semigrupos- Matematica discreta 1

8/20/2019 semigrupos- Matematica discreta 1

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E

S T R U C

T U R A S

D I S C

R E T A S

I I

Estructuras

Discretas II

SemigruposGrupos

Dra. Norka Bedregal Alpaca

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S e m i g r u p o s

Introducción

Los grupos y semigrupos son estructuras algebraicas que seutilizan en Teoría de Codificación y en el estudio de máquinasde estado finito

Dichas máquinas, reconocedoras de lenguajes, se usan en eldiseño de compiladores .

Es necesario manejar el concepto de operación binaria cerrada

y, de acuerdo a las propiedades que cumpla se le dará unnombre a la estructura.

Es así que podrá tratarse de semigrupo, semigrupo con neutro ogrupo, y en algunos casos grupo abeliano.

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Operaciones Binarias

Definición

Dado el conjunto A, se llama operación binaria interna sobre A a

cualquier función f cuyo dominio es el producto cartesiano A × Ay codominio A, esto es:

( ) baba

A A A

*,

:*

→

→×

Ejemplos:

La suma y el producto en los enteros modulares son operaciones

internas. Z Z Z →×+ :

Z Z Z →×• :


S e m i g r u p o s

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Definición

Dados los conjuntos A, B y C, una operación binaria externa es unafunción cuyo dominio es el producto cartesiano A × B y codominio C,esto es:

( ) baba

C B A

*,

:*

→

→×

Ejemplo:

La función * definida sobre los naturales y los polinomios con

coeficientes reales es una operación externa,

( ) ( )

( ) )()(,*

:*

x pn x pn

IRP IRP IN

⋅=

→×



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( ) ( )

( ) M M M

Z M Z M Z nmnm

λ λ λ =→

→× ××

),*(,

:*

Ejemplo:

De forma similar se puede observar que la función definida sobre los

enteros y las matrices de orden (m,n), es una operación externa



S e m i g r u p o s

Notación:

Recordar que las operaciones binarias se pueden denotar con

el símbolo * o cualquier otro, como •, ∆, ■, □, ◊, ●, etc.

Para indicar que en el conjunto A se ha definido la operaciónbinaria * se escribe (A ; *)

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Propiedad conmutativa:Si para cada a, b de A se verifica que:

a * b = b *a

Ley de cancelación:Cancelación a la izquierda si para cada a, b, c de A se verifica que

si a * b = a * c entonces b = c

Propiedad distributiva:Si se tiene una segunda operación º y si para cada a, b, c de A severifica que

a º (b * c) = (a º b) * (a º c) Dra. Norka Bedregal Alpaca

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Propiedad asociativa:Si para cada a, b, c de A se verifica que

(a * b) * c = a * (b * c)

Propiedades: Operaciones Binarias

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Elemento neutro e de A :Si para cada a de A se verifica que

a * e = e * a = a

Elemento absorvente z de A:Si para cada a de A se verifica que

a * z = z * a = z

Elemento idempotente de A:Si se verifica que

a * a = a


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Elemento simétrico de A:Si existe un elemento a0 de A tal que

a * a0 = a0 * a = e


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Ejemplo

Dado ( R ; ●)

Se sabe que la multiplicación es cerrada en los reales es asociativay tiene elemento neutro, que es el 1.

Pero no todos los números reales tienen simétrico; en realidad

hay sólo uno que no tiene simétrico, que es el cero Lo cual es suficiente para decir que no se cumple la propiedad de

simétricos.

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S e m i g r u p o s

Ejemplo

Dado ( Z ; + )

La suma es cerrada en los enteros, es asociativa y tiene elementoneutro, que es el 0.

También todos los números enteros tienen simétrico, que es el

opuesto de cada uno

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EjercicioComprobar qué propiedades cumplen la operación siguiente

º : Q × Q --> Qdefinida como p º q = p, para todo p, q de Q


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Estructuras algebraicas

Cuando se tiene uno o más conjuntos con una o varias operacionesbinarias, con unas determinadas propiedades y unos determinadoselementos notables, se tiene una estructura algebraica.

A veces, si el conjunto sobre el que actúa una operación es finitoA = {a1, a2, . . . , an} es posible representar dicha operación medianteuna tabla de la forma


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Las estructuras se presentan agrupando bajo un paréntesis el conjunto ylas operaciones que actúan sobre él, como por ejemplo (A, *), (A, *, º)

Ejemplo: Enteros modulares

El conjunto Zn se define mediante una relación de equivalencia en Zllamada de congruencia módulo n, se dice que

Una de las operaciones internas que se pueden definir sobre esteconjunto, se representa por +, y viene dada por

Con lo que se obteniendo que (Zn, +) es una estructura algebraica. Dra. Norka Bedregal Alpaca


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Dado que Zn es finito, se puede representar dicha operación medianteuna tabla.

Por ejemplo se puede construir las tablas para Z2 y Z5:



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Ejercicios

Escriba las tablas para Z4 y Z5, y analice las diferencias Estudiar las propiedades de (Zn, +).


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Semigrupo

SemigruposEl conjunto S no vacío; es semigrupo si está dotado de una operación

binaria * (interna) que verifica la propiedad Asociativa:

a * (b * c) = (a * b) * c

Semigrupo ConmutativoSe dice que el semigrupo S es un semigrupo conmutativo si se verifica,además la propiedad Conmutativa:

a * b = b * a


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Ejemplos:Son semigrupos conmutativos:

El conjunto N provisto de la suma (N; +)

El conjunto Z provisto del producto (Z; · )

N con la operación a * b = a b no es un semigrupo.

Z con la operación de sustracción tampoco es semigrupo.

Z con la operación de sustracción tampoco es semigrupo.

Ejemplos:

( )( ) ( )( )∩℘∪℘ ,, A A son dos semigrupos conmutativos.


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Semigrupo

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Observación

Es evidente que la única condición para que A sea subsemigrupo deS es que la restricción de * al conjunto A sea una operación binaria.Cuando un conjunto cumple esta condición se suele decir que A escerrado para la operación.


Sub-semigrupo

Dado un semigrupo (S; *) y A S; se dice que A es un subsemigruposi, restringiendo la operación * a los elementos de A se sigue teniendouna estructura de semigrupo, es decir (A; *) es también semigrupo.

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Sub-Semigrupo

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En la figura, A no es subsemigrupo de S.

Ejemplo:

Dado el semigrupo (Z;+) El subconjunto 2Z de los enteros pares essubsemigrupo, en cambio el conjunto de los impares no lo es.

En el semigrupo (A; f) el subconjunto de las funciones biyectivas

S(A) es un subsemigrupo.

Ejemplos:

Sub-semigrupo


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Monoide

Dado un semigrupo (S; *) se dice que es un monoide si tiene elementoneutro, es decir, si existe un elemento e en S que vrifica:

ObservaciónSi además el semigrupo es conmutativo se le llama monoideconmutativo.

Teorema

En todo semigrupo, el elemento neutro, si existe, debe ser único.

S aaeaae ∈∀== **

Monoide


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Ejemplos:

La estructura (N; +) es monoide

+∉ Z 0 En cambio, (Z+; +) no lo es, puesto que

Las matrices reales Mn,m forman un monoide conmutativo con laoperación + de matrices.

Si se consideran las matrices cuadradas con el producto (Mn,n; •)se tiene un monoide no conmutativo.


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Monoide

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Submonoides

Dado un monoide (S; ), un subconjunto A de S es submonoide, si además

de ser subsemigrupo, contiene al elemento neutro.


TeoremaSea (S; *) un monoide y A S. Las condiciones necesarias y suficientespara que el subconjunto A sea submonoide son:

1) Que sea cerrado para la operación, es decir:a; b εA→ a * b εA.

2) e εA.

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Sub-Monoide

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Ejemplo:Sea nZ el conjunto de los productos de un entero n por todos los

elementos de Z.

Si n > 1 se tiene que ( nZ;+) son submonoides de (Z; +)

Observe que ( nZ; •) son subsemigrupos (y no submonoides) de (Z; •)(que si es monoide).

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Sub-Monoide


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El Semigrupo Libre de las cadenas

Definición: AlfabetoSe llama alfabeto a un conjunto Σ al que se le exige que ningúnelemento pueda ser formado por yuxtaposición de elementos del

propio Σ.

A los elementos de Σ se les llama también cadenas de longitud 1.

Yuxtaponiendo dos elementos de Σ se obtiene un nuevo elemento de

un conjunto de cadenas de longitud 2.

Este proceso se puede extender recursivamente para formar cadenasde longitud n

Si se denomina

Entonces cada se construye como:

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El conjunto de todas las cadenas, de longitud mayor o igual que uno, serepresenta por

Cadena NulaSe considera la existencia de una cadena ε llamada cadena nula, que

no pertenece a ningún , esta cadena tiene longitud 0.

La cadena nula tiene la propiedad de dejar invariante a cualquiercadena por yuxtaposición, es decir S

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Semigrupo Libre de CadenasSe denota por al conjunto formado por las cadenas de cualquier

longitud, incluida la cadena nula.

Este conjunto, dotado con la operación binaria de yuxtaponer doscadenas, también llamada concatenación, verifica la propiedad

asociativa, y además tiene elemento neutro ε.Se le conoce con el nombre de Semigrupo libre de las cadenas (aunqueen realidad sea un monoide) y juega un importante papel en la teoríade lenguajes formales.

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Grupos

Definición:Sea un conjunto G con una operación interna *, que verifica lassiguientes propiedades:

1. Asociativa

2. Existe un elemento neutro

3. Existencia de inversos: para existe

Entonces, se dice que el par (G,* ) forma un grupo.

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Grupo Abeliano:Sea (G,*) un grupo si cumple la propiedad conmutativa:

entonces se dice que el grupo es conmutativo.

Se emplea con mayor frecuencia el término de grupo abeliano enhonor del matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829).

Ejemplo:El monoide (N, +) no es un grupo, puesto que ningún elemento,excepto el elemento neutro 0, tiene inverso.

Los conjuntos (Z, +), (Q, +) (R, +) y (C, +) son todos gruposabelianos con la operación de adición, reciben el nombre de gruposabelianos aditivos.

Grupos

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Ejemplo:Los conjuntos (Z, •), (Q, •) (R, •) y (C, •) no son grupos.

Sin embargo, los conjuntos (Q*, •) y (R*, •), dondeQ* = Q − {0} R* = R − {0}son grupos abelianos multiplicativos

Ejemplo:Dado un conjunto A el conjunto S(A) formado por todas lasaplicaciones biyectivas

A→ A, junto con la operación composición de funciones forman un grupo.

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Ejercicio:

Dado un conjunto A, estudiar las propiedades que cumplen las

estructuras

• Conjunto potencia de A y la operación de unión de conjuntos• Conjunto potencia de A y la operación de intersección de

conjuntos

Grupos

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S e m i

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Grupo de Permutaciones

Ejemplo:

Sea A = { f: X => X / f es función biyectiva}

Siendo X = { 1, 2, 3 }

¿Cuáles serán los elementos de este conjunto A?

Observe que son las funciones biyectivas definidas en el conjunto{1,2,3}

Por ejemplo, una función de dicho conjunto podría ser la que

asigna:f(1) = 3 ; f(2) = 1 ; f(3) = 2

¿Cuántas hay en total? 30


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Como la función debe ser biyectiva, los valores 1, 2 y 3 debenaparecer exactamente una vez cada uno como imagen.

Por lo tanto, lo que puede cambiar de una función a otra esúnicamente el orden en que aparecen.

En la función dada en el ejemplo anterior, el orden de lasimágenes es: 3,1,2.

También podría ser de otras formas.

La cantidad de ordenamientos posibles de una ciertacantidad de elementos distintos, se denomina permutación y

se calcula como el factorial de dicho número. En este caso hay tantas funciones como permutaciones de

tres números, es decir P3 = 3! = 6

Sean las seis funciones A = { f1, f2, f3, f4, f5, f6}:31


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S e m i

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Sabiendo de qué se trata el conjunto, considere la operación ○que es la composición de funciones

Hay que analizar si (A ; ○) es un grupo. ¿Recuerda cómo componer funciones?

Por ejemplo, para calcular f2 ○ f3 , significa aplicar primerof3 y a continuación f2.

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Observe que es lo mismo que aplicar directamente la funciónf5 , o sea f2 ○ f3 = f5

De la misma manera se deben hacer todas las composiciones.

Como el conjunto es finito, conviene hacer una tabla:


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Análisis de las propiedades:

1. Es operación binaria y cerrada, pues todos los resultados de lacomposición dieron elementos del mismo conjunto.

2. La operación es asociativa, la composición de funciones engeneral es asociativa.

3. Entonces como este es un subconjunto sigue cumpliendo la

propiedad.En general, para todo x en el Dom:

[f ○ (g ○ h )](x) = f [(g ○ h)(x) ]

= f [ (g ( h(x) )]= ( f ○ g ) [ h(x)]

= [ (f ○ g ) ○ h ](x)


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4. La operación no es conmutativa, pues por ejemplo,

f2 ○ f3 = f5 pero f3 ○ f2 = f4

5. El elemento neutro es la función f1 , que es la función

identidad.6. Los simétricos de los elementos son:

f1’ = f1

f2’ = f2f3’ = f3

f4’ = f5

f5’ = f4

f6’ = f6

Por lo tanto ( A ; ○ ) es un GRUPO y se le llama S3.

Es un grupo NO Abeliano


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Propiedades de los Grupos

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Sea (A ; *) un grupo con neutro e. Entonces siempre se cumplenlas siguientes propiedades:

1. El elemento neutro e es único.

2. El elemento neutro es su propio simétrico: e' = e

3. Propiedad involutiva del simétrico: para todo a en A: (a')' = a

4. El simétrico de un elemento es único.

5. Para todo a, b ϵA: (a * b )' = b' * a'

6. Las ecuaciones a * x = b y x * a = b tienen solución única.

7. El único elemento idempotente es el elemento neutro. Esdecir, si a * a = a => a = e

8. Para todo a, b ϵA: a’= b => b’= a


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Elementos Regulares

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Reconocer los elementos regulares de un semigrupo permitetrabajar de una manera más rápida y agilizar los cálculos.

Definición:

Sea (A,*) un semigrupo con neutro.

El elemento a ϵA es regular a izquierda si y sólo si:

a * x = a * y entonces x = y

El elemento a ϵA es regular a derecha si y sólo si:

x * a = y * a entonces x = y

El elemento a ϵA es regular si es regular a izquierda y a

derecha.

Es decir, los elementos regulares son los cancelables, o sea los quese pueden suprimir al estar operados en ambos miembros de unaigualdad.


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Elementos Regulares

Ejemplo:

En la adición de enteros, todos los elementos son regulares.

Ejemplo:

En la multiplicación de reales, todos excepto el cero son regulares.


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Elementos Regulares

Ejemplo:

Considere la siguiente operación en Q:

x ∆ y = 3 • (x + y)Determinar si todos sus elementos son regulares.

Como es conmutativa, se analiza solo a derecha:

x ∆ a = y ∆ a => 3 • ( x + a) = 3 • ( y + a)=> x + a = y + a

=> x = y

Por lo tanto, los racionales bajo esta operación son todos regulares.


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Elementos Regulares

Propiedad:

En un grupo todos los elementos son regulares.

Demostración:

Como en un grupo, todos los elementos tienen simétrico:

a*x = a * y

=> a’ *a*x = a’ *a* y

=> ( a’ *a ) *x = ( a’ *a ) * y

=> e *x = e * y

=> x = y

Análogamente se prueba a derecha.


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Elementos Regulares

Observaciones:

Por ello, cuando se trabaja en un grupo, directamente sepuede usar la propiedad cancelativa

No hay necesidad de hacer todos los pasos involucrados(operar ambos miembros con el simétrico del elemento,

asociar, obtener el neutro, y por propiedad del neutro llegarla igualdad en la que ya no figura dicho elemento).

Si se trabaja en un semigrupo (que no llega a ser grupo), sepuede cancelar sólo aquellos elementos que tiene simétrico.

I ibl d S i


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Inversibles de un Semigrupo

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Definición:

Sea (A ; *) un semigrupo con neutro.

El conjunto de inversibles de A es:INV(A) ={a ϵA/ a’ ϵ A}

Observación:

O sea, es el conjunto de todos los elementos que tienen simétricoen el conjunto A respecto de la operación *

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Ejemplo:

En ( Z ; • ) , los inversibles son solamente el 1 y el -1, pues losdemás enteros no tienen inverso entero.

Ejemplo:

2) En ( R ; • ) , los inversibles son todos excepto el cero.

Ejemplo:

En el conjunto de matrices cuadradas de nxn con elementos

reales y la multiplicación ( Rnxn ; • ) , los elementos inversiblesson las llamadas matrices inversibles o regulares, es deciraquellas cuyo determinante es distinto de cero.

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Ejemplo:

En ( N0 ; + ) , el único elemento inversible es el cero, ya que los

demás no tienen su opuesto en este conjunto.Ejemplo:

En ( Z5 ; + ) , los inversibles son todos 0, 1, 2, 3 y 4 , o sea todos.

Ejemplo:6) En ( Z6 ; • ) , los inversibles son únicamente 1 y 5

In ersibles de n Semigr po


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Propiedad:

Sea (A ; *) un semigrupo con neutro.

Entonces (INV (A) ; *) es grupo y se le llama Grupo de Inversiblesdel semigrupo (A; *).

Ejemplo:

Con referencia al ejemplo anterior ( Z6 ; • ) , el conjunto {1 ,5 } esgrupo multiplicativo.

Su tabla:

Producto Cartesiano de Grupos


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Definición:

Sean (G1 ; *1) y (G2 ; *2) dos grupos con neutros e1 y e2respectivamente.

En el conjunto G1 X G2 se define la siguiente operación * tal que:

(a,b) * (c,d) = (a *1 c ; b *2 d)

(G1 X G2 ; *) es grupo y se denomina grupo producto.

Ejemplo:

Sean los grupos finitos (G1 ; *1

) y (G2 ; ; *2

) dados por lassiguientes tablas:



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Se va a hallar el producto G1X G2 y definir la operación * demodo que (G1 x G2 ; *) sea grupo.

G1 X G2 = { (0 ; a) , (0 ; b) , (1 ; a) , (1 ; b) , (2 ; a) , (2 ; b) }

La operación * debe tener en cuenta que:

(x , y) * (z , t) = (x *1 z , y ; *2 t)

Por ejemplo:

(1,a) * (2,b) = (1 *1 2, a *2 b)



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Así se completa la tabla:

Sub-Grupo


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Sub-Grupo

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Definición:

Sea (G ; *) un grupo y sea H no ϕ, H subconjunto de G.

Si (H ; *) es grupo entonces H es subgrupo de G.

Observación:

Un subgrupo es un conjunto no vacío, que está incluido en ungrupo, y que en sí mismo es también grupo con la mismaoperación

Ejemplo:

(Z ; +) es un subgrupo del grupo (R ; +), ya que cumple con ladefinición de subgrupo.

Sub-Grupo


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Sub-Grupo

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Ejemplo:

Considere el conjunto P = { x ϵ Z / x = 2 k , k ϵ Z }

Observar que el conjunto P es el de los enteros pares.

Entonces: (P ; +) es subgrupo del grupo (Z ;+), pues cumple lascondiciones:

a. No es vacío ;

b. Está incluido en Z

c. Al sumar números pares, se obtiene siempre un número par, lasuma es asociativa, el elemento neutro de la suma es el cero

que es par, y el opuesto de un número par también es pard. (P ; +) es un grupo en sí mismo.

Sub-Grupo


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Sub Grupo

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Ejemplo:

Si (G ; *) es un grupo con neutro e , entonces ({e} ; *) es el

subgrupo más pequeño que puede tener y se denomina subgrupotrivial de (G ; *)

Ejemplo:

(G ; *) es el subgrupo más grande de (G ; *) y se denominasubgrupo impropio de (G ; *)

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Sub Grupo

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TEOREMA: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE paraSUBGRUPOS

Sea (G ; *) un grupo.H es subgrupo de G, si y solo si:

1. H es no vacío

2. H es subconjunto de G3. Para todo a, b ϵ H => a * b’ ϵ H

Sub-Grupo


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Sub Grupo

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¿Cómo usar la condición suficiente?

Dado un conjunto H y un grupo (G ; * ), si se prueba que H

cumple las tres condiciones numeradas 1, 2 y 3, por este teoremaya se puede afirmar que H es un subgrupo del grupo dado.

¿Cómo usar la condición necesaria?

Dado un conjunto H y un grupo (G ; * ) , si H no cumple conalguna de las 3 condiciones, se puede afirmar que H NO essubgrupo del grupo dado.


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FIN

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