Semnale Si Circuite Electronice

8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

1/118

CONSTANTIN STRMBU

SEMNALE I CIRCUITE

ELECTRONICE

ANALIZA I PRELUCRAREA

SEMNALELOR

Editura Academiei Forelor Aeriene Henri Coand

BRAOV


2/118

Copyright 2007

Editura Academiei Forelor Aeriene Henri CoandStr. Mihai Viteazul nr. 160 BRAOV- ROMNIATel. +40268423421e-mail: [email protected]

Semnale i Circuite Electronice Analiza i Prelucrarea Semnalelor

Constantin STRMBU

Toate drepturile rezervateEditurii Academiei Forelor Aeriene Henri Coand, Braov

Referent tiinific: Conf. dr. ing. Marian PEARSICProcesare text: AutoriiMultiplicare: Ioan BurianProcesare copert: AutorulGrafica: AutorulVerificare text, martie 2007: Autorul

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiSTRMBU, CONSTANTINSemnale i Circuite Electronice - Analiza i Prelucrarea Semnalelor/Constantin STRMBU;Braov: Academia Forelor Aeriene Henri Coand, 2007; 120 pagini

r. c-d: 71/16.07.2007ISBN 978-973-8415-46-1
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


3/118

PREFA

Lucrarea de faa cuprinde prima parte din materia parcursde studenii AcademieiForelor Aeriene Henri Coand, n cadrul cursului de Semnale i Circuite Electronice.

n lucrare sunt prezentate o parte din problemele fundamenatele referitoare la

transmiterea i prelucrarea semnalelor n circuitele electronice sau electrice.Lucrarea a fost elaboratn conformitate cu cerinele planurilor de nvmnt i a

programelor analitice.O parte din temele prezentate au fost dezvoltate suplimentar pentru a oferii

studenilor posibilitatea de a aprofunda nelegerea fenomenelor fizice ce au loc n cazulanalizei semnalelor. S-a cutat ca dezvoltrile matematice sfie legate de aspectele fiziceale problemelor discutate i n general acesetea s conduc la rezultate utilizabile n

practic.Autorul aduce multumiri domnului ef lucrri dr. ing. Cristian-George

Constantinescu pentru observaiile valoroase fcute pe parcursul conceperii acestei lucrri.

Autorul


4/118

CUPRINS

1. Analiza spectrala semnalelor 5

1.1. Caracteristici generale ale semnalelor 51.2. Tipuri de semnale electrice. Parametrii electrici ai semnalelor. 9

1.2.1. Semnale periodice 9

1.2.2. Semnale neperiodice 10

1.3. Reprezentarea semnalelor n domeniul timp i n domeniul frecven 12

1.3.1. Reprezentarea n domeniul timp i frecven a unui semnal

sinusoidal

12

1.3.2. Reprezentarea n domeniul timp i n frecvenale unui semnal

exprimat printr-o sumde semnale sinusoidale.

13

1.4. Analiza semnalelor. Generaliti 15

1.5. Analiza spectrala semnalelor periodice 19

1.5.1. Tipuri de dezvoltri prin serii Fourier 191.5.2. Banda de frecvenocupatde un semnal periodic 23

1.5.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor periodice 23

1.6. Analiza spectrala semnalelor neperiodice 30

1.6.1. Noiuni introductive. Transformata Fourier 30

1.6.2. Analiza spectrala semnalelor neperiodice. Mod de lucru. 35

1.6.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor neperiodice 36

1.6.4. Exemple de analizspectrala impulsurilor 38

1.7. Convoluia semnalelor analogice 52

2. Modulaia semnalelor utilizate n telecomunicaii 572.1 Necesitatea modulaiei semnalelor 57

2.2. Modulaie cu purttor sinusoidal. Tipuri de modulaie. 58

2.2.1. Analiza spectrala semnalelor modulate n amplitudine (M.A.) 58

2.2.2. Generarea semnalelor modulate n amplitudine (M.A.) 68

2.2.3. Demodularea semnalelor modulate n amplitudine 72

2.2.4. Comparaie ntre sistemele de modulaie n amplitudine 78

2.2.5. Analiza spectrala semnalelor modulate n frecven(M.F.) 79

2.2.6. Analiza spectrala semnalelor modulate n faz(M.P. sau ).M 89

2.2.7. Comparaii ntre modulaia n frecveni modulaia n faz 90

2.2.8. Comparaii ntre MA, MF i MP (M ) 97

2.3. Eantionarea semnalelor 99

2.3.1. Teorema eantionrii 992.3.2. Reconstituirea semnalului din eantioanele sale)t(x 105

2.4. Modulaie cu purttor n impulsuri 107

2.4.1. Modulaia impulsurilor n amplitudine M.I.A. 108

2.4.2. Modulaia impulsurilor n poziie M.I.P. 116

2.4.3. Modulaia impulsurilor n duratM.I.D. 118

Bibliografie 119


5/118

Semnale i circuite electronice 5

1. ANALIZA SPECTRAL A SEMNALELOR

1.1 Caracteristici generale ale semnalelor

n telecomunicaii semnalele sunt mrimi fizice cu ajutorul crora se transmitmesaje. Semnalul este o oscilaie electric, obinutfie de la un generator construit special

pentru acest scop, fie ntr-o seciune oarecare a unui aparat sau sistem electronic.Un aparat electronic este constituit dintr-un lande subansambluri succesive la care

se evideniaz bornele (poarta de intrare, respectiv de ieire). Schema bloc al unuisubansamblu dintr-un aparat este prezentatn figura 1.1.

Fig. 1.1. Subansamblul unui sistem, echipament sau aparat electronic

n cele mai multe cazuri circuitele pot fi considerate ca nite cuadripoli (dipori) ceprezint patru borne de acces specializate: dou borne reprezint poarta de intrare (1,respectiv 1), iar alte doupoarta de ieire (2, respectiv 2). Oscilaia aplicatla bornele deintrare este de obicei numitsemnal iar cea de de la ieire este rspunsul circuitului Cilasemnalul aplicat. Evident rspunsul circuitului Ci poate fi semnal (de intrare) pentru

diportul Ci+1situat n aval de Ci ; n mod asemntor semnalul de intrare al circuitului Cipoate fi rspunsul circuitului Ci-1aflat n amonte de Ci .

n sistemele de comunicaii semnalul electric (iniial) ce trebuie prelucrat provinede obicei de la un traductor, de exemplu de la un microfon, care transform o mrimeneelectric n una electric. Cursul de fa nu face obiectul studiului traductoarelor, deaceea se va considera cla intrarea circuitelor se aplicun semnal electric.

Deoarece intereseazevoluia trecutsau viitoare a unui semnal, trebuie presupuscacestea sunt funcii de timp t. Din punct de vedere al posibilitii de a caracteriza prinfuncii de timp evoluia unui semnal, acestea se pot clasifica n dougrupe: Semnale deterministe

Semnalele pot fi exprimate prin funcii analitice de timp )t(x cu un numr finit de

parametri. Semnale aleatoare

Semnalele nu pot fi exprimate prin funcii analitice de timp cu un numr finit deparametri, ci prin funcii aleatoare. Prin aprecieri probabilistice se poate determinaposibilitile de evoluie ale acestora.

Un semnal aleator nu este previzibil i de aceea conine o anumit cantitate deinformaie. Intuitiv se poate spune csemnalul conine o cantitate mai mare de informaiecu ct evoluia acestuia este mai puin probabil.

Caracterul ntmpltor al semnalelor este determinat de cel puin doucauze: Prima cauzrezidn nsi natura fenomenului care este reprodus de semnal.

Studiind de exemplu semnalul de la ieirea unui microfon trebuie evideniat caracterulntmpltor al semnalului deoarece nu se poate prevedea exact care vor fi cuvintele,silabele sau literele pe care le va pronuna persoana ce vorbete n faa microfonului.


6/118

Analiza i prelucrarea semnalelor6

O a doua cauzeste conferitde complexitatea deosebita fenomenelor reprodusede semnal:

1) fenomene n care intervin un numr mare de elemente, fiind dificil de a oferi ocaracterizare deterministtuturor parametrilor acestora;

2) fenomene de mare finee, greu de abordat cu mijloacele de investigaie actuale;Un exemplu de semnal electric determinist poate fi tensiunea electric de c.a.

monofazat. Se cunoate sau se poate determina n orice moment totalitatea parametrilor cecaracterizeaz semnalul (amplitudine, frecven, faz), datorit faptului c acest semnalpoate fi descris printr-o expresie matematicsimpl.

Rotaia Pmntului n jurul Soarelui poate s fie interpretat ca un semnaldeterminist neelectric, deoarece pentru pamnteni nu aduce nicio informaie. Datoritcalendarelor (care joacn acest caz rolul funciei analitice) se cunosc momentele n careSoarele rsare sau apune.

Semnalele transmise n sistemele de telecomunicaii, n scopul realizrii schimbuluide mesaje ntre doi sau mai muli corespondeni au caracter aleator (ntmpltor). Pentruverificarea i reglarea funcionrii subansamblurilor constitutive ale sistemelor se transmitsemnale deterministe, aa numitele semnale test.

Cunoscnd parametrii caracteristici ai semnalului test introdus ntr-un echipamentsau sistem electronic, precum i funciile subansamblurilor acestuia, se msoarparametriioscilaiilor de la ieire stabilindu-se dacfuncionarea este corect.

Pentru a apropia testarea de condiiile de lucru reale (n regim de semnalenedeterministe) semnalele test se aleg astfel nct s simuleze ct mai bine semnalulexistent n realitate (semnale de aceeai putere, plasate n aceai domeniu de frecven...).

n cursul de fase studiazdoar semnalele deterministe.Analiza semnalelor stabilete posibilitile de a reprezenta semnalele prin sume

discrete sau continue de funcii elementare (exponeniale, sinusoidale, treaptunitate ).Aceastreprezentare matematiceste utilpentru urmtoarele scopuri practice:

Determinarea intervalului de frecvene (banda de frecven) ce trebuie alocatcanalului de telecomunicaii afectat pentru transmiterea lui; Determinarea rspunsului circuitelor liniare la un semnal dat. Aceasta se realizeaz

prin determinarea rspunsului circuitului analizat la un semnal elementar i apoi, aplicndprincipiul superpoziiei, se determinrspunsul circuitului la suma semnalelor elementarece compun semnalul dat.

Analiza semnalelor se simplific dac funciile de timp ce le caracterizeaz auurmtoarele proprieti: periodicitate; simetrie; continuitate;A. Periodicitatea

Un semnal x(t) este periodic dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)kTt(x)t(x = (1.1.)

unde:Nk , T reprezintperioada semnalului (intervalul minim de timp dupcare semnalul

x(t) se repetidentic).n figura 1.2 sunt reprezentate formele de und ale unor semnale periodice,

respectiv neperiodice.


7/118


Fig.1.2. Formele de undale unor semnale periodice a), b), c) i neperiodice d), e), f).


8/118


Observaie: Semnalul neperiodic poate fi considerat un caz limital unui semnal periodic, la

care perioada tinde spre infinit. Clasificarea semnalelor n semnale periodice i neperiodice este utildin punct de

vedere teoretic, ntruct instrumentul matematic de analiza semnalelor difer n funciede apartenena la una din categoriile menionate mai sus, dupcum se va vedea ulterior n

cadrul cursului de fa. Astfel:1) pentru analiza semnalelor periodice se utilizeazseriile Fourier;2) pentru analiza semnalelor neperiodice se utilizeaztransformata Fourier;B. Simetria

Un semnal x(t) este par dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)t(x)t(x = (1.2)

Observaie: Semnalul este simetric fade ordonat( 0 Y). Un exemplu de semnal par l constitue semnalul ( ) tcosAtx = .

Un semnal x(t) este impar dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)t(x)t(x = (1.3)

Observaie: Semnalul este simetric fade originea axelor. Un exemplu de semnal par l constitue semnalul ( ) tsinAtx = .

Analiznd semnalele din figura 1.2, se poate observa c: Semnalele din figura 1.1 a) , d) , e) , f) sunt pare. Semnalul din figura 1.1 c) este impar. Semnalul din figura 1.1 d) nu este nici par nici impar.

Se poate demonstra (demonstraia este simpl, putnd fi realizatca exerciiu) c: n cazul n care semnalul este par

=

00

0 0

2tt

t

dt)t(xdt)t(x (1.4)

n cazul n care semnalul este impar0

0

0

=

t

t

dt)t(x (1.5)

n analiza spectrala semnalelor intervine deseori calculul unor integrale de forma(1.4) sau (1.5), de aceea clasificarea semnalelor n pare sau impare (dac este posibil)aduce o simplificare substaniala calculelor.

C. ContinuitateaUn semnal x(t) este continuu n momentul 0tt = dac:

)t(xlim)t(xlim 00

00

+=

(1.6)

Observaie: Semnalele din figura 1.1 a) , c) , e) , f) sunt continue pe tot domeniul de definiie; Semnalul din figura 1.1 b) prezintdiscontinuiti n momentele

=

kTt

Tkt

1

;

Semnalul din figura 1.1 e) prezintdiscontinuitin momentele2

t = ;


9/118


1.2. Tipuri de semnale electrice. Parametrii electrici ai semnalelor.

Din ntreaga diversitate de semnale electrice se prezintdoar acelea care vor faceobiectul unor analize n cursul de fa. Acestea sunt modele ideale de semnale, ce conincaracteristicile generale i eseniale ale semnalelor reale. Aceste semnale (ideale)elementare, luate separat, nu transmit nicio informaie n afarde aceea a existenei lor.

n Cursul de fase studiaznumai semnalele electrice. Acestea trebuie sreflectect cmai fidel anumite mesaje, ca de exemplu: mesaje telegrafice, convorbiri telefonice,muzic, imagini fixe sau mobile, mesaje coninnd date numerice, etc.

Mesajele de orice natur ar fi sunt transformate n semnale electrice, curni sautensiuni variabile n timp, cu ajutorul traductoarelor. La punctul de recepie, semnalulelectric este din nou transformat n mesaj prin intermediul altor traductoare.

Semnalele vor fi prezentate att sub form analitic ct i grafic, punnd nevidenparametrii electrici ai acestora.

1.2.1. Semnale periodice

Spre exemplificare se vor prezenta doutipuri de semnale.A. Semnale sinusoidale (cosinusoidale)

Expresia analitica semnalului este urmtoarea:( ) ( )00 tsinAtx += (1.7)

Considernd csemnalul descris prin (1.7) este un semnal electric, parametrii ce-ldefinesc sunt urmtorii: A amplitudinea semnalului [V] sau [A]

Observaie:n practiceste des utilizatvaloarea efectiva semnalului, definitastfel:

A.AA ef 70702

2= (1.8)

0 - pulsaia [rad /s]Cum

fT

=

= 22

0 (1.9)

se pot pune n evidenali doi parametrii: f - frecvena semnalului [Hz] T perioada semnalului [s]

Relaia matematicdintre frecveni perioadeste urmtoarea:

Tf

1= (1.10)

Observaie:Conform (1.9) i (1.10) este suficient a se preciza doar unul din cei trei parametrii:

pulsaie, frecvenrespectiv faz. 0 - faza iniial[rad]

Utiliznd parametrii electrici asfel definii, expresia analitic(1.7) a semnalului sinusoidalare forma:

( ) ( )

+

=+= 0ef0ef tT2

sinA2tf2sinA2tx (1.11)

Forma de unda semnalului este prezentatn figura 1.3.


10/118


Fig. 1.3. Forma de unda unui semnal sinusoidal (cosinusoidal)

B. Semnale dreptunghiulareExpresia analitica semnalului este urmtoarea:

=

Ttt;tt00

tttA)t(x

21

21 (1.12)

Forma de unda semnalului este prezentatn figura 1.4.

Fig. 1.4 Semnalul periodic dreptunghiular

Parametrii electrici ai semnalului periodic dreptunghiular sunt urmtorii: A amplitudinea semnalului [V] sau [A] T perioada semnalului [s] 12 tt = - durata impulsului [s] (1.13)

Tq = - factorul de umplere al semnalului (1.14)

Observaie: Factorul de umplere al unui semnal periodic dreptunghiular are o valoare

subunitar. 1q0 (1.15)n cazul unui semnal periodic dreptunghiular se poate pune n evidencomponenta

continua acestuia.

Prin definiie:

AqT

AdtAT

1dt)t(x

T

1X

2

1

t

tT

CC =

=== (1.16)

1.2.2. Semnale neperiodice

Se prezintexpresiile matematice i formele de unda douimpulsuri des utilizaten telecomunicaii.

A. Impulsul videoExpresia analitica semnalului este urmtoarea:

( )

=

21

21v t,tt0

tttA)t(x (1.17)


11/118


Forma de unda impulsului video este prezentatn figura 1.5.

Fig.1.5 Impulsul video

Parametrii electrici ai impulsului video sunt urmtorii:

A amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt = - durata impulsului [s]B. Impulsul radio

Expresia analitica semnalului este urmtoarea:

( )

=

21

210r

t,tt0

ttttcosA)t(x (1.18)

Observaie:

Se poate scrie c:( ) ( )tcostx)t(x 0vr = (1.19)

unde ( )tx v este impulsul video.Parametrii electrici ai impulsului radio sunt urmtorii:

A amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt = - durata impulsului [s] 0 - pulsaia semnalului periodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intrn componena

impulsului radio.

Observaie:

Se poate pune n evidenperioada 0T , respectiv frecvena 0F a semnaluluiperiodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intrn componena impulsului radio, astfel:

0

0

0 F2T

2=

= ; 0T

Impulsul radio se obine prin decuparea unei durate finite dintr-un semnalperiodic sinusoidal (cosinusoidal).

Forma de unda impulsului radio este prezentatn figura 1.6.

Fig.1.6 Impulsul radio


12/118


1.3. Reprezentarea semnalelor n domeniul timp i n domeniul frecven

Orice semnal ( )tx poate fi caracterizat prin doureprezentri: reprezentarea n domeniul timp; reprezentarea n domeniul frecven;

Aceste reprezentri mai sunt denumite n mod curent: forma de unda semnalului; spectrul de frecvene al semnalului;

Oricare din aceste doureprezentri caracterizeazn mod univoc semnalul, adicunei reprezentri n domeniul timp i corespunde o singur reprezentare n domeniulfrecveni invers, unei reprezentri n frecveni corespunde o singurreprezentare ntimp.

Pentru a se realiza trecerea de la reprezentarea n timp la cea n frecveni inverss-a pus la punct un apart matematic ce poate fi numit domeniul transformatelor. Pentru anelege ct mai bine aceast reprezentare dual a semnalelor este obligatorie o bunnsuire a acestor metode matematice.

Abordarea matematicde trecere din domeniul timp n domeniul frecventrebuiedublatde o interpretare fizica fenomenelor, lucru care la nceput este oarecum dificil.Aceasta dificultate se poate datora faptului cpnacum fenomenele fizice au fost studiateca evoluie a lor n timp, fiind deci reprezentate prin expresii de tipul ( )tx .

De asemenea evoluia unui semnal n timp poate fi mai uor vizualizat dectevoluia acestuia n frecven, (care poate fi eventual auzit- dacfrecvenele semnaluluise situeazn domeniul audio).

O metod ce poate fi abordat pentru nelegerea reprezentrii n frecven asemnalelor este aceea de a le auzi, difereniindu-le dup tonalitate (sunete mai joase -vocea de bas, sau mai nalte - vocea de sopran).

Deoarede instalaiile de radiotehnicau o multitudine de destinaii, este mai comod

ca n unele cazuri sse utilizeze reprezentarea spectral(n frecven) iar n altele cea ntimp.

De exemplu, rolul unui filtru este de a lsa streacoscilaiile dintr-un interval defrecvene i de a le opri pe celelalte. Rezultcde fapt filtrul modific forma spectruluioscilaiei aplicate. n acest caz este evident ceste mai indicat sse utilizeze reprezentareaspectral.

n cazul unei scheme de transmitere a impulsurilor intereseaz n specialdistorsionarea pe care o suferforma impulsurilor i deci va fi mai indicatreprezentareaacestora prin expresiile lor n timp.Observaie: n cazul semnalelor periodice trecerea de la reprezentarea n timp la cea n

frecvense obine cu ajutorul seriilor Fourier. n cazul semnalelor neperiodice trecerea de la reprezentarea n timp la cea n

frecvense obine cu ajutorul transformatei Fourier sau Laplace.Pentru a nelege aceast reprezentare dual (timp/frecven) se vor considera

cazurile simple a dousemnale periodice.

1.3.1. Reprezentarea n domeniul timp i frecvena unui semnal sinusoidal

Expresia analitica semnalului este datde (1.7):( ) ( )000 tsinAtx +=

Reprezentarea n domeniul timp se obine considernd ca variabil independenttimpul.Grafic, se obine forma de unda semnalului prezentatn figura 1.3.


13/118


Reprezentarea n domeniul frecven se obine considernd ca variabil

independentpulsaia - 0 (sau frecvena - f0).

Grafic, se pot obine doureprezentri:

spectrul de amplitudini al semnalului n care se ilustreazvariaia amplitudiniisemnalului funcie de pulsaie (frecven) - ( )A sau ( )fA - vezi-figura 1.7.a). spectrul de faze al semnalului n care se ilustreazvariaia fazei semnalului funcie

de pulsaie (frecven) - ( ) sau ( )f - vezi- figura 1.7.b).

Fig. 1.7. Semnal sinusoidal (cosinusoidal); a) spectrul de amplitudini, b) spectrul de faze

1.3.2. Reprezentarea n domeniul timp i n frecven ale unui semnal exprimat

printr-o sumde semnale sinusoidale.

Expresia analitica semnalului este:

( ) ( )=

+=N

1k

kkk tsinAtx (1.20)

Spectrul de amplitudini al semnalului este prezentat n figura 1.8.a) iar spectrul de faze al

semnalului este prezentat n figura 1.8.b).

Fig. 1.8. a) Spectrul de amplitudini, b) Spectrul de faze, ale unui semnal exprimat printr-o sumde semnalesinusoidale


14/118


Observaie: Unui semnal sinusoidal i corespunde o singurlinie spectral(fie de amplitudine,

fie de faz). Unei sume de semnale sinusoidale i va corespunde un spectru discretde

amplitudini, respectiv faze (fiecrei frecvene i va corespunde o singur valoare deamplitudine, respectiv faz)

Cum metoda de analizspectrala unui semnal periodic nesinusoidal este dea-l aproxima printr-o sum de semnale sinusoidale de frecvene diferite i cumfiecrei frecvene i corespunde o singur amplitudine, respectiv faz, rezult cacestui semnal i corespunde un spectru discret de amplitudini (faze). Dacn expresia (1.20) N , iar 0k1k + , n diagramele spectrale de

amplitudini i de faze, liniile spectrale devin att de dese nct nu se poate face nici odistincie ntre doulinii succesive. n acest caz, spectrele discrete ( )kkA i ( )kk setransformn spectre continue notate ( )A i ( ) .

O posibil explicaie a semnificaiei fizice a spectrelor de amplitudine i de fazeste urmtoarea:

Se presupune c se emite un semnal electric a crui frecven 0f este situat ndomeniul audio. Pe durata de emisie a acestui semnal nu mai existalt trafic audio. Dacreceptorul este fixat pe orice frecven 0ff nu se aude nimic (se subliniaz situaiaipotetic: nu se mai emite nici un alt semnal). Doar dacreceptorul este fixat pe frecvenaemitorului 0ff= se va auzi semnalul emis.

Aceastexplicaie este conformcu reprezentarea spectraldin figura 1.7 a) undefuncia ( )A este diferit de zero doar pentru o singur valoare a frecvenei. Cu ctamplitudinea A a semnalului emis are valoare mai mare cu att semnalul se va auzi maitare.

n cazul n care se emite (n ntreg spectrul audio) un semnal de tipul (1.20) (sumfinitde semnale sinusoidale) se va putea recepiona (auzi) doar la frecvenele N21 f...f,f .

Pentru a nelege semnificaia fizica spectrului de faze se presupune c se emit(concomitent) dou semnale sinusoidale ce difer doar prin faza iniial ( 21


15/118


1.4. Analiza semnalelor. Generaliti

Conform definiiei anterioare, analiza semnalului x(t) const n echivalarea saprintr-o sumde semnale elementare:

( ) ( )=

=N

0nnn tfatx (1.21)

unde: na sunt coeficieni; ( )tfn sunt expresiile analitice ale semnalelor elementare;

Observaie: Este indicat ca funciile ( )tfn saibo reprezentare analiticsimpl; Relaia (1.21) este deosebit de importantn cazul circuitelor liniare la care se

poate aplica teorema superpoziiei; dac ( )ty , ( )tn sunt rspunsurile circuitului liniar lasemnalele ( )tx , ( )tfn se poate scrie c:

( ) ( )=

=N

0n nn

taty (1.22)

n acest caz rspunsul la semnalul ( )tx se deduce prin nsumarea rspunsurilorpariale, obinute pentru semnalele elementare ( )tfn ;

N poate fi finit sau infinit.Calculele sunt mai comode atunci cnd N este finit i de o valoare mic; n acest

caz att semnalul ct i rspunsul se exprimprintr-un numr redus de termeni.Cnd N este teoretic infinit, se contatcvalorile coeficienilor na scad ncepnd

de la o valoare maxn a rangului n; prin aceasta se pot neglija termeni cu rangul maxnn i se

obine o exprimare aproximativa semnalului ( )tx .

Analiza semnalului constn determinarea coeficienilor anatunci cnd estedat semnalul ( )tx i cnd este precizat setul de funcii ( )tfn . Sinteza este operaia opusanalizei ; se presupun cunoscui coeficienii na i

setul de funcii ( )tfn i se cere determinarea expresiei restrnse a semnalului ( )tx .Se observcpentru realizarea analizei unui semnal ( )tx este necesar a se preciza

funciile ( )tfn .Pentru a realiza analiza semnalelor utiliznd seriile Fourier (mod de lucru ce face

obiectul cursului de fa) setul de funcii ( )tfn utilizat este urmtorul:

t

T

2nsin,t

T

2ncos,

2

1 (1.22)

Analiza Fourier se bazeazpe funcii trigonometrice, ceea ce semnificfaptul cunsemnal oarecare ( )tx este aproximat printr-o sum infinit de semnale sinusoidale deamplitudini, frecvene i faze iniiale diferite.

Cunoscnd expresia semnalului ( )tx i setul de funcii ( )tfn , trebuie determinaicoeficienii na , adicamplitudinile corespunztoare.

Pentru ca relaiile de calcul pentru coeficienii na s fie ct mai simple setul de

funcii ( )tfn trebuie sse bucure de proprietatea de ortogonalitate, adic:

==

+

nm.pt,0

nm.pt,Cdt)t(f)t(f

2Tt

tnm

0

0 (1.23)


16/118


unde: 0t - este un moment oarecare; T - este domeniul de ortogonalitate; C - reprezintnorma funciilor;

n cazul n care 1C= , setul de funcii este ortonormat.

n cazul n care una din funciile ( )tfn

este o constantA , atunci din condiia de

ortogonalitate 2T0t

0t

CdtAA =+

se obine valoarea constantei:

T

CA= (1.24)

Determinarea coeficienilor na (adic de fapt calculele matematice ce constitueanaliza semnalului) se realizeaz nmulind ambii membri ai egalitii (1.23) cu funcia

( )tfm i apoi integrnd pe intervalul de ortogonalitate, astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

====

=

=

=

==

==

nm.pt0

nm.ptCaCaCa

dttftfadttftfadttftx

2m

N

0n

2m

N

0n

2n

N

0n

)23.1(

T mnnT

N

0n mnnT m

de unde se obine formula:

( ) ( )=T

m2mdttftx

C

1a (1.25)

Pentru a demonstra exactitatea dezvoltrii semnalului ( )tx dupexpresia (1.21), n

care coeficienii na se calculeazconform (1.25), se presupune cse poate scrie:( ) ( )

=

=N

0nnn tfbtx , adic ar mai exista o dezvoltare a aceluiai semnal, constituit cu ali

coeficieni nb , dar cu acelai set de funcii ( )tfn .Eroarea medie ptratic(mrime pozitivsau cel mult nul) are expresia:

( ) ( )

=

=T

2N

0nnn 0dttfbtxD

n urma unor calcule simple, n care se ine cont de expresia (1.21) a semnalului( )tx , se obine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+=

=

=== T

2N

0nnn

N

0nnn

2

T

2N

0nnn dttfbtfbtx2txdttfbtxD

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+=

== T

2

T

2N

0nnn

T

N

0nnn

T

2 dttxdttfbdttfbtx2dttx

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+

+

=== T

N

jijjii

N

0n

2nn

T

N

0nnn

N

0nnn dttfbtfb2tfbdttfbtfa2

Conform proprietii de ortogonalitate (1.23), a setului de funcii ( )tfn , termenii

expresiei anterioare devin:


17/118


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

+

=

=== T

N

jijiji

N

0n

2nnn

T

N

0nnn

N

0nnn dttftfba2tfbadttfbtfa

( )( ) ( ) ( ) ==

=

+

=

N

0n

nn2

)23.1(N

ji0

T

jiji

N

0n2C

T

2nnn baCdttftfba2dttfba

44 344 2144 344 21

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

==

==

==

+

+

=

+

N

0n

2n

2N

0n

2n

2)23.1(N

ji0

T

jiji

N

0n

2C

T

2n

2n

T

N

jijjii

N

0n

2nn

bCbCdttftfbb2

dttfbdttfbtfb2tfb

44 344 21

44 344 21

n consecin:

( ) ( ) ( ) ====

+=+=N

0n

2n

2N

0n

2nn

2

T

2N

0n

2n

2N

0nnn

2

T

2 aCabCdttxbCbaCdttxD

Se observ c eroarea medie ptratic, D, este minim n raport cu alegereacoeficienilor nb atunci cnd nn ab = , adic atunci cnd coeficienii dezvoltrii

semnalului ( )tx sunt calculai conform (1.21).Cum 0D se obine inegalitatea lui Bessel:

( ) =N

0n

2n

2

T

2

aCdttx (1.26)

Sistemul de semnale elementare ( )tfn este complet n condiia n care 0D atunci cnd N , n acest caz expresia (1.26) conducnd la o egalitate ce poartnumelede teorema Parseval.

( )

=

=0n

2n

2

T

2 aCdttx (1.27)

Acestor rezultate matematice li se pot atribui urmtoarele semnificaii fizice: Totalitatea coeficienilor na constitue spectrul semnalului, iar coeficienii nii

sunt amplitudinile componentelor spectrale.n figura 1.9 este reprezentat spectrul unui semnal oarecare ( )tx .

Fig. 1.9. Spectrul de amplitudini al semnalului ( )tx


18/118


Confom teoremei lui Parceval se poate da o interpretare energiei semnalului.Considernd c ( )tx este un curent sau o tensiune aplicat pe un rezistor =1R , se

recunoate c expresia ( )T

2 dttx exprim energia semnalului, coninut n intervalul T.

Rezult c energia semnalului este calculabil printr-o nsumare spectral: fiecare

componentdo contribuie energeticproporionalcu ptratul amplitudinii sale.

Puterea semnalului, mediatpe intervalul unei perioade are urmtoarea expresie:( )

=

==N

0n T

22

n

2

T dttxaCP (1.28)

Setul de funcii alese pentru a realiza analiza Fourier a semnalelor sunt:

t

T

2nsin,t

T

2ncos (1.29)

Aceste funcii sunt ortogonale, avnd norma:

2

TC= (1.30)

NotntT

2= se verificfaptul cfunciile (1.28) sunt ortogonale, deoarece:

( ) ( )

==

nmdaca,0

nmdaca,2

T

dttncostmcosT

( ) ( )

==

nmdaca,0

nmdaca,2

T

dttnsintmsinT

( ) ( ) n,moricepentru,0dttnsintmcosT

=

Pentru a putea analiza i semnale care conin termeni constani se va lucra cu

urmtorul set de funcii ortogonale:

t

T

2nsin,t

T

2ncos,A (1.30)

Din condiia (1.24), rezultc:

2

1

T

2

T

T

CA === (1.31)

Concluzie:

Pentru a realiza analiza Fourier, se recurge la setul de funcii trigonometrice

precizat de (1.22).

Funciile trigonometrice nu sunt singurele utilizate la analiza semnalelor, n

consecin analiza Fourier nu este unica metod de lucru. Dac n locul funciilor

trigonometrice se utilizeaz n dezvoltarea (1.21) funciile Legendre, Laguerre, Cebev,

Hermite etc. se dezvolt semnalul n serie Fourier-Legendre, Fourier-Laguerre etc., prin

aceasta efectundu-se analiza Fourier-Legendre, Fourier-Laguerre.


19/118


1.5. Analiza spectrala semnalelor periodice

Analiza spectral a semnalelor periodice const n descompunerea acestora n

funcii elementare (semnale sinusoidale de amplitudini, frecvene i faze iniiale diferite).

Un semnal periodic ( )tx de perioad T poate fi dezvoltat n serie Fourier dacsatisface condiiile Dirichlet, i anume:

sfie o funcie de modul integrabil pe intervalul T, adic, ( )+T0t

0t

dttx sfie finit;

saibun numr de discontinuiti finite n intervalul unei perioade; saibun numr finit de maxime i minime n interiorul unei perioade;

Dezvoltarea unui semnal periodic ( )tx n serii Fourier poate sia aiburmtoareleforme:

forma trigonometric(S.F.T.); forma armonic(S.F.A.); forma exponenial(S.F.E.);

1.5.1. Tipuri de dezvoltri prin serii Fourier

Toate cele trei tipuri de dezvoltri n serie Fourier a unui semnal ( )tx suntechivalente ntre ele din punct de vedere matematic. Fiecare dintre ele ofer faciliti

specifice ce ajutla interpretarea fizica fenomenelor.

A. Forma trigonometrica dezvoltrii Fourier (S.F.T.)Expresia matematica dezvoltrii semnalului ( )tx n serie Fourier trigonometric

este urmtoarea:

( ) ( )

=

=

++=

1n

0n

1n

0n0 tnsinStncosCC)t(x (1.32)

unde

==

2T

1f 00 reprezint frecvena de repetiie a semnalului, ce poart numele de

frecvena fundamental.

Coeficienii nn0 S,C,C se calculeaz conform (1.25), utiliznd setul de funcii

(1.22), obinndu-se relaiile:

=T

0 dt)t(xT

1C (1.33)

=T

0n dt)tn(cos)t(xT

2C (1.34)

=T

0n dt)tn(sin)t(xT

2S (1.35)

Utiliznd scrierea semnalului sub forma S.F.T. se pot calcula direct coeficienii

de tipul na .

B. Forma armonica dezvoltrii Fourier (S.F.A.)Seria trigonometric poate fi reprezentat ntr-o form mai compact, denumit

formarmonic, utiliznd numai funcii cosinusoidale.

( ) ( )

=

=

++=+=1n

n0n00n

n0n tncosAAtncosA)t(x (1.36)

unde:2n

2nn SCA += (1.37)


20/118


n

nn C

Sarctg= (1.38)

00 CA = (1.39)

Seria Fourier armonic do descompunere a semnalului periodic ntr-o sum desemnale cosinusoidale ale cror frecvene sunt multipli ai frecvenei fundamentale - 0f - a

semnalului periodic.Utiliznd scrierea semnalului sub forma S.F.A. se poate reprezenta spectrul

semnalului, deoarece expresia (1.36) precizeaz valorile amplitudinilor ( nA ),

respectiv fazelor ( n ) pentru fiecare armonic.Scriind n detaliu expresia (1.36) se pune n eviden componenta continu i

armonicile semnalului.( ) ( ) ( ) ...tkcosA...t2cosAt1cosAA)t(x k0k2021010 +++++++=

Componenta continu- (la frecvena f = 0)00 CA =

Armonica fundamental(fundamentala) - (la frecvena 1n,T1

ff 0 === )( )101 1 + tcosA

Armonica de ordinul doi - (la frecvena 2n,T

2f2f 0 === )

( )202 2 + tcosA..........................................................................................................................................

Armonica de ordinul k - (la frecvena kn,T

kfkf 0 === )

( )kk tkcosA +0

.......................................................................................................................................Observaie: n cazul n care semnalul ( )tx este un semnal par, dezvoltarea n serie armonic

va coincide cu dezvoltarea n serie trigonometric.Cum funcia sinus este impar, rezultc )tn(sin)t(x 0 este o funcie impariar

conform (1.5) se obine c 0=nS .

Din (1.37) i (1.38) rezultc nn CA = , respectiv 0=n

n concluzie semnalul ( )tx par poate fi scris sub forma:

( ) ( )

=

=

+==1

000

0n

nn

n tncosCCtncosA)t(x (1.40)

n cazul n care semnalul ( )tx este un semnal impar, conform (1.34) se obine c0=nC i din (1.37) rezultc nn SA = .

Demonstraia faptului c 0=nC se bazeaz pe observaia c funcia cosinus este

par, c )tn(cos)t(x 0 este o funcie impar, pe care se aplic(1.5).

Din (1.33) i (1.38) rezultc 00 =C , respectiv 2n

= .

n concluzie semnalul poate fi scris ca o sumde funcii sinusoidale de forma:

( )

=

=1

0

n

n tncosS)t(x (1.41)

Componenta continua semnalului este nul, 0A0 = .


21/118


Observaii:

Caracterizarea n domeniul frecvense realizeazprin diagramele spectraleasociate seriei armonice, spectrul de amplitudine ( )0nA n sau ( )0fnA n i spectrul de faze

( )0 nn sau ( )0fnn . Valoarea coeficienilor reprezintamplitudinile armonicelor de pulsaie 0n (sau

frecven 0fn ). Liniile spectrale asociate seriei armonice vor fi localizate la multiplii ai frecven ei

fundamentale: ...,)Nf(N...,)f2(2,)f( 000000 C. Forma exponeniala dezvoltrii Fourier ( S.F.E.)

Expresia dezvoltrii exponeniale este urmtoarea:

( )

=

=n

tnjnc

0eAtx (1.42)

Aceastexpresie se obine din S.F.T. prin exprimarea funciilor sinus i cosinus sub

formexponenial, utiliznd relaiile lui Euler.

Demonstraie:

Relaiile lui Euler sunt urmtoarele:

( ) ( )j2

eetnsin,

2

eetncos

tnjtnj

0

tnjtnj

0

0000 =

+=

Semnalul scris sub formde S.F.T. devine:

( ) ( ) ( )

=

++

+=

n

tnjnntnjnn eSjC

eSjC

Ctx 0022

0 (1.43)

Expresia (1.42) poate fi scrissub forma:

( )

=

=

=

=

++=++=1n

tnjnc

1n

tnjncc0

1n

tnjnc

1

n

tnjncc0

0000 eAeAAeAeAAtx (1.44)

unde s-au folosit notaiile:

( ) ( )00 == nAA;nAA cncncncn Din identificarea coeficienilor din expresiile (1.43) i (1.44) rezult:

2

2

000

nncn

nncn

c

SjCA

SjCA

ACA

+=

=

==

(1.45)

Relaiile (1.45) pun n eviden legtura dintre coeficienii seriei armonice i celei

trigonometrice.Coeficienii S.F.E. se pot obine direct utiliznd relaia:

( ) =T

tnjcn dtetx

T

1A 0 (1.46)

Coeficienii cnA sunt mrimi complexe putnd fi reprezentate prin modul i faz

njcncn eAA

= (1.47)

i

==

==

n

nnn

ncncn

C

Sarctg

AAA

2

(1.48)


22/118


Seria exponenial este preferat, n multe cazuri, celei armonice datorit

simplitii operaiilor (derivare, integrare) cu funcii exponeniale, precum i datoritcaracterului mai general al acestei reprezentri.

Observaii: Caracterizarea n domeniul frecvense realizeazprin diagramele spectrale

asociate seriei exponeniale, ( )0nA cn sau ( )0fnA cn i spectrul de faze ( )0 nn sau

( )0fnn . Liniile spectrale asociate seriei armonice vor fi localizate la frecvenele

...,)Nf(N...,)f2(2,)f( 000000 Se prezint n paralel diagramele spectrale

de amplitudine ale aceluiai semnal ( )tx dezvoltat prin S.F.A. figura 1.10 a) i prinS.F.E. - figura 1.10 b)

Fig.1.10 Diagramele spectrale de amplitudine ale semnalului ( )tx ;a) dezvoltat prin S.F.A. b) prin S.F.E.

Semnificaia frecvenelor negative este urmtoarea: doucomponente exponenialelocalizate simetric fa de ordonat se nsumeaz i dau o component sinusoidal defrecven pozitiv. Frecvenele negative sunt introduse de acest instrument matematic de

analiz, care este seria Fourier exponenial i care opereaz cu semnale exponeniale.Acestea nu au semnificaie fizic luate individual, ci numai n perchi de componene de

frecvene 0 k . Ca atare, atunci cnd se analizeaz spectrul unui semnal periodic

utiliznd seria exponenial, trebuie s se in seama c frecvenele componentelor cu

existenrealsunt cele pozitive, iar amplitudinile acestor componente sunt la jumtate din

valoarea celor obinute prin serie armonic.


23/118


1.5.2. Banda de frecvenocupatde un semnal periodic

Spectrul unui semnal periodic este discret. Existsemnal doar la multiplii aifrevenei fundamentale, care corespunde perioadei semnalului. Teoretic, spectrele semnalelor periodice se ntind de la 0= la = . Practic

spectrele sunt limitate. Reprezentarea diagramei spectrale de amplitudini pune n

eviden legea de descretere a amplitudinilor armonicelor, permind s se limitezeseria la un termen de la care ncepnd, amplitudinea componentelor este neglijabil.Trunchierea seriei de la un anumit termen depinde de cerinele impuse tipului decomunicaie care utilizeazsemnalul respectiv. Se pot considera neglijabile componenteleale cror amplitudini sunt mai mici dect o anumit fraciune din amplitudineafundamentalei. Banda de frecvenocupatde un semnal cuprinde frecvenele armonicelor a

cror amplitudini sunt mai mari dect o anumit fraciune din amplitudineafundamentalei. n urma realizrii analizei spectrale se poate determina limea benzii defrecvene ocupatde acel semnal.

1.5.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor periodice

Pentru o ct mai corect abordare a pailor matematici ce au ca scop analizaspectrala unui semnal periodic se propune urmtorul algoritm:

1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;2) Reprezentarea grafica evoluiei n timp a semnalului;3) Analiza simetriei semnalului;4) Dezvoltarea semnalului n S.F.T.;5) Dezvoltarea semnalului n S.F.A.;6) Reprezentarea spectrului de amplitudine i de faz;7) Determinarea lrgimea de banda semnalului;

Ca exemplu a fost aleasanaliza spectrala unui semnal periodic dreptunghiular.

1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;)umpleredefactorul(

T

tq

Ttt0

tt0A)t(x 1

1

1 =

=

2) Reprezentarea n timp a semnalului este prezentatn figura 1.11.

Fig. 1.11 Semnalul periodic dreptunghiular

3) Din reprezentarea grafic(precum i din expresia matematic) se observc ( )txnu este nici par nici impar.


24/118


4) Dezvoltarea semnalului n S.F.T.Expresia semnalului este urmtoarea:

( ) ( )

=

=

++=1n

0n1n

0n0 tnsinStncosCC)t(x

Calculul coeficienilor:

AqTtAdtA

T1dt)t(x

T1C

1t

0

1

T

0 ====

( )( )

( ) ( ) ( )qn2sinn

Atnsin

n

Atnsin

Tn

A2

tnsinTn

A2dt)tncos(A

T

2dt)tn(cos)t(x

T

2C

1010

0

t

00

t

0 0

0

T

0n1

1

=

=

=

=

===

( )( )=

=== 11

t

00

t

0 0

0

T

0n tncosTn

A2dt)tnsin(A

T

2dt)tn(sin)t(x

T

2S

( )( ) ( ) ( )nq2cos1nA

1tncosTn

A2tncosTn

A210

0

t

00

0

1 ===

S-a inut cont de faptul cT

20

=

Utiliznd funcia ( )x

)xsin(xcsin = (sinus atenuat), expresiile coeficienilor

dezvoltrii trigonometrice sunt urmtoarele:

( ) ( )nq2cos1n

AS;nq2csinqA2C;AqC nn0

===

Forma de unda funciei ( )xcsin este prezentatn figura 1.12.

Fig. 1.12 Formele de unda semnalelor sinus atenuat sinc (x) i sin (x)

5) Dezvoltarea semnalului n S.F.A.Expresia semnalului este urmtoarea:

( ) ( )

=

=

++=+=1n

n0n0

0n

n0n tncosAAtncosA)t(x


25/118


Calculul coeficienilor:AqCA 00 ==

)nq(csinqA22

tnsin

Tn

A4tncos22

n

ASCA 10

010

2n

2nn =

=

=+=

nqnqcosnqsin2

nqsin2

arctgnq2sin

nq2cos1

arctgC

S

arctg

2

n

n

n =

=

==

Pentru o mai bunnelegere a scrierii semnalului printr-o serie Fourier se prezintexpresiile desfurate ale armonicelor. Componenta continu- (la frecvena f = 0)

AqCA 00 ==

Armonica fundamental(fundamentala) - ( )101 t1cosA + la frecvena: 1n,

T

1ff 0 === ;

de amplitudine: qsinA2)q(csinqA2A1 ==;

Armonica de ordinul doi - ( )202 t2cosA + la frecvena: 2n,

T

2f2f 0 === ;

de amplitudine: q2sinA

)q2(csinqA2A 2 == ;

......................................................................................................................... Armonica de ordinul k - ( )k0k tkcosA +

la frecvena: kn,T

kfkf 0 === ;

de amplitudine: qksink

A2)qk(csinqA2A k ==

.........................................................................................................................Expresia desfurata semnalului ( )tx scris sub forma S.F.A. este urmtoarea:

( ) ( ) =++=+=

=

= 1nn0n0

0nn0n tncosAAtncosA)t(x

...)q2t2cos()q2sin(A

)qtcos()qsin(A2

qA 00 ++

+=

...)qntncos()qnsin(nA2...)qktkcos()qksin(

kA2... 00 +

++

+

n cazul n are care5

1=q , expresiile matematice ale primelor cinci armonici i a

semnalului aproximat pnla a cincea armonicsunt urmtoarele:

( )

=5

tcos5

sinA2

tA 01 ;

( )

=5

2t2cos

5

52sin

2

A2tA 02 ;

( )

=

53t3cos

53sin

3A2tA 03 ;


26/118


( )

=

5

4t4cos

5

4sin

4

A2tA 04 ;

( ) 05

5t5cos

5

5sin

5

A2tA 05 =

= ;

Expresia aproximativa semnalului (prin nsumarea primelor 5 armonici i a componentei

continue) este urmtoarea:( ) +

+

+

5

2t2cos

5

2sin

A

5tcos

5sin

A2

5

Atx 00

+

+

5

4t4cos

5

4sin

2

A

5

3t3cos

5

3sin

3

A200

n figura 1.13 sunt reprezentate formele de und ale primele patru armonici ale

semnalului ( )tx , n cazul n care5

1=q .

Fig. 1.13 Formele de undale primelor patru armonici, corespunztoare unui semnal dreptunghiular ( )tx , n

cazul n care51q=


27/118


n figura 1.14 este reprezentatforma de unda semnalului ( )tx comparativ cu ceaobinutprin nsumarea primelor 5, 10, 15, respectiv 50 de armonici.

Fig. 1.14 Forma de undale semnalului ( )tx comparativ cu cea obinutprin nsumarea primelor 5,10, 15,respectiv 50 de armonici


28/118


6) Reprezentarea spectrului de amplitudine i de fazForma armonica dezvoltrii Fourier oferposibilitatea de a reprezenta spectrul de

amplitudini al semnalului )f(fAsau)(fA nn == .Pentru a realiza aceastreprezentare graficse reamintete c: Spectrul unui semnal periodic este discret; [ )

+ =

kk1kk 0Alim,...1kAA ;

Pentru acest tip de semnal (dreptunghiular) existarmonici a cror amplitudine estenul. Ordinul, (k) al armonicelor care se anuleazse determinastfel:

q

mk

Zmundemqk0qksin0)qk(csinqA20Ak

=

====(1.49)

Pentru a realiza reprezentrile grafice ale spectrului de amplitudine se consider

cazul particular n care5

1=q .

n acest caz:

5AA0 =

=

=5

nsin

n

A2

5

ncsin

5

A2An

5

nn

= ;

n acest caz armonicele de ordin = Nm,m5k sunt nule.0A k5 =

Calculul amplitudinilor i fazelor corespunztoare primelor 10 armonici este urmtorul:

.....

5

9;

5

9sin

9

A2A

5

8;

5

8sin

4

AA

5

7;

5

7sin

7

A2A

56;

56sin

3AA

5

4;

5

4sin

2

AA

5

3;

5

3sin

3

A2A

5

2;

5

2sin

AA

5;

5sinA2A

99

88

77

66

44

33

22

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Reprezentrile grafice ale spectrului de amplitudini, respectiv a modululuispectrului de amplitudini sunt prezentate n figurile 1.15. respectiv 1.16.Observaie:

Cu linie punctateste reprezentatnfurtoarea (anvelopa) spectrului. Din analizaformei nfurtoarei se pot obine douinformaii: Punctele de trecere prin zero ale nfurtorei semnificvalorile frecvenei

armonicelor a cror amplitudine se anulez. Amplitudinile armonicelor sunt situate ntre axa absciselor i nfurtoare. n acest

mod se poate observa tendina de variaie (scdere) a amplitudinilor odat cu cretereafrecvenei armonicelor.

n figura 1.15 se observcexistarmonici ce au o amplitudine negativ. Acesteanu au nicio semnificaie fizic. Din acest motiv uzual se reprezintmodulul spectrului deamplitudini.


29/118


Fig. 1.15 Spectrul de amplitudini al unui semnal periodic dreptunghiular

=

5

1q

Fig. 1.16 Modulul spectrului de amplitudini al unui semnal periodic dreptunghiular

7) Determinarea lrgimii de banda semnalului;In cazul semnalului periodic dreptunghiular, se consider c limita superioar a

benzii este egal cu frecvena primei armonici a crei amplitudine este nul. Conform(1.49) primul punct de trecere prin zero al spectrului sau prima trecere prin zero anfurtoarei semnalului se obine pentru 1m= . n concluzie

[ ]Hzq

f,0B 0

= (1.50)

Conform (1.50) rezultcpentru reconstituirea semnalului este suficientreinereaarmonicilor situate n primul lob al nfurtoarei spectrului semnalului (figura 1.15 i

1.16). Numrul armonicelor cuprinse n banda de frecveneste dat de expresia:

1

q

1 (1.51)

Conform figurii 1.14 a), se observcpentru refacerea semnalului dreptunghiulareste suficient a se recepiona doar primele patru armonici ale semnalului. Ulterior acestsemnal este prelucrat electronic pentru a se obine un semnal dreptunghiular. Reinereadoar a unei pri (banda de frecven) din spectrul infinit al unui semnal periodic serealizeazcu ajutorul unui filtru trece band(F.T.B.). Acesta este un circuit electronic ceatenueaz componentele spectrale ce se consider a fi inutile n cadrul unui proces derecepie.


30/118


1.6. Analiza spectrala semnalelor neperiodice

1.6.1. Noiuni introductive. Transformata Fourier

Semnalul neperiodic poate fi considerat un caz limital unui semnal periodic, lacare perioada tinde spre infinit. Cum n cazul semnalelor periodice trecerea din

domeniul timp, n domeniul frecvense realizeazprin intermediul seriilor Fourier,n cazul semnalelor neperiodice legtura dintre cele doudomenii se realizeazprinintermediul transformatei Fourier.Se reamintesc urmtoarele expresii matematice:Transformata Fourier directa unui semnal neperiodic ( )tx (impuls) este:

( ){ } ( )

== dte)t(xjXtxF tj (1.52)

Transformata Fourier inverssau originalul ( )tx se obine cu relaia:

( ){ } ( )

== de)j(X

2

1txjXF tj1 (1.53)

Impulsul este un semnal determinist, de durat finit. Se poate afirma c toatesemnalele deterministe sunt impulsuri, deoarece, n realitate duratele acestora sunt finite.Conform paragrafului 1.5. s-a vzut ceste util (n unele cazuri) ca semnalul sfie definit

pe intervalul ( ) ,t , asociindui-se funcii periodice n timp.Impulsul este un semnal neperiodic, dar trebuie precizat c nu orice semnal

neperiodic este impuls. De exemplu un semnal ntmpltor, cu durata finit sau infiniteste neperiodic dar nu constituie un impuls.

n figura 1.17 sunt prezentate cteva forme tipice de impulsuri. n toate cele treicazuri prezentate limitele domeniului lor de existen, 21 t,t , sunt finite.

Fig.1.17 Impulsuri; a) impuls exprimat printr-o succesiune de segmente; b) impuls de formoarecare, cuvariaie continu; c) impuls de radiofrecven


31/118


Analiznd ndeplinirea condiiilor matematice necesare analizei, pot fi considerateca impulsuri i semnalele la care unul sau ambele momente 21 t,t sunt infinite.n figura 1.18 se prezintcteva din aceste impulsuri.

Fig.1.18 Impulsuri; a) impulsul treaptunitate; b) impulsul exponenial; c) impulsul exponenial simetric; d)clopotul lui Gauss; e) impulsul Dirac; f) impuls dreptunghiular simetric cu aria egalcu unitatea.

impulsul treaptunitate:

=

0t0

0t1)t( , momentul 2t este infinit; (1.54)

impulsul exponenial:0te)t(x t = , momentul 2t este infinit; (1.55)

impulsul exponenial simetric:te)t(x = , momentele 21 t,t sunt infinite; (1.56)

clopotul lui Gauss:2

te)t(x = , momentele 21 t,t sunt infinite; (1.57) impulsul Dirac (funcia impuls unitate):

1dt)t(;0t

0t0)t( =

=

=

+

(1.58)

A. Impulsul DiracSe observ c impulsul Dirac nu este definit printr-o funcie de timp n sensul

matematic obinuit, caracteristica lui fiind aceea care duratnul, amplitudine infinitiintegrala pe orice domeniu simetric fa de ordonat egal cu unitatea. )t( poate fi

considerat ca o limit a succesiunii de impulsuri )t(p , de durat i amplitudine

1,

atunci cnd 0 (vezi figura 1.19).


32/118


Fig.1.19 Definirea funciei impuls unitate (Dirac) prin trecerea la limitde la un impuls dreptunghiular cuaria egalcu unitatea.

Pe msurce durata impulsului )t(p tinde spre zero, 0 , acesta se ngusteaz,

la limit localizndu-se la 0t= . n tot acest proces de trecere la limit suprafaa

impulsului dreptunghiular se pstreaz constant i egal cu unitatea, pe seama creteriiamplitudinii, care tinde la cnd tinde la zero.

( ) ( )ttplim0

=

(1.59)

Impulsul dreptunghiular poate fi scris cu ajutorul funciilor (impulsurilor) treaptunitate,astfel:

( ) ( )[ ]kk

tt1

)t(p

= (1.60)

Din (1.59) i (1.60), rezultc:

( ) ( ) ( ) ( )k

k00 ttlimtplimt

== (1.61)

n expresia (1.61) se identificderivata funciei treptunitate, astfel nct se poate scrie c:

( ) ( )( )

( )tdt

tdt '=

= (1.62)

Observaii: Derivata funciei treptunitate este zero pe tot domeniul ei de definiie, cu excepia

punctului de discontinuitate 0t= unde, din punct de vedere matematic derivata nu artrebui sexiste. Utiliznd funcia (impulsul) Dirac s-a identificat derivata treptei unitate n

punctul de discontinuitate 0t= , ca fiind nsui impulsul Dirac localizat n 0t= .

Se demonstreazcderivata unei funcii ntr-un punct de discontinuitate 0t este unimpuls Dirac localizat n acel punct, ponderat cu mrimea discontinuitii funciei n acelpunct. Aceastproprietate va conduce la calcule mult mai simplificate n analiza spectrala semnalelor cu discontinuiti. Spre exemplu pentru semnalul )t(p reprezentat n figura

1.18 f), derivatele n punctele de discontinuitate2

au valorile

2t

1.

Impulsul Dirac se bucurde proprietatea de eantionizare, exprimatde integrala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 txdttttxdttttx == +

+


33/118


B. Determinarea expresiei transformatei Fourier directn continuare se prezinto metodde deducere a expresiei (1.52).Aa cum s-a precizat anterior semnalele neperiodice pot fi considerate un caz limit

al semnalelor periodice i anume atunci cnd perioada T tinde la infinit. Aceasttrecere lalimitpoate fi imaginatastfel: fiind dat semnalul neperiodic ( )tx , figura 1.20a), limitat pe

axa timpului, se face o prelungire periodica acestui semnal, notat ( )txT , figura 1.20b), deperioadT.

La limit, cnd T tinde la infinit, semnalul periodic va avea doar o perioad pentreg domeniul de timp i va fi reprezentat doar prin ( )tx .

Fig.1.20 Periodicizarea unui semnal neperiodic

Semnalul ( )txT poate fi dezvoltat prin seria Fourier armonic. Aceast serie l

reprezintpe ( )txT pe tot intervalul, iar pe ( )tx numai pe intervalul

2

T,

2

T.

La limit, cnd T tinde la infinit, seria corespunztoare lui ( )txT l reprezintpe( )tx pe ntreg domeniul +


34/118


n conformitate cu aceste notaii, (1.63) devine:

( ) ( )

=

=

n

tj2

T

2

T

tjT

nn edtetx2

1tx (1.64)

La limit T , semnalul periodic este identic cu semnalul neperiodic,

( ) ( )txtxT , iar d .Deoarece n poate lua acum orice valoare pe axa frecvenei, se va nota =n i

de asemenea din punct de vedere matematic se observc

=

n

.

n aceste condiii (1.64) devine:

( ) ( )

= ddetxe

2

1tx tjtj (1.65)

n cea de a doua integralau fost extinse limitele integrrii la intervalul ( ) ,

deoarece n afara intervalului

2T,

2T impulsul ( )tx are valori nule.

Se noteaz ( ){ } ( )

== dte)t(xjXtxF tj , funcie ce poart numele de

transformat Fourier a semnalului ( )tx , iar ( ){ } ( )

== de)j(X2

1txjXF tj1 se

numete transformatFourier invers.

Proprietile transformatei Fourier sunt urmtoarele:

Liniaritatea: ( ) ( )

=

jaXtxaF k

kkk (1.66)

Schimbarea scrii timpului: ( )ajXaa

txF =

(1.67)

ntrzierea n timp: ( ){ } ( )= jXettxF 0tj0 (1.68) Deplasarea spectrului (modularea): ( ){ } ( )txeXF t0j01 = (1.69) Derivarea n timp: ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )== jXjtxF;jXjtxF n)n(' (1.70) Derivarea n domeniul frecven: ( ) ( ) ( )txjtjXF '1 = (1.71) Integrarea n timp: ( ) ( )

=

j

jXdxF

t

(1.72)

Integrarea n domeniul frecven: ( ) ( )txjt

1djXF 1 =

(1.73)


35/118


1.6.2. Analiza spectrala semnalelor neperiodice. Mod de lucru.

Pornind de la ideea csemnalul neperiodic este un semnal periodic cu perioadT

infinit, frecvena fundamental 0f devine tot mai mic, spectrul tot mai dens, la limit

nemaiputndu-se face nici o discriminare ntre dou componente spectrale succesive,

spectrul existnd pentru orice pulsaie (sau frecvenf ).

Spectrul unui semnal neperiodic este un spectru continuu.

Expresia (1.52) ( ){ } ( )

== dte)t(xjXtxF tj poartnumele de funcie spectral,

sau densitate spectralde amplitudine complex.

Din (1.52) i (1.64) se obine:

( ) ( ) ( )[ ]

=

n

tjnT

nejX2

1txtx

Aceastaproximaie este cu att mai buncu ct T este mai mare i este maimic. Se observ c impulsul ( )tx se exprim ca sum de oscilaii armonice. Aceste

oscilaii armonice au urmtoarele caracteristici: Frecvenele unghiulare sunt egale cu = nn , fiind foarte apropiate unele de

altele pe axa frecvenei;

Amplitudinile sunt egale cu ( ) n

jX2

1;

Conform observaiei fcute asupra valorii amplitudinii oscilaiilor rezult c

mrimea ( ) ( ) jXjX n se exprim ca raportul dintre o amplitudine i intervalul defrecven . Este deci fireasc denumirea de densitate spectral de amplitudinecomplexsau densitate de amplitudine, datfunciei ( )jX .Asupra funciei de densitate spectralde amplitudine se pot face urmtoarele observaii:

Funcia de densitate spectraleste continu, ea existnd pentru orice ( )f . Funcia de densitate spectraleste o funcie complex, putnd fi scrissub formde

modul i faz, astfel:

( ) ( ) ( )= jejXjX (1.74)unde:

( ) ( )= MjX reprezintmodulul densitii spectrale de amplitudine (spectrul deamplitudini);

( ) reprezintspectrul de faz;Deoarece funcia de densitate spectraleste o funcie complexse poate scrie c:

( ) ( ) ( )= BjAjX (1.75)unde:

( )

== tdtsin)t(x)(B;tdtcos)t(xA (1.76)

n acest caz se poate scrie c:

( ) )(B)(A)j(XM 22 +== (1.77)

( ))(A

)(B

= (1.78)

a) Dacfuncia ( )tx este par, atunci:( ) ( ) ( )== AjX0B (1.79)

rezultnd cfuncia de densitate spectraleste o funcie real.


36/118


b) Dacfuncia ( )tx este impar, atunci:( ) ( ) ( )== jBjX0A (1.80)

rezultnd cfuncia de densitate spectraleste o funcie pur imaginar. Energia E a impulsului este datde relaia:

=

==0

222 d)j(X1

d)j(X

2

1dt)t(xE (1.81)

Mrimea )(G)j(X2

= se numete densitate spectralde energie a impulsului.

Relaia (1.81) constituie teorema lui Parceval aplicat impulsurilor. Demonstraiateoremei este urmtoarea:

Se observc:

= d)j(X)j(Xd)j(X2

, mrime ce va fi notatcu I.

Conform (1.52) relaia de mai sus devine:

( )

= ddtetx)j(XI tj .

Schimbnd ordinea de integrare, se obine:

( )

= dtde)j(XtxI tj ,

iar pe baza (1.58) se deduce c:

( )

= dttx2I 2 .

Considernd c impulsul este o tensiune sau un curent aplicat unei rezisten e

= 1R , energia totaldebitatare expresia

= dt)t(xE 2 . n conformitate cu notaiile de

mai sus rezultc:

=

=

=0

22d)j(X

1d)j(X

2

1I

2

1E .

Echivalnd integrala cu o sum de termeni, rezult c funcia2

)j(X este o

densitate spectralde energie pe axa frecvenei.

0

22)j(X

1)j(X

2

1E

1.6.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor neperiodice

Pentru a realiza analiza spectrala semnalelor neperiodice trebuie realizat un studiuasupra absolut integrabilitii funciei )t(x .

A. Funcia )t(x este absolut integrabil.n cazul n care funcia este absolut integrabil, este ndeplinitcondiia:

( )


37/118


Restricia (1.82) implicfaptul cdensitatea spectralde amplitudine a semnalului)t(x (dat de 1.52) este finit, putnd fi calculat. Acest observaie este justificat

matematic astfel:

= dt)t(xdte)t(xdte)t(x tjtj (1.83)

n cazul funciilor absolut integrabile se pot identifica doutipuri de impulsuri:A1.Impulsuri cu valori i durate finite.

Analiza spectral se realizeaz aplicndu-se transformata Fourier. Calcululdensitii spectrale de amplitudine este de obicei simplu deoarece impulsurile sunt date

prin expresii analitice clasice (segmente de drepte, exponeniale, funcii trigonometrice...).

A2.Impulsuri definite pe ntreg domeniul: ( ) ,t .Acestea nu sunt impulsuri n adevratul sens al cuvntului, dar respectnd condiia

(1.82), poate fi calculatdensitatea lor de amplitudine. Un astfel de exemplu l constituieimpulsul exponenial prezentat n figura 1.18b). Cum

( ) i finit) i se poate aplicatransformata Fourier.

Pentru a calcula densitatea spectralse propun urmtoarele doumetode:

a) Calcularea transformatei Fourier: ( ){ } ( )

== dte)t(xjXtxF tj

Algoritmul de lucru este urmtorul:1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;2) Reprezentarea grafica evoluiei n timp a semnalului;3) Analiza simetriei semnalului;4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului, ( )jX ;5) Calculul modulului densitii spectrale de amplitudine ( ) ( )= MjX ;6) Reprezentarea grafic a modulului densitii spectrale de amplitudine

( ) ( )= MjX ;7) Determinarea lrgimii de banda semnalului;8) Calculul densitii spectrale de energie a impulsului ( )G

b) Aplicarea proprietilor transformatei Fourier.Prin aceastmetodse pot simplifica n mod substanial calculele matematice

B. Funcia )t(x nu este absolut integrabil.Restricia (1.82) este suficient dar nu i necesar deoarece lipsa absolutei

integrabiliti nu implic lipsa de sens a integralei (1.52) (transformata Fourier asemnalului).

Se vor prezenta cteva exemple n care se va calcula densitatea spectral deamplitudine pentru impulsuri a cror expresie analitic este o funcie ce nu este absolutintegrabil. Un astfel de impuls este treapta unitate prezentat n figura 1.18a).

n acest caz:( ) ===

00

dt1dt1dttx (1.84)


38/118


Metoda propuspentru obinerea densitii spectrale n cazul acestor impulsuri estede a calcula transformata Fourier prin trecerea la limita transformatelor unor impulsuricare sunt absolut integrabile.

1.6.4. Exemple de analizspectrala impulsurilor

Analiza spectrala unor impulsuri fundamentale1. Analiza spectrala impulsului Dirac

Impulsul Dirac este definit conform (1.58), astfel:

1dt)t(;0t

0t0)t( =

=

=

+

Metoda I

Se calculeaztransformata FourierTransformata impulsului Dirac este urmtoarea:

( ){ } 1dt)t(edte)t(tF 0tj ===

(1.85)

n figura 1.21 este prezentat impulsul Dirac i transformata Fourier a acestuia.

Fig.1.21a) Impulsul Dirac, b) Funcia de densitate spectrala impulsului Dirac

Cum densitatea de amplitudine sau de energie este constantpe ntreg domeniul defrecven, rezultcenergia impulsului Dirac este infinit, lucru ce implicfaptul cacestsemnal nu este realizabil din punct de vedere fizic.

Dupcum s-a prezentat n figura 1.19, impulsul Dirac poate fi doar aproximat prin

impulsuri de durate foarte mici 0 , cu amplitudini foarte mari

1.

Metoda II

O variant(dar nu singura) de a determina transformata Fourier a impulsului Diraceste de a-l aproxima prin aa numitfuncie de eantionare:

( )ktcsink

)t(fe

= (1.86)

Conform reprezentrilor grafice ale funciei de eantionare din figura 1.22, seobservcatunci cnd valoarea lui k se mrete, lobul principal al funciei se ngusteaz,valoarea lui maximcrescnd.

Se demonstrazcaria funciei de eantionare este egalcu unitatea, observaie ceeste n concordancu definiia (1.58) datimpulsului Dirac.

( ) ( ) ( )

( ) ( )+

+

+

+

+

=

=

=

= vd

v

vsin1ktd

kt

ktsin1dt

kt

ktsinkdtktcsin

kdt)t(fe

Se reamintete expresia funciei sinus integral:

( )

=

x

0 vdv

vsin

)x(Si (1.87)


39/118


Fig.1.22 Funcia de eantionare ( )ktcsink

)t(fe

= reprezentatpentru douvalori ale parametrului k.

Valorile funciei sinus integral sunt tabelate, reprezentarea graficfiind prezentatn figura 1.23.

Fig.1.23 Funcia sinus integral )x(Si

Conform (1.87) expresia ariei funciei de eantionare devine:

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )

( )

122

1SiSi

1

vdv

vsinvd

v

vsin1vd

v

vsin1dt)t(f

2Si

2Si

00e

=

+

=

=

=

=

=

=

=+

++

+

n acest caz transformata Fourier a impulsului Dirac devine:

( ){ }

= dte)t(ftF tje

Cum funcia de eantionare este par, rezult:

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) =

=

==

00

tje dttcost

ktsin2dttcosktcsin

k2dte)t(ftF

( )[ ] ( )[ ]=

+

+

=

00

dtt

tksin1dt

t

tksin1

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] =

++

+

+

=

00

tkdtk

tksin1tkd

tk

tksin1

( )

( )( )[ ] 1

221Si21du

uusin1dv

vvsin1

00

utk

vtk

=

=

=

+ =

=

=+


40/118


41/118


Cum aria impulsului este o mrime constantindependentde parametrul rezultc:

( )=

+

=

+ 2200lim

j

1Relim (1.91)

Fig.1.25 Funcia22 +

n concluzie, din (1.89) i (1.91) rezult c transformata Fourier a impulsuluitreaptunitate are expresia:

{ } { }[ ] ( )

+== j

1teFlim)t(F t

0 (1.92)

n literaturse ntlete i scrierea:

{ } ( )

=

=0

j

1 0t)t(F (1.93)

n figura 1.26 este prezentat modulului densitii spectrale de amplitudine alimpulsului treaptunitate.

Fig.1.26 Modulului densitii spectrale de amplitudine al impulsului treaptunitate.


42/118


A. Analiza spectrala impulsurilor absolut integrabileA1.Analiza spectrala impulsul video simetric

Metoda I

1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;

=

2tsau

2,

2t0

2tsau2,2tA)t(x v


Fig.1.27 Impuls video simetric

3) Analiza simetriei semnalului;Cum ( ) ( ) ( )txtxtx = este par, adic ( ) ( ) ( )== AjX0B

4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului;( ) ( )

2sin

A2dttcosA2dttcos)t(xAjX

2

0

v

====

sau

( )2

csinAjX v

= (1.94)

5) Calculul modulului densitii spectrale de amplitudine2

csinA)j(Xv

= (1.95)

6) Reprezentarea grafica modulului densitii spectrale de amplitudineModulul densitii spectrale de amplitudine este prezentatn figura 1.28

Fig.1.28 Modulul densitii spectrale de amplitudine a semnalului video simetric


43/118


n cazul n care se reprezintfuncia de densitate spectrala semnalului, se obine oreprezentare ilustratn figura 1.29.

Fig.1.29 Densitatea spectralde amplitudine a semnalului video simetric

7) Determinarea lrgimii de banda semnaluluin cazul acestui semnal se considerclrgimea lui de bandse ntinde de la zero

pnla prima frecvenla care spectrul de amplitudini se anuleaz. Determinarea expresieiacestei frecvene implicurmtoarele calcule:

( ) Nkk

fk2

k2

02

sin02

csinAjX

=

==

=

=

=

Deci,

[ ]Hz1

,0B

= (1.96)

Observaie: Banda (lrgimea de band) depinde doar de durata impulsului; Cu ct durata impulsului este mai mare cu att banda de frecveneste mai mic

(ngust) i amplitudinea spectralmai mare;Cu ct durata impulsului este mai miccu att banda de frecveneste mai mare

(larg) i amplitudinea spectralmai mic.Densitatea spectralde energie a impulsului

( ) ( )2

csinjXG 222

== (1.97)

Metoda II

Se procedeazla o derivare succesiv, punnd n eviden, treptat, impulsurile

Dirac, corespunztoare derivrii discontinuitilor.

Impulsurile Dirac extrase sunt lsate la o parte cnd se trece la o nouderivare. Operaia de derivare se continupncnd derivata respectivse exprim

ca o sumde impulsuri Dirac.Parcurgnd apoi drumul n sens invers i scriind transformatele Fourier ale

impulsurilor Dirac, se deduce pas cu pas, funcia spectralcutat.n figura 1.30 este reprezentat procedeul de evideniere a impulsurilor Dirac

rezultate n urma derivrii impulsului video simetric.Se observ - figura 1.30 b)- c impulsul video simetric poate fi scris ca sumde

impulsuri treaptunitate, astfel:

+

+= 2

tA2

tA)t(x v (1.98)


44/118


Aplicnd observaia (1.62) - derivata unei funcii ntr-un punct de discontinuitate

0t este un impuls Dirac localizat n acel punct, ponderat cu mrimea discontinuitii

funciei n acel punct - asupra expresiei (1.96) rezult:

+

+=

2tA

2tA)t(x 'v (1.99)

n figura 1.30c) se pun n evidenimpulsurile Dirac ce apar ca urmare a derivriicelor doufuncii treptunitate.

Fig.1.30 Evidenierea impulsurilor Dirac n urma derivrii impulsului video simetric

Se parcurge drumul n sens invers, aplicnd transformatele Fourier derivatei deordinul I al impulsului video simetric.

{ } =

+

+=

dte2

tAdte2

tA)t(xF tjtj'v

( ) ( ) = =

+

=

=

+

dueuAdvevA 2uj2vju

2

t

v2

t

( ) ( )

==

2j

2j)85.1(

uj2j

vj2j

eeAdueueAdveveA (1.100)

Conform relaiilor lui Euler

xsinjxcose

xsinjxcosexj

xj

=

+=

(1.101)

expresia (1.100) devine:

{ } 2sinjA2)t(xF'v = (1.102)

Aplicnd proprietatea (1.70) de derivare n timp a transformatei Fourier, rezultc:

( ){ } ( ) ( )

2csinA

2sin

A2

2sin

j

jA2

j

txFjXtxF

'v

vv

=

=

=

==

Aceastexpresie este identiccu cea obinutn urma aplicrii directa formuleitransformatei Fourier asupra impulsului video simetric.


45/118


A2.Analiza spectrala impulsului video nesimetric1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;

[ ][ ]

=

,0t0

,0tA)t(x

nv


Fig.1.31 Impuls video nesimetric

3) Analiza simetriei semnalului;Semnalul nu este nici par nici impar

4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului ( )jXMetoda I

Se aplictransformata Fourier( ) ( ) ( )= BjAjX

nv

unde:

;tdtsin)t(x)(B;tdtcos)t(x)(A

==

( )

===

sinA

dttcosAdttcos)t(xA0

( ) ( )1cosA

dttsinAdttsin)t(xB0

===

iar modulul densitii spectrale:

2csinA)(B)(A)j(X 221v

=+= (1.103)

Metoda IISe utilizeaz proprietatea transformatei Fourier de ntrziere n timp,

( ){ } ( )= jXettxF 0tj

0unde

( )

= dte)t(xjX tj .

Aceastmetodse aplicacolo unde se pot utiliza rezultate obinute n urma unorcalcule anterioare.

n acest caz se utilizeazrezultatele obinute la analiza spectrala semnalului videosimetric.

Se observc ( )

=

2txtx vvn i deci:

( ) ( )2

csinAejXejX 2j

v2

j

vn

==

i cum

=

2sinj

2cose 2j


46/118


Rezultc: )j(X2

csinA)j(X vvn =

= (1.104)

Observaii: Modulul densitii spectrale de amplitudine este identic pentru cele dousemnale

video. n concluzie, oricare dou semnale care difer doar prin ntrziere n timp, aumodulele densitilor spectrale de amplitudine egale. Banda de frecvenpentru cele dousemnale este aceeai. Reprezentarea grafica modulului densitii spectrale de amplitudine a semnalului

video nesimetric este identiccu cea din figura 1.28. n cazul n care se cere realizarea analizei spectrale a unui impuls nesimetric, se

caut(daceste posibil) a se simetriza acest semnal. n acest caz calculele matematice sesimplific(deoarece se studiazun semnal fie par fie impar), fra se modifica rezultatelefinale.

A3.Determinarea funciei spectrale a unui impuls cu discontinuitiImpulsul este reprezentata n figura 1.32a).

Fig.1.32 Exemplificarea metodei de derivare succesivce pune n evidenimpulsurile Dirac, utilizatlacalculul funciei de densitate spectral

Expresia semnalului este urmtoarea

( )( )( )

+

=

3,2t3

2,1t1t

1,0tt2

)t(x

2

Metoda I

Se aplictransformata Fourier

( ){ } ( ) ( ) ( )

+++===3

2

tj2

1

tj1

0

tj2tj dte3dte1tdtet2dtetxjXtxF


47/118


Calculnd pe rnd cele trei integrale, se obine:

( )( )

=

=

==

1

0

tj1

0

tj21

0

'tj2

1

0

tj21 dtet2etj

2dt

j

et2dtet2I

( )

( ) ( )

=

=

=

1

0

tj1

0

tj2

j1

0

'tjj dtete

j

4e

j

2dt

j

et2e

j

2

( ) ( )

( )( ) ( )

=

+

=

j2

j1

0

'tj

2j

2j e

j

4e

j

2dt

j

et

j

4e

j

4e

j

2

( ) ( ) ( )( )1e

j

4e

j

4e

j

2e

j

4 j3

j2

j1

0

tj3

=

( )( )

=

=

==

2

1

tj2

1

tj2

1

'tj2

1

tj21 dtetej

1dt

j

etdtetI

( ) ( )( ) ( ) ( ) =

=

+

=

2

1

tj2

jj22

1

'tjjj2 e

j1ee2

j1dt

je

j1ee2

j1

( )( )

( )

= jj22

jj2 eej

1ee2

j

1

( )( )

( )

=

=

==

jj22

1

tj2

1

'tj2

1

tj22 eej

1e

j

1dt

j

edteI

( )( )

( )

=

=

==

j2j33

2

tj3

2

'tj3

2

tj3 eej

3e

j

3dt

j

e3dte3I

n final se obine:( )

( )( )

( )( )

+

=++= j3j2j

2j

3321e

j

3ee3

j

1e1

j

4IIIjX (1.105)

Metoda II

Se procedeaz la o derivare succesiv, punnd n eviden, treptat, impulsurileDirac, corespunztoare derivrii discontinuitilor.

n figura 1.32a),b),c) este reprezentat procedeul de evideniere a impulsurilor Diracrezultate n urma derivrii impulsului video simetric.

Se obine:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

==

2,1t1

1,0tt4)t(yunde3t3tytx '

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0t,4)t(zunde2t1t3tzty ' ==

( ) ( ) ( )1t4t4tz ' = Se parcurge drumul n sens invers, astfel:

se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(z{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ===

+

=

dueu4dtet4dte1t4dtet4)t(zF 1ujtju1t

tjtj'

( ) ( ) ( )

== j

)85.1(ujjtj e14dueue4dtet4 (1.106)


48/118



( ){ } ( ){ }

( )

=

= j'

e1j

4

j

tzFtzF (1.107)

se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(y

{ } { } ( ) ( ) ( )== ==

jv2tu1t

tjtj' e1j4dte2tdte1t3)t(zF)t(yF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

+ duete3e1j

4duevdueu3 ujjj2vj1uj

( ) ( ) ( )

+

=j2jj

)85.1(2vj ee3e1

j

4duev (1.108)


( ){ } ( ){ }

( )( ) ( ) +

=

= j2jj

2

'

ee3j

1e1

j

4

j

tyFtyF (1.109)

se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(x { } { } ( ) { } ( ) ( ) { }===

+=

)t(yFdueu3)t(yFdte3t3)t(yF)t(xF 3uju3t

tj'

( )( )

( ) ( )

+

= j3j2jj

2

)85.1(ujj3 e3ee3

j

1e11

j

4duete3 (1.110)


( ){ } ( ){ }

( )( )

( )( )

+

=

= j3j2j

2j

3

'

ej

3ee3

j

1e1

j

4

j

txFtxF

Se observcaplicarea acestei metode implicrealizarea unor calcule matematicemult mai simple. Este vorba, la urma urmelor, de aplicarea proprietii care spune ctransformata Fourier a impulsului Dirac este impulsul treaptunitate.

B. Analiza spectrala impulsurilor ce nu sunt absolut integrabileB1.Analiza spectrala impulsului constant

Impulsul constant este definit astfel:A)t(x =

Conform (1.82) nu este un impuls absolut integrabil. n acest caz metoda propus

pentru obinerea densitii spectrale este de a calcula transformata Fourier prin trecerea lalimita transformatei unui impuls care este absolut integrabil.S-a ales ca impuls a crui transformatse poate calcula, impulsul video simetric:

=

2tsau

2,

2t0

2tsau

2,

2tA

)t(x v ;

Conform reprezentrii grafice din figura 1.33, se observ c la limit, ,impulsul video simetric se transformn impuls constant.


49/118


Conform (1.94) transformata Fourier a impulsului video simetric are expresia:

( )2

csinAjXv

=

Fig.1.33 Obinerea impulsului constant din impulsul video simetric

n consecin:

{ }

=

= 2csin2

limA22csinAlim)t(xF

Dacse face notaia2

k = se obine:

{ } ( )

=

kcsin

klimA2)t(xF

S-a artat (n cadrul analizei spectrale a impulsului Dirac) c la limit funcia de

eantionare, ( )

= kcsink

)(fe , devine impuls Dirac. n consecin,

{ } ( )= A2)t(xF (1.111)Reprezentarea grafica spectrului funciei continue este prezentatn figura 1.34.

Fig.1.34 Spectrul funciei continue

B2.Analiza spectrala impulsului cosinusoidal

Semnalul cosinusoidal este definit astfel:( ) ( )= ,t,tcostx 0C (1.112)

Deoarece semnalul nu este absolut integrabil, se construiete un semnal pentru carese poate aplica transformata Fourier. Acest semnal, absolut integrabil, este de tipul:

( ) ( )

( )

=

,t0

,t,tcostx 01C (1.113)

Pentru segmentul de semnal cosinusoidal transformata Fourier are expresia:

( ){ } ( )( )

( ) =+==

dteee

2

1dtetcostxF tjt0jt0j

101.1tj

01C


50/118


( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

+

=

+

+

=

++

0

0101.1

0

0j0j

0

0j0j sineeee

2

1

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )101.1

0

0j0j

0

0j0j

0

0 eeee

2

1sin=

+

+

=

+

++

++

( )

( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]++=+ ++ = 0000

0

0101.1

csincsinsinsin

n consecin:{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]=++=

00C csincsinlim)t(xF

( )( ) ( )( )

+

+

=

00 csincsinlim

Dacse face notaia =k se obine:

{ } ( )( ) ( )( )

+

+

=

kcsin

kkcsin

klim)t(xF 00C

S-a artat (n cadrul analizei spectrale a impulsului Dirac) cla limit, funciile deeantionare,

( )[ ]kcsink

)(f 00e

= sau, ( )[ ]kcsink

)(f 00e +

=+

devin impulsuri Dirac.n consecin,

{ } ( ) ( )00C )t(xF ++= (1.114)Reprezentarea grafica spectrului impulsului cosinusoidal este prezentatn figura 1.35.

Fig.1.35 a) Semnalul cosinusoidal tcos 0 , b) Funcia de densitate spectrala semnalului cosinusoidal

tcos 0

B3.Analiza spectrala impulsului sinusoidal

Semnalul sinusoidal este definit astfel:( ) ( )= ,t,tsintx 0S (1.115)

Deoarece semnalul nu este absolut integrabil, se construiete un semnal pentru carese poate aplica transformata Fourier. Acest semnal, absolut integrabil, este de tipul:

( ) ( )

( )

=

,t0

,t,tsintx 01S (1.116)

Pentru segmentul de semnal sinusoidal transformata Fourier are expresia:

( ){ } ( )( )

( ) ===

dteee

j2

1dtetsintxF tjt0jt0j

101.1tj

01C

( )[ ] ( )[ ]+= 00 csinjcsinj


51/118


n consecin:{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]=+=

00S csinjcsinjlim)t(xF

( )( ) ( )( )

+

=

00 csincsinlimj

Dacse face notaia =k , analog cu studiul impulsului cosinusoidal, se obine:

{ } ( ) ( )00S jj)t(xF += (1.117)

Reprezentarea grafica spectrului impulsului sinusoidal este prezentatn figura 1.36.

Fig.1.36 a) Semnalul sinusoidal tsin 0 , b) Funcia de densitate spectrala semnalului sinusoidal tsin 0


52/118


1.7. Convoluia semnalelor analogice

Se numete funcie de convoluie (produs de convoluie n timp) a semnalelor ( )tx1 i ( )tx 2 integrala:

( )

= d)t(x)(xtx 21def

(1.118)

Notaia consacrata produsului de convoluie n timp este urmtoarea:

( ) )t(x)t(xtx 21not

= (1.119)Observaie: Produsul de convoluie este util n analiza circuitelor i a sistemelor liniare;

Convoluia unui semnal cu distribuiile )t( sau )t( conduce la rezultate utileanalizei numerice a semnalelor.

Produsul de convoluie se poate interpreta printr-o ilustrare grafic. n figura 1.37

sunt prezentate spre exemplificare funciile: ( ) ( )ttx1 = i ( ) 0a,e1txat

2 >= , al cror

produs de convoluie ( ) )t(x)t(xtx 21 = este construit pe etape.Aria hauratreprezintprodusul de convoluie, care, aa cum rezultdin (1.118)

este o funcie de t.Din reprezentarea grafic rezult c pentru a efectua )t(x)t(x 21 se realizeaz

simetricul celei de a doua funcii fade ordonat, )(x 2 , se deplaseazpe axa cu t

secunde, reuultnd )t(x 2 , ca apoi sse nmuleasccu )t(x1 .

Fig.1.37 Ilustrarea grafica produsului de convoluie


53/118


Teorema integralei de convoluie n timp. Transformata Fourier a produsului deconvoluie este produsul algebric al transformatelor Fourier ale semnalelor din produs.

( ) ( ) ( )= 21 XXX (1.120)unde ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }txFX;txFX 2211 == i ( ) )t(x)t(xtx 21 =

Demonstraie:Fie: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }txFX;txFX;txFX 2211 ===

Aplicnd transformata Fourier semnalului ( )tx , definit conform (1.118) rezultc:

( )

== dted)t(x)(xdte)t(xX tj21

)118.1(tj (1.121)

Inversnd ordinea de integrare se obine:

( )( )

( ) ( ) =

+=

=

+=

dde)(x)(xddte)t(x)(xX j21t

tj21

( ) ( )44 344 2144 344 21

=

=

21 X

j2

X

j1

Semnale Si Circuite Electronice

Text of Semnale Si Circuite Electronice

Dispozitive Si Circuite Electronice Dascalu

Circuite Electronice Liniare

193.231.35.9193.231.35.9/7upload/plan_invatamant_2014_2018_electronica_ap... · Circuite electronice fundamentale Semnale sisteme de mäsurä ... 304 20 20 40 24 34 92 20 20 13 56

304 Circuite electronice

DISPOZITIVE ELECTRONICE - bel.utcluj.robel.utcluj.ro/dce/didactic/de/DE_Curs1.pdf · DE C1 3 Semnale electrice Relaţii si teoreme de circuite electrice Circuite RC - răspunsul în

Semnale şi circuite electronice-Laborator SCE

CARTE Proiectarea Unor Circuite Electronice

Componente Si Circuite Electronice in Telecomunicatii

Circuite Electronice Simple

Dispozitive Si Circuite Electronice

Circuite electronice digitale partea 2

SEMNALE ŞI CIRCUITE ELECTRONICE · ALEXANDRU CONSTANTIN ŞTEFAN STRÎMBU SEMNALE ŞI CIRCUITE ELECTRONICE-îndrumar de laborator-1 Analiza semnalelor Editura Academiei Aviaţiei

Circuite electronice fundamentale cap3

2. CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALEreferatesiproiecte.ro/referat/fizica/Circuite-Fundamentale.pdf · CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE ... unor surse de alimentare. Amplificarea

Dispozitive Electronice Si Circuite Analogice

Circuite electronice referat bun

Semnale Circuite Si Sisteme - Filtre

SEMNALE ŞI CIRCUITE ELECTRONICE · 2017-12-25 · Semnale şi circuite electronice 5 1. ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR 1.1 Caracteristici generale ale semnalelor În telecomunicaţii

Curiccula Semnale&Circuite

Circuite Electronice Pentru Comunicatii

Introducere În Circuite Electrice Si Electronice

Componente si circuite electronice in telecomunicatii.doc

Proiect Dispozitive si Circuite Electronice

305 Circuite electronice

Circuite electronice digitale pentru telecomun.pdf

2. CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE

Proiectarea Unor Circuite Electronice

Componente Si Circuite Electronice - Danaila

Angela Oprisor Circuite Electronice

SEMNALE ŞI CIRCUITE ELECTRONICE · 2014-10-27 · Semnale şi circuite electronice 7 În acest caz rela ţiile între transformatele semnalelor conduc la ecuaţii liniare. În figura

Documents

Semnale Si Circuite Electronice

Text of Semnale Si Circuite Electronice