Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sanja Kosanovic

Povijest hrvatske matematike

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematika – informatika

Sanja Kosanovic

Povijest hrvatske matematike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic

Osijek, 2011.

Sadrzaj

1. Uvod 5

2. Stari vijek 7

2.1. Razvoj znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Matematicka znanja Hrvata u staroj domovini . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Matematicka znanja Hrvata u prva dva stoljeca nakon njihova dolaska . 8

2.4. Bitna otkrica vezana uz matematiku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Srednji vijek 11

3.1. Razvoj znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Herman Dalmatin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Matematicka interpretacija arhitekture u 13. stoljecu . . . . . . . . . . 12

3.4. Istaknuti matematicari i njihova djela u srednjem vijeku . . . . . . . . 13

3.4..1 Ivan Cesmicki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4..2 Federick Grisogono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Novi vijek – 16. stoljece 16

4.1. Razvoj znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2. Egzaktne znanosti u skolstvu u Dubrovniku, mletackoj Dalmaciji i ban-

skoj Hrvatskoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3. Hrvatsko matematicko nazivlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4. Franjo Petric (Petrisevic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5. Ivan Ureman i njegov doprinos matematici . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Novi vijek – 17. stoljece 21

5.1. Razvoj znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Matematika u hrvatskim skolama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3. Hrvatsko matematicko nazivlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4. Marin Getaldic - otac hrvatske matematike . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4..1 Biografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4..2 Matematicki doprinosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5. Stjepan Gradic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Prosvjetiteljstvo – 18. stoljece 28

6.1. Razvoj znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2. Hrvatsko matematicko nazivlje u prvoj polovici 18. stoljeca . . . . . . . 29

6.3. Josip Ruder Boskovic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.3..1 Biografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.3..2 Boskovic i matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.4. Matematicki udzbenici na hrvatskom jeziku – Silobodova i Zoriciceva

aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.5. Matija Petar Katancic i njegova hrvatska geometrija . . . . . . . . . . . 36

7. Matematika u 19. i 20. stoljecu 38

7.1. Razvoj znanosti u 19. stoljecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.2. Vatroslav Bertic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3. Matematika u Hrvatskoj nakon 1874. godine . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.3..1 Znacajni hrvatski matematicari do 2. svjetskog rata . . . . . . . 41

7.3..2 Znacajni hrvatski matematicari nakon 2. svjetskog rata . . . . . 43

7.3..3 Danilo Blanusa-zivot i matematicko djelo . . . . . . . . . . . . . 43

7.3..4 Vilim Nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3..5 Zlatko Jankovic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3..6 William Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3..7 Duro Kurepa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. PRILOG 49

8.1. Getaldiceva konstrukcija parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2. Boskovicev izvod Heronove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4

1. Uvod

Kada se proucava uloga znanosti u nekom narodu, nikako se ne smije zanemariti

drustveni i kulturni razvoj tog naroda. Situacija u zemlji koju taj narod nastanjuje

uvelike ima ulogu u razvoju znanosti. Nije vazna samo cinjenica da u nekoj zemlji pos-

toji akademija, vec i to kakve znanstvene stavove njezini clanovi zastupaju, nije vazno

samo da postoji neka skola, nego kakve se znanstvene ideje promicu u toj skoli. Kako

je znanost tek dio kulture, a upravo o njoj u nekom drustvu zelimo vise znati, uvodi

se pojam znanstvene sredine. U vezi s tim pojmom postavljaju se pitanja mogucnosti

znanstvenog stvaralastva, te mogucnosti prihvacanja znanstvenih ideja iz drugih ze-

malja. Razmjenjivanjem znanstvenih rezultata, dolazi do otkrivanja novih.

Pojedini znanstvenici, koji su potekli iz neke zemlje, ne moraju sudjelovati u znan-

stvenoj sredini koja joj pripada, jer mogu raditi i u stranim znanstvenim sredistima

(kao, primjerice, Getaldic i Boskovic). Prirodno se namece pitanje: Na koji se nacin

znanstveni doprinos pojedinca moze uklopiti u kulturnu povijest jednog naroda? Znan-

stvena proslost nekog naroda, osim znanstvene sredine, obuhvaca i znanstveni doprinos

tog naroda (oba pojma se djelomicno podudaraju, a sto je zajednicki dio veci, to je

znanstvena sredina jaca). Mnogi znanstvenici tijekom povijesti napustali su svoju

zemlju i sudjelovali u znanstvenim sredinama drugih zemalja. Znanost je univerzalna

i upravo zbog toga za nju ne postoje nacionalne granice. Istrazivaci uvijek idu u

one znanstvene sredine koje im mogu osigurati znanstveno – istrazivacki rad. Upravo

promatranje znanstvenih migracija moze dati zanimljive odgovore o znanstvenim sre-

dinama ([3]).

Na odabir teme Povijest hrvatske matematike odlucila sam se prvenstveno zbog

znatizelje – na koji nacin i koliko su hrvatski znanstvenici pridonijeli razvoju matem-

atike, te do kojih znacajnih otkrica su dosli. U radu su prikazane glavne ideje i rezul-

tati hrvatskih matematicara, koji su imali presudnu ulogu u razvoju matematike. Do

mnogih rezultata u matematici doslo se zbog potrebe za rjesavanjem odredenih prob-

lema u astronomiji. Promjene shvacanja u matematici kroz povijest, kako u svijetu,

pa tako i kod nas, ovisile su o odnosu platonizma i aristotelizma. Tako su u jednom

razdoblju matematicke ideje blize platonizmu, a u drugome blize aristotelizmu ([2]).

Kroz sest poglavlja ovog rada, iznesena je kratka povijest hrvatske matematike.

Svako poglavlje predstavlja odredeno povijesno razdoblje, poredano u kronoloskom re-

doslijedu. U svakom od razdoblja najprije se navode najbitnija otkrica u hrvatskoj

znanosti i najplodonosniji hrvatski znanstvenici, koji su djelovali u Hrvatskoj ili izvan

njenih granica, a zatim se ulazi u matematicku problematiku. Posto je ova tema vise

gledana s povijesnog aspekta, na kraju rada nalazi se prilog u kojem sam obradila

dva matematicka problema: Getaldicevu konstrukciju parabole i Boskovicev izvod

Heronove formule.

Prvo poglavlje obuhvaca razdoblje starog vijeka. Znanja koja se tada javljaju

5

empirijske su prirode, dok se matematika ocituje u geometrijskim oblicima koji se

nalaze na predmetima iz tog doba. Suncani satovi, sestar i utezi bitna su otkrica za

matematiku. U drugom poglavlju obradeno je razdoblje srednjeg vijeka. U tom raz-

doblju na prostoru Hrvatske pocinju se prevoditi tekstovi starogrckih matematicara.

Herman Dalmatin, Ivan Cesmicki i Federick Grisogono najpoznatiji su matematicari

srednjeg vijeka. Iz gradevina koje poticu iz tog doba, vidljivo je da su se u grad-

nji postivali geometrijski razmjeri i zakonitosti. U 16. stoljecu novog vijeka (trece

poglavlje) u pojedinim dijelovima Hrvatske osnivaju se skole, ustrojene po principu

trivij – kvadrivij. U matematici se izucavaju geometrija i aritmetika. Matematici do-

prinose Franjo Petric i Ivan Ureman. U cetvrtom poglavlju (17. stoljece) obrazlaze

se kako se u skolama uci matematika i do kojih je promjena u skolstvu doslo. U

ovom poglavlju iznesena je biografija i matematicki doprinosi oca hrvatske matema-

tike – Marina Getaldica, te Stjepana Gradica, primijenjenog matematicara (bavio se

matematickom fizikom). U petom poglavlju, koje se bavi razdobljem prosvjetiteljstva,

dana je biografija i matematicki doprinosi najznacajnijeg znanstvenika u Hrvata Josipa

Rudera Boskovica. Prvi matematicki udzbenici pisani na hrvatskom jeziku su Arith-

metika Horvatska (Silobod) i Aritmetika u slavni jezik Illiricki (Zoricic). U ovom

poglavlju spomenut je i rad Matije Petra Katancica, koji se bavio geometrijom. Posljed-

nje poglavlje bavi se razvojem matematike u 19. i 20. stoljecu. Poglavlje je podijeljeno

na dva dijela: razdoblje do drugog svjetskog rata i nakon njega. Do drugog svjetskog

rata, na podrucju matematike znacajne rezultate ostvaruju V. Varicak, J. Majcen, S.

Bohnicek, Z. Markovic i R.Cesarec, a nakon njega D.Blanusa, V. Nice, Z. Jankovic, W.

Feller i D. Kurepa.

6

2. Stari vijek

2.1. Razvoj znanosti

U starom vijeku Hrvati nisu bili na teritoriju svoje kasnije domovine. U tom raz-

doblju usvojili su mnoga znanja koja su zatekli na prostoru koji ce poslije biti hrvatski

etnicki prostor.

Na teritoriju rimskog carstva nije bilo znanstvenog napredovanja kao na grckom,

pa se ni na prostorima kasnijega hrvatskoga etnickog prostora ne moze govoriti o

znanstvenim dogadanjima. Ipak, u ovom razdoblju koristena su empirijska znanja koja

su se uporabljivala u zivotu, osobito u graditeljstvu. Uglavnom su se izradivali predmeti

koji su se koristili u svakodnevnom zivotu, te u tehnickim i ljekarnickim primjenama.

Iz rimskog razoblja sacuvalo se vise sprava za mjerenje vremena, tezina, obujma i udal-

jenosti, te miljokazi koji su bili postavljeni uz ceste. Takoder su izumljeni kameni

suncani satovi i male vage koje su sluzile u svakodnevnom zivotu pri prodaji pojedinih

roba ili u ljekarnicke svrhe. Od tehnickih dostignuca valja istaknuti ona u podrucju

graditeljstva, primjerice vodovode.

Sve sto je spomenuto samo su primjene, pa se ne moze govoriti o znanstvenom radu.

Ipak, sve te primjene i uporaba pojedinih predmeta u svakodnevnom zivotu uvelike su

pridonijele kasnijem razvoju znanosti([22]).

2.2. Matematicka znanja Hrvata u staroj domovini

Kako bi se dobila potpuna slika prirodoznanstvene i matematicke kulture jednog nar-

oda potrebno je proucavati i traziti znanja koja je posjedovao u najstarijem razdoblju

njegova postojanja.

Posto u starom vijeku ne postoje nikakvi pisani dokumenti koji bi svjedocili o

znanjima Hrvata, rekonstrukcija se pravi pomocu drugih vrsta izvora. U prvom redu

to je etimolosko istrazivanje rijeci jezika uz komparativno istrazivanje naziva u drugim

slavenskim jezicima. Na temelju tih istrazivanja moze se zakljuciti da su stari Slaveni,

a ujedno i stari Hrvati imali siroka znanja o pojedinim prirodnim pojavama i poprilicna

matematicka znanja.

Mjera za vrijeme bio je mjesecev ciklus. Stari Slaveni upotrebljavali su i mjeru za

duzinu na slican nacin kao i svi stari narodi. Za to su koristili dijelove covjecjeg tijela

(korak, lakat, razmak ruku). Mjerenje i kalendar upucuju na to da su stari Slaveni znali

dobro racunati. Upravo iz razloga sto je nemoguce izvrsiti bilo kakve razdiobe dana

u kalendaru bez poznavanja racunanja. Takoder i sveslavenski naziv za broj koji se i

danas u obliku cislo javlja u mnogim slavenskim jezicima, upucuje na znanje racunanja

i poimanja pojma broja.

U ovom razdoblju Slaveni su poznavali pojedine geometrijske oblike, pojmove i

odnose. Na to upucuju ornamenti na kostima koji potjecu iz vrlo starog doba. Analiza

7

tih ornamenata daje predodzbu kako su ljudi vrlo davno poznavali pojmove geometri-

jskih oblika (odsjecak pravca, tocka, trokut, kvadrat), pojam kuta i priklona, simetrije,

kolicine, pa cak i racuna([20]).

2.3. Matematicka znanja Hrvata u prva dva stoljeca nakonnjihova dolaska

Susret Hrvata s antickom i ranosrednjovjekovnom znanoscu zapadne Europe, posebno

na podrucjima koja su naselili, vec na samom pocetku imao je veliko znacenje za cijeli

daljnji znanstveni razvoj hrvatskog naroda. Za razvoj znanosti u Hrvata bilo je vazno

postojanje znanstvenih stajalista u Italiji.

Od velikog znacenja su posude za sol izradene od jelenjeg roga koje su ukrasene

religioznim prikazom samanistickog rituala. U sarama se jasno ocituju ideje ritma koji

se iskazuje pravilnim ustrojstvom ornamenata, te ideje mjerenja koje pokazuju jednaki

razmaci medu crticama, zatim ideja kuta i priklona koji je jednak medu crticama, ideje

simetrije, kruznice, pravokutnika i drugih, tada poznatih, likova.

Posude za sol koje su pronadene kod Knina imaju ponesto drugacije znacajke. U

njihovoj geometrijskoj ornamentici vazna je mreza grubo skiciranih cetverokuta. U tim

cetverokutima mogu se prepoznati ideje romba i deltoida. Na tom ornamentu mnogo

su vaznije dvije koncentricne kruznice koje su iscrtane na pribliznim sjecistima stran-

ica cetverokuta i na donjem i gornjem dijelu posude. Oznaceno zajednicko srediste tih

kruznica pokazuje da je tu rijec o jednostavnoj konstrukciji i o znanju da je svaka tocka

kruznice jednako udaljena od njezina sredista. Hrvati su na taj nacin u novu domovinu

donijeli prvu ideju geometrijske konstrukcije.

To znanje je olaksalo prihvacanje teorijskih geometrijskih znanja koja su vec imali

starosjedioci. Hrvati su ubrzo i sami ovladali teorijskim geometrijskim znanjem, sto se

dobro vidi na mnogim starohrvatskim plutejima 1. Na njima se jasno moze prepozati ge-

ometrijska konstrukcija iza koje stoji i apstraktno teorijsko geometrijsko znanje. Motivi

na pojedinim hrvatskim plutejima izvode se iz sustava dijagonala, okomitih i vodor-

avnih podjela polja te kombinacija s kruznicama ([20]).

Dolaskom u novu domovinu hrvatska matematicka znanja znatno su se prosirila i

dopunila razlicitim utjecajima.

2.4. Bitna otkrica vezana uz matematiku

U starom vijeku izradivani su predmeti koje su Slaveni, kasnije i Hrvati, koristili u

svakodnevnom zivotu, za tehnicke i ljekarnicke potrebe. Za izradu nekolicine predmeta

koristena su matematicka znanja. Najbitnija otkrica na podrucju matematike bila su

suncani satovi, sestar i utezi.

1umjetnicki izradena i ukrasena pregrada

8

• Suncani sat Eudoksova tipa

Suncani sat Eudoksova tipa pronaden je kod Solina, a potjece iz doba antike. Danas se

nalazi u Arheoloskom muzeju u Splitu. Oblika je kamene polukugle, otvorene prema

jugu. U ”zenitu” ima mali otvor kroz koji prolaze Sunceve zrake i na osnovici stvaraju

svijetli kruzic.

• Suncani sat Berosova tipa

Kao i suncani sat Eudoksovog tipa, suncani sat Berosova tipa pronaden je u okolici

Solina i potjece iz doba antike. Od ovog suncanog sata sacuvan je samo ulomak. Zan-

imljiv je po tome sto uz cijele sate ima oznacene i polusate, sto je bilo neobicno za

anticko doba.

• Suncani sat

Suncani sat pronaden je u okolici Josipdola, a napravljen je u 2. stoljecu. To je us-

pravni suncani sat, ciji je temeljni krug udubljen u kameni blok. Kao i drugi rimski

satovi, mjeri promjenljive satove cija duzina ovisi o godisnjem dobu. Buduci je dnevni

sat iznosio 1/12 dana (obdanice), a nocni 1/12 noci, broj sati danju uvijek je jednak,

pa su ljeti ti satovi bili duzi, a zimi kraci.

• Sestar

Najvaznije otkrice vezano uz matematiku svakako je sestar. Prvi takav pronaden je

u Sisku, a potjece iz vremena 2.- 4. stoljeca. Napravljen je od bronce, a pronaden je

1912.godine. Bio je dug 20 cm, s regulatorom za razmicanje krakova na vrhu. Ukrasen

je ornamentima s vanjske strane i natpisom na unutrasnjoj strani jednoga kraka: QV-

INTINE VIVAS. Sluzio je u geometrijskim konstrukcijama podloga za izradu slozenijih

ornamenata i simbola. Iako je nastao u vremenu od 2. do 4. stoljeca, dakle, prije dolaska

Hrvata, upucuje na ono sto su Hrvati zatekli na tim prostorima po svom doseljenju i

postupno usvojili, a sto se ocituje u izradi kasnijih, geometrijski sve slozenijih motiva,

nastalih nakon 7. stoljeca.

• Utezi

Osim sto su Hrvati poznavali mjeru za vrijeme i duzinu, poznavali su i mjeru za tezinu.

Tako su nastali utezi. Prvi utezi pronadeni na nasem prostoru potjecu iz stare antike, a

izradivani su od bronce. U razmjeni raznovrsnih predmeta ljudi su ubrzo bili prisiljeni

mjeriti i usporedivati mase (i volumene) pojedinih predmeta, osobito onih koje nisu

9

mogli razmjenjivati po komadu. Sustav mjera ima svoje izvoriste u rimskim mjerama,

gdje se 1 as (as libralis ili ibra) dijelio na 12 uncija i bio tezak 327 grama. Utezi

su se najcesce koristili u ljekarnistvu. Rimski sustav mjera zadrzao se u hrvatskom

ljekarnistvu sve do uvodenja metrickog sustava u 19. stoljecu ([22]).

10

3. Srednji vijek

3.1. Razvoj znanosti

U doba ranog srednjeg vijeka, kao i tijekom prvih stoljeca zivota Hrvata na prostoru

koji ce poslije biti hrvatski etnicki prostor, znanja koja su Hrvati posjedovali bila su

empirijske prirode i odnosila su se na prakticna pitanja. Od empirijskih znanja mogu

se istaknuti ona koja su koristena pri gradnji starohrvatskih crkvica i brodova, ciji su

ostaci sacuvani. Tek u 12. stoljecu dolazi do ukljucivanja Hrvata u znanstvene tijekove

zapadne Europe. Prvi znanstvenik roden na hrvatskom etnickom prostoru bio je Her-

man Dalmatin. Djelovao je u prvoj polovici 12. stoljeca u Spanjolskoj i Francuskoj te

je doprinio razvoju svjetske znanosti.

Na hrvatskom etnickom prostoru pocevsi od 13. stoljeca mogu se zapaziti odrazi

znanstvenih zbivanja u zapadnoj Europi. Iz tog razdoblja bitan je tekst Secretum

philosophorum u kojem se obraduje sedam slobodnih umijeca2. Posto je nastao u En-

gleskoj, svjedoci o tadasnjim vezama Hrvatske i Engleske.

Na hrvatskom etnickom prostoru u razvijenom srednjem vijeku vec je bilo ustro-

jeno skolstvo u sklopu samostana, najprije benediktinskih, zatim franjevackih i do-

minikanskih. Znacajnu ulogu u srednjem vijeku imale su katedralne skole. Iz tog

razdoblja sacuvani su brojni tekstovi vezani uz prirodnu filozofiju, astronomiju, fiziku,

ljekarnistvo i druge znanosti.

Tijekom srednjeg vijeka Hrvati su studirali i djelovali u mnogim stranim sredistima.

Najcesce su odlazili studirati na prasko i becko sveuciliste te u Italiju na talijanska

sveucilista. Neki od njih ostajali su predavati na spomenutim sveucilistima. Posebno

treba istaknuti Dominika Dubrovcanina, predavaca na Bologni i Sieni, koji je napisao

znacajna medicinska djela. Krug Ivana Viteza od Sredne u Madarskoj imao je osobitu

ulogu, jer je to bilo jedno od najvaznijih kulturnih i znanstvenih sredista u tom dijelu

Europe. Vitez je okupio mnogo poznatih znanstvenika iz raznih europskih zemalja

stvorivsi na taj nacin temelj za ozbiljna istrazivanja. U tom krugu bilo je i Hrvata,

a medu njima valja istaknuti hrvatskog pjesnika Ivana Cesmickog koji je pokazivao

zanimanje za astronomiju i astrologiju.

Tijekom posljednja dva stoljeca razvijenoga srednjeg vijeka postojala su i na hr-

vatskom tlu mnoga znanstvena nastojanja. Najznacajniji doprinos znanosti u tom

razdoblju dao je Zadranin Federick Grisogono. Iako je po struci bio lijecnik, doprinosi

razvoju ostalih znanosti, osobito matematici.

Hrvati su vec u srednjem vijeku bili dio zapadnoeuropske kulture i civilizacije. Sve

vise su se ukljucivali u razvoj znanosti u zapadnoj Europi, a na svom etnickom prostoru

stvarali su temelje za znanstveno djelovanje ([22]).

2gramatika, retorika, dijalektika, aritmetika, geometrija, astronomija i glazba

11

3.2. Herman Dalmatin

Herman Dalmatin3 hrvatski je znanstvenik, filozof i prevoditelj. Njegovi najbitniji

doprinosi u matematici vezani su uz prijevode tekstova i knjiga starogrckih matemati-

cara. Takoder znatno doprinosi daljnjem razvoju europske znanosti.

Roden je pocetkom 12. stoljeca u sredisnjoj Istri. Smatra se da je skolovanje za-

poceo u nekoj benediktinskoj samostanskoj skoli u Istri, a nastavio u Chartresu i

Parizu. Nakon studija putuje na arapski Istok, gdje se upoznaje sa tadasnjom ara-

pskom znanoscu. Oko 1138. godine Herman se vraca u Europu i djeluje u Spanjolskoj

i Francuskoj. Prevodi s arapskog na latinski izvorna arapska djela i arapske prijevode

starogrckih znanstvenih djela, ali osim toga pise izvorne radove na temelju indijskih i

arapskih. Po svom utjecaju na razvoj znanosti u Europi posebno se isticu Hermanovi

prijevodi Abu Ma’sharova Uvoda u astronomiju, Ptolomejeve Planisfere i Hermanova

revizija prijevoda Euklidovih Elemenata koje je nacinio Adelard iz Batha.

Na prijevod Euklidovih Elemenata odlucuje se iz razloga sto su mu bili potrebni

za provodenje nekih astronomskih dokaza. Prijevod Ptolomejeve Planisfere na latinski

jezik imao je posebno znacenje zbog toga sto je omogucio da se putem njega zapadna

Europa upozna s tim djelom. Ono sadrzi stereografske projekcije nebeske sfere na

ravninu, pa je posluzilo kao teorijska podloga za konstrukciju astrolaba4 na latinskom

zapadu tijekom srednjeg vijeka. Za Hermanov prijevod Ptolomejevog djela dugo se

vjerovalo da je jedini nacin na koji je to djelo sacuvano. Nesto kasnije pronaden je

drugi primjerak prijevoda na arapskom jeziku ([22]).

U svom najznacajnijem djelu De essentiis5 (1143.) iznosi vlastiti prirodofilozofski i

prirodoznanstveni sustav spajajuci zapadnoeuropsku i arapsku tradiciju. Tim djelom

Herman uvodi nove ideje za pristup znanosti, te se iz tog razloga svrstava medu najis-

taknutije znanstvenike 12. stoljeca.

3.3. Matematicka interpretacija arhitekture u 13. stoljecu

U 13. stoljecu u izgradnji gradevina uvelike se koriste matematicka znanja iz ge-

ometrije. Analizirajuci starohrvatske crkvice pokazano je da su se u njihovoj gradnji

postovale odredene astronomske znacajke, geometrijski razmjeri i zakonitosti koji su

se temeljili na Vitruvijevu djelu o arhitekturi. Postupak postavljanja matematickih

odnosa u temelj strukture gradevina bio je motiviran platonistickim poimanjem lje-

pote.

Povjesnicar Ivo Babic uocio je i pokazao da je majstor Radovan primijenio mate-

maticku strukturu u izradi lunete na portalu trogirske katedrale. Odmah nakon toga

Mladen Pejakovic utvrdio je da je cijela trogirska katedrala gradena prema matemati-

3U literaturi cesto se navode latinizirani oblici njegova imena: Hermanus Dalmata, HermannusSclavus, Hermannus Secundus.

4nekadasnja sprava za mjerenje visine Sunca i zvijezda5O bitima

12

ckim nacelima.

Smatra se da je Radovan boraveci u Italiji i Francuskoj upoznao matematiku,

posebno geometrijske razmjere i njihovu primjenu u arhitekturi, portalima i relje-

fima. Za izradu lunete na portalu trogirske katedrale koristio se zlatnim rezom, te

u matematickoj konstrukciji brojem i njegovom reciprocnom vrijednosti.

Slika 1. Majstor Radovan: ”Rodenje”,luneta portala Trogirske katedrale,oko 1240.

Sto se tice trogirske katedrale, Pejakovic je pokazao da procelje zajedno sa zvonikom

ima svoju matematicku strukturu u kojoj dominira zlatni rez. Takoder uocava da je

os katedrale postavljena u smjeru istok- zapad te tako, osim geometrijske, pokazuje i

astronomsku orijentaciju ([20]).

3.4. Istaknuti matematicari i njihova djela u srednjem vijeku

Tijekom srednjeg vijeka djeluje vise istaknutih znanstvenika hrvatskog te neki stranog

podrijetla, ciji je rad bio vezan uz hrvatska podrucja. Svojim djelovanjem u zemlji i

izvan nje zauzimali su vazne pozicije u znanstvenim i kulturnim krugovima tadasnje

Europe ([20]). Najznacajniji matematicari tog doba svakako su bili Ivan Cesmicki i

Federick Grisogono.

3.4..1 Ivan Cesmicki

Ivan Cesmicki6 roden je 1434. u Cesmici pokraj Cazme, a umire 1472. u Medved-

gradu. Bio je hrvatski humanist i pjesnik biskup u Pecuhu, necak Ivana Viteza.

Slika 2. Ivan Cesmicki

6U literaturi poznat je po svom latiniziranom imenu Janus Panonius.

13

Studirao je u Rimu, gdje je usvojio neka neoplatonisticka gledista. Iako je u Rim

otisao kako bi se skolovao, Ivan Vitez dao mu je zadatak da pronade profesore koji

bi djelovali u krugu Ivana Viteza. Tako Cesmicki dolazi do istaknutih znanstvenika

kao sto su Regiomontanus i Marcin Bylica. Iako se prvenstveno bavio pjesnistvom,

objavio je za matematiku znacajno djelo De corporibus mathematici7 nastalo sredinom

15. stoljeca. Ovo djelo pisano je pod utjecajem Euklida, ali i Platona. Cesmicki u toj

elegiji govori o matematickim pojmovima kao sto su tocka, crta, povrsina, tijelo i kut.

Moglo bi se reci da je ta elegija mala rasprava pisana u stihovima, jer se u njoj jasno

opisuju matematicki pojmovi koji su njezin glavni sadrzaj ([22],[26]).

3.4..2 Federick Grisogono

Federick Grisogono jedan je od najvaznijih znanstvenika posljednjih godina sred-

njovjekovlja. Roden je u Zadru 1472. godine, gdje i umire 1538. Doktorat filozofije i

matematike brani na Sveucilistu u Padovi 1507., gdje ostaje kao profesor matematike

i astronomije. Osim matematike, zanimala ga je medicina, astronomija, astrologija i

filozofija. Kao matematicar – filozof bio je inspiriran antickom matematikom i njenom

filozofijom. Grisogono prihvaca Platonovu filozofiju te na njoj gradi svoja filozofska

stajalista, kao i na filozofiji Pitagore. Zastupao je stajaliste o matematici kao znanosti

koja obuhvaca sve prirodne znanosti. Za Grisogona je broj temelj svih odnosa u svi-

jetu, a Bog je sve u svijetu stvorio na temelju brojeva ([20],[26]).

Slika 3. Naslovnica Speculum astronomicum

1507. godine objavljuje svoje prvo i najvaznije djelo pod nazivom Speculum astro-

nomicum terminans intellectum humanum in omni scientia8. Na pocetku knjige ob-

javljeno je pohvalno pismo padovanskog studenta Marcantonija Contarinija, u kojem

7O matematickim tijelima8Astronomsko zrcalo kojim se ljudski um uvodi u svako znanje

14

navodi filozofska pitanja o kojima je Grisogono predavao. Nakon pisma slijedi Griso-

gonovo javno predavanje u kojem opisuje vaznost pojedinih znanosti u nastavi. U djelu

su zatim sustavno obradena cetiri predmeta kvadrivija: geometrija, aritmetika, as-

tronomija i glazba. Najvaznije i najzanimljivije poglavlje Grisogonova djela posveceno

je usporednim pravcima. To poglavlje predstavlja njegove komentare Euklidovih Ele-

menata, medu kojima se osobito istice kritika definicije tocke i kritika definicije uspored-

nica. Za Euklidovu definiciju tocke, kao ono sto nema dijelova, kaze da je negativna,

dok je tocka nesto pozitivno. Grisogono je naslucivao da neki pojmovi (konkretno

tocka) moraju ostati nedefinirani. Ocito je da je Grisogono drugacije promisljao nego

njegovi suvremenici koji su pokusavali dokazati peti Euklidov postulat pomocu pre-

ostalih postulata ili kako je on neovisan o njima ([22]).

15

4. Novi vijek – 16. stoljece

4.1. Razvoj znanosti

Vec su se u srednjem vijeku u hrvatskim krajevima pocela formirati kulturna sredista

u kojima se razvijala i ucila prirodna filozofija i prirodne znanosti. U tom razdoblju

postoje brojni hrvatski filozofi i znanstvenici koji djeluju u stranim zemljama. U 16.

stoljecu razvoj znanosti se nastavlja i moze se razluciti znanstvena situacija u hrvatskim

krajevima, kao i djelovanje nasih znanstvenika u stranim zemljama ciji je doprinos u

ovo doba bio znatno veci nego u srednjem vijeku.

Tijekom 16. stoljeca u Dubrovniku se javljaju dva vazna kruga u kojima su se oku-

pljali tadasnji filozofi i znanstvenici. Prvi je bio krug dubrovackog knjizevnika Nikole

Naljeskovica, a drugi krug Nikole Gucetica. Nikola Naljeskovic (1500.-1587.) napisao

je astronomsko djelo O sferi na talijanskom jeziku, koje je bilo geocentricnog usm-

jerenja, ali je imalo prakticnu vrijednost, osobito u pomorstvu – rjesavanje problema

plovidbe na Atlantiku, gdje se ne vidi kopno, orjentacijom pomocu zvijezda i to prema

prividnom polozaju na nebu. U krugu Nikole Gucetica okupljalo se vise istaknutih

filozofa i znanstvenika. Taj je krug u filozofskom pogledu slijedio Platonovu filozofiju,

ali je bilo i zastupanja aristotelovskih gledista. U ovom razdoblju razvija se i medicina,

pogotovo u podrucju Dubrovnika. Veci broj rukopisa iz medicine i farmacije ukazuje

na razvoj tih disciplina na hrvatskom tlu.

Sredinom 16. stoljeca djelovao je i dubrovacki pomorac Nikola Sagroevic (1500.-

1573.), koji je na svojim putovanjima motrio plimu i oseku mora, pa je o tome napisao

dva djela koja su imala veliku ulogu u znanstvenom svijetu. Najveci znanstvenik

ovog doba bio je Franjo Petric, koji je pretezno djelovao u Italiji i ondje predavao na

sveucilistima u Ferrari i Rimu. Njegova platonisticka filozofija utjecala je na preobrazbu

prirodofilozofskih gledista njegova doba i na promjene u znanstvenim shvacanjima,

posebno u astronomskim koncepcijama ([22], [26]).

4.2. Egzaktne znanosti u skolstvu u Dubrovniku, mletackojDalmaciji i banskoj Hrvatskoj

Nikola Vitov Gucetic (1549. – 1610.) u svom djelu Governo della famiglia9 opisuje

kako bi trebalo biti ustrojeno skolstvo. Temelj skolstva postaje sustav trivij-kvadrivij10,

koji bi trebao ciniti temelj skolstva.

Gucetic iznosi sto treba izucavati u tim disciplinama. Sto se tice matematickih dis-

ciplina, u geometriji treba izucavati neprekidne velicine i sve vrste likova, a u aritmetici

brojeve, njihove razmjere i svojstva. Smatra da geometrija i aritmetika upravljaju svim

covjekovim radnjama i zbog toga moraju biti dobro zastupljene u skolskom sustavu.

9Upravljanje obitelji, izislo u Veneciji 1589.godine10Poznatiji pod nazivom 7 artes liberales(7 slobodnih umijeca): aritmetika, geometrija, astronomija,

glazba (kvadrivium), gramatika, retorika i dijalektika (trivium).

16

Osim redovnickih ucilista, u Hrvatskoj su postojale i druge skole, ponekad u or-

ganizaciji svjetovnih vlasti. U skoli na Rabu u prvom razredu skolovanja 1570. su se

ucile osnove aritmetike. U Dubrovniku je takoder postojala takva osnovna skola koju je

uzdrzavao dubrovacki senat. U toj skoli nije se posvecivala dovoljna paznja matematici,

jer su stalni nastavnici matematike postavljeni mnogo kasnije nego nastavnici drugih

predmeta i to tek u drugoj polovini 16. stoljeca. Stalni nastavnici nazivali su se abakisti,

a poducavali su temeljne racunske operacije i racune, koji su imali svoju primjenu u tr-

govini (primjerice, pravilo trojno, racun smjese, ...). Kao nastavnik abaka od 1575. do

1577. radio je Andrija Francuz, a od 1577. Nikola Matijin. 1596. u skoli u Dubrovniku

ukinuto je mjesto matematicara, jer Republika dolazi u financijske poteskoce.

Iako postoji malo podataka o skolstvu u Hrvatskoj tijekom 16. stoljeca, sigurno

je da je kolicina matematickih znanja u skolama koje su uzdrzavale opcine i drzavne

vlasti bila mala i elementarna ([20]).

4.3. Hrvatsko matematicko nazivlje

U 16. stoljecu hrvatski znanstvenici i filozofi svoja djela pisali su na latinskom jeziku,

kao sto su radili i drugi europski znanstvenici. Ne postoji niti jedno znanstveno djelo

koje je napisano hrvatskim jezikom.

Krajem 16. stoljeca Faust Vrancic11 je u Veneciji objavio Rjecnik pet najuglednijih

europskih jezika. To je bio prvi rjecnik na hrvatskom jeziku i kao takav imao je veliko

znacenje za matematicko i prirodoznanstveno nazivlje. Medutim, u njemu mozemo

pronaci samo nazive koji su vec bili u puckoj upotrebi. Iako u njemu nema naziva kao

sto su aritmetika, geometrija i astronomija, postoji mnogo matematickih naziva.

Najznacajniji su nazivi brojeva, koji potjecu iz praslavenskog. Javljaju se sljedeci

izrazi: numerus (broj), unus (jedan), duo (dva), tres (tri) itd. U Vrancicevom rjecniku

postoje i drugi matematicki nazivi koji su u zivotu imali siroku upotrebu, a u matem-

atici mogu dobiti uzi strucni smisao. Ovdje se pojavljuju, primjerice, nazivi angulus

za kut, arcus za luk, aequaliter za jednako, magnitudo za velicinu, multiplicare za

pomnoziti, partitio za dijeljenje, numerare za brojanje itd.

Slicno znacenje imaju nazivi u vezi s mjerenjem: metiri-miriti (mjeriti), mensor

– mirac (mjerac), statera – mirila (mjerila), mensura – mira (mjera), latus – sirok,

longus – dug, magnus – velik ([20]).

11Faust Vrancic (1551. - 1617.) najvazniji je konstruktor i tehnicki pisac u Hrvata na prijelazu iz16. u 17. stoljece.

17

4.4. Franjo Petric (Petrisevic)

Franjo (Frane) Petric12 rodio se 25.4.1529. na otoku Cresu u obitelji plemica, a

umro u Rimu u bratovstini svetog Jeronima 7.2.1597.godine. Smatra se jednim od

najvecih hrvatskih znanstvenika, renesansni filozof, polihistor, erudit i posljednji veliki

predstavnik neoplatonisticke skole u Italiji. Studirao je ekonomiju u Veneciji, zatim se

skolovao u Ingolstadtu (pod pokroviteljstvom svog rodaka Matije Vlacica Ilirika), te je

konacno otisao na studij medicine i filozofije u Padovi. Tijekom zivota boravio je na

Cipru i u Spanjolskoj, te je bio profesor filozofije u Ferrari ([20], [26]).

Slika 4. Franjo Petric

Bio je matematicar, astronom, filozof i prvi profesor platonisticke filozofije u Rimu.

Nakon 1577. godine nastupa njegovo najplodnije razdoblje, u kojem nastaje vecina

njegovih djela. U tom razdoblju postize veliki ugled i postaje clan vise talijanskih

akademija.

Petric je bio jedan od najradikalnijih protivnika Aristotela. Odbacio je njegovu

cjelokupnu prirodnu filozofiju, prvenstveno postojanje cetiri elemenata, jedinstvo pros-

tora i tvari i prvi pokretac kao uzrok svih gibanja.

Sto Petric smatra matematikom, od velike je vaznosti za njegovu matematicku filo-

zofiju. Na ta pitanja on se osvrce u svom djelu Discussionum peripateticarum Tomi

IV 13 objavljenom 1581. godine u Baselu. To djelo kritika je Aristotelove filozofije i u

njemu se Petric bavi pitanjem sto je matematika i rjesava problem polozaja matematike

u opcoj klasifikaciji znanosti i filozofije. Istice da matematika nije filozofska znanost,

jer njezin predmet, brojevi, nisu prave i odvojene ideje, nego imaju neku osrednju opo-

jnost. Mnogo je jasnije to pokazao poslije u djelu Della nuova geometria14 objavljenom

1587. u Ferrari. U tom djelu stvara geometrijski sustav u kojem je prostor fundamen-

talni pojam. Od prostora kao nedefiniranog pojma, Petric izvodi geometrijske pojmove

i njihove definicije. Smatra da je prostor subjekt matematike. Ovdje se pronalaze prvi

nedefinirani geometrijski pojmovi, potrebni u izgradnji logickog sustava, sto se kod

Euklida tek moze naslucivati, a matematicka filozofija na kojoj se djelo temelji utjecala

12U literaturi se pojavljuju inacice njegovog imena: Franciscus Patricius i Francesco Patrizi.13Cetiri sveska peripateticnih rasprava14O novoj geometriji

18

je na najvece znanstvenike Petriceva doba i kasnijih razdoblja.

Njegovo najbitnije djelo bilo je Nova de universis philosophia15 objavljeno u Fer-

rari 1591.godine. Pisuci u duhu neoplatonisticke renesansne filozofije Petric uspijeva

istovremeno biti originalan, preobrazavajuci preuzete ideje u novi teorijski oblik i

dajuci im znacenje u skladu s vremenom u kojem je stvarao. Posebnu pozornost ovdje

posvecuje matematickim pojmovima neprekinutosti i beskonacnosti, koji su imali os-

novnu ulogu u njegovoj matematickoj filozofiji.

Petric ne prihvaca da je matematika apstrakcija nastala iz realnog svijeta. Matem-

atika je za Petrica odvojena od realnog svijeta, moze postojati samostalno i odvojeno

od realnog svijeta. On smatra da matematika odreduje zakonitost realnog svijeta.

Petric medu svim pretpostavkama istice: Geometrija promatra tocku, crtu, kut,

povrsinu i tijelo. Za svaki prostor pretpostavlja da je minimalan, maksimalan ili sred-

nji. Konacno pretpostavlja da je svaki prostor dug, dug i sirok ili dug, sirok i dubok.

Kao sto je vec navedeno, u njegovom djelu O novoj geometriji, prostor mu je prvi

nedefinirani pojam. On definira tocku kao minimum u prostoru. Ta definicija utvrduje

da tocka nije dio prostora, nego je samo u prostoru. Aksiomi se kod Petrica bitno

razlikuju od Euklidovih. Odnose se na raspored, cjelinu i dijelove.

Petriceva matematicka i prirodna filozofija imale su vaznu ulogu u razvoju znanosti.

Zbog toga je mjesto Franje Petrica u znanosti daleko izvan okvira hrvatskih prostora

([20]).

4.5. Ivan Ureman i njegov doprinos matematici

Ivan Ureman roden je 1583. u Splitu, a umire u Nankingu u Kini 1621.godine. Iako

je prvenstveno poznat po tome sto je studirao teologiju i bio isusovac, doprinosi razvoju

matematike i astronomije. Predavao je matematiku u Oropesi i Lisabonu.

Promatrao je pomrcinu Mjeseca u Rimu (1609.) i u Goi (1616.) te je proucavao ki-

nesku astronomiju. Na putu za Daleki istok sustavno je mjerio magnetske deklinacije

(otklone)16 i odredivao zemljopisne koordinate mjesta. Zbog toga se smatrao jednim

od prethodnika hrvatskih kartografa.

Od njegovih matematickih tekstova sacuvan je spis Geometriae speculatiuae com-

pendium17, koji upucuje na Uremanovo stajaliste o dotjerivanju Euklidovog djela Ele-

menti. Tekst je nastavni, a nastao je na temelju njegovih predavanja. Dopisivao se i

izmjenjivao misljenja s glasovitim matematicarima tog doba Christopherom Grienberg-

erom (1551.-1631.) i Christopherom Claviusom (1538.-1612.) koji su takoder proucavali

Elemente. Kao i ostali matematicari tog doba, Ureman se nije u potpunosti drzao re-

15Nova sveopca filozofija16Kut koji magnetska igla zatvara s meridijanom, a moze biti istocni i zapadni. Vrijednost otklona

razlicita je za pojedina mjesta na Zemlji, a mijenja se tijekom vremena i za isto mjesto, sto je posljedicapomicanja magnetskih polova.

17Prirucnik spekulativne geometrije

19

doslijeda ni sadrzaja Euklidovih Elemenata. Mijenjali su definicije, postulate i aksiome

te ih prilagodavali svom shvacanju. Ureman je bio pod velikim utjecajem Clavusa i

Grienbergera, sto pokazuje i usporedba njegova teksta s Grienbergovim.

U Uremanovom i Grienbergerovom djelu postoje odredene promjene definicija, za

razliku od Euklida koji je u Elementima imao 23 definicije, oni su imali 36. Te defini-

cije nisu sadrzavale nove matematicke pojmove, nego su samo rasclanili neke Euklidove

definicije kako bi bile preglednije i kako bi se mogle lakse citirati u dokazivanju poucaka.

Mnogo veca promjena je u pogledu postulata i aksioma. Za Euklida postulati su

ocite matematicke tvrdnje, dok su aksiomi opcenite tvrdnje koje ne moraju nuzno imati

matematicki sadrzaj. Grienberger ima drugacije shvacanje postulata i aksioma. Za

njega su postulati prakticne tvrdnje i postavljaju se kao same sebi poznate, a aksiomi

su spekulativne tvrdnje kojima nije potreban dokaz. Ureman i Grienberger u svojim

djelima izostavljaju cetvrti Euklidov postulat, po kojem su svi pravi kutovi medusobno

jednaki i prenose ga u aksiome kao 12. aksiom. Takoder peti Euklidov postulat prenose

u aksiome kao 13. aksiom. Iako je bio pod velikim utjecajem Grienbergera, Ureman

pokazuje i svoju samostalnost. Medu prva tri Euklidova postulata dodaje i cetvrti,

koji tvrdi: Svaka zadana konacna velicina je u odnosu na drugu velicinu, razlicitu od

prve, od nje veca ili manja ([20]).

20

5. Novi vijek – 17. stoljece

5.1. Razvoj znanosti

Pocetak 17. stoljeca obiljezen je s nekoliko velikih hrvatskih znanstvenika. Iako su

rodeni u drugoj polovini 16. stoljeca, do bitnih otkrica u znanosti dosli su u prva dva

desetljeca 17. stoljeca. To su Marin Getaldic, Marko Antun Dominis i Faust Vrancic.

Marin Getaldic je veliki dio svog zivota proveo u Dubrovniku, a Marko Antun Dominis

dugo je obavljao duznost nadbiskupa u Splitu. Obojica su radili na znanstvenim prob-

lemima u domovini, iako je njihov rad u Dubrovniku i Splitu bio manje plodan nego

u stranim sredistima. Faust Vrancic je bio znamenit konstruktor i inzenjer, osobito

poznat po svojim projektima, kao sto su mlinovi, mostovi i padobran.

Marin Getaldic je svojim radom dao novi pogled na matematiku, uceci od glasovitog

francuskog matematicara Francoisa Vietea. Razmatrajuci neke matematicke probleme,

dosao je na sam prag analiticke geometrije. Marko Antun Dominis je svojom teorijom

duge znatno utjecao na znanost u tadasnjem svijetu. Veliko znacenje je Dominisov rad

imao i u teorijskom objasnjenju dalekozora koji je upravo tada bio otkriven.

Godine 1669. isusovacka zagrebacka akademija dobila je sva prava sveucilista, pa

se ta godina moze smatrati godinom utemeljenja Zagrebackog sveucilista. U to doba je

Akademija imala aristotelovsko usmjerenje, a kasnije je postepeno primala suvremenija

gledista.

U Rimu je sredinom 17. stoljeca djelovalo vise hrvatskih znanstvenika, medu kojima

su vaznu ulogu imali povjesnicar Ivan Lucic i dubrovacki matematicar i fizicar Stjepan

Gradic. Gradic je zastupao stajalista Galilejeve fizike, pa je njegov rad bio u skladu s

onim naporima koji su znanost usmjeravali prema novim shvacanjima ([22]).

5.2. Matematika u hrvatskim skolama

U 16. stoljecu skole u Hrvatskoj bile su ustrojene po sustavu trivija i kvadrivija. No,

vec krajem 16. stoljeca pocele su se pojavljivati promjene u takvom skolskom sustavu.

Promjena se odnosila najvise na strukturu studija, koja se razlikovala od starog

sustava trivija i kvadrivija. U novom sustavu postojao je i zavrsni stupanj nastave pod

nazivom filozofski tecaj, u kojem su se, osim filozofije, poucavale matematika i fizika.

Buduci da se po tada novom isusovackom skolskom planu i programu matematika i

fizika nisu predavale u nizim razredima gimnazije, nego tek u filozofskom tecaju, u tim

se hrvatskim gimnazijama nisu predavale te dvije discipline.

U 17. stoljecu matematika u Hrvatskoj nije imala ono mjesto koje je tada imala na

nekim stranim sveucilistima jer je ona i u filozofskom tecaju bila uglavnom spekula-

tivna znanost. Osnivanjem Isusovacke akademije u Zagrebu 1632. godine matematika

(aritmetika i astronomija) je bila zastupljena, ali se ni tada nije pretjerano ucila ([20]).

21

5.3. Hrvatsko matematicko nazivlje

U 16. stoljecu upotrebljavao se rjecnik Fausta Vrancica, no u 17. stoljecu javljaju

se brojni tekstovi gdje se stvaraju hrvatski prirodoznanstveni nazivi. U oblikovanju

hrvatskih prirodoznanstvenih i matematickih naziva najprecizniji je bio rjecnik koji je

Ivan Belostenec18 (1594. ili 1595.- 10. veljace 1675.) izradivao dugi niz godina. Taj

rjecnik objavljen je posthumno 1740. godine u Zagrebu pod nazivom Gazophylacium

seu latino – illyricorum onomatum aerarium19.

Slika 5. Gazophylacium seu latino – illyricorumonomatum aerarium

Iz njega je vidljivo kako je sredinom 17. stoljeca hrvatska prirodoznanstvena i

matematicka terminologija bila dobrim dijelom formirana. Iako taj rjecnik pretezno

sadrzava nazive iz kajkavskog narjecja, Belostenec u njega ukljucuje i mnoge nazive iz

Dalmacije i Slavonije.

On je prirodoznanstvene i matematicke pojmove podijelio u dvije skupine. Prva

skupina sadrzi nazive koji su iskljucivo prirodoznanstveni ili matematicki i uz njih

ponekad oznacuje da su to, primjerice, astronomski ili matematicki nazivi. Od takvih

naziva imamo npr. matematicke pojmove triangulum – trojvugel (trokut), rectangulus

– prav vuglast (pravokutnik), quadratus – cetvero vugli (kvadrat) itd.

Druga skupina naziva, kojih je znatno vise, sadrzi nazive koji imaju opcenitu

upotrebu, ali se mogu koristiti i u matematici i u drugim prirodnim znanostima. Tako

se ovdje javljaju nazivi densitas – gustoca, celeritas – brzina, circulus – krug, centrum

– sredina, arcus – luk, constructio – skup i slicno. Za naziv linea navodi opci pojam

potezaj, rez, tracic, ali uz njega spominje i geometrijski pojam linea paralellae – red

jednakog kolena. Pri tome je istaknio svojstvo usporednih crta.

Rjecnik Riznica latinsko – hrvatskih imena bio je medu prvim hrvatskim rjecnicima

koji je imao obilno hrvatsko prirodoznanstveno i matematicko nazivlje ( [20]).

18U literaturi se pojavljuje pod imenom Joannes Bellosztenecz.19Riznica latinsko – hrvatskih imena

22

5.4. Marin Getaldic - otac hrvatske matematike

5.4..1 Biografija

Marin Getaldic20 roden je 2. listopada 1568. godine kao najstarije od petero djece

Mara Marinova Jakova Getaldica i Anice Andrije Restic. Iako je njegova obitelj uzivala

plemicki ugled, njihovo imovinsko stanje nije bilo na tom nivou.

Slika 6. Marin Getaldic

Nema direktnih dokaza o Getaldicevom pohadanju dubrovacke osnovne skole i o

njegovim nastavnicima, no posto je bio plemicko dijete, zakon ga je obvezivao da u os-

novnu skolu mora krenuti sa sedam godina. Pretpostavlja se da je osnovno obrazovanje

dobio od franjevaca, a ucitelj mu je bio svecenik Ivan Simunov, koji je poducavao djecu

gramatici i pismenosti. Nakon osnovne skole upisuje gimnaziju. Prva matematicka

znanja dobio je od ucitelja Andreasa Gallusa i Nicola di Mattea, koji su ga poucavali

elementarnoj aritmetici, geometriji i geometrijskoj algebri. Osim iz matematike, stekao

je i znanja iz podrucja fizike, astronomije i knjizevnosti.

Smatra se da je Getaldic gimnaziju zavrsio najvjerojatnije 1588. godine, a nakon

toga zaposljava se kao cinovnik u Dubrovniku i ondje se zadrzava dvije godine. U

to vrijeme samostalno je proucavao matematicke spise i s prijateljima raspravljao o

knjizevnim i matematicko – astronomskim problemima.

Osjetivsi da Dubrovnik nije dovoljno jaka sredina koja bi mogla zadovoljiti nje-

govu potrebu za znanjem na podrucju matematike, fizike i astronomije, s prijateljem

Nikolom Guceticem odlazi u zemlje zapadne Europe. To putovanje omogucilo mu je

izbijanje u red znamenitih europskih matematicara 17. stoljeca.

Izmedu 1594. i 1597. godine Getaldic odlazi u Rim, gdje upoznaje matematicare

Claviusa i Grienbergera, profesore Rimskog kolegija, te postaje njihov suradnik. Po-

cetkom 1598.g. njegov put nastavlja se u Engleskoj, gdje provodi dvije godine, ali nema

nikakvih podataka sto je radio u tom razdoblju. Nakon Engleske, odlazi u Francusku,

tocnije u Pariz, gdje suraduje s Francoisom Vieteom. Upravo je ta suradnja najvise

utjecala na formiranje Getaldica kao matematicara. Viete je cijenio Getaldica i kao

matematicara i kao prijatelja te mu je dao prijepise nekih svojih djela, ali i zadacu

20Cesto se u literaturi navodi talijanska verzija njegova imena Marino Ghetaldi.

23

da izvrsi redakciju njegova djela De numerosa potestatum resolutione, sto je Getaldic i

ucinio.

Upucen u Vieteovu algebru i inspiriran njegovim djelom, 1600. godine Getaldic od-

lazi u Padovu i pristupa Galilejevom krugu. Da je u ovom krugu bio cijenjen, govori

podatak da su ga clanovi Galilejevog kruga nazivali ”demonom matematike”, a Camilo

Gloriosi mu posvecuje svoju raspravu De cometis. 1603. godine vraca se u Dubrovnik

i sve do svoje smrti (1626.) u Dubrovniku obavlja razne duznosti u sluzbi Dubrovacke

Republike. Na poslu u drzavnim sluzbama Getaldic se isticao savjesnim radom.

Poslije svih putovanja po Europi Getaldic se osjeca izoliranim od svih novih znan-

stvenih otkrica, pa tako u jednom pismu Claviusu pise: ” Ovdje sam kao u grobu

zakopan pa ne cujem nikakvu novost. Bude li neka stvar dostojna saznanja, ucinit cete

mi uslugu ako mi o njoj pisete.” Unatoc tome, Getaldic intenzivno radi na podrucju

matematike. Objavio je, uredivao, pripremao za tisak i dalje proucavao svoje rezultate

s putovanja po Europi. Takoder se intenzivno bavio astronomijom i fizikom, a posebno

ga je zanimala optika.

Do stupanja u brak zivio je sa svojom bracom Andrijom i Jakovom u ocevoj kuci,

a kada se ozenio, prelazi na svoje imanje na Brgatu u Plocama. U 53. godini ozenio se

Marijom Vlaha Sorkocevica s kojom je u braku prozivio nepunih pet godina. Umro je

u Dubrovniku 7. ili 8. travnja 1626. godine.

Iako mu dubrovacka sredina nije mogla pruziti ono sto su mu pruzale sredine Rima,

Pariza i Padove, on je uporno nastojao ne izolirati se od znanstvenog svijeta i biti u

toku razvoja znanosti kojima se aktivno bavio. Upravo u tome njegova je velicina,

u njegovoj vezanosti za rodni grad, u upornosti da nadvlada zaostalost sredine i u

njegovoj bitnoj ulozi u znanosti kojom se bavio i u kojoj je stvarao ([8]).

5.4..2 Matematicki doprinosi

Getaldicevo sestogodisnje putovanje po Europi u razdoblju 1595 – 1601., omogucilo

mu je plodonosne susrete s uglednim znanstvenicima kao sto su Michel Coignet u

Antwerpenu, Francois Viete u Parizu, Galileo Galilei u Padovi. Kasnije se, iz dubrovacke

osame, nastavio dopisivati s uglednim matematicarima i fizicarima svoga doba (Christo-

pher Clavius, Christopher Grienberger, Galileo Galilei i Karl Guldin). Upravo na

temelju svih tih poznanstava, kod Getaldica su se razvijale mnoge ideje vezane uz

matematiku ([22]).

Svoje prvo djelo Nonnullae propositiones de parabola21 objavio je 1603. godine u

Rimu. Ovo djelo nastaje kao rezultat njegovih istrazivanja i konstruiranja parabolicnih

zrcala, ali ga je ta nakana usmjerila prema matematickom istrazivanju parabole i izri-

canju sedam stavaka o paraboli. Glavni matematicki rezultat bio je sadrzan u cetvrtom

stavku da je parabola dobivena presjekom uspravnog stosca kongruentna paraboli do-

bivenoj presjekom kosog stosca. Opcenitiji iskaz glasi:

21Neki stavci o paraboli

24

Sve parabole dobivene presjecima ravnine sa bilo kojim stoscem su kongruentne([8]).

Slika 7. Naslovnica djelaNonnullae propositiones de parabola

Unatoc nekim nedostacima u dokazu, Getaldic je prvi formulirao ovakav zakljucak.

U dokazu tog stavka koristio se Apolonijevim Cunjosjecnicama, tocnije prvim cetirima

dijelovima te knjige. Poucci u toj literaturi nisu mu bili dovoljni za dokaz njegove tvrd-

nje, tako da je neke poucke sam postavio i dokazao. U ovom djelu Getaldic naslucuje

potrebu za uvodenjem beskonacnih velicina, iako to nije jasno formulirao. Jedan od

problema kojim se bavio u tom djelu je konstrukcija parabole. Taj rezultat nave-

den je u diplomskom radu (vidi Prilog). U dokazivanju sedam stavaka o paraboli

koristi iskljucivo starogrcku geometrijsku metodu, koju ce koristiti u svojih prvih pet

matematickih djela. Tek u svom posljednjem djelu O matematickoj analizi i sintezi

koristi algebarsku metodu.

Drugo Getaldicevo djelo Archimedes promotus22 takoder je objavljeno 1603. u

Rimu, a odnosi se na primjenu Arhimedovog zakona u odredivanju specificne tezine

cvrstih tijela i tekucina. Ovo djelo Getaldic je strogo strukturirao u teoreme, prob-

leme, primjere i tablice s uputama. Teoreme je rjesavao u duhu euklidske geometrije,

probleme je oblikovao za cvrsta tijela i tekucine, a u tablicnom je dijelu odredio odnose

tezina i obujmova za sedam cvrstih tijela i pet tekucina.

Godine 1607. izlazi njegovo djelo pod nazivom Variorum problematum collectio23.

Ono se sastoji od 42 zadatka iz elementarne geometrije. Neke od problema preuzeo

je od matematicara Regiomontanusa, Claviusa i Grienbergera, no veliku vecinu prob-

lema sam je osmislio i rijesio. 21 problem odnosi se na konstrukciju trokuta iz danih

podataka, 18 problema odnosi se na podjelu kruznog odsjecka na dane uvjete, 2 prob-

lema tretiraju konstrukciju romba, a 1 problem podjelu kruznog luka u danom omjeru.

Ovo Getaldicevo djelo iznimno je vazno jer biljezi njegov prvi korak prema analitickom

rjesavanju problema.

22Prosireni Arhimed23Zbirka razlicitih problema

25

U 16. i 17. stoljecu mnogi matematicari proucavaju Euklidova, Arhimedova i Apoloni-

jeva djela. Tako Viete objavljuje rekonstrukciju Apolonijeva djela O dodirima. Getaldic

dolazi do Vieteove rekonstrukcije, uocava da je izostavio sest problema Apolonijevog

djela i odlucuje nadopuniti Vieteovu rekonstrukciju. Tako 1607. godine izdaje djelo

Supplementum Apollonii Galli seu exsuscitata Apollonii Pergaei tactionum geometriae

pars reliqua24, u kojem rekonstruira tih sest problema i ispravlja jedan Vieteov u ko-

jem je pronasao neke nedostatke. Iste godine u Veneciji izlazi Apollonius Redivivus seu

restituta Apollonii Pergaei inclinationum geometria25 , gdje rekonstruira Apolonijevo

djelo O nagibima. U Apolonijevom djelu O nagibima radi se o konstrukciji pravca kroz

neku tocku uz neki zadani uvjet. Apolonije je razmatrao pet problema, no Getaldic u

svojoj knjizi rjesava samo prva cetiri problema, a peti samo formulira. Kao uzrok tome

navodi svoj put u Carigrad. Po povratku iz Carigrada, Getaldic se zbog brojnih obaveza

prestaje baviti matematikom, no za njegovu nadopunu Apolonijevog djela zainteresirao

se Englez Aleksandar Anderson koji mu svoj rad salje na recenziju. Proucavajuci nje-

gov rad, Getaldic nadopunjuje svoje rjesenje petog Apolonijeva problema o nagibima.

Taj problem znatno je zamrseniji od prethodnih cetiriju, pa da bi ga rijesio postavio

je 20 lema, a tijekom rjesavanja jos 9, sto govori o opseznosti ovog rjesenja.

Cetiri godine nakon njegove smrti, 1630. godine u Rimu je izislo njegovo najznacaj-

nije djelo na 343 stranice, pod nazivom De rezolutione et compositione mathematica26.

To djelo podijeljeno je na pet poglavlja. U prvom poglavlju govori o analizi i sintezi

kao metodama istrazivanja u matematici. U drugom poglavlju razmatra transformi-

ranje jednadzbi u proporciju i primjenu tog matematickog aparata na konkretne prob-

leme. Trece poglavlje bavi se kvadratnim jednadzbama ciji su koeficijenti geometrijske

velicine, a cetvrto kvadratnim jednadzbama ciji su koeficijenti odnosi medu geometri-

jskim velicinama.

Slika 8. De rezolutione et compositione mathematica

Peto poglavlje podijeljeno je na cetiri dijela. U prvom govori o problemima vezanim

24Dopuna Apoloniju Galskom ili ozivljeni preostali dio geometrije dodira Apolonija Perge-jskog(Apolonije Galski je Viete)

25Ozivljeni Apolonije ili Obnovljena geometrija nagiba Apolonija Pergejca26O matematickoj analizi i sintezi

26

za odredivanje kvantitativnog sustava legura i primjenama aritmeticke progresije, u

drugom i trecem dijelu utvrduje kako je neki problem nemoguc ako se svede na nemogucu

jednadzbu, dok u cetvrtom daje primjere svodenja problema na jednadzbe. Ovo

Getaldicevo djelo predstavlja prirucnik matematicke analize i sinteze koji treba pro-

matrati kao naznaku analiticke geometrije Descartesa ([8],[22]).

5.5. Stjepan Gradic

Stjepan Gradic27 roden je u Dubrovniku 6. travnja 1613. godine, a umro je u Rimu

12. svibnja 1683. Smatra se jednim od najvecih hrvatskih znanstvenika (osim matem-

atike, bavio se fizikom i astronomijom) 17. stoljeca, te je bio diplomat i knjizevnik

([20]).

Slika 9. Stjepan Gradic

Osnovno obrazovanje stjece u Dubrovniku. Njegov ujak Petar Benesa utjecao je na

njegov razvoj, pa ga je vec u Dubrovniku upucivao na matematiku i filozofiju. Ujak

ga salje na skolovanje u Rim, gdje mu je matematiku drzao Christopher Grienberger,

od kojeg je Gradic stekao dosta znanja iz matematike. Studirao je i teologiju, gdje je,

takoder, slusao predavanja iz matematike, ali od Benedettija Castellija. Smatra se da

je upravo tada zapoceo svoja matematicka istrazivanja.

Gradic je proucavao i rjesavao vise matematickih problema, od kojih je najvazniji

Galileov paradoks o jednakosti crte i tocke. To je njegova jedina tiskana matematicka

rasprava, objavljena u zbirci Dissertationes physico – mathematicae quatour 28 objav-

ljenoj 1680. godine u Amsterdamu. U toj zbirci raspravlja o ubrzanom gibanju, o up-

ravljanju broda kormilom, o Galileovom matematickom paradoksu o jednakosti tocke i

crte, o stvarnom i prividnom polozaju polarne zvijezde. Istrazivao je i silu tezu prema

Galileovim nacelima, te rjesavao neke hidrotehnicke probleme.

Takoder je rjesavao razne matematicke probleme koji su ostali u njegovoj rukopisnoj

ostavstini. Brojni problemi nalaze se i u njegovoj korespondenciji s drugim matemati-

carima. Bavio se i mnogim Getaldicevim matematickim problemima, pa je tako rijesio

27U literaturi cesto se susrece talijanska inacica njegova imena Stefano Gradi.28Fizikalno – matematicke rasprave

27

prvi problem iz Getaldiceva djela Apollonius redivivus. Pri rjesavanju matematickih

problema najvise se koristio algebarskom metodom ([20],[22]).

6. Prosvjetiteljstvo – 18. stoljece

6.1. Razvoj znanosti

U 18. stoljecu postojalo je nekoliko vaznih znanstvenih sredista u kojima su djelovali

hrvatski znanstvenici. Tu su bila i neka sredista u Italiji, posebice u Rimu, Milanu

i Padovi. Najveci znanstvenik toga doba bio je Ruder Boskovic, koji je djelovao u

Rimu, Milanu i Parizu. Svojim znanstvenim radom omogucio je razvoj matematike,

astronomije, fizike, geodezije i tehnike. S Boskovicem je suradivalo vise hrvatskih

znanstvenika i prirodnih filozofa, medu kojima posebno treba istaknuti Ivana Luku

Zuzorica i Benedikta Staya. Krajem 18. stoljeca u Italiji je djelovalo mnogo drugih

hrvatskih znanstvenika. Medu njima treba osobito istaknuti zadarskog fizicara Simuna

Stratika.

Mnogo hrvatskih znanstvenika djelovalo je i u Madarskoj i Slovackoj, posebno u

drugoj polovini 18. stoljeca. U Slovackoj postojala su znanstvena sredista u Trnavi

i Kosicama, a u Madarskoj u Gyoru, Pecuhu i Budimu, odnosno Pesti. Hrvatski

znanstvenici u tim gradovima drze gotovo sve najvaznije katedre iz matematike, fizike i

srodnih znanosti. Krajem 18. stoljeca na budimskom sveucilistu predaju hrvatski pro-

fesori Ivan Paskvic, Josip i Ljudevit Mitterpacher, Josip Franjo Domin, a nesto kasnije

i Franjo Bruna.

U Trnavi i u Kosicama radilo je mnogo gradiscanskih Hrvata, medu kojima treba

osobito istaknuti Mihaela Lipsica, koji je djelovao u Kosicama i u svojim djelima uvo-

dio suvremene znanstvene ideje u Austrijsku monarhiju.

U 18. stoljecu Zagrebacka akademija pocela je znatno napredovati. Uvode se nove

znanstvene ideje koje su bile bitne za gledista koja su se u Hrvatskoj tada zastupala. U

tom razdoblju u Hrvatskoj se sve vise koristi hrvatski jezik za pisanje strucnih tekstova.

Tada nastaju prvi matematicki udzbenici na hrvatskom jeziku autora Mije Silobolda

Bolsica, Mate Zoricica i Matije Katancica. Prevode se i razna djela koja raspravljaju

o nekim primjenama prirodnih znanosti. Tako je prevedeno djelo Ovcarica Matije An-

tuna Reljkovica. Na taj nacin sustavno se pocelo uvoditi hrvatsko prirodoznanstvano

nazivlje. Za hrvatsko nazivlje vazni su i imenici hrvatskih naziva ljekovitih bilja.

U drugoj polovici 18. stoljeca javljaju se intenzivne primjene znanosti. U ovom

razdoblju u Hrvatskoj se osnivaju gospodarska drustva, od kojih posebno treba is-

taknuti Gospodarsko drustvo u Splitu. Pojavljuju se i mnogi tekstovi koji obraduju

gospodarsku tematiku. Dolazi i do razvoja brodogradnje i rudarstva, te se unapreduju

mnoga tehnicka dostignuca. Iz ovog doba sacuvani su medicinski tekstovi koji upucuju

na kojoj su razini bili medicina, ljekarnistvo i zdravstvo u hrvatskim krajevima ([22]).

28

6.2. Hrvatsko matematicko nazivlje u prvoj polovici 18. stoljeca

Autor najvaznijeg rjecnika iz 18. stoljeca je Ardelio Della Bella (Foggia, 1655. –

Split, 1737.). Rjecnik je objavljen nakon autorove smrti u Veneciji 1782. godine pod

nazivom Dizionario italiano, latino, illirico, a temeljen je na dubrovackim stokavsko –

ijekavskim izvorima.

Od 16. stoljeca postoji teznja za jezicnom cistocom u djelima pisanim hrvatskim

jezikom u svim krajevima Hrvatske. Della Bellin rjecnik istice pojedine prirodoz-

nanstvene nazive koji su se tada pojavili. Taj rjecnik prikazao je umjetnu tvorbu

takvih naziva i cinjenicu da je hrvatsko prirodoznanstveno nazivlje nastajalo unatoc

tomu sto su se znanstvena djela rijetko pisala na hrvatskom jeziku.

Iako Della Bellin rjecnik ne donosi cjelokupno matematicko nazivlje, vidi se da je

ono tada na odreden nacin vec bilo formirano. Od geometrijskih pojmova iz rjecnika

valja istaknuti pojam punctum koji je definiran kao nedjeljiva stvar. Latinski naziv linea

Della Bella prevodi kao redka, a matematicki razlikuje posebne crte. Tako postoje linea

recta, sa znacenjem u pravno i linea circumcurrens kao redka okolijacna. Rijec circulus

prevodi kao okolisc, krugh, dok je semicirculus polukrugh, a spaera okrugh. Za pojam

angulus koristi nas danasnji naziv, kut, pri cemu pojam kut predstavlja unutarnji kut,

a nughlo vanjski kut. Hrvatski naziv za numerus bio je brooj, a za triangulus figura sa

tri kuta, tj. trokutje.

Della Bella ne definira matematiku. On zadrzava njezin medunarodni naziv i to je

jedina iznimka u njegovu dosljednom prevodenju i tvorenju hrvatskih strucnih naziva.

Iako je za njega geometrija dio matematike, u rjecniku je definira kao podrucje koje se

bavi mjerenjem Zemlje ([20]).

6.3. Josip Ruder Boskovic

6.3..1 Biografija

Josip Ruder Boskovic jedan je od najvecih umova 18. stoljeca. Postigao je velike

uspjehe u poljima fizike, matematike i astronomije. Roden je 18. svibnja 1711. godine

u Dubrovniku kao sedmo dijete dubrovacke obitelji Pave i Nikole Boskovica. U kuci je

vladao duh ozbiljnosti i reda, a cijela obitelj je naginjala isusovackom moralu ([22]).

Ruder je djetinjstvo proveo u Dubrovniku, gdje je poceo i zavrsio osnovno obrazo-

vanje. Prvu skolsku poduku dobio je od don Nikole Nikea i to u isusovackom duhu.

Osnovnu skolu je polazio kao vecina trgovacke djece u isusovackom kolegiju, gdje je ucio

gramatiku, humanioru29 i retoriku. U svemu je bio ispred svojih vrsnjaka, a iskazivao

se marljivoscu, intuicijom i lakim usvajanjem gradiva ([23]).

29starogrcke i starorimske lijepe vjestine i znanosti, tzv. kvadrivij

29

Slika 10. Josip Ruder Boskovic

S 14 godina odlazi u Rim na daljnje skolovanje u Collegium Romanomum30. Boskovic

se i ovdje iskazao, a Crkva je cijenila takve ucenike i pomagala ih je. Prvo je tri

pripremne godine proveo u novicijatu31 Svetog Andrije, a potom je u istom novicijatu

slusao retoriku. Poslije pet godina stekao je pravo prijeci u Collegium Romanomum,

gdje je pet godina slusao filozofiju i matematiku. Prva matematicka znanja dobio je

od Horacia Borgondina, poznavatelja Euklidovih, Apolonijevih i Arhimedovih djela

([7],[22],[23]).

Nakon zavrsetka prvog stupnja studija, Boskovic je primoran prihvatiti posao u

nizim zavodima gdje se zadrzao pet godina. Od 1733. godine ucitelj je gramatike

u Rimu, no taj posao bio mu je dosadan. Odahnuo je kada je postavljen za nas-

tavnika u Isusovackom kolegiju u Fermu. Tada se posvecuje proucavanju Newtonovog

znanstvenog rada. Iako u to vrijeme dobiva poziv da se vrati u rodni Dubrovnik, on

ipak odlucuje ostati u Italiji, jer su ovdje mogucnosti napredovanja bile vece. U Italiji

zajedno s grofom Francescom Garampijem, astronomom, motri prolaz Merkura ispred

Sunca i tom prilikom upoznaje astronomske instrumente i metodologiju rada.

Boskovic je svestran i nastavlja svoj rad u matematici, astronomiji i knjizevnosti.

Zbog svoje izuzetnosti postavljen je za akademika logike, sto mu je samo donijelo nove

obaveze. Pored svega bavio se i proucavanjem kometa, zbog cega je provodio mnoge

besane noci.

U razdoblju od 1736. do 1786. godine objavljuje niz djela iz razlicitih podrucja

znanosti. U ranim Boskovicevim raspravama javljaju se nagovjestaji njegovih velikih

ideja o beskonacnosti, relativnosti i prirodnoj filozofiji. Medutim najvise se bavi pi-

tanjima prakticne astronomije, stupajuci u stvaralacki dijalog s postojecim saznanjima

dovodeci ih u sumnju ili ih unaprijedujuci.

1740. godine Boskovic postaje rektor matematike u Collegium Romanomum. Bio je

dobar pedagog sa smislom za jasno i metodicko izlaganje znanja iz matematike, fizike,

30Rimski kolegij31zgrada za redovnicke kandidate

30

mehanike i astronomije. U isto vrijeme, uz znanstveno – nastavni rad, pocinje se baviti

tehnickim problemima. Izmedu ostalog 1742. godine proucavao je uzrok pukotina na

kupoli bazilike sv. Petra u Rimu, a znacajne su i njegove hidrotehnicke ekspertize.

1754. godine objavljuje vaznu raspravu o neprekidnosti u kojoj na novi nacin nas-

tavlja razmisljati o Zenonovim paradoksima. Godine 1757. Boskovicu je povjereno

rjesavanje hidrotehnickog spora izmedu republike Lucce i vojvodine Toskane, te u tom

razdoblju nastaje njegovo znacajno djelo Philosophiae naturalis theoria32. Medutim,

ovo djelo nije najbolje prihvaceno od strane njegovih suradnika u Collegium Romanomum

zbog cega napusta Rim 1759. i odlazi u Pariz, gdje stupa u kontakt sa Alexisom

Clairautom (1713 - 1765) i Jeanom le Rond D’Alambertom ( 1717.-1783.). Godinu dana

kasnije dolazi u London, gdje 1762. postaje clanom Kraljevske akademije znanosti i um-

jetnosti. U razdoblju od 1762. do 1763. godine boravi u Carigradu, Varsavi i Veneciji,

te izdaje dopunjeno izdanje svog djela Philosophiae naturalis theoria.

1764. pocinje predavati matematiku na Sveucilistu u Paviji, a paralelno sudjeluje u

izgradnji zvjezdarnice u Breri. Od 1770. godine Boskovic predaje astronomiju i optiku

u Milanu, no dvije godine kasnije zbog nesuglasica s kolegama oko vodenja zvjezdarnice

u Breri napusta Milano i odlazi u Pariz gdje dobiva francusko drzavljanstvo. Tamo

1774. godine pocinje raditi kao upravitelj Optike za mornaricu. Ovo radno mjesto bilo

je izuzetno dobro placeno zbog cega je Boskovic bio na meti suparnika. U to vrijeme

Boskovic radi na podrucju optike i astronomije, te 1782. odlazi u Bassanu gdje izdaje

knjigu Opera pertinentia ad opticam et astronomiam33. Iste godine odlazi u Breru gdje

se u potpunosti posvecuje znanstvenom radu, no istovremeno pocinje obolijevati. 13.

veljace 1787. godine u Milanu umire od posljedica upale pluca ([7],[10], [22],[23]).

6.3..2 Boskovic i matematika

Boskovic se kao matematicar prije svega bavio primjenama matematike, ali nje-

gov matematicki talent blista i u teorijskoj matematici, osobito geometriji. U svojim

mnogobrojnim predavanjima i radovima Boskovic kriticki gleda ustaljene matematicke

definicije, dajuci mnoga pojasnjenja koja rasciscavaju brojne nedorecenosti postojecih

definicija ([7]).

Ruder je iskazao svoj matematicki talent kada je kao student objavio svoje prvo

matematicko djelo pod nazivom Trigonometriae sphaericae constructio34 1737. godine

u Rimu. To djelo u metodoloskom smislu potpuno odrazava Boskovicevu primjenu

konstruktivnih i grafickih metoda u matematici. U sest stavaka ponudio je rjesenje

za osnovne probleme sferne trigonometrije koristeci graficku konstrukciju u ravnini,

pa je svoju pojednostavljenu metodu primijenio u sfernoj astronomiji. Izmedu osta-

log opisao je kako ”rijesiti” sferni trokut, odnosno kako iz poznatih odrediti ostale

32Teorija prirodne filozofije33Djela koja se odnose na optiku i astronomiju34Konstrukcija sferne trigonometrije

31

velicine koje opisuju takav trokut. Iz teksta je vidljivo kako je Boskovic shvacao da

se rjesenje proizvoljne tocnosti moze dobiti koristenjem trigonometrijskih tablica, no

da, kako se sferni trokut obicno rjesava iz primijenjenih razloga pa poznati podaci

sadrze greske mjerenja, opcenito nema smisla racunati nepoznate velicine na preveliku

tocnost. Na temu sferne trigonometrije i njene primjene na astronomiju objavio je vise

djela, od kojih je najpoznatije De formules differentielles de trigonometrie35 objavljeno

1785. godine, gdje je uveo cetiri temeljne jednadzbe diferencijalne ravninske i sferne

trigonometrije, iz kojih se mogu izvesti sve ostale.

Dok je djelovao na trima matematickim katedrama u Rimu (1740.-1760.), Paviji

(1764.-1769) i Milanu (1770.- 1773.) bavio se brojnim problemima ciste i primijenjene

matematike. Najznacajnije matematicke doprinose ostvario je u sintetickoj geometriji

i primijenjenoj matematici, te proucavajuci temelje matematike.

Glavni Boskovicevi doprinosi teorijskoj matematici vezani su uz temelje matem-

atike, posebice pojmove beskonacnosti i neprekidnosti. Pitanje beskonacno velikih i

malih velicina posebno je obradio u raspravi De natura et usu infinitorum et infinite

parvorum36 koju objavljuje 1741. u Rimu. Infinitezimalne velicine je opisao kao di-

namicke (velicine koje se priblizavaju nuli), a ne kao postojece konkretne velicine, sto ga

cini prethodnikom konacne formalizacije infinitezimalnog racuna pocetkom 19. stoljeca.

Isti dinamicki pristup imao je i za beskonacno velike velicine. Smatra da ne postoje

konstantno beskonacno male, a ni beskonacno velike velicine, te da uvodenje doslovno

beskonacnoga dovodi do apsurda. Najpoznatija Boskoviceva rasprava o beskonacnosti

je De continuitatis lege37 objavljena 1754. godine. Bit neprekinutosti opisao je kao

postojanje zajednicke granice za svaka dva dijela neprekidnog objekta. Dijelove ispred

i iza takve zajednicke granice naziva continuum praecedens i continuum sequens, a o

njima raspravlja i u kontekstu korespondencije realnih brojeva i pravca te tako dolazi

do onog sto je Richard Dedekind odabrao kao temelj definicije realnog kontinuuma.

Udzbenik koji je izisao 1745. godine u Rimu u tri sveska, pod naslovom Elemen-

torum universae matheseos38 predstavlja sustavno izlaganje matematike studentima.

Prvi svezak obraduje geometriju, drugi konacnu algebru, a treci dio objasnjava teoriju

konika, ali u sklopu sinteticke metode. Njegova teorija konika bila je prva potpuna i

sustavna teorija konika, a sadrzi mnoge nove ideje i izvedena je geometrijskim argu-

mentima. Za definiciju konika iz koje je izveo sva njihova svojstva odabrao je sljedecu:

Definicija 1. Konika je geometrijsko mjesto tocaka u ravnini za koje je omjer udal-

jenosti do cvrste tocke (zarista) i cvrstog pravca (ravnalice) konstantna.

35Cetiri glavne diferencijalne jednadzbe sferne trigonometrije36O prirodi beskonacno velikih i beskonacno malih velicina37O zakonu neprekinutosti38Elementi sveukupne matematike

32

Taj omjer je nazvao ratio determinans konike, a danas se naziva (numerickim) ekscen-

tricitetom.

Slika 11. Boskoviceva definicija konika [7]

Boskovic je uveo korisno ”sredstvo” za dokazivanje tvrdnji o konikama. To je poz-

nata Boskoviceva ekscentricna kruznica.

Definicija 2. Ekscentricna kruznica je kruznica (s proizvoljnim sredistem) koja ima

svojstvo da joj je omjer polumjera i udaljenosti sredista do ravnalice jednak omjeru

ratio determinans.

Koristeci ju, Boskovic je opisao razne konstrukcije i izveo mnoga svojstva konika, pose-

bice tako sto ih je izvodio iz svojstava kruznica koristeci korespondenciju ekscentricne

kruznice i konike. U prilogu trecem svesku Elementa universae matheseos Boskovic je

predstavio novu teoriju geometrijskih transformacija, te ga se moze smatrati prethod-

nikom razvoja projektivne i sinteticke geometrije u 19. stoljecu.

Boskovic je prvi predstavio sistematsku i opcenitu metodu za izracunavanje gresaka,

odnosno procjenu krivulje koja najbolje opisuje podatke. Tu metodu razvio je kako bi

ujednacio rezultate geodetskih mjerenja, a podatke na koje je primijenio svoju metodu

sakupio je na ekspedicijskom putovanju od Rima do Riminija. Sakupljene podatke

i metodu opisao je u De Litteraria expeditione per pontificam ditionem ad dimetien-

dos duos meridiani gradus, a vise detalja iznio je u kasnijim tekstovima. Boskoviceva

ideja za nalazenje krivulje koja najbolje opisuje podatke je da minimizira zbroj ap-

solutnih vrijednosti odstupanja izmjerenih vrijednosti od vrijednosti koje bi se dobile

koristenjem krivulje. Metoda je neposredni prethodnik metode najmanjih kvadrata

koju su razvili Adrien-Marie Legendre i Carl Friedrich Gauss ([7],[22]).

Potrebno je spomenuti njegovu raspravu Demonstrations simples de quelques beaux

theoremes appartenants aux triangles, uvrstenu u peti svezak Boskovicevih djela izdanih

u Bassanu 1785. godine. U toj raspravi bavi se sljedecim problemima: odredivanje kuta,

polumjera upisanog kruga i povrsine iz tri stranice trokuta. Upravo na temelju toga

izveo je Heronovu formulu, ciji se izvod nalazi u Prilogu ovog rada ([16]).

33

Boskovic je potpuno opisao stanicu pcelinje sace, bavio se logaritmima negativnih

brojeva, binomnim teoremom i specijalnim krivuljama. Iznimno je znacajno njegovo

gledanje na matematicke i geometrijske objekte koje se stupnjem apstrakcije slobodno

moze nositi sa shvacanjem matematike danasnjeg vremena. Tako se Boskovic u jednoj

od svojih rasprava dotice definicije pravca i pita se je li moguce ”parabolizirati pravac”,

odnosno zasto parabola ne bi mogla dobiti epitet jednostavnosti koji se veze uz pravac.

Boskovic prihvaca i neeuklidske geometrije, sto se vidi iz crtica njegovog djela Elemen-

torum universae matheseos, gdje istice da se Euklidov peti postulat (o paralelama) ne

moze izvesti iz ostalih aksioma, sto ga izdize iz shvacanja njegovih brojnih suvremenika

koji su ga pokusali dokazati ([7],[22]).

Zbog svoje upornosti, radisnosti i nadasve znatizelje, dao je velike doprinose u

matematickom radu, ali i opcenito u znanosti. U Zagrebu je 1950. godine osnovan

Institut za znanstvena istrazivanja na podrucju atomske fizike, koji njemu u cast nosi

ime Ruder Boskovic. Astronomsko drustvo u Beogradu takoder nosi njegovo ime, kao

i Biskupijska klasicna gimnazija u Dubrovniku ([20]).

6.4. Matematicki udzbenici na hrvatskom jeziku – Silobodovai Zoriciceva aritmetika

U 18. stoljecu matematika dobiva vise prostora u skolskim programima i nalazi

sve vecu primjenu u svakodnevnom zivotu. Upravo zbog toga javlja se potreba za

matematickim tekstom pisanim na hrvatskom jeziku. Otprilike u isto doba, u raz-

maku od nekoliko godina, napisane su prve dvije aritmetike na hrvatskom jeziku:

jedna na sjeveru blizu Siska, a druga na jugu u Sibeniku. Prvu je izdao Mijo Silobod

Bolsic 1758. godine pod nazivom Arithmetica Horvatszka, a drugu Mate Zoricic 1766.

godine pod nazivom Aritmetika u slavni jezik Illiricki. Vrijednost ovih dviju arit-

metika je visestruka. Kao prvi matematicki udzbenici na hrvatskom jeziku imali su

znacajnu ulogu u edukaciji puka, vrijedan su izvor za upoznavanje korijena hrvatskog

matematickog nazivlja, te je iz njih vidljivo kolika je bila razina nastave racuna u 18.

stoljecu u Hrvatskoj. I jedna i druga knjiga nastale su kao rezultat potreba za znanjem

racunstva u puku, koji nije bio sposoban izvrsiti niti najjednostavnije racune u trgovini

i gospodarstvu ([4]).

Obje knjige namijenjene su trgovcima, domacinima i svima kojima je racun potre-

ban u zivotu, pa se u objema iznose primjeri iz zivota. Osim toga, obje stalno upucuju

na pretvaranje valuta i daju zadatke u kojima se javljaju libri i grosi zajedno (Zoricic),

odnosno rani, grosi i krajcare (Silobod), pa se i pokazuje kako se moze novac pretvoriti

u neki drugi ([4], [22]).

Mijo Silobod Bolsic rodio se pod Okicem 1724. godine. Zavrsio je filozofiju u Becu

i teologiju u Bologni. 1749. godine se zareduje i postaje zupnikom u Martinskoj Vesi,

te kasnije u Svetoj Nedjelji. Bio je poznat po svojim djelima, a i po latinskim pjes-

34

mama. Napisao je neku vrstu malog prakticnog leksikona pod naslovom Cabala, to je

na vszakojacka pitanja kratki ter vendar prikladni odgovor vu Horvatszkem jeziku, a i

neka crkvena djela. Medutim, njegovo najvaznije djelo je spomenuta Arithmetica Hor-

vatszka, po kojoj je i postao poznat. Umro je u Svetoj Nedjelji 1787. godine ([4],[20]).

Mate Zoricic rodio se 1721. godine u Pakovu Selu, a 1741. je stupio u franjevacki

red na Visovcu. Filozofiju je ucio u Makarskoj, a teologiju u Sibeniku. Bio je ucitelj u

Sibeniku, kasnije u Zaostrogu, ali se opet vraca u Sibenik i tamo ostaje sve do svoje

smrti, koja je nastupila 1783. godine. Napisao je Zrcalo razlicitih dogadaja (1780.) i

nekoliko crkvenih djela, a 1766. objavljuje spomenutu Aritmetiku.

Slika 12. Silobod: Arithmetika Horvatszka

Silobodov udzbenik Arithmetika Horvatszka podijeljen je na cetiri dijela. Prvi dio

zapocinje tumacenjem o pisanju brojeva, a zatim govori o jednostavnim racunima, kao

zbrojidbi, odbidbi, mnozidbi i diobi. U drugom dijelu opisane su sve moguce operacije

s razlomcima. Ne ogranicava se samo na jednostavne razlomke, vec uvodi i dvojne.

Treci dio raspravlja o jednostavnom i slozenom pravilu trojnom, dok cetvrti govori o

racunima, koji dolaze u praksi, kao o dugovima, dobicima, gubicima i drugo, u ovom

dijelu javljaju se i zagonetke. Ovaj dio sadrzava neke probleme koji bi se mogli rijesiti

pomocu jednadzbi prvog stupnja s jednom ili dvije nepoznanice, no Silobod ne radi

tako jer ne uvodi pojam jednadzbe. On te probleme rjesava uz pomoc metode regula

falsi. Za te probleme daje postupak koji ga, nakon sto pretpostavi dvije vrijednosti za

jednu od nepoznatih velicina, vodi na trazenu vrijednost. No, upute za rjesavanje tih

problema su komplicirane. Unijevsi zagonetke u svoju knjigu, Silobod je htio da ona

postane zanimljiva i pristupacnija obicnom puku. Arithmetika Horvatszka vazna je i

zbog toga sto donosi hrvatsko nazivlje matematickih pojmova.

Zoriciceva knjiga Aritmetika u slavni jezik Illiricki pisana je prema stranim pred-

loscima takve vrste. Koncipirana je u nekoliko poglavlja. U prvih pet poglavlja gov-

ori opcenito o brojevima, zbrajanju, oduzimanju, mnozenju i dijeljenju. U sestom

poglavlju obrazlozena je nauka o razlomcima, kao i operacijama s njima. Od VIII. do

35

XI. poglavlja raspravlja se o pravilu trojnom (jednostavnom i slozenom). U preostala

cetiri poglavlja nalaze se razni trgovacki problemi, kao problemi o trgovini s robom,

dobicima u trgovini i drugo. Na kraju udzbenika daje tzv. ”Matematicko kolo”- as-

trolosku tablicu, prema kojoj kada godinom vlada Sunce, Mars i Jupiter, godina je

rodna, a kada vlada Mjesec, Merkur, Venera i Saturn godina je nerodna. Ta tablica

prakticki je sluzila trgovcima i domacinima. Osobitu vaznost ova aritmetika ima zbog

naziva koji se u njoj javljaju, obzirom na to da je rijec o pocecima hrvatske znanstvene

terminologije ([4],[5],[20],[22]).

Slika 13. Zoricic: Aritmetika u slavni jezik Illiricki

Silobodova i Zoriciceva aritmetika slicne su u rasporedu gradiva, nacinu izlaganja,

pa i u primjerima. Taj raspored i nacin izlaganja preuzeli su i mnogi drugi autori tog

doba.

6.5. Matija Petar Katancic i njegova hrvatska geometrija

Matija Petar Katancic roden je u Valpovu 12. kolovoza 1750. godine. Kao mlad

usao je u franjevacki red. Skolovao se na ucilistima franjevackoga reda u Osijeku i

Budimu. Predavao je poetiku, numizmatiku i arheologiju na razlicitim mjestima (Osi-

jek, Zagreb, Pesta). Uz to zanimao se za povijest, zemljopis, estetiku i filologiju. Sma-

tra se najucenijim Slavoncem svog vremena, te najznacajnijim predstavnikom prosv-

jetiteljstva u Hrvatskoj. Umro je u Budimu 24. svibnja 1825. godine.

Doprinosi i matematici, tocnije hrvatskom geometrijskom nazivlju, te iznosi svoje

stavove o matematici i geometriji. Hrvatska rijec za geometriju kojom se Katancic

koristio bila je zemlyomirje, koja je u Hrvatskoj cesto bila u upotrebi. Upotrijebio je

vec uobicajen naziv koji je zapravo doslovan prijevod naziva geometrija, ali to u opcem

i teorijskom smislu ne bi moglo obuhvatiti sve ono sto se u geometriji istrazuje. U

drugoj polovini 18. stoljeca geometrija se jako razvija i udaljava se od pojma mjerenja

Zemlje.

36

Slika 14. Matija Petar Katancic

Sadrzaj geometrije koji je Katancic namijenio nastavi u gimnaziji nije trebao biti

teorijski, nego praktican i povezan s mjerenjem Zemlje. Zbog toga naziv zemlyomirje

toliko ne smeta, iako je za 18. stoljece, opcenito, neprimjeren.

Katancic je imao svoje stavove o tome sto su zapravo matematika i geometrija

opcenito, sto se moze vidjeti iz njegova izbora naziva za pojedine pojmove. Buduci da

je prvu geometriju pisao na hrvatskom jeziku, morao je ustrojiti hrvatsko geometrijsko

nazivlje. Mogao je upotrijebiti nazive koji su postojali u dotadasnjim rjecnicima, a one

koje nije uspio naci, morao je stvoriti sam.

Katancicev prijevod nije mogao utjecati na hrvatsko geometrijsko nazivlje u tek-

stovima koji su se kasnije pojavili, jer je njegov rad ostao u rukopisu. Da je objavljen

u njegovo doba, imao bi vecu vaznost, no i ovako je bio iznimno vazan zbog cinjenice

da je to prva geometrija pisana na hrvatskom jeziku ([20],[22]).

37

7. Matematika u 19. i 20. stoljecu

7.1. Razvoj znanosti u 19. stoljecu

Pocetak 19. stoljeca u znanosti ne razlikuje se bitno od kraja 18. stoljeca. U tom raz-

doblju djeluju znanstvenici koji su djelovali i krajem 18.stoljeca, a Zagebacka akademija

ima istu orijentaciju kao u 18. stoljecu. Medutim, potkraj prve polovine 19. stoljeca

akademija ima sve manju ulogu, a 1850. se potpuno gasi. Uz akademiju javlja se jedna

nova visokoskolska ustanova u Hrvatskoj – Zadarski licej, koja je imala veliko znacenje

za razvoj znanosti, osobito medicine, u Hrvatskoj.

U prvoj polovini 19. stoljeca i dalje se radi na utemeljenju hrvatskog prirodoznan-

stvenog nazivlja. U ovom razdoblju osnivaju se hrvatska strucna drustva, pa se tako u

Zagrebu osnivaju Hrvatsko-slavonsko gospodarsko drustvo i Klub lijecnika. Utemeljuje

se i Matica ilirska, kasnije hrvatska, koja ima golemo znacenje za promicanje hrvatske

knjige, ali i za priblizavanje prirodnih znanosti obicnom puku. Veliku vaznost ima i

osnivanje Narodnog muzeja, koji ima prirodoslovne odjele i tu se okupljaju hrvatski

prirodoslovci. Medu istrazivacima u prvoj polovini 19. stoljeca valja istaknuti Roberta

Visiania (1800. – 1878.) koji je istrazivao dalmatinsku floru. U ovom razdoblju pocinju

se obavljati meteoroloska motrenja.

Sredinom 19. stoljeca pocinju se sustavno priredivati hrvatski prirodoznanstveni i

matematicki udzbenici. Neki od njih bili su prijevodi stranih djela, a neki tekstovi bili

su izvorni. U ovom razdoblju pojacavaju se napori za stvaranjem i unapredivanjem

hrvatskog prirodoznanstvenog nazivlja. Skolstvo je imalo vaznu ulogu za uvodenje

prirodnih znanosti u hrvatsko drustvo. Prvi ozbiljniji strucni tekstovi iz prirodnih

znanosti koji se objavljuju na hrvatskom jeziku bili su tekstovi koji su se objavljivali

u godisnjim izvjestajima pojedinih skola. Veliku ulogu u razvoju znanosti imala je

Jugoslavenska (kasnije Hrvatska) akademija znanosti i umjetnosti, koja je utemeljena

u Zagrebu 1866. godine ([22]).

Golemi preokret nastaje kada je 1874. obnovljeno Zagrebacko sveuciliste i postav-

ljeno na moderne temelje. Prirodne znanosti imale su vise katedri na Mudroslovnom

fakultetu, a rad profesora prirodnih znanosti na Sveucilistu znaci pocetak novog doba

prirodnih znanosti u Hrvatskoj.

7.2. Vatroslav Bertic

O zivotu Vatroslava (Ignaca, Josipa) Bertica zna se vrlo malo. Roden je 7. lipnja

1818. godine u Orehovici u Hrvatskom zagorju, a umire 1901. u selu Humu kraj Zaboka.

Bio je hrvatski matematicar iz razdoblja ilirskog preporoda. Studirao je tehniku u

Budimpesti, a radio je u Zagrebackoj i Varazdinskoj zupaniji.

38

Slika 15. Vatroslav Bertic

U Danici ilirskoj 1846. godine objavljuje dva, za matematiku vazna, clanka: Njesto

o matematici i Knjizevna vijest. U prvom clanku razmatra matematiku kao jedan od

temelja kulturnog obrazovanja. Raspravlja o nastavi matematike u skolama, kakvi bi

se udzbenici trebali pisati, a posebno ga zaokuplja hrvatska matematicka terminologija.

Za matematiku koristi pojam oleslovlje, koji je nastao od izraza olina za velicine koje

se mogu mjeriti, dijeliti i mnoziti. U clanku Knjizevna vijest Bertic raspravlja o odnosu

algebre (racunanje s opcim brojevima) i aritmetike (racunanje s posebnim brojevima).

U metodologiji ucenja matematike od velike je vaznosti njegovo zalaganje za ucenje

algebre i aritmetike kao cjeline. Posto se zalagao za matematicko opismenjivanje Hrvata

i za hrvatsko nazivlje u matematici, na taj nacin pridonio je hrvatskom preporodu.

U Danici ilirskoj 1846. godine Bertic najavljuje svoju matematicku knjigu u pet

poglavlja, a prvo poglavlje i dio drugoga izislo je 1847. godine u Pesti pod nazivom

Samouka-pokus pervi. U tom radu nalaze se elementi matematicke logike. Osnovna

ideja ove teorije je pridruzivanje matematickih simbola pojmovima i obratno – pojmova

metematickim simbolima. Kada se pojmovima pridruze matematicki simboli, onda se

matematickim transformacijama dolazi do novih znakova kojima se potom pridruzuju

pojmovi i tako dolazi do novih misli i rezultata. Zacetak teorije matematicke logike je

jedno djelo Georga Boolea (1815. – 1864.) objavljeno 1847. za koje Bertic nije mogao

znati, jer je svoje djelo zavrsio godinu dana ranije. Bertic se ne moze smatrati tvorcem

teorije matematicke logike jer nije dosao do zakona matematicke logike do kojih je

dosao Boole. Medutim, ovaj Berticev rad je znacajan doprinos koji je doveo do ove

teorije. Nije poznato je li sljedeci svezak ove knjige objavljen ([20],[22],[25]).

7.3. Matematika u Hrvatskoj nakon 1874. godine

Obnovom Sveucilista u Zagrebu 1874. godine, a zatim i osnivanjem Matematicko-

prirodoslovnog odjela Mudroslovnog fakulteta stvoreni su uvjeti za sustavan znanstveni

rad i visokoskolsku nastavu u matematici. Nastava je zapocela 1876./77. kada u Za-

greb dolazi Karel Zahradnik (1848-1916), prvi profesor matematike. U tom razdoblju

u Zagrebu su obranjene prve doktorske disertacije iz matematike (D. Segen 1889.,

V.Varicak 1891.). Matematicari svoje znanstvene radove objavljuju u casopisu Rad

koji je poceo izlaziti 1867. godine, a do 1914. godine u njemu je objavljeno 106 clanaka

39

iz podrucja matematike. Od 1895. godine casopis Nastavni vjesnik pocinje objavljivati

matematicke clanke.

U prvim desetljecima 20. stoljeca matematika u Hrvatskoj je u rukama vrsnih

matematicara Vladimira Varicaka (1865.–1942.), Jurja Majcena (1875.–1924.) i Stjepana

Bohniceka (1872.–1956.), profesora Filozofskog fakulteta u Zagrebu. Odrzavali su nas-

tavu na primjerenoj razini, a kao istrazivaci bili su u vezi s drugim europskim sredistima.

Matematika se ucila na Tehnickoj visokoj skoli, kasnije i na Tehnickom fakultetu,

u pocetku pod vodstvom Marija Kiseljaka (1883.–1947.), a poslije Zeljka Markovica

(1889.–1974.). Matematicar Vladimir Vranic (1896.–1976.) u tom razdoblju se zalagao

za razvoj vjerojatnosti i statistike, matematickih metoda u ekonomiji, a bavio se nu-

merickom matematikom.

Izmedu dva svjetska rata u Hrvatskoj se znanstveni rad u matematici odvijao u

podrucju geometrije, matematicke analize, teorije skupova, matematicke fizike i povi-

jesti matematike. U tom razdoblju najznacajniji matematicari bili su Vladimir Vrkljan

(1894.–1974.), Rudolf Cesarec (1889.–1972.) i Duro Kurepa (1907.–1993.). Podrucje

njihova rada bila je racionalna mehanika, geometrija i teorija skupova.

Pedesetih godina 20. stoljeca najaktivniji matematicari bili su geometricari Vilim

(Vilko) Nice (1902.–1987.) i Danilo Blanusa (1903.–1987.), koji su se prvenstveno bavili

projektivnom, odnosno diferencijalnom geometrijom. U to vrijeme pod primijenjenom

matematikom ponajprije se mislilo na teorijsku mehaniku i matematicku fiziku, po-

drucja koja je zastupao Zlatko Jankovic (1916.–1987.).

U drugoj polovini 20. stoljeca rad u matematici odvijao se, ne samo na Priro-

doslovno – matematickom fakultetu, nego i na tehnickim fakultetima – Elektrotehnickom

fakultetu, Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Gradevinskom fakultetu te na Ekonom-

skom fakultetu u Zagrebu. U tom razdoblju vaznu ulogu imalo je Drustvo matematicara

i fizicara SR Hrvatske iz kojeg se 1990. godine izdvojilo Hrvatsko matematicko drustvo.

Od 1961. do 1974. cjelokupni znanstveni rad u matematici bio je organiziran na Sveucilisnom

institutu za matematiku. U novijem razvoju matematickih znanosti u Hrvatskoj znacajnu

je ulogu odigrao i poslijediplomski studij iz matematike na Sveucilistu u Zagrebu, koji

je zapoceo skolske godine 1960/61.

Rezultati postignuti u drugoj polovini 20. stoljeca vecinom su djelo jos zivucih matematicara,

koje se mogu razvrstati u ovih 13 skupina:

• Matematicka logika i zasnivanje matematike,

• Algebra i teorija brojeva,

• Geometrija,

• Topologija,

• Liejeve grupe i teorije reprezentacija,

40

• Analiza i funkcionalna analiza,

• Teorija vjerojatnosti i matematicka statistika,

• Diferencijalne jednadzbe i matematicka fizika,

• Kombinatorna i diskretna matematika,

• Numericka matematika,

• Optimizacija,

• Racunalske znanosti,

• Povijest matematickih znanosti.

Od matematicara iz Hrvatske koji su djelovali u inozemstvu najistaknutije mjesto

pripada Williamu Felleru (1906.–1970.), profesoru na Sveucilistu u Princetonu. Od

rezultata matematicara iz Hrvatske, koji danas djeluju u inozemstvu, posebno se isticu

rezultati u matematickoj logici, kombinatornoj geometriji i teoriji poliedara, teoriji

konacnih grupa i konacnih dizajna, teoriji reprezentacija Liejevih grupa, topologiji,

optimizaciji, matematickoj fizici i numerickoj matematici ([22]).

7.3..1 Znacajni hrvatski matematicari do 2. svjetskog rata

U prvim desetljecima 20. stoljeca sveucilisna matematika u rukama je matematicara

ciji je znanstveni rad zapazen i u medunarodnim razmjerima.

Sve je pocelo kada Karel Zahradnik dolazi iz Praga u Zagreb i pocinje odrzavati

nastavu matematike na obnovljenom Sveucilistu. Roden je 16. travnja 1848. u mjestu

Litomysl u Ceskoj, a umro je 23. travnja 1916. u Brnu. Na Sveucilistu drzi kolegije Al-

gebarska analiza i O determinantih, te na temelju tih predavanja pise skriptu koja kao

takva postaje prva skripta iz matematike na Zagrebackom sveucilistu. Za 23 godine

provedene u Zagrebu razvio je veliku znanstvenu, nastavnu i organizacijsku djelatnost.

Njegov znanstveni rad odnosi se na teoriju algebarskih krivulja u ravnini i kubnih

krivulja ([13],[20]).

Najistaknutiji matematicar ovog razdoblja bio je sveucilisni profesor Vladimir Varicak.

Rodio se 26. ozujka 1865. u Svici kraj Otocca u Lici, a umro je 17. sijecnja 1942. u

Zagrebu. Osnovnu i srednju skolu pohadao je u Sisku, Petrinji i Zagrebu, matem-

atiku i fiziku diplomirao je na Filozofskom fakultetu Sveucilista u Zagrebu 1887. go-

dine, a doktorat je stekao 1891. Opredijelio se za podrucje algebarske analize i sferne

trigonometrije. Varicak je poznat po sustavnom istrazivanju geometrije Lobacevskog,

poznatije pod nazivom hiperbolicka geometrija, te interpretiranju teorije relativnosti u

trodimenzionalnom hiperbolickom prostoru. Izmedu ostalog, istrazivao je matematicko

djelo Rudera Boskovica ([14],[11],[20]).

41

Juraj Majcen rodio se 18. sijecnja 1875. u Zagrebu, gdje i umire 1. veljace 1924.

godine. Po zavrsetku srednjoskolskog obrazovanja, odlazi u Bec i tamo studira matem-

atiku i deskriptivnu geometriju. Od skolske godine 1901./02. na Mudroslovnom

fakultetu u Zagrebu predaje mnogobrojne geometrijske kolegije i to iz analiticke, pro-

jektivne, sinteticke, diferencijalne, deskriptivne, visedimenzionalne i neeuklidske ge-

ometrije. U svojim mnogobrojnim znanstvenim radovima bavio se ravninskim i pros-

tornim krivuljama, te opcim plohama. Majcen je osnovao Zagrebacku geometrijsku

skolu, koju su dalje razvijali njegovi ucenici R. Cesarec, J. Justinijanovic, V. Nice

i drugi. Takoder se bavio problemima nastave matematike, posebice geometrije u

skolama. Aktivno je sudjelovao u izradi nastavnih planova i programa za srednje

skole, te u pisanju udzbenika iz geometrije za gimnazije. Proucavao je Getaldiceve

i Boskoviceve radove iz geometrije ([15],[20],[22]).

Za ovo razdoblje u matematici bio je znacajan i Stjepan Bohnicek. Bohnicek je roden

u Vinkovcima 15. prosinca 1872., a umire u Zagrebu 14. ozujka 1956. godine. Osnovnu

skolu i klasicnu gimnaziju zavrsava u Vinkovcima, a studij matematike i fizike zavrsava

u Becu, gdje i doktorira 1894. godine. 1904. godine habilitirao39 se za podrucje algebre

i teorije brojeva na Sveucilistu u Zagrebu. Njegov znanstveni rad upravo se odnosio

na ta podrucja. Posebno se bavio diofantskim jednadzbama, zakonima reciprocnosti

i kvadratnim formama. U teoriji brojeva najvise se koncentrirao na podrucje teorije

brojevnih tijela ([22]).

Zeljko Markovic rodio se 20. veljace 1889. u Pozegi, a umire 23. kolovoza 1974. u

Opatiji. Osnovnoskolsko i srednjoskolsko obrazovanje zavrsava u Zagrebu, a matem-

atiku studira u Zagrebu, Pragu i Gottingenu. Doktorirao je u Zagrebu 1915., a habili-

tirao 1918. godine. U znanstvenom radu bavio se matematickom analizom, nebeskom

mehanikom, povijescu starogrcke matematike i proucavanjem zivota i djela Rudera

Boskovica. U prvoj skupini radova najvazniji se odnose na periodicka rjesenja Math-

ieuove diferencijalne jednadzbe. U istrazivanjima povijesti starogrcke matematike,

bavio se matematickim idejama Platona i Aristotela. Napisao je knjigu Uvod u visu

analizu. To je bio cjelovit udzbenik matematicke analize koji je odigrao veliku ulogu u

u visokoskolskoj nastavi matematike u Hrvatskoj. Ta knjiga na vise od 1300 stranica

bogat je izvor pouzdanih informacija o matematickoj analizi ([20],[22]).

U ovom razdoblju treba svakako spomenuti znacajnog hrvatskog matematicara

Rudolfa Cesarca koji je djelovao izmedu dva svjetska rata. Rudolf Cesarec roden je 2.

ozujka 1889. u Zagrebu, gdje i umire 29. prosinca 1972. godine. Cijelo svoje skolovanje

zavrsio je u Zagrebu, gdje je upisao Mudroslovni fakultet kraljevskog Sveucilista u Za-

grebu. Glavna struka bila mu je matematika i deskriptivna geometrija. Naziv doktora

filozofskih nauka stjece u lipnju 1927. godine. U znanstvenom radu Cesarca razlikuju

se tri faze. Prva u kojoj se bavi Riemannovom geometrijom, druga posvecena neeuklid-

39habilitacija – stjecanje prava na izvodenje nastave na fakultetu na temelju pisanog rada koji sejavno prikazuje i brani

42

skim geometrijama i treca koja se odnosila na istrazivanja u teoriji algebarskih krivulja.

Tijekom zivota napisao je brojne znanstvene radove, od kojih treba istaknuti dva

udzbenika: Analiticka geometrija linearnog i kvadratnog podrucja i nedovrseni rukopis

udzbenika Projektivna geometrija. Njegova Analiticka geometrija i danas predstavlja

stivo koje na vrlo sistematican nacin uvodi citaoca ne samo u metode analiticke ge-

ometrije ravnine, vec daje i vrlo jednostavan pristup ne samo u projektivnu geometriju

ravnine, vec i u sustinu geometrije ([12],[20],[22]).

7.3..2 Znacajni hrvatski matematicari nakon 2. svjetskog rata

Nakon zavrsetka 2. svjetskog rata raste obujam sveucilisne matematike i broj is-

trazivaca. Dogadaji koji su posebno utjecali na razvoj matematicke znanosti su osni-

vanje Prirodoslovno – matematickog fakulteta u Zagrebu 1946., Drustva matematicara

i fizicara SR Hrvatske 1949. godine, pokretanje casopisa Glasnik matematicko – fizicki

i astronomski (1946.) iz kojeg se 1966. izdvojio homogeni Glasnik matematicki, te

osnivanje Instituta za matematiku Sveucilista u Zagrebu (1961.) koji je ukinut 1974.

godine. 1960. na Sveucilistu u Zagrebu osnovan je Postdiplomski studij iz matematike.

U tim uvjetima raste broj matematicara, medu kojima posebno treba istaknuti Danila

Blanusu (1903.–1987.), Vilima (Vilka) Nicea (1902.–1987.), Zlatka Jankovica (1916.–

1987.), Williama (Vilima) Fellera (1906.–1970.) te Duru Kurepu (1907.–1993.).

Odredeni rezultati zivucih hrvatskih matematicara imaju svoje mjesto u razvoju

matematike. Oni istrazuju i izgraduju teoriju razvrstano uredenih skupova, doprinose

teoriji poliedara, rjesavaju neke od operatorskih funkcionalnih jednadzbi. Pripisuje

im se i otkrice fraktorizacijskih teorema u teoriji dimenzije. Mnogi od njih djeluju u

inozemstvu gdje postizu zapazene matematicke rezultate ([20],[22]).

7.3..3 Danilo Blanusa-zivot i matematicko djelo

Danilo Blanusa bio je sveucilisni profesor i istaknuti matematicar, fizicar i inzenjer.

Roden je 7. prosinca 1903. u Osijeku, a umro 8. kolovoza 1987. u Zagrebu. Osnovnu

skolu pohadao je u Becu i Steyeru (Austrija), a srednju skolu u Zagrebu i Osijeku.

Studirao je elektrotehniku, matematiku i fiziku u Zagrebu i Becu. Nakon sto je ha-

bilitirao 1943. postaje izvanredni, a 1944. redovni profesor matematike na Tehnickom

fakultetu u Zagrebu, gdje ostaje do umirovljenja.

Znanstveni interesi i znanstveni radovi profesora Blanuse po sadrzaju zahvacaju

niz podrucja matematike i teorijske fizike: analizu, topologiju, visedimenzionalnu ge-

ometriju, visu algebru, teoriju brojeva, kvantnu mehaniku, funkcijske jednadzbe, speci-

jalne funkcije, teoriju relativnosti, relativisticku fenomenolosku termodinamiku i drugo.

U matematici najvise se bavio specijalnim funkcijama (Besselove funkcije) i diferenci-

jalnom geometrijom (problemi izometrickog smjestanja) ([6],[20],[22]).

43

Slika 16. Danilo Blanusa

Osvrnimo se na njegove matematicke doprinose. Najvazniji i najbogatiji dio Bla-

nusinih radova jesu rezultati o izometrickom smjestanju razlicitih topoloskih mno-

gostrukosti. Posto u ovom radu nije moguce, zbog opseznosti, ulaziti u detalje njegovih

rezultata na tom podrucju, bitno je naglasiti da je po tim radovima Blanusa jedini

matematicar iz podrucja bivse Jugoslavije koji je usao cak i u japansku matematicku

enciklopediju. O njegovim radovima 1959. godine tijekom citavog semestra odrzavan

je seminar na tada najuglednijem sovjetskom univerzitetu Lomonosova u Moskvi. Pro-

ucavanjem problema cetiri boje dosao je do grafa koji je danas poznat kao Blanusin

graf. Radi se o grafu na slici 17., sa sljedecim svojstvima: iz svakog vrha izlaze po

tri grane (trivalentni graf) cije je grane nemoguce obojiti s tri boje tako

da iz svakog vrha izlaze sve tri boje. Trivalentan graf moze biti 3-obojiv, ali i ne

mora i za takav graf kazemo da nije 3-obojiv.

Slika 17. Blanusin graf[18]

Blanusa je taj graf objavio u radu Problem cetiriju boja u prvom broju casopisa Glasnik

matematicko-fizicki i astronomski 1946. godine. ([6],[18],[22]).

Vrlo bitan je i njegov udzbenik Visa matematika, koji u cetiri sveska sadrzava

dvije i pol tisuce stranica. Cilj tog djela nije bio koncipiranje nekog ”supermodernog”

udzbenika analize, nego izrada klasicnog djela bogatog sadrzajem i metodama, koji ce

u prvom redu biti udzbenik namijenjen nadarenim studentima i strucnjacima. Tekst je

pisan izuzetno strogo i cisto, ali i besprijekorno s metodicke i pedagoske strane. Visa

matematika je nesumnjivo medu najboljim djelima te vrste u svijetu i velika je steta

sto ga Blanusa nije mogao zavrsiti zbog pogorsanog zdravlja i zaokruziti u prvobitno

zamisljenom opsegu ([6],[22]).

44

7.3..4 Vilim Nice

Vilim (Vilko) Nice rodio se 27. sijecnja 1902. u Grubisnom Polju, a umro je u Zagrebu

16. listopada 1987. Osnovnu i srednju skolu pohadao je u Grubisnom Polju, Karlovcu,

Zagrebu i Bjelovaru. Diplomirao je matematiku u Zagrebu 1926. godine. Citav svoj

radni vijek proveo je na Tehnickom (kasnije Arhitektonsko-gradevinsko-geodetskom)

fakultetu u Zagrebu, gdje je 1944. god. izabran za redovitog profesora.

Svoj znanstveni rad usmjerio je na podrucje geometrije, pod utjecajem Juraja Ma-

jcena. Iskljucivo se bavio projektivnom geometrijom, koju je obradivao sintetickom

metodom. U tom podrucju pokazao je veliku kreativnost i originalnost napisavsi 72

rada na tu temu. Objavio je dva zapazena visokoskolska udzbenika: Uvod u sinteticku

geometriju i Deskriptivna geometrija koja je izdana u dva dijela.

Najvazniji znanstveni radovi Nicea odnose se na krivulje, plohe, kongruencije i kom-

plekse. Posebno je bio zapazen kompleks najkracih dirnih putova medu plohama pra-

mena kvadrika, koji je definirao i proucavao i koji u literaturi nosi ime Niceov kompleks.

Modifikacijom poznatog Grassmannova nacina izvodenja opcih ploha 3. reda, Nice je

konstruirao model 27 pravaca opce plohe 3. reda, koji su svi realni. Ovaj atraktivni

model svjedoci o izvanrednom geometrijskom zoru koji je posjedovao ([9],[22]).

7.3..5 Zlatko Jankovic

Zlatko Jankovic roden je 27. rujna 1916. u Varazdinu, a umro je 12. prosinca 1987. u

Zagrebu. Osnovnu i srednju skolu zavrsio je u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku

i teorijsku fiziku 1939. i pravo 1947. godine. Doktorirao je 1949., a habilitirao 1957.

godine. Citav svoj radni vijek provodi na Prirodoslovno-matematickom fakultetu u

Zagrebu.

Njegova trajna znanstvena aktivnost rezultirala je sa 65 objavljenih znanstvenih

radova, od cega 36 u inozemstvu. Znanstveni interes i problematika na kojoj je

Jankovic uglavnom radio jest matematicka fizika, a podrucja kojima se bavio su teori-

jska mehanika, teorijska nuklearna fizika, teorija specijalnih funkcija, diferencijalna

geometrija i teorija spinora s primjenama u kvantnoj mehanici. Posebno se istice niz

opseznih radova koji se odnose na dva posljednja podrucja, a vecinom su objavljeni u

japanskom casopisu Tensor ([17],[22]).

7.3..6 William Feller

William (Vilim) Feller matematicar je svjetskog glasa, jedan je od velikana znanosti

sto su potekli iz Hrvatske. Roden je u Zagrebu 7. srpnja 1906. kao Vilibald Srecko

Feller. Kao student promijenio je ime u Vilim. Diplomirao je matematiku na Sveucilistu

u Zagrebu (1925.), a doktorat brani u Gottingenu (1926.) kod Richarda Couranta

radom Uber algebraisch rektifizierbare transzendente Kurven. Habilitirao je 1928. i

postaje docent u Kielu, gdje ostaje do 1933. godine. Karijeru nastavlja u Kopen-

45

hagenu, Stockholmu i Lundu. Godine 1939. odlazi u Sjedinjene Americke Drzave,

gdje 1944. godine dobiva americko drzavljanstvo. Iako je Vilim Feller proveo veci dio

svog zivota u inozemstvu, odrzavao je veze s Akademijom, Sveucilistem i kolegama

u Zagrebu. Godine 1970. dodijeljeno mu je najvise priznanje, Nacionalna medalja za

znanost za godinu 1969., koju dodjeljuje predsjednik Sjedinjenih Americkih Drzava.

Nazalost, umro je malo prije svecanog urucenja medalje, 14. sijecnja 1970. u Memorial

Hospitalu u New Yorku ([19],[20],[21],[22]).

Slika 18. William Feller

Fellerov znanstveni opus (104 rada i 2 knjige) raznolik je i znacajan doprinos a-

nalizi, teoriji mjere, geometriji, funkcionalnoj analizi i diferencijalnim jednadzbama.

Najznacajniji radovi do 1950. god. odnose se na klasicne granicne teoreme vjerojat-

nosti, posebno centralni granicni teorem (Lindeberg-Fellerov uvjet). Znacajan je i

njegov rad na zakonu ponovljenog logaritma, kojemu daje konacni oblik. Fellerov pro-

gram na jednodimenzionalnim difuzijama, koje su najbolje izucena klasa stohastickih

procesa, traje od 1950. do 1962. godine. Tu Feller uspostavlja duboku vezu izmedu

analize i vjerojatnosti. Markovljevi procesi, koji zadovoljavaju odredene analiticke

uvjete, opcenito su poznati pod nazivom Fellerovi procesi. Feller je zapoceo i opcu

teoriju granice Markovljevih procesa, a dao je i velik doprinos teoriji obnavljanja i

teoriji procesa grananja.

Moderna matematicka teorija vjerojatnosti moze velikim dijelom zahvaliti svoje

danasnje znacenje W. Felleru, jednom od njezinih utemeljitelja. Mnogi pojmovi u

teoriji vjerojatnosti danas nose Fellerovo ime, primjerice Fellerovi procesi, Fellerove

prelazne funkcije, Fellerov eksplozijski test, Fellerove polugrupe, Fellerovo Brownovo

gibanje. Za boravka u Princetonu, Feller je objavio svoje poznate knjige iz teorije

vjerojatnosti, koje su znatno utjecale na sirenje suvremenih ideja teorije vjerojatnosti.

Feller je bio jedan od zacetnika izdavanja vaznog casopisa Mathematical Reviews 1939.

godine ([19],[20],[22]).

46

Monografija Fellera An introduction to probability theory and its aplications40 (svesci

1,2) smatra se jednim od najboljih matematickih udzbenika napisanih u 20. stoljecu.

Prema Fellerovim rijecima, na prvom svesku radio je osam godina, od 1941. do 1948.

godine. Profesor Gian-Carlo Rota sa MIT-a tu knjigu, uz Weberovu Algebru i Artinovu

Geometrijsku algebru ubraja u tri najdivnija prirucnika za matematiku objavljena u

20. stoljecu ([22]).

U knjizi se nalaze sljedeci citati o vjerojatnosti:

• ...Vjerojatnost je matematicka disciplina ciji su ciljevi slicni onima npr. u ge-

ometriji ili analitickoj mehanici. U svakom podrucju moramo pazljivo razluciti tri

aspekta teorije: (a) formalno logicki sadrzaj, (b) intuitivnu pozadinu i (c) prim-

jene. Karakter i sarm cijele strukture ne moze se cijeniti bez uzimanja u obzir

svih triju aspekta u njihovim pravim odnosima.

• ...U danasnje doba mali djecaci se klade i igraju kockicama, novine objavljuju

misljenja javnosti, a magija statistike proteze se kroz sve dijelove zivota u tolikoj

mjeri da mlade djevojke s iscekivanjem gledaju statistiku svoje sanse da se udaju.

• ...Povijest vjerojatnosti (i matematike opcenito) pokazuje isprepletanje teorije i

primjena: napredak u teoriji otvara nova podrucja u primjenama, a svaka nova

primjena stvara nove teorijske probleme i utjece na put novih istrazivanja([19]).

7.3..7 Duro Kurepa

Duro Kurepa bio je sveucilisni profesor i u svijetu priznat matematicar. Rodio se

16. kolovoza 1907. u Majskim Poljanama, kraj Gline, a umro je 2. studenoga 1993. u

Beogradu. U Krizevcima je pohadao srednju poljoprivrednu skolu i realnu gimnaziju.

1931. godine u Zagrebu je diplomirao matematiku i fiziku. Od 1932. do 1937. boravio

je na specijalizaciji u Parizu i Varsavi. Doktorirao je na Sorbonni 1935. godine. 1946.

godine postaje redovni profesor na Zagrebackom sveucilistu. Godine 1965. prelazi na

Prirodno-matematicki fakultet u Beogradu, gdje radi do umirovljenja.

Profesor Kurepa bio je osnivac i predsjednik Drustva matematicara i fizicara Hrvatske

te predsjednik Unije jugoslavenskih drustava matematicara i astronoma. Bio je clan

americko - kanadskog Teslinog memorijalnog drustva (1982.), te dobitnik povelja Bern-

hard Bolzano, Marin Drinov Bugarske akademije znanosti (Sofija 1987.). Kurepin

znanstveni opus bio je velik, izdao je vise od 200 znanstvenih radova i vise od 700

knjiga, casopisa i pregleda.

Njegov plodonosan znanstveni rad odnosi se na teoriju skupova, zasnivanje matem-

atike, algebru (teorija matrica) i teoriju brojeva, topologiju i nastavu matematike.

Njegovi radovi ukljucuju i teme iz numericke matematike, racunarstva i teorije fiksne

40Uvod u teoriju vjerojatnosti i njezine primjene

47

tocke. Od svih matematickih radova Kurepe najveci odjek imali su njegovi rani radovi,

u kojima je utemeljio teoriju stabala, tj. parcijalno uredenih skupova sa svojstvom da

je skup svih prethodnika proizvoljnog elementa dobro ureden ([22]). Danas su u teoriji

skupova u standardnoj uporabi pojmovi, koji nose Kurepino ime, primjerice Kurepino

stablo, Kurepina hipoteza, Kurepina linija, Kurepin prostor, Kurepin kontinuum.

Slika 19. Duro Kurepa

Kurepa je pokazivao posebno zanimanje za probleme nastave na svim nivoima.

Aktivno je sudjelovao u stvaranju novih nastavnih programa, a njegovi mnogobrojni

udzbenici iz matematike za osnovnu i srednju skolu (vise od 35) ostavili su dugotra-

jan trag. Posebno se isticu njegova dva visokoskolska udzbenika Teorija skupova i

Visa algebra izdana u dva dijela. Teorija skupova vrlo je originalan udzbenik, koji je

odigrao vaznu ulogu u razvoju suvremene matematike u Hrvatskoj, dok se opsegom

i obuhvatnoscu istice udzbenik Visa algebra. Treba naglasiti kako je posebnu paznju

posvecivao pojmovima iz osnova matematike. Isticao je da se u matematici sve svodi na

pojam funkcije ili skupa. Za razliku od vecine teorijskih matematicara, bio je naklon-

jen matematickoj logici, povezivanju matematike i drugih znanosti te vezama izmedu

matematike i prirodnih pojava.

Utjecaj profesora Kurepe na razvoj matematicke znanosti u Jugoslaviji bio je velik.

Kao profesor Sveucilista u Zagrebu uveo je nekoliko novih matematickih disciplina,

onih koji se odnose na osnove matematike i teoriju skupova ([20],[22]).

48

8. PRILOG

8.1. Getaldiceva konstrukcija parabole

U spomenutom Getaldicevom djelu Nonnullae propositiones de parabola nalazi se

sljedeci problem:

Problem 1. Nacrtati parabolu u ravnini za konstrukciju zrcala, koja se nalazi u nekom

zadanom intervalu.

Getaldicevo rjesenje danog problema je sljedece:

Neka nam zadani interval bude interval AB, koji ce se produziti preko A i po potrebi

preko B. Iznad A uzet cemo proizvoljno mnogo tocaka ( na slici 20. to su tocke C, D

i E). Konstrukcija parabole ce biti tocnija ako uzmemo vise tocaka i ako su te tocke

blize jedna drugoj.

Slika 20. Getaldiceva konstrukcija parabole

Na analogan nacin uzet cemo tocke F, G i H ispod A, tako da vrijedi:

|AF | = |AC|, |AG| = |AD|, |AH| = |AE|.Kroz tocke F, G i H povuci cemo na AB normale KL, MN i OP, a iz centra B s

polumjerima |BC|, |BD| i |BE| opisati kruznice, koje ce te normale sjeci u tockama

K, L, M, N, O i P. Kroz te tocke provuci cemo liniju koja se proteze jednolicno.

Tu savijenu liniju OMKALNP nazivamo parabolom, koja ce, ako opisuje povrsinu

konkavnog zrcala, sve suncane zrake, koje dolaze na zrcalo tako da su ekvidistantne od

osi, odraziti kroz B. Uzmimo sada duzinu AQ, odnosno cetverostruku duzinu od AB.

Tu duzinu prenesemo kao sto je prikazano na slici 20. i povucemo KB. Iz slike je ocito

da vrijedi |BC| = |BK|, a ujedno vrijedi i |BC|2 = |BK|2.Primjenom Pitagorina poucka na 4BFK dobivamo

|KB|2 = |KF |2 + |FB|2 (1)

49

Takoder vrijedi (EE, II knjiga, 8.prop 41): 4 · |AF | · |AB|+ |BF |2 = (|AB|+ |AF |)2

Buduci da je |AF | = |AC|, vrijedi

4 · |AF | · |AB|+ |BF |2 = (|AB|+ |AC|)2 = |BC|2 (2)

Iz (1) i (2) te jednakosti |BC|2 = |BK|2 dobivamo 4 · |AF | · |AB| = |KF |2. Kako je

|AQ| = 4 · |AB|, imamo:

|AQ| · |AF | = 4 · |AF | · |AB|, odnosno |AQ| · |AF | = |KF |2.Dakle, tockom K prolazi parabola ciji je vrh u tocki A, a os AB. Na analogan nacin

pokazuje se da ta parabola prolazi preostalim tockama.

Ako bismo u relaciji |AQ| · |AF | = |KF |2, stavili |AQ| = 2p, |AF | = x, |KF | = y,

dana relacija bi presla u oblik y2 = 2px, a to je poznata jednadzba parabole. Getaldic

nije opazio opcenitu relaciju za sve parabole, pisanu u analitickom obliku. Unatoc

tomu, bio je vrlo blizu otkricu analiticke geometrije i ostaje veliki preteca otkrivaca

(Descartes i Fermat) ([15]).

8.2. Boskovicev izvod Heronove formule

Kao sto je u radu vec spomenuto, Boskovic je objavio raspravicu Demonstrations

simples de quelques beaux theoremes appartenants aux triangles, uvrstenu u petom

svesku djela izdanih 1785 godine u Bassanu. U toj raspravi nalazi se njegov izvod

Heronove formule. Smatrao je da je njegov nacin izvoda jednostavniji od onih koji su

se do tada pojavljivali u djelima drugih matematicara. Pogledajmo kako je Boskovic

izveo Heronovu formulu:

U trokutu4ABC povucemo simetrale kutova i odredimo srediste S upisanog kruga.

Iz sredista S spustimo okomice na stranice trokuta. Povucemo okomice iz vrhova A i

B na simetralu kuta C, te dobijemo duzine AG i BH (pogledaj Sliku 21.).

Slika 21. Boskovicev izvod Heronove formule

41Ako danu duzinu podijelimo na dva odsjecka (u nasem slucaju AB na AF i BF ) tada vrijedi:zbroj cetverostrukog umnoska duljine cijele duzine i duljine prvog odsjecka te kvadrata duljine drugogodsjecka jednak je kvadratu zbroja duljine cijele duzine i duljine prvog odsjecka.

50

Mozemo uociti da oko sredista S imamo tri para jednakih kutova, a na opsegu

trokuta tri para jednakih duzina. Ako se iz svakog para duzina uzme po jedna duzina,

dobije se polovina zbroja strana. Dakle, svaka od tih duzina, koja lezi uz odredeni

kut trokuta, jednaka je poluopsegu trokuta, umanjenom za stranicu koja je tom kutu

nasuprotna. Tako vrijede sljedece jednakosti:

|AD| = s− a, |BD| = s− b, |CE| = s− c, (3)

a svaki od kutova sto su nasuprot jednoj takvoj duzini, suplementaran je sa sumom

onih dvaju kutova, koji su nasuprot drugim dvjema duzinama, odnosno

]BSD = 180◦ − ]ASC = ]ASG (4)

]ASD = 180◦ − ]CSB = ]BSG (5)

Racunanjem sinusa ova dva kuta, dobivamo:

|BD||BS|

=|AG||AS|

,|AD||AS|

=|BH||BS|

, (6)

odnosno|BD||BS|

· |AS||AG|

= 1,|AD||AS|

· |BS||BH|

= 1, (7)

Pomnozivsi lijeve i desne strane ovih jednakosti, dobivamo

|BD||AG|

· |AD||BH|

= 1, (8)

odnosno

|AG| · |BH| = |AD| · |BD|. (9)

Koristeci (3), ovu jednakost mozemo zapisati

|AG| · |BH| = (s− a)(s− b). (10)

Nadalje, iz slike 21.(]ACG = ]HCB = γ2) je ocito da vrijedi

sinγ

2=|AG||AC|

, sinγ

2=|BH||BC|

. (11)

Mnozeci lijeve i desne strane dobivamo:

sin2 γ

2=|AG||AC|

· |BH||BC|

=(s− a)(s− b)

ab. (12)

Kako je a = (s−c)+(s−b) i b = (s−c)+(s−a), dobit cemo ab = s(s−c)+(s−a)(s−b)Stoga (12) mozemo zapisati:

sin2 γ

2=

(s− a)(s− b)s(s− c) + (s− a)(s− b)

, (13)

51

ali i na ovaj nacin:

sin2 γ

2=|SE|2

|SC|2=

|SE|2

|CE|2 + |SE|2, (14)

Ako uzmemo reciprocne vrijednosti desnih strana jednakosti (13) i (14) i to izjednacimo,

dobit cemo:|CE|2

|SE|2=

s(s− c)(s− a)(s− b)

, (15)

Posto je |CE| = s− c i |SE| = r, imamo

(s− c)2 : r2 = s(s− c) : (s− a)(s− b). (16)

Odavde slijedi

r2 · s = (s− a)(s− b)(s− c). (17)

Nakon sto jednakost pomnozimo sa s i izvadimo korijen dobivamo

r · s =√s(s− a)(s− b)(s− c), (18)

odakle dobivamo polumjer r upisanog kruga.

Iz slike je vidljivo da je povrsina trokuta

P =ar

2+br

2+cr

2=r

2(a+ b+ c) =

r

2· 2s = r · s, (19)

pa iz (18) i (19) slijedi

P =√s(s− a)(s− b)(s− c). (20)

Dakle, na ovaj nacin dosli smo do Heronove formule za povrsinu trokuta ([16]).

52

Literatura

[1] D. Blanusa, Problem cetiriju boja, Glasnik matematicko – fizicki i astronomski,

(1946), 1, 31–42.

[2] Z. Dadic, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Zagreb, Skolska knjiga,

1992.

[3] Z. Dadic, Razvoj matematike, Zagreb, Skolska knjiga, 1975.

[4] Z. Dadic, Silobodova i Zoriciceva aritmetika, MIS, (2009), 10, 222–224.

[5] Z. Dadic, Silobodova i Zoriciceva aritmetika, Glasnik matematicko – fizicki i

astronomski, (1958), 13, 281–286.

[6] V. Devide, Akademik Danilo Blanusa (1903.–1987.), MIS, (2003), 19, 183–189.

[7] I. Drazic, Josip Ruder Boskovic: 300 godisnjica rodenja jednog od najvecih

hrvatskih umova, MIS, (2011), 59, 148–153.

[8] I. Drazic, Marin Getaldic, MIS, (2009), 27, 78–83.

[9] S. Gorjanc, Stogodisnjica rodenja Vilka Nicea, KoG, (2002), 6, 3–10.

[10] V. Kadum, O zivotu Rudera Boskovica, njegovom znanstvenom i filozofskom

radu, Metodicki ogledi, (2007), 14, 19–36.

[11] D. Kurepa, Vladimir Varicak, Glasnik matematicko – fizicki i astronomski,

(1948), 3, 64–76.

[12] B. Pavkovic, Rudolf Cesarec znanstvenik i pedagog, Mathematical Communica-

tions, (1996), 1, 67–74.

[13] D. Sisic, Karel Zahradnik, MIS, (2009), 4, 179–180.

[14] D. Sisic, Vladimir Varicak (1865.–1942.), MIS, (2009), 9, 169–170.

[15] D. Sisic, Getaldiceva konstrukcija parabole, MIS, (2009), 6, 30–31.

[16] V. Varicak, Boskovicevo izvodenje Heronove formule, MIS, (2001),11, 40–41.

[17] D. Veljan, Matematicki fizicar – akademik Zlatko Jankovic, Prirodoslovlje,

(2008), 8, 1–2.;65–78.

[18] http://www.matematika.hr/logotip,

web stranica Hrvatskog Matematickog Drustva, I. Ivansic, Blanusin graf , 10.

kolovoza 2011.

53

[19] http://e.math.hr/old/feller/index.html,

Hrvatski matematicki elektronicki casopis, 12, D. Zubrinic, William Feller

(1906–1970.) , 10. kolovoza 2011.

[20] http://e.math.hr/broj15,

Hrvatski matematicki elektronicki casopis, 15, I. Bilic, I. Vlajsovic, Povijest

hrvatske matematike, 10. kolovoza 2011.

[21] http://www.gap-system.org/ hystory/Biographies/Feller.html,

J.J. O’Connor,E.F.Robertson, William Feller, 10. kolovoza 2011.

[22] http://www.stkpula.hr/zuh/izbor.htm,

Z.Dadic,I.Martinovic,M.B.Klaric,S.Mardesic,S.Kutlesa,

Izlozba ”Znanost u Hrvata”, clanci vezani uz podrucje matematike, 10. kolovoza

2011.

[23] http://www.biografije.org/boskovic.htm, Josip Ruder Boskovic, 10. kolovoza 2011.

[24] http://essekeri.hr/bio, Matija Petar Katancic, 10. kolovoza 2011.

[25] http://www.rodoslovlje.hr/savjeti/vatroslav-ignac-josip-bertic,

B. Rucevic, Vatroslav Bertic, 10. kolovoza 2011.

[26] http://www.studentnet.hr,

Egzaktne znanosti u hrvatskoj kulturi, skripta, 10. kolovoza 2011.

54

Sazetak:

Diplomski rad Povijest hrvatske matematike sastoji se od sest poglavlja i priloga.

Svako poglavlje predstavlja odredeno povijesno razdoblje, poredano u kronoloskom

redoslijedu. Na pocetku svakog od poglavlja navedeni su bitni rezultati postignuti u

hrvatskoj znanosti. U prvom poglavlju (pod nazivom Stari vijek) nalaze se matematicki

rezultati hrvatskog naroda iz tog razdoblja, te predmeti koji su u to doba otkriveni:

suncani satovi, sestar i utezi. U drugom poglavlju, pod nazivom Srednji vijek, navedeni

su znacajni matematicari tog doba: Herman Dalmatin, Ivan Cesmicki i Federick Griso-

gono. Opisani su njihovi matemacki doprinosi. Trece poglavlje obuhvaca razdoblje 16.

stoljeca. Ovdje je rijec o razvoju skolstva, posebno matematike, u Hrvatskoj. U 16.

stoljecu Vrancic je napisao prvi rjecnik u kojem se pojavljuju matematicki pojmovi.

Najznacajniji matematicari su Franjo Petric i Ivan Ureman. Cetvrto poglavlje, 17.

stoljece, obuhvaca tekstove o matematici u hrvatskim skolama, te kako se razvijalo

hrvatsko matematicko nazivlje. Dva najznacajnija matematicara 17. stoljeca su Marin

Getaldic i Stjepan Gradic. Peto poglavlje bavi se razdobljem prosvjetiteljstva. U ovom

poglavlju posebno se spominje svjetski poznati istaknuti znanstvenik i matematicar

Ruder Boskovic. Takoer navodimo Matiju Petra Katancica.Silobod i Zoricic pisu dva

matematicka udzbenika na hrvatskom jeziku: Arithmetica Horvatszka i Aritmetika u

slavni jezik Illiricki. Tematika sestog poglavlja je razvoj hrvatske matematike u 19. i

20. stoljecu. Poglavlje je podijeljeno na razdoblje prije i razdoblje poslije drugog svjet-

skog rata. Spominjemo istaknute matematicare: do drugog svjetskog rata V. Varicak,

J. Majcen, S. Bohnicek, Z. Markovic i R. Cesarec, a nakon drugog svjetskog rata D.

Blanusa, V. Nice, Z. Jankovic, W. Feller i D. Kurepa. U prilogu su prikazani neki

rezultati nasih matematicara: Getaldiceva konstrukcija parabole i Boskovicev izvod

Heronove formule.

55

Summary:

The paper History of croatian mathematics consist of six chapters and appendix.

Each chapter presents a historical period, arranged in chronological order. At the be-

ginning of each chapter are presented the essential results in croatian science. The

first chapter (Antiquity age) provides the mathematical results of the Croats from that

period. Sundials, caliper and weights were found in the croatian territory. Herman

Dalmatin, Janus Panonius and Federick Grisogono were important mathematicians in

the Midlle age, who are mentioned in second chapter. The third chapter covers the

16th century. It’s about the development of educations, especially of math, in Croa-

tia. Vrancic was written his first dictionary, which contains mathematical terminology.

Franjo Petric and Ivan Ureman were very important mathematicians in the 16th cen-

tury. The fourth chapter, 17th century, deals with mathematics in croatian schools

and development of mathematical terminology. In the 17th century Marino Getaldi

and Stjepan Gradic are contributed to the development of mathematics. The fifth

chapter covers Age of Elightenment, 18th century. In this chapter specifically mention

the world-famous scientist and mathematician Ruder Boskovic. Also mentions Matiju

Petra Katancica. Two math books at croatian language, Arithmetica Horvatszka and

Aritmetika u slavni jezik Illiricki, was written by Silobod and Zoricic. The sixth chap-

ter deals with the mathematics of 19th and 20 century. The chapter is divided into

two parts: before and after World War II. Important croatian mathematicians before

World War II were: V. Varicak, J. Majcen, S. Bohnicek, Z. Markovic and R. Ce-

sarec. Famous croatian mathematician after World War II were: D. Blanusa, V. Nice,

Z. Jankovic, W. Feller and D. Kurepa. Appendix contains some results of our math-

ematicians: Gethaldi’s parabola construction and Boscovich’s proof of Heron’s formula.

56

Zivotopis

Rodena sam 07. prosinca 1987. godine u Nasicama. U razdoblju od 1994. do 2002.

pohadala sam Osnovnu skolu Josipa Jurja Strossmayera u Durdenovcu. 2002. go-

dine upisujem, a 2006. zavrsavam opcu gimnaziju u Srednjoj skoli Isidora Krsnjavog

u Nasicama. Iste godine upisujem se na Odjel za matematiku, Sveucilista Josipa Ju-

rja Strossmayera u Osijeku, smjer: Sveucilisni nastavnicki studij matematika – infor-

matika.

57