Šestilo in Lorenzo MascheroniMarko Razpet

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti

Ljubljana, 4. april 2011

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Jarmovka

Na Cerkljanskem je nas otroke nekočzanimalo, od kod izvirajo besede:Cerkno, Cerknica, Cerklje, cerkev,cirkus, cirkle (nar. šestilo), kasneje patudi Kirchheim (nem. Cerkno), Circhina(ita. Cerkno). To je dalo povod za maloraziskavo.

V stari gřsčini je κρίκος (kŕıkos) besedaza neki obroček pri vpregi, po naše birekli jarmovka. Skozi take obročke sovtikali ojesa.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Cirkus

Iz besede κρίκος je z medsebojnozamenjavo dveh glasov nastala beseda zaobroč oziroma krog: κίρκος (ḱırkos). Iz njese je razvila latinska beseda circus z enakimpomenom. Zato imamo besedo cirkus, ki jevsem znana, saj so bili prvi cirkusi okrogliali ovalni.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Lunj

Zanimivo je tudi, dastarogřska beseda κίρκοςpomeni tudi kanjo, kragulja inskobca. Čudno to ni, saj tiptiči krožijo po zraku, koǐsčejo plen. Povsemupravičeno so rjavega inpepelastega lunja, ki sta tudiujedi, znanstveno poimenovaliCircus aeruginosus oziromaCircus cyaneus.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Doklerjev gřsko–slovenski slovar

κρίκος, ὁ obroč(ek); jarmovka (skozikatero se je vtikalo oje), τῶν ἱστίωνobročki, na katerih so bila pritrjenajadra.

κίρκος, ὁ kanja, kragulj, skobec.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Podobne besede

Κίρκη, ἡ čarovnica na otoku Ajaji.κύκλος, ὁ krog, kolobar, okrožje, obod, okroglina.Κύκλωψ, ὁ Kiklop.κυριακὴ οἰκία, Gospodova hǐsa.Iz te besede se je razvila beseda cerkev, nemško Kirche,staroangleško cirice.κύριος, ὁ gospod, vladar, mož, soprog.

V prvi knjigi Evklidovih Elementov pǐse (Ευκλείδης, Στοιχεῖα):ιϛʹ. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.In točka se imenuje sredǐsče kroga.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Šest

Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko orodje.Že v osnovni šoli, ali pa morda že prej, spoznamo, da s šestilomlahko razdelimo krog na šest enakih delov. Zato običajno niti nerazmǐsljamo o tem, da je beseda šestilo ravno zato izpeljana izštevnika šest. Hrvati in Srbi uporabljajo za šestilo besedo, ki tudiizhaja iz števnika šest, namreč šestar oziroma xestar. Prav takoMakedonci. Toda v nekaterih drugih jezikih je popolnoma drugače.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Krog

V češčini se šestilu reče kruž́ıtko, kerje izpeljano iz besede kruh, karpomeni po slovensko krog. Stareǰsačeška beseda za šestilo pa jekružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Circulus

Pomanǰsevalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki seuporablja v pomenu krog, na primer v geometriji. Iz nje so serazvile besede za šestilo v nekaterih jezikih.V sami latinščini je šestilo circinus,v nemščini Zirkel,v luksembuřsčini potegnejo v Zierkel,v estonščini sirkel,v polǰsčini cyrkiel,v ruščini in ukrajinščini cirkul~ (cirkulj),v beloruščini cyrkul~ (cyrkulj),v litovščini circulis, v esperantu cirkelo.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Šestilo iz arabščine

Bolgari uporabljajo besedopergel (pergel).Turki pa tudi pergel. Slednjiso jo sprejeli iz arabščine inposredovali Bolgarom.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Korak

Cela vrsta jezikov pa besedo za šestilo izvaja iz vulgarne latinskebesede compasso, kar pomeni odmerjam s koraki, kajti korak je polatinsko passus. Ta beseda pomeni tudi stopinjo, sled ali pa rimskodolžinsko enoto. S šestilom res lahko odmerjamo kote in razdaljeter jih prenašamo.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Kompas

Zato imamo besede za šestilo: v italijanščini compasso, v španščinicompás, v katalonščini in okcitanščini (južna Francija) compàs, vromunščini compasul in moldavščini kompasul, v portugaľsčinicompasso, v francoščini compas, v nizozemščini passer, danščini innorveščini (bokmål) passer pa tudi passeren, v norveščini (nynorsk)passaren, v švedščini passare, pa tudi passaren ali cirkelpassaren, vangleščini compass oziroma compasses, kar pa je pravzapravokraǰsava za izraz pair of compasses, v iřsčini an kompás.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Diabetes

Finci uporabljajo za šestilo besedo harppi, Madžari körző, protivsem pričakovanjem pa Grki besedo διαβήτης (v novi gřsčini se toprebere diavitis). Skriestuvas se reče šestilu v letonščini. Bretoncipravijo šestilu kelc’hier, Islandci hringfarinn in Baski konpas. NaŠkotskem pa so nekoč šestilu rekli an roinneadair.

Gřska beseda διαβήτης, ki nas spominja na vse kaj drugega kot našestilo, prihaja iz glagolaδιαβαίνω, delam velike korake, razkoračim se.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Simboli

Šestil je več vrst, odvisno odnamena uporabe, pojavlja pase tudi v nekaterih simbolih.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Šestilo v teologiji

V srednjem veku je bilo šestilosimbol za geometrijo, vesoljni redin načrtno delo, zlasti vgradbenǐstvu, pa tudi vzemljemerstvu.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Ozvezdje

Obstaja tudi ozvezdje Šestilo,po latinsko Circinus, in sicerna južnem nebu.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Šest, korak, krog

Spoznali smo torej, da je izvor besed za šestilo različen: nekatereso nastale iz števnika šest, druge iz latinske besede passus, tretje izustrezne besede za krog.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Lorenzo Mascheroni

Geometrijske konstrukcije samo sšestilom so Mascheronijevekonstrukcije. Lorenzo Mascheroni(1750–1800) je bil italijanskimatematik, po katerem so takekonstrukcije dobile ime.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta

γ = limn→∞

{1 + 12 +

13 + . . .+

1n − ln(n + 1)

}.

γ = 0.577215664901532860606512090082 . . .

Za vsako naravno število n velja relacija(1 + 1n

)n< e <

(1 + 1n

)n+1,

iz katere sledi po logaritmiranju

n ln(

1 + 1n

)< 1 < (n + 1) ln

(1 + 1n

).

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 1

Levo polovico prepǐsemo v obliko

ln(n + 1)− ln n < 1n ,

desno polovico pa v obliko:

1n + 1 < ln(n + 1)− ln n.

Namesto naravnega n pǐsemo raje k:

1k + 1 < ln(k + 1)− ln k <

1k .

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 2

Vse dobljene relacije za k = 1, 2, . . . , n seštejemo in dobimo:

12 +

13 + . . .+

1n + 1 < ln(n + 1) < 1 +

12 +

13 + . . .+

1n .

Vsotahn = 1 +

12 +

13 + . . .+

1n

je n-ta delna vsota harmonične vrste

1 + 12 +13 + . . .+

1n − 1 +

1n +

1n + 1 + . . .

Nazadnje lahko zapǐsemo relacijo

hn+1 − 1 < ln(n + 1) < hn.

Takoj vidimo, da harmonična vrsta nima končne vsote.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 3

Zakaj pravzaprav rečemo obravnavani vrsti harmonična?Harmonična sredina H(a, b) pozitivnih števil a in b je obratnavrednost povprečja njunih obratnih vrednosti:

H(a, b) =(1

2(

a−1 + b−1))−1

.

V harmonični vrsti je vsak člen od vključno drugega naprejharmonična sredina svojega levega in desnega soseda:

H( 1

n − 1 ,1

n + 1

)=

(12((n − 1) + (n + 1))

)−1= 1n .

Zato torej govorimo o harmonični vrsti.

ἁρμονία, ἡ skladnost, pravo razmerje.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 4

Da bi dokazali obstoj Euler-Mascheronijeve konstante, vpeljemozaporedje γ1, γ2, γ3. . . ., kjer je γn = hn − ln n. Zaporedje s členi γnlimito. Najprej je seveda γ1 = 1 dobimo relacijoγn+1 = hn+1 − ln(n + 1) < 1 za n ≥ 1. Torej velja γn ≤ 1 za vsaknaraven n, nato pa še γn = hn − ln n > ln(n + 1)− ln n > 0 za vsaknaraven n. Zaporedje s členi γn je torej na obe strani omejeno:0 < γn ≤ 1. Po definiciji števil γn in zaradi navedenih relacij imamoγn+1 − γn = hn+1 − ln(n + 1)− hn + ln n < 0. Zaporedje s členi γnje torej padajoče in omejeno in zato konvergentno in njegovo limitooznačimo z γ in to je Euler-Mascheronijeva konstanta.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 5

Eulerjeva konstanta γ je tudi limita zaporedja s splošnim členomhn − ln(n + 1). Nič čudnega, saj lahko zapǐsemo

hn − ln(n + 1) = (hn − ln n)− ln(

1 + 1n

),

iz česar dobimo z upoštevanjem zveznosti logaritemske funkcije:

limn→∞

(hn − ln(n + 1)) = γ .

Zato lahko enakovredno definiramo:

γ = limn→∞

(1 + 12 +

13 + . . .+

1n − ln(n + 1)

).

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 6

Zaporedje s splošnim členom hn − ln n − γ ima limito 0. Za dovoljvelik n je potemtakem ln n + γ poljubno blizu n-ti delni vsotidivergentne harmonične vrste. Kako počasi divergira harmoničnavrsta, povesta na primer h1000 ≈ 7.48 in h1000000 ≈ 14.39, o čemerse lahko prepriča bralec sam.Kot primer uporabe izračunajmo

limn→∞

( 1n + 1 +

1n + 2 +

1n + 3 + . . .+

12n

).

Očitno lahko izrazimo z delnimi vsotami harmonične vrste in sštevili γn:

1n + 1 +

1n + 2 +

1n + 3 + . . .+

12n =

= h2n − hn = (γ2n + ln(2n))− (γn + ln n) = γ2n − γn + ln 2 .

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Euler-Mascheronijeva konstanta – 7

Podzaporedje γ2, γ4, γ6, . . . konvergentnega zaporedja s členi γn jetudi konvergentno z isto limito γ. Torej imamo rezultat:

limn→∞

( 1n + 1 +

1n + 2 +

1n + 3 + . . .+

12n

)= ln 2 .

Eulerjeva konstanta se pojavlja v precej zapletenih računih, ki jihtu ne bomo delali. Število e se da sorazmeroma enostavnoizračunati, če seštejemo dovolj členov vrste

1 + 11! +12! +

13! + . . . ,

ki ima za vsoto ravno število e. Eulerjeva konstanta γ pa ni večtako preprosta reč. Razvili so zapletene postopke, s katerimi lahkoγ izračunamo poljubno natančno. Sam Euler je svojo konstantoizračunal na 15 decimalk.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – opat in duhovnik

Lorenzo Mascheroni se je rodil 13. maja 1750 v Bergamu. Bil jeitalijanski matematik in pesnik. Najvažneǰsi so njegovi prispevki vmatematični analizi, zlasti na področju integralskega računa innaravnih logaritmov, ter v geometriji, kjer je dokazal, da sekonstrukcije z ravnilom in šestilom da opraviti samo s šestilom.Ukvarjal se je tudi s trdnostjo obokov v gradbenǐstvu. Bil je sinMarije Ciribelli in Paola Mascheronija dell’Olmo, bogategaveleposestnika. Namenjen je bil za cerkveno kariero, v starosti 17let je postal opat in bil posvečen v duhovnika pri svojih 24 letih.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – učitelj

Leta 1773 je začel s poučevanjem,najprej retorike v bergamskemsemenǐsču (Seminario di Bergamo)in nato na Marijanskem kolegiju(Collegio Mariano), prestižniustanovi iz 16. stoletja, ki je sedajKlasični licej Sarpi. Kmalu potem jeopustil neuporabno in abstraktnosholastično filozofijo in se strastnoposvetil eksperimentalnim znanostimin matematični analizi. Zaradi svojihsposobnosti je bil 3. septembra 1775sprejet na Akademijo vzbujenih vBergamu (Accademia degli Eccitati).

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – raziskovalec

Leta 1778 je pričel še s poučevanjem filozofije, ki je v tistem časuzajemala tudi logiko, metafiziko in fiziko. Učne načrte naMarijanskem kolegiju so temeljito prenovili leta 1784, pri čemer jeizdatno sodeloval tudi Mascheroni, in prǐsel v spore z učiteljitradicionalisti. Mascheroni je postal učitelj fizike ineksperimentalne fizike. Kmalu po tistem (1785) je v Bergamuobjavil svojo fundamentalno matematično delo v statiki: Noveraziskave o ravnovesju obokov (Nuove ricerche sull’equilibrio dellevolte). Postopoma je napisal tudi zbirko nalog iz matematičneanalize in geometrije. Leta 1786 je bil imenovan za profesorjaalgebre in geometrije na Univerzi v Pavii, kjer sta med drugimipoučevala Lazzaro Spallanzani (1729–1799) in Alessandro Volta(1745–1817). Imenovanje je pomenilo veliko priznanje enemu odvodilnih znanstvenikov iz obdobja razsvetljenstva.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – profesor

Od 1788-1791 je bil tudivodja Pavijske akademijezaupljivih (Academia pavesedegli Affidati), v letih1789–1793 pa celo rektoruniverze v Paviji. Med drugimje bil za svoje znanstvenedosežke sprejet tudi vAkademijo v Padovi in vAkademijo v Mantovi(Accademia Reale diMantova), pa tudi vItalijansko znanstveno društvo(Società Italiana delleScienze).

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – politik

Naredil si je tudi politično kariero, saj je bil leta 1797 izvoljen zadelegata Cisalpinske republike (Repubblica Cisalpina, 1797–1802,glavno mesto Milano), ki ga je poslala leta 1798 v Pariz, kjer jesodeloval v komisiji za dokončno določitev dolžine enega metra.Leta 1791 so določili, da je dolžina parǐskega poldnevnǐskega kroga40 milijonov metrov, nakar so začeli s poskusnimi meritvami (podvodstvom Delambreja (1749–1822)) in potrebni so bili natančniizračuni. Komisija je svoje delo končala 10. decembra 1799, vendarpa se Mascheroni ni mogel vrniti domov zaradi avstrijsko–ruske(Aleksander V. Suvorov (1729–1800)) zasedbe Milana (konecaprila 1799), in je po kratki bolezni umrl v Parizu naslednje leto,14. julija 1800.Mascheroni je veliko pripomogel k popularizaciji in razvojuinfinitezimalnega računa, ki so ga pričeli študirati Leibniz(1646–1716), Newton (1643–1727) in Euler (1707–1783) v prvipolovici 18. stoletja.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni in Euler

Leta 1790 je objavil delo Adnotationes ad calculum integralemEuleri, kjer je med drugim objavil prvih 32 decimalk konstante γ.Mascheronijev rezultat je napačen na 20., 21. in 22. decimalki,predstavlja pa napredek glede na prvih 13 pravilnih decimalk, ki jihje izračunal Euler leta 1736. Konstanto γ Euler prvič omenja vsvojem delu De progressionibus harmonicis observationes, 1734/35.

γ = 0.577215 664901 532860 606512 090082 402431 . . .

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – mojster šestila

Njegovo najbolj znano delo pa je nedvomno Šestilna geometrija(La geometria del compasso), ki je izšlo leta 1797, kjer je pokazal,da je mogoče vse geometrijske konstrukcije, ki so izvedljive zravnilom in šestilom, izvesti že samo s šestilom, če le privzamemo,da je premica določena, čim imamo konstruirani dve njeni točki.Najprej pokaže, kako samo s šestilom in razpolovimo dani krožnilok, nato, kako seštevamo in odštevamo dolžine daljic, kakonajdemo četrto sorazmernico treh daljic, kako poǐsčemo presečǐsčedanih dveh premic in kako najdemo presečǐsče dane premice skrožnico. Potem Mascheroni dokaže, da je mogoče vse osnovnegeometrijske konstrukcije, ki se dajo narediti z ravnilom, opravitisamo s šestilom. V duhu razsvetljenstva vse te konstrukcije niso lesame sebi namen, ampak so uporabne tudi pri konstruiranjupreciznih inštrumentov.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – Mohr

Prvo teorijo o konstrukcijah samo sšestilom pravzaprav ni razvilMascheroni, ampak manj znanidanski matematik Jørgen (Georg)Mohr (1640–1697), ki jo je objavil vknjigi Euclides Danicus leta 1672.To delo pa je ostalo neznano vse doleta 1928, ko so en izvod knjigeodkrili po golem naključju. Obamatematika sta teorijo razvilapovsem drugače. Zato danesodkritje pripisujejo večinoma samoMascheroniju. Po Mohru seimenujejo danska gimnazijskamatematična tekmovanja: GeorgMohr-Konkurrencen.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni in ,,matematik‘‘ Napoleon

Napoleon (1769–1821) jeMascheronija srečal med svojimivojaškimi pohodi po Italiji in vroke mu je prǐsla Mascheronijevaknjiga o integralskem računu. VParizu so jo pokazali slavnimamatematikoma Josephu LouisuLagrangeu (1736–1813) inLaplaceu (1749–1827), 11.februarja 1797, takoj po mirovnipogodbi v Campoformido (tudiCampoformio, furlanskoCjampfuarmit).

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni in Francozi

Spomnimo se, da neki izrek o trikotniku pripisujejo cesarjuNapoleonu, enega redkih pomembnih izrekov o trikotniku, ki je bildokazan po zatonu gřske geometrije. Mascheronijevo knjigo Lageometria del compasso so hitro prevedli v francoščino in jonatisnili pri založbi Charette (Pariz 1798). Med zgodovinarjimatematike so potekale živahne razprave o nekaterih geometrijskihizrekih, ki jih pripisujejo Napoleonu, verjetno pa so Mascheronijevi.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – asteroid

V njegovo čast so poimenovali8. decembra 1996 odkritiasteroid (observatorij Prescottv Arizoni, astronom Paul G.Comba) z začasnim imenom1996 XW8 po Mascheroniju:27922 Mascheroni.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – spomini

Mascheroniju so odkrili tudispominsko ploščo v njegovemrojstnem kraju (v Castagneti,danes del Bergama) indoprsni kip v sredǐsčuBergama (Sentierone). Ponjem se imenuje tudi LiceoScientifico Statale LorenzoMascheroni v Bergamu.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Mascheroni – pesnik

Mascheroni je tudi pesnil, insicer v italijanščini inlatinščini. Verze je pisal obrazličnih priložnostih. Celoposvetilo Napoleonu v knjigiLa geometria del compasso jesestavil v verzih.Glavno pesnǐsko delo:L’invito di Dafni Orobiano aLesbia Cidonia.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

1. naloga

Samo s šestilom podalǰsaj daljico AB do točke C tako, da bo|AB| = |BC |.Rešitev. Načrtamo krožnico K1 s sredǐsčem v točki A skozi točkoB, nato pa še krožnico K2 s sredǐsčem v točki B skozi točko A.Dobimo presečǐsče X obeh krožnic. Točko Y na K2 dobimo kotpresečǐsče krožnega loka polmera |AB| in s sredǐsčem v točki X .Nazadnje dobimo točko C na krožnici K2 kot presečǐsče krožnegaloka polmera |AB| in s sredǐsčem v točki Y .

• • •

• •

A B C

X YK2K1

.........................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

.......................

.......................................

......................................................................................................................................................................................................

.....................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

........................

.................

........................................

.......

.......

......

....................

................................................................

.............................................................

..........................................

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

2. naloga

Samo s šestilom poǐsči sredǐsče S daljice AB.Rešitev. Najprej ponovimo konstrukcijo 1. naloge. Nato načrtamokrožna loka s sredǐsčem v točki C in s polmerom |AC |, tako dasekata krožnico K1 v točkah E in F . Nazadnje narǐsemo še krožnaloka s sredǐsčema v teh dveh točkah in s polmerom |AB| tako, da sesekata v točkah A in S. Točka S je iskano razpolovǐsče daljice AB.

• • •

• ••

•

•A B C

X YK2K1

E

F

S.........................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

.......................

.......................................

......................................................................................................................................................................................................

.....................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

..................... ....................

.......

.......

......

....................

....................

........................................

.....................

.....................

........................................

....................

....................................................................................................

................................................................................

................................................

......

......

......

......

......

......

..................... .....................

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

3. naloga

.........................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

.......................

.......................................

......................................................................................................................................................................................................•A ............................................................................................................................................

.....................

.........................

..................................

....

................................................................................................................................................................................................................................

•

•B

C

............................................................•D...................................................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..................................................................................................................................•

•E

F

.............................................................................................................................

.................................................................................................................................................•

S KH

Samo s šestilom poǐsči sredǐsčekrožnice K.Rešitev. Dana je krožnica K zneznanim sredǐsčem. Na K izberemokjerkoli točko A in načrtamo krožnicoH poljubnega polmera s sredǐsčem vA, tako da preseka K v točkah B in C .Nato načrtamo krožna loka ssredǐsčema v B in C in polmerom|AC |, ki se sekata v točki D. Natonačrtamo krožni lok s polmerom |AD|in sredǐsčem v D, ki seka krožnico H vtočkah E in F . Krožna loka spolmerom |AF | in sredǐsčema v E in Fse potem sekata v točki A in v točki S,ki je iskano sredǐsče krožnice K.

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

3. naloga – nadaljevanje

.........................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

.......................

.......................................

......................................................................................................................................................................................................•A ............................................................................................................................................

.....................

.........................

..................................

....

................................................................................................................................................................................................................................

•

•B

C

............................................................•D...................................................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..................................................................................................................................•

•E

F

.............................................................................................................................

.................................................................................................................................................•

S K...................................................................................................

....

....

....

....

....

....

................................................................................................................................. ..

..............................

..

..............

..

ϑ

H

Štirikotnik ABDC je očitno romb sstranico |AC |. Naj bo ϑ kot ob oglǐsčuA trikotnika ADC in R radij iskanekrožnice. Potem je očitno

|AC | = 2R cosϑ,

|AD| = 2|AC | cosϑ = 4R cos2 ϑ.

Trikotnika ASF in FAD pa staenakokraka in sta si podobna, ker seujemata v enem kotu, kar pomeni, davelja: |AS|/|AF | = |AF |/|AD|.Dobimo |AS|/|AC | = |AC |/|AD|.Nazadnje imamo:

|AS| = |AC |2

|AD| =4R2 cos2 ϑ4R cos2 ϑ = R .

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Hvala za vašo pozornost

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni

Seminar za zgodovino matematičnih znanosti Šestilo in Lorenzo Mascheroni