8
1007.* 1008.* Odrediti realan broj m tako da raz lomak Xl - mx ' - 3(3 - m) X - I . ___ Ima kon slantnll vredn os l (m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m za svako x. Ako je -.!. + -.!. + = 0, dokazati da je (1007-1008) : abc b+c c +a a+b --+--+--=-3. abc abc a'+b '+c ' --+--+--=----- - b + c a + c a + b abc 2 :2 '2 . mnp.x Y Z d ' 1009.* Akoje -=-=-1-+ -+- , = I, ta aje x Y z a' b' c' m2 n2 p2 m2 + n2 + p2 . - , + - , + - , =, 2 ' • Dokazatl. a' b' c' X + Y + 112 VII G L A V A 7. H OMOT ETIJ A J SLlCNOST 7.1. Proporcionalnost velicina. Ta lesova teoTerna Talesova teorerna. Neka su a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tacka rn a A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc ' AB SA SB A'B' = SA' = SB" gde je k koefieijent proporeionalnosti. 1010. Datu duz AB podeliti na Iri dela proporeiona ln a duzima clj e su duzine m, 17 i p. lOll. Konstrui sa ti tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi. 1012. Na poillpravoj Ax dala je tacka B. Konslruisali na ovoj polupravoj C k . AB 5 tackll , ta 0 daje - =-. AC 8 1013. Datu dlli AB pod eliti na 5 jednakih delova. 1014. Ako S ll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiin a: , b' a e a - b ,. d) a - a) a . b', b) - ' ) b' a+ b a lOIS. Ako su date duzi cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je duZina: 1016. 1017. 1018. 1019. a·b a+b a+b a)-; b)--; e)--. c c a- c Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2: 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5: 2. Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drug orn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3. 113

Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Vene Bogoslavov - homotetija i sličnost

Citation preview

Page 1: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1007.*

1008.*

Odrediti realan broj m tako da razlomak

X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___ :::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--- Ima konslantnll vrednosl (m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m

za svako x.

Ako je -.!. + -.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc

b+c c +a a+b --+--+--=-3. abc

abc a'+b ' + c ' --+--+--=------b + c a + c a + b abc

2 :2 '2 . mnp.x Y Z d '

1009.* Akoje -=-=-1-+ -+-, = I, ta aje x Y z a' b' c'

m2 n2 p2 m2 + n2 + p2 . - , + - , + - , = , 2 ' • Dokazatl. a' b' c' X + Y + z·

112

VII G L A V A

7. HOMOTETIJA J SLlCNOST

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

Talesova teorerna. Neka su a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

AB SA SB p ll q~ A'B' = SA' = SB"

gde je k koefieijent proporeionalnosti.

1010. Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje su duzine m, 17 i p.

lOll. Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.

1012. Na poillpravoj Ax dala je tacka B. Konslruisali na ovoj polupravoj

C k . AB 5

tackll , ta 0 daje - =-. AC 8

1013. Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014. Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina: , b'

a e a - b,. d) a -a) a . b', b) - ' ) b' a+ b a

lOIS. Ako su date duzi cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je

duZina:

1016.

1017.

1018.

1019.

a·b a+b a+b a)-; b)--; e)--.

c c a - c

Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2.

Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose

AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3.

113

Page 2: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1020. Neka je T teziste trougla ABC. Konstruisane su prave koje sadrie tacku T i patalelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tackal113 DiE. a) Odrediti odnose BD :BC i EC : BC; b) Dokazat, da su duzi BD, DE i EC jednake.

1021. Na jednom kraku ugla MON , pocevsi od tell1ena. konstrui su se duzi OA, AB i BC, koje stoje u odnosu I : 2 : 3. Na drllgOll1 kraku konSlrui­sana je dui OA, = 5cll1.Vazi i BB, II AA , i CC, II AA ,. Odrediti duzinu odsecaka A, B, i B,C,.

1022. Dat je trollgao ABC. Na pravoj BC dat je l1lspored tacaka 0 - B -- C - E tako da je BD = BC = CE o Neka je OF li B i EF IIC, a pre­sek pravih FA i BC je tacka M. Dokazati da je: a) MB :BD = = MC : CE; b) jednakost MB = MC; c) tacka A teZiste tTougla DEF.

1023. Simetrala unutrasnjeg llgla trollgla ABC deli stranicu naspram le­mena iz kojeg polazi na dva odsecka koji su proporeionalni sa os­talim dvema stranieama trougla . Dokazati .

1024. Simetrala spoljalinjeg ugla tTougla ABC deli stranieu naspram te­men a iz kojeg polazi na dva odsecka, koji Sll proporeionalni sa os­talim dvema stranieama. Dokazati.

1025. U trouglu ABC konstruisanaje simetrala ugla A. Straniea AB = 8 cI11, AC= 14 em, a odsecak BD je za 3 em manji od odsecka DC(B- D-C). Izracunati stranieu BC.

1026. U jednakokrakom trouglu krakje dodimom tackom upisane kruznice podeljen u razmeri 7: 5 (racunajuci od vrha) . Odrediti odnos kraka i osnoviee.

1027. Straniee trougla ABC su a, b, c. Nekaje BD simetrala ugla B, 0 pre­sek simetrala uglova B i C. Odrediti odnos 00: OB.

7.2. Homotctija

Ako je 0 data tacka a k dati realan broj razlicit od nule. Preslikavanje u oznaci ho figureF na figuruF' pri kojem svakoj tacki M figureF pridruzuje tackll M' figure F' tako da je

OM' =kOM, naziva se homotetija. Tacka 0 je eentat homotetije, k je koefieijent homo­tetije. Simbolicki:

'*f. -ho(F) = F' ~ OM' = k OM.

114

1028. Konstruisati h01l10leticnu sliku za datu pravu (ugao_ trougao, kruzniea) ako Je data tatka ° centar hOll1otetije i ako jc:

I I

1029.

1030.

1031.

1032.

1033.

1034.

1035.

\036.

1037.*

1038.*

1039.

1040.

a)k= 2'; b) k=- 2': e)k= 2; d)k=-2.

Konstruisati h0l110teticnu sli ku datog cetvorougla ABCD ako Je:

I ... k 3 a) A eentar 10l110tet'Je, =-; 2

b) S eentar b0l110tetije i k = - I, gde je S srediste jedne straniee cetvorougla.

Primenom homotetij e, datu duz AB podeliti na : a) tri odsecka, koj i su proporeionaln i datil11 odseccima III. n, p; b) pet jednakih delova.

U dati ostrougli /:; ABC upisati jednakostranican tTougao MNP.

Konstruisati kruinieu koja dodiruje krake datog ugla xSy i sadrii datu lackll A.

H0l11010gne simetrale uglova dva homoteticna trougla paralelnc su Dokazali .

Date su dYe kruzniee K(O) i K,(O , ), tako daje K n K, = {MI i dYe pravc p, q, tako da je pn 'I = {M) . Ako je K n pt A. MI. K,flp={M, B), Kflq={C,M} i K , nq={M.DI. lada JC AC II BD . Dokazati .

Date su dYe kruznice. U jednu je upisan cetvorollgao. a u drugu treba upisati cetvorougao sli can prvom.

U dati trougao upisati trougao cij e su stranice paralelne trima dalim neparalelnim pravama.

Konstruisati trapez, ako se duZa osnoviea, jedan krak i visina odnose kao III : n : p i ako Sll dati ostar ugao izmedll duze osnOVlce , drugog kraka, kao i dijagonala koja sadrii teme datog ugla.

Konstruisati jednakokraki trapez date visine ako se krak. razlika os­noyiea i dijagonala odnose kao Ill: n : p.

Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala. ugao izmedu dijagonala i vis ina koja odgovara JednoJ stran,cl. ..

. . I I k su dati odnos nJegovlh U dati trougao up,sat' para e ogral11 a 0 . . .. d I I . 'edna straDlea kOJa pnpa a straniea, ostar ugao jednak ug u troug a I J

bilo kojoj straniei trougla.

115

Page 3: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1041. U dati krui:ni odsecak llpisati pravollgaon ik ako j e odnos dijagonale i jeclne straniee In : n, a duza strana pripada tetivi kruznog odsecka.

1042. U dati konveksni kruzni isecak lIpisati : a) kruznieu; b) pravougaonik cije straniee stoj e u odnosu III : 11; c) kvadral.

1043.* Date su tacke A i B i prava p kojoj ne pripadaj u date tacke. Konstru i· sati krufuieu koja sadrZi date tacke i dod iruj e da tu pravu .

1044.* Data je tacka A i prave p i I. Konstruisati kruznieu koja sadrZi tacku A i dodiruj e pravu p, a eentar joj pripada pravoj I.

7.3. Slicnost trouglova

Stavovi 0 slicnosti trouglova. Uocimo trouglove /';. ABC i /';. A'B 'C'.

1°. Ako je oa primer L A = L A' /I LB = L B ' tada j e /';. ABC - /';. A'B 'C'.

20 Ak " AB AC · o je oa pnmer LA = L A' /I -- = -- tadaj'e /';. ABC - /';. A'B'C'. A'B' A'B '

30 Ak' . AB AC BC · o jeoa pnOler-- = --=-- tada j·e/';.ABC - /';.A 'B'C'

A'B' A'C' B 'C' .

40 Ak' . AB BC · ojena pnmer-- = - - /I LA = L A ' a uglovi C iC' su iIi oba ostra A'B ' B'C ' '

iIi oba tupa, tada je /';. ABC - /';. A'B'C'.

1045. Tacka D pripada straniei AB trougla ABC, duz DK paraleloa j e stra­niei AC, tacka K E BC. Odrediti duziou duzi BK ako je AD : DB = 5 : 6 i BC = 22.

1046. Ako su dva trougla slicoa, onda su ojihove medij ane proporeionalne odgovarajucirn straoiearna. Dokazati.

1047. Visine u j eclnom trouglu su obmuto proporeiooalne odgovarajucim slraoiearna. Dokazati.

1048. Proizvod bilo koje dye straniee trougla jednak je proizvodu visine kOja odgovara trecoj straoiei i precoika opisane kruzoiee oko trougla. Dokazati .

1049. Odsecak koji spaja podnozja bilo koje dye visine datog trougla od­seea od njega trougao slican datom trouglu . Dokazati.

116

1050. Data su dva trougla /';. ABC i /';. A' B' C' Ako su od ' .. . . h' . ., b' . . , . govarajuee VIStne h I ,straillee a I a, 0 1011 S IS povrsine PiP' dokaza . . I'k .. , . , II Imp I aelje:

a) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = !!.... h' " a

b) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = :!... S' d'

c)/';. ABC- /';. A' B'C' =>.!-.-= a'. pi d 2

1051. Datje tToligao ABC straniea AB = 20cm,BC = 12em I CA = 16em Duz MN paralelna je straniei AB, gde M E BC, N E Ae. Odrediti dllz lvfN ako je elvl = 3 em.

1052. Odgovarajuce straniee dva sljcna trougla su 15 em i 6 em visina koj aodgovara vecoj strani ei je 8 em. 1zracunati visinu koja odgovara manjoj stramel.

1053. Straniea trougla AB = 8 em, a visina koja joj odgovara iznosi 6 em: na kom rastojanj ll od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em?

1054. Dat je jednakokrak i trougao osnoviee 3 dm i kraka 6 dm. Odsecak prave, paralelne osnoviei izOledu krakova, jednak je odsecku kraka koji je blizi osnoviei. Odrediti odsecak prave izrnedll krakova.

lOSS. U trouglu ABC Sll strani ee AB = 15em i AC = IOem. Konstruisana j e simetrala AD ugla A, D E Be. Dliz DE II AB, E E Ae. Odrediti duzi AE, EC i DE .

1056. Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, a najmanja straniea njemu slicnog trougla iznosi 13 em. Odrediti ostale straniee drugog trougla.

1057. Straniee trougla su 27,2 1 i 18. Odrediti straniee njemu slicnog trougla ako je koefieij ent slicnosti 5 : 3 i konsrruisati ovaj trougao.

1058. Straniee trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a Ilajveca straniea sli cnog trougla iznos i 3,6 dm. Odrediti obim drugog trollgla.

1059. U trouglovima ABC i PQR L A = L Q, L C = L P, AB = 16 em. AC = 20 em , QR = 12 em i PQ je veca od BC za 13 em. Odredi ti 0 -

tale straniee oba trougla.

1060. Dva trougla su sliena. Zbir dye odgovarajuce visine je 121 cm. a koeficij ent slicnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.

1061. U trouglu ABC dato je AC=30 em, BC=26 em i visina CH=24em. Odrediti poluprecnik opisane krufu iee.

1\7

Page 4: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1062. U kruznici poluprecnika 32,5 em upisan je lrollgao ABC Slrane AC = 60 cm i BC = 52 cm. Odrediti visinu CH trollgl a.

1063.* Vis ina CD jednakokrakog trougla ABC sa vrhom C secc opisanu kruznicu u tacki E. Dokazati sli cnost trollglova DBC i BCE i taenost jednakosti BC 2 = CD . CE .

1064. Krak jednakokrakog trougla je 12 cm, a visina koja odgovara osno­vici je 8 cm. Odrediti polupreenik opisanc kruzniee.

1065_* Tackom K na precniku AB kruzniee konstrllisana je prava I , nor­malna na ovaj precnik . Proizvoljna tack a M krllznicc spojcna JC sa tackama A i B. Prave MA i MB sekll pravll I 1I odgovarajllcim tackama C i D. a) Dokazati jednakost KC . KD = AK . KB ; b) Tacka E simetricna je tacki B 1I odnosli na K. Dokazat i da je t!.KA C -t!.KDE.

1066.* U t!. ABC za lIglove a , f3 i straniee a, b i c vazi impli kaeija f3 = 2 a ~ b' = a(a + c). Dokazati .

1067. Stranice paralelograma su a i b, a veca visina jednaka je manjoj stranici. Odrediti drugu visinu.

1068_ Straniee paralelograma su 16 em i 12 em, a zbir njegovih vis ina je 24,5 cm. Izracunati visine.

1069. Visine paralelograma su 4 em i 6 em, a obim 30 cm. Izracunati stranice paralelograma.

1070.

I '

Prava p sadrii jedno teme romba i na produZeeima drugih dvejll straniea odseea odsecke. Dokazati da je straniea romba geometrij ska sredina ovih odsecaka.

107y* U trapezu ABCD L BCA = L CDA; dokazati da je dijagonala AC geometrijska sredina osnovica trapeza.

1072_ Dijagonale trapeza presecnom tackom podeljene Sll u odnosu m : n, a srednja linija trapeza je s. 1zracunati osnovice trapeza.

1073_ Osnoviee trapeza 5U a i b, a visina h. Odrediti rastojanj e presecne tacke dijagonala do vece osnoviee.

1074. Osnovice trapeza su a i b, a krak c. lzracunati pomocli njih duzinu x, za koju treba produziti krak c do preseka sa drugim krakom.

1075. Na geografskoj karti rastojanja izmedu tIi mesta su 6 cm, 5 em, i 4,5 em.

118

Najvece od ovih rastojanja u prirodi iznosi 15 km. Odrediti najmal~e rastojanje u prirodi i razmeru karte.

1076. Utvrdit i kada Sli sli cna: a) dva kvadrata: b) dva romba: e) dva pravougaoni ka: d) dva paralelograma; e) dva trapcza.

1077. Straniee petoug la su: 3,5 em; 1,4 em; 2.8 em; 2, I em i 4.2 em NaJmanJa stramea nJ emu siIcnog petougla Je 1,2 em; izratllnali os­tale stranlee ovog pelOugla.

107S. Najveca straniea petougla iznos i 14 em. a ob im 46 em. Izracunall obim njemu slicnog petougla, ako je njegova najveca maniea 21 em.

1079. Dve odgovarajllce straniee slicnih mnogouglova 17.110Se 35 em i 14 cm a razlika njihovih obima je 60 em. Izracunat i njihovc obi me. '

10SO. U jednakokrakom trouglu osnovice 12 em i kraka 18 cm upisana je kntzniea i konstruisana je tangenta paralelna osnoviei . IzraClInalI duzinu odsecka tangente izmedu krakova trougla.

lOSt. StTaniee trougla odnose se kao 2 : 3 : 4. a obim njemll slicnog trougl" iZllosi 83,7 elll . Izraellnati straniee drugog Irougla.

IOS2. Straniee cetvorougla odnose se kao 20 : 15 : 9 . 8, a zbir dYe mllllje straniee njelllu slicnog eetvorougla je 25.5 em. Odredlti stramcc drugog cervorougla.

IOS3. KOl1strui sati t!. ABC akoje dalO:L II = a. L B = f3 i visinaCC I = h .

1084. Konstruisati jednakostranican trougao date visine h.

108S. Konstruisati trougao sliean dalOm ako mu je data tezisna duz.

IOS6. Konstruisati trougao sliean datom ali dva puta vecih slraniea.

1087.* Konstruisati trougao ako su data dva ugla i tezisna duz kOja odgovara straniei na kOJoj Sll nalegli dall uglovi.

108S.* KOl1stntisati trougao ako su dati jedna stranlea. jedan ugao na njOj I razmera dye druge straoiee.

1089.· Poluprecniei dveju kntzniea su R i r, a njihovo eemralno :astojanjc d (d > R + r ). lzraclInati rastojanje presccnc tacke zajedI1lck Ih unu­trasnjih tangenata od srcdi ~ta datih krumiea.

1090 .• PIimenom slicnosti trouglova dokazati da teziste delI "aku tei!. nl! duz u odnosu 2 : I.

109\.· Dokazati da je konstaman proizvod odsecaka kOJe ortoeentar Irougla gradi na istoj vi ini.

119

Page 5: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1092.* Neka je E srediste straniee AB kvadrata ABCD. OW'editi u kojoj ra· zmeri duz DE deli dijagonalu AC.

1093.* Na osnoviei AB jednakokrakog trougla ABC data je tacka M, tako da je AM = k. Odrediti rastojanje tacke M od krakova ~ ABC u funkeiji a, b, k, gde je AB = a i AC = BC = b.

1094. U jednakokrakog trougla cija je osnoviea a i krak b, ugao na osnovici

72°. Dokazati da je b = ~a (a + b) .

1095. Data je kruznica k i tacka M van nje. Iz tacke M konstruisana je tan· genta ( i seciea s, tako da je s n k = {A, B} a Ink = {T} . Ako je MA = 4 em i ME = 9 em, izracunati MT.

1096. U jednakokrakom trouglu eentar upisane kruzniee deli visinu koja odgovara osnoviei u razmeri 12:5, krakje 60 em. Izracunati osno· vieu.

1097. Datje jednakokraki trougao ABC sa vrhom B, osnoviee b i krakoma. Ako su AN i CM simetrale uglova A i C, odrediti duz MN.

1098. U trouglu ABC prava CD je simetrala ugJa C, tacka E pripada stra· niei BC, B-E -G,DEIIAC, B -D - A. Ako jeBC =a, AC=b, izracunati DE.

1099. TaokaF E AD straniei paralelograma ABCD, A - D - F. BF sece di· jagonaJu AC u E i stranieuDC u G. Ako jeEF = 32 em, i GF =24 em, izracunati BE.

7.4. Primena slicnosti kod pravouglog trougla

Ako je trougao ABC pravougli L C = 90°, a i b katete, c hipotenuza, h hipo· tenuzina visina CC ', p i q duZine odsecaka Be'i AC' na hipotenuzi, tada vaZi: a' = pc, b' = cq, h' = pq, a' + b' = c'.

1100. Ako je ~ ABC pravougli trougao sa pravim uglom C, C/, b, c redom duZine straniea BC, CA, AB, h duZina vi sine CG', p i q i duzine odsecaka BG' i AG' na hipotenuzi, tada vazi: (1) t1 ACC' - t1 ABC, t1 CBC' - ~ ABC i 6. ACG' - t1 BCG' (2) a' = pc, b' = cq, h' = pq. Dokazati.

1101. Za svaki pravougli trougao vazi a ' + b' = c', gde su a i b duzine kateta, c duZina hipotenuze. Dokazati.

1102. Ako su a i b duzine kateta, h duzina visine, koja odgovara hipotenuzi,

d· I I 1

0k,

ta aJe-=-+-. 0 azaU. h' a' b'

120

1103. Kruzniee (0, R) i (0" r) su spoljaiinje sa zajednickom tatkom T. Konstruisana je spoljasnja zajednicka tangenta AB. Dokazau:

1° da je duzina I tangente AB geometrijska srcdina pre nika kruZniee: 2° da se duz AB vidi iz tacke T pod pravim uglom;

3° daje 00 , tangent a kruzniee precnika AB.

1104. U pravouglom trouglu katete su a i b, njihove projckcije na hipote. nuzi c su p i q hipotenuzi na visina h. Odrediti ostala cetiri elementa ako su data dva:

a)b= 156em,q= 144 cm;

b) p= 225em, q= 64em;

e)a= 136cm, h= 120cm;

d)a = 130 em. b= 312em;

e) p = 16 el11 , q = 9 em.

1105. Katete pravouglog trougla su 12 em i 35 em. Odrediti medijanu kOJa odgovara hipotenuzi.

1106. Oat je jednakokraki trougao osnoviee 36 dm i kraka 30 dm. Odredlli visinu koja odgovara osnoviei.

1107. U jednakokrakom tfOlIglu vis ina deli krak na odsecke duZine 7 em I

2 em, racunajuci od vrha. Odrediti osnovieu trougla.

1108. Obim romba iznosi 100 mm, jedna dijagonala 30 mrn. Izracunati drugu dijagonalll romba.

1109. Osnoviee jednakokrakog trapeza su 21 em i II em, a visina je 12 em. Odred iti krak.

1110. Dve kruznice, poluprecnika 15 em i 20 em. seku se .I.zracunou njihovu centralnu razdaljinu ako je duzina njihove Z3Jcdmcke tcll\e 24 em.

1111. Precnik kruzniee upisane u jednakokrakom trapezll je gcometriJska sredina osnovica rrapcza. Dokazati.

1112. U jednakokrakom lrapezu osnoviea 16 em i 9 em upisnna JC kruiniea. [zracunali poluprecnik kruzniee.

1113. U svakom pravouglom trouglu zbir b teta jednak Je zbiru hlpolenuze i precnika upisane kruinice. Dokazall.

1114. Srednja linija jednakokrakog trapeza iznosi 4 dm. a visina 3 dm Izracunati dij agonalll trapeza.

121

Page 6: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1115. U pravouglom trapezu razlika kvadrata dijagona la jednaka je razlici Intadrata osnovica. Dokazat i.

1116. Konstruisati geometrijsku sredinu za dye date duzi a i b.

1117. Date su dYe duzi cij e su duzine a i b. Konstruisati duz duzine:

a)x = ~a' + b';

b) y =~a2 -b ' .

11IS. Konstruisati odsecak duzine x ako je x = a.Jk , gde je a duzina date duzi, a k pozitivan broj .

11l9.* Konstruisati odsecak x ako je x = ~ab + cd, gde Sll a, b, c, die date duzi. e

1120. Konstruisati duz cije su duzine redom fi , .fIi, 117 u odnosu na datu jedinicnu duz,

llit. Konstruisati duz cije Sll duzine redom:

a) x= ~4a 2 + b';

b) x =~9a 2 - 4b'; I I I

c)-=-+-; x2

02 b2

I I I d)-=---'

xl a 2 h2 '

e)x' =a' +ab;

f) X' = b' - ab;

gde Sll a i b (a < b) dui.ine datih duzi.

1I22. Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data kvadrata; b) razlici dva data kvadrata.

1I23.* Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data pravougaonika; b) razlici dva data pravougaolllka.

1124.* Odrediti stranicu pravilnog: a) osmougla i b) dvanaestougla u funkciji poluprecnika R opisane kruznice.

1125.* Konstruisati kvadrat jednak razlici dva data jednakostranicna trougla.

122

1126.-

1127.

112S.*

1129.

1130.-

Konstrllisati kvadrat jednak zbiru dva data rornba.

Ako su stranice trougla AS.C : a = 2pq, b = p ' - q', c = p ' + 1/ ' . gde su p I,q (p > q) rna kOJI celt brojevi , lada je !Tougao ABC pra. vougl !. DOKazat!. (TakvI trouglovl se nazlvaJu Pitagorini.)

~o S,lI a i b katete, a c hipotenllza pravouglog trollgla, tada je I,; + Ii. = 51; , gde su la ' I. I Ie teziSne duzi trougla. Dokll7.ati .

A~o su ;1 i b ?sno\ice, c i d kraci, a d, i d, dijagonale trapeza. tada JC d,- + di = c· + d' + 2ab. Dokazat!.

Prilllenolll Pitagorine teorellle i slicnosti trouglova dokazati da JC povrsina trollgla P:

I abc a)P=vs(s-a)(s-bj(s - c), b)P='4R' cJP=s·r.

gde Sll a, b i c stranice, s poluobim, i P povrsina lrougla. a R I r poillprecnici opisane i lIpisane kruznice trougla.

1131. Ako Sll a, b i c srranice trollg la ABC i ugao ri < 90°. lada je a' = b' + c' - 2cb, (Kamoov obrazac), gde je b, ortogonalna projekcija stranicc AC na stranicu AB. Dokazau.

1132.* Ako su a, b i c stranice trougla ABC i ugao A > 90°, onda JC a' = b ' + c' + 2cb" gde je h, ortogonalna projekciJa stranice riC na AB. Ookazati .

1133. Secice AB i CD krui nice k(O ,R ) seku se u tacki P. Tacke A, B. C, D pripadaju krui.nici k. Proizvod odsecaka PA i PB. odnosno PC ! PD. konstantan je. Ookazati.

1134. Ako se tetive AB i CD kruznice k(O,R) seku u tacki P, tada JC PA . PB = PC , PD. Dokazati .

1135. Ako se tetive AB i CD knlznice k(O,R) seku u tacki P. tada JC PA ' PB =PC · PD. Dokazati .

1136. Secica AB kruznice k(O. R) i tangenta ( konstruisana u taNI .111 krllznice k seku se u tacki P. Dokazati da je PM' = PA . PB.

1137.* Datu dui AB = a tackom M podeliti po zlamorn presekll (:;.:crio aweaJ.

Primcdba. _ Ako je neka dllz podeljena na dva nejednaka dela tako da je \ ~c. dec geometrij ska sredina cele duii i manjeg dela. kaie se da Je la duz podelj ena po zlatnom preseku.

113S. Iz spoljaSnje taake P kruznice k( 0, R) konstruisane su m?gcnma dll.l x i secica s, koja sa kruinicom k ob~7.uje odsecke kOjl tOJ~ u ra· zmeri 11/ : n. Ako je duZin8 telive nB setle! Q, odrcdltltangenmu dUL T

Page 7: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

1139. lz spolj asnje tacke P kruzlliee k(O , R) konstruisana je seciea s cij a je spolja~nja dliZina a. Tangentna duz konstruisana iz iste tacke je duzine 2a. [zracunati duzinu tetive x koja pripada seciei s.

1140. Straniee tTougla ABC su: BC = 15 em, lie = 13 em i AB = 4 em. Odrediti oblik trougla i izracunati visinu koja odgovara straniei AB.

1141:* Dve dijagonale pravilnog petougla sekll se u tacki M . Dokazati da su obe dijagonale tackom M podeljene po zlatnom preseku.

1142.* Dal je pravougaon ik ABCD, gde je AB = 2AD. Lz temena A kon­struisana je noml ala na dijagonalu BD, koja sece str~ nieu CD u

I tacki E. Tada j e duz DE = - DC. Dokazati .

4

11 43.* Dat je paralelogram ABCD. Prava p sadrii terne C i sece dijagonalu BD u tacki F, a stranieu AD u tacki E, tako da je BF = 4DE. Doka­zati da je AE = 3DE.

1144. Date su dYe kruZnice k(O, r) i k, (0,,1',), koje se seku u tackama A i B. Tangentne duz i konstruisane iz ma koje tacke P prave AB na krumice k i k, jednake suo Dokazati .

1145. Ako je u jednakokrakom trouglu osnoviea jednaka visini koja joj odgovara, ~. a = lIa = 8 em. Izracunati poluprecnik opisane kntmiee.

1146. U trougao date straniee 30 em i odgovarajuce visine 10 em, upisan je jednakokrako pravougli trougao. tako da je hipotenuza paralelna da­toj straniei, a teme pravog ugla pripada datoj straniei . Iz racunati hi­potenuzu.

1147.* Dat je pravougaonik ABCD. Iz jednog temena konslruisana je nor­mala na jednu dijagonalu, koja deli pray lIgao u razmeri 3 : I. Izracunati ugao izmedu ove norma Ie i druge dijagonale.

1148. U jednakokraki trougao osnoviee 18 em i kraka 27 em upisana je kruinica. Izracunati rastojanje dodimih tacaka na kraeima.

1149. U kruznieu poluprecnika r upisan je jedna\(okraki trougao, kod koga je zbir osnoviee i visine jednak precniku kruzniee. Izracunati visinu.

1150. U trougao os novice 12 em i odgovarajuce visine 9 em upisan je po­lukrug. Precnik polukruga paralelan je datoj straniei, krajnje tacke precnika pripadaju drugim dvema stranieama trougla. Polukrug do­diruje datu stranicu. Odrediti poluprecnik polukruga.

1151. Poluprecnik kruznog isecka je r, a njegova najveca tetiva a, Izracunati poluprecnik kruzniee upisane u kruzni isecak.

1152.

1153.

J 154.*

1155.*

1156.*

1157.

Iz ma koje tacke van kruzniee konstruisane su t"nge t . X' • . u n a I se~lea na kruznleu, tako da medusobno obrawju pray ugao. Tangenlna duz je 12 dm, a tetlva Je 10 dm. izracllnatl poluprecni k kruzniee .

Poluprecnik kruzniee je 8 dm, teti va AB J'e 12 dm U tae'k' I k '" . I I on-strUlsan~ Je ta.ngenta IZ tacke B tetiva BC paralelna sa tangentom. Odredltl raslOJanJe tangente i tetive BC.

Teti ve AB i Ae kruga k su jednake, a tetiva AD sece BC 1I tacki E. Ako Je AC ~ 12 I AE = 8, izracunati AD. (prij emni ispit IZ male­matlke za UPIS na Beogradski univerzitel, juna 1992),

Ako je u trouglu ABC lIgao kod temena A dvapul veci ad lIgla kod temena B, a srramea AC = 2, AB = 3, izracunari stranicu Be. (prijernni ispit iz matcmatike za upis na Beogradski uni verzilet, sep­tembra 199 1, god.).

U kruznom isecku poluprecnika R. upi sana je kruznica poluprecnika

T · , ' k ' 2 D k . d . 1 I I r. etlva tsec a Je a. 0 azall a Je - = - + - , r R a

U trouglu osnoviee a i vis ine II upi san j e pravougaonik obima 2s. cija dva temena pripadaju osnoviei rrougla, a dntga dva srran icama trougla. [zracunati straniee pravougaonika u funkeiji od a, h is.

1158. U trouglu straniea a = 13 em. b = 15 em i c = 14 em upisan je kvad­rat, tako da mu dva temena pripadaju osnoviei c a preosta la dva stranieama a i b. lzracunati srranieu kvadrata.

1159. U trouglu straniea a = 30 em, b = 26 em i c = 28 em upisan je pra­vougaonik obima 50 em, tako da mu dva temena pripadaju 0 noviei c, a druga dva stranieama a i b. Izracunati stranice pravougaonika.

124 125

Page 8: Vene Bogoslavov - Homotetija i Slicnost

VIII GLAVA

8. TRlGONOMETRlJA PRA VOUGLOG TROUG LA

8.1. Trigonometrijske runkcije ostrog ugla. Osnovne trigonometrijske identicnosti.

Resavanje pravouglog trougla

Ako je trougao ABC pravougli LC = 90°, LA = a , LB = {J ,a i b kat etc c hipotenuza, tada vaze sledece definicije :

o . a 0 b 30 a i . sm a = -, 2 . cos a = - , . tg a = - • c c b

b 4°. ctg a = - ,

a

c c 5° seca=- 6°. coseca= - .

. b ' a

Osnovne trigonometrijske identicnosti:

1°. sin ' a + cos ' a = I,

sin a 2°. tga =--,

cosa cosa

3°. ctga = -.- , sma

4°. tg a ctg a = I ,

tg a 5°. sin a = --;0=====

~I + tg ' a I

6°. cos a = . ~I + tg 'a

1160. Date su katete pravouglog trougla : a = 8 cm i b = 6 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i {J .

1161. Date su stranice a = 4 cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD. Odrediti odgovarajuce vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji di­jagonala obrazuje: a) sa vecom stranicom; b) sa manjom stranicom pravougaonika.

1162. Izracunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog llgla dija­gonaie kocke prema osoovi.

1163. Dati su hipotenuza c = 24 em pravouglog trougla i sin a = 0,8. Izracunati katete.

1164. Taogens jednog od ostrih uglova pravouglog trougla izoosi 0.75. a manja kateta je 18 em. Odrediti dmgu katetu i hipotenuzu.

126

1165.

1166.

1167.

1168.

1169.

1170.

1171.

t 172.

1173.

1174.

Proverit i taenost jcdnakosti: a) sin 54° = cos 36°; b) cos 75° 30' = sin 14° 30'; c) cos ( 30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.

Izracunati vrednost izraza: a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - si n 30° ); b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°; c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.

Ako je a = 30°, dokazati da je: 4 - sin a 25 2

, + = 0 I- sin a 4 cos - a I +sin a .

Ako je a = 30°, izraC llnati vrednost izraza:

a) cos 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a ;

c) tg 2 a - tg a; d) cotg 2 a + cotg a.

Dokazati implikacij u: IJ. ° sin a + cos {J

a + fJ = 90 "" = tg a. cos a + sin {J

. 9 sin a - 3 cos a . .. 00 90' Ako Je. = 2. odredltl 19a I ugao a ( < a < ).

2sm a + cosa

Odrediti vrednosti ostalih trigonomerrijskih funkcija ako je (1171 -1172):

a) sin a = 0,6;

a) tg a = 0,225;

a' - 4 b) ctg a=~.

6a b) cosa = -,--;

a- + 9

sin a + cos a Odrediti vrednosl izraza: 3 .

7 5cos a - sm a ako je sin a = - i 0° < a < 90°.

25

Dokazati sledece jednakosli (1174- 11 80):

sin'a + cos' a + sin ' a cos 'a = I.

,, ' - 9 c) sin a =-, ­

Cl · +

1175. sin ' x = cos' x - cos ' x + sin ' x.

1176. tg ' a - sin ' a = tg ' a ·sin ' a.

1177. cotg ' a - cos' a = cos ' a cOlg ' a .