Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu, OpatijaSveučilišni preddiplomski studij

“Poslovna ekonomija u turizmu i ugostiteljstvu”Nositelj kolegija: Prof. dr. sc. Suzana Marković

Asistentica: Jelena KomšićAkademska godina: 2011/2012.

Kolegij: STATISTIKA

SEMINAR 4:SEMINAR 4:

SREDNJE VRIJEDENOSTI NUMERIČKOG NIZA

Sadržaj seminara

• numerički niz: definicija i vrste

• srednje vrijednosti: definicija i vrste

• srednje vrijednosti: formule i primjena• srednje vrijednosti: formule i primjena

Kako nastaje numerički niz?

Koje vrste numeričkog niza razlikujemo?

Numerički niz

• Negrupirani niz podataka

• Grupirani niz podataka

xi 7 3 8 6 2 5

Numerički niz

• Distribucija frekvencija s razredima

xi 1 2 3 4 5

fi 0 9 22 9 5

Starost u godinama 20-27 27-32 32-42 42-51 51-61

Broj ispitanika 9 15 17 16 8

NUMERIČKI NIZ: NEGRUPIRANI NIZ PODATAKA

• ZADATAK 1:

Zadan je numerički niz:

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod, medijan.

xi: 7 3 8 6 2 5

• Aritmetička sredina ( ):

17,56

31 === ∑N

xx i

∑ = suma (zbroj)

N = broj članova u nizu

Rješenje ZADATKA 1: NUMERIČKI NIZ - NEGRUPIRANI NIZ PODATAKA

x

Prosječna srednja vrijednost u zadanom negrupiranom numeričkom nizu iznosi 5,17.

• Mod (Mo):

· Mod se ne može izračunati, jer postoje najmanje dva jednaka člana u nizu!

• Medijan (Me):

· niz uređen po veličini: 2, 3, 5, 6, 7, 8

[ ] [ ]21 5,5112

165

2

1

2

1rr XXMe =⋅=+⋅=+⋅=

Xr3 Xr4

Rješenje ZADATKA 1: NUMERIČKI NIZ - NEGRUPIRANI NIZ PODATAKA

42

31

5,32

7

2

16

2

1

32

6

2

222

r

r

XN

r

XN

r

→==+=+=

→===

50% članova negrupiranog numeričkog niza ima vrijednost 5,5 i manje, a ostalih 50% članova negrupiranog numeričkog niza ima vrijednost 5,5 i više.

• ZADATAK 2:

Broj članova obitelji 1 2 3 4 5 6

Zadan je sljedeći numerički niz:

NUMERIČKI NIZ: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

Broj članova obitelji 1 2 3 4 5 6

Broj anketiranih 10 13 24 35 30 14

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan.

POMOĆNA TABLICA:

Br. članova obitelji

xi

Br. Anketiranihfi

Kumulativni niz “manje od”

1 10 10 10

2 13 26 23

3 24 72 47

+

+

+

=

=

=

obil

frekv

ii fx ⋅

Rješenje ZADATKA 2: NUMERIČKI NIZ - GRUPIRANI NIZ PODATAKA

∑∑ ⋅

=fi

xifix

3 24 72 47

4 35 140 82

5 30 150 112

6 14 84 126

∑ N = ∑fi = 126 ∑fixi = 482 ∕

+

+

=

=

=

=

+Mo =

lježje

vencije

Me =

• Aritmetička sredina ( )x

83,3126

482 ==⋅

=∑∑

i

ii

f

fxx

• Mod (Mo)

Rješenje ZADATKA 2: NUMERIČKI NIZ - GRUPIRANI NIZ PODATAKA

Prosječan broj anketiranih članova obitelji iznosi 3,83.

• Mod (Mo)

4=Mo

Najčešći broj anketiranih članova obitelji iznosi 4.

• Medijan (Me) – N = paran broj

632

126

2==N

4=Me

→ gledati kumulativni niz “manje od”

Rješenje ZADATKA 2: NUMERIČKI NIZ - GRUPIRANI NIZ PODATAKA

50% anketiranih obitelji broji 3 i manje člana, a ostalih 50% anketiranih obitelji broji 3 ili više člana.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6B

roj a

nke

tira

nih

Broj članova obitelji

Poligon frekvencija

Rješenje ZADATKA 2: NUMERIČKI NIZ - GRUPIRANI NIZ PODATAKA

05

10152025303540

1 2 3 4 5 6

Bro

j an

keti

ran

ih

Broj članova obitelji

Histogram

ZADATAK 3:

Utrošeno vrijeme

NUMERIČKI NIZ: DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

Zadana je distribucija frekvencija:

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod, medijan

Utrošeno vrijeme u minutama

10-15 15-20 20-25 25-35 35-45 45-50

Broj dokumenata 7 15 28 30 10 10

Utrošenovrijeme u minutama

Broj dokumenata

fi

Sxi

Xi*fi

Kumulativni niz

“manje od”

i fc

10-15 7 12,5 87,5 7 5 1,4

15-20 15 17,5 262,5 22 5 3

L1 L2

221 LL

xi+= 12 LLi −=

a∑f1

←Mo

i

ff i

c =

POMOĆNA TABLICA:

Rješenje ZADATKA 3: NUMERIČKI NIZ - DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

20-25 28 22,5 630 50 5 5,6

25-35 30 30 900 80 10 3

35-45 10 40 400 90 10 1

45-50 10 47,5 475 100 5 2

∑ 100 170 2755 - -

bc

2

N←Me←Mo

fmed

• Aritmetička sredina

• Mod

min5,27100

2755 ==⋅

=∑∑

i

ii

f

xfx

Prosječno utrošeno vrijeme po dokumentu je 27,5 min.

Rješenje ZADATKA 3: NUMERIČKI NIZ - DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

• Mod

icbab

abLM o ⋅

−+−−+=

)()(

)(1

12 LLi −=

Veličina razreda (i)

5,2255,02056,26,2

6,2205

)36,5()36,5(

)36,5(20 =⋅+=⋅

++=⋅

−+−−+=oM

S obzirom da imamo nejednake veličine razreda moramo ih korigirati kako bismo mogli izračunati MOD:

i

ff i

c =

Rješenje ZADATKA 3: NUMERIČKI NIZ - DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

6,26,2)36,5()36,5( +−+−

Najčešće utrošeno vrijeme po dokumentu je 22,5 min.

if

fN

LMemed

⋅−

+=∑ 1

12

28225022100

−−

• Medijan

Rješenje ZADATKA 3: NUMERIČKI NIZ - DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

25520528

28205

28

2250205

28

22220 =+=⋅+=⋅−+=⋅

−+=Me

Za 50% dokumenata potrebno je utrošiti 25 min. i manje, a za ostalih 50% dokumenata potrebno je utrošiti 25 min. i više.

ZADACI ZA VJEŽBU: aritmetička sredina

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećemnumeričkom nizu- xi:1, 1, 2, 3, 4, 37?

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećem• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećemnumeričkom nizu- xi: 1, 2, 4, 5, 18?

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećemnumeričkom nizu- xi: 2, 2, 4, 12?

ZADACI ZA VJEŽBU: mod

• Koliko iznosi mod (Mo)u sljedećem negrupiranomnumeričkom nizu – xi: 1, 2, 2, 3, 4, 6?

• Koliko iznosi mod (Mo)u sljedećem negrupiranom• Koliko iznosi mod (Mo)u sljedećem negrupiranomnumeričkom nizu – xi: 1, 5, 2, 8, 7?

• Koliko iznosi mod (Mo)u sljedećem negrupiranomnumeričkom nizu – xi: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6?

• Koliko iznosi medijan (Me)u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 5, 2, 8, 7?

• Koliko iznosi medijan (Me)u sljedećem

ZADACI ZA VJEŽBU: medijan

• Koliko iznosi medijan (Me)u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 11, 6, 2, 4?

• Koliko iznosi medijan (Me)u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 2, 2, 4, 12?

ZADACI ZA VJEŽBU: izračunajte aritmetičku sredinu, mod i medijan

Zadatak 2:

Xi: 20 14 22 20 35 17 23 24 15 30 18

Zadatak 1:

Broj djece 1 2 3 4 5Broj djece 1 2 3 4 5

Broj obitelji 36 29 20 16 9

Zadatak 3:

Vrijeme u minutama

10-15 15-20 20-25 25-35 35-45 45-65

Br. dokumenata 7 15 28 30 10 10