Series y Transformada de Fourier - tecnun.es digital/tema3.pdf · 3 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal 17/11/99 Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier Series de Fourier

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99

Series ySeries y Transformada Transformada de Fourier de Fourier

❒❒ Series de FourierSeries de Fourier

❒❒ TransformadaTransformada de Fourier de Fourier

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Series de FourierSeries de Fourier❒ Las series de Fourier describen señales periódicas como una

combinación de señales armónicas (sinusoides).

❒ Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica entérminos de su contenido frecuencial o espectro.

❒ Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia,de forma que operaciones realizadas en el dominio temporaltienen su dual en el dominio frecuencial.

❒ Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretendedescribir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuenciafundamental f0=1/T, ω0=2π f0).

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∞

=

++=

++++++++=

100

0

0010010

sincos2

sinsincoscos2

)(

kkk

kkp

tkbtkaa

tkbtbtkataa

tx

ωω

ωωωω ��

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Series de FourierSeries de Fourier

❒ En forma exponencial:◆ Se ha empleado la ecuación de Euler :

◆ Se demuestra que

❒ Cálculo de los coeficientes

❒ Relación de Parseval

◆ La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de loscoeficientes de su correspondiente serie de Fourier.

[ ]x t X k jk tp sk

( ) exp( )==−∞

∞

∑ ω 0

e jj± = ±α α αcos sen

[ ] ( )kks jbakX −=2

1

[ ] ( ) dttjktxT

kXT

pS ∫ −= )exp(1

0ω

[ ]PT

x t dt X kx p sk

T= =

= −∞

∞

∑∫1 2 2( )

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Series de FourierSeries de Fourier❒ Espectro de señales periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los

coeficientes espectrales de la señal xp(t).

❒ La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónicok ó de las frecuencias kω0, se denomina espectro.

❒ Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficien-tes |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k] .

❒ La función |Xs[k]| así como la fase de Xs[k] son funcionesdiscretas de la frecuencia.

❒ Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios parareconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relaciónde Parseval.

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Series de FourierSeries de Fourier❒ Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la

velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidada la cual los coeficientes de Fourier tienden a 0.

❒ Propiedades [ ] [ ][ ]

[ ]

[ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ]{ }

Superposicion

Derivada

Retraso

Escalado x (armonicos en f = kf

x

0

α β α β

π

πα π α

α α

π

x t y t X k Y k

x t jk f X k k

Integral x t dtX k

jk fC (k

x t X k jk f

t X k

t X k X k

Modulacion m f t x t X k m X k m

p p S S

p S

p

t

p S

p S

p S S

p S S

( ) ( )

( ) ( )

( ) )

( ) exp( )

( ) )

( )

cos( ) ( )

*

+ ↔ +

′ ↔ ≠

↔ + ≠

− ↔ −

↔

− ↔ − =

↔ − + +

∫

2 0

20

2

21

21

0

00

0

0

{ } [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

22 0x t x t f X k

Convolucion x t y t X k Y k

t y t X k Y k

p p S

p S S

p S S

( ) ( ) cos( )

( ) ( )

( ) ( )

+ + − ↔

↔ ∗

• ↔

α α π α

p

p x

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Series de FourierSeries de Fourier❒ Respuesta de un sistema a entradas periódicas

◆ Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemosesta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t)será la convolución de h(t) con x(t):

◆ Como toda señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita dearmónicos y aplicando el principio de superposición:

◆ La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señalperiódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero condiferentes magnitudes y fases.

◆ La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuestaestacionaria del sistema.

{ }y t h j t d j t h j d x t H( ) ( )exp ( ) exp( ) ( )exp( ) ( ) ( )= − = − =−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫λ ω λ λ ω λ ωλ λ ω

[ ] [ ] [ ]x t X k jk t y t X k H k jk tp S p Skk

( ) exp( ) ( ) exp( )= ↔ ==−∞

∞

=−∞

∞

∑∑ ω ω ω0 0 0

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Series de FourierSeries de Fourier❒ Efecto Gibbs

◆ Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series deFourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la apariciónde un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se daincluso cuando se emplea un número grande de armómicos para lareconstrucción.

◆ Si queremos aproximar una función periódica con discontinuidadesque tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hastael armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs.

◆ Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales quesuavizan la reconstrucción de la función. Veremos más acerca de estasventanas en capítulos próximos.

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TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales

no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódicacomo una señal continua de periodo infinito :

◆ El espaciado entre frecuencias se aproxima a 0 y es por tanto unafunción continua.

◆ La señal pasa a ser de potencia a señal de energía.

◆ Los coeficientes Xs[k] son 0. Ya no es un indicador del contenidoespectral de la señal.

❒ Se define la Transformada de Fourier de x(t) como

❒ Relación entre las Series y la Transformada de Fourier:◆ X(ω) es la función envolvente de Xs[k] .

◆ Si muestreamos X(ω) a intervalos f0, la función resultante es elespectro de una señal periódica de periodo T0=1/f0.

( ) [ ]X f T X k x t j ft dtT

S= ⋅ = −→∞

−∞

∞

∫lim ( ) exp( )2π

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TransformadaTransformada de Fourier de Fourier◆ Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con

señales periódicas en el dominio temporal.

◆

◆

❒ Transformada Inversa de Fourier para una función X(ω) :

∫∞

∞−

= dfftjfXtx )2exp()()( π

( ) [ ]ffkS kXTfX

=⋅⋅=

0

[ ] ( )0fkf

S T

fXkX

⋅=

=

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TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Propiedades de la Transformada de Fourier

{ }{ }{ }{ }{ }

{ }

Superposicion ax t by t aX bY

Derivada x t j X

x t j X

t j tx t X

j t x t X

Integral x t dtj

X X w

Escalado x t X

n n

n n n

t

F

F

F

F

F

F

F

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

+ = +

′ =

=

× − = ′

− =

= +

=

−∞∫

ω ωω ω

ω ω

π π ω

π π ω

ωω π δ

αα

ωα

2 2

2 2

10

1

( ){ } ( )( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )[ ]

Desplazamiento x t e X

e x t X f

Convolucion x t y t X Y

x t y t X Y

Parseval x t dt X d

Teorema

del valorInicial j X

j

j t

x 0+

F

F

F

F

− =

= −

∗ =

= ∗

=

=

−

−∞

∞

−∞

∞

→∞

∫ ∫

α ω

α

ω ω

πω ω

πω ω

ω ω

ωα

πα

ω

2

2 2

1

2

1

lim

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TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Podemos utilizar la Transformada de Fourier para analizar la

respuesta a sistemas LTI, valiéndonos del hecho de queconvolución en el tiempo equivale al producto en el dominiofrecuencial.

❒ Si la respuesta y(t) a un sistema con una respuesta a impulsoh(t) y entrada x(t) con condiciones iniciales cero es

Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros,

H(ω)=Y(ω)/X(ω) es la función de Transferencia del sistema. Estanos permite analizar la respuesta frecuencial del sistema.

❒ Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesta en elestado estacionario del sistema a partir de H(ω).

y t x t h t( ) ( ) ( )= ∗

Y w X H( ) ( ) ( )= ω ω

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TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Limitaciones de la Transformada de Fourier

◆ El sistema debe tener condiciones iniciales cero.

◆ Entradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos.

❒ Por ello se extiende el concepto de la Transformada deFourier a la Transformada de Laplace.

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Espectro de la señal x(t) = rect(t)

-15 -10 -5 0 5 1 0 1 50

0.1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

Frecuenc ia (Hz)

14



Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectroMuestreos cada 0.25 Hz

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x(t)

t (s)

15



Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectroMuestreos cada 0.5 Hz

t (s)

x(t)

0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

16



0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Magnitud vs índice k

17



0 5 10 15 20 25

-150

-100

-50

0

50

100

150

Fase vs k

phase vs k

18



0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

power(o) & cumulative power(*) vs k

19



0 1 2 3 4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Reconstrucciones de un periodo de x(t)

20



1.2

0 1 2 3 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Reconstrucción con 25 armónicos

21



0 1 2 3 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Reconstrucción real (--) y suavizada (--) con 25 armónicos

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