Sinais e Sistemas - Transformada inversa de Laplaceltodi.est.ips.pt/smarques/SS/TL inversa.pdf · Sinais e Sistemas - 16 Rogério Largo – Setúbal 1999 16 Transformada inversa de

Sinais e Sistemas - 16

Rogério Largo – Setúbal 1999 16

Transformada inversa de Laplace

Já foi atrás apresentada a expressão que define a transformada inversa de Laplace. Esse integral pode ser de resolução complicada. Existem métodos expeditos de obter a transformada inversa. Vamos aqui apresentar um baseado na expansão em fracções simples. Método da expansão em fracções simples

Assume-se que a transformada de Laplace está representada por uma razão de polinómios, o que ocorre sempre para as funções que nos interessam no âmbito da engenharia.

( )( ) ( )1 1

1 1 0 1 1 01

1 11 1 0

... ...( )( )( ) ......

m m m mm m m m

n nn nn

b s b s b s b b s b s b s bN sX sD s s p s p s ps a s a s a

− −− −

−−−

+ + + + + + + += = =

− − −+ + + +



Pólos são todos diferentes (pi≠pj se i≠j). Em geral n>m isto é há mais pólos que zeros pelo que X(s) pode ser escrito

como uma soma de termos em cujo denominador apenas existe um pólo (fracções simples):

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2...

n

A A AnX ss p s p s p

= + + +− − − Ak é o resíduo de X(s) no pólo pk.

( ) ( )( )

k

k ks p

N sA s pD s =

= −

Das tabelas: k TLp t k

kk

AA es p

←→−



Exemplo: Obter x(t) a partir da sua transformada de Laplace X(s)

( ) ( )( )( )31 25 3

1 2 3 1 2 3As A AX s

s s s s s s+

= = + ++ + + + + +

Os resíduos nos pólos {-1;-2;-3} obtém-se da seguinte maneira:

( )1 1A s= +( )

( )5 3

1s

s+

+ ( )( ) ( )( )1

5 3 11 2 1 32 3

ss s

=−

− + = = −− + − + + +

( )( )( )2

2

5 3 7 71 3 1

s

sA

s s=−

+ −= = = + + −

( )( ) ( )3

3

5 3 12 61 2 2

s

sA

s s=−

+ −= = = − + +

Então X(s) expandido em fracções simples e a sua transformada inversa são:

( )1 2 31 7 6 ( ) 7 6 ( )

1 2 3TL t t tX s x t e e e u t

s s s− − − −− − == + + → = − + − + + +



Pólos de ordem múltipla Caso existam pólos de ordem superior à primeira (vários pólos iguais) aparecem no denominador da função termos do tipo (s+si)r. Exemplo:

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 21

1 2 31 2 3 3 3

( ) ... rr r r

N s A A B B BX ss s s s s ss s s s s s s s s s −

= = + + + + +

+ + ++ + + + +

O pólo com multiplicidade r tem r resíduos que se calculam da seguinte forma: ( )

31 3( ) r

s sB X s s s

=− = + Notar que ( ) ( ) ( ) ( )3

1 2

( )r N sX s s ss s s s

+ =+ +

( )3

2 3( ) r

s s

dB X s s sds =−

= +

( )3

2

3 321 ( )2

r

s s

dB X s s sds =−

= + ........

( ) ( )3

1

311 ( )

1 !

rr

r r s s

dB X s s sr ds

−

− =− = + − Expressão genérica para os resíduos.



Exemplo: Obter a transformada inversa de X(s) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 2 1 2

3 3 21

2 11 2 1 1BA A B BX s

s s ss s s s s= = + + +

+ ++ + + +

( ) ( )1 30

1 121 2

s

As s

=

= =

+ + ; ( )2 3

2

1 121

s

As s

=−

= =

+

Pólo triplo S3=-1 ⇒ ( )( ) ( )3 11

2X s s

s s+ =

+ . Assim os resíduos B1, B2 e B3

viram: ( )11

1 1 12 1

s

Bs s

=−

= = = − + −

( ) ( )2 22

11

1 (2 2) 0 02 12s

s

d sBds s s s s=−

=−

− += = = = + +

Notar que ( ) 21 1

2 2s s s s=

+ +



( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2

3 2 221

1

22 2

42

1

2 21 1 12 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 22 2

ss

s

sd dBs s dsds s s

s s s s s s

s s

=−=−

=−

− + = = = + +

− + + + + + = − +

A expansão em fracções simples e a transformada inversa vem:

( ) ( ) ( ) )(221

21

21)(

12

10

11

22

12

1)( 22

23

1

tueetetxsssss

sX tttTL

−++=→

+−

++

++−

++

+= −−−−



Pólos de complexos conjugados Pólos complexos conjugados ocorrem em pares complexos conjugados: S1⇒ S1

* Na expansão em fracções simples, os resíduos A1 e A1* também são complexos conjugados:

[ ] )()()())((

)( *11

1 *11*

1

*1

1

1*

11

tueAeAss

Ass

Assss

sN tstsTL −− +→+

++

=++

−



Exemplo:

sjsjss

sssssF

)866.05.0)(866.05.0(1

)1(1)( 2 −+++

+=

+++

=

=−=

−=−=−−

⇔−−+−+=−

⇔−−−

=+−−

⇔

++

+++

=+

+++

+=

−−=−−=

01

866.0866.0866.05.05.05.0

)866.05.0()75.0866.025.0(866.05.0866.05.0

866.05.0)866.05.0(

)1()1(

11

)(

2

1

21

21

21

21

866.05.0

22866.05.021

221

αα

αααα

αα

αα

αα

αα

jjjj

jj

sssss

ss

sA

ssssF

jsjs

1)1(

)1(

02 =

++

+=

=s

ssss

sA



[ ]

[ ]

[ ]

)()23sin()

23cos()(

)(3

2)5.0(

23)5.0(

23

23)5.0(

5.0)(

)(4/3)5.0(

)(

11

)(

11

)(

5.05.0

2

2

12

2

11

211

12

11

2

tueetf

tu

s

TL

s

sTLsFTL

tus

sTLsFTL

sTL

sssTLsFTL

sssssF

tt ++−=

+

−

+−

+

+−

−−=

=+

+−

−=

=

+

++−

=

+++

−=

−−−

−−

−−−



Resolução de equações diferenciais Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais: Tomando a equação diferencial seguinte com as condições iniciais dadas:

=′−=

=++2)0(1)0(

)(5)(2)(3)(2

2

xx

tutxdt

tdxdt

txd

Aplicando transformada de Laplace a ambos os membros: 2 5( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( )S X S Sx x SX S x X S

S′− − + − + = ⇔

( )S

SSXSS 51)(232 +−−=++

Então: ( )235)( 2

2

+++−−

=SSSSSSX

Para obter a expressão temporal de x(t) é só calcular a transformada inversa.



Representação de Fourier dos Sinais O estudo de sinais e sistemas usando representação sinusoidal é designado por

análise de Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830). A representação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A tabela

apresentada abaixo mostra essa relação:

Tabela – Relações entre as propriedades no tempo dos sinais e a representação de Fourier adequada.

Propriedade temporal Periódico Não Periódico

Continuo Série de Fourier Transformada de Fourier

Discreto Série Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier



Transformada de Fourier (Sinais não periódicos em tempo contínuo)

Uma apresentação da transformada de Fourier pode ser feita como um limite

das series de Fourier quando o período tende para infinito. Definição de transformada de Fourier:

( ) ( ) jwtX jw x t e dt∞ −

−∞= ∫ Transformada de Fourier (Eq. de análise)

1( ) ( )2

jwtx t X jw e dwπ

∞

−∞= ∫ Transformada inversa de Fourier (Eq. de síntese)

( ) ( )TFx t X jw←→ X(jw) descreve o sinal x(t) como uma função de frequência w e designa-se

como a sua representação no domínio da frequência.



Condições de convergência: Condições para garantir que X(jw) é finito é que x(t) seja de quadrado integrável (isto é que tenha energia finita):

2( )x t dt∞

−∞< ∞∫

Uma condição equivalente é estabelecida se x(t) for absolutamente integrável:

( )x t dt∞

−∞< ∞∫

e tiver um número finito de descontinuidades e de máximos ou mínimos locais em qualquer intervalo finito, e essas descontinuidades forem finitas.



Transformada de Fourier de sinais básicos

Função exponencial:

a) x(t) = e-atu(t), a>0

( )( )

00

1( ) ( ) , 0a jw t

at jwt a jw t eX jw e u t e dt e dt aa jw a jw

− +∞ ∞− − − + ∞

−∞= = = − = >

+ +∫ ∫ X(jw) é uma função complexa. Pode ser representado em módulo e fase:

( ) 12 2

1 ( ) ( ) , ( ) , ( )j X jw wX jw X jw e X jw X jw tgaa w

∠ − = = ∠ = − +

x(t) |X(jw)| Fase de X(jw)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 0 5-2

-1

0

1

2



-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

b) x(t) = e-a|t|u(t), a>0 x(t)

0 ( ) ( )

0

2 2

( )

1 1 2 , 0

a t jwt a jw t a jw tX jw e e dt e dt e dt

a aa jw a jw a w

∞ ∞− − − − +

−∞ −∞= = +

= + = >− + +

∫ ∫ ∫

Neste caso X(jw) é real.

Nota: - Em (a) e (b), se a for complexo o resultado é o mesmo. Apenas a

condição será Re{a} >0 . Impulso de Dirac: x(t) = δ(t)

( ) ( ) 1jwtX jw t e dtδ

∞ −

−∞= =∫

Notar que δ(t) = 0 para t ≠ 0 e que ej0 = 1.

t0

1 δ(t)

w0

1 X(w)



Função rectangular: 1

1

1, ( )

0, t T

x tt T

<= >

( )

( )

11 1

1

1 1 11 1

1

1( ) ( )

2 1 2 ( ) . ( ) 22

T jwT jwTjwt jwtT

jwT jwT

X jw x t e dt e dt e ejw

sen wTe e sen wT Tw j w wT

∞ −− −

−∞ −

−

= = = − −

= − = =

∫ ∫ Sinc(w) = sen(w)/w

É uma função da forma ( )sen x

x , designada por sinc(x) Função rectangular na frequência:

0

0

1, ( )

0, w w

X jww w

<= > Aplicando a transformada de Fourier inversa:

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

t-T1

1 x(t)

T1



( )

( )

00 0

0

0 0 0 00

0

1 1 1( ) ( )2 2 2 .

( )1 1 1 . ( )2

w jw t jw tjwt jwtw

jw t jw t

x t X jw e dw e dw e ejt

w sen w te e sen w tt j t w t

π π π

π π π

∞ −

−∞ −

−

= = = −

= − = =

∫ ∫

Deve salientar-se aqui a dualidade entre as duas funções anteriores: Um rectângulo num domínio corresponde a uma função “sinc” no outro. É uma consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frente. Nota. A função “sinc”, numa formulação exacta, é definida da seguinte maneira:

( )( ) sensinc πθθπθ

= . Desta forma as suas passagem por zero verificam-se nos pontos θ = ±1, ±2, etc.



Sinusóides: 0 0

0 0 01sin( ) ( ) [ ( ) ( )]2

TFjw t jw tw t e e w w w wj j

π δ δ−= − ←→ − − +

0 00 0 0

1cos( ) ( ) [ ( ) ( )]2

TFjw t jw tw t e e w w w wπ δ δ−= + ←→ − + + Como é conhecido as funções sinusoidais contêm uma única frequência. Logo

era de esperar que a sua representação em frequência desse conta desse facto. Em ambos os casos obtiveram-se Dirac’s localizados em ±w0 (apenas diferindo na fase).

ww0

π

TF{cos(w0 t)}

-w0



Tabela – Transformada de Fourier de funções elementares

Função temporal

x(t)

Transformada de Fourier X(jw) Notas

e-atu(t) 1

( )a jw+ Re{a}>0

e-a|t| 2 2

2 aa w+ Re{a}>0

te-atu(t) 2

1( )a jw+ Re{a}>0

δ(t) 1 Delta de Dirac δ(t-t0) exp(-jw t0) Delta atrasado

1

( )2trectT 1 12T sinc(w T ) Função rectangular

00( )

2w sinc w tπ ( )

2 0wrectw Função rectangular na frequência



sen(w0t) 0 0[ ( ) ( )]w w w wjπ δ δ− − + Função seno

cos(w0t) 0 0[ ( ) ( )]w w w wπ δ δ− + + Função coseno exp(jw0 t) 2πδ(w-w0) Exponencial complexa

Propriedades da transformada de Fourier

Usando funções simples cujas transformadas podem ser consultadas em tabelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem obter-se facilmente as transformadas de funções mais complicadas. i.) Linearidade

TF{x(t)} = X(jw) TF{y(t)} = Y(jw) ⇒ TF{ax(t)+by(t)} = aX(jw) +bY(jw)



ii.) Deslocamento no tempo TF{x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t-t0)} = exp(-jwt0)X(jw)

A demonstração é simples recorrendo a uma mudança de variável: τ = t-t0 : 0 0 0( )

0 0{ ( )} ( ) ( ) ( ) ( )jw t jwt jwtjwt jwTF x t t x t t e dt x e d e x e d e X jwτ ττ τ τ τ∞ ∞ ∞− − − −− −

−∞ −∞ −∞− = − = = =∫ ∫ ∫

iii.) Deslocação na frequência (Modulação)

TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t)exp(jw0t)}=X(j(w-w0)) O espectro do sinal que se encontrava em redor da origem é deslocado para w0. Fazendo o produto for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obtém-se:

( ){ } ( )( ) ( )( )0 0 01( )s2

TF x t en w t X j w w X j w wj = − − +

( ){ } ( )( ) ( )( )0 0 01( ) cos2

TF x t w t X j w w X j w w = − − +



iv.) Diferenciação e Integração

TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x´(t)} = jwX(jw) e TF{x(n)(t)} = (jw)nX(jw)

Também ( ){ } ( ) ( )1 0 ( )t

TF x d X jw X j wjw

τ τ π δ−∞

= +∫

v.) Escalonamento no tempo e em frequência

TF{x(t)} = X(jw) ⇒ ( ){ } 1 jwTF x at Xa a

= , a real não nulo.

Fazendo a = -1, também se obtém: TF{x(-t)}=X(-jw)

Se a > 1 temos uma compressão na escala de tempo de que resulta um expansão na frequência e vice-versa.



vi.) Conjugado Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{x* (t)} = X* (-jw), Note-se que :

( ) ( )

( ) ( ){ }

**

*

( ) *

trocando por fica:

( ) * * , c.q.d.

jwt jwt

jwt

X jw x t e dt x t e dt

w - w

X jw x t e dt TF x t

∞ ∞−

−∞ −∞

∞ −

−∞

= =

− = =

∫ ∫

∫

- Propriedade do conjugado simétrico:

Se x(t) for real então x*(t) = x(t), X*(-jw) = X(jw). X(-jw) = X*(jw). Consequência : |X(jw)| é uma função par e Fase[X(jw)] é impar:

X(-jw)= |X(-jw)|ejΦ(-w) e X*(jw)= |X*(jw)|e-jΦ(w)

Sendo X(jw) = X*(-jw) ⇒ |X(jw)|= |X*(-jw)| e Φ(-jw) = -Φ(jw) De igual modo se vê que Re{X(jw)} é par e Im{X(jw)} é impar.



Exemplo: Função real: x(t) = e-atu(t), a>0 ⇒ 1( )X jw

a jw=

+

portanto: 1( ) *( )X jw X jw

a jw− = =

− , como se esperava. - Consequências da propriedade do conjugado simétrico (a) x(t) real e par então também X(jw) é real e par: x(t) = x(-t) ⇒ X(-jw) = X(jw) (b) x(t) real e impar então X(jw) é imaginária pura e par:

x(t) = -x(-t) ⇒ X(-jw) = -X(jw) e X(jw) = Im[X(jw)] (c) Separando x(t) nas suas componentes par e impar, atendendo a (a) e (b), teremos: x(t) = xP(t) + xI(t) logo TF{x(t)} = TF{xP(t)} + TF{xI(t)} Pelo que: TF{xP(t)} = Re[X(jw)] e TF{xI(t)} = Im[X(jw)]



Exemplo: Função real e par: x(t) = e-a|t|, a>0,

x(t) = 2Par[e-atu(t)] = 2{[e-atu(t)+ e atu(-t)]/2} , { } 1( )atTF e u ta jw

− =+

logo { } | |2 2

1 22 [ ( )] 2Re[ ] { }at a taTF Par e u t TF ea jw a w

− −= = =+ + c.q.d

vii.) Princípio da dualidade

Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{X(t)} = 2π x(-jw)

Exemplo: Calcular 2

21

TFt

+ . Sabemos que: { }| |

2

2a t aFT ea w

− =+ .

A nossa função no tempo assemelha-se a esta transformada com a=1 , isto é:

{ }| |2

21

tTF ew

− =+ .

Pelo princípio da dualidade obtém-se: 2

2 21

wTF et

π − = +



viii.) Convolução

Definição da convolução de x(t) com h(t): ( )* ( ) ( ) ( )t

x t h t x h t dτ τ τ−∞

= −∫ Esta propriedade estabelece que : TF{x(t)*h(t)} = X(jw)H(jw)

ix.) Relação de Parseval Estabelece que a energia do sinal x(t) pode ser calculada a partir da sua

transformada:

2 21( ) ( )2

x t dt X w dwπ

∞ ∞

−∞ −∞=∫ ∫



Tabela – Propriedades da transformada de Fourier

Função temporal x(t)

Transformada de Fourier X(jw) Notas

a1x(t) + a2y(t) a1X(jw) + a2Y(jw) Linearidade

x(t-t0) exp(-jw t0)X(jw) Deslocamento no tempo

x(at)

aa1 jwX Escalamento no tempo

x*(t) X*(-jw) Conjugação x(-t) X(-jw) Reflexão no tempo

)0 x(te tjw X(j(w-w0) Modulação

( )n

n

d x tdt (jw)nX(jw) Derivação

tx(t) dw

jwdXj )(

Derivação na frequência



( )t

x dτ τ−∞∫ )()0()( wjX

jwjwX δπ+ Integração

X(t) 2πx(-jw) Dualidade x(t)*y(t) X(jw)Y(jw) Convolução no tempo

x(t)y(t) 12π

X(jw)*Y(jw) Convolução na frequência

2( )x t dt

∞

−∞∫ 21 ( )

2X w dw

π∞

−∞∫ Relação de Parseval

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