SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

ANALIZA VJEROJATNOSTI BLOKIRANJA

OVISNO O PROMETNOM OPTEREĆENJU

Mentor: Student:

doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Vedran Dubravac 0135192545

Zagreb, lipanj 2009

SADRŽAJ:

1.Uvod.........................................................................................................................................1

2. Što je Erlang............................................................................................................................2

3. Erlang B formula.....................................................................................................................3

4.Erlang distribucija....................................................................................................................5

4.1. Karakterizacija Erlang distribucijske formule..................................................................6

4.2. Vrijeme čekanja...............................................................................................................7

4.3. Modeli usporedbe.............................................................................................................8

5. Praktičan primjer Erlang B formule........................................................................................9

5.1. Prvi primjer....................................................................................................................10

5.2. Drugi primjer..................................................................................................................11

5.3. Treći primjer...................................................................................................................12

5.4 Rezultati..........................................................................................................................13

6.Zaključak................................................................................................................................14

Literatura...................................................................................................................................15

Popis slika.................................................................................................................................16

1.Uvod

U ovom seminarskom radu biti će obrađena tema analiza vjerovatnosti blokiranja

poziva ovisno o prometnom opterećenju, te će biti prikazan praktičan primjer korištenjem

online kalkulatora. Blokiranje poziva, tj. vjerovatnost blokiranja se izračunava korištenjem

Erlang B forumle što će biti prikazano u praktičnom primjeru gdje se koristi online Erlang B

kalkulator. Vjerovatnost blokiranja poziva u današnje vrijeme je vrlo važna jer utječe na

kvalitetu usluge bilo u mobilnoj mreži ili u mrežnoj komunikaciji (LAN, WAN...). Prvo što je

potrebno ukratko pojasniti je Erlang B formula te kako je ona nastala. Erlang B je formula za

modeliranje koja se koristi u telekomunikaciji, uglavnom u telefoniji. Ova formula se može

koristit da se izračunaju jedan od tri sljedeća faktora, ako se mogu predvidjeti, ili se znaju već

vrijednosti ostala dva faktora:

Busy Hour Traffic (BHT): broj sati prometa poziva tokom sata kada je najviše poziva.

Blokiranje: postotak poziva koji se blokiraju jer nema dovoljno linija za uspostavu

poziva.

Linija: broj linija za poziv

Erlang B može odrediti koliki je broj linija potreban da bi se savladala grupa poziva tokom

perioda od jednog sata. Erlang B formula pretpostavlja da su očišćeni odbačeni pozivi, npr.

ako pozivatelji dobiju zauzeti signal, oni neće više pokušavati ponovno nazvati. Ta

pretpostavka govori da Erlang B formula može podcijeniti broj potrebnih linija, jer ne može

znati hoće li pozivatelj koji je dobio zauzeti signal ponovno nazvati. Zbog toga, Erlang B

formulu je najbolje koristiti u mrežama gdje se relativno rijetko događaju zauzeća linija. Uz

to, proširena Erlang B formula uzima u obzir one pozivatelje koji odmah ponovno nazovu ako

dobiju zauzeti signal . Erlang , koji se označava sa simbolom E je bezdimenzionalna jedinica

koja se koristi u telefoniji kao statični pokazatelj telekomunikacijskog prometa.

2. Fizikalno objašnjenje prometne jedinice Erlang

Erlang, koji se označava sa simbolom E je bezdimenzionalna jedinica koja se koristi u

telefoniji kao statični pokazatelj telekomunikacijskog prometa. Ime je dobila po danskom

inženjeru telekomunikacija A. K. Erlangu, tvorcu prometnog inženjeringa i teorije čekanja u

redu.

Promet koji odgovara jednom Erlangu se odnosi na pojedinačni resurs koji se

kontinuirano koristi, ili dva kanala koja koriste taj resurs sa distribucijom od 50% po kanalu.

Naprimjer: ako jedan ured ima dva telefonska operatera koji su zauzeti cijelo vrijeme, to

predstavlja dva erlanga (2 Erl ) prometa, ili ako je radio kanal zauzet trideset minuta kroz sat

vremena kaže se da on je prenio 0.5 Erl prometa.

Generalno govoreći, ako se vrijeme dolaska novih poziva označava s λ po jedinici

vremena, a prosječno zadržavanje poziva je Ts, tada je promet u Erlangima:

[Erl]

Može se koristiti da se definira da li sustav ima previše ili premalo alociranih resursa.

Promet mjeren Erlangima se koristi da bi se utvrdila razina usluge GoS (GoS- Grade of

service ) ili kvalitetea usluge (QoS- Quality of service).

Postoji više vrsta Erlang formula, gdje se osim Erlang B nalazi i Erlang C forumula i

povezana Engset forumla. One se u ovom seminaru neće objašnjavati, ali samo je za

napomenuti da se one izvode iz posebne vrste kontinuiranog-vremena Markovljevog procesa,

koji se naziva još i procesi rađanja i umiranja [5] .

3. Erlang B formula

Erlang-B formula (koja se negdje piše bez crtice u nazivu, Erlang B), poznata još pod

nazivom Erlang loss formula je formula za analiziranje vjerovatnosti blokiranja, a potječe iz

Erlangove distribucije koja služi za opisivanje gubitka na grupi kanala (kod komutirane

sklopne mreže ili slična).Ona se koristi u planiranju telefonskih mreža. Formulu je razvio

Agner Krarup Erlang, ali ta formula nije ograničena samo na telefonske mreže, zbog toga jer

opisuje vjerojatnost u upitnim sustavima (iako poseban slučaj kada se radi o brojnim

serverima, gdje se nema dovoljno buffer prostora za dolazne pozive da pričekaju

na slobodni server).

Samu primjenu formule se može objasniti na slijedeći način: pod uvjetom da ako

pozivatelj ne uspije obaviti zbog zauzete linije, on se ne izvršava ponovno dok se ne

uspostavi veza već se veza odbacuje, a poziv je zauvijek izgubljen. Pretpostavlja se da

ponovni pokušaji uspostave dolaznih poziva slijede Poissonov proces.

Zatim se pretpostavlja da su dolazni pozivi neovisni, a duljina poruke se

eksponencijalno distribuira (Markovljev sustav) makar se formula može primjeniti na

generalno distribuiranje vremena. Erlang je vrijednost bez dimenzije koja se računa kao

prosječna stopa pristizanja λ, koja se množi sa prosječnom duljinom poziva, h. Erlang B

formula pretpostavlja neograničenu populaciju izvora (kao što su telefonski pretplatnici), koji

pružaju promet prema N servera (kao veze). Stopa dolazaka novih poziva (stopa rođenja

poziva), je jednaka λ i on je konstantna, ne ovisi o broj uaktivnih izvora, jer je totalni broj

izvora pretpostavljen kao beskonačan. Stopa odlaska poziva (razina smrti poziva) je jednaka

broju poziva koji trenutno traju podijeljeno sa h, koji je prosječna duljina poziva Formula

izračunava vjerovatnost blokiranja u sustavu koji trpi gubitke, gdje poziv ako se ne uspostavi

odmah se odbacuje. Zahtjevi znači ne stoje u redu na izvršavanje. Blokiranje se događa kada

novi zahtjev dolazi od izvora, ali su svi serveri zauzeti. Forumula pretpostavlja da su svi takvi

pozivi odmah odbačeni.

Formula pruža razinu usluge (GoS -Grade Of Service) koja govori kolika je

vjerojatnost Pb da novi dolazni poziv bude odbijen zbog zauzeća [5]. Erlang su količine bez

dimenzije koji se računaju kao prosječna dolazna razina λ, pomnožena sa prosječnom

duljinom poziva Ts:

Da se pojednostavi računanje formule, ona se najčešće predstavlja u presloženom

obliku:

Uobičajeno, umjesto B( E, m) recipročna vrijednost 1/B(E, m) se računa u

matematičkoj komutaciji:

4. Erlang distribucija

Erlangova distribucija je kontinuirana distribucija vjerovatnosti koja se može

primjenjivati u više područja, uglavnom zahvaljujući svojoj povezanosti sa exponencijalnim i

Gama distribucijama. Erlang distribuciju je razvio A.K. Erlang da bi proučio broj telefonskih

poziva koji bi se mohli uspostaviti u isto vrijeme [6].

Ova distribucija se sada koristi u stohastičkim procesima.

Primjer kako izgleda graf Erlang distribucije se može vidjeti na slici 1 .

Slika 1. Graf Erlang distribucije [7]

4.1. Karakterizacija Erlang distribucijske formule

Funkcija vjerovatnosti gustoće:

Funkcija se nalazi u u obliku:

Gdje je e baza prirodnog logaritma a ! je faktorijela. Parametar k se zove parametar

oblika, a parametar λ se naziva parametar mjere. Alternativa toj formuli, koja je ujedno i

ekvivalentna koristi parametar skale θ  koji je recipročna vrijednost parametra mjere ( θ = 1 /

λ):

Zato što je faktorijelna funkcija denominator, Erlang distribucija je određena samo

onda kada je parametar k pozitivne vrijednosti, tj. pozitivan broj. Ponekada se ova distribucija

naziva Erlang-k distribucija.

Slika 2. Primjer računa Erlang distribucije [8]

4.2. Vrijeme čekanja

Događaji koji se događaju neovisno jedan od drugome, tj. samostalno, pri nekoj

uobičajenoj razini pojavljivanja, se modeliraju primjenom Poisson procesa. Vremena čekanja

između k ponavljanja događaja se modeliraju primjenom Erlang distribucije. Erlang

distribucija koja mjeri vrijeme između dolaznih poziva može se koristiti u konjukciji sa

očekivanim trajanjem dolaznih poziva da se dobije informacija o prometu izražena u

Erlanzima. Ta informacija se može koristiti da se odredi vjerojatnost gubitka ili zastoja,

oslanjajući se na razne pretpostavke temeljene na blokiranim pozivima (Erlang B formula) ili

koji su na čekanju dok ne dođu na red (Erlang C formula). Erlang B i Erlang C formula se

svakodnevno koriste za upravljanje i modeliranje prometa kod aplikacija koje se koriste u

pozivnim centrima.

Pošto se tokom ovog seminara dosta spominje Poissonov proces, potrebno je njega

ukratko pojasniti: Poissonov proces imenovan je po francuskom matematičaru Poissonu

(1781 – 1840), sam proces predstavlja stohastički proces u kojemu se događaji odvijaju

kontinuirano i neovisno jedan o drugome. Opći primjer je radioaktivni raspad atoma. Mnogi

procesi nisu Poissonovi procesi po definiciji, već slični dovoljno njemu tako da se Poissonovo

pravilo može primjeniti na njima. Primjeri takvih procesa su telefonski pozivi koji dolaze do

bazne stanice, zahtjevi pregleda web stranica itd. No sam Poissonov proces je skup

različitih varijabli, gdje je N(t) broj događaja koji su se dogodili do vremena t (počinjući od

0). Broj događaja između vremena a i b se označava kao N(b) − N(a) , te se to naziva

Poissonov proces.

Slika 3. Primjer Poissonovog procesa[11]

Svaka realizacija procesa {N(t)} je nenegativna vrijednost koja se prikazuje sa brojem

i ona se ne povećava, te se često jednostavnije prikazuje kao poluotvoreni interval od [0,∞>

(interval u kojemu se nastupa događanje događaja). Poissonov proces je kontinuirani proces;

njegov diskretni dio spada pod definiciju Bernoullijevog procesa. Sam Poissonov proces je

podvrsta Levyevih procesa [9].

4.3. Modeli usporedbe

Erlang distribucija se koristi kao opis razine prijenosa elemenata kroz sustave

usporedbe. Takvi sustavi se široko koriste ekologiji i biologiji.

Naprimjer, kod matematičke epidemiologije, individualna osoba može napredovati po

eksponencijalnoj brzini od dobre karijere do vrlo uspješne karijere, te unazad od vrlo uspješne

karijere do loše karijere.

Primjena Erlangove distribucije na taj slučaj bi bila: vjerojatnost da se uoči takav

pojedinac u nekom vremenu t je zadan sa vrijednosti k=2. Takvi primjeri imaju vjerojatnost

da kada uspoređujemo jedan primjer sa drugim možemo naići na vrlo velike razlike, a kod

čisto eksponencijalnog modela vjerojatnost promjene je često vrlo mala.

5. Praktičan primjer Erlang B formule

Za praktičan primjer biti će uzet promet od 2, 5, i 10 Erlanga. No kako bi se izbjeglo

dugotrajno računanje na papiru koristiti će se on-line kalkulator koji se nalazi na ovom linku :

http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/mcerlb.htm

Slika 4. On-line Erlang-B kalkulator

No, prije primjene kalkulatora je potrebno prvo pojasniti šta znače njegove kratice i za koju

svrhu se koristi. Erlang B kalkulator evalvuira promet, blokiranje i broj kanala. Kada su

poznata dva navedena parametra, onda se treći može pretpostaviti. Uz to, on razdvaja ulazni

promet od izlaznog prometa.

Oznake na kalkulatoru:

1.)Kanali (Circuits): kada je poznat ulazni promet i vjerovatnos blokiranja, on izračunava

potrebni broj kanala (ili linija u skupu).

2.)Blokiranje(Blockage): kada je poznat broj kanala i nošenog prometa, on izračunava

blokiranje (blokirani promet i vjerovatnost blokiranja)

3.)Promet(Traffic): kada je pozant broj kanala i vjerovatnost blokiranja on izračunava promet

koji se može prenijeti. Ako se blokirani pozivi ne preusmjeravaju, ali se ponovno pokušavaju

uspostaviti ako dođe do krivog spajanja kalkulator onda koristi proširenu Erlang B formulu.

Ako dolazni pozivi nisu nasumični, ali ne dolaze od prelijevanja, tada se koristi Wilkinsonov

kalkulator.

5.1. Prvi primjer

U ovo primjeru unesena je vrijednost od 2 Erlanga i 3 kanala, pošto broj kanala mora biti veći

od prometa, rezultat je prikazan niže:

Slika 5. Prvi praktičan primjer

Primjer obrađuje vrijednosti od 2 Erlanga i 3 kanala, sada je potrebno izračunati vjerojatnost

blokiranja koja se izračunava tako da ulazni promet od 3,1 Erl a koji koristi 2 poslužitelja.

Rezultira izlaznim prometom od 2 E + 37 % vjerojatnosti blokiranja.

5.2. Drugi primjer

U ovo primjeru unesena je vrijednost od 5 Erlanga i 6 kanala, pošto broj kanala mora biti veći

od prometa, rezultat je prikazan niže:

Slika 6. Drugi praktični primjer

Primjer obrađuje vrijednosti od 5 Erlanga i 11 kanala, a sada je potrebno izračunati

vjerojatnost blokiranja koja se izračunava tako da ulazni promet od 8,8 E koji koristi 6

poslužitelja rezultira izlaznim prometom od 5 E + 43 % vjerojatnosti blokiranja.

5.3. Treći primjer

U ovo primjeru unesena je vrijednost od 10 Erlanga i 11 kanala, pošto broj kanala mora biti

veći od prometa, rezultat je prikazan niže:

Slika 7. Treći praktičan primjer

Primjer obrađuje vrijednosti od 10 Erlanga i 11 kanala, a sada je potrebno izračunati

vjerojatnost blokiranja koja se izračunava tako da ulazni promet od 18,7 E koji koristi 11

poslužitelja rezultira izlaznim prometom od 10 E + 46 % vjerojatnosti blokiranja.

5.4 Rezultati

Kako se može vidjeti iz prikazanih primjera, vidi se da kako raste ulazni promet u Erlangima tako raste vjerovatnost blokiranja poziva, znači što više korisnika to više vjerovatnosti da će poziv biti blokiran.

Rezultati su:

1.Ulazni promet od 2 Erlanga 3,1E + 3 Cts= 2 E + 37 %

2.Ulazni promet od 5 Erlanga 18,8E + 6 Cts = 5 E + 43 %

3. Ulazni promet od 10 Erlanga 18,7 + 11 Cts =10 E + 46 %

6. Zaključak

U ovom seminaru je obrađena tema analiza vjerovatnosti blokiranja poziva ovisno o

prometnom opterećenju, te je prikazan praktičan primjer korištenjem Erlang B formule koja

služi za izračunavanje vjerovatnosti blokiranja.

Iz teoretskog opisa se može vidjeti da je Erlang B formula dobivena iz Erlangove distribucije,

koja se koristi za opisivanje gubitaka. Jedna od njenih glavnim primjena je u procesu

projektiranja telefonskih mreža, ali nije ograničena samo jer opisuje vjerovatnost u bilo

kakvim upitnim sustavima.

Pojašnjena je matematička strana Erlang B formule, prikazane njezine veze sa ostalim

formulama, povezanost sa drugim procesima.

Erlang B formula se umjesto podužeg ručnog izračunavanja može računati i putem raznih

softwerskih alata, poput on-line kalkulatora koji se mogu naći na različitim lokacijama na

Internetu.

Jedan od tih alata je korišten u praktičnom primjeru, gdje se može vidjeti da je vjerojatnost

blokiranja ovisi o veličini ulaznog prometa tj. da što je veću ulazni promet da tako raste i

vjerovatnost da će poziv biti blokiran.

Literatura

1. http://www.erlang.com/calculator/erlb/ (lipanj 2009)

2. http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/cerlangb.htm (lipanj 2009)

3. http://jclement.ca/software/erlangb/(lipanj 2009)

4.http://searchcrm.techtarget.com/sDefinition/0,,sid11_gci1265052,00.html (lipanj 2009)

5.http://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_B(lipanj 2009)

6.http://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_distribution(lipanj 2009)

7.http://ops.fhwa.dot.gov/trafficanalysistools/tat_vol4/images/ops_images/images/fig73.jpg

(lipanj 2009)

8.http://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_distribution (lipanj 2009)

9.http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process (lipanj 2009)

10.http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/mcerlb.htm (lipanj 2009)

11.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/d/dc/SampleProcess.png (lipanj 2009)

Popis kratica

GoS - Grade of Service

Blockage - blokiranje

Traffic – promet (odnosi se na promet mrežom)

LAN- Local Area Network (Lokalna mreža)

WAN – Wide Area Network

Busy Hour Traffic- vrijeme zakrčenja prometa

QoS - Quality of service

Poisson - kratica za poissonov proces

Circut switched network - mreža sa komutacijom kanala

Circuits - kanali

Popis slika

Slika 1. Graf Erlang distribucije

Slika 2. Primjer računa Erlang distribucije

Slika 3. Primjer Poissonovog procesa

Slika 4. On-line Erlang-B kalkulator

Slika 5. Prvi praktični primjer

Slika 6. Drugi praktični primjer

Slika 7. Treći praktični primjer