Ejercicios Resueltos de Estadstica: Tema 4: Probabilidades y
Variables Aleatorias
1.Supongamosquelaprobabilidaddetenerunaunidaddefectuosaenunalneade
ensamblajeesde0.05.Sielconjuntodeunidadesterminadasconstituyeunconjuntode
ensayos independientes: 1. cul es la probabilidad de que entre diez
unidades dos se encuentren defectuosas? 2. y de que a lo sumo dos
se encuentren defectuosas? 3. cual es la probabilidad de que por lo
menos una se encuentre defectuosa? SOLUCIN: Sea
iunavariablealeatoriaquerepresentaelestadodeunaunidadterminadaenlalneade
ensamblaje en el momento i, siendo i= 1 si la unidad es defectuosa
y =0 en caso contrario. Lavariable
sigueunadistribucinBernoulliconparmetrop=005,deacuerdoconeldato
inicialdelproblema.Adems,ntesequeunconjuntodeunidadesterminadasconstituyeun
conjunto
deensayosindependientes,porloqueelnmerodeunidadesdefectuosasdeuntotal
denunidadesterminadas( 1. n),estoes, inip n ==1,
,sigueunadistribucin
binomialdeparmetrosnyp=0,05.Hechasestasconsideracionesiniciales,procedemosa
resolver el problema: 1.Procedamos a calcular: 0476 , 0 * *210) 2
() 05 , 0 1 (05 ' 08205 ' 0 , 10=||.|
\|= = P 2.Se tiene que: 9984 , 0 * *10) 2 () 05 , 0 1 (05 '
01005 ' 0 , 10=||.|
\|= iiiP 3. Por ltimo: 4013 , 0 5987 , 0 1 * *0101 ) 0 ( 1 ) 1
() 05 , 0 1 ( 05 , 00 10 005 ' 0 , 10 005 ' 0 , 10= =||.|
\| = = = P P
2.Elgerentedeunrestaurantequeslodaserviciomediantereservassabe,por
experiencia,queel20%delaspersonasquereservanunamesanoasistirn.Siel
restaurante acepta 25 reservas pero slo dispone de 20 mesas, cul es
la probabilidad de que a todas las personas que asistan al
restaurante se les asigne una mesa? SOLUCIN:
Representemosporlavariablealeatoria ladecisindeasistir( =0)ono( =1)
finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una
reserva. Esta variable sigue una distribucin de Bernoulli de
parmetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio.
Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre s,
se tiene que, de un total de n reservas( 1.
n),elnmerodeellasqueacudenfinalmentealrestauranteesunavariable
aleatoria Yn==ni 11 , con distribucin binomial de parmetros n y
p=0,2. En el casoparticular
delproblema,n=25.Entonces,paraaquellaspersonasqueasistanalrestaurantedelas25que
han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que
acudan 20 o menos. As se tiene que: 5799 , 0 ) 2 , 0 1 ( * 2 , 0
*25) 20 (25200= ||.|
\|= =i iiiY P
3.Unaempresaelectrnicaobservaqueelnmerodecomponentesquefallanantesde
cumplir100horasdefuncionamientoesunavariablealeatoriadePoisson.Sielnmero
promedio de estos fallos es ocho,1. cul es la probabilidad de que
falle un componente en 25 horas? 2. y de que fallen no ms de dos
componentes en 50 horas? 3. cul es la probabilidad de que fallen
por lo menos diez en 125 horas? SOLUCIN: Sealavariablealeatoria
,condistribucindePoissonconparmetro| | , 8 = = E que determina el
nmero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de
funcionamiento.
1.Considerandoquesecumplenciertascondicionesderegularidad,podemosasumirqueuna
variable
quemideelnmerodecomponentesquefallanantesdecumplir25horasde
funcionamiento sigue una distribucin de Poisson con parmetro = E [
] = 8=4 = 2. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:
27067 , 0 *! 12) 1 (21= = = =e P 2. Anlogamente, definimos una
variable aleatoria U con distribucin de Poisson de parmetro U= 8=2
= 4, que mide el nmero de componentes que fallan antes de cumplir
las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que: 2381 , 0
*!4) 2 (420= = =eiU Pii
3.Delamismaforma,definiendounavariablealeatoriaVcondistribucindePoissonde
parmetro10 =V , se obtiene: == = < = 1001041696 , 0 *!101 ) 10 (
1 ) 10 (iieiV P V P 4.Sean y
lasvariablesaleatoriasquecuentanelnmerodevecesquesale1y6,
respectivamente, en 5 lanzamientos de un dado. Son y
independientes?. SOLUCIN: Lasvariables y
siguenunadistribucinbinomialdeparmetrosn=5yp=1/6.Veamos mediante un
contraejemplo, quey no son independientes. Por un lado se tiene
que: 532) 0 , 0 ( |.|
\|= = = = P , pero ) 0 (65) 0 (5= = |.|
\|= = P P,65) 0 ( * ) 0 (32) 0 , 0 (10 5|.|
\|= = = |.|
\|= = = = P P Pconcluyndose as que las variables no son
independientes.
5.Supngasequelaproduccindeundade850piezasmanufacturadascontiene50
piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se
seleccionan del lote dos piezas
alazarysinreemplazo.SealavariablealeatoriaXigualalnmerodepiezasdela
muestra que no cumplen. Cul es la funcin de distribucin acumulada
de X? SOLUCIN: La pregunta puede contestarse encontrando primerola
funcin de masa de probabilidad de X. P(x=0)=
(800/850)(799/849)=0,886 P(x=1)=2(800/850)(50/849)=0,111
P(x=2)=(50/850)(49/849)=0,003 Por lo tanto, F(0)=P(x 0 )=0.886
F(1)=P(x 1 )=0.886+0,111=0,997 F(2)=P(x2)=1
6.Cadamuestradeairetiene10%deposibilidadesdecontenerunamolcularara
particular. Suponga que las muestras son independientes con
respecto a la presencia de la
molcularara.Encuentrelaprobabilidaddequeenlassiguientes18muestras,
exactamente 2 contengan la molcula rara. SOLUCIN:
SeaX=nmerodemuestrasdeairaquecontienelamolculararaenlasiguientes18muestras
analizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con p=0,1
y n=18. Por lo tanto, P(X=2)= ( ) ( )16 29 , 0 2 , 0218||.|
\| Ahora bien,| | . 153 2 / ) 17 ( 18 ) ! 16 ! 2 / ! 18 (218= =
=||.|
\| Por lo tanto, 284 , 0 ) 9 , 0 ( ) 1 , 0 ( 153 ) 2 (16 2= = =
x P
7.Unavindealtorendimientocontienentrescomputadorasidnticas.Seutiliza
nicamente una para operar el avin; las dos restantes son repuestos
que pueden activarse
encasodequeelsistemaprimariofalle.Duranteunahoradeoperacinlaprobabilidad
de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los
sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora
representa un ensayo independiente,(a) Cul es el tiempo promedio
para que fallen las tres computadoras? (b) Cul es la probabilidad
de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas?
SOLUCIN: Sea que X denote el nmero de horas hasta que los tres
sistemas fallen, y sea que X1, X2 y X3 denoten el nmero de horas de
operacin antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera
computadorasusadas,respectivamente.Entonces,X=X1+X2+X3.Adems,sesuponequelas
horas comprenden ensayos independientes con la probabilidad con la
probabilidad constante de falla p=0.0005 y r=3. En consecuencia,
E(X)= 3/0.0005= 6000horas
Culeslaprobabilidaddequelastrescomputadorasfallenenunvuelode5horas?La
probabilidad pedida es P(x 5) y P(x
5)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)=0.00053+||.|
\|230.00053(0,9995)+ ) 9995 . 0 ( 0005 . 0243||.|
\| =1.25*1010 +3,75*1010 +7,49*1010 =1,249*1010
8.Unlotecontiene100piezasdeunproveedordetuberalocaly200unidadesdeun
proveedordetuberadelestadovecino.Siseseleccionancuatropiezasalazarysin
reemplazo,(a) cul es la probabilidad de que todas sean del
proveedor local? (b) Cul es la probabilidad de que dos o ms piezas
de la muestra sean del proveedor local? (c) Cul es la probabilidad
de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?
SOLUCIN: cul es la probabilidad de que todas sean del proveedor
local?
SeaXigualalnmerodepiezasdelamuestradelproveedorlocal.Entonces,xtieneuna
distribucin hipergeomtrica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por
consiguiente, P(x=4)=||.|
\|||.|
\|||.|
\|430002004100=0.0119 Cul es la probabilidad de que dos o ms
piezas de la muestra sean del proveedor local? P(x ) 2 = ||.|
\|||.|
\|||.|
\|+||.|
\|||.|
\|||.|
\|+||.|
\|||.|
\|||.|
\|430002004100430012003100430022002100= 0.298+0.098+0.0119=0.408
Cul es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea
del proveedor local? P(x 196 . 04300420001001 ) 0 ( 1 ) 1 =||.|
\|||.|
\|||.|
\| = = = x P
9.Supongamosqueelnmerodeimperfeccionesenunalambredelgadodecobresigue
una distribucin Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por
milmetro.(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un
milmetro de alambre. (b) Determine la probabilidad de 10
imperfecciones en 5 milmetros de alambre. (c) Determine la
probabilidad de al menos una imperfeccin en 2mm de alambre SOLUCIN:
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milmetro de
alambre. Entonces E(x)=2.3 imperfecciones y P(x=2)= 265 . 0! 23 *
32 3 . 2=e (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5
milmetros de alambre.
SeaqueXdenoteelnmerodeimperfeccionesen5milmetrodealambre.Entonces,Xtieneuna
distribucin Poisson con E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5
imperfecciones. Por lo tanto, P(x=10)=e 113 . 0 ! 10 / 5 . 115 .
11= (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfeccin en
2mm de alambre.
Seaquexdenoteelnmerodeimperfeccionesen2milmetrosdealambra.Entonces,Xtiene
una distribucin de Poisson con
E(x)=2mmx2.3imperdecciones/mm=4.6imperfecciones Por lo tanto, P(x
1)=1-P(x=0)=1-e6 . 4 =0.9899
10.Lacontaminacinconstituyeunproblemaenlafabricacindediscosde
almacenamiento ptico. El nmero de partculas de contaminacin que
ocurre en un disco
pticotieneunadistribucindePoissonyelnmeropromediodepartculaspor
centmetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El rea de un
disco bajo estudio es 100 centmetros
cuadrados.(a)Encuentrelaprobabilidaddequeocurran12partculasenelreadeldiscobajo
estudio. (b) La probabilidad de que ocurran cero partculas en el
rea del disco bajo estudio
(c)Determinelaprobabilidaddeque12omenospartculasocurranenelreadeldisco
bajo estudio SOLUCIN:
Seaquexdenoteelnmerodepartculasenelreadeundiscobajoestudio.Puestoqueel
nmero promedio de partculas es 0.1 partculas por cm2. E(x)=100
cm2x0.1 partculas/ cm2= 10 partculas Por lo tanto, (a) P(x=12)= !
121012 10 e= 0.095 (b) La probabilidad de que ocurran cero
partculas en el rea del disco bajo estudio es P(x=0)=e10 =4.54x105
(c)Determinelaprobabilidaddeque12omenospartculasocurranenelreadeldiscobajo
estudio. La probabilidad es P(X 12 )=P(x=0)+P(x=1)+..+P(x=12)==
12010!10iiie 11. Una muestra aleatoria con reposicin de tamao n=2
se selecciona del conjunto {1,2,3} produciendo el espacio
equiprobable de 9 elementos.
S={(1,1),(1,2),(1.3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} Sea X la
suma de los dos nmeros.(a)Encuentre la distribucin de X.
(b)Encuentre el valor esperado E(X). SOLUCIN:
(a)LavariablealeatoriaXasumelosvalores2,3,4,5,6,esdecir,Rx={2,3,4,5,6}.Secalculala
distribucin de X: (i)Un punto (1,1) tiene suma 2; donde (2)=1/9.
(ii)Dos puntos (1,2) y (2,1) tienen suma 3; de donde (3)=2/9.
(iii)Tres puntos (1,3),(2,2) y (1,3) tienen suma 4; de donde
(4)=3/9. (iv)Dos puntos, (2,3),(3,2) tienen suma 5; de donde
(5)=2/9. (v)Un punto (3,3) tiene suma 6; de donde (6)=1/9. Por
tanto, la distribucin de X es la siguiente: x23456
(x)1/92/93/92/91/9
(b)SeobtieneelvaloresperadoE(X)multiplicandocadavalordexporsuprobabilidady
tomando la suma. Por tanto, |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|=916925934923912 ) ( X E 12. Una caja contiene 8 bombillos, de
los cuales estn 3 estn defectuosos. Se selecciona un
bombillodelacajayseprueba.Siestesaledefectuososeseleccionaysepruebaotro
bombillo, hasta que se escoja un bombillo no defectuoso. Encuentre
el nmero esperado E de bombillos seleccionados. SOLUCIN:
Escribiendo D para significar defectuoso y N para no defectuoso, el
espacio muestral S tiene los cuatro elementos N. DN, DDN, DDDN con
las posibilidades respectivas. ,85,56157583= ,565657283=
56155617283= El nmero X de bombillos escogidos tiene los valores
X(N)=1,X(DN)=2,X(DDN)=3,X(DDDN)=4 con las probabilidades anteriores
respectivas. De donde 5 . 1235614565356152851 ) ( = = |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|= X E 13. Se lanza un dado equilibrado produciendo el espacio
equiprobable S= {1,2,3,4,5,6}
SeaXeldobledelnmeroqueaparece.Encuentreladistribucin,lamediax,la
varianza x2 y la desviacin estndar x de X. SOLUCIN:
AquX(1)=2,X(2)=4,X(3)=6,X(4)=8,X(5)=10,X(6)=12.Tambin,cadanmerotiene
probabilidad 1/6. Por tanto, la siguiente es la distribucin de X:
x24681012 (x)1/61/61/61/61/61/6 En consecuencia, x= E(X)= xi (xi)=
764261126110618616614612 = =|.|
\|+|.|
\|+|.|
\|+|.|
\|+|.|
\|+|.|
\|= E(X2) = xi2 (xi)= 7 . 6063546114461100616461366116614 = =
|.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|= Entonces, x2= var(X) = E(X2) - x2 = 60.7 (7)2 = 11.7 x =)
var(X=7 . 11= 3.4 14. Encuentre la media= E(X), la varianza 2
=var(X) y la desviacin estndar = x de la distribucin Xi 1357 Pi
0.30.10.40.2 SOLUCIN: Aqu la distribucin se presenta utilizando xi
y (x). Las siguientes son las formulas anlogas: i i m m ip x p x p
x p x X E = + + + = = ........ ) (2 1 1 i i m mp x p x p x p x X
Ei2 2222 121........ ) ( = + + + = Luego, 2 2 2) ( ) var( = = X E
Xy) var(Xx = = 0 . 4 ) 2 . 0 ( 7 ) 4 . 0 ( 5 ) 1 . 0 ( 3 ) 3 . 0 (
1 ) ( = + + + = = =i ip x X E 0 . 21 ) 2 . 0 ( 7 ) 4 . 0 ( 5 ) 1 .
0 ( 3 ) 3 . 0 ( 1 ) (2 2 2 2 2 2= + + + = =i ip x X E Entonces, 24
. 2 5 ) var(5 ) 4 ( 21 ) ( ) var(2 2 2 2= = == = = =XX E X
15.Unamuestraconreposicindetamaon=2seseleccionaaleatoriamentedelos
nmeros1al5.EstoproduceentonceselespacioequiprobableSconformandoportodos
los 25 pares de ordenados (a,b) de nmeros del 1 al 5. Es decir,
S={(1,1),(1,2),.,(1,5),(2,1),.,(5,5)} Sea X=0 si el primer nmero es
par y X=1 de lo contrario; sea Y=1 si el segundo nmero es impar y
Y=0 de lo contrario. (a) Encuentre las distribuciones de X y Y. (b)
Encuentre la distribucin conjunta de X y Y. (c) Determine si X y Y
son independientes. SOLUCIN: (a) Hay 10 puntos muestrales en los
cuales la primera entrada es par, es decir, donde a=2 o 4
yb=1,2,3,4,5 Por tanto, P(x=0)=10/25=0.4 y entonces P(x=1)=0.6. Hay
15 puntos muestrales en los cuales la segunda entrada es impar, es
decir, a= 1,2,3,4,5yb=1,3,5
Porconsiguiente,P(Y=1)=15/25=0.6yentoncesP(Y=0)=0.4.Porestaraznlasdistribuciones
de X y Y son las siguientes: x 01 P(x) 0.40.6 y 01 P(y) 0.40.6
(Observe que X y Y estn distribuidas idnticamente.) (b) Para la
distribucin conjunta de X y Y se tiene P(0,0) = P(a par, b par) =
P{(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}=4/25=0.16 P(0,1) = P(a par, b impar) =
P{(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}=6/25=0.24 En forma similar
P(1,0)=6/25=0.24 y P(1,1)=9/25=0.36. Por lo cual, la Fig. 1 da la
distribucin conjunta de X y Y. X Y 01 Suma 0 1 0.160.24 0.240.36
0.4 0.6 Suma 0.4 0.6 Fig.1 (c) El producto de las entradas
marginales de las cuatroentradas interiores; por ejemplo, P(0,0) =
0.16 = (0.4)(0.4) = P(X=0) P(Y=0)
Portanto,XyYsonvariablesaleatoriasindependientes,aunqueestndistribuidas
idnticamente.
16.Unapruebaconstade200preguntasdeverdaderoofalso,paraunsujetoque
respondiese al azar Cual sera la probabilidad de que acertase: a)
50 preguntas o menos. b) Ms de 50 y menos de 100. c) Ms de 120
preguntas. SOLUCIN:
ElnmerodepreguntasacertadasseguirunadistribucinBinomialconn=200yp=0,5.
Ahora bien, como el nmero de pruebas es elevado esta distribucin se
puede aproximar por una
Normaldemedia2000,5=100ydevarianza2000,50,5=50oloqueeslomismocon
desviacin tpica 7,07, luego: a)0 ) 7 (07 , 7100 5 , 50) 5 , 50 ( )
50 ( = |.|
\| = Z P Z P X P x Pb)= |.|
\| |.|
\| = =07 , 7100 5 , 5007 , 7100 5 , 99) 51 ( ) 99 ( ) 100 50 ( Z
P Z P x P x P x P p p 4721 , 0 0 4721 , 0 ) 7 ( ) 07 , 0 ( = = Z P
Z Pc)0019 , 0 9981 , 0 1 ) 9 , 2 ( 107 , 7100 5 , 120) 120 ( = = =
|.|
\| = Z P Z P x P f f
17.Unagrantiendadeartculoselctricosdescubrequeelnmeroxdetostadores
vendidosporsemanaobedeceaunaleydePoissondemedia10.Lagananciadecada
tostadorvendidoesde500ptas.Sinembargo,unlunesseencuentranconquesololes
quedan10tostadores,yquealolargodeesasemananovanapodertraermsdel
almacn.Determinarladistribucindelasgananciastotales(enptas.)enconceptode
tostadores de pan a lo largo de esa semana. SOLUCIN:
Teniendoencuentalosdatosdelproblema,podemosdefinirunavariablealeatoria,que
representalagananciatotal(enpesetas)enconceptodetostadoresdepanalolargodela
semana considerada, a partir de la variable x: =10 500010 0 500xx x
pEn el segundo caso, si la demanda x es de ms de 10 tostadores, es
decir, si supera al nmero de existencias, solo es posible vender
este ltimo numero de tostadores. La distribucin de las ganancias
totales en pesetas es, por tanto: } { = = ) ) ( : ( ) ( t w w P t
Fn=| | = = |.|
\|= =5000 15000 0 ) (500) 500 (0 05000t sit si i x PtF t x Pt
sittxKp Kp K
18.Eltiempodereparacindeunasmquinasdeescribirtieneunadistribucin
aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. 1. Hallar la
probabilidad de que el tiempo de reparacin sea menor que diez
minutos.
2.Elcostodereparacinesde2000pts.porcadamediahoraofraccin.Culesla
probabilidad de que una reparacin cueste 4000 pts.?
3.Paraefectuarunaprogramacin,cuantotiemposedebeasignaracadareparacin
paraquelaprobabilidaddequecualquiertiempodereparacinmayorqueeltiempo
asignado sea solo de 0.1? SOLUCIN: Definamosunavariablealeatoria
xquerepresentaeltiempodereparacin(enminutos)delas mquinas y sigue
una distribucin exponencial de parmetro2211) ( = =x E . Por lo
tanto, la funcin de densidad de esta variable es: fx (x) = . 0
,22122f x ex 1). La probabilidad de que un tiempo de reparacin sea
menor que diez minutos es: P (x ) 10 p11510022 221001221 = = = e e
x ex x 2). De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparacin
dado, el costo de reparacin se
obtendrapartirdelnmerototaldefraccionesdemediahorayelconjuntodeminutos
restantes,inferioresa30.(Todos,esteultimoinclusive,secobrana2000pesetas).Teniendo
esto en cuenta, se observa que una reparacin costara 4000 pesetas
siempre que su duracin sea superior a 30 minutos e inferior o igual
a 60 minutos (y as cada fraccin de la segunda media hora se cobrar
como una media hora entera). As: P (30 ) 60 x p11151130226030221 +
= = e e x ex
3).Representamosport(t>0)eltiempoasignadoaunareparacin(enminutos).Debe
verificarse: P (x > t) = 0,1; es decir: 1 , 022122 22 22= = =
ttx xte e x e y esto se cumple para t = -22* ln0,1 = 50, 65751
minutos. 19. Para averiguar el tamao N de una poblacin de lagartos
se utiliza el mtodo siguiente de captura-marcaje-recaptura. Se
capturan k lagartos, se les marca y se les reincorpora a su
poblacin. Un tiempo despus se realizan n avistamientos
independientes de los que es el numero de ellos que estn marcados.
1. Obtener una expresin para la probabilidad de que = m. 2. Si k =
4 y m = 1, demostrar que la probabilidad es mxima cuando N = 4n:
3.SiN=12,k=4yn=3,culeslaprobabilidaddequelostreslagartosobservados
estn marcados si sabemos que al menos uno de ellos lo est? SOLUCIN:
Teniendoencuentaquelosnavistamientosqueserealizansonindependientes,lavariable
aleatoriaxsigueunadistribucinbinomialdeparmetrosnyk=N,dondek=Nesla
probabilidad de que un lagarto escogido al azar de la poblacin este
marcado. 1). La probabilidad de que m de los lagartos estn marcados
es: . , , 1 , 0 , 1 ) ( n mNkNkmnm x Pm nmK =|.|
\| ||.|
\|||.|
\|= = 2). Si k = 4 y m = 1: ( )nnnNN nN Nnx P1114 4 4141) 1 (
=|.|
\| ||.|
\|||.|
\|= = Derivando en la anterior expresin respecto de N e
igualando a cero se obtiene que: ( ) | | 0 ) 4 ( 1 ) 4 (2 1= n N N
n N Nn n por lo que N = 4n 3). Si N = 12, k = 4 y n = 3, la
probabilidad de que los tres lagartos estn marcados sabiendo que al
menos uno de ellos lo est es: 3971) 0 ( 1) 3 () 1 (1 , 3 () 1 3 (
== == == =x Px Px Px x Px x P
20.UnaalumnatraecadadaalaUniversidadunatabletadechocolatede16cm.,yde
cuandoencuandoledaunmordiscoysecomelamitaddeloquelequeda.Asumiendo
que esta golosa apetencia aparece en la maana siguiendo una
distribucin de Poisson de media un mordisco por hora:
1.Calcularladistribucindeltiempoquetranscurrehastaqueaparecelaprimera
mordida. 2. Cuantos centmetros de chocolate esperas que le quede
tras las cinco horas de clases? 3. Qu probabilidad hay de que
soporte una hora de clase sin morder su tableta?
4.Siunda,entrelas9:00ylas14:00horas,lahamordidoencuatroocasiones,que
probabilidad hay de que lo haya hecho durante las tres primeras
horas de clase? SOLUCIN: 1). Fijado cualquier intervalo temporal de
amplitud t horas, para t > 0 arbitrario pero fijo, sea xt
lavariablealeatoriaquemideelnumerodemordiscosqueseproducenendichointervalo.
Segn el enunciado, esta variable aleatoria sigue una distribucin de
Poisson de parmetro t, es decir: ( )tkektk x P = =!, para toda k =
0, 1, 2,. Consideremosotravariablealeatoria
1quemideeltiempoquetranscurrehastaquese produce el primer mordisco
en un intervalo de amplitud ilimitada. Se pretende demostrar que:
xne x f= ) (1, para todo x 0 f .
Enefecto,utilizandolainformacindisponibleparaxtylarelacinentreambasvariables
aleatorias, se tiene que, para cualquier x > 0 : x xnexe x P x P
x P x F = = = = = = 1! 01 ) 0 ( 1 ) ( 1 ) ( ) (01 1 1f
luegoeltiempoquetranscurrehastaqueaparecelaprimeramordidasigueunadistribucin
exponencial de parmetro 1. 2). Sea 5 la variable aleatoria que
midela longitud de la tableta restante tras un intervalo de tiempo
de 5 horas. Claramente: 5 =5216 y por lo tanto lo solicitado es: E|
| ) (216216505 55k P Ek= =((
== =16e25 3). La probabilidad de que soporte una hora de clase
sin morder su tableta es: ee x P1! 01) 0 (10= = = 4). La
probabilidad de que haya mordido la tableta cuatro veces en 5
horas, sabiendo que lo ha hecho en las tres primeras horas de clase
es: 1296 , 0! 45! 02! 43) 4 4 (5420345 3=||.|
\|||.|
\| ||.|
\|= = = ee ex x P 21. Las diagonales de un polgono se obtienen
uniendo pares de vrtices no adyacentes.
1.Obtenerelnmerodediagonalesdelcuadrado,elhexgonoyeloctgono.Calcularlo
para el caso general de un polgono de n lados. 2. Existe algn
polgono en el que el nmero de lados sea igual al de diagonales?
SOLUCIN: 1). Comenzamos calculando el nmero de diagonales del
cuadrado. Hay C = 6 uniones posibles
dedosvrticesdiferentescualesquiera,adyacentesono.Sideestas6parejaseliminamoslas
quecorrespondenavrticesadyacentes(tantascomoelnmerodeladosdelcuadrado),
quedarn 6 - 4 = 2 diagonales. Procediendo del mismo modo con el
hexgono, se obtienenC6;2 6 =6! 4 ! 2! 6= 15 - 6 = 9 diagonales
Anlogamente, en el caso del octgono, se obtienen C8;2 8 = 8! 6 ! 2!
8=827 8= 28 - 8 = 20 diagonales. Finalmente, para el caso general
de un polgono de n lados, el nmero de diagonales es: Cn;2 - n =nnn
)! 2 !( 2! = nn n2) 1 ( =232n n .
2).Veamossiexistealgnpolgonodondeelnmerodeladosseaigualalnmerode
diagonales. Igualando el nmero de lados y el nmero de diagonales se
obtiene: n=232n n , es decir,n(n - 5) = 0: Como1 n , el resultado n
= 0 no es vlido. La solucin es n = 5 (el pentgono). 22. Cuntos
nmeros de 4 dgitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9? 1.
Permitiendo repeticiones. 2. Sin repeticiones. 3. Si el ltimo dgito
ha de ser 0 y no se permiten repeticiones? SOLUCIN: Asumamos que
para que un nmero sea de 4 dgitos su primer dgito debe ser distinto
de cero. 1). Puesto que debe formarse un nmero de 4 dgitos, el
primero de stos no puede ser cero. Por lotanto,hay
nueveposibilidadesparaelprimerdgitoy diezparacadaunodelostresdgitos
restantes, obtenindose un total de 9 103 = 9000 nmeros posibles.
2). Al igual que en el apartado anterior, el primer dgito no puede
ser cero. Como adems no se
permitenrepeticiones,haynueveposibilidadesparaelsegundodgito:elceroylasochono
escogidas para el primer dgito. Por tanto, se pueden formar 92 8 7
= 4536 nmeros. 3) Fijamos el ltimo dgito y, como no puede haber
repeticiones, se obtiene un total de 9 8 7 1 = 504 nmeros.
23.Lospesosde2000soldadospresentanunadistribucinnormaldemedia65kgy
desviacin tpica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado
elegidoal azar pese: a) Ms de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg. c) Menos
de 70 kg. d) Ms de 75 kg SOLUCIN: x es N (65, 8) a) P [x > 61] =
P [z >865 61] = P [z > 0,5] = P [z < 0,5] = 0,6915 b) P
[63 < x < 69] = P [0,25 < z < 0,5] = 0,2902 c) P [x
< 70] = P [z < 0,625] = 0,7357 d) P [x > 75] = P [z >
1,25] = 1 P [z 1,25] = 0,1056
24.Enunprocesodefabricacindetornillossesabequeel2%sondefectuosos.Los
empaquetamosencajasde50tornillos.Calculalaprobabilidaddequeenunacajahaya
este nmero de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno. c) Ms de
dos. Cuntos tornillos defectuosos habr, por trmino medio, en cada
caja? SOLUCIN: x es B (50; 0,02) a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364 b) P
[x = 1] = 50 0,02 0,9849 = 0,372 c) P [x > 2] =1 P [x 2] = 1 (P
[x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) = = 1 (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1
0,922 = 0,078 Por trmino medio, habr = 50 0,02 = 1 tornillo
defectuoso en cada caja. 25. Sea X una v.a. continua cuya funcin de
distribucin es: < 45] y P[x 30] SOLUCIN: a) x es B (100; 0,1) x'
es N (10; 3) P [x = 10] = P [9,5 < x' < 10,5] = P [0,17 <
z < 0,17] = 0,135 P [x < 2] = P [x' 1,5] = P [z 2,83] =
0,0023 P [5 < x < 15] = P [5,5 x' 14,5] = P [1,5 z 1,5] =
0,8664 b) x es B (1 000; 0,02) x' es N (20; 4,427) P [x > 30] =
P [x' 30,5] = P [z 2,37] = 0,0089 P [x < 80] = P [x' 79,5] = P
[z 13,44] = 1 c) x es B (50; 0,9) = x' es N (45; 2,12) P [x >
45] = P [x' 45,5] = P [z 0,24] = 0,4052 P [x 30] = P [x' 30,5] = P
[z 6,83] = 0 27. El departamento de control de calidad de una
empresa que fabrica pauelos sabe que el 5% de su produccin tiene
algn tipo de defecto .Los pauelos se empaquetan en cajas con 15
elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga: a)2
elementos defectuosos . b)Menos de 3 elementos defectuososc)Entre 3
y 5 elementos defectuosos(ambos incluidos) SOLUCIN: 1 pauelo,
p(d)=0.05=p n=15 pauelos, X= #pauelos defectuosos Bi(15,p=0.5) a)
P(X=2)= C15,2 0.052 0.9515-2 =0.135 b) P(X 0 ) = 1-P ( z0) = 1-0.5=
0.500.50 es la probabilidad de 1 lser siga funcionando despus de
7000 horas. n = 3 lseres P(F) = 0.50 = p 1 lser P(F ) = 0.50 = q P
( X = 3) = ||.|
\|33* 0.50 3 * 0.500 = 0.125 37. Una mquina fabrica tornillos
cuyas longitudes se distribuyen normalmente con media 20 mm y
varianza 0.25 mm. Un tornillo se considera defectuoso si su
longitud difiere de la
mediamsde1mm.Lostornillossefabricandeformaindependiente.Culesla
probabilidaddefabricaruntornillodefectuoso?Silosenvasamosenenvasesde15
tornillos, probabilidad de que en un envase no tenga ms de 2
defectuosos. SOLUCIN: 0.5 = desviacin tpica 0.5 2 = 0.25 =
varianzaXN ( 20 ,0.25 ) P(def.) = P ( x >21 ) + P ( x < 19 )
= P( z > 5 . 020 21) + P( z < 5 . 020 19 ) = P( z>2) + P (
z A), siendo A=E(Y)-2 SOLUCIN: a) Y=X1+X2+X3 E(Y)=
E(X1)+E(X2)+E(X3)=1+3+4=8 Var(Y)=1^2+2^2+3^2=14 b) A=E(Y)-2.
A=8-2=6 Y N ( 8, 14 ) P(Y>A)=P(Y>6)=P(Z>((6-8)/3,74)=P (
Z>-0,53)=P ( Z230) = P ( z >(230-200)/100) = P ( z >3) =
1-P ( z 3) = 1- 0,9987 = 0,0013 $ overbooking b) 1 pasajeroP (no
opte) = 0,5= qP (opte) = 0,5= p n = 10 compaas P(X2)=1-P(X 2 ) = 1
- P ( X 2 ) = 1- [ (0)+ (1)+ (2)] = = 1-[||.|
\|010*0,75800*0,24210+||.|
\|110*0,7581*0,2429+||.|
\|210*0,7582*0,2428]= 0,99972
41.Unoperadoreligealazarentrenchipsdeunacaja.Laprobabilidaddequesea
defectuoso es 0,2. a)Si n = 7, cul es la probabilidad de que al
menos 3 chips sean defectuosos? b)Si n = 50, cul es la probabilidad
de tener entre 9 y 12 chips defectuosos? c)Cuntos chips hay en la
caja si la varianza es 32? SOLUCIN: a)n = 7 X= chips defectuososBi
( 7, 0,2) P ( X 3 ) = 1 P ( X < 3 ) = 1 P ( X 2 ) = 1 [ (0)+
(1)+ (2)] = = 1 [||.|
\|07*0,20*0,87+||.|
\|17*0,21*0,86+||.|
\|27*0,22*0,85] = 10,852= 0,148 b)n = 50 X Bi (500,
0,2)-------------------------- N ( 10, 2,828 ) 10 2 , 0 * 50 * = =
= p n 1 quioscoP (no vender entre 13 y 31) = 0,242 = qP (vender
entre 13 y 31) = 0,7580 = p1 chipP (no defectuoso) = 0,8 = qP
(defectuoso) = 0,2 = p q p n * * = =2.828 P ( 9 X 12 ) = P
((9-10)/2,828 z (12-10)/2,828 ) = P ( -0,35 z 0,707 ) = = P ( z
0,707 ) P ( z -0,35 ) = 0,7580 ( 1 - 0,6368 ) = 0,3948 c)n = ? Var
(x) = 32--------------------- n*p*q = 32 ; n*0,2*0,8 = 32 N = 200
chips
42.Elvolumenqueunamquinadellenadoautomticodepositaenlatasdeunabebida
gaseosa tiene una distribucin normal con media 34 cl. Y una
desviacin tpica 1,5 cl. a)Si se despachan aquellas latas que tienen
menos de 33 cl., cul es la proporcin de latas desechadas? b)La
mquina de llenado puede ser ajustada para cambiar el volumen medio
para que nicamente el 1% de las latas tuviera menos de 33 cl.?
c)Sitomamos10latasllenadasconlamquinatalycomofiguraoriginalmente,
cul es la probabilidad de que ninguna sea desechada?
d)Siahoratomamos500latasllenadasconlamquinatalycomofigura
originalmente, cul es la probabilidad de que al menos 100 sean
desechadas? SOLUCIN: a) XN( 34,1,5 ) P( X< 33 ) = p( z <
(33-34)/1,5 ) = ( z < -0,66 ) = p( z 0,66 ) = 1-p( z 0,66 )
=1-0,7454 = 0,2546B probabilidad de que la lata sea desechada b) ?
P( X
