo koje dye straniee trougla jednak je proizvodu visine kOja odgovara trecoj straoiei i precoika opisane kruzoiee oko trougla. Dokazati .

    1049. Odsecak koji spaja podnozja bilo koje dye visine datog trougla od-seea od njega trougao slican datom trouglu . Dokazati.

    116

    1050. Data su dva trougla /';. ABC i /';. A' B' C' Ako su od ' .. . . h' . ., b' . . , . govarajuee VIStne h I ,straillee a I a, 0 1011 S IS povrsine PiP' dokaza . . I'k ..

    , . , II Imp I aelje: a) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = !!....

    h' " a

    b) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = :!... S' d'

    c)/';. ABC- /';. A' B'C' =>.!-.-= a'. pi d 2

    1051. Datje tToligao ABC straniea AB = 20cm,BC = 12em I CA = 16em Duz MN paralelna je straniei AB, gde M E BC, N E Ae. Odrediti dllz lvfN ako je elvl = 3 em.

    1052. Odgovarajuce straniee dva sljcna trougla su 15 em i 6 em visina koj aodgovara vecoj strani ei je 8 em. 1zracunati visinu koja odgovara manjoj stramel.

    1053. Straniea trougla AB = 8 em, a visina koja joj odgovara iznosi 6 em: na kom rastojanj ll od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em?

    1054. Dat je jednakokrak i trougao osnoviee 3 dm i kraka 6 dm. Odsecak prave, paralelne osnoviei izOledu krakova, jednak je odsecku kraka koji je blizi osnoviei. Odrediti odsecak prave izrnedll krakova.

    lOSS. U trouglu ABC Sll strani ee AB = 15em i AC = IOem. Konstruisana j e simetrala AD ugla A, D E Be. Dliz DE II AB, E E Ae. Odrediti duzi AE, EC i DE .

    1056. Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, a najmanja straniea njemu slicnog trougla iznosi 13 em. Odrediti ostale straniee drugog trougla.

    1057. Straniee trougla su 27,2 1 i 18. Odrediti straniee njemu slicnog trougla ako je koefieij ent slicnosti 5 : 3 i konsrruisati ovaj trougao.

    1058. Straniee trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a Ilajveca straniea sli cnog trougla iznos i 3,6 dm. Odrediti obim drugog trollgla.

    1059. U trouglovima ABC i PQR L A = L Q, L C = L P, AB = 16 em. AC = 20 em , QR = 12 em i PQ je veca od BC za 13 em. Odredi ti 0 -tale straniee oba trougla.

    1060. Dva trougla su sliena. Zbir dye odgovarajuce visine je 121 cm. a koeficij ent slicnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.

    1061. U trouglu ABC dato je AC=30 em, BC=26 em i visina CH=24em. Odrediti poluprecnik opisane krufu iee.