Semnale Si Circuite Electronice

  • Upload
    fasolai

  • View
    356

  • Download
    7

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    1/118

    CONSTANTIN STRMBU

    SEMNALE I CIRCUITE

    ELECTRONICE

    ANALIZA I PRELUCRAREA

    SEMNALELOR

    Editura Academiei Forelor Aeriene Henri Coand

    BRAOV

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    2/118

    Copyright 2007

    Editura Academiei Forelor Aeriene Henri CoandStr. Mihai Viteazul nr. 160 BRAOV- ROMNIATel. +40268423421e-mail: [email protected]

    Semnale i Circuite Electronice Analiza i Prelucrarea Semnalelor

    Constantin STRMBU

    Toate drepturile rezervateEditurii Academiei Forelor Aeriene Henri Coand, Braov

    Referent tiinific: Conf. dr. ing. Marian PEARSICProcesare text: AutoriiMultiplicare: Ioan BurianProcesare copert: AutorulGrafica: AutorulVerificare text, martie 2007: Autorul

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiSTRMBU, CONSTANTINSemnale i Circuite Electronice - Analiza i Prelucrarea Semnalelor/Constantin STRMBU;Braov: Academia Forelor Aeriene Henri Coand, 2007; 120 pagini

    r. c-d: 71/16.07.2007ISBN 978-973-8415-46-1

    mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    3/118

    PREFA

    Lucrarea de faa cuprinde prima parte din materia parcursde studenii AcademieiForelor Aeriene Henri Coand, n cadrul cursului de Semnale i Circuite Electronice.

    n lucrare sunt prezentate o parte din problemele fundamenatele referitoare la

    transmiterea i prelucrarea semnalelor n circuitele electronice sau electrice.Lucrarea a fost elaboratn conformitate cu cerinele planurilor de nvmnt i a

    programelor analitice.O parte din temele prezentate au fost dezvoltate suplimentar pentru a oferii

    studenilor posibilitatea de a aprofunda nelegerea fenomenelor fizice ce au loc n cazulanalizei semnalelor. S-a cutat ca dezvoltrile matematice sfie legate de aspectele fiziceale problemelor discutate i n general acesetea s conduc la rezultate utilizabile n

    practic.Autorul aduce multumiri domnului ef lucrri dr. ing. Cristian-George

    Constantinescu pentru observaiile valoroase fcute pe parcursul conceperii acestei lucrri.

    Autorul

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    4/118

    CUPRINS

    1. Analiza spectrala semnalelor 5

    1.1. Caracteristici generale ale semnalelor 51.2. Tipuri de semnale electrice. Parametrii electrici ai semnalelor. 9

    1.2.1. Semnale periodice 9

    1.2.2. Semnale neperiodice 10

    1.3. Reprezentarea semnalelor n domeniul timp i n domeniul frecven 12

    1.3.1. Reprezentarea n domeniul timp i frecven a unui semnal

    sinusoidal

    12

    1.3.2. Reprezentarea n domeniul timp i n frecvenale unui semnal

    exprimat printr-o sumde semnale sinusoidale.

    13

    1.4. Analiza semnalelor. Generaliti 15

    1.5. Analiza spectrala semnalelor periodice 19

    1.5.1. Tipuri de dezvoltri prin serii Fourier 191.5.2. Banda de frecvenocupatde un semnal periodic 23

    1.5.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor periodice 23

    1.6. Analiza spectrala semnalelor neperiodice 30

    1.6.1. Noiuni introductive. Transformata Fourier 30

    1.6.2. Analiza spectrala semnalelor neperiodice. Mod de lucru. 35

    1.6.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor neperiodice 36

    1.6.4. Exemple de analizspectrala impulsurilor 38

    1.7. Convoluia semnalelor analogice 52

    2. Modulaia semnalelor utilizate n telecomunicaii 572.1 Necesitatea modulaiei semnalelor 57

    2.2. Modulaie cu purttor sinusoidal. Tipuri de modulaie. 58

    2.2.1. Analiza spectrala semnalelor modulate n amplitudine (M.A.) 58

    2.2.2. Generarea semnalelor modulate n amplitudine (M.A.) 68

    2.2.3. Demodularea semnalelor modulate n amplitudine 72

    2.2.4. Comparaie ntre sistemele de modulaie n amplitudine 78

    2.2.5. Analiza spectrala semnalelor modulate n frecven(M.F.) 79

    2.2.6. Analiza spectrala semnalelor modulate n faz(M.P. sau ).M 89

    2.2.7. Comparaii ntre modulaia n frecveni modulaia n faz 90

    2.2.8. Comparaii ntre MA, MF i MP (M ) 97

    2.3. Eantionarea semnalelor 99

    2.3.1. Teorema eantionrii 992.3.2. Reconstituirea semnalului din eantioanele sale)t(x 105

    2.4. Modulaie cu purttor n impulsuri 107

    2.4.1. Modulaia impulsurilor n amplitudine M.I.A. 108

    2.4.2. Modulaia impulsurilor n poziie M.I.P. 116

    2.4.3. Modulaia impulsurilor n duratM.I.D. 118

    Bibliografie 119

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    5/118

    Semnale i circuite electronice 5

    1. ANALIZA SPECTRAL A SEMNALELOR

    1.1 Caracteristici generale ale semnalelor

    n telecomunicaii semnalele sunt mrimi fizice cu ajutorul crora se transmitmesaje. Semnalul este o oscilaie electric, obinutfie de la un generator construit special

    pentru acest scop, fie ntr-o seciune oarecare a unui aparat sau sistem electronic.Un aparat electronic este constituit dintr-un lande subansambluri succesive la care

    se evideniaz bornele (poarta de intrare, respectiv de ieire). Schema bloc al unuisubansamblu dintr-un aparat este prezentatn figura 1.1.

    Fig. 1.1. Subansamblul unui sistem, echipament sau aparat electronic

    n cele mai multe cazuri circuitele pot fi considerate ca nite cuadripoli (dipori) ceprezint patru borne de acces specializate: dou borne reprezint poarta de intrare (1,respectiv 1), iar alte doupoarta de ieire (2, respectiv 2). Oscilaia aplicatla bornele deintrare este de obicei numitsemnal iar cea de de la ieire este rspunsul circuitului Cilasemnalul aplicat. Evident rspunsul circuitului Ci poate fi semnal (de intrare) pentru

    diportul Ci+1situat n aval de Ci ; n mod asemntor semnalul de intrare al circuitului Cipoate fi rspunsul circuitului Ci-1aflat n amonte de Ci .

    n sistemele de comunicaii semnalul electric (iniial) ce trebuie prelucrat provinede obicei de la un traductor, de exemplu de la un microfon, care transform o mrimeneelectric n una electric. Cursul de fa nu face obiectul studiului traductoarelor, deaceea se va considera cla intrarea circuitelor se aplicun semnal electric.

    Deoarece intereseazevoluia trecutsau viitoare a unui semnal, trebuie presupuscacestea sunt funcii de timp t. Din punct de vedere al posibilitii de a caracteriza prinfuncii de timp evoluia unui semnal, acestea se pot clasifica n dougrupe: Semnale deterministe

    Semnalele pot fi exprimate prin funcii analitice de timp )t(x cu un numr finit de

    parametri. Semnale aleatoare

    Semnalele nu pot fi exprimate prin funcii analitice de timp cu un numr finit deparametri, ci prin funcii aleatoare. Prin aprecieri probabilistice se poate determinaposibilitile de evoluie ale acestora.

    Un semnal aleator nu este previzibil i de aceea conine o anumit cantitate deinformaie. Intuitiv se poate spune csemnalul conine o cantitate mai mare de informaiecu ct evoluia acestuia este mai puin probabil.

    Caracterul ntmpltor al semnalelor este determinat de cel puin doucauze: Prima cauzrezidn nsi natura fenomenului care este reprodus de semnal.

    Studiind de exemplu semnalul de la ieirea unui microfon trebuie evideniat caracterulntmpltor al semnalului deoarece nu se poate prevedea exact care vor fi cuvintele,silabele sau literele pe care le va pronuna persoana ce vorbete n faa microfonului.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    6/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor6

    O a doua cauzeste conferitde complexitatea deosebita fenomenelor reprodusede semnal:

    1) fenomene n care intervin un numr mare de elemente, fiind dificil de a oferi ocaracterizare deterministtuturor parametrilor acestora;

    2) fenomene de mare finee, greu de abordat cu mijloacele de investigaie actuale;Un exemplu de semnal electric determinist poate fi tensiunea electric de c.a.

    monofazat. Se cunoate sau se poate determina n orice moment totalitatea parametrilor cecaracterizeaz semnalul (amplitudine, frecven, faz), datorit faptului c acest semnalpoate fi descris printr-o expresie matematicsimpl.

    Rotaia Pmntului n jurul Soarelui poate s fie interpretat ca un semnaldeterminist neelectric, deoarece pentru pamnteni nu aduce nicio informaie. Datoritcalendarelor (care joacn acest caz rolul funciei analitice) se cunosc momentele n careSoarele rsare sau apune.

    Semnalele transmise n sistemele de telecomunicaii, n scopul realizrii schimbuluide mesaje ntre doi sau mai muli corespondeni au caracter aleator (ntmpltor). Pentruverificarea i reglarea funcionrii subansamblurilor constitutive ale sistemelor se transmitsemnale deterministe, aa numitele semnale test.

    Cunoscnd parametrii caracteristici ai semnalului test introdus ntr-un echipamentsau sistem electronic, precum i funciile subansamblurilor acestuia, se msoarparametriioscilaiilor de la ieire stabilindu-se dacfuncionarea este corect.

    Pentru a apropia testarea de condiiile de lucru reale (n regim de semnalenedeterministe) semnalele test se aleg astfel nct s simuleze ct mai bine semnalulexistent n realitate (semnale de aceeai putere, plasate n aceai domeniu de frecven...).

    n cursul de fase studiazdoar semnalele deterministe.Analiza semnalelor stabilete posibilitile de a reprezenta semnalele prin sume

    discrete sau continue de funcii elementare (exponeniale, sinusoidale, treaptunitate ).Aceastreprezentare matematiceste utilpentru urmtoarele scopuri practice:

    Determinarea intervalului de frecvene (banda de frecven) ce trebuie alocatcanalului de telecomunicaii afectat pentru transmiterea lui; Determinarea rspunsului circuitelor liniare la un semnal dat. Aceasta se realizeaz

    prin determinarea rspunsului circuitului analizat la un semnal elementar i apoi, aplicndprincipiul superpoziiei, se determinrspunsul circuitului la suma semnalelor elementarece compun semnalul dat.

    Analiza semnalelor se simplific dac funciile de timp ce le caracterizeaz auurmtoarele proprieti: periodicitate; simetrie; continuitate;A. Periodicitatea

    Un semnal x(t) este periodic dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)kTt(x)t(x = (1.1.)

    unde:Nk , T reprezintperioada semnalului (intervalul minim de timp dupcare semnalul

    x(t) se repetidentic).n figura 1.2 sunt reprezentate formele de und ale unor semnale periodice,

    respectiv neperiodice.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    7/118

    Semnale i circuite electronice 7

    Fig.1.2. Formele de undale unor semnale periodice a), b), c) i neperiodice d), e), f).

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    8/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor8

    Observaie: Semnalul neperiodic poate fi considerat un caz limital unui semnal periodic, la

    care perioada tinde spre infinit. Clasificarea semnalelor n semnale periodice i neperiodice este utildin punct de

    vedere teoretic, ntruct instrumentul matematic de analiza semnalelor difer n funciede apartenena la una din categoriile menionate mai sus, dupcum se va vedea ulterior n

    cadrul cursului de fa. Astfel:1) pentru analiza semnalelor periodice se utilizeazseriile Fourier;2) pentru analiza semnalelor neperiodice se utilizeaztransformata Fourier;B. Simetria

    Un semnal x(t) este par dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)t(x)t(x = (1.2)

    Observaie: Semnalul este simetric fade ordonat( 0 Y). Un exemplu de semnal par l constitue semnalul ( ) tcosAtx = .

    Un semnal x(t) este impar dacfuncia de timp care l descrie satisface relaia:)t(x)t(x = (1.3)

    Observaie: Semnalul este simetric fade originea axelor. Un exemplu de semnal par l constitue semnalul ( ) tsinAtx = .

    Analiznd semnalele din figura 1.2, se poate observa c: Semnalele din figura 1.1 a) , d) , e) , f) sunt pare. Semnalul din figura 1.1 c) este impar. Semnalul din figura 1.1 d) nu este nici par nici impar.

    Se poate demonstra (demonstraia este simpl, putnd fi realizatca exerciiu) c: n cazul n care semnalul este par

    =

    00

    0 0

    2tt

    t

    dt)t(xdt)t(x (1.4)

    n cazul n care semnalul este impar0

    0

    0

    =

    t

    t

    dt)t(x (1.5)

    n analiza spectrala semnalelor intervine deseori calculul unor integrale de forma(1.4) sau (1.5), de aceea clasificarea semnalelor n pare sau impare (dac este posibil)aduce o simplificare substaniala calculelor.

    C. ContinuitateaUn semnal x(t) este continuu n momentul 0tt = dac:

    )t(xlim)t(xlim 00

    00

    +=

    (1.6)

    Observaie: Semnalele din figura 1.1 a) , c) , e) , f) sunt continue pe tot domeniul de definiie; Semnalul din figura 1.1 b) prezintdiscontinuiti n momentele

    =

    kTt

    Tkt

    1

    ;

    Semnalul din figura 1.1 e) prezintdiscontinuitin momentele2

    t = ;

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    9/118

    Semnale i circuite electronice 9

    1.2. Tipuri de semnale electrice. Parametrii electrici ai semnalelor.

    Din ntreaga diversitate de semnale electrice se prezintdoar acelea care vor faceobiectul unor analize n cursul de fa. Acestea sunt modele ideale de semnale, ce conincaracteristicile generale i eseniale ale semnalelor reale. Aceste semnale (ideale)elementare, luate separat, nu transmit nicio informaie n afarde aceea a existenei lor.

    n Cursul de fase studiaznumai semnalele electrice. Acestea trebuie sreflectect cmai fidel anumite mesaje, ca de exemplu: mesaje telegrafice, convorbiri telefonice,muzic, imagini fixe sau mobile, mesaje coninnd date numerice, etc.

    Mesajele de orice natur ar fi sunt transformate n semnale electrice, curni sautensiuni variabile n timp, cu ajutorul traductoarelor. La punctul de recepie, semnalulelectric este din nou transformat n mesaj prin intermediul altor traductoare.

    Semnalele vor fi prezentate att sub form analitic ct i grafic, punnd nevidenparametrii electrici ai acestora.

    1.2.1. Semnale periodice

    Spre exemplificare se vor prezenta doutipuri de semnale.A. Semnale sinusoidale (cosinusoidale)

    Expresia analitica semnalului este urmtoarea:( ) ( )00 tsinAtx += (1.7)

    Considernd csemnalul descris prin (1.7) este un semnal electric, parametrii ce-ldefinesc sunt urmtorii: A amplitudinea semnalului [V] sau [A]

    Observaie:n practiceste des utilizatvaloarea efectiva semnalului, definitastfel:

    A.AA ef 70702

    2= (1.8)

    0 - pulsaia [rad /s]Cum

    fT

    =

    = 22

    0 (1.9)

    se pot pune n evidenali doi parametrii: f - frecvena semnalului [Hz] T perioada semnalului [s]

    Relaia matematicdintre frecveni perioadeste urmtoarea:

    Tf

    1= (1.10)

    Observaie:Conform (1.9) i (1.10) este suficient a se preciza doar unul din cei trei parametrii:

    pulsaie, frecvenrespectiv faz. 0 - faza iniial[rad]

    Utiliznd parametrii electrici asfel definii, expresia analitic(1.7) a semnalului sinusoidalare forma:

    ( ) ( )

    +

    =+= 0ef0ef tT2

    sinA2tf2sinA2tx (1.11)

    Forma de unda semnalului este prezentatn figura 1.3.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    10/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor10

    Fig. 1.3. Forma de unda unui semnal sinusoidal (cosinusoidal)

    B. Semnale dreptunghiulareExpresia analitica semnalului este urmtoarea:

    =

    Ttt;tt00

    tttA)t(x

    21

    21 (1.12)

    Forma de unda semnalului este prezentatn figura 1.4.

    Fig. 1.4 Semnalul periodic dreptunghiular

    Parametrii electrici ai semnalului periodic dreptunghiular sunt urmtorii: A amplitudinea semnalului [V] sau [A] T perioada semnalului [s] 12 tt = - durata impulsului [s] (1.13)

    Tq = - factorul de umplere al semnalului (1.14)

    Observaie: Factorul de umplere al unui semnal periodic dreptunghiular are o valoare

    subunitar. 1q0 (1.15)n cazul unui semnal periodic dreptunghiular se poate pune n evidencomponenta

    continua acestuia.

    Prin definiie:

    AqT

    AdtAT

    1dt)t(x

    T

    1X

    2

    1

    t

    tT

    CC =

    === (1.16)

    1.2.2. Semnale neperiodice

    Se prezintexpresiile matematice i formele de unda douimpulsuri des utilizaten telecomunicaii.

    A. Impulsul videoExpresia analitica semnalului este urmtoarea:

    ( )

    =

    21

    21v t,tt0

    tttA)t(x (1.17)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    11/118

    Semnale i circuite electronice 11

    Forma de unda impulsului video este prezentatn figura 1.5.

    Fig.1.5 Impulsul video

    Parametrii electrici ai impulsului video sunt urmtorii:

    A amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt = - durata impulsului [s]B. Impulsul radio

    Expresia analitica semnalului este urmtoarea:

    ( )

    =

    21

    210r

    t,tt0

    ttttcosA)t(x (1.18)

    Observaie:

    Se poate scrie c:( ) ( )tcostx)t(x 0vr = (1.19)

    unde ( )tx v este impulsul video.Parametrii electrici ai impulsului radio sunt urmtorii:

    A amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt = - durata impulsului [s] 0 - pulsaia semnalului periodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intrn componena

    impulsului radio.

    Observaie:

    Se poate pune n evidenperioada 0T , respectiv frecvena 0F a semnaluluiperiodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intrn componena impulsului radio, astfel:

    0

    0

    0 F2T

    2=

    = ; 0T

    Impulsul radio se obine prin decuparea unei durate finite dintr-un semnalperiodic sinusoidal (cosinusoidal).

    Forma de unda impulsului radio este prezentatn figura 1.6.

    Fig.1.6 Impulsul radio

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    12/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor12

    1.3. Reprezentarea semnalelor n domeniul timp i n domeniul frecven

    Orice semnal ( )tx poate fi caracterizat prin doureprezentri: reprezentarea n domeniul timp; reprezentarea n domeniul frecven;

    Aceste reprezentri mai sunt denumite n mod curent: forma de unda semnalului; spectrul de frecvene al semnalului;

    Oricare din aceste doureprezentri caracterizeazn mod univoc semnalul, adicunei reprezentri n domeniul timp i corespunde o singur reprezentare n domeniulfrecveni invers, unei reprezentri n frecveni corespunde o singurreprezentare ntimp.

    Pentru a se realiza trecerea de la reprezentarea n timp la cea n frecveni inverss-a pus la punct un apart matematic ce poate fi numit domeniul transformatelor. Pentru anelege ct mai bine aceast reprezentare dual a semnalelor este obligatorie o bunnsuire a acestor metode matematice.

    Abordarea matematicde trecere din domeniul timp n domeniul frecventrebuiedublatde o interpretare fizica fenomenelor, lucru care la nceput este oarecum dificil.Aceasta dificultate se poate datora faptului cpnacum fenomenele fizice au fost studiateca evoluie a lor n timp, fiind deci reprezentate prin expresii de tipul ( )tx .

    De asemenea evoluia unui semnal n timp poate fi mai uor vizualizat dectevoluia acestuia n frecven, (care poate fi eventual auzit- dacfrecvenele semnaluluise situeazn domeniul audio).

    O metod ce poate fi abordat pentru nelegerea reprezentrii n frecven asemnalelor este aceea de a le auzi, difereniindu-le dup tonalitate (sunete mai joase -vocea de bas, sau mai nalte - vocea de sopran).

    Deoarede instalaiile de radiotehnicau o multitudine de destinaii, este mai comod

    ca n unele cazuri sse utilizeze reprezentarea spectral(n frecven) iar n altele cea ntimp.

    De exemplu, rolul unui filtru este de a lsa streacoscilaiile dintr-un interval defrecvene i de a le opri pe celelalte. Rezultcde fapt filtrul modific forma spectruluioscilaiei aplicate. n acest caz este evident ceste mai indicat sse utilizeze reprezentareaspectral.

    n cazul unei scheme de transmitere a impulsurilor intereseaz n specialdistorsionarea pe care o suferforma impulsurilor i deci va fi mai indicatreprezentareaacestora prin expresiile lor n timp.Observaie: n cazul semnalelor periodice trecerea de la reprezentarea n timp la cea n

    frecvense obine cu ajutorul seriilor Fourier. n cazul semnalelor neperiodice trecerea de la reprezentarea n timp la cea n

    frecvense obine cu ajutorul transformatei Fourier sau Laplace.Pentru a nelege aceast reprezentare dual (timp/frecven) se vor considera

    cazurile simple a dousemnale periodice.

    1.3.1. Reprezentarea n domeniul timp i frecvena unui semnal sinusoidal

    Expresia analitica semnalului este datde (1.7):( ) ( )000 tsinAtx +=

    Reprezentarea n domeniul timp se obine considernd ca variabil independenttimpul.Grafic, se obine forma de unda semnalului prezentatn figura 1.3.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    13/118

    Semnale i circuite electronice 13

    Reprezentarea n domeniul frecven se obine considernd ca variabil

    independentpulsaia - 0 (sau frecvena - f0).

    Grafic, se pot obine doureprezentri:

    spectrul de amplitudini al semnalului n care se ilustreazvariaia amplitudiniisemnalului funcie de pulsaie (frecven) - ( )A sau ( )fA - vezi-figura 1.7.a). spectrul de faze al semnalului n care se ilustreazvariaia fazei semnalului funcie

    de pulsaie (frecven) - ( ) sau ( )f - vezi- figura 1.7.b).

    Fig. 1.7. Semnal sinusoidal (cosinusoidal); a) spectrul de amplitudini, b) spectrul de faze

    1.3.2. Reprezentarea n domeniul timp i n frecven ale unui semnal exprimat

    printr-o sumde semnale sinusoidale.

    Expresia analitica semnalului este:

    ( ) ( )=

    +=N

    1k

    kkk tsinAtx (1.20)

    Spectrul de amplitudini al semnalului este prezentat n figura 1.8.a) iar spectrul de faze al

    semnalului este prezentat n figura 1.8.b).

    Fig. 1.8. a) Spectrul de amplitudini, b) Spectrul de faze, ale unui semnal exprimat printr-o sumde semnalesinusoidale

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    14/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor14

    Observaie: Unui semnal sinusoidal i corespunde o singurlinie spectral(fie de amplitudine,

    fie de faz). Unei sume de semnale sinusoidale i va corespunde un spectru discretde

    amplitudini, respectiv faze (fiecrei frecvene i va corespunde o singur valoare deamplitudine, respectiv faz)

    Cum metoda de analizspectrala unui semnal periodic nesinusoidal este dea-l aproxima printr-o sum de semnale sinusoidale de frecvene diferite i cumfiecrei frecvene i corespunde o singur amplitudine, respectiv faz, rezult cacestui semnal i corespunde un spectru discret de amplitudini (faze). Dacn expresia (1.20) N , iar 0k1k + , n diagramele spectrale de

    amplitudini i de faze, liniile spectrale devin att de dese nct nu se poate face nici odistincie ntre doulinii succesive. n acest caz, spectrele discrete ( )kkA i ( )kk setransformn spectre continue notate ( )A i ( ) .

    O posibil explicaie a semnificaiei fizice a spectrelor de amplitudine i de fazeste urmtoarea:

    Se presupune c se emite un semnal electric a crui frecven 0f este situat ndomeniul audio. Pe durata de emisie a acestui semnal nu mai existalt trafic audio. Dacreceptorul este fixat pe orice frecven 0ff nu se aude nimic (se subliniaz situaiaipotetic: nu se mai emite nici un alt semnal). Doar dacreceptorul este fixat pe frecvenaemitorului 0ff= se va auzi semnalul emis.

    Aceastexplicaie este conformcu reprezentarea spectraldin figura 1.7 a) undefuncia ( )A este diferit de zero doar pentru o singur valoare a frecvenei. Cu ctamplitudinea A a semnalului emis are valoare mai mare cu att semnalul se va auzi maitare.

    n cazul n care se emite (n ntreg spectrul audio) un semnal de tipul (1.20) (sumfinitde semnale sinusoidale) se va putea recepiona (auzi) doar la frecvenele N21 f...f,f .

    Pentru a nelege semnificaia fizica spectrului de faze se presupune c se emit(concomitent) dou semnale sinusoidale ce difer doar prin faza iniial ( 21

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    15/118

    Semnale i circuite electronice 15

    1.4. Analiza semnalelor. Generaliti

    Conform definiiei anterioare, analiza semnalului x(t) const n echivalarea saprintr-o sumde semnale elementare:

    ( ) ( )=

    =N

    0nnn tfatx (1.21)

    unde: na sunt coeficieni; ( )tfn sunt expresiile analitice ale semnalelor elementare;

    Observaie: Este indicat ca funciile ( )tfn saibo reprezentare analiticsimpl; Relaia (1.21) este deosebit de importantn cazul circuitelor liniare la care se

    poate aplica teorema superpoziiei; dac ( )ty , ( )tn sunt rspunsurile circuitului liniar lasemnalele ( )tx , ( )tfn se poate scrie c:

    ( ) ( )=

    =N

    0n nn

    taty (1.22)

    n acest caz rspunsul la semnalul ( )tx se deduce prin nsumarea rspunsurilorpariale, obinute pentru semnalele elementare ( )tfn ;

    N poate fi finit sau infinit.Calculele sunt mai comode atunci cnd N este finit i de o valoare mic; n acest

    caz att semnalul ct i rspunsul se exprimprintr-un numr redus de termeni.Cnd N este teoretic infinit, se contatcvalorile coeficienilor na scad ncepnd

    de la o valoare maxn a rangului n; prin aceasta se pot neglija termeni cu rangul maxnn i se

    obine o exprimare aproximativa semnalului ( )tx .

    Analiza semnalului constn determinarea coeficienilor anatunci cnd estedat semnalul ( )tx i cnd este precizat setul de funcii ( )tfn . Sinteza este operaia opusanalizei ; se presupun cunoscui coeficienii na i

    setul de funcii ( )tfn i se cere determinarea expresiei restrnse a semnalului ( )tx .Se observcpentru realizarea analizei unui semnal ( )tx este necesar a se preciza

    funciile ( )tfn .Pentru a realiza analiza semnalelor utiliznd seriile Fourier (mod de lucru ce face

    obiectul cursului de fa) setul de funcii ( )tfn utilizat este urmtorul:

    t

    T

    2nsin,t

    T

    2ncos,

    2

    1 (1.22)

    Analiza Fourier se bazeazpe funcii trigonometrice, ceea ce semnificfaptul cunsemnal oarecare ( )tx este aproximat printr-o sum infinit de semnale sinusoidale deamplitudini, frecvene i faze iniiale diferite.

    Cunoscnd expresia semnalului ( )tx i setul de funcii ( )tfn , trebuie determinaicoeficienii na , adicamplitudinile corespunztoare.

    Pentru ca relaiile de calcul pentru coeficienii na s fie ct mai simple setul de

    funcii ( )tfn trebuie sse bucure de proprietatea de ortogonalitate, adic:

    ==

    +

    nm.pt,0

    nm.pt,Cdt)t(f)t(f

    2Tt

    tnm

    0

    0 (1.23)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    16/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor16

    unde: 0t - este un moment oarecare; T - este domeniul de ortogonalitate; C - reprezintnorma funciilor;

    n cazul n care 1C= , setul de funcii este ortonormat.

    n cazul n care una din funciile ( )tfn

    este o constantA , atunci din condiia de

    ortogonalitate 2T0t

    0t

    CdtAA =+

    se obine valoarea constantei:

    T

    CA= (1.24)

    Determinarea coeficienilor na (adic de fapt calculele matematice ce constitueanaliza semnalului) se realizeaz nmulind ambii membri ai egalitii (1.23) cu funcia

    ( )tfm i apoi integrnd pe intervalul de ortogonalitate, astfel:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ====

    =

    =

    =

    ==

    ==

    nm.pt0

    nm.ptCaCaCa

    dttftfadttftfadttftx

    2m

    N

    0n

    2m

    N

    0n

    2n

    N

    0n

    )23.1(

    T mnnT

    N

    0n mnnT m

    de unde se obine formula:

    ( ) ( )=T

    m2mdttftx

    C

    1a (1.25)

    Pentru a demonstra exactitatea dezvoltrii semnalului ( )tx dupexpresia (1.21), n

    care coeficienii na se calculeazconform (1.25), se presupune cse poate scrie:( ) ( )

    =

    =N

    0nnn tfbtx , adic ar mai exista o dezvoltare a aceluiai semnal, constituit cu ali

    coeficieni nb , dar cu acelai set de funcii ( )tfn .Eroarea medie ptratic(mrime pozitivsau cel mult nul) are expresia:

    ( ) ( )

    =

    =T

    2N

    0nnn 0dttfbtxD

    n urma unor calcule simple, n care se ine cont de expresia (1.21) a semnalului( )tx , se obine:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

    +=

    =

    === T

    2N

    0nnn

    N

    0nnn

    2

    T

    2N

    0nnn dttfbtfbtx2txdttfbtxD

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

    +=

    == T

    2

    T

    2N

    0nnn

    T

    N

    0nnn

    T

    2 dttxdttfbdttfbtx2dttx

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    +

    +

    === T

    N

    jijjii

    N

    0n

    2nn

    T

    N

    0nnn

    N

    0nnn dttfbtfb2tfbdttfbtfa2

    Conform proprietii de ortogonalitate (1.23), a setului de funcii ( )tfn , termenii

    expresiei anterioare devin:

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    17/118

    Semnale i circuite electronice 17

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

    +

    =

    === T

    N

    jijiji

    N

    0n

    2nnn

    T

    N

    0nnn

    N

    0nnn dttftfba2tfbadttfbtfa

    ( )( ) ( ) ( ) ==

    =

    +

    =

    N

    0n

    nn2

    )23.1(N

    ji0

    T

    jiji

    N

    0n2C

    T

    2nnn baCdttftfba2dttfba

    44 344 2144 344 21

    ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ==

    ==

    ==

    +

    +

    =

    +

    N

    0n

    2n

    2N

    0n

    2n

    2)23.1(N

    ji0

    T

    jiji

    N

    0n

    2C

    T

    2n

    2n

    T

    N

    jijjii

    N

    0n

    2nn

    bCbCdttftfbb2

    dttfbdttfbtfb2tfb

    44 344 21

    44 344 21

    n consecin:

    ( ) ( ) ( ) ====

    +=+=N

    0n

    2n

    2N

    0n

    2nn

    2

    T

    2N

    0n

    2n

    2N

    0nnn

    2

    T

    2 aCabCdttxbCbaCdttxD

    Se observ c eroarea medie ptratic, D, este minim n raport cu alegereacoeficienilor nb atunci cnd nn ab = , adic atunci cnd coeficienii dezvoltrii

    semnalului ( )tx sunt calculai conform (1.21).Cum 0D se obine inegalitatea lui Bessel:

    ( ) =N

    0n

    2n

    2

    T

    2

    aCdttx (1.26)

    Sistemul de semnale elementare ( )tfn este complet n condiia n care 0D atunci cnd N , n acest caz expresia (1.26) conducnd la o egalitate ce poartnumelede teorema Parseval.

    ( )

    =

    =0n

    2n

    2

    T

    2 aCdttx (1.27)

    Acestor rezultate matematice li se pot atribui urmtoarele semnificaii fizice: Totalitatea coeficienilor na constitue spectrul semnalului, iar coeficienii nii

    sunt amplitudinile componentelor spectrale.n figura 1.9 este reprezentat spectrul unui semnal oarecare ( )tx .

    Fig. 1.9. Spectrul de amplitudini al semnalului ( )tx

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    18/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor18

    Confom teoremei lui Parceval se poate da o interpretare energiei semnalului.Considernd c ( )tx este un curent sau o tensiune aplicat pe un rezistor =1R , se

    recunoate c expresia ( )T

    2 dttx exprim energia semnalului, coninut n intervalul T.

    Rezult c energia semnalului este calculabil printr-o nsumare spectral: fiecare

    componentdo contribuie energeticproporionalcu ptratul amplitudinii sale.

    Puterea semnalului, mediatpe intervalul unei perioade are urmtoarea expresie:( )

    =

    ==N

    0n T

    22

    n

    2

    T dttxaCP (1.28)

    Setul de funcii alese pentru a realiza analiza Fourier a semnalelor sunt:

    t

    T

    2nsin,t

    T

    2ncos (1.29)

    Aceste funcii sunt ortogonale, avnd norma:

    2

    TC= (1.30)

    NotntT

    2= se verificfaptul cfunciile (1.28) sunt ortogonale, deoarece:

    ( ) ( )

    ==

    nmdaca,0

    nmdaca,2

    T

    dttncostmcosT

    ( ) ( )

    ==

    nmdaca,0

    nmdaca,2

    T

    dttnsintmsinT

    ( ) ( ) n,moricepentru,0dttnsintmcosT

    =

    Pentru a putea analiza i semnale care conin termeni constani se va lucra cu

    urmtorul set de funcii ortogonale:

    t

    T

    2nsin,t

    T

    2ncos,A (1.30)

    Din condiia (1.24), rezultc:

    2

    1

    T

    2

    T

    T

    CA === (1.31)

    Concluzie:

    Pentru a realiza analiza Fourier, se recurge la setul de funcii trigonometrice

    precizat de (1.22).

    Funciile trigonometrice nu sunt singurele utilizate la analiza semnalelor, n

    consecin analiza Fourier nu este unica metod de lucru. Dac n locul funciilor

    trigonometrice se utilizeaz n dezvoltarea (1.21) funciile Legendre, Laguerre, Cebev,

    Hermite etc. se dezvolt semnalul n serie Fourier-Legendre, Fourier-Laguerre etc., prin

    aceasta efectundu-se analiza Fourier-Legendre, Fourier-Laguerre.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    19/118

    Semnale i circuite electronice 19

    1.5. Analiza spectrala semnalelor periodice

    Analiza spectral a semnalelor periodice const n descompunerea acestora n

    funcii elementare (semnale sinusoidale de amplitudini, frecvene i faze iniiale diferite).

    Un semnal periodic ( )tx de perioad T poate fi dezvoltat n serie Fourier dacsatisface condiiile Dirichlet, i anume:

    sfie o funcie de modul integrabil pe intervalul T, adic, ( )+T0t

    0t

    dttx sfie finit;

    saibun numr de discontinuiti finite n intervalul unei perioade; saibun numr finit de maxime i minime n interiorul unei perioade;

    Dezvoltarea unui semnal periodic ( )tx n serii Fourier poate sia aiburmtoareleforme:

    forma trigonometric(S.F.T.); forma armonic(S.F.A.); forma exponenial(S.F.E.);

    1.5.1. Tipuri de dezvoltri prin serii Fourier

    Toate cele trei tipuri de dezvoltri n serie Fourier a unui semnal ( )tx suntechivalente ntre ele din punct de vedere matematic. Fiecare dintre ele ofer faciliti

    specifice ce ajutla interpretarea fizica fenomenelor.

    A. Forma trigonometrica dezvoltrii Fourier (S.F.T.)Expresia matematica dezvoltrii semnalului ( )tx n serie Fourier trigonometric

    este urmtoarea:

    ( ) ( )

    =

    =

    ++=

    1n

    0n

    1n

    0n0 tnsinStncosCC)t(x (1.32)

    unde

    ==

    2T

    1f 00 reprezint frecvena de repetiie a semnalului, ce poart numele de

    frecvena fundamental.

    Coeficienii nn0 S,C,C se calculeaz conform (1.25), utiliznd setul de funcii

    (1.22), obinndu-se relaiile:

    =T

    0 dt)t(xT

    1C (1.33)

    =T

    0n dt)tn(cos)t(xT

    2C (1.34)

    =T

    0n dt)tn(sin)t(xT

    2S (1.35)

    Utiliznd scrierea semnalului sub forma S.F.T. se pot calcula direct coeficienii

    de tipul na .

    B. Forma armonica dezvoltrii Fourier (S.F.A.)Seria trigonometric poate fi reprezentat ntr-o form mai compact, denumit

    formarmonic, utiliznd numai funcii cosinusoidale.

    ( ) ( )

    =

    =

    ++=+=1n

    n0n00n

    n0n tncosAAtncosA)t(x (1.36)

    unde:2n

    2nn SCA += (1.37)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    20/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor20

    n

    nn C

    Sarctg= (1.38)

    00 CA = (1.39)

    Seria Fourier armonic do descompunere a semnalului periodic ntr-o sum desemnale cosinusoidale ale cror frecvene sunt multipli ai frecvenei fundamentale - 0f - a

    semnalului periodic.Utiliznd scrierea semnalului sub forma S.F.A. se poate reprezenta spectrul

    semnalului, deoarece expresia (1.36) precizeaz valorile amplitudinilor ( nA ),

    respectiv fazelor ( n ) pentru fiecare armonic.Scriind n detaliu expresia (1.36) se pune n eviden componenta continu i

    armonicile semnalului.( ) ( ) ( ) ...tkcosA...t2cosAt1cosAA)t(x k0k2021010 +++++++=

    Componenta continu- (la frecvena f = 0)00 CA =

    Armonica fundamental(fundamentala) - (la frecvena 1n,T1

    ff 0 === )( )101 1 + tcosA

    Armonica de ordinul doi - (la frecvena 2n,T

    2f2f 0 === )

    ( )202 2 + tcosA..........................................................................................................................................

    Armonica de ordinul k - (la frecvena kn,T

    kfkf 0 === )

    ( )kk tkcosA +0

    .......................................................................................................................................Observaie: n cazul n care semnalul ( )tx este un semnal par, dezvoltarea n serie armonic

    va coincide cu dezvoltarea n serie trigonometric.Cum funcia sinus este impar, rezultc )tn(sin)t(x 0 este o funcie impariar

    conform (1.5) se obine c 0=nS .

    Din (1.37) i (1.38) rezultc nn CA = , respectiv 0=n

    n concluzie semnalul ( )tx par poate fi scris sub forma:

    ( ) ( )

    =

    =

    +==1

    000

    0n

    nn

    n tncosCCtncosA)t(x (1.40)

    n cazul n care semnalul ( )tx este un semnal impar, conform (1.34) se obine c0=nC i din (1.37) rezultc nn SA = .

    Demonstraia faptului c 0=nC se bazeaz pe observaia c funcia cosinus este

    par, c )tn(cos)t(x 0 este o funcie impar, pe care se aplic(1.5).

    Din (1.33) i (1.38) rezultc 00 =C , respectiv 2n

    = .

    n concluzie semnalul poate fi scris ca o sumde funcii sinusoidale de forma:

    ( )

    =

    =1

    0

    n

    n tncosS)t(x (1.41)

    Componenta continua semnalului este nul, 0A0 = .

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    21/118

    Semnale i circuite electronice 21

    Observaii:

    Caracterizarea n domeniul frecvense realizeazprin diagramele spectraleasociate seriei armonice, spectrul de amplitudine ( )0nA n sau ( )0fnA n i spectrul de faze

    ( )0 nn sau ( )0fnn . Valoarea coeficienilor reprezintamplitudinile armonicelor de pulsaie 0n (sau

    frecven 0fn ). Liniile spectrale asociate seriei armonice vor fi localizate la multiplii ai frecven ei

    fundamentale: ...,)Nf(N...,)f2(2,)f( 000000 C. Forma exponeniala dezvoltrii Fourier ( S.F.E.)

    Expresia dezvoltrii exponeniale este urmtoarea:

    ( )

    =

    =n

    tnjnc

    0eAtx (1.42)

    Aceastexpresie se obine din S.F.T. prin exprimarea funciilor sinus i cosinus sub

    formexponenial, utiliznd relaiile lui Euler.

    Demonstraie:

    Relaiile lui Euler sunt urmtoarele:

    ( ) ( )j2

    eetnsin,

    2

    eetncos

    tnjtnj

    0

    tnjtnj

    0

    0000 =

    +=

    Semnalul scris sub formde S.F.T. devine:

    ( ) ( ) ( )

    =

    ++

    +=

    n

    tnjnntnjnn eSjC

    eSjC

    Ctx 0022

    0 (1.43)

    Expresia (1.42) poate fi scrissub forma:

    ( )

    =

    =

    =

    =

    ++=++=1n

    tnjnc

    1n

    tnjncc0

    1n

    tnjnc

    1

    n

    tnjncc0

    0000 eAeAAeAeAAtx (1.44)

    unde s-au folosit notaiile:

    ( ) ( )00 == nAA;nAA cncncncn Din identificarea coeficienilor din expresiile (1.43) i (1.44) rezult:

    2

    2

    000

    nncn

    nncn

    c

    SjCA

    SjCA

    ACA

    +=

    =

    ==

    (1.45)

    Relaiile (1.45) pun n eviden legtura dintre coeficienii seriei armonice i celei

    trigonometrice.Coeficienii S.F.E. se pot obine direct utiliznd relaia:

    ( ) =T

    tnjcn dtetx

    T

    1A 0 (1.46)

    Coeficienii cnA sunt mrimi complexe putnd fi reprezentate prin modul i faz

    njcncn eAA

    = (1.47)

    i

    ==

    ==

    n

    nnn

    ncncn

    C

    Sarctg

    AAA

    2

    (1.48)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    22/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor22

    Seria exponenial este preferat, n multe cazuri, celei armonice datorit

    simplitii operaiilor (derivare, integrare) cu funcii exponeniale, precum i datoritcaracterului mai general al acestei reprezentri.

    Observaii: Caracterizarea n domeniul frecvense realizeazprin diagramele spectrale

    asociate seriei exponeniale, ( )0nA cn sau ( )0fnA cn i spectrul de faze ( )0 nn sau

    ( )0fnn . Liniile spectrale asociate seriei armonice vor fi localizate la frecvenele

    ...,)Nf(N...,)f2(2,)f( 000000 Se prezint n paralel diagramele spectrale

    de amplitudine ale aceluiai semnal ( )tx dezvoltat prin S.F.A. figura 1.10 a) i prinS.F.E. - figura 1.10 b)

    Fig.1.10 Diagramele spectrale de amplitudine ale semnalului ( )tx ;a) dezvoltat prin S.F.A. b) prin S.F.E.

    Semnificaia frecvenelor negative este urmtoarea: doucomponente exponenialelocalizate simetric fa de ordonat se nsumeaz i dau o component sinusoidal defrecven pozitiv. Frecvenele negative sunt introduse de acest instrument matematic de

    analiz, care este seria Fourier exponenial i care opereaz cu semnale exponeniale.Acestea nu au semnificaie fizic luate individual, ci numai n perchi de componene de

    frecvene 0 k . Ca atare, atunci cnd se analizeaz spectrul unui semnal periodic

    utiliznd seria exponenial, trebuie s se in seama c frecvenele componentelor cu

    existenrealsunt cele pozitive, iar amplitudinile acestor componente sunt la jumtate din

    valoarea celor obinute prin serie armonic.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    23/118

    Semnale i circuite electronice 23

    1.5.2. Banda de frecvenocupatde un semnal periodic

    Spectrul unui semnal periodic este discret. Existsemnal doar la multiplii aifrevenei fundamentale, care corespunde perioadei semnalului. Teoretic, spectrele semnalelor periodice se ntind de la 0= la = . Practic

    spectrele sunt limitate. Reprezentarea diagramei spectrale de amplitudini pune n

    eviden legea de descretere a amplitudinilor armonicelor, permind s se limitezeseria la un termen de la care ncepnd, amplitudinea componentelor este neglijabil.Trunchierea seriei de la un anumit termen depinde de cerinele impuse tipului decomunicaie care utilizeazsemnalul respectiv. Se pot considera neglijabile componenteleale cror amplitudini sunt mai mici dect o anumit fraciune din amplitudineafundamentalei. Banda de frecvenocupatde un semnal cuprinde frecvenele armonicelor a

    cror amplitudini sunt mai mari dect o anumit fraciune din amplitudineafundamentalei. n urma realizrii analizei spectrale se poate determina limea benzii defrecvene ocupatde acel semnal.

    1.5.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor periodice

    Pentru o ct mai corect abordare a pailor matematici ce au ca scop analizaspectrala unui semnal periodic se propune urmtorul algoritm:

    1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;2) Reprezentarea grafica evoluiei n timp a semnalului;3) Analiza simetriei semnalului;4) Dezvoltarea semnalului n S.F.T.;5) Dezvoltarea semnalului n S.F.A.;6) Reprezentarea spectrului de amplitudine i de faz;7) Determinarea lrgimea de banda semnalului;

    Ca exemplu a fost aleasanaliza spectrala unui semnal periodic dreptunghiular.

    1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;)umpleredefactorul(

    T

    tq

    Ttt0

    tt0A)t(x 1

    1

    1 =

    =

    2) Reprezentarea n timp a semnalului este prezentatn figura 1.11.

    Fig. 1.11 Semnalul periodic dreptunghiular

    3) Din reprezentarea grafic(precum i din expresia matematic) se observc ( )txnu este nici par nici impar.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    24/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor24

    4) Dezvoltarea semnalului n S.F.T.Expresia semnalului este urmtoarea:

    ( ) ( )

    =

    =

    ++=1n

    0n1n

    0n0 tnsinStncosCC)t(x

    Calculul coeficienilor:

    AqTtAdtA

    T1dt)t(x

    T1C

    1t

    0

    1

    T

    0 ====

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )qn2sinn

    Atnsin

    n

    Atnsin

    Tn

    A2

    tnsinTn

    A2dt)tncos(A

    T

    2dt)tn(cos)t(x

    T

    2C

    1010

    0

    t

    00

    t

    0 0

    0

    T

    0n1

    1

    =

    =

    =

    =

    ===

    ( )( )=

    === 11

    t

    00

    t

    0 0

    0

    T

    0n tncosTn

    A2dt)tnsin(A

    T

    2dt)tn(sin)t(x

    T

    2S

    ( )( ) ( ) ( )nq2cos1nA

    1tncosTn

    A2tncosTn

    A210

    0

    t

    00

    0

    1 ===

    S-a inut cont de faptul cT

    20

    =

    Utiliznd funcia ( )x

    )xsin(xcsin = (sinus atenuat), expresiile coeficienilor

    dezvoltrii trigonometrice sunt urmtoarele:

    ( ) ( )nq2cos1n

    AS;nq2csinqA2C;AqC nn0

    ===

    Forma de unda funciei ( )xcsin este prezentatn figura 1.12.

    Fig. 1.12 Formele de unda semnalelor sinus atenuat sinc (x) i sin (x)

    5) Dezvoltarea semnalului n S.F.A.Expresia semnalului este urmtoarea:

    ( ) ( )

    =

    =

    ++=+=1n

    n0n0

    0n

    n0n tncosAAtncosA)t(x

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    25/118

    Semnale i circuite electronice 25

    Calculul coeficienilor:AqCA 00 ==

    )nq(csinqA22

    tnsin

    Tn

    A4tncos22

    n

    ASCA 10

    010

    2n

    2nn =

    =

    =+=

    nqnqcosnqsin2

    nqsin2

    arctgnq2sin

    nq2cos1

    arctgC

    S

    arctg

    2

    n

    n

    n =

    =

    ==

    Pentru o mai bunnelegere a scrierii semnalului printr-o serie Fourier se prezintexpresiile desfurate ale armonicelor. Componenta continu- (la frecvena f = 0)

    AqCA 00 ==

    Armonica fundamental(fundamentala) - ( )101 t1cosA + la frecvena: 1n,

    T

    1ff 0 === ;

    de amplitudine: qsinA2)q(csinqA2A1 ==;

    Armonica de ordinul doi - ( )202 t2cosA + la frecvena: 2n,

    T

    2f2f 0 === ;

    de amplitudine: q2sinA

    )q2(csinqA2A 2 == ;

    ......................................................................................................................... Armonica de ordinul k - ( )k0k tkcosA +

    la frecvena: kn,T

    kfkf 0 === ;

    de amplitudine: qksink

    A2)qk(csinqA2A k ==

    .........................................................................................................................Expresia desfurata semnalului ( )tx scris sub forma S.F.A. este urmtoarea:

    ( ) ( ) =++=+=

    =

    = 1nn0n0

    0nn0n tncosAAtncosA)t(x

    ...)q2t2cos()q2sin(A

    )qtcos()qsin(A2

    qA 00 ++

    +=

    ...)qntncos()qnsin(nA2...)qktkcos()qksin(

    kA2... 00 +

    ++

    +

    n cazul n are care5

    1=q , expresiile matematice ale primelor cinci armonici i a

    semnalului aproximat pnla a cincea armonicsunt urmtoarele:

    ( )

    =5

    tcos5

    sinA2

    tA 01 ;

    ( )

    =5

    2t2cos

    5

    52sin

    2

    A2tA 02 ;

    ( )

    =

    53t3cos

    53sin

    3A2tA 03 ;

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    26/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor26

    ( )

    =

    5

    4t4cos

    5

    4sin

    4

    A2tA 04 ;

    ( ) 05

    5t5cos

    5

    5sin

    5

    A2tA 05 =

    = ;

    Expresia aproximativa semnalului (prin nsumarea primelor 5 armonici i a componentei

    continue) este urmtoarea:( ) +

    +

    +

    5

    2t2cos

    5

    2sin

    A

    5tcos

    5sin

    A2

    5

    Atx 00

    +

    +

    5

    4t4cos

    5

    4sin

    2

    A

    5

    3t3cos

    5

    3sin

    3

    A200

    n figura 1.13 sunt reprezentate formele de und ale primele patru armonici ale

    semnalului ( )tx , n cazul n care5

    1=q .

    Fig. 1.13 Formele de undale primelor patru armonici, corespunztoare unui semnal dreptunghiular ( )tx , n

    cazul n care51q=

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    27/118

    Semnale i circuite electronice 27

    n figura 1.14 este reprezentatforma de unda semnalului ( )tx comparativ cu ceaobinutprin nsumarea primelor 5, 10, 15, respectiv 50 de armonici.

    Fig. 1.14 Forma de undale semnalului ( )tx comparativ cu cea obinutprin nsumarea primelor 5,10, 15,respectiv 50 de armonici

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    28/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor28

    6) Reprezentarea spectrului de amplitudine i de fazForma armonica dezvoltrii Fourier oferposibilitatea de a reprezenta spectrul de

    amplitudini al semnalului )f(fAsau)(fA nn == .Pentru a realiza aceastreprezentare graficse reamintete c: Spectrul unui semnal periodic este discret; [ )

    + =

    kk1kk 0Alim,...1kAA ;

    Pentru acest tip de semnal (dreptunghiular) existarmonici a cror amplitudine estenul. Ordinul, (k) al armonicelor care se anuleazse determinastfel:

    q

    mk

    Zmundemqk0qksin0)qk(csinqA20Ak

    =

    ====(1.49)

    Pentru a realiza reprezentrile grafice ale spectrului de amplitudine se consider

    cazul particular n care5

    1=q .

    n acest caz:

    5AA0 =

    =

    =5

    nsin

    n

    A2

    5

    ncsin

    5

    A2An

    5

    nn

    = ;

    n acest caz armonicele de ordin = Nm,m5k sunt nule.0A k5 =

    Calculul amplitudinilor i fazelor corespunztoare primelor 10 armonici este urmtorul:

    .....

    5

    9;

    5

    9sin

    9

    A2A

    5

    8;

    5

    8sin

    4

    AA

    5

    7;

    5

    7sin

    7

    A2A

    56;

    56sin

    3AA

    5

    4;

    5

    4sin

    2

    AA

    5

    3;

    5

    3sin

    3

    A2A

    5

    2;

    5

    2sin

    AA

    5;

    5sinA2A

    99

    88

    77

    66

    44

    33

    22

    11

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    Reprezentrile grafice ale spectrului de amplitudini, respectiv a modululuispectrului de amplitudini sunt prezentate n figurile 1.15. respectiv 1.16.Observaie:

    Cu linie punctateste reprezentatnfurtoarea (anvelopa) spectrului. Din analizaformei nfurtoarei se pot obine douinformaii: Punctele de trecere prin zero ale nfurtorei semnificvalorile frecvenei

    armonicelor a cror amplitudine se anulez. Amplitudinile armonicelor sunt situate ntre axa absciselor i nfurtoare. n acest

    mod se poate observa tendina de variaie (scdere) a amplitudinilor odat cu cretereafrecvenei armonicelor.

    n figura 1.15 se observcexistarmonici ce au o amplitudine negativ. Acesteanu au nicio semnificaie fizic. Din acest motiv uzual se reprezintmodulul spectrului deamplitudini.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    29/118

    Semnale i circuite electronice 29

    Fig. 1.15 Spectrul de amplitudini al unui semnal periodic dreptunghiular

    =

    5

    1q

    Fig. 1.16 Modulul spectrului de amplitudini al unui semnal periodic dreptunghiular

    7) Determinarea lrgimii de banda semnalului;In cazul semnalului periodic dreptunghiular, se consider c limita superioar a

    benzii este egal cu frecvena primei armonici a crei amplitudine este nul. Conform(1.49) primul punct de trecere prin zero al spectrului sau prima trecere prin zero anfurtoarei semnalului se obine pentru 1m= . n concluzie

    [ ]Hzq

    f,0B 0

    = (1.50)

    Conform (1.50) rezultcpentru reconstituirea semnalului este suficientreinereaarmonicilor situate n primul lob al nfurtoarei spectrului semnalului (figura 1.15 i

    1.16). Numrul armonicelor cuprinse n banda de frecveneste dat de expresia:

    1

    q

    1 (1.51)

    Conform figurii 1.14 a), se observcpentru refacerea semnalului dreptunghiulareste suficient a se recepiona doar primele patru armonici ale semnalului. Ulterior acestsemnal este prelucrat electronic pentru a se obine un semnal dreptunghiular. Reinereadoar a unei pri (banda de frecven) din spectrul infinit al unui semnal periodic serealizeazcu ajutorul unui filtru trece band(F.T.B.). Acesta este un circuit electronic ceatenueaz componentele spectrale ce se consider a fi inutile n cadrul unui proces derecepie.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    30/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor30

    1.6. Analiza spectrala semnalelor neperiodice

    1.6.1. Noiuni introductive. Transformata Fourier

    Semnalul neperiodic poate fi considerat un caz limital unui semnal periodic, lacare perioada tinde spre infinit. Cum n cazul semnalelor periodice trecerea din

    domeniul timp, n domeniul frecvense realizeazprin intermediul seriilor Fourier,n cazul semnalelor neperiodice legtura dintre cele doudomenii se realizeazprinintermediul transformatei Fourier.Se reamintesc urmtoarele expresii matematice:Transformata Fourier directa unui semnal neperiodic ( )tx (impuls) este:

    ( ){ } ( )

    == dte)t(xjXtxF tj (1.52)

    Transformata Fourier inverssau originalul ( )tx se obine cu relaia:

    ( ){ } ( )

    == de)j(X

    2

    1txjXF tj1 (1.53)

    Impulsul este un semnal determinist, de durat finit. Se poate afirma c toatesemnalele deterministe sunt impulsuri, deoarece, n realitate duratele acestora sunt finite.Conform paragrafului 1.5. s-a vzut ceste util (n unele cazuri) ca semnalul sfie definit

    pe intervalul ( ) ,t , asociindui-se funcii periodice n timp.Impulsul este un semnal neperiodic, dar trebuie precizat c nu orice semnal

    neperiodic este impuls. De exemplu un semnal ntmpltor, cu durata finit sau infiniteste neperiodic dar nu constituie un impuls.

    n figura 1.17 sunt prezentate cteva forme tipice de impulsuri. n toate cele treicazuri prezentate limitele domeniului lor de existen, 21 t,t , sunt finite.

    Fig.1.17 Impulsuri; a) impuls exprimat printr-o succesiune de segmente; b) impuls de formoarecare, cuvariaie continu; c) impuls de radiofrecven

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    31/118

    Semnale i circuite electronice 31

    Analiznd ndeplinirea condiiilor matematice necesare analizei, pot fi considerateca impulsuri i semnalele la care unul sau ambele momente 21 t,t sunt infinite.n figura 1.18 se prezintcteva din aceste impulsuri.

    Fig.1.18 Impulsuri; a) impulsul treaptunitate; b) impulsul exponenial; c) impulsul exponenial simetric; d)clopotul lui Gauss; e) impulsul Dirac; f) impuls dreptunghiular simetric cu aria egalcu unitatea.

    impulsul treaptunitate:

    =

    0t0

    0t1)t( , momentul 2t este infinit; (1.54)

    impulsul exponenial:0te)t(x t = , momentul 2t este infinit; (1.55)

    impulsul exponenial simetric:te)t(x = , momentele 21 t,t sunt infinite; (1.56)

    clopotul lui Gauss:2

    te)t(x = , momentele 21 t,t sunt infinite; (1.57) impulsul Dirac (funcia impuls unitate):

    1dt)t(;0t

    0t0)t( =

    =

    =

    +

    (1.58)

    A. Impulsul DiracSe observ c impulsul Dirac nu este definit printr-o funcie de timp n sensul

    matematic obinuit, caracteristica lui fiind aceea care duratnul, amplitudine infinitiintegrala pe orice domeniu simetric fa de ordonat egal cu unitatea. )t( poate fi

    considerat ca o limit a succesiunii de impulsuri )t(p , de durat i amplitudine

    1,

    atunci cnd 0 (vezi figura 1.19).

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    32/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor32

    Fig.1.19 Definirea funciei impuls unitate (Dirac) prin trecerea la limitde la un impuls dreptunghiular cuaria egalcu unitatea.

    Pe msurce durata impulsului )t(p tinde spre zero, 0 , acesta se ngusteaz,

    la limit localizndu-se la 0t= . n tot acest proces de trecere la limit suprafaa

    impulsului dreptunghiular se pstreaz constant i egal cu unitatea, pe seama creteriiamplitudinii, care tinde la cnd tinde la zero.

    ( ) ( )ttplim0

    =

    (1.59)

    Impulsul dreptunghiular poate fi scris cu ajutorul funciilor (impulsurilor) treaptunitate,astfel:

    ( ) ( )[ ]kk

    tt1

    )t(p

    = (1.60)

    Din (1.59) i (1.60), rezultc:

    ( ) ( ) ( ) ( )k

    k00 ttlimtplimt

    == (1.61)

    n expresia (1.61) se identificderivata funciei treptunitate, astfel nct se poate scrie c:

    ( ) ( )( )

    ( )tdt

    tdt '=

    = (1.62)

    Observaii: Derivata funciei treptunitate este zero pe tot domeniul ei de definiie, cu excepia

    punctului de discontinuitate 0t= unde, din punct de vedere matematic derivata nu artrebui sexiste. Utiliznd funcia (impulsul) Dirac s-a identificat derivata treptei unitate n

    punctul de discontinuitate 0t= , ca fiind nsui impulsul Dirac localizat n 0t= .

    Se demonstreazcderivata unei funcii ntr-un punct de discontinuitate 0t este unimpuls Dirac localizat n acel punct, ponderat cu mrimea discontinuitii funciei n acelpunct. Aceastproprietate va conduce la calcule mult mai simplificate n analiza spectrala semnalelor cu discontinuiti. Spre exemplu pentru semnalul )t(p reprezentat n figura

    1.18 f), derivatele n punctele de discontinuitate2

    au valorile

    2t

    1.

    Impulsul Dirac se bucurde proprietatea de eantionizare, exprimatde integrala:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 txdttttxdttttx == +

    +

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    33/118

    Semnale i circuite electronice 33

    B. Determinarea expresiei transformatei Fourier directn continuare se prezinto metodde deducere a expresiei (1.52).Aa cum s-a precizat anterior semnalele neperiodice pot fi considerate un caz limit

    al semnalelor periodice i anume atunci cnd perioada T tinde la infinit. Aceasttrecere lalimitpoate fi imaginatastfel: fiind dat semnalul neperiodic ( )tx , figura 1.20a), limitat pe

    axa timpului, se face o prelungire periodica acestui semnal, notat ( )txT , figura 1.20b), deperioadT.

    La limit, cnd T tinde la infinit, semnalul periodic va avea doar o perioad pentreg domeniul de timp i va fi reprezentat doar prin ( )tx .

    Fig.1.20 Periodicizarea unui semnal neperiodic

    Semnalul ( )txT poate fi dezvoltat prin seria Fourier armonic. Aceast serie l

    reprezintpe ( )txT pe tot intervalul, iar pe ( )tx numai pe intervalul

    2

    T,

    2

    T.

    La limit, cnd T tinde la infinit, seria corespunztoare lui ( )txT l reprezintpe( )tx pe ntreg domeniul +

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    34/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor34

    n conformitate cu aceste notaii, (1.63) devine:

    ( ) ( )

    =

    =

    n

    tj2

    T

    2

    T

    tjT

    nn edtetx2

    1tx (1.64)

    La limit T , semnalul periodic este identic cu semnalul neperiodic,

    ( ) ( )txtxT , iar d .Deoarece n poate lua acum orice valoare pe axa frecvenei, se va nota =n i

    de asemenea din punct de vedere matematic se observc

    =

    n

    .

    n aceste condiii (1.64) devine:

    ( ) ( )

    = ddetxe

    2

    1tx tjtj (1.65)

    n cea de a doua integralau fost extinse limitele integrrii la intervalul ( ) ,

    deoarece n afara intervalului

    2T,

    2T impulsul ( )tx are valori nule.

    Se noteaz ( ){ } ( )

    == dte)t(xjXtxF tj , funcie ce poart numele de

    transformat Fourier a semnalului ( )tx , iar ( ){ } ( )

    == de)j(X2

    1txjXF tj1 se

    numete transformatFourier invers.

    Proprietile transformatei Fourier sunt urmtoarele:

    Liniaritatea: ( ) ( )

    =

    jaXtxaF k

    kkk (1.66)

    Schimbarea scrii timpului: ( )ajXaa

    txF =

    (1.67)

    ntrzierea n timp: ( ){ } ( )= jXettxF 0tj0 (1.68) Deplasarea spectrului (modularea): ( ){ } ( )txeXF t0j01 = (1.69) Derivarea n timp: ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )== jXjtxF;jXjtxF n)n(' (1.70) Derivarea n domeniul frecven: ( ) ( ) ( )txjtjXF '1 = (1.71) Integrarea n timp: ( ) ( )

    =

    j

    jXdxF

    t

    (1.72)

    Integrarea n domeniul frecven: ( ) ( )txjt

    1djXF 1 =

    (1.73)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    35/118

    Semnale i circuite electronice 35

    1.6.2. Analiza spectrala semnalelor neperiodice. Mod de lucru.

    Pornind de la ideea csemnalul neperiodic este un semnal periodic cu perioadT

    infinit, frecvena fundamental 0f devine tot mai mic, spectrul tot mai dens, la limit

    nemaiputndu-se face nici o discriminare ntre dou componente spectrale succesive,

    spectrul existnd pentru orice pulsaie (sau frecvenf ).

    Spectrul unui semnal neperiodic este un spectru continuu.

    Expresia (1.52) ( ){ } ( )

    == dte)t(xjXtxF tj poartnumele de funcie spectral,

    sau densitate spectralde amplitudine complex.

    Din (1.52) i (1.64) se obine:

    ( ) ( ) ( )[ ]

    =

    n

    tjnT

    nejX2

    1txtx

    Aceastaproximaie este cu att mai buncu ct T este mai mare i este maimic. Se observ c impulsul ( )tx se exprim ca sum de oscilaii armonice. Aceste

    oscilaii armonice au urmtoarele caracteristici: Frecvenele unghiulare sunt egale cu = nn , fiind foarte apropiate unele de

    altele pe axa frecvenei;

    Amplitudinile sunt egale cu ( ) n

    jX2

    1;

    Conform observaiei fcute asupra valorii amplitudinii oscilaiilor rezult c

    mrimea ( ) ( ) jXjX n se exprim ca raportul dintre o amplitudine i intervalul defrecven . Este deci fireasc denumirea de densitate spectral de amplitudinecomplexsau densitate de amplitudine, datfunciei ( )jX .Asupra funciei de densitate spectralde amplitudine se pot face urmtoarele observaii:

    Funcia de densitate spectraleste continu, ea existnd pentru orice ( )f . Funcia de densitate spectraleste o funcie complex, putnd fi scrissub formde

    modul i faz, astfel:

    ( ) ( ) ( )= jejXjX (1.74)unde:

    ( ) ( )= MjX reprezintmodulul densitii spectrale de amplitudine (spectrul deamplitudini);

    ( ) reprezintspectrul de faz;Deoarece funcia de densitate spectraleste o funcie complexse poate scrie c:

    ( ) ( ) ( )= BjAjX (1.75)unde:

    ( )

    == tdtsin)t(x)(B;tdtcos)t(xA (1.76)

    n acest caz se poate scrie c:

    ( ) )(B)(A)j(XM 22 +== (1.77)

    ( ))(A

    )(B

    = (1.78)

    a) Dacfuncia ( )tx este par, atunci:( ) ( ) ( )== AjX0B (1.79)

    rezultnd cfuncia de densitate spectraleste o funcie real.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    36/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor36

    b) Dacfuncia ( )tx este impar, atunci:( ) ( ) ( )== jBjX0A (1.80)

    rezultnd cfuncia de densitate spectraleste o funcie pur imaginar. Energia E a impulsului este datde relaia:

    =

    ==0

    222 d)j(X1

    d)j(X

    2

    1dt)t(xE (1.81)

    Mrimea )(G)j(X2

    = se numete densitate spectralde energie a impulsului.

    Relaia (1.81) constituie teorema lui Parceval aplicat impulsurilor. Demonstraiateoremei este urmtoarea:

    Se observc:

    = d)j(X)j(Xd)j(X2

    , mrime ce va fi notatcu I.

    Conform (1.52) relaia de mai sus devine:

    ( )

    = ddtetx)j(XI tj .

    Schimbnd ordinea de integrare, se obine:

    ( )

    = dtde)j(XtxI tj ,

    iar pe baza (1.58) se deduce c:

    ( )

    = dttx2I 2 .

    Considernd c impulsul este o tensiune sau un curent aplicat unei rezisten e

    = 1R , energia totaldebitatare expresia

    = dt)t(xE 2 . n conformitate cu notaiile de

    mai sus rezultc:

    =

    =

    =0

    22d)j(X

    1d)j(X

    2

    1I

    2

    1E .

    Echivalnd integrala cu o sum de termeni, rezult c funcia2

    )j(X este o

    densitate spectralde energie pe axa frecvenei.

    0

    22)j(X

    1)j(X

    2

    1E

    1.6.3. Algoritmul utilizat n analiza spectrala semnalelor neperiodice

    Pentru a realiza analiza spectrala semnalelor neperiodice trebuie realizat un studiuasupra absolut integrabilitii funciei )t(x .

    A. Funcia )t(x este absolut integrabil.n cazul n care funcia este absolut integrabil, este ndeplinitcondiia:

    ( )

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    37/118

    Semnale i circuite electronice 37

    Restricia (1.82) implicfaptul cdensitatea spectralde amplitudine a semnalului)t(x (dat de 1.52) este finit, putnd fi calculat. Acest observaie este justificat

    matematic astfel:

    = dt)t(xdte)t(xdte)t(x tjtj (1.83)

    n cazul funciilor absolut integrabile se pot identifica doutipuri de impulsuri:A1.Impulsuri cu valori i durate finite.

    Analiza spectral se realizeaz aplicndu-se transformata Fourier. Calcululdensitii spectrale de amplitudine este de obicei simplu deoarece impulsurile sunt date

    prin expresii analitice clasice (segmente de drepte, exponeniale, funcii trigonometrice...).

    A2.Impulsuri definite pe ntreg domeniul: ( ) ,t .Acestea nu sunt impulsuri n adevratul sens al cuvntului, dar respectnd condiia

    (1.82), poate fi calculatdensitatea lor de amplitudine. Un astfel de exemplu l constituieimpulsul exponenial prezentat n figura 1.18b). Cum

    ( ) i finit) i se poate aplicatransformata Fourier.

    Pentru a calcula densitatea spectralse propun urmtoarele doumetode:

    a) Calcularea transformatei Fourier: ( ){ } ( )

    == dte)t(xjXtxF tj

    Algoritmul de lucru este urmtorul:1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;2) Reprezentarea grafica evoluiei n timp a semnalului;3) Analiza simetriei semnalului;4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului, ( )jX ;5) Calculul modulului densitii spectrale de amplitudine ( ) ( )= MjX ;6) Reprezentarea grafic a modulului densitii spectrale de amplitudine

    ( ) ( )= MjX ;7) Determinarea lrgimii de banda semnalului;8) Calculul densitii spectrale de energie a impulsului ( )G

    b) Aplicarea proprietilor transformatei Fourier.Prin aceastmetodse pot simplifica n mod substanial calculele matematice

    B. Funcia )t(x nu este absolut integrabil.Restricia (1.82) este suficient dar nu i necesar deoarece lipsa absolutei

    integrabiliti nu implic lipsa de sens a integralei (1.52) (transformata Fourier asemnalului).

    Se vor prezenta cteva exemple n care se va calcula densitatea spectral deamplitudine pentru impulsuri a cror expresie analitic este o funcie ce nu este absolutintegrabil. Un astfel de impuls este treapta unitate prezentat n figura 1.18a).

    n acest caz:( ) ===

    00

    dt1dt1dttx (1.84)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    38/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor38

    Metoda propuspentru obinerea densitii spectrale n cazul acestor impulsuri estede a calcula transformata Fourier prin trecerea la limita transformatelor unor impulsuricare sunt absolut integrabile.

    1.6.4. Exemple de analizspectrala impulsurilor

    Analiza spectrala unor impulsuri fundamentale1. Analiza spectrala impulsului Dirac

    Impulsul Dirac este definit conform (1.58), astfel:

    1dt)t(;0t

    0t0)t( =

    =

    =

    +

    Metoda I

    Se calculeaztransformata FourierTransformata impulsului Dirac este urmtoarea:

    ( ){ } 1dt)t(edte)t(tF 0tj ===

    (1.85)

    n figura 1.21 este prezentat impulsul Dirac i transformata Fourier a acestuia.

    Fig.1.21a) Impulsul Dirac, b) Funcia de densitate spectrala impulsului Dirac

    Cum densitatea de amplitudine sau de energie este constantpe ntreg domeniul defrecven, rezultcenergia impulsului Dirac este infinit, lucru ce implicfaptul cacestsemnal nu este realizabil din punct de vedere fizic.

    Dupcum s-a prezentat n figura 1.19, impulsul Dirac poate fi doar aproximat prin

    impulsuri de durate foarte mici 0 , cu amplitudini foarte mari

    1.

    Metoda II

    O variant(dar nu singura) de a determina transformata Fourier a impulsului Diraceste de a-l aproxima prin aa numitfuncie de eantionare:

    ( )ktcsink

    )t(fe

    = (1.86)

    Conform reprezentrilor grafice ale funciei de eantionare din figura 1.22, seobservcatunci cnd valoarea lui k se mrete, lobul principal al funciei se ngusteaz,valoarea lui maximcrescnd.

    Se demonstrazcaria funciei de eantionare este egalcu unitatea, observaie ceeste n concordancu definiia (1.58) datimpulsului Dirac.

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )+

    +

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    = vd

    v

    vsin1ktd

    kt

    ktsin1dt

    kt

    ktsinkdtktcsin

    kdt)t(fe

    Se reamintete expresia funciei sinus integral:

    ( )

    =

    x

    0 vdv

    vsin

    )x(Si (1.87)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    39/118

    Semnale i circuite electronice 39

    Fig.1.22 Funcia de eantionare ( )ktcsink

    )t(fe

    = reprezentatpentru douvalori ale parametrului k.

    Valorile funciei sinus integral sunt tabelate, reprezentarea graficfiind prezentatn figura 1.23.

    Fig.1.23 Funcia sinus integral )x(Si

    Conform (1.87) expresia ariei funciei de eantionare devine:

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )[ ]

    ( )

    ( )

    122

    1SiSi

    1

    vdv

    vsinvd

    v

    vsin1vd

    v

    vsin1dt)t(f

    2Si

    2Si

    00e

    =

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    ++

    +

    n acest caz transformata Fourier a impulsului Dirac devine:

    ( ){ }

    = dte)t(ftF tje

    Cum funcia de eantionare este par, rezult:

    ( ){ } ( ) ( ) ( )

    ( ) =

    =

    ==

    00

    tje dttcost

    ktsin2dttcosktcsin

    k2dte)t(ftF

    ( )[ ] ( )[ ]=

    +

    +

    =

    00

    dtt

    tksin1dt

    t

    tksin1

    ( )[ ]( )

    ( )[ ] ( )[ ]

    ( ) ( )[ ] =

    ++

    +

    +

    =

    00

    tkdtk

    tksin1tkd

    tk

    tksin1

    ( )

    ( )( )[ ] 1

    221Si21du

    uusin1dv

    vvsin1

    00

    utk

    vtk

    =

    =

    =

    + =

    =

    =+

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    40/118

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    41/118

    Semnale i circuite electronice 41

    Cum aria impulsului este o mrime constantindependentde parametrul rezultc:

    ( )=

    +

    =

    + 2200lim

    j

    1Relim (1.91)

    Fig.1.25 Funcia22 +

    n concluzie, din (1.89) i (1.91) rezult c transformata Fourier a impulsuluitreaptunitate are expresia:

    { } { }[ ] ( )

    +== j

    1teFlim)t(F t

    0 (1.92)

    n literaturse ntlete i scrierea:

    { } ( )

    =

    =0

    j

    1 0t)t(F (1.93)

    n figura 1.26 este prezentat modulului densitii spectrale de amplitudine alimpulsului treaptunitate.

    Fig.1.26 Modulului densitii spectrale de amplitudine al impulsului treaptunitate.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    42/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor42

    A. Analiza spectrala impulsurilor absolut integrabileA1.Analiza spectrala impulsul video simetric

    Metoda I

    1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;

    =

    2tsau

    2,

    2t0

    2tsau2,2tA)t(x v

    2) Reprezentarea n timp a semnalului este prezentatn figura 1.27.

    Fig.1.27 Impuls video simetric

    3) Analiza simetriei semnalului;Cum ( ) ( ) ( )txtxtx = este par, adic ( ) ( ) ( )== AjX0B

    4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului;( ) ( )

    2sin

    A2dttcosA2dttcos)t(xAjX

    2

    0

    v

    ====

    sau

    ( )2

    csinAjX v

    = (1.94)

    5) Calculul modulului densitii spectrale de amplitudine2

    csinA)j(Xv

    = (1.95)

    6) Reprezentarea grafica modulului densitii spectrale de amplitudineModulul densitii spectrale de amplitudine este prezentatn figura 1.28

    Fig.1.28 Modulul densitii spectrale de amplitudine a semnalului video simetric

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    43/118

    Semnale i circuite electronice 43

    n cazul n care se reprezintfuncia de densitate spectrala semnalului, se obine oreprezentare ilustratn figura 1.29.

    Fig.1.29 Densitatea spectralde amplitudine a semnalului video simetric

    7) Determinarea lrgimii de banda semnaluluin cazul acestui semnal se considerclrgimea lui de bandse ntinde de la zero

    pnla prima frecvenla care spectrul de amplitudini se anuleaz. Determinarea expresieiacestei frecvene implicurmtoarele calcule:

    ( ) Nkk

    fk2

    k2

    02

    sin02

    csinAjX

    =

    ==

    =

    =

    =

    Deci,

    [ ]Hz1

    ,0B

    = (1.96)

    Observaie: Banda (lrgimea de band) depinde doar de durata impulsului; Cu ct durata impulsului este mai mare cu att banda de frecveneste mai mic

    (ngust) i amplitudinea spectralmai mare;Cu ct durata impulsului este mai miccu att banda de frecveneste mai mare

    (larg) i amplitudinea spectralmai mic.Densitatea spectralde energie a impulsului

    ( ) ( )2

    csinjXG 222

    == (1.97)

    Metoda II

    Se procedeazla o derivare succesiv, punnd n eviden, treptat, impulsurile

    Dirac, corespunztoare derivrii discontinuitilor.

    Impulsurile Dirac extrase sunt lsate la o parte cnd se trece la o nouderivare. Operaia de derivare se continupncnd derivata respectivse exprim

    ca o sumde impulsuri Dirac.Parcurgnd apoi drumul n sens invers i scriind transformatele Fourier ale

    impulsurilor Dirac, se deduce pas cu pas, funcia spectralcutat.n figura 1.30 este reprezentat procedeul de evideniere a impulsurilor Dirac

    rezultate n urma derivrii impulsului video simetric.Se observ - figura 1.30 b)- c impulsul video simetric poate fi scris ca sumde

    impulsuri treaptunitate, astfel:

    +

    += 2

    tA2

    tA)t(x v (1.98)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    44/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor44

    Aplicnd observaia (1.62) - derivata unei funcii ntr-un punct de discontinuitate

    0t este un impuls Dirac localizat n acel punct, ponderat cu mrimea discontinuitii

    funciei n acel punct - asupra expresiei (1.96) rezult:

    +

    +=

    2tA

    2tA)t(x 'v (1.99)

    n figura 1.30c) se pun n evidenimpulsurile Dirac ce apar ca urmare a derivriicelor doufuncii treptunitate.

    Fig.1.30 Evidenierea impulsurilor Dirac n urma derivrii impulsului video simetric

    Se parcurge drumul n sens invers, aplicnd transformatele Fourier derivatei deordinul I al impulsului video simetric.

    { } =

    +

    +=

    dte2

    tAdte2

    tA)t(xF tjtj'v

    ( ) ( ) = =

    +

    =

    =

    +

    dueuAdvevA 2uj2vju

    2

    t

    v2

    t

    ( ) ( )

    ==

    2j

    2j)85.1(

    uj2j

    vj2j

    eeAdueueAdveveA (1.100)

    Conform relaiilor lui Euler

    xsinjxcose

    xsinjxcosexj

    xj

    =

    +=

    (1.101)

    expresia (1.100) devine:

    { } 2sinjA2)t(xF'v = (1.102)

    Aplicnd proprietatea (1.70) de derivare n timp a transformatei Fourier, rezultc:

    ( ){ } ( ) ( )

    2csinA

    2sin

    A2

    2sin

    j

    jA2

    j

    txFjXtxF

    'v

    vv

    =

    =

    =

    ==

    Aceastexpresie este identiccu cea obinutn urma aplicrii directa formuleitransformatei Fourier asupra impulsului video simetric.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    45/118

    Semnale i circuite electronice 45

    A2.Analiza spectrala impulsului video nesimetric1) Scrierea expresiei matematice a semnalului;

    [ ][ ]

    =

    ,0t0

    ,0tA)t(x

    nv

    2) Reprezentarea n timp a semnalului este prezentatn figura 1.31.

    Fig.1.31 Impuls video nesimetric

    3) Analiza simetriei semnalului;Semnalul nu este nici par nici impar

    4) Calculul funciei de densitate spectrala semnalului ( )jXMetoda I

    Se aplictransformata Fourier( ) ( ) ( )= BjAjX

    nv

    unde:

    ;tdtsin)t(x)(B;tdtcos)t(x)(A

    ==

    ( )

    ===

    sinA

    dttcosAdttcos)t(xA0

    ( ) ( )1cosA

    dttsinAdttsin)t(xB0

    ===

    iar modulul densitii spectrale:

    2csinA)(B)(A)j(X 221v

    =+= (1.103)

    Metoda IISe utilizeaz proprietatea transformatei Fourier de ntrziere n timp,

    ( ){ } ( )= jXettxF 0tj

    0unde

    ( )

    = dte)t(xjX tj .

    Aceastmetodse aplicacolo unde se pot utiliza rezultate obinute n urma unorcalcule anterioare.

    n acest caz se utilizeazrezultatele obinute la analiza spectrala semnalului videosimetric.

    Se observc ( )

    =

    2txtx vvn i deci:

    ( ) ( )2

    csinAejXejX 2j

    v2

    j

    vn

    ==

    i cum

    =

    2sinj

    2cose 2j

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    46/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor46

    Rezultc: )j(X2

    csinA)j(X vvn =

    = (1.104)

    Observaii: Modulul densitii spectrale de amplitudine este identic pentru cele dousemnale

    video. n concluzie, oricare dou semnale care difer doar prin ntrziere n timp, aumodulele densitilor spectrale de amplitudine egale. Banda de frecvenpentru cele dousemnale este aceeai. Reprezentarea grafica modulului densitii spectrale de amplitudine a semnalului

    video nesimetric este identiccu cea din figura 1.28. n cazul n care se cere realizarea analizei spectrale a unui impuls nesimetric, se

    caut(daceste posibil) a se simetriza acest semnal. n acest caz calculele matematice sesimplific(deoarece se studiazun semnal fie par fie impar), fra se modifica rezultatelefinale.

    A3.Determinarea funciei spectrale a unui impuls cu discontinuitiImpulsul este reprezentata n figura 1.32a).

    Fig.1.32 Exemplificarea metodei de derivare succesivce pune n evidenimpulsurile Dirac, utilizatlacalculul funciei de densitate spectral

    Expresia semnalului este urmtoarea

    ( )( )( )

    +

    =

    3,2t3

    2,1t1t

    1,0tt2

    )t(x

    2

    Metoda I

    Se aplictransformata Fourier

    ( ){ } ( ) ( ) ( )

    +++===3

    2

    tj2

    1

    tj1

    0

    tj2tj dte3dte1tdtet2dtetxjXtxF

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    47/118

    Semnale i circuite electronice 47

    Calculnd pe rnd cele trei integrale, se obine:

    ( )( )

    =

    =

    ==

    1

    0

    tj1

    0

    tj21

    0

    'tj2

    1

    0

    tj21 dtet2etj

    2dt

    j

    et2dtet2I

    ( )

    ( ) ( )

    =

    =

    =

    1

    0

    tj1

    0

    tj2

    j1

    0

    'tjj dtete

    j

    4e

    j

    2dt

    j

    et2e

    j

    2

    ( ) ( )

    ( )( ) ( )

    =

    +

    =

    j2

    j1

    0

    'tj

    2j

    2j e

    j

    4e

    j

    2dt

    j

    et

    j

    4e

    j

    4e

    j

    2

    ( ) ( ) ( )( )1e

    j

    4e

    j

    4e

    j

    2e

    j

    4 j3

    j2

    j1

    0

    tj3

    =

    ( )( )

    =

    =

    ==

    2

    1

    tj2

    1

    tj2

    1

    'tj2

    1

    tj21 dtetej

    1dt

    j

    etdtetI

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

    =

    +

    =

    2

    1

    tj2

    jj22

    1

    'tjjj2 e

    j1ee2

    j1dt

    je

    j1ee2

    j1

    ( )( )

    ( )

    = jj22

    jj2 eej

    1ee2

    j

    1

    ( )( )

    ( )

    =

    =

    ==

    jj22

    1

    tj2

    1

    'tj2

    1

    tj22 eej

    1e

    j

    1dt

    j

    edteI

    ( )( )

    ( )

    =

    =

    ==

    j2j33

    2

    tj3

    2

    'tj3

    2

    tj3 eej

    3e

    j

    3dt

    j

    e3dte3I

    n final se obine:( )

    ( )( )

    ( )( )

    +

    =++= j3j2j

    2j

    3321e

    j

    3ee3

    j

    1e1

    j

    4IIIjX (1.105)

    Metoda II

    Se procedeaz la o derivare succesiv, punnd n eviden, treptat, impulsurileDirac, corespunztoare derivrii discontinuitilor.

    n figura 1.32a),b),c) este reprezentat procedeul de evideniere a impulsurilor Diracrezultate n urma derivrii impulsului video simetric.

    Se obine:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ==

    2,1t1

    1,0tt4)t(yunde3t3tytx '

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0t,4)t(zunde2t1t3tzty ' ==

    ( ) ( ) ( )1t4t4tz ' = Se parcurge drumul n sens invers, astfel:

    se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(z{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ===

    +

    =

    dueu4dtet4dte1t4dtet4)t(zF 1ujtju1t

    tjtj'

    ( ) ( ) ( )

    == j

    )85.1(ujjtj e14dueue4dtet4 (1.106)

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    48/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor48

    Aplicnd proprietatea (1.70) de derivare n timp a transformatei Fourier, rezultc:

    ( ){ } ( ){ }

    ( )

    =

    = j'

    e1j

    4

    j

    tzFtzF (1.107)

    se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(y

    { } { } ( ) ( ) ( )== ==

    jv2tu1t

    tjtj' e1j4dte2tdte1t3)t(zF)t(yF

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    =

    +

    + duete3e1j

    4duevdueu3 ujjj2vj1uj

    ( ) ( ) ( )

    +

    =j2jj

    )85.1(2vj ee3e1

    j

    4duev (1.108)

    Aplicnd proprietatea (1.70) de derivare n timp a transformatei Fourier, rezultc:

    ( ){ } ( ){ }

    ( )( ) ( ) +

    =

    = j2jj

    2

    '

    ee3j

    1e1

    j

    4

    j

    tyFtyF (1.109)

    se aplictransformata Fourier derivatei de ordinul I funciei )t(x { } { } ( ) { } ( ) ( ) { }===

    +=

    )t(yFdueu3)t(yFdte3t3)t(yF)t(xF 3uju3t

    tj'

    ( )( )

    ( ) ( )

    +

    = j3j2jj

    2

    )85.1(ujj3 e3ee3

    j

    1e11

    j

    4duete3 (1.110)

    Aplicnd proprietatea (1.70) de derivare n timp a transformatei Fourier, rezultc:

    ( ){ } ( ){ }

    ( )( )

    ( )( )

    +

    =

    = j3j2j

    2j

    3

    '

    ej

    3ee3

    j

    1e1

    j

    4

    j

    txFtxF

    Se observcaplicarea acestei metode implicrealizarea unor calcule matematicemult mai simple. Este vorba, la urma urmelor, de aplicarea proprietii care spune ctransformata Fourier a impulsului Dirac este impulsul treaptunitate.

    B. Analiza spectrala impulsurilor ce nu sunt absolut integrabileB1.Analiza spectrala impulsului constant

    Impulsul constant este definit astfel:A)t(x =

    Conform (1.82) nu este un impuls absolut integrabil. n acest caz metoda propus

    pentru obinerea densitii spectrale este de a calcula transformata Fourier prin trecerea lalimita transformatei unui impuls care este absolut integrabil.S-a ales ca impuls a crui transformatse poate calcula, impulsul video simetric:

    =

    2tsau

    2,

    2t0

    2tsau

    2,

    2tA

    )t(x v ;

    Conform reprezentrii grafice din figura 1.33, se observ c la limit, ,impulsul video simetric se transformn impuls constant.

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    49/118

    Semnale i circuite electronice 49

    Conform (1.94) transformata Fourier a impulsului video simetric are expresia:

    ( )2

    csinAjXv

    =

    Fig.1.33 Obinerea impulsului constant din impulsul video simetric

    n consecin:

    { }

    =

    = 2csin2

    limA22csinAlim)t(xF

    Dacse face notaia2

    k = se obine:

    { } ( )

    =

    kcsin

    klimA2)t(xF

    S-a artat (n cadrul analizei spectrale a impulsului Dirac) c la limit funcia de

    eantionare, ( )

    = kcsink

    )(fe , devine impuls Dirac. n consecin,

    { } ( )= A2)t(xF (1.111)Reprezentarea grafica spectrului funciei continue este prezentatn figura 1.34.

    Fig.1.34 Spectrul funciei continue

    B2.Analiza spectrala impulsului cosinusoidal

    Semnalul cosinusoidal este definit astfel:( ) ( )= ,t,tcostx 0C (1.112)

    Deoarece semnalul nu este absolut integrabil, se construiete un semnal pentru carese poate aplica transformata Fourier. Acest semnal, absolut integrabil, este de tipul:

    ( ) ( )

    ( )

    =

    ,t0

    ,t,tcostx 01C (1.113)

    Pentru segmentul de semnal cosinusoidal transformata Fourier are expresia:

    ( ){ } ( )( )

    ( ) =+==

    dteee

    2

    1dtetcostxF tjt0jt0j

    101.1tj

    01C

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    50/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor50

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )( )

    +

    =

    +

    +

    =

    ++

    0

    0101.1

    0

    0j0j

    0

    0j0j sineeee

    2

    1

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )101.1

    0

    0j0j

    0

    0j0j

    0

    0 eeee

    2

    1sin=

    +

    +

    =

    +

    ++

    ++

    ( )

    ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]++=+ ++ = 0000

    0

    0101.1

    csincsinsinsin

    n consecin:{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]=++=

    00C csincsinlim)t(xF

    ( )( ) ( )( )

    +

    +

    =

    00 csincsinlim

    Dacse face notaia =k se obine:

    { } ( )( ) ( )( )

    +

    +

    =

    kcsin

    kkcsin

    klim)t(xF 00C

    S-a artat (n cadrul analizei spectrale a impulsului Dirac) cla limit, funciile deeantionare,

    ( )[ ]kcsink

    )(f 00e

    = sau, ( )[ ]kcsink

    )(f 00e +

    =+

    devin impulsuri Dirac.n consecin,

    { } ( ) ( )00C )t(xF ++= (1.114)Reprezentarea grafica spectrului impulsului cosinusoidal este prezentatn figura 1.35.

    Fig.1.35 a) Semnalul cosinusoidal tcos 0 , b) Funcia de densitate spectrala semnalului cosinusoidal

    tcos 0

    B3.Analiza spectrala impulsului sinusoidal

    Semnalul sinusoidal este definit astfel:( ) ( )= ,t,tsintx 0S (1.115)

    Deoarece semnalul nu este absolut integrabil, se construiete un semnal pentru carese poate aplica transformata Fourier. Acest semnal, absolut integrabil, este de tipul:

    ( ) ( )

    ( )

    =

    ,t0

    ,t,tsintx 01S (1.116)

    Pentru segmentul de semnal sinusoidal transformata Fourier are expresia:

    ( ){ } ( )( )

    ( ) ===

    dteee

    j2

    1dtetsintxF tjt0jt0j

    101.1tj

    01C

    ( )[ ] ( )[ ]+= 00 csinjcsinj

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    51/118

    Semnale i circuite electronice 51

    n consecin:{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]=+=

    00S csinjcsinjlim)t(xF

    ( )( ) ( )( )

    +

    =

    00 csincsinlimj

    Dacse face notaia =k , analog cu studiul impulsului cosinusoidal, se obine:

    { } ( ) ( )00S jj)t(xF += (1.117)

    Reprezentarea grafica spectrului impulsului sinusoidal este prezentatn figura 1.36.

    Fig.1.36 a) Semnalul sinusoidal tsin 0 , b) Funcia de densitate spectrala semnalului sinusoidal tsin 0

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    52/118

    Analiza i prelucrarea semnalelor52

    1.7. Convoluia semnalelor analogice

    Se numete funcie de convoluie (produs de convoluie n timp) a semnalelor ( )tx1 i ( )tx 2 integrala:

    ( )

    = d)t(x)(xtx 21def

    (1.118)

    Notaia consacrata produsului de convoluie n timp este urmtoarea:

    ( ) )t(x)t(xtx 21not

    = (1.119)Observaie: Produsul de convoluie este util n analiza circuitelor i a sistemelor liniare;

    Convoluia unui semnal cu distribuiile )t( sau )t( conduce la rezultate utileanalizei numerice a semnalelor.

    Produsul de convoluie se poate interpreta printr-o ilustrare grafic. n figura 1.37

    sunt prezentate spre exemplificare funciile: ( ) ( )ttx1 = i ( ) 0a,e1txat

    2 >= , al cror

    produs de convoluie ( ) )t(x)t(xtx 21 = este construit pe etape.Aria hauratreprezintprodusul de convoluie, care, aa cum rezultdin (1.118)

    este o funcie de t.Din reprezentarea grafic rezult c pentru a efectua )t(x)t(x 21 se realizeaz

    simetricul celei de a doua funcii fade ordonat, )(x 2 , se deplaseazpe axa cu t

    secunde, reuultnd )t(x 2 , ca apoi sse nmuleasccu )t(x1 .

    Fig.1.37 Ilustrarea grafica produsului de convoluie

  • 8/13/2019 Semnale Si Circuite Electronice

    53/118

    Semnale i circuite electronice 53

    Teorema integralei de convoluie n timp. Transformata Fourier a produsului deconvoluie este produsul algebric al transformatelor Fourier ale semnalelor din produs.

    ( ) ( ) ( )= 21 XXX (1.120)unde ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }txFX;txFX 2211 == i ( ) )t(x)t(xtx 21 =

    Demonstraie:Fie: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }txFX;txFX;txFX 2211 ===

    Aplicnd transformata Fourier semnalului ( )tx , definit conform (1.118) rezultc:

    ( )

    == dted)t(x)(xdte)t(xX tj21

    )118.1(tj (1.121)

    Inversnd ordinea de integrare se obine:

    ( )( )

    ( ) ( ) =

    +=

    =

    +=

    dde)(x)(xddte)t(x)(xX j21t

    tj21

    ( ) ( )44 344 2144 344 21

    =

    =

    21 X

    j2

    X

    j1