SILA TRENJA – OD FUNDAMENTALNIH PROCESA DO MAKROSKOPSKIH ZAKONA

Ljubiša Nešić i *Vera Prokić

Prirodno-matematički fakultet, Višegradska 33, 18 000 Niš, nesiclj@pmf.ni.ac.rs *Poljoprivredna škola Priština-Lešak, 38 219 Lešak, vera_prokic@yahoo.com

Apstrakt Trenje je jedan od najstarijih problema u fizici sa velikom primenom u praksi. Fenomenološki zakoni trenja koji se mogu naći u udžbencima fizike uobličeni su još pre oko 300 godina, a dugo nakon toga nije bilo značajnijeg napretka u razumevanju njegove suštine. U poslednjih dvadesetak godina načinjen je veliki proboj u ovoj oblasti, pre svega ovladavanjem novim eksperimentalnim tehnikama i načinima simulacije molekularne dinamike. U radu su, sem kraćeg istorijskog pregleda razvoja predstava o trenju, prikazana i najnovija dostignuća sa preporukama za primenu u nastavnoj praksi. Uvod Trenje je po mnogim aspektima izuzetan fenomen. Iako prožima naše svakodnevno iskustvo i dalje ima puno toga što treba da naučimo o njegovoj prirodi i kako može da se predvidi i kontroliše. Efekti trenja u mašinama i materijalima su predmet brojnih studija i sporenja stotinama i hiljadama godina. Lista velikih naučnika koji su ovom problemu posvetili puno vremena je veoma duga. Ipak, kompletan opis fundamentalnih procesa koji su u osnovi trenja i jedan kvantitativan model koji je primenljiv na sve situacije u kojima se javlja trenje, ostaje nedostižan. Sa nekim od osnovnim osobina trenja se upoznajemo još kao deca kada nas uče da ruke zagrejemo trljanjem jedne o drugu, da hodamo ili da ne padnemo na ledu. Trenje se takođe javlja na i u ljudskom telu. U jednoj od studija koje su se bavile trenjem u ljudskoj kosi finansiranoj od strane proizvođača šampona razmatrane su razlike u trenju u odnosu na smer nanošenja šampona. Ispostavilo se takođe da kinetičko trenje u uslovima različite vlažnosti vazduha značajno utiče na izgled „fenirane” kose. Trenje na koži natrljanoj različitim sapunima, losionima i kremama, je od velikog ekonomskog značaja za proizvođače koji u skladu sa rezultatima istraživanja proizvode različite linije za različite etničke grupe, itd. Trenje kože u dodiru sa raznim materijalima je veoma značajno u sportu. Sem sasvim očiglednih primera vezanih za atletiku i gimnastiku, dobro je poznato da za skoro svaki šampionat u fudbalu, košarci, rukometu i odbojci se proizvode nove lopte sa posebnim karakteristima njihovih površina. Setimo se i posebnih kostima koji su korišćeni u plivanju dok nisu zabranjeni za upotrebu na zvaničnim takmičenjima. U analizi karakteristika materijala za punjenje šupljina u zubima ili pravljenje veštačkih zuba trenje koje se javlja prilikom žvakanja zauzima veoma značajno mesto. Veštački zglobovi su naredno veoma značajno polje istraživanja u ovoj oblasti. Trenje je uvek povezano sa gubicima u energiji i sa habanjem na mestima dodira. Stoga je uglavnom cilj da se trenje odgovarajućim dizajnom svede na najmanju moguću meru kako bi se uštedelo na energiji. Postoje međutim i situacije u kojima je trenje poželjno (sviranje violine, hodanje, vožnja, ...), ponekad i u maksimalno mogućem iznosu (između guma automobila i puta). Slično važi i za pojavu habanja koja je u nekim tehnološkim procesima kao što su brušenje, poliranje i peskarenje, poželjna. S obzirom na takvo mnoštvo procesa u kojima se ispoljava trenje njegovim proučavanjem se bave naučnici u oblasti fizike čvrstog stanja, hemije, fizike materijala, mehanike fluida i raznim inženjerskim disciplinama. U drugoj polovini prošlog veka su ta istraživanja dovela do ubrzanog razvoja tribologije – naučno-tehničke discipline koja se osim

fenomenom trenja bavi i habanjem i uticajem podmazivanja na trenje.1 U cilju eksperimentalnog proučavanja trenja konstruisani su dovoljno osetljivi uređaji kojima je moguće izvršiti merenja sila koje se pojavljuju u kontaktima mikrodomena tela između kojih postoji trenje, čime je bilo moguće proveravati teorijske modele. U zavisnosti od skale na kojoj se, u okviru tribologije proučava trenje, moderna tribologija se deli na tri oblasti: makrotribologiju, mikrotribologiju i nanotribologiju. Makrotribologija se bavi velikim telima i ne uzima u obzir njihovu strukturu. Nasuprot njoj, nanotribologija upravo objašnjava fenomen trenja na nivou interakcije individualnih atoma, dok se mikrotribologija po pristupu nalazi između njih. U ovom radu će biti prezentovan trenutni status razumevanja suvog trenja klizanja između površi koje su ravne na atomskom nivou. Ovakav tip trenja, iako idealizovan, predstavlja najprostiji ali i najfundementalniji tip trenja u tribologiji. Značajan je za proučavanje jer u njemu nema efekata izazvanih plastičnim deformacijama eventualnih ispupčenja, odnosno neravnina, na dodirnim površinama. Na osnovu predstava o suvom trenju klizanja moguće je konstruisati jednostavne makroskopske modele koji mogu da učenicima prikažu osnovne osobine procesa koji se odvijaju na međuatomskom nivou između površi među kojima se javlja trenje. Ovo je od velikog značaja jer se trenje i njegov opis još uvek zasnivaju na rezultatima istraživanja Kulona i njegovih prethodnika a trenutni status u ovoj oblasti je odavno vezan za oblast nanonauka koje, na žalost, uz još neke sasvremene oblasti u kojima je načinjen proboj, još uvek nisu našle svoje mesto u programu fizike u školama u Srbiji. Tradicionalni pristup obradi trenja u nastavi i njegova ograničenja

U standardnim kursevima opšte

fizike obično se navodi da se sila trenja klizanja, koja deluje između dva tela u kontaktu, od kojih jedno obično smatramo „gornjim” telom koje se nalazi „na podlozi” koju pritiska (slika 1), opisuje fenomenološkim zakonom [1]

Ntr FF , (1)

gde je FN intezitet normalne sile (reakcije „podloge”) koja predstavlja meru toga koliko su tela koja klize „pritisnuta” jedno uz drugo a µ je koeficijent trenja

čija vrednost zavisi od kombinacije materijala. U okviru ovako jednostavnog tretmana se takođe pretpostavlja da koeficijent trenja može da ima samo dve vrednosti: statičku i, obično nešto manju, dinamičku vrednost. Kako koeficijent trenja ne zavisi niti od veličine dodirne površine, niti od brzine klizanja, ova relacija u sebi sumira sve empirijske zakone trenja. Iako jednostavna, relacija (1), ima veliku primenu, naročito u slučaju suvog (Kulonovog) trenja, koje se odnosi na klizanje bez podmazivanja između dva interagujuća tela. Obično se, pored toga analiziraju zakonitosti statičkog i kinetičkog trenja između krutih tela, trenje kotrljanja, trenje u fluidima, ... drugim rečima radi se samo o makroskopskim manifestacijama ovog fenomena. Kao uzrok trenja navodi se uglavnom zalaženje neravnina jedne površi u neravnine druge sa kojom je ona u kontaktu. Suština trenja i pravi uzroci, uglavnom zbog

1 Pojam „tribologija“ je prvi uveo Peter Jost 1966. godine u izveštaju Ministarstvu obrazovanja i nauke Velike Britanije u kome je ukazao na ogromnu količinu novaca koja se gubi usled trenja, habanja i korozije.

Slika 1. Uobičajeni makroskopski prikaz delovanja sile trenja.

kompleksnosti na koje je ukazano u prethodnom tekstu, obično nisu tema. Posledica toga je da učenici i studenti imaju veoma maglovitu i često pogrešnu predstavu o tome. U realnosti pojava trenja ipak nije tako jednostavna. Površi koje se dodiruju nisu čiste, materijali nisu u potpunosti homogeni, relativna brzina klizanja može da varira i postoje izuzeci od pravila da je statičko trenje uvek veće od dinamičkog. Takođe sila trenja ne mora da bude sve vreme konstantna čak i ukoliko se brzina klizanja ne menja. Na nju može da utiče recimo temperatura tela pa čak i relativna vlažnost vazduha ili pak oscilacije u sistemima sa kugličnim ležajevima. Ove i slične pojave ne mogu da se objasne uobičajenim jednostavnim modelom trenja i zahtevali su razvijanje novih – specijalizovanih modela. U postupku njihovog formulisanja, kao što to često biva, došlo se do potpunijeg sagledavanja suštine sile trenja. S obzirom na to da su rezultati istraživanja prirode sile trenja relativno novi i da još uvek nisu ugrađeni u kurseve fizike koji se slušaju na fakuletima, većina nastavnika nije upoznata sa njima. Pri tome su neki rezultati čak u suprotnosti sa makroskopskim zakonima koji su prezentovani u udžbenicima fizike. Tako za neke materijale (guma, dijamant, tekstilna vlakna, polimeri i brojne stene), važi relacija Ftr%FN

k, gde je k <1 [2]. U nekim slučajevima, relacija između sile trenja i normalne sile ne može da se formuliše u vidu jednačine. Osim toga, postoje razni lepljivi materijali (plastelin, kit i smola) kod kojih postoji trenje čak i kada nema opterećenja ili čak i pri „negativnom opterećenju“. Zavisnost sile trenja od brzine je takođe problematična. Za mnoge materijale (čelik, bakar i olovo), sila trenja opada sa porastom brzine. Nasuprot tome, kod materijala kao što je polimer Teflon, trenje raste sa brzinom. U standardnom tretmanu, osim obično veoma kratkih napomena da je trenje posledica neravnosti dodirnih površi tela, tela u čvrstom agregatnom stanju između kojih se javlja trenje se uvek smatraju krutim i često u udžbenicima, reprezentuju kao pravougaona tela koja se kreću po horizontalnoj podlozi predstavljenom linijom. Amonton-Kulonov zakon (1) i jednostavna slika koja ga ilustruje su tako dovoljni za rešavanje standardnih zadataka sa trenjem (po horizonatalnoj podlozi i strmoj ravni npr.) ali ne omogućuju dublje razumevanje njegove fizičke suštine. Takva prezentacija trenja ometa pokušaje stvaranja slike odgovarajućih fundamentalnih procesa koji dovode do pojave trenja. Stvaranje odgovarajuće slike procesa je naime bitno da bi učenici i studenti razumeli fizičku suštinu neke pojave. Istraživanja rađena u cilju utvrđivanja predstava o trenju na pojavnom (makro) nivou ukazuju jasno i na neke probleme koje učenici kasnije imaju prilikom obrade ove teme u nastavi.

Tako recimo učenici trenje retko shvataju kao nešto što omogućuje kretanje već kao pojavu koja mu se suprostavlja i otežava ga. Takođe, sila trenja se obično zamišlja kao suprotno usmerena prividnom a ne relativnom kretanju tela u kontaku. Razmatranje samo horizontalnog kretanja koje uključuje dva tela, gde se jedno telo nalazi na drugom pri čemu je spoljašnja sila primenjena na gornje telo, krije još jedan izvor pogrešnih zaključaka. Učenici naime često smatraju da sila trenja deluje samo na gornje telo, zadržavajući ga, a na donje ne. Postoji takođe tendecija identifikovanja normalne sile u Amonton-Kulonovom zakonu sa težinom. Ova pogrešna predstava je najčešće posledica toga što se većina primera koji se navode upravo takva da je normalna sila po vrednosti jednaka težini tela (kretanje po horizontalnoj podlozi) ili normalnoj komponenti sile teže (klizanje niz strmu ravan). Istorijski razvoj predstava o trenju Prvi naučnik koji je došao do nekih zapažanja u vezi sa trenjem verovatno je bio Aristotel. On je analizirao klizanje tela po podlozi i utvrdio je, da bi kretanje tela bilo uniformno, na njega treba neprekidno delovati na isti način. Nakon Aristotela, sve do kraja 15. veka trenje nije naučno tretirano jer se tek Leonardo da Vinči sistematski bavio ovom problematikom [3]. On je zapravo prvi uveo pojam trenja, habanja, podmazivanja, ..., koji su

danas standardni u ovoj oblasti. Da Vinči je u eksperimentima merio ugao strme ravni pri kome telo, koje se nalazi na njoj počne da klizi, kao i težinu kojom treba preko koturače delovati na telo koje se nalazi na ravnoj podlozi da bi došlo do njegovog pomeranja. Koeficijent trenja je uveo kao odnos sile trenja i mase tela koje klizi po podlozi.2 Na osnovu rezultata istraživanja došao je do dva važna zaključka: sila trenja je dva puta veća kada se težina tela dva puta poveća; sila trenja ne zavisi od toga kako se telo nalazi na podlozi, odnosno kolikom površinom naleže na nju. Ova otkrića nije publikovao, tako da su pala u zaborav nakon njegove smrti. Do istih zaključaka je, nakon oko 300 godina, ponovo došao Amonton i objavio ih u izveštaju Francuskoj Akademiji nauka 1699. godine. Dva Amontonova zakona suvog trenja klizanja koja, uz male modifikacije, i danas važe glase:

1) Sila trenja direktno je proporcionalna normalnoj sili kojom telo pritiska podlogu. 2) Intenzitet sile trenja ne zavisi od veličine dodirne površine tela.

Sledeće značajno ime čiji su radovi vezani za analizu trenja je Leonard Ojler. On je pretpostavio da je sila trenja posledica gravitacione sile, koja teži da minimizira potencijalnu energiju tela. U Ojlerovom modelu klizanje počinje u momentu kada nagib neravnina, za koje je pretpostavio da su trouglaste, na strmoj ravni, postane horizontalan. Ukoliko je tipičan ugao nagiba neravnine površi α koeficijent trenja je μ = tg α. Ojler je označio koeficijenta trenja grčkim slovom μ i prvi uvideo razliku između statičkog i kinetičkog trenja.

Kulon je, jedan vek nakon Amontona, uveo i treći empirijski zakon trenja:

3) Od momenta proklizavanja, sila trenja je nezavisna od relativne brzine klizanja.

Iz tih razloga, ova tri zakona su danas poznata kao da Vinči-Amonton-Kulonovi ili Amonton-Kulonovi zakoni suvog trenja klizanja. Kulon se, osim što je proverio Amontonove zakone i postavio treći zakon trenja, bavio i suštinom njegovog nastanka. Na osnovu istraživanja je predložio, slično Ojleru, da su mikrometarske neravnine na mestu kontakta odgovorne za pojavu trenja.3

Kulonovi zaključci o trenju su dominirali oko jednog i po veka a mnogi od njegovih koncepata ni danas nisu odbačeni tako da se termin „kulonovsko trenje” još uvek može naći u savremenim publikacijama. Kulon je prvi ukazao na odstupanja od jednostavnih empirijskih zakona trenja. Tako je, na primer, utvrdio da sila statičkog trenja raste sa vremenom koje tela provedu u stanju mirovanja. Njegova knjiga „Theory of Simple Machines” (1781), sadrži praktično sve što je

2 Njegova definicija se razlikuje od danas prihvaćene po kojoj je ovaj koeficijent jednak odnosu intenziteta sile trenja i normalne sile. 3 Manje je poznata činjenica da je Kulon koji je inače bio vojni inženjer, za objašnjenje trenja bio zainteresovan radi učešća na konkrusu Akademije Nauka u Parizu koja je, 1777. godine, ponudila nagradu za najbolje rešenje trenja koje se javlja kod klizanja i kotrljanja i primenu kod jednostavnih mašina koje se koriste u mornarici. Kako nije ponuđeno ni jedno zadovoljavajuće rešenje nagrada nije dodeljena već je duplirana a Kulon je svoj rad na ovu temu počeo 1779. godine, a rad na osnovu koga je dobio nagradu je objavljen 1781. godine.

Slika 2. a) Trouglaste neravnine kao uzrok trenja u Ojlerovom modelu, b) Interakcija između neravnina

kao poreklo sile trenja (Kulonova skica).

predmet proučavanja tribologije. Čak je i ime instrumentu koji se koristi za merenje u ovoj oblasti, tribometar, dao Kulon [4,5]. Alternativno objašnjenje trenja je dao Desagulije uvodeći 1734. godine tvrdnju da je baš molekularna adhezija najvažnija za fenomen trenja. Intenzitet sile koja se javlja u ovom slučaju je međutim srazmeran kontaktnoj površini, što je u suprotnosti sa fenomenološkim Drugim Amontonovim zakonom trenja. Nezavisno od Kulona Semjuel Vince je 1785. godine predložio ideju da je priroda statičkog trenja vezana za koheziju i adheziju. Nešto kasnije je, Džon Lesli, profesor fizike u Edinburgu, razmatrao energijske aspekte trenja krutih tela. Na osnovu te analize je zaključio da se oni ne mogu objasniti na osnovu predstave o trenju po kojoj se neravnine „gornjeg” tela kreću po neravninama „donjeg” jer bi se u tom slučaju potencijalna energija koja se izgubi prilikom klizanja niz neravninu podloge nadoknađivala u fazi penjanja po narednoj neravnini. Tokom industrijske revolucije pojavili su se mnogo praktični problemi u ovoj oblasti koji su morali biti rešavani: trenje u lagerima vodenica, vetrenjača i vodenih kola, trenje u kočnicama, trenje priliom transporta robe i ljudi ... U drugoj polovini 19. veka rad na prirodi trenja klizanja i kotrljanja je nastavio da cveta pojavom radova Hajnriha Herca koji je razvio, i danas prisutne, osnove naprezanja koja se javljaju pri kontaktu elastičnih tela. Hercova teorija uzima u obzir elastične deformacije ali ne i pojavu sila adhezije koje se javljaju i naročito su izražene kada su površine tela koja se dodiruju jako glatke ili kada je bar jedno od tela napravljeno od mekanog materijala (guma ili neka biološka struktura). Predstave o sili trenja u 20. veku Do daljeg napretka u ovoj oblasti u 20. veku je došlo ovladavanjem novim tehnikama eksperimentisanja i modelovanja koje su omogućile bolje sagledavanje strukture i mikrogeometrije realnih površi. Na osnovu toga je u radovima Tomlinsona i Derjagina ponovo razmatrana uloga adhezije, odnosno makroskopsko ispoljavanje trenja kakvim ga registrujemo kao posledice molekularne interakcije i energijske disipacije.

Slika 3. Kontakt dva tela makroskopski izgleda glatko a), on se međutim sastoji od velikog broja kontakata pojedinačnih mikroispupčenja b). Na nanoskali kontakt jednog mikroispupčenja pak izgleda gladak c) ali se u stvari sastoji od kontakata inidivudualnih atoma d). Detalji kontakta na raznim skalama pri tome mogu da zavise i od iznosa normalne sile.

Oko 1950. godine su Bouden i Tabor, sistematskim izvođenjem eksperimenata pokazali da se kontakt između makroskopskih tela uspostavlja preko niza malih ispupčenja/šiljaka. Na osnovu toga je uveden pojam realne kontaktne površine koja je manja od prividne/geometrijske dodirne površine. U Bouden-Taborovom modelu sila trenja je na taj način srazmerna realnoj dodirnoj površini SR

Rtr SF , (2)

gde konstanta proporcionalnosti predstavlja napon smicanja koji je povezan sa fundamentalnim osobinama materijala. Zbog sličnosti sa Desagulijeovim adhezionim modelom ovaj model se zove Bouden-Taborov adhezioni model. Gubitak energije prilikom trenja je u ovom modelu opisan plastičnim deformacijama ispupčenja na površima tela koja se dodiruju. Ukoliko se broj neravnina u realnom kontaktu (slika 3) npr. poveća duplo onda se u tom iznosu povećava i sila trenja što je upravo iskazano relacijom (2). Odnos sile trenja i realne površine dodira je prema tome konstantan. Opštije je međutim pretpostaviti da ovaj odnos zavisi linearno od primenjenog pritiska P na sledeći način

P 0 . (2)

Prvi sabirak 0 opisuje napon smicanja koji se javlja usled lateralnog prevlačenja sonde „nulte težine” po uzorku materijala a P je dodatni napon izazvan pritiskom. Na osnovu tih pretpostavki se dobija

NRRR

NRtr FSS

S

FSPF 000 )()( . (3)

Za velike pritiske ova jednačina svodi na Amontonov zakon trenja pri čemu je koeficijent

trenja jednak . Iz relacije (3) se međutim vidi da trenje postoji i kada nema pritiska. To znači da se koeficijent trenja u opštem slučaju sastoji od dve komponente: jedne za koju se može reći da je u vezi sa adhezijom (privlačenje molekula sonde i uzorka) i druge koja je u vezi sa abrazijom (grebanje sonde po uzorku). Drugim rečima može se pisati da koeficijent

trenja može da se predstavi kao zbir =A+AB gde su sabirci koefijenti adhezionog i abrazivnog trenja [6]. Za nanotribologiju je od najvećeg interesa adheziona komponenta sile trenja jer ona omogućuje da se vizuelizuje atomska struktura glatke površi uzorka. Kolika je stvarna dodirna površina? Sa slike 3 se vidi da odgovor zavisi od skale na kojoj se vrše merenja kao i to da površina ima fraktalnu strukturu. U realnim eksperimentima se ona određuje na različite načine. Jedan od najjednostavnijih je optička metoda zasnovana na posmatranju oblasti dodira optičkim mikroskopom u cilju određivanja veličine i oblika njenih neravnina. Veličina dodirne površine se može odrediti i merenjem otpornosti ili provodnosti koja se na dodiru dva tela menja sa promenom normalne sile. Danas su sa napretkom u oblasti nanotehnologija razvijene metode koje omogućuju merenje realne površine dodira sa mnogo većom tačnošću [5]. Trenje sa habanjem i disipacija energije Habanje je po svojoj suštini proces koji se objašnjava plastičnim deformacijama. S obzirom na to, kao i na činjenicu da se taj proces sasvim sigurno odvija kad god postoji dodir dva tela prirodno je da se dugo smatralo da je upravo habanje odgovorno za disipaciju energije u procesima trenja. Ukoliko se međutim pođe od prepostavke da se mehanički rad koji se vrši da bi se pokrenula lokomotiva troši uglavnom na habanje točkova usled trenja sa šinama (prilikom koga se odvijaju plastične deformacije) proračuni pokazuju da bi se točkovi

potrošili nakon svega nekoliko pređenih kilometara [5]. Iako prilikom trenja plastične deformacije ne mogu da se u potpunosti zanemare, jasno je da ne mogu da igraju dominantnu ulogu. Ili kako je tvrdio Tomlinson: „...samo mali deo atoma koji učestvuju u kontaktu dva čvrsta tela usled toga promeni svoja mesta”. Ovo tvrđenje je 1961. godine formulisano u obliku tzv. Arkardovog principa: „Većina procesa koji se dešavaju pri trenju se sastoje u elastičnom deformisanju ispupčenja na površima i njihovom odvajanju bez oštećenja dok je oštećenje ispupčenja veoma redak događaj”. To znači da moraju da postoje drugi mehanizmi disipacije koji ne menjaju strukturu površi koje se dodiruju. Tačnije, određene infinitezimalne promene se sasvim sigurno odvijaju na dodirnim površinama ali te promene nisu trajne i nakon odvajanja površi nestaju. Upravo u takvim procesima koji se stalno odvijaju mehanički rad se transformiše u toplotu. Svi ti procesi se u osnovi svode na međudelovanje atoma koje je konzervativno tj. opisuje se odgovarajućim potencijalnim energijama pa ne može bez nekih dodatnih pretpostavki da opiše gubitak energije. Upravo je Tomlinson 1929. godine predložio novi disipacioni mehanizam koji je danas poznat pod nazivom Tomlinsonov mehanizam koji se sastoji u sledećem: Kada jedan atom prolazi kraj drugog, uspostavljaju se određena nepovratna stanja u kojima se toplota oslobađa na račun rada spoljnjih sila. Fizičke osnove adhezije

U osnovi adhezije je interakcija neutralnih atoma. Ona se aproksimativno može opisati Lenard-Džonsovim potencijalom

612)(

r

B

r

ArU , (4)

gde je sa r označeno rastojanje atoma, a A i B su pozitivne konstante. Ravnotežno rastojanje r0 (na tom rastojanju potencijalna energija ima ekstremnu vrednost) je pri tome r0=(2A/B)1/6. Radi jednostavnijih izraču-navanja ovaj potencijal može da se zameni nešto grubljim modelom zadatim relacijom

0

06)(rr

rrr

BrU , (5)

koji utiče neznatno na parametre modela ali u velikoj meri olakšava izračunavanja. Sličnosti i razlike ova dva potencijala se lako uočavaju na slici 4. Na osnovu modela (5) se relativno lako može izračunati da je potencijalna energija UT interakcije dva glatka (do atomskog nivoa) kruta tela čije se površi nalaze jedna naspram druge na rastojanju h, po jedinici njihove površine S data izrazom [4]

2h

Q

S

UT , (6)

gde je Q=Bn2/12 (n je koncentracija atoma u posmatranom uzorku). Ukoliko se tela sa velikog rastojanja dovedu u „direktan kontakt” (tj. nađu na ravnotežnom rastojanju r0), sila interagovanja između njih je pri tome izvršila rad po jedinici površine

Slika 4. Lenard-Džonsov potencijal (puna linija) i jednostavniji model (isprekidana linija)

2h

Q

S

A . (7)

Da bi se tela razdvojila delovanjem spoljašnjih sila, mora biti izvršena rad koji je makar jednak ovom. Time se zapravo formiraju dve slobodne površi a polovina tog rada, tj. energija potrebna za formiranje jedne površi po svom smislu predstavlja koeficijent površinskog

napona tela =Q/(2r02).

Na osnovu njegove vrednosti može se proceniti vrednost međumolekularnih sila na sledeći način. Sila po jedinici površine dva glatka tela koja se nalaze na udaljenosti h se nalazi difrenciranjem izraza (6) po h

3

21

h

Q

dh

dU

SS

F . (8)

Pri „direktnom kontaktu” h=r0, normalni napon ove sile je

03

0

42

rr

Q

S

F . (9)

Za vrednost =(1-2) J/m2, koja je tipična za većinu metala, i za r0410-10 m, za napon se

dobija =1010 N/m2. Na osnovu ovog rezultata se lako vidi da kontaktna površ površine samo 1 cm2 može da izdrži masu od 100 tona. To znači da je teorijska vrednost međumolekularne interakcije dve idealno glatke površi mnogo veća nego što bi se očekivalo na bazi svakodnevnog iskustva. U realnim sistemima je ova vrednost redukovana u najvećoj meri neravnošću površi u „dodiru”. Adhezija u prirodi

Gekon je familija malih guštera koji mogu da se penju uz glatke zidove i čak da hodaju po plafonima.4 Ovo postižu zahvaljujući jakim adhezionim silama između tabana i podloge. Naučnicima je ova životinja dugo bila izazov za pravljenje robota koji mogu da se kreću uz zidove. Istraživanja su pokazala da se na nogama guštera nalazi veliki broj

dlačica koje, u delovanju sa podlogom, omogućuju specifičan način kretanja.5 U pokušaju da se imitiraju takvi uslovi, uspelo se u ovladavanju tehnologijom livenja kojom može da se na kvadratni centimetar podloge postavi oko 42 miliona čvrstih plastičnih mikrovlakana. Dužina takvih vlakana je oko 20 m (oko 1/5 debljine lista papira) a prečnik je oko 600 nm (oko 1/100 prečnika ljudske dlake). Kao i kod guštera, sintetička mikrovlakna nisu „lepljiva“ dok god ne proklizaju malo rastojanje po površi [7].

4 Ove njihove osobine je opisao još Aristotel. 5 U početku se smatralo da gekon može da se penje uz ravne površi zahvaljujući nekoj vrsti fluida koji ispušta (kapilarna adhezija) ali je ustanovljeno da se ipak radi o van der Valsovoj interakciji između neutralnih atoma.

Slika 5. a) Donja strana noge gekona prilikom penjanja uz staklo. b) materijal napravljen u laboratoriji od polipropilena.

Mikroskopija atomskih sila

Mikroskopija atomskih sila (AFM)6 danas igra glavnu ulogu u istraživanjima trenja na nanostruktrunom nivou. Sile koje deluju između oštrog vrha sonde (veličina sonde je nekoliko mikrona) i uzorka (njihovih atoma) rezultuju merljivim deformacijama konzole za koju je sonda prikačena (slika 6). Usled toga, laserski zrak nakon odbijanja od konzole menja pravac kretanja što se očitava na fotodetektoru.

Pri pomeranju konzole duž uzorka ona se deformiše u vertikalnom pravcu (gore-dole) usled odbojnih i privlačnih sila a veličina te deformacije je direktno srazmerna odgovarajućoj

sili elastičnosti. Lateralne sile (tangencijalne u odnosu na površinu uzorka) sa druge strane izazivaju torzione deformacije konzole. Kada je sistem u ravnoteži, sile koje izazivaju vertikalne deformacije (savijanje konzole) i lateralne koje izazivaju njenu torziju su uravnotežene silama elastičnosti u konzoli. Pri ovome treba imati u vidu da lateralna sila može biti, sem trenjem, izazvana i lokalnim nagibom površi. Prema tome, da bi se izvršila pravilna kvantitativna analiza lateralnih i normalnih sila, potrebno je da se znaju „lateralna” i „normalna” krutost konzole, kl i kn respektivno, kao i geometrija sonde i uzorka. Na osnovu poznavanja geometrije i vrste materijala koji su upotrebljeni mogu se izračunati vrednosti krutosti. Ukoliko se radi o komercijalnim silicijumskim konzolama, tipične vrednosti krutosti su: kl=1 N/m i kn=100 N/m. Na dalje će radi jednostavnosti biti smatrano da nema pomeranja u vertikalnom pravcu tj. biće reči samo o lateralnim silama s obzirom na to da su one direktno povezane sa modelovanjem sile trenja na atomskom nivou. Takođe, da bi se izbegao uticaj topografije površi uzorka smatraće se da se radi sa jako uglačanim uzorcima koji su ravni na atomskom nivou. Na slici 7 su prikazani lateralni efekti „skeniranja” površi uzorka sondom koja je

pričvršćena na konzolu. Elastične osobine konzole i uzorka (tačnije interakcije sonde i uzroka) su reprezentovane posebnim koeficijentima krutosti k1 i k2. Ovako posmatran sistem ima elastične osobine ekvivalentne redno vezanim oprugama, tj. njegova krutost ke je

2

2

1

1

kk

kkke . (10)

Da bi konzola bila osetljiva, tj. da bi se u njoj, usled interakcije sonde i uzorka, takođe dešavale uočljive elastične deformacije, njena krutost

6 Skraćenica od naziva Atomic Force Microscopy.

Slika 6. Mikroskop atomskih sila.

Slika 7. Lateralna krutost pri mikroskopiji atomskih sila je povezana sa krutošću konzole

k1 i kontakta sonde i uzorka k2.

Slika 8. Zavisnost lateralne sile od pređenog puta pri kretanju sa leva na desno i povratku u

istu tačku

mora da bude uporediva sa krutošću sistema sonda-uzorak. U eksperimentima se obično koriste sonde radijusa krivine (na mestu dodira sa uzorkom) reda 10-50 nm što znači da se njihov vrh sastoji od male grupe atoma čija međusobna veza je od krucijalne važnosti za vršenje eksperimenta. U idealnom slučaju je potrebno da se pomeranja delova sonde mogu zanemariti tj. da ona poseduje stabilnu geometriju i beskonačnu krutost. U početku su korišćene sonde od silicijuma koje nisu imale dovoljno dobre osobine. Problemi te vrste su razrešeni upotrebom fulerena7 i izolovanih nanožica kao sondi jer ti objekti imaju dobro definisanu strukturu i veoma su čvrsti.

Uređaj koji se koristi u mikroskopiji atomskih sila čija skica je prikazana na slici 6 je veoma sofisticiran ali se njegovo jednostavan model može lako napraviti što je prikazano u radu istih autora u zborniku. Tipična slika koja reprezentuje vrednost lateralne sile u zavisnosti od puta duž koga je prošao vrh sonde je prikazana na slici 8. Mikroskopijom atomskih sila je danas moguće precizno izmeriti sile u oblasti nanonjutna. Stick-slip model trenja

Bez obzira na to što većina današnjih saznanja o uzrocima trenja potiče iz poslednjih dvadesetak godina, većina registrovanih efekata na atomskoj skali može da se razume na osnovu iznenađujuće starog modela poznatog pod nazivom Prantl-Tomlinsonov model iz dvadesetih godina prošlog veka. Uspeh ovog modela, njegove varijacije i generalizacije i primena u cilju razumevanja trenja u različitim uslovima, je izazvano time što

se radi o najjednostavnijem modelu koji uključuje dve najvažnije fundamentalne karakteristike svakog sistema sa trenjem. On opisuje telo pod dejstvom periodične konzervativne sile čija je srednja vrednost nula u kombinaciji sa disipativnom silom koja zavisi od brzine. Bez konzervativne sile ne bi moglo da postoji statičko trenje. Bez prigušenja ne bi mogla da postoji makroskopska sila trenja pri klizanju. Obe karakteristike su prisutne u Prantl-Tomlinsonovom modelu. U određenom smislu i u ovom modelu je sadržana Kulonova ideja o preplitanju neravnina na površima kao uzroku trenja. Skica Prantl-Tomlinsonovog modela je prikazana na slici 9. Sonda je prikazna jednim atomom koji je prikačen elastičnom oprugom krutosti k za telo mase M. Interakcija sonde i uzorka je prikazana periodičnom potencijalnom energijom U(x) u kojoj je sa x označen trenutni položaj sonde dok prostorna periodičnost potencijala iznosi a. Tokom klizanja sonde po uzorku, telo mase M se kreće u x-pravcu uniformno, brzinom vM. U skladu sa time, jednačina kretanja sonde mase m je oblika [8]

xx

xUxxkxm M

)()( . (11)

Opruga je u ravnotežnom stanju u trenicima t kada je xM=vMt. Poslednji sabirak opisuje

prigušenje sa koeficijentom prigušenja . Ono opisuje gubitak energije nezavisno od njegove prave fizičke prirode i trenutnog kanala disipacije (fononi ili elektronske ekscitacije). Rešenje ove jednačine predstavlja putanju sonde x(t). Lateralna sila Fx koja pokreće sondu u x pravcu može da se izračuna iz izraza Fx=k(xM-x), pri čemu sila trenja predstavlja njenu u vremenu 7 Alotropska modifikacija ugljenika otkrivena 1985. godine slučajnim laserskim sintetizovanjem molekula C60. Za ovo otkriće su Harold Kroto, Robert Kerl i Ričard Smoli dobili Nobelovu nagradu. Naziv potiče od prezimena ekscentričnog arhitetkte Bakministera Fulera.

Slika 9. Uzrok trenja u Prantl-Tomlinsonovom modelu

usrednjenu vrednost xtr FF . Ukoliko su brzine klizanja male, analitičko rešenje jednačine

(11) može da se dobije iz prepostavke da je sonda uvek u pložaju stabilne ravnoteže koji odgovara trenutnom minimumu ukupne energije

)()(2

1 2 xUxxkE Mtot . (12)

Odgovarajuća energija je prikazana na slici 10 za dve pozicije xM i za sinusiodalni interakcioni potencijal. Na prvo delu slike sonda se nalazi u lokalnom minimumu. Energijska

barijera visine E sprečava sondu da dostigne sledeći energijski minimum sa desne strane. Pošto se konzola kreće u x-pravcu, energijska barijera se

smanjuje što omogućuje sondi skok u naredni lokalni minimum. U skladu sa periodičnošću interakcionog potencijala ovakav niz „stick” i „slip” procesa se ponavlja tokom prolaska sonde po površi uzorka.

Uslovi da se radi o lokalnim minimumima ( 0/ xEtot i 0/ 22 xEtot ),

omogućuju dalju analizu kretanja sonde. Naime njena putanja mora da zadovoljava rešenje jednačine

x

Uxxk M

)( . (13)

Za jako krute opruge, postoji samo jedno rešenje za sve vrednosti xM koje rezultuje u neprekidnom kretanju sonde bez trenja, pošto je u tom slučaju srednja vrednost lateralne sile jednaka nuli. Međutim, kretanje sonde se dramatično menja ukoliko je zadovoljen uslov

min

2

2

x

Uk . (14)

Sada se sonda kreće u trzajevima koji odgovaraju već pominjanom „stick-slip” kretanju po površi uzorka uz skakanje iz jednog potencijalnog minimuma u drugi. Takvo kretanje je prikazano na slici 8. Kako je srednja lateralna sila jednaka nuli u tom slučaju, ovakvo kretanje dovodi do sile trenja koja je neophodna da se pokrene telo M u x-pravcu. Upravo takvo kretanja se, kao što je rečeno, pojavljuje u mikroskopiji atomskih sila. Potencijalna energija interakcije sonde i uzorka se obično uzima u obliku

vx

a

UU

2cos

20

int , (15)

gde vrednost amplitude U0 zavisi od vertikalne sile. Ukoliko se ovakva potencijalna energija ubaci u izraz (14), korisno je definisati parametar

20

22

ka

U . (16)

Slika 10. Prantl-Tomlinsonov mehanizam.

Ukoliko je >1, uslov (14) je zadovoljen i realizuje se „stick-slip“ kretanje dok se neprekidno

klizanje bez disipacije dobija ako je 1. Literatura [1] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentals of Physics 7th edn (New York:

Wiley), 2005 [2] U. Besson, L. Borghi, A. De Ambrosis and P. Mascheretti, Am. J. Phys. 75(12) (2007)

1106 [3] J. Gao, W. D. Luedtke, D. Gourdon, M. Ruths, J. N. Israelachvili and Uzi Landman, J.

Phys. Chem, B, 108, (2004) 3410 [4] V. L. Popov, Contact Mechanics and Friction, Physical Principles and Applications,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2010) [5] E. Meyer, R. M. Overney, K. Dransfeld, T. Gyalog, Nanoscience: Friction and Rheology

on the Nanometer Scale, World Scientific, Singapore (1998) [6] V. Dedkov, Physics - Uspekhi 43(6) (2000) 541 [7] University of California, Berkeley. "Climbing The Walls? New Adhesive Mimics Gecko

Toe Hairs." ScienceDaily, 30 Jan. 2008. [8] H. Holscher, A. Schirmeisen and U. D. Schwarz, Phil. Trans. R. Soc. A 366 (2008) 1383