Roberto Juan Quevedo Quispe Implementação Numérica para ...livros01.livrosgratis.com.br/cp069016.pdfA equação de Richards é solucionada ... o modelo exponencial proposto por

Roberto Juan Quevedo Quispe

Implementação Numérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de concentração: Geotecnia.

Orientador: Celso Romanel

Rio de Janeiro Fevereiro de 2008

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611854/CA

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Implementação Numérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Celso Romanel Orientador, PUC-Rio

Christianne de Lyra Nogueira UFOP

Anna Paula Lougon Duarte Petrobrás

José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico da PUC-Rio

Rio de Janeiro, 22 de Fevereiro de 2008.

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total

ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do

autor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Mecânica de Fluidos na

especialidade de Hidráulica e Hidrologia pela Universidad

Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) de Lima, Peru,

em 2000.

Ficha Catalográfica

Quevedo Quispe, Roberto Juan

Implementação numérica para análise de fluxo

transiente 3D em barragens / Roberto Juan Quevedo

Quispe ; orientador: Celso Romanel. – 2008.

109 f. : il.(col.) ; 30 cm

Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)–Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,

2008.

Inclui bibliografia

1. Engenharia civil – Teses. 2. Fluxo transiente. 3.

Modelagem 3D. 4. Barragens. 5. Elementos finitos. I.

Romanel, Celso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD: 624

DBD


Aos meus queridos pais e irmãos.

DBD


Agradecimentos

Aos meus queridos pais e irmãos, pelo amor e apoio moral mesmo à distância.

Aos meus queridos tios Juan, Fanny, Victor e Silvia, por sempre terem acreditado

em mim.

Ao Professor Celso Romanel, pela orientação e conhecimentos transmitidos

durante a elaboração deste trabalho.

Ao Anderson Rezende que muito me ajudou no início deste trabalho, pela

paciência e apoio.

Aos meus amigos Julio Macias e Wagner Nahas, pelas inúmeras respostas às

minhas questões e pela amizade brindada.

À Priscila Tapajós, por ter me mostrado a cidade maravilhosa do Rio de Janeiro e

o encanto de seu povo.

Aos meus amigos Enrrique, Carla e Gladys, por terem compartilhado comigo

muitos momentos inesquecíveis.

Aos meus amigos e colegas da PUC-Rio, pelo carinho e amizade.

A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

pela concessão da bolsa de estudos que possibilitou suporte financeiro a esta

pesquisa.

DBD


Resumo

Quevedo Quispe, Roberto Juan; Romanel, Celso (Orientador). Implementação Numérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens. 2008. 109 p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Esta dissertação tem por objetivo a implementação de uma ferramenta

numérica para avaliação do fluxo transiente 3D saturado-não saturado em

barragens de terra e enrocamento, baseado no método dos elementos finitos e no

programa GEOFLUX implementado por Machado Jr. (2000) para análise de

problemas 2D. Nesta nova versão, foram incluídos elementos triangulares de 3 nós

para análises 2D e elementos tetraédricos de 4 nós para análises 3D.

Implementam-se também subrotinas que oferecem a possibilidade de variação das

condições de contorno com o tempo. A equação de Richards é solucionada

considerando a formulação mista e o método iterativo de Picard Modificado para

solução do sistema de equações não-lineares. Para a solução do sistema de

equações utiliza-se um armazenamento especial para matrizes esparsas associado

com o método do gradiente bi-conjugado, tornando o processo muito rápido,

mesmo em sistemas de grande porte. Utilizam-se dois modelos para representar as

curvas características: o modelo exponencial proposto por Srivastava e Yeh (1991)

e o modelo proposto por van Genuchten (1980). O programa computacional

desenvolvido (GEOFLUX3D) foi aplicado na análise de fluxo na barragem de

enrocamento de Gouhou, China, e na barragem de terra Macusani, Peru. Os

resultados numéricos indicam a necessidade de análises numéricas 3D em

barragens situadas em vales estreitos, onde os efeitos de geometria nas condições

de fluxo são significativos e não podem ser ignorados.

Palavras-chave

Fluxo transiente; modelagem 3D; barragens; elementos finitos.

DBD


Abstract

Quevedo Quispe, Roberto Juan; Romanel, Celso (advisor). Numerical Implementation for 3D Analysis of Transient Flow in Dams. 2008. 109 p. M.Sc. Thesis - Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The main objective of this thesis is to implement a numerical tool for the

evaluation of 3D saturated / unsaturated transient flow through earth and rockfill

dams with basis on the finite element method and a computer program written by

Machado Jr. (2000) for analysis of similar 2D flow problems. In the 3D version,

developed in this thesis, four-nodes tetrahedral elements were implement as well

as special subroutines that make possible to vary in time the boundary conditions.

The Richards’ equation is solved through a mixed formulation, for the solution of

the non-linear system of equations a Modified Picard’s method is employed. A

special algorithm is used to store the sparse matrices which, in association with the

bi-conjugated gradient method, rend the solver computationally very efficient,

even for a large number of equations. Two different models were used to represent

the characteristic curves: the exponential curve proposed by Srivastava and Yeh

(1991) and the formulation suggested by van Genuchten (1980). The improved

computer program, thereafter named GEOFLUX3D, was then applied for flow

analysis of the Gouhou rockfill dam (China) and the Macusani earth dam (Peru).

Numerical results point out that 3D numerical analyses are necessary for dams

situated in narrow valleys, where the influence of the terrain geometry on the flow

conditions are quite significant and cannot be just ignored.

Keywords

Transient flow, 3D model, dams, finite elements.

DBD


Sumário

1. Introdução 20

2. Fluxo em meios porosos não saturados 23

2.1. Meios porosos saturado e não saturado 23

2.2. Curva característica de sucção 25

2.2.1. Modelo de Srivastava e Yeh (1991) 27

2.2.2. Modelo de van Genuchten (1980) 28

2.3. Curva de condutividade hidráulica 29

2.3.1. Modelo de Srivastava e Yeh (1991) 30

2.3.2. Modelo de van Genuchten (1980) 31

2.4. Equação governante do fluxo em meio poroso não saturado 32

2.5. Solução númerica da equação de Richards pelo MEF 35

3. GEOFLUX3D - Implementação computacional 39

3.1. Consideraçãoes gerais 39

3.2. O programa GEOFLUX3D 40

3.2.1. Macro-comandos 40

3.2.2. Fluxograma básico 42

3.2.3. Comando DATBOUI 44

3.2.4. Comando SEEPAGE 45

3.2.5. Comando CALCOEFS 45

3.3. Discretização no espaço 48

3.3.1. Elemento TRI3 48

3.3.2. Elemento TETR4 48

3.4. Discretização no tempo 49

3.5. Metodo de Picard modificado 50

3.6. Critério de convergência 53

3.7. Matrizes e vetores 55

3.7.1. Matriz B 55

3.7.2. Matriz H 57

DBD


3.7.3. Matriz F 58

3.7.4. Vetor Q 58

3.7.5. Vetor Q ' 59

3.7.6. Vetor θF 59

3.7.7. Matriz de conductividade hidráulica )(ψK 60

3.7.8. Capacidade de retenção específica )(ψC 61

3.8. Armazenamento de dados e solução do sistema de equações 62

4. Exemplos de verificação 66

4.1. Fluxo transiente unidimensional 66

4.1.1. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por

um único material 67

4.1.2. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída de

dois materiais 71

4.2. Fluxo transiente bidimensional 75

5. Estudo de casos 79

5.1. Fluxo através da barragem de enrocamento Gouhou (China)

com face de concreto 79

5.1.1. Descrição da barragem Gouhou 80

5.1.2. Condições iniciais e de contorno 81

5.1.3. Propriedades dos materiais 82

5.1.4. Modelagem no espaço e no tempo 84

5.1.5. Análise e discussão dos resultados 85

5.2. Fluxo através da barragem de terra Macusani 89

5.2.1. Descrição da barragem Macusani 90

5.2.2. Casos de simulação 91

5.2.3. Propriedades dos materiais 84

5.2.4. Modelagem no espaço e no tempo 85

5.2.5. Análise e discussão dos resultados 95

5.2.5.1. Caso I: Primeiro enchimento do reservatório

(Kdreno = 4x10-5 m/s) 95

DBD


5.2.5.2. Caso II: Primeiro enchimento do reservatório

(Kdreno = 4x10-4 m/s) 97

5.2.5.3. Caso III: Rebaixamento rápido do reservatório 99

5.2.6. Comparação de resultados com o programa computacional

Seep3D 100

6. Conclusões e sugestões 103

7. Referências bibliográficas 106

DBD


Lista de figuras

Figura 2.1 – Distribuição de poro-pressão típica em um horizonte

de solo 23

Figura 2.2 – Curva característica de retenção típica de um solo

Siltoso (Fredlund e Xing, 1994) 26

Figura 2.3 – Forma típica da curva característica de retenção

conforme modelo exponencial 27

Figura 2.4 – Forma típica da curva característica de retenção

de acordo com o modelo de van Genuchten (1980) 29

Figura 2.5 – Forma típica da curva da função de condutividade

hidráulica para o modelo exponencial 30

Figura 2.6 – Forma típica da curva da função de condutividade

hidráulica para o modelo de van Genuchten (1980) 31

Figura 2.7 – Volume elementar sujeito a fluxo nas direções x, y e z 32

Figura 3.1 – Fluxograma básico do programa GEOFLUX3D 42

Figura 3.2 – Exemplo de aplicação da variação de condição de

contorno primária 44

Figura 3.3 – Exemplo de aplicação da condição de contorno de

fluxo livre Seepage 45

Figura 3.4 – Resultados do GEOFLUX3D aplicando condição de

contorno SEEPAGE 46

Figura 3.5 – Fluxograma básico do comando CALCOEFS 47

Figura 3.6 – Elemento TRI3 48

Figura 3.7 – Elemento TETR4 49

Figura 3.8 – Malha de elementos finitos simplificada 63

Figura 3.9 – Matriz Posic montada a partir da malha simplificada 64

Figura 3.10 – Matriz MatVal montada a partir da malha simplificada 64

Figura 4.1 – Infiltração em uma coluna de solo constituída de um

único material – malha de elementos finitos e valores das condições

iniciais e de contorno 67

DBD



único material – análise preliminar 68


único material – resultados numéricos e analíticos 69

Figura 4.4 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de um

único material – malha de elementos finitos e valores das condições


Figura 4.5 – Drenagem em uma coluna de solo constituída de um

único material – resultados numéricos e analíticos 71

Figura 4.6 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de dois

materiais – malha de elementos finitos e valores das condições


Figura 4.7 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois

materiais – resultados numéricos e analíticos 73

Figura 4.8 - Drenagem de uma coluna de solo constituída de dois

materiais – malha de elementos finitos e valores das condições


Figura 4.9 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois

materiais – resultados numéricos e analíticos 75

Figura 4.10 – Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo

constante aplicado numa faixa da superfície, com indicação das

condições iniciais e de contorno 76

Figura 4.11 – Malha de elementos finitos, utilizada para simulação

da infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante

aplicado em uma faixa da superfície 77

Figura 4.12 - Evolução das cargas de pressão computadas pelo

GEOFLUX3D 77

Figura 4.13 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo

constante aplicado numa faixa da superfície – comparação dos

resultados numéricos e analíticos em (a) 36 min; (b) 72 min 78

Figura 5.1 - Localização da barragem Gouhou na China 79

Figura 5.2 - Barragem Gouhou: (a) seção transversal A-A de altura

máxima; (b) seção longitudinal B-B vista desde montante 80

DBD


Figura 5.3 - Modelo geométrico 3D e condições de contorno para

a simulação de fluxo transiente na barragem Gouhou, China 81

Figura 5.4 - Curvas granulométricas dos materiais empregados nas

zonas de enrocamento da barragem Gouhou. 82

Figura 5.5 - Curvas características de retenção para os materiais

correspondentes nas zonas de enrocamento 1 e 2. 83

Figura 5.6 - (a) Modelo geométrico 2D da barragem Gouhou,

(b) malha de elementos finitos tipo TRIA3 84

Figura 5.7 - (a) Modelo geométrico 3D da barragem Gouhou,

(b) malha de elementos finitos tipo TETR4 84

Figura 5.8 - Evolução no tempo da superfície freática na barragem

Gouhou 85

Figura 5.9 - Evolução no tempo dos contornos das isóbaras (kPa) na

seção transversal máxima da barragem Gouhou 86

Figura 5.10 - Evolução no tempo dos contornos de poropressão (kPa)

na seção longitudinal da barragem em x = 111,56m 87

Figura 5.11 - Distribuição de cargas de pressão (m) na barragem

Gouhou depois de 0,4 dias 88

Figura 5.12 - Distribuição de cargas totais (m) na barragem Gouhou

depois de 0,4 dias 88

Figura 5.13 - Localização da barragem Macusani no Peru 89

Figura 5.14 - Barragem Macusani: (a) Seção transversal A-A de altura

máxima; (b) Seção longitudinal. 90

Figura 5.15 - Modelo geométrico simplificado e condições de contorno

para análise de fluxo 3D na barragem de terra Macusani, Peru 91

Figura 5.16 - (a) Modelo geométrico 2D da barragem Macusani,

(b) malha de elementos finitos tipo TRIA3 94

Figura 5.17 - (a) Modelo geométrico 3D da barragem Macusani,

(b) malha de elementos finitos tipo TETR4 94

Figura 5.18 - Evolução da superfície freática na barragem Macusani

para o caso I sob diferentes tempos 95


na seção transversal em z = 290 m para o caso I 96

Figura 5.20 - Contornos de poro pressão (kPa) na secção de corte em

DBD


z = 290 m para o caso II 97

Figura 5.21 - Distribuição final de cargas de pressão (m) na

barragem Macusani depois de 1000 dias (condição de regime

permanente) para o caso II 98

Figura 5.22 - Distribuição final das cargas totais (m) na barragem

Macusani depois de 1000 dias (condição de regime permanente)

para o caso II 98

Figura 5.23 - Evolução da posição da superfície freática com o

tempo, após rebaixamento rápido do reservatório 99


na superfície de talude de montante após o rebaixamento rápido 100

Figura 5.25 - Comparação das posições das superfícies freáticas na

seção máxima A–A, determinadas pelo GEOFLUX3D e pelo programa

comercial Seep3D v.1.15, em análises tridimensionais na condição de

fluxo em regime permanente para o caso I 101

Figura 5.26 - Comparação das posições das superfícies freáticas na

seção máxima A–A, determinadas pelo GEOFLUX3D e pelo programa

comercial Seep3D v.1.15, em análises tridimensionais na condição de

fluxo em regime permanente para o caso II 101

DBD


Lista de tabelas

Tabela 3.1 – Incidência nodal dos elementos da malha simplificada 63

Tabela 3.2 – Montagem da matriz Posic 63

Tabela 4.1 – Infiltração em uma coluna de solo constituída de um

único material - parâmetros do modelo exponencial 67

Tabela 4.2 – Infiltração e drenagem em uma coluna de solo

constituída de dois materiais - parâmetros do modelo exponencial 73

Tabela 4.3 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo

constante aplicado a uma faixa da superfície – parâmetros do

modelo exponencial. 76

Tabela 5.1 – Parâmetros do modelo de van Genuchten (1980) nos

materiais da barragem Gouhou, China 83

Tabela 5.2 – Função de variação de carga hidráulica na superfície

do talude de montante (primeiro enchimento do reservatório) 92

Tabela 5.3 - Função de variação de carga hidráulica na superfície

do talude de montante (rebaixamento rápido do reservatório) ................92

Tabela 5.4 – Materiais empregados na barragem Macusani e seus

respectivos coeficientes de condutividade hidráulica na condição

saturada. (CISMID) 93

Tabela 5.5 – Tabela 5.5 - Materiais empregados na barragem

Macusani e respectivos parâmetros do modelo de van Genuchten

(1980) utilizado para análise sob regime transiente (CISMID) 93

Tabela 5.6 - Comparação de vazões totais calculadas pelos

programas GEOFLUX3D e SEEP3D em análises 3D na barragem

de terra Macusani 102

DBD


Lista de símbolos

A Área [L2]

aij Cosseno do ângulo entre a direção principal i e o

eixo j do sistema de coordenadas globais [-]

B Matriz que relaciona o gradiente hidráulico com a

carga hidráulica total

( )ψC Capacidade de retenção específica [L-1]

D Matriz de coeficientes

e Vetor de componente unitaria na direção da

aceleração da gravidade

F Matriz de capacidade de retenção ou matriz de

massa

θF Vetor empregado na formulação de Picard

modificado

H Carga hidráulica total [L]

H Matriz de fluxo

J Matriz Jacobiana

1−J Inversa da matriz Jacobiana

J Determinante da matriz Jacobiana

)(, ψKK Matriz de condutividade hidráulica [L2T-1]

SSS KKK 32,1 , Condutividades hidráulicas nas direções principais

[L2T-1]

Mw Massa de água [M]

m Iteração anterior

m+1 Iteração corrente

Matval Matriz que armazena os valores das posições não

nulas da matriz esparsa D

N Matriz das funções de interpolação

Ni Funções de interpolação

n Passo do tempo anterior

DBD


n+1 Passo de tempo corrente

n Vetor unitario em direção normal ao contorno de

um elemento finito

en Porosidade [-]

ne Número de nós de uma malha de elementos

finitos igual ao número de elementos da matriz

esparsa D

nne Número de elementos não nulos da matriz

esparsa D

p Parâmetro do modelo de van Genuchten (1980) [-]

Posic Matriz que armazena as posições não nulas da

matriz esparsa D

q Parâmetro do modelo de van Genuchten (1980) [-]

Q Vazão [L3T-1]

Q Vetor de vazões nodais equivalente ao fluxo

prescrito [L3T-1]

Q ' Vetor de vazões nodais que traduz uma parcela

da vazão relativa a efeitos gravitacionais [L3T-1]

R Vetor de Respostas

)( *ψR Resíduo do método de Galerkin [L3T-1]

S Grau de saturação [-]

t Tempo [T]

aru Pressão do ar [MT-2L-1]

wu Pressão da água [MT-2L-1]

wV Volume de água [L3]

eV Volume do elemento [L3]

zyx ,, Coordenadas globais [L]

y Carga de elevação [L]

ψ Carga de pressão [L]

ψ Vetor de cargas de pressão [L]

0ψ Vetor de cargas de pressão iniciais [L]

DBD


i Gradiente hidráulico [-]

q Vetor de vazões específicas [L2T-1]

ξ,η,ζ Coordenadas locais dos elementos [-]

φ Potencial total da água [ML2T-2]

gφ

Energia potencial gravitacional da água [ML2T-2]

mφ

Potencial matricial da água [ML2T-2]

oφ

Potencial osmótico da água [ML2T-2]

pφ

Potencial de pressão da água [ML2T-2]

tφ Potencial térmico da água [ML2T-2]

θ Teor de umidade volumétrica [L3L-3]

θ Vetor de teor de umidade volumétrica [L3L-3]

rθ Teor de umidade volumétrica residual [L3L-3]

sθ Teor de umidade volumétrica saturada em

processos de infiltração [L3L-3] 'Sθ

Teor de umidade volumétrica saturada em

processos de drenagem [L3L-3]

eθ Teor de umidade volumétrica relativa [L3L-3]

wρ Massa específica da água [ML-3]

wγ Peso específico da água [ML-1T-2]

α Coeficiente que define o tipo de marcha no tempo

[-]

vgα Parâmetro do modelo de van Genuchten (1980)

[L-1]

expα Parâmetro do modelo do modelo exponencial

(1994) [L-1]

H∇ Vetor gradiente de carga total [L]

ψ∇ Vetor gradiente de carga de pressão [L]

t∆ Tamanho do passo de tempo [T]

Ω Domínio do modelo

eΩ Domínio do elemento

Γ Contorno do modelo

DBD


eΓ Contorno do elemento

1Γ Contorno com condição de Dirichlet

2Γ Contorno com condição de Neumann

ijδ Delta de Kronecker

v Vetor de velocidade superficial de fluxo [LT-1]

DBD


Introdução 20

1 Introdução

Uma das principais etapas no projeto e monitoramento de barragens de terra

e de enrocamento é a avaliação da vazão, dos gradientes hidráulicos e das

poropressões em diversos pontos e regiões da barragem a fim de se estimar os

riscos decorrentes do fluxo de água através do corpo da barragem, de sua

fundação e/ou ombreiras.

Na engenharia geotécnica a análise deste problema normalmente requer a

utilização de modelos bi-dimensionais, por meio da seleção de uma seção

transversal da barragem e de sua fundação que seja considerada a mais

representativa, ou crítica, do problema. Esta metodologia tem vários apelos a

favor, como a tradição do projeto de barragem considerando um problema de

fluxo no plano, a maior rapidez de processamento numérico em

microcomputadores, maior facilidade na construção do modelo e na imposição de

condições de contorno, menor dificuldade na obtenção dos relevantes parâmetros

de engenharia através de ensaios de campo ou de laboratório, etc.

Entretanto, a adoção da representação no plano de um problema

inerentemente tridimensional pode causar a obtenção de respostas incorretas,

como no caso de barragens de terra construídas em vales profundos e estreitos, em

forma de V, situação típica de regiões montanhosas, como ao longo da cordilheira

dos Andes na América do Sul.

Programas computacionais baseados no método dos elementos finitos para

análise de fluxo de água 3D através de maciços de solo, incluindo a resposta

transiente e aspectos relativos ao comportamento de materiais parcialmente

saturados, são raramente encontrados e, quando disponíveis comercialmente,

revelam-se ainda bastante caros ou com limitações.

O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta

numérica GEOFLUX3D, com base no método dos elementos finitos escrito na

linguagem Fortran, para a análise das condições de fluxo transiente em barragens

DBD


Introdução 21

com geometrias tridimensionais irregulares, a partir do programa computacional

GEOFLUX elaborado por Machado (2000) para situações de fluxo bidimensional.

Os efeitos 3D no comportamento hidráulico de barragens de terra podem ser

então verificados pelas diferenças de resultados obtidos na simulação

computacional do mesmo problema através da utilização simultânea de malhas de

elementos finitos bi e tridimensionais, respectivamente. Conforme será observado,

os erros introduzidos pela simplificação 2D podem ser importantes, justificando a

realização de análises 3D a despeito da maior dificuldade na modelagem

geométrica do problema e do maior tempo necessário para processamento e

análise dos resultados.

A estrutura desta dissertação está dividida em 6 capítulos:

No segundo capítulo são introduzidos conceitos básicos associados ao fluxo

não saturado, das curvas características de sucção com os modelos utilizados para

sua implementação numérica, bem como é apresentada a equação geral

governante do problema de fluxo 3D transiente (equação de Richards), em forma

matricial tendo em vista a solução deste problema de valor inicial através da

aplicação do método dos elementos finitos.

O terceiro capítulo refere-se às implementações computacionais executadas

durante o desenvolvimento do programa GEOFLUX3D, as discretizações feitas

nos domínios do espaço e do tempo, a solução da não-linearidade da equação de

Richards pelo método de Picard Modificado, os critérios de convergência

adotados e, finalmente, as matrizes e vetores característicos para a solução

numérica do problema.

O quarto capítulo apresenta os exemplos de verificação do programa

desenvolvido nesta dissertação, comparando os resultados analíticos determinados

em algumas análises uni e bidimensionais com os correspondentes valores

numéricos calculados com base no programa GEOFLUX3D.

O quinto capítulo trata dos exemplos de aplicação da ferramenta numérica

em barragens projetadas em vales estreitos, com a ocorrência de efeitos 3D no

fluxo de água. No primeiro exemplo, analisa-se o comportamento da barragem de

enrocamento Gouhou, localizada na China, comprando-se os resultados numéricos

da análise transiente com aqueles reportados por Chen e Zhang (2006). No

segundo, analisam-se as condições de fluxo (sob regime transiente e permanente)

DBD


Introdução 22

na barragem de terra Macusani, também se comparando os resultados na condição

permanente com aqueles obtidos por Huertas (2006) que utilizou o programa

comercial SEEP3D, v.1.15. Em ambos os exemplos, a potencialidade do

programa computacional GEOFLUX3D é demonstrada e justificada como

ferramenta de projeto para análise de problemas de fluxo 3D em barragens de

terra.

Finalmente, o sexto capítulo resume as principais conclusões obtidas neste

trabalho e apresenta também algumas sugestões para pesquisas futuras nesta área.

DBD


Fluxo em Meios Porosos Não Saturados 23

2 Fluxo em meios porosos não saturados

2.1. Meios porosos saturado e não saturado

O fluxo através de um meio poroso não-saturado é nada mais do que um

caso especial de fluxo simultâneo de fluidos não miscíveis (BEAR, 1972). Para o

caso mais comum em solos não saturados, esses fluidos são denominados

molhante e não-molhante, sendo estes a água e o ar, respectivamente. Assim, o

fluxo em um meio poroso não-saturado ocorre quando a água se movimenta

através de um solo com grau de saturação (S) inferior a 100% (com relação ao

fluido molhante), com partes dos espaços vazios ocupados pelo ar, considerado

aqui estagnado, isto é, que não se encontra em movimento. Na figura 2.1 são

ilustradas as distribuições da pressão de água abaixo da superfície do solo.

Figura 2.1 – Distribuição de poro-pressão típica em um horizonte de solo.

A zona saturada é a região na qual os vazios do solo estão totalmente

preenchidos por água e a carga de pressão é positiva. A franja capilar, por sua vez,

é a região de ascensão capilar na qual o solo ainda se encontra saturado, porém

sujeito a uma carga de pressão negativa.

DBD



A zona não-saturada é a região na qual os vazios do solo são preenchidos

por ar e água, também submetida a uma poropressão negativa. Nessa zona, a

distribuição inicial de poropressões é incerta dependendo das características do

meio poroso, sendo necessário para sua determinação medições em campo. A

pressão uar indicada na Figura 2.1, é chamada pressão de entrada de ar; que

caracteriza a interface entre a franja capilar e a zona não-saturada, surgindo assim

uma propriedade própria dos solos não-saturados denominada sucção, definida

pela diferença entre a pressão de entrada de ar (uar) e a pressão da água (uw) nos

vazios do solo, como definido pela equação abaixo.

war uusucção −= (2.1)

Com a diminuição do grau de saturação, os vazios maiores, responsáveis em

grande parte pela condutividade hidráulica do meio poroso, são os primeiros a

serem drenados, interrompendo o canal de fluxo, com o volume de água neles

remanescente se concentrando sob forma de meniscos no contato com as

partículas. A maior parte do fluxo se transfere para os vazios menores, diminuindo

assim o coeficiente de permeabilidade do meio em até 100 mil vezes em relação

ao seu valor na condição saturada. Para baixos teores de umidade ou altas sucções

o coeficiente de permeabilidade pode ser tão pequeno que podem ser necessários

gradientes hidráulicos elevados ou intervalos de tempo muito grandes para que

seja possível detectar a ocorrência de fluxo no meio.

Se, por simplicidade for desconsiderado o valor da pressão de entrada de

ar, a sucção seria então expressa apenas em função da pressão negativa de água

nos vazios:

ψγ ⋅−=−= wwusucção (2.2)

em que γw é o peso especifico da água e ψ a carga de pressão. Note que como ψ <

0, então a sucção assume sempre um valor positivo, que se torna nulo quando a

carga de pressão for maior ou igual a zero.

Nos solos não-saturados, as propriedades hidráulicas tais como a

condutividade hidráulica (K) e o teor de umidade volumétrica (θ) variam com as

DBD



mudanças da carga de pressão (ψ) devido à presença de ar no meio poroso. A

variação dessas propriedades pode ser representada pelas curvas características θ

= θ(ψ), chamada de curva de retenção de água ou curva característica de sucção, e

K = K(ψ), denominada curva de condutividade hidráulica.

2.2. Curva característica de sucção

O teor de umidade volumétrica (θ) é definido pela equação 2.3 como a razão

entre o volume de água (Vw) presente no interior do meio poroso e seu volume

total V.

VVw /=θ (2.3)

Nos solos não-saturados a sucção está relacionada com o teor de umidade

volumétrica (θ) através da curva característica de sucção ou curva de retenção de

água, ilustrada na figura 2.2, onde são exibidos três pontos de destaque.

O primeiro é constituído pelo valor da pressão de entrada de ar (uar), que

corresponde ao valor da sucção para a qual o ar começa penetrar nos poros de

maior diâmetro no solo.

O segundo ponto é aquele correspondente ao teor de umidade volumétrica

residual (θr) a partir do qual tem que se acrescentar em um grande valor à sucção

para produzir pequenas variações na umidade volumétrica.

O terceiro, finalmente, corresponde ao teor de umidade volumétrica de

saturação, teoricamente igual à porosidade do solo, já que neste ponto todos os

vazios estão preenchidos pela água. Porém, como observado na figura 2.2, este

ponto pode ser diferente nos processos de umedecimento (θ’s) e de secagem (θs),

sendo maior neste último. Esse tipo de comportamento está associado à não

uniformidade dos poros, à presença de bolhas de ar que permanecem no solo

durante o processo de umedecimento e a possíveis mudanças estruturais

(Gerscovich, 1994; Reichardt e Timm, 2000).

DBD



Figura 2.2 – Curva característica de retenção típica de um solo siltoso (Fredlund e Xing,

1994).

A curva característica de retenção pode ser determinada através de ensaios

de laboratório ou aplicação de relações empíricas. As técnicas experimentais

consagradas para a medição da sucção são as de papel filtro e da placa de sucção

(diferenciando-se principalmente quanto ao nível de sucção aplicada), a partir das

quais podem ser obtidos pontos da citada curva (Villar, 2002).

No método do papel filtro, padronizado pela norma ASTM D5298-92, o

solo é colocado em contato com o papel filtro, de menor umidade, que absorve

certa quantidade de água até que o sistema solo + papel entre em equilíbrio

hidráulico. Dispondo-se da curva de calibração do papel, a sucção então pode ser

determinada em função da quantidade de água do solo absorvida pelo papel.

A curva característica de sucção é muito afetada pela estrutura do solo,

sendo indispensável a utilização de amostras indeformadas (Soares, 1999).

Quanto a relações empíricas, na literatura encontram-se as proposições

sugeridas por van Genuchten (1980), Srivastava e Yeh (1991), Fredlund e Xing

(1994), dentre outros.

Neste trabalho foram adotados para a representação da curva característica

de retenção os modelos propostos por van Genuchten (1980) e por Srivastava e

Yeh (1991), apresentados a seguir.

DBD



2.2.1. Modelo de Srivastava e Yeh (1991)

Srivastava e Yeh (1991) utilizaram a seguinte função exponencial para

modelagem da curva característica de retenção em solos não saturados:

ψαθθθψθ exp)()( ersr −+= (2.4)

na qual θr é o teor de umidade volumétrica residual, θs o teor de umidade

volumétrica saturado, ψ a carga de pressão, e αexp é um parâmetro que varia de

acordo com o tipo de solo e que representa a taxa de redução do teor de umidade

volumétrica a medida que a carga de pressão diminui. O formato típico da curva

de retenção de acordo com esta relação é apresentado na figura 2.3.

Figura 2.3 – Forma típica da curva característica de retenção conforme modelo

exponencial.

Esse modelo apresenta um valor de capacidade de retenção específica

ψ

θψ

∂

∂=)(C diferente de zero para a situação de saturação a uma pressão nula.

Em uma situação real, desprezando-se as variações de volume, isso não

poderia acontecer. Assim, pode-se considerar que a aplicação do modelo de

Srivastava e Yeh (1991) seria adequada para problemas que envolvam fluxo

DBD



somente na zona não-saturada. Cabe ainda ressaltar que esse modelo não é capaz

de reproduzir a zona de ascensão capilar, caracterizada pela pressão de entrada de

ar, e também não representa a histerese mostrada na figura 2.2 (αexp é o mesmo

para ciclos de umedecimento ou de secagem).

2.2.2. Modelo de van Genuchten (1980)

A equação (2.5) foi proposta por van Genuchten (1980) para representação

da relação entre o teor de umidade volumétrico e a carga de pressão em solos não-

saturados,

( )[ ]p

q

rs

r

ψα

θθθψθ

vg1

)(

+

−+=

(2.5)

em que αvg, p e q são parâmetros a serem ajustados de acordo com o tipo de solo.

Valores de p e q são dependentes entre si, de acordo com a relação abaixo (van

Genuchten, 1980):

qp

11−= (2.6)

Segundo Miller et al (1998) o parâmetro αvg está relacionado com a

dimensão média dos poros e o parâmetro q com a uniformidade da distribuição

dos poros de diferentes dimensões. O formato típico de uma curva de acordo com

a equação (2.5) é ilustrado na figura 2.4.

Este modelo, ao contrário do anterior, apresenta uma capacidade de retenção

nula para a condição de saturação e ainda é capaz de caracterizar a zona de

ascensão capilar. Com essas características, o modelo de van Genuchten tornou-se

o mais utilizado para simulação do comportamento hidráulico de solos não-

saturados, tendo sido incorporados em vários softwares comerciais como o

programa computacional PlaxFlow. Entretanto, este modelo também não

considera a histerese observada entre processos de umedecimento e secagem.

DBD



Figura 2.4 – Forma típica da curva característica de retenção de acordo com o modelo de

van Genuchten (1980).

2.3. Curva de condutividade hidráulica

A outra curva característica na investigação do comportamento hidráulico

de solos não-saturados se refere à que relaciona a permeabilidade com a carga de

pressão.

Segundo Soares (1999), os métodos para a determinação da permeabilidade

não saturada dos solos tanto em campo como no laboratório, podem ser divididos

em duas categorias: Métodos de Regime Permanente (Permeâmetro de Guelph -

campo) e Métodos de Regime Transiente (Método do perfil Instantâneo – campo e

laboratório).

Porém esses métodos são muito difíceis de serem aplicados, geralmente

devido a fenômenos de difusão do ar e em virtude das pequenas quantidades de

fluxo medidas. Deste modo, pesquisadores propuseram métodos indiretos para a

determinação da curva de condutividade hidráulica com base na curva

característica de sucção, surgindo desta forma modelos estatísticos e modelos

empíricos (Fredlund et al., 1994; van Genuchten, 1980; Srivastava e Yeh, 1991),

dentre outros. Neste trabalho, foram novamente implementados os modelos

propostos por van Genuchten (1980) e Srivastava e Yeh (1991), descritos a

seguir.

DBD



2.3.1. Modelo de Srivastava e Yeh (1991)

Para a utilização desta formulação empírica é necessário conhecer-se

diversos pontos da curva característica de sucção do solo não-saturado, bem como

o valor da condutividade hidráulica na condição saturada.

O exponencial de Srivastava e Yeh (1991) para a curva de condutividade

hidráulica consiste basicamente na equação (2.7), onde αexp representa o mesmo

parâmetro empregado no ajuste da curva característica de sucção (equação 2.4) e

Ks denota o valor da condutividade hidráulica saturada [LT-1

].

ψαψ exp)( eKK s= (2.7)

Uma forma esquemática da curva de condutividade hidráulica saturada – não

saturada para o modelo exponencial é mostrada na figura 2.5.

Figura 2.5 – Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo

exponencial.

DBD



2.3.2. Modelo de van Genuchten (1980)

Dentre os modelos estatísticos utilizados para descrever a função de

condutividade hidráulica, pode-se destacar o modelo proposto por Mualem (1976)

baseado na dimensão e distribuição estatística dos vazios de um meio poroso. A

partir deste modelo estatístico, van Genuchten (1980) propôs a seguinte

formulação empírica para representação da função de condutividade hidráulica:

( )( )2/12/1

11)(pp

eesKK θθθ −−⋅= (2.8)

em que a umidade volumétrica relativa ( eθ ) é definida por:

( )[ ]p

qrs

r

e

ψαθθ

θθθ

vg1

1

+

=−

−=

(2.9)

na qual p, q, e αvg, são os mesmos parâmetros empregados nas equações (2.5) e

(2.6) para estabelecimento da curva característica de sucção, sendo que ψ

representa o valor da carga de pressão.

Figura 2.6 – Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo de

van Genuchten (1980).

DBD



2.4. Equação governante do fluxo em meio poroso não-saturado

Considerando um volume elementar submetido a um fluxo de água nas

direções x, y e z, como indicado na figura 2.6. A equação diferencial que governa

o fluxo pode ser escrita como:

t

Mdzdydxv w

w

T

∂

∂−=⋅⋅⋅⋅∇ )(ρ (2.10)

em que ρw é a massa específica da água, v é o vetor de velocidade superficial de

fluxo e ∇ T um operador diferencial que depende da dimensão do problema.

O termo do lado esquerdo da equação (2.10) representa o balanço de massa

nas três direções cartesianas, enquanto que o termo do lado direito representa a

taxa de variação no tempo da massa de água (Mw) armazenada no volume

elementar.

Figura 2.7 – Volume elementar sujeito a fluxo de água nas direções x, y e z.

A massa de água pode ser escrita em termos da massa especifica (ρw), do

grau de saturação (S), da porosidade do meio (ne) e do volume diferencial

(dx.dy.dz) como sendo:

dzdydxnSM ww ⋅⋅⋅⋅⋅= eρ (2.11)

DBD



Substituindo a equação (2.11) na equação (2.10) e eliminando os termos

comuns, chega-se em

t

nSv ew

w

T

∂

⋅⋅∂−=⋅∇

)()(

ρρ (2.12)

Observando-se que

Sne ⋅=θ (2.13)

e considerando-se que o fluido e o meio são incompressíveis, então a equação

2.12 pode ser re-escrita como:

tv

T

∂

∂−=∇

θ (2.14)

Admitindo-se condições de fluxo laminar do fluido através do meio poroso,

vem pela lei de Darcy:

)()( ψψ +∇⋅−= zKv (2.15)

na qual )(ψK é a matriz da condutividade hidráulica, que para problemas de fluxo

não-saturado depende da carga de pressão, e ∇(z+ψ) é o vetor dos gradientes

hidráulicos, observando-se que z e ψ são, respectivamente, as cargas de elevação

e de pressão no ponto considerado.

Substituindo a equação 2.15 na equação 2.14 resulta em:

tKeK

T

∂

∂=∇+∇

)(])()([

ψθψψψ (2.16)

em que e é um vetor unitário na direção da aceleração da gravidade (z).

Tendo em vista que na equação (2.16) o teor de umidade volumétrico é

função da carga de pressão (curva de retenção):

DBD



)(ψθθ = (2.17)

aplica-se a regra da cadeia na obtenção da derivada em relação ao tempo do lado

direito da equação (2.16),

tt ∂

∂⋅

∂

∂=

∂

∂ ψ

ψ

θψθ )( (2.18)

Introduzindo-se a capacidade de retenção específica (C(ψ)) definida pela

relação:

ψ

θψ

∂

∂=)(C (2.19)

obtém-se da equação (2.18),

tC

t ∂

∂=

∂

∂ ψψ

ψθ)(

)( (2.20)

Substituindo-se finalmente a equação (2.20) em (2.16) a equação governante

do fluxo em meio poroso não-saturado pode ser escrita como:

tCKeK

T

∂

∂=∇+∇

ψψψψψ )(])()([ (2.21)

Esta equação (2.21) é conhecida como equação de Richards, classificada

como equação diferencial parcial de segunda ordem não-linear. A não linearidade

surge devido à variação da condutividade hidráulica do meio poroso em função

dos valores da carga de pressão.

Na formulação apresentada, o efeito da fase do ar no movimento da água foi

desconsiderado, simplificando-se o problema. O caso mais geral seria o de fluxo

bifásico água-ar, onde os movimentos de ambas as fases, e conseqüentemente sua

interação, devem ser considerados simultaneamente (Nielsen et al.,1986).

DBD



A solução da equação de Richards deverá atender às condições de contorno

que podem ser expressas em termos de carga de pressão prescrita (condição de

Dirichlet):

−

= ψψ ),( tx em Γ1 (2.22)

ou em fluxo prescrito (condição de Newman):

[ ]−

=∇+ vKeKn ψψψ )()(T em Γ2 (2.23)

na qual Γ = Γ1+Γ2 define o contorno do domínio ( Ω ) do problema.

A solução da equação (2.21) deverá, ainda, atender à condição inicial do

problema:

)()0,(0

xx

−

= ψψ (2.24)

Observe finalmente que para a solução numérica da equação (2.21) é

necessária a determinação das curvas características K = K(ψ) e θ = θ(ψ) que,

como foi destacado anteriormente, são propriedades intrínsecas do material para

um determinado fluído.

2.5. Solução numérica da equação de Richards pelo método dos elementos finitos

A equação de Richards (equação 2.21) apresenta uma grande não-

linearidade, já que tanto a condutividade hidráulica (K) quanto a capacidade de

retenção específica (C) são funções da carga de pressão (ψ), variável que se busca

determinar (Miqueletto 2007).

Não existindo soluções analíticas da equação para análise de problemas com

geometrias complexas, as aproximações numéricas são as mais recomendadas

para este tipo de problema. Dentre os métodos numéricos mais utilizados podem

ser citados o Método das Diferencias Finitas (MDF) e o método dos Elementos

Finitos (MEF).

DBD



Para a solução aproximada da equação de Richards foi adotado neste

trabalho o Método dos Elementos Finitos (MEF), onde o contínuo ( Ω ) é dividido

em elementos ( Ω e), que se encontram ligados entre si através de nós distribuídos

aos longo de seus contornos.

Considerando-se ψ* uma solução aproximada de ψ no domínio do

elemento ( Ω e), a equação 2.21 pode ser escrita como:

)()()]()()([ **

* ψψ

ψψψψ Rt

CKeKT =∂

∂⋅−∇+∇ (2.25)

em que R(ψ*) representa o resíduo da solução aproximada.

A solução aproximada de ψ no domínio do elemento ( Ω e) é usualmente

escrita no método dos elementos finitos considerando-se:

ψψ ⋅= N* (2.26)

na qual N denota a matriz das funções de interpolação, definidas em função do

tipo de elemento finito adotado, e ψ representa o vetor das cargas de pressão

nodais.

Assim, re-escreve-se a equação (2.25) como:

)()()]()()([ *ψψ

ψψψψ Rt

NCNKeKT =

∂

∂⋅⋅−⋅∇+∇ (2.27)

Aplicando-se o método dos resíduos ponderados (Huyakorn e Pinder, 1983),

a minimização do resíduo R(ψ*) é obtida através da introdução de funções de

ponderação que, no método de Galerkin, são as próprias funções de interpolação

N.

0)()]()()([ =Ω∂

∂⋅⋅−⋅∇+∇∫

Ωe

e

TT dt

NCNKeKNψ

ψψψψ (2.28)

Integrando-se por partes os dois primeiros termos de equação 2.28 vem:

DBD



∫ ∫ ∫Γ Ω Γ

−Γ⋅+Ω⋅⋅∇⋅⋅∇−Γ⋅⋅∇⋅⋅

e e e

e

TT

e

T

e

TT deKnNdNKNdNKnN ])([)()()()]()([ ψψψψψ

0)()()( =Ω⋅∂

∂⋅⋅⋅−Ω⋅⋅⋅∇ ∫∫

ΩΩ ee

e

T

e

Td

tNCNdeKN

ψψψ (2.29)

na qual Γe representa o contorno do elemento e n o vetor unitario externo, normal

ao contorno.

Considerando-se

N∇ = B (2.30)

e agrupando-se os termos, resulta:

∫ ∫Ω Ω

=∂

∂⋅Ω⋅⋅⋅+⋅Ω⋅⋅⋅

e et

dNCNdBKB e

T

e

T ψψψψ )()(

∫∫ΩΓ

Ω⋅⋅⋅−Γ⋅⋅⋅+

ee

e

T

e

TT deKBdBKeKnN )(])()([ ψψψψ

(2.31)

que é a solução aproximada da equação de Richards pelo método dos elementos

finitos. Esta equação, para efeitos de simplificação, pode ser definida como, a

nível do elemento finito:

'QQt

FH −=∂

∂⋅+⋅

ψψ (2.32)

Com a matriz de fluxo

∫Ω

Ω⋅⋅⋅=

e

e

T dBKBH )(ψ (2.33)

o vetor de vazão nodal equivalente ao fluxo prescrito na face do elemento,

∫Γ

Γ⋅⋅⋅+=

e

e

TT dBKeKnNQ ])()([ ψψψ (2.34)

DBD



o vetor de vazão nodal equivalente relacionado aos efeitos gravitacionais (carga

de elevação),

∫Ω

Ω⋅⋅⋅=

e

e

T deKBQ )(' ψ (2.35)

e a matriz de capacidade de retenção que traduz as variações do teor de umidade

em relação à poropressão em cada elemento.

∫Ω

Ω⋅⋅⋅=

e

e

T dNCNF )(ψ (2.36)

Celia et al. (1990) observaram que os resultados do MEF apresentam

oscilações na previsão da carga de pressão, concluindo que a diagonalização da

matriz F (equação (2.36)) é condição necessária e suficiente para a eliminação

desse problema. Atribuíram esse comportamento oscilatório ao fato de que no

MEF as derivadas no tempo são distribuídas espacialmente quando se considera a

formulação da matriz consistente, ou seja, quando as mesmas funções de

interpolação são usadas para a construção de todas as matrizes e vetores da

formulação numérica.

Fisicamente, a diagonalização representa que a propriedade relativa à

capacidade de retenção não está mais distribuída nos elementos, mas concentrada

em seus nós, resultando em uma matriz diagonal (“lumping”).

Neste trabalho adotou-se o seguinte esquema de diagonalização da matriz

F proposto por Milly (1985), expresso pela equação (2.37).

∫Ω

Ω⋅⋅⋅=

e

eiiji dNCF )(, ψδ (2.37)

em que δi,j é o delta de Kroenecker, )(ψiC é a capacidade de retenção específica

do nó i e iN representa as funções de interpolação associadas ao grau de

liberdade i.

DBD


GEOFLUX3D - Implementação Computacional 39

3 GEOFLUX3D - Implementação computacional

3.1. Considerações gerais

Um dos principais objetivos desta dissertação foi o desenvolvimento de um

programa computacional para solução de problemas de fluxo através de meios

porosos saturados e não-saturados em domínios tridimensionais. Para esta

finalidade, foi escrito em linguagem Fortran e com base no método dos elementos

finitos o programa computacional GEOFLUX3D.

O programa foi desenvolvido a partir do programa GEOFLUX (Machado

Jr., 2000) para análise de fluxo através de meios porosos não-saturados em

análises bidimensionais. Foram efetuadas as adaptações necessárias para a

resolução de problemas tridimensionais, mantendo-se a mesma estrutura de

macro-comandos do programa original.

Nesta nova versão, adotaram-se elementos triangulares de 3 nós (TRI3) para

análises bidimensionais e elementos tetraédricos de 4 nós (TETR4) para estudos

tridimensionais. A razão da escolha destes elementos foi a facilidade na

construção de malhas, que se adaptam bastante bem a domínios com contornos

irregulares, bem como por não apresentarem necessidade da execução de

integrações numéricas, diminuindo assim o tempo de processamento, mas

exigindo malhas com maior refinamento de discretização.

Cabe ressaltar também que no programa GEOFLUX3D foram

implementadas novas subrotinas para a variação das condições de contorno no

tempo, tanto em termos das variáveis primárias (cargas hidráulicas) quanto

secundárias (velocidades).

Para a solução da não linearidade foram empregados os métodos de Picard e

de Picard modificado utilizando para esta última a formulação mista, é dizer a

equação de Richards baseada na carga de pressão e no teor de umidade

volumétrico, diminuindo desta forma erros por balanço de massa como apontado

antes por Celia et al., 1991.

DBD



Para a geração das malhas de elementos finitos trabalhou-se com o pré-

processador do programa GID v.8.0, desenvolvido pelo Centro Internacional de

Métodos Numéricos em Engenharia (CIMNE) com sede em Barcelona – Espanha.

Optou-se pelo GID devido à facilidade de se operar com distintos tipos de

materiais e elementos, assim como devido à flexibilidade na prescrição das

condições de contorno em geometrias 3D complexas. Os arquivos contendo as

informações das malhas possuem extensão *.flavia.msh e têm um formato de

saída muito parecido com os arquivos do tipo “neutral file”.

O código do GEOFLUX3D foi desenvolvido utilizando-se a versão 6.6 do

compilador Compaq Visual FORTRAN Professional. O programa não exige

recursos computacionais especiais porém, dependendo do problema a ser

simulado, é fundamental que se trabalhe com uma máquina atualizada e com boa

capacidade de memória e velocidade de processamento. Para a realização das

simulações descritas no Capítulo 5 foram utilizados desde computadores com

capacidade de processamento de 1GHz e 1GB de memória RAM a computadores

com capacidade de processamento de 3,40 GHz e 3,25GB de memória RAM. Os

tempos de processamento, em termos gerais, foram bastante rápidos, alcançando

em malhas de grandes tamanhos menos de um minuto por iteração.

Para a visualização dos resultados utilizou-se também o pós-processador do

GID v.8.0. Os arquivos contendo as informações dos resultados do GEOFLUX3D

têm a extensão *.flavia.res, sendo um formato de entrada muito fácil de

implementar tanto em relação a grandezas escalares (cargas hidráulicas) quanto

vetoriais (velocidades e gradientes).

3.2. O programa GEOFLUX3D 3.2.1. Macro-comandos

O programa é capaz de interpretar macro-comandos utilizados para acionar

um conjunto de sub-rotinas responsáveis por uma tarefa computacional específica.

O programa GEOFLUX3D possui oito macro-comandos principais, descritos a

seguir de forma sintética:

DBD



MANAGER: Macro-comando responsável pelo gerenciamento de todos os outros

macro comandos.

DADOS: responsável pela entrada de dados, ativando as subrotinas que efetuam a

leitura dos dados gerais, da geometria do problema.

MATMSH: responsável pela leitura das distribuições e propriedades dos

materiais do modelo.

DATBOU: macro-comando que realiza a leitura das condições iniciais, a partir de

um arquivo-texto independente que contem valores iniciais de carga de pressão ou

de carga hidráulica para todos os nós da malha de elementos finitos.

DIRICHLET: controla a leitura das condições de contorno primárias (também

chamadas de Dirichlet), as quais podem ser admitidas constantes ou variáveis no

tempo.

NEWMAN: controla a leitura dos valores de fluxo normal prescrito no contorno

(condições de contorno de Newman) e também calcula a correspondente vazão

nodal equivalente se a vazão for distribuída.

SOLVE_T: ativa a subrotina COEFS para a solução do sistema de equações do

problema e apresentação dos resultados assim calculados.

FEXEC: responsável pela finalização do programa.

DBD



3.2.2. Fluxograma básico

A figura 3.1 mostra um fluxograma básico do programa GEOFLUX3D

desenvolvido nesta dissertação:

Figura 3.1 – Fluxograma básico do programa GEOFLUX3D.

Apresentam-se a seguir as características das principais subrotinas

empregadas pelo programa:

DBD



ABRE: responsável pela abertura dos arquivos do tipo texto de entrada (*.D).

DADOS: responsável pela leitura dos dados gerais via arquivo texto (*.D);

DATMSH: responsável pela leitura dos dados geométricos (coordenadas dos nós

e conectividades dos elementos) via arquivo texto (*.flavia.msh);

DATMAT: responsável pela leitura de dados e distribuição dos materiais no

domínio do problema via arquivo texto (*.D);

DATBOU: responsável pela leitura das condições iniciais via arquivo texto

(*.INI) contendo a distribuição das cargas de pressão ou das cargas hidráulicas

totais no tempo t = 0;

DATBOUI: responsável pela leitura das condições de contorno, via arquivo texto

(*.D), em termos de cargas de pressão prescritas, cujos valores podem ou não

variar com o tempo. Esta subrotina foi modificada em relação à versão inicial do

GEOFLUX e será discutida em detalhe no próximo item desta seção;

SEEPAGE: responsável pela leitura, via arquivo texto (*.D), dos nós

inicialmente sem condição de contorno prescrita, mas que com o tempo e sob

determinadas circunstâncias, podem sofrer a imposição de cargas de pressão

prescritas (valores nulos) com o propósito de definir uma superfície de fluxo livre

em problemas não-confinados. Esta nova subrotina implementada no

GEOFLUX3D será também apresentada em detalhe no item 3.2.3;

Q_DIST: responsável pela leitura das condições de contorno em termos de fluxo

normal prescrito, via arquivo texto (*.D), e pelo cálculo do vetor de vazão nodal

equivalente, cujos valores podem ou não variar com o tempo;

Q_POIN: responsável pela leitura da vazão nodal prescrita via arquivo texto

(*.D);

DBD



CALCOEFS: responsável pelo gerenciamento do processo de solução no tempo e

no espaço, considerando iterações para obtenção da solução não-linear. Esta

subrotina é considerada a principal do programa e será discutida com suas

respectivas modificações em detalhe no item 3.2.4;

GIDVIEW: responsável pela impressão dos resultados: cargas nodais, gradientes

e velocidades, no formato exigido para o pós-processamento através do utilitário

GID (*.flavia.res);

FEXEC: responsável pela finalização da análise.

3.2.3. Comando DATBOUI

O comando DATBOUI define as condições de contorno em termos da

variável primária (carga hidráulica). Na versão original do GEOFLUX estas

condições eram consideradas fixas durante a simulação. O GEOFLUX3D oferece

a alternativa de mudar essas condições de contorno no tempo. Os nós pertencentes

ao contorno, com suas respectivas cargas hidráulicas iniciais e a função que define

sua variação no tempo, tem que ser listados na utilização deste comando.

Esta mudança das condições de contorno primárias pode ser aplicada, por

exemplo, quando se deseja simular o enchimento ou o rebaixamento rápido do

reservatório de uma barragem. Neste caso, os nós com condição de contorno

variável são aqueles pertencentes à face do talude da montante, como mostrado

na figura 3.3, onde as condições de contorno variam no tempo, de acordo com a

posição do nível de água no reservatório.

Figura 3.2 – Exemplo de aplicação da variação de condição de contorno primária.

DBD



3.2.4. Comando SEEPAGE

O comando SEEPAGE refere-se a valores de contorno que variam de

acordo com as condições de fluxo durante a simulação. Devem ser listados os nós

que definem as superfícies através das quais a água possa fluir para o exterior do

domínio do problema.

Esta condição SEEPAGE pode ser acionada, por exemplo, quando ocorre

fluxo através do talude de jusante de uma barragem, onde a posição final da linha

freática é desconhecida (figura 3.3). Nesta figura, admitem-se conhecidas as

cargas hidráulicas no talude da montante (4,5 m) e no talude da jusante (1,0 m),

procurando-se então determinar a posição da linha freática em um determinado

instante de tempo com auxílio da condição de contorno SEEPAGE aplicada na

face de jusante.

Figura 3.3 – Exemplo de aplicação da condição de contorno de fluxo livre SEEPAGE.

Nos segmentos de superfície sob a condição SEEPAGE, o programa

GEOFLUX3D assume uma carga de pressão nula quando tais segmentos estão na

condição saturada (SEEPAGE ATIVO) ou um fluxo normal nulo quando estes

estão na condição não-saturada (SEEPAGE INATIVO).

Na figura 3.4 são mostrados os nós que formam os segmentos de superfície

considerados sob condições de contorno SEEPAGE ATIVO / INATIVO, assim

como as linhas equipotenciais na condição de fluxo permanente no caso da

barragem mostrada na figura 3.3.

Como o número de segmentos de superfície sob condição SEEPAGE

ATIVO sofre variação durante a simulação transiente do problema de fluxo, o

processo de cálculo é necessariamente de natureza não-linear.

DBD



Figura 3.4 – Resultados do GEOFLUX3D aplicando condição de contorno SEEPAGE.

3.2.5. Comando CALCOEFS

O comando CALCOEFS esquematizado na figura 3.5 é responsável pela

resolução do problema de fluxo, no espaço e no tempo, e pelo tratamento da não-

linearidade do processo utilizando as seguintes subrotinas:

PSIO: Constrói o vetor global de cargas de pressão ψ0 iniciais;

COEFS: Monta os termos da equação (2.32), iniciando um processo iterativo de

acordo com o método de Picard atualizando as variáveis primárias (cargas de

poropressão) até atingir um critério de convergência. Maiores detalhes desta

subrotina nos itens 3.5, 3.6 e 3.7;

SOLVE: Resolve o sistema representado pela equação matricial (2.32), iniciando

com um esquema de armazenamento espacial da matriz esparsa e em seguida

resolvendo pelo método de gradiente bi-conjugado. Maiores detalhes desta

subrotina no item 3.8;

RESULT: Controla a saída dos resultados para o pós-processamento;

DBD



Figura 3.5 – Fluxograma básico do comando CALCOEFS.

DBD



3.3. Discretização no espaço

3.3.1. Elemento TRI3

O elemento TRI3, de aproximação linear para as cargas de pressão, é

utilizado nas análises bidimensionais. Como mencionado anteriormente, optou-

se por este tipo de elemento por ser de fácil implementação numérica e extrema

flexibilidade de adaptação na construção de qualquer malha de elementos finitos

2D.

Figura 3.6 – Elemento TRI3.

O elemento TRI3 é ilustrado na figura 3.3 e suas respectivas funções de

interpolação (Ni), em relação ao sistema de coordenadas locais (ξ,η), são

apresentadas nas expressões abaixo:

ηηξξηξ

ηξηξ

==

−−=

),(

),(

1),(

3

2

1

N

N

N

(3.1)

3.3.2. Elemento TETR4

O elemento TETR4, também de aproximação linear da variável primária

(cargas de pressão), é utilizado nas análises de fluxo tridimensionais.

DBD



Figura 3.7 – Elemento TETR4.

O elemento TETR4 é ilustrado na figura 3.4 e suas respectivas funções de

interpolação (Ni), em relação ao sistema de coordenadas locais (ξ,η,ζ), são

expressas na equação (3.2); :

ζζηξηζηξξζηξ

ζηξζηξ

===

−−−=

),,(

),,(

),,(

1),,(

4

3

2

1

N

N

N

N

(3.2)

3.4. Discretização no tempo

Reescrevendo-se a equação (2.32) com o termo dependente do tempo à

esquerda do sinal de igualdade,

'QQHt

F −+⋅−=∂∂

⋅ ψψ (3.3)

Assumindo-se que nessa equação ψ =ψ (t) e integrando-se no elemento,

dtQQHdFt

∫∫ −+⋅−=⋅ ]'[ ψψψ

(3.4)

DBD



Aplicando-se o método das diferenças finitas, onde o tempo total é

subdividido em intervalos de tempo ∆t = tn+1 - tn, e supondo ainda uma variação

linear das matrizes F , H , Q e Q ’ dentro desse intervalo ∆t, pode-se então

adotar as seguintes aproximações para cada um dos termos na equação (3.4).

(Hageman e Young, 1981)

)(1

1nn

FdFn

n

ψψψψ

ψ

−⋅=⋅+

∫+

(3.5)

])1([11

1nnnn

t

t

HHtdtHn

n

ψαψαψ ⋅⋅−+⋅⋅⋅∆=⋅⋅++

∫+

(3.6)

)]'()1()'([)'( 11

1

nn

nn

t

t

QQQQtdtQQn

n

−⋅−+−⋅⋅∆=⋅− ++

∫+

αα (3.7)

Introduzindo-se na equação (3.4) as expressões (3.5), (3.6) e (3.7), resulta a

seguinte equação após rearranjo dos termos:

)]')(1()'(])1([)( 111

1 nn

nnnnn

nQQQQH

t

FH

t

F−−+−+−−

∆=⋅+

∆++++ ααψαψα (3.8)

onde n representa o passo de tempo anterior (resultados conhecidos) e n+1 o passo

de tempo corrente (variável primária desconhecida). O coeficiente α é aquele que

define o tipo de algoritmo no tempo, poendo variar entre os valores 0 a 1. Para α

= 0 tem-se um esquema explícito, para α = 0.5 resulta no esquema de Crank-

Nicolson e para α = 1 tem-se o esquema puramente implícito (diferenças finitas

descendentes).

3.5. Método de Picard modificado

De acordo com Paniconi (1991) a equação de Richards é altamente não-

linear devido às características das funções de condutividade hidráulica e da

DBD



capacidade de retenção específica, que por sua vez são dependentes das cargas de

pressão e dos teores de umidade volumétricos.

Segundo Neuman (1973), o esquema puramente implícito (α = 1) é o que

melhor se aplica a problemas que possuem, no seu domínio, fluxo em condições

não-saturada e saturada. Adotando esse critério na equação 3.8; chega-se à

seguinte equação:

1111

')( ++++−+⋅

∆=+

∆n

nnnn

QQt

FH

t

F ψψ (3.9)

para cuja solução são utilizados métodos iterativos, dentre os quais os mais

conhecidos são os métodos de Newton-Raphson e o de Picard.

O método de Picard, conhecido também como método das aproximações

sucessivas, tem entre suas principais vantagens a facilidade de implementação

(bem mais simples do que o método de Newton-Raphson), a manutenção da

simetria do sistema de equações e um menor custo computacional para cada

iteração. Porém, pode apresentar problemas de convergência em problemas

altamente não lineares, conforme reportado por Paniconi et al.,1991.

O método de Picard é definido de acordo com o seguinte algoritmo

baseado na equação (3.9), onde m representa à iteração anterior e m+1 à iteração

corrente.

mnmnn

mnmnmn

mn

QQt

FH

t

F ,1,1

,11,1,1

,1

')( +++

++++

−+⋅∆

=+∆

ψψ (3.10)

Célia et al. (1990) introduziram o método de Picard Modificado, escrito de

forma mista e considerando, na equação de fluxo, termos de carga de pressão e de

teor de umidade volumétrico, já que a solução numérica baseada na equação de

Richards, expressa somente em termos de carga de pressão, geralmente produz

resultados insatisfatórios caracterizados por erros na conservação de massa. A

formulação mista, por outro lado, minimiza os erros no balanço de massa, ainda

que este fato, por si só, não seja suficiente para garantir a obtenção de uma boa

solução numérica.

DBD



Adotou-se no desenvolvimento do GEOFLUX3D o método de Picard

Modificado, cuja formulação é similar ao algoritmo da equação (3.10),

acrescentada de mais um termo dependente do teor de umidade volumétrico no

lado direito, precisamente aquele que procura minimizar os erros de conservação

de massa, como mostrado a seguir:

tFQQ

t

FH

t

Fnmn

mnmnmn

mnmnmn

mn

∆−

⋅+−+⋅∆

=+∆

+

++++

++++

θθψψ θ

,1

,1,1,1

,11,1,1

,1

')( (3.11)

em que

∫Ω

Ω⋅=e

ei dNFθ . (3.12)

Como pode ser observado na equação (3.11), diferentemente do método de

Picard da equação (3.10), o vetor de cargas de pressão não é mais aquele vetor que

era conhecido no passo de tempo anterior, e sim o vetor de cargas de pressão

calculado na iteração anterior, tendo que ser atualizado em todas as iterações até

atingir a solução dentro do limite de erro relativo previamente estabelecido.

Neuman (1973) sugere que o cálculo dos coeficientes F, H, Q e Q’ seja

efetuado no ponto médio do intervalo de tempo, resultando em

tFQQ

t

FH

t

Fnmn

mnmnmn

mn

mnmn

mn

∆−

⋅+−+⋅∆

=+∆

++++

++++

+θθ

ψψ θ

,2

1

,2

1,

2

1,

2

1,2

1

1,1,2

1,2

1

')( (3.13)

Definindo-se

)(,

2

1,2

1

,2

1mn

mnmn

Ht

FD

++

++

∆= (3.14)

tFQQ

t

FR

nmnmnmnmn

mn

mn

∆−

⋅+−+⋅∆

=+

++++

+ θθψ θ

,2

1

,2

1,

2

1,

2

1,

2

1

,2

1

' (3.15)

DBD



e substituindo-as na equação matricial 3.13, obtém-se então a equação (3.16), que

constitui o sistema de equações a ser resolvido em cada iteração até que seja

atingido o critério de convergência.

mnmnmn

RD,

2

11,1,

2

1++++

=⋅ψ (3.16)

3.6. Critério de convergência

Neste trabalho foi adotado como critério de convergência o algoritmo

proposto por Gerscovich (1994), que utiliza o método de Picard baseado nas

propostas de Neuman (1973) e de Huyakorn e Pinder (1983). Este critério foi

também empregado por Machado Jr. (2000) na versão original do GEOFLUX.

Neste algoritmo, uma primeira aproximação para a carga de pressão é

calculada a partir da condição inicial:

0,2

1,

ψψψ ==+ mnmn

(3.17)

Em seguida, uma segunda aproximação mn ,1+

ψ é cálculada através de uma

extrapolação linear :

)(2,

2

1,1 nmnnmn

ψψψψ −+=++

(3.18)

Com o vetor de carga de pressão da equação (3.18) entra-se na equação

(3.16) e calcula-se um novo vetor de cargas de pressão representado por 1,1 ++ mn

ψ ,

que em seguida é verificado pelo critério de convergência definido por:

Tolerânciamn

mnmn

≤−

++

+++

1,1

,11,1

ψ

ψψ (3.19)

DBD



na qual:

∑= 2

iψ (3.20)

denota a norma Euclidiana do vetor ψi.

Se o critério de convergência não for satisfeito, então o valor de 1,

2

1++ mn

ψ é

atualizado através de

2

2

,2

11,1

1,2

1

mnnmn

mn

+++

+++

+

=ψψψ

ψ (3.21)

Com este novo valor de 1,

2

1++ mn

ψ reavaliam-se os coeficientes da equação

(3.16), obtém-se uma nova aproximação para 1,1 ++ mn

ψ , e mais uma vez o critério

de convergência na equação (3.19) é verificado. Esse processo é repetido até que o

critério de convergência seja satisfeito, quando então o valor de 1,

2

1++ mn

ψ é

finalmente calculado como

2

1,11,11,

2

1 nmnmnmn ψψψψ −

+=++

++++ (3.22)

Concluído o ciclo iterativo, atualiza-se o valor de n

ψ

1,1 ++=

mnn

ψψ (3.23)

e continua-se à marcha no tempo.

DBD



3.7. Matrizes e vetores

Neste item são apresentadas as matrizes B, H e F , assim como os vetores

Q , 'Q e θF utilizados na equação (3.13). Apresentam-se ainda o processo de

determinação da matriz de condutividade hidráulica )(ψK e do coeficiente de

retenção específica C(ψ).

Todas as matrizes e vetores foram avaliados para análises tridimensionais

utilizando o elemento tetraédrico TETR4. e modo análogo, mas simplificado,

podem ser obtidas as correspondentes matrizes e vetores para o elemento

triangular TRIA3 utilizado em análises de fluxo 2D.

3.7.1. _ Matriz B

O operador diferencial para problemas tridimensionais pode ser escrito

como:

∂∂∂∂∂∂

=∇

z

y

x

(3.24)

e a matriz das funções de interpolação para elementos tetraédricos como

=

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

4321

4321

4321

ζηξζηξζηξζηξ



NNNN

NNNN

NNNN

N (3.25)

Substituindo as equações (3.24) e (3.25) na equação (2.30) tem-se:

DBD



∂∂∂∂∂∂

=

z

y

x

B

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

4321

4321

4321




NNNN

NNNN

NNNN

(3.26)

Fazendo-se uma transformação de coordenadas globais para coordenadas

locais, com a aplicação da regra da cadeia do cálculo diferencial e rearranjando-se

os termos resulta em

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=×

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

4321

4321

4321

43

NNNN

NNNN

NNNN

zzz

yyy

xxx

B

(3.27)

Aplicando o conceito da matriz Jacobiana, responsável pela transformação

das derivadas espaciais em relação do sistema de coordenadas global para o

natural de coordenadas (ξ,η,ζ), vem:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=×

444

333

222

111

4321

4321

4321

33

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

zyx

zyx

zyx

zyx

NNNN

NNNN

NNNN

J

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

(3.28)

onde (xi, yi, zi), representa as coordenadas globais dos nós do tetraedro mostrado

na figura 3.4 .

A inversa da matriz Jacobiana é dada pela equação:

DBD



∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=×−

zzz

yyy

xxx

J

ζηξ

ζηξ

ζηξ

331

(3.29)

que substituída na equação (3.27) produz:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= −××

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ζζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ηζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

ξζηξ

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

4321

4321

4321

1

3343

NNNN

NNNN

NNNN

JB

(3.30)

Aplicando-se, finalmente, as correspondentes funções de interpolação para o

elemento TETR4, definidas na equação (3.2), tem-se finalmente

−

−

−

−

−

−

=

−

×

1001

0101

0011

1001

0101

0011

1

444

333

222

111

43

zyx

zyx

zyx

zyx

B

(3.31)

onde se nota que a matriz B é função única das coordenadas globais dos nós do

elemento.

3.7.2. _ Matriz H

A matriz H, denominada matriz de fluxo, resulta da integral apresentada na

equação (2.33). Efetuando-se a transformação do sistema de coordenadas tem-se

ζηξψηξξ

dddJBKBHT ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ×××

−−−

× ∫∫∫ 433334

1

0

1

0

1

0

44 )( (3.32)

DBD



onde J é o determinante da matriz jacobiana, e )(ψK é a matriz de

condutividade hidráulica, cuja determinação será discutida posteriormente.

A integração da equação (3.32) pode ser obtida analiticamente para

tetraedros com 4 nós, pois a matriz B é constante no elemento. Logo,

6)( 43333444

JBKBH

T ⋅⋅⋅= ×××× ψ (3.33)

3.7.3. _ Matriz F

A matriz F resulta da integral apresentada na equação (2.37) que, em

coordenadas locais, é expressa por:

ζηξψδηξξ

dddJNCF i

e

iji ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∫∫∫∑−−−

×

1

0

1

0

1

0

,44 )( (3.34)

onde ji,δ é o delta de Kroenecker e Ci(ψ) é a capacidade de retenção específica

avaliada no nó i, cuja determinação também será discutida posteriormente.

24)(,44

JCF iji ⋅⋅=× ψδ (3.35)

3.7.4. _ Vetor Q

Vetor que representa às vazões nodais impostas como condição de contorno

prescritas (condição de Newman), expresso pela integral apresentada na equação

(2.34). O vetor Q pode ser especificado diretamente como entrada de valor nodal

ou facilmente calculado quando representado de forma distribuída sobre a face do

elemento.

No GEOFLUX3D, quando o fluxo for distribuído e imposto na direção

normal à face do elemento, o valor da vazão nodal será dado pela taxa de fluxo

DBD



(L3/T/L

2) multiplicada pela área da respectiva face (L

2) e dividido finalmente pelo

numero de nós (3) ligados à face em questão do elemento TETR4.

3.7.5. _ Vetor Q’

O vetor 'Q incorpora uma parcela de vazão relacionada com efeitos

gravitacionais (carga de elevação) e é definido pela integral apresentada na

equação (2.35).

Com a transformação do sistema de coordenadas, a equação em termos de

coordenadas locais é escrita como :

ζηξψηξξ

dddJeKBQT ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ×××

−−−

× ∫∫∫ 133334

1

0

1

0

1

0

14 )(' (3.36)

cuja solução é dada por:

6)(' 13333414

JeKBQ

T ⋅⋅⋅= ×××× ψ (3.37)

Onde:

=×

0

10

13e (3.38)

3.7.6. _

Vetor Fθθθθ

Vetor definido pela integral apresentada na equação (3.12), cuja solução

analítica é dada por:

24

1

1

1

1

14

JF ⋅

=×θ (3.39)

DBD



3.7.7. _

Matriz de condutividade hidráulica K (ψψψψ)

Para o caso mais geral, na análise de fluxo 3D em um meio anisotrópico,

K (ψ) representa uma matriz (3x3) com nove componentes não-nulas. Assumindo

o tensor como simétrico, é possível definir em qualquer ponto do domínio de

fluxo um sistema de coordenadas locais para o qual K (ψ) é diagonal.

O GEOFLUX3D permite variar a orientação das direções principais de

fluxo nos elementos, aplicando-se uma rotação nos eixos locais de coordenadas de

modo que se tornem coincidentes com as direções principais do tensor de

condutividade hidráulica.

As componentes principais na condição saturada K1s, K2s, K3s, junto com os

co-senos dos ângulos formados entre as direções principais do tensor de

condutividade e os eixos do sistema global de coordenadas, devem ser

especificados.

As componentes principais K1, K2 e K3 são avaliadas em cada elemento em

função das componentes principais saturadas K1s, K2s, K3s e da carga de pressão

(ψ), caso o meio se encontre não-saturado. Para essa avaliação, o GEOFLUX3D

incorporou duas formas de análise; na primeira, utiliza-se a função de

condutividade hidráulica apresentada por Srivastava e Yeh (1991), dada pela

equação (2.7), enquanto que na segunda, faz-se uso da função de condutividade

hidráulica proposta elo modelo de van Genuchten (1980), expressa pela equação

(2.8).

Assim, as componentes principais são transformadas para o sistema de

coordenadas globais (x,y,z) no início das simulações através das seguintes

relações:

131331212211111 aaKaaKaaKK xx ++= (3.40a)

232332222212121 aaKaaKaaKK yy ++=

(3.40b)

333332323213131 aaKaaKaaKK zz ++=

(3.40c)

231332212212111 aaKaaKaaKK yx ++=

(3.40d)

331332312213111 aaKaaKaaKK zx ++=

(3.40e)

332332322213121 aaKaaKaaKK zy ++=

(3.40f)

DBD



onde ai j representa o co-seno do ângulo formado entre a direção principal i da

matriz K (ψ) e o eixo j do sistema de coordenadas globais.

3.7.8.

Capacidade de retenção específica C(ψψψψ)

Para o tratamento da capacidade de retenção específica na zona não-

saturada, apresentam-se também duas alternativas: a primeira, obtendo-se a

capacidade de retenção específica a partir do modelo de Srivastava e Yeh (1991),

ψααθθψθψ ⋅⋅⋅−== exp

exp)()( ed

dC rs (3.41)

Na segunda alternativa, definindo-se a capacidade de retenção específica

com base no modelo de van Genuchten (1980),

( ) 1

1

)(1

)()()(

+

−

⋅+

⋅⋅−⋅⋅⋅==

pq

vg

q

vgrsvg qp

d

dC

ψα

ψαθθαψθψ (3.42)

Para a zona saturada e para a zona de ascensão capilar a capacidade de

retenção específica é normalmente nula. Porém, é conveniente considerar um

valor de C(ψ) diferente de zero para estas regiões, mas bastante baixo, com o

propósito de evitar dificuldades de origem numérica.

Paniconi et al. (1991) destacam que numericamente uma capacidade de

retenção específica diferente de zero preserva o caráter parabólico da equação

diferencial, superando portanto dificuldades na convergência que podem surgir

caso a equação se torne elíptica tanto na região residual quanto na de saturação e

as condições de contorno naturais não forneçam uma solução única. Valores de

capacidade de retenção específica não nulos são necessários para evitar uma

singularidade na interface entre as regiões saturada e não-saturada conforme

observado por Machado Jr. (2000). Portanto, adota-se para a zona saturada, para a

zona de ascensão capilar e ainda para a região de saturação residual um valor de

C(ψ) bastante pequeno, mas diferente de zero. Nos exemplos estudados nesta

dissertação considerou-se um valor da ordem de 10-10

.

DBD



3.8. Armazenamento de dados e solução do sistema de equações

A equação matricial (3.16) tem que ser resolvida em cada iteração. Para

análises 3D são geradas uma enorme quantidade de equações, dependendo da

quantidade de nós que compõem a malha de elementos finitos e do tipo de

elemento empregado. No caso do elemento TETR4, conforme já mencionado, é

necessário uma discretização espacial e temporal bastante pormenorizada.

A matriz dos coeficientes representada por D na equação 3.16 é esparsa,

visto que nem todos os nós são interconectados entre si, sendo a maioria dos

elementos desta matriz nulos. Procura-se então um sistema de armazenamento

eficiente a fim de economizar espaço na memória e agilizar o tempo de

processamento.

No programa GEOFLUX3D implementou-se um sistema de armazenamento

bastante versátil, onde a matriz de coeficientes D constituída por um número de

coeficientes igual ao quadrado do número de nós (ne x ne), foi armazenada em

outras duas matrizes denominadas Posic (nne x 50) e MatVal (nne x 50), onde nne

denota o número de coeficientes não nulos. A matriz Posic contém os indicadores

das posições dos coeficientes não nulos (nne) da matriz D , enquanto que a

matriz MatVal contem propriamente os valores dos coeficientes.

Após o preenchimento de ambas as matrizes, se procede então à solução do

sistema de equações pelo método do gradiente bi-conjugado. constatando-se que

os tempos para a solução do sistema de equações são muito rápidos, mesmo com

sistemas de equações de grande porte.

Com a finalidade de esquematizar a técnica de implementação do algoritmo

e as vantagens da opção de armazenamento da matriz esparsa nas matrizes Posic e

MatVal, apresenta-se a seguir um exemplo com a malha simplificada da figura

3.8, que contém 6 nós, denotados por Ο, formando 4 elementos triangulares,

denotados por ∆.

A tabela 3.1 apresenta as incidências nodais de todos os elementos.

DBD



Figura 3.8 – Malha de elementos finitos simplificada.

Tabela 3.1 – Incidência nodal dos elementos da malha simplificada.

Elementos Incidências nodais

1 1 3 2

2 1 4 3

3 4 5 3

4 4 6 5

Observando-se as incidências nodais, a tabela 3.2 pode ser construída para a

montagem da matriz Posic, onde a primeira coluna representa os nós principais,

em ordem ascendente, e as colunas seguintes representam os nós com os quais

aqueles são interligados.

Tabela 3.2 – Montagem da matriz Posic.

Nó principal Nós ligados ao nó principal

1 3 2 4 -

2 1 3 - -

3 1 2 4 5

4 1 5 3 6

5 4 3 6 -

6 4 5 - -

DBD



Assim, com base na tabela 3.2 a matriz Posic, da figura 3.9, pôde ser obtida,

onde a primeira coluna indica o número de posições não-nulas nessa linha da

matriz, a segunda coluna representa os nós principais da malha e as colunas

seguintes os nós interligados com os nós principais. Cabe apontar que neste

exemplo a quantidade de nós (ne) é igual ao número de coeficientes não-nulos da

matriz esparsa (nne) já que não foram prescritas condições de contorno nulas em

nenhum dos nós.

Figura 3.9 – Matriz Posic construída para a malha simples da figura 3.8

A matriz MatVal (figura 3.10) armazena os valores da variável nos pontos

nodais principais (segunda coluna) e interligados (colunas sucessivas) indicados

na matriz Posic (figura 3.9).

Figura 3.10 – Matriz MatVal construída para a malha simples a figura 3.8

DBD



Nota-se que para este exemplo seriam reservados na memória do

computador um total de 502 ×× ne posições enquanto que armazenando-se toda a

matriz esparsa D seriam necessárias nene × posições.

Assim, é possível determinar-se o valor de ne para o qual a técnica de

armazenamento apresentada é a mais indicada e eficiente,

nenene ×=×× 502 (3.43)

Resolvendo, obtém-se ne = 100, o que significa que para malhas contendo

uma quantidade de nós superior a 100, o método de armazenamento em duas

matrizes otimiza as posições ocupadas de memória e resultando num

processamento mais rápido do sistema de equações.

DBD


Exemplos de Verificação 66

4 Exemplos de verificação

Neste capitulo são apresentados exemplos para verificar o programa

computacional desenvolvido para fluxo 3D em meios porosos saturados ou não-

saturados, nas condições de regime de fluxo transiente ou permanente. Esses

exemplos foram testados por Machado (2000) para validação do GEOFLUX na

sua versão original, utilizando malhas bidimensionais.

São também feitas comparações entre resultados numéricos e valores

analíticos da solução da equação de Richards, estes últimos obtidos por Srivastava

e Yeh, (1991), para situação 1D, e Warric e Lomen (1976), para situação 2D.

Cabe observar aqui que não se validou o código com domínios genéricos

tridimensionais, já que não foi possível encontrar na literatura soluções analíticas

para domínios 3D. No próximo capítulo, resultados de exemplos de aplicação são

comparados com soluções numéricas 3D obtidos pelo programa computacional

GEOFLUX3D e similares.

As evoluções dos contornos de poropressão no espaço e no tempo

determinados pelo programa GEOFLUX3D mostraram-se bastante próximas às

soluções analíticas, indicando que a solução do problema não-linear pelo método

de Picard modificado é algoritmo bastante eficiente para este tipo de problema.

4.1. Fluxo transiente unidimensional

São apresentados exemplos de fluxo em regime transiente unidimensional

através de colunas formadas por um e dois materiais, cujas soluções analíticas

foram obtidas por Srivastava e Yeh (1991). Para as simulações numéricas no

GEOFLUX3D empregou-se o modelo exponencial para a descrição das curvas

características dos solos não-saturados.

DBD



4.1.1. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por um único material

A primeira análise corresponde ao processo de infiltração devido a uma

condição de fluxo 1D prescrito no valor de 0,009 m/h no topo de uma coluna de

solo de um metro de altura constituída de um único material, como mostrado na

figura 4.1. Também é apresentada nesta figura a malha de elementos finitos

adotada (222 nós e 668 elementos do tipo TETR4) juntamente com as condições

de contorno e a condição inicial do problema. Os valores selecionados para as

propriedades do material são os apresentados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material -

parâmetros do modelo exponencial. (Srivastava e Yeh, 1991).

αexp Ks (m/h) θr θs

1.0 0,01 0,20 0,45

Figura 4.1 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material – malha

de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

DBD



A condição inicial desse processo de infiltração, indicada na Figura 4.1, é

igual à condição estacionária estabelecida a partir de uma análise preliminar

indicada na figura 4.2. Esta análise preliminar consiste na simulação de um

processo de infiltração devido a um fluxo de 0,001m/h prescrito no topo da coluna

sendo a mesma sujeita, inicialmente, a uma distribuição de carga hidráulica total

nula, como indicado na Figura 4.2.

Figura 4.2 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material - análise

preliminar.

O tempo foi discretizado em 1000 passos de tempo de 0,1 horas de duração

até atingir a condição de regime permanente depois de 100 horas. Adotou-se para

o tratamento da não-linearidade uma tolerância de 1% e um máximo de 50

iterações para atingir esta convergência.

A velocidade de processamento foi muito rápida, com toda a simulação

executada em menos de 1 minuto de processamento. Os resultados computados

pelo GEOFLUX3D são apresentados na figura 4.3 em termos da distribuição da

carga de pressão no tempo e no espaço. A partir desta figura pode-se notar que a

DBD



solução numérica apresentou uma excelente concordância com a solução analítica

(Srivastava e Yeh, 1991) para todos os instantes de tempo avaliados.

A condição estacionária para este problema foi observada em

aproximadamente 100 horas. Cabe ressaltar que a camada de solo não atingiu a

saturação completa, ou seja, a velocidade de fluxo imposta não foi suficiente para

saturar a camada de solo. Para isto, seria necessária a aplicação de uma velocidade

de fluxo prescrita maior do que o valor da condutividade hidráulica saturada.

Figura 4.3 – Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material –

resultados numéricos e analíticos.

O segundo exemplo analisado corresponde ao processo de drenagem da

mesma coluna de solo, desta vez prescrevendo-se um fluxo de 0,001 m/h no topo

da camada, como indicado na figura 4.4. A condição inicial corresponde à

distribuição das pressões finais obtidas para condição estacionária no processo

anterior de infiltração. O material, a discretização do tempo, o tipo de marcha no

tempo e os parâmetros para o tratamento da não-linearidade são iguais aos do

primeiro exemplo.

DBD



Figura 4.4 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material – malha

de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

Os resultados obtidos são apresentados na figura 4.5 em termos da

distribuição no tempo e no espaço da carga de pressão. Observa-se novamente

uma boa concordância entre os resultados das soluções numérica e analítica

(Srivastava e Yeh, 1991), em todos os instantes de tempo avaliados.

A condição estacionária foi obtida em aproximadamente 100 h. Ou seja, a

drenagem da camada de solo ocorreu no mesmo período de tempo que o processo

de infiltração. A distribuição das cargas de pressão no regime permanente é

praticamente a distribuição inicial de pressões utilizada no processo de infiltração.

DBD



Figura 4.5 – Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material –

resultados numéricos e analíticos.

4.1.2. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por dois materiais

O exemplo adota a mesma estratégia de solução do exemplo anterior (único

solo), ou seja, analisa-se inicialmente o processo de infiltração devido a um fluxo

prescrito no topo da coluna de solo e, em seguida, investiga-se o processo de

drenagem desta coluna devido à variação do fluxo imposto. A diferença com os

exemplos do item 4.1.1 é que desta vez o solo é constituído por dois materiais

com diferentes condutividades hidráulicas.

A primeira situação estudada é o processo de infiltração devido a um fluxo

prescrito de 0,009 m/h imposto no topo da coluna de dois metros de altura,

formada por dois materiais, como indicado na figura 4.6. Apresenta-se também

nesta figura a malha de elementos finitos utilizada (429 nós e 1314 elementos tipo

DBD



TETR4) juntamente com as condições de contorno e a condição inicial do

problema. Esta condição inicial foi definida, de maneira análoga à apresentada no

item 4.1.1, sendo igual à condição em regime permanente obtida a partir da

simulação prévia de um fluxo prescrito de 0.001 m/hr no topo da coluna.

Figura 4.6 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de dois materiais – malha de

elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

Os valores adotados para as propriedades dos materiais são apresentados na

tabela 4.2. Cabe observar que Srivastava e Yeh (1991) empregaram uma única

curva de retenção de água para materiais diferentes. O fato aparentemente não

traz inconvenientes numéricos, porém é fisicamente inconsistente.

DBD



Tabela 4.2 – Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais

- parâmetros do modelo exponencial. (Srivastava e Yeh, 1991)

Material αexp Ks (m/h) θr θs

1 (camada superior) 10,0 0,10 0,06 0,40

2 (camada inferior) 10,0 0,01 0,06 0,40

O tempo foi discretizado em 1000 passos com 0,1 horas de duração até

atingir a condição de regime permanente após 100 horas. Adotou-se para o

tratamento da não-linearidade uma tolerância de 1 % , com número máximo de

iterações igual a 50.

Os resultados fornecidos pelo programa GEOFLUX3D são apresentados na

figura 4.7. Mais uma vez, uma concordância satisfatória entre resultados das

soluções numérica e analítica (Srivastava e Yeh, 1991) foi observada para todos

os instantes de tempo analisados.

Figura 4.7 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais – resultados

numéricos e analíticos.

DBD



Cabe observar que a velocidade de fluxo (0,009m/h) imposta no topo da

coluna é aproximadamente um décimo do valor da condutividade hidráulica

saturada (0,1m/h) do material da camada superior de solo. Isso indica que esta

camada, mesmo ao atingir o regime de fluxo permanente, não se encontrará

totalmente saturada, enquanto que a camada inferior, com condutividade

hidráulica saturada de 0,01m/h, aproximadamente igual à velocidade de fluxo

prescrito, atingirá o regime de fluxo permanente com saturação bastante próxima

a 100%.

A segunda situação analisada corresponde ao processo de drenagem desta

mesma coluna de solo, devido à variação do fluxo prescrito no topo da camada de

0,009 m/h para 0,001 m/h. A condição inicial indicada na figura 4.8, é igual à

distribuição de poropressões obtida na condição estacionária do processo de

infiltração. Os materiais, a discretização do tempo, o tipo de marcha no tempo e os

parâmetros para o tratamento da não-linearidade são também iguais.

Figura 4.8 - Drenagem de uma coluna de solo constituída de dois materiais – malha de

elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

DBD



Os resultados obtidos são apresentados na figura 4.9 em termos da

distribuição, no espaço e no tempo, da carga de pressão. A partir dessa figura,

pode-se observar que existe uma boa concordância entre a solução numérica e a

solução analítica obtida por Srivastava e Yeh (1991) para todos os instantes de

tempo considerados chegando-se em regime permanente na condição inicial do

processo de infiltração analisado no item anterior.

Figura 4.9 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais – resultados

numéricos e analíticos.

4.2. Fluxo transiente bidimensional

Este exemplo tem como propósito validar o programa para condições

bidimensionais de fluxo, comparando-se os resultados numéricos com soluções

analíticas obtidas por Warrick e Lomem (1976).

Investiga-se o processo de infiltração em uma camada de solo sujeita a um

fluxo constante aplicado sobre uma faixa da superfície da camada, como ilustrado

DBD



na figura 4.10. Na solução analítica do problema Warrick e Lomen (1976)

adotaram funções exponenciais semelhantes àquelas utilizadas por Srivastava e

Yeh (1991). Deste modo, na solução numérica pelo programa GEOFLUX3D, o

modelo exponencial foi utilizado na representação do comportamento hidráulico

dos solos não-saturados.

Figura 4.10 – Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado

numa faixa da superfície, com indicação das condições iniciais e de contorno.

A figura 4.11 apresenta a malha de elementos finitos adotada (1871 nós e

9011 elementos do tipo TETR4) e a tabela 4.3 lista os valores das propriedades

dos materiais.

Tabela 4.3 – Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado a

uma faixa da superfície – parâmetros do modelo exponencial. (Warrick e Lomen, 1976)

αexp Ks (m/min) θr θs

4.0 0,000694 0,00 0,50

O tempo foi discretizado em 72 intervalos de 1 minuto. No tratamento da

não-linearidade adotou-se uma tolerância de 1 % e um número máximo de 50

iterações.

DBD



Figura 4.11 – Malha de elementos finitos, utilizada para simulação da infiltração em uma

camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado em uma faixa da superfície.

Os resultados fornecidos pelo programa GEOFLUX3D em termos das

curvas com mesma carga de pressão (isóbaras) para dois instantes representativos

da simulação (36 e 72 minutos) são ilustrados na figura 4.12.

(a) 36 minutos (b) 72 minutos

Figura 4.12 - Evolução das cargas de pressão computadas pelo GEOFLUX3D.

DBD



Finalmente, a figura 4.13 faz uma comparação entre as isóbaras obtidas

analítica e numericamente para os mesmos intervalos de tempo (36 min e 72 min).

Conforme pode ser verificado, a solução numérica obtida pelo programa

computacional desenvolvido nesta dissertação apresentou uma excelente

concordância com a solução analítica, tanto no espaço quanto no tempo.

(a)

(b)

Figura 4.13 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado

numa faixa da superfície – comparação dos resultados numéricos e analíticos em (a) 36

min; (b) 72 min.

DBD


Estudo de casos 79

5

Estudo de casos

5.1. Fluxo através da barragem de enrocamento Gouhou (China) com face de concreto

A barragem Gouhou estava localizada em Gonghe, na província de Qinghai,

China, como ilustrado na figura 5.1. Esta barragem de enrocamento com face de

concreto colapsou em 1993 devido à erosão interna durante a etapa de enchimento

inicial do reservatório.

Figura 5.1 – Localização da Barragem Gouhou na China.

Neste item é analisado o processo de infiltração de água através do corpo da

barragem inicialmente em condições não-saturadas, sendo considerada a

estratificação em uma zona do enrocamento.

Os resultados fornecidos pelas análises 3D na Barragem Gouhou

empregando o GEOFLUX3D são comparados com aqueles obtidos por Chen e

DBD


Estudo de casos 80

Zhang (2006) que utilizaram o programa computacional SVFLUX, mostrando

uma boa concordância entre ambos. Estes resultados também permitem apontar

uma série de importantes aspectos que não podem ser modelados em análises

tradicionais, mais simples, executadas no plano.

5.1.1. Descrição da barragem Gouhou

A barragem estava projetada para armazenar um volume de água de 3,1

milhões de metros cúbicos, contava com uma altura máxima de 71 metros e um

comprimento de crista de 265 metros na altitude de 3.281,0 metros acima do nível

do mar, como mostrado na figura 5.2. O corpo da barragem estava formado por

quatro regiões: a região I era de material de transição e suportava a face de

concreto, as regiões II e IV eram os enrocamentos principais, sendo a região III o

núcleo da barragem.

Figura 5.2 - Barragem Gouhou: (a) seção transversal A-A de altura máxima; (b) seção

longitudinal B-B vista desde montante. Unidades em metros. (Chen e Zhang, 2006)

DBD


Estudo de casos 81

De acordo com a equipe da investigação da ruptura da barragem (1996), o

nível de água do reservatório se elevou continuamente de 3261,0 m para 3277,3 m

(16,3m) em 45 dias. A água então começou a fluir dentro do corpo da barragem

através de uma junta entre o parapeito e a face de concreto (ver detalhe na figura

5.2a) e em apenas algumas horas mais tarde a água começou a emergir pela

superfície de talude de jusante na elevação de 3260 m, ocasionando o colapso da

estrutura.

5.1.2. Condições iniciais e de contorno

Uma das características da barragem de Gouhou (e possível causa do

colapso) foi a estratificação existente em uma zona do enrocamento. Para

representar esta influência na modelagem numérica, considerou-se a barragem

subdividida em 3 zonas de enrocamento, sendo a zona 2 formada por material

com condutividade hidráulica saturada muito superior às das zonas de

enrocamento 1 e 3. A figura 5.3 mostra o modelo geométrico 3D com a posição

das zonas de enrocamento e as condições de contorno utilizadas na simulação

computacional do fluxo pelo método dos elementos finitos.

Figura 5.3 - Modelo geométrico 3D e condições de contorno para a simulação de fluxo

transiente na barragem Gouhou, China. (Chen e Zhang, 2006)

O nível de água inicial foi assumido na base da barragem (3220,0m),

permanecendo assim a zona 3 submersa. Como condições iniciais considera-se

que a sucção aumenta linearmente com a elevação do nível de água, porém

DBD


Estudo de casos 82

limitada ao valor máximo de 14,2 kPa, à sucção média do enrocamento

compactado com um teor de umidade de 3.5% durante a fase de construção.

Admite-se que a face de concreto é impermeável abaixo da elevação 3.260,0

m, mas é ineficiente acima dessa elevação, fato que justifica a condição de

contorno na superfície do talude da montante definida em duas partes. A parte

superior (elevação acima de 3.260,0 m) tem carga total prescrita como condição

de contorno enquanto a parte inferior (elevação abaixo de 3260 m) tem a restrição

de fluxo nulo (impermeabilidade) como condição de contorno imposta no modelo.

A carga total é definida em relação ao nível de água na elevação 3277,3 m

correspondente à base do parapeito. A condição de fluxo nulo é também aplicada

ao longo da crista da barragem e na face de jusante da barragem, se a pressão na

superfície da face de jusante for negativa. Caso positiva, é aplicada uma condição

de fluxo livre por meio da subrotina SEEPAGE comentada no capítulo 3.

5.1.3. Propriedades dos materiais

Para esta simulação empregaram-se materiais de enrocamento diferenciados

apenas pela distribuição granulométrica, como mostrado na figura 5.4. Desta

forma, foram empregados na simulação materiais com tamanhos de distribuição

correspondente à curva média (zona 1) e materiais com tamanhos de distribuição

correspondente à curva limite inferior (zona 2). Para a fundação (zona 3) foram

empregados materiais disponíveis no leito do rio.

Figura 5.4 – Curvas de granulometria dos materiais empregados nas zonas de

enrocamento da barragem Gouhou. (Chen e Zhang, 2006)

DBD


Estudo de casos 83

As curvas de retenção para as zonas 1 e 2 (necessárias para as análises

transientes) são apresentadas na figura 5.5. A curva de retenção correspondente ao

material da zona 3 (leito do rio) não foi considerada porque esta zona permanece

saturada durante toda o processo de simulação.

(a) (b)

Figura 5.5 - Curvas características de retenção para os materiais correspondentes nas

zonas de enrocamento 1 (a) e 2 (b). (Chen e Zhang, 2006)

O modelo empregado para o ajuste das curvas foi o de van Genuchten

(1980) com auxílio do programa RETC v.6 (Simunek et al., 1985), desenvolvido

para determinação dos parâmetros das curvas características de sucção e de

condutividade hidráulica de solos não-saturados. A tabela 5.1 lista os valores

obtidos para os parâmetros requeridos pelo modelo de van Genuchten.

Tabela 5.1 - Parâmetros do modelo de van Genuchten (1980) nos materiais da barragem

Gouhou, China.

Material Zona θs θr αvg q Ks (x10-5

m/s)

Distribuição média dos grãos

de enrocamento 1 0,21 0,05 75,16 1,88 11,6

Distribuição limite inferior dos

grãos do enrocamento 2 0,21 0,04 32,77 1,70 231,0

Leito do rio 3 0,27 0,02 62,14 1,13 7,4

DBD


Estudo de casos 84

5.1.4. Modelagem no espaço e no tempo

As figuras 5.6 e 5.7 mostram os modelos geométricos empregados nas

análises 2D e 3D junto com suas respectivas malhas de elementos finitos. Na

análise bidimensional empregou-se uma malha com 526 nós e 885 elementos

triangulares do tipo TRIA3. Na análise tridimensional foram utilizados 2.979 nós

conectados a 12.771 elementos do tipo tetraedro TETR4.

Em ambas as simulações os intervalos de tempo foram iguais a 0,0001 dias

de duração. Para o tratamento da não-linearidade adotou-se uma tolerância de 1%

e um número máximo de 40 iterações. Os tempos de simulação computacional

foram muito rápidos, mostrando uma capacidade de resolução bastante efetiva do

programa GEOFLUX3D.

(a) (b)

Figura 5.6 - (a) Modelo geométrico 2D da barragem Gouhou, (b) malha de elementos

finitos tipo TRIA3.

(a) (b)

Figura 5.7 - (a) Modelo geométrico 3D da barragem Gouhou, (b) malha de elementos finitos

tipo TETR4.

DBD


Estudo de casos 85

5.1.5. Análise e discussão dos resultados

Pela consideração dos efeitos de estratificação, obteve-se, como esperado,

maiores velocidades de fluxo no enrocamento da zona 2 do que na zona 1.

A figura 5.8 mostra a evolução no tempo da superfície freática na barragem.

A infiltração de água se dá gradualmente a partir da parte superior do talude de

montante onde a face de concreto é defeituosa.

0,04 dias 0,1 dias

0,2 dias 0,4 dias

Figura 5.8 - Evolução no tempo da superfície freática na barragem Gouhou

Distinguem-se duas zonas: uma escura, onde os vazios estão completamente

preenchidos por água e a poro-pressão é positiva (região saturada) e a outra, mais

clara, onde a poro-pressão é negativa (região não saturada). Observa-se que a

região saturada alcança a superfície do talude de jusante em 0,1 dias e que o fluxo

é mais rápido próximo das ombreiras laterais. Contudo, a frente de saturação não

alcança o nível de água inicial na base da barragem após 0,4 dias.

A figura 5.9 mostra os contornos de poropressão na seção transversal

localizada em z = 150 m em diferentes instantes de tempo, comparando os

resultados obtidos pelo GEOFLUX3D com aqueles estimados por Chen e Zhang

(2006) usando o programa computacional SVFLUX3D.

DBD


Estudo de casos 86

Figura 5.9 - Evolução no tempo dos contornos das isóbaras (kPa) na seção

transversal máxima da barragem Gouhou.

Observa-se que a frente de saturação chega em 0,1 dias na superfície do

talude de jusante na análise executada com o programa SvFlux3D, enquanto que

na modelagem através do GEOFLUX esta condição é atingida em 0,11 dias. A

velocidade horizontal de fluxo é ligeiramente mais rápida nos resultados obtidos

com o programa SVFLUX3D, enquanto que a componente vertical parece ser

ligeiramente maior nos resultados computados com o programa GEOFLUX3D.

Estas pequenas diferenças podem estar relacionadas diretamente com a

discretização da malha de elementos finitos e com o fato de que no SVFLUX3D o

modelo de Fredlung e Xing (1994) é empregado para representação das curvas

características dos solos não-saturados enquanto que no GEOFLUX3D optou-se

pelo modelo de van Genuchten (1980).

DBD


Estudo de casos 87

Em ambas simulações, a frente de umedecimento avança principalmente ao

longo da interface entre as camadas de enrocamento, comportamento consistente

com o observado antes do colapso da barragem e do afloramento de água no

talude jusante acima dos 3.260,0m. Em comparação com os resultados obtidos

pela análise 2D, a frente de umedecimento atinge o talude de jusante em 0,15 dias,

tempo maior de aquele determinado na simulação 3D (0,11 dias).

A figura 5.10 mostra os contornos de poropressão, em diferentes instantes

de tempo, na seção longitudinal localizada em x = 111,56 m. As áreas escuras

correspondem às regiões saturadas. A frente de umedecimento avança lentamente

para baixo e quase atinge o lençol freático na base da barragem perto das

ombreiras após 0,4 dias. A parte central da barragem, no entanto, até este instante

de tempo permanece ainda não-saturada.

0.04 dias 0.1 dias

0.2 dias 0.4 dias

Figura 5.10 – Evolução no tempo dos contornos de poropressão (kPa) na seção

longitudinal da barragem em x = 111,56m.

Conforme também pode ser notado, as cargas de pressão são maiores perto

das ombreiras, ocasionando maiores gradientes hidráulicos e, conseqüentemente,

o fluxo avança com maior velocidade perto dos contornos laterais, formando

assim regiões de mais alto risco quando a água flui no interior do corpo da

barragem. Não é de se surpreender, portanto, que rupturas por erosão em várias

barragens do mundo, como na barragem Teton (EUA), tenham acontecido junto

às ombreiras (USCOLD, 1988).

Apresentam-se finalmente, as figuras 5.11 e 5.12 contendo as distribuições

de carga de pressão e de carga total, respectivamente, para o tempo t = 0,4 dias.

DBD


Estudo de casos 88

Como pode ser observado na figura 5.11, na superfície do talude da jusante

correspondente à zona 2, as cargas de pressão tornam-se nulas devido à condição

de contorno SEEPAGE que simula a saída livre de água através dessa superfície.

Já na figura 5.12, os contornos de carga total tornam-se quase verticais e a direção

de fluxo quase horizontal dentro da zona 2. Portanto, a ruptura devido ao fluxo

horizontal deve ter sido iniciada ao longo dessa camada, como suposto

inicialmente.

Figura 5.11 - Distribuição de cargas de pressão (m) na barragem Gouhou depois de 0,4

dias.

Figura 5.12 - Distribuição de cargas totais (m) na barragem Gouhou depois de 0,4 dias.

DBD


Estudo de casos 89

5.2. Fluxo através da barragem de terra Macusani

A barragem de terra Macusani está projetada para ser construída em um

vale estreito do rio Macusani, na província de Carabaya, departamento de Puno,

Peru, como ilustrado na figura 5.13.

São investigados os processos de fluxo transiente e permanente durante o

enchimento e rebaixamento rápido do nível do reservatório, comparando-se os

resultados numéricos obtidos por análises 2D e 3D do fluxo, os quais evidenciam

a necessidade de se executar análises 3D nas barragens projetadas em vales

estreitos onde os efeitos da variação da geometria nas condições de fluxo podem

ser significativos.

Figura 5.13 - Localização da barragem Macusani no Peru.

No final, os resultados obtidos pelo GEOFLUX3D na condição de regime

permanente em análises 3D são comparados com aqueles obtidos por Huertas

(2006) através do programa computacional SEEP3D v.1.15; mostrando-se

algumas diferenças na posição final da linha freática entre ambos resultados

DBD


Estudo de casos 90

devido à condição de contorno SEEPAGE implementada no GEOFLUX3D e

imposta na superfície do talude de jusante da barragem.

5.2.1. Descrição da barragem Macusani

Do tipo zonada, a barragem terá uma altura máxima de 71 metros e um

comprimento de crista de 410 metros, situando-se a uma altitude de 4.304,0

metros acima do nível do mar. O reservatório formado pela barragem terá um

espelho de água de 4,75 km2, devendo armazenar um volume máximo de 112

milhões de metros cúbicos, garantindo uma vazão constante para a usina

hidroelétrica de San Gabán.

Na figura 5.14 são apresentados uma seção transversal simplificada da

barragem correspondente à seção de altura máxima (A-A) e um perfil da seção

longitudinal vista desde a montante.

Figura 5.14 - Barragem Macusani: (a) Seção transversal A-A de altura máxima; (b)

Seção longitudinal. Unidades em metros. (Fonte: Huertas, 2006).

DBD


Estudo de casos 91

5.2.2. Casos de simulação

Considerando a geometria e as condições de contorno ilustradas na figura

5.15, três casos de simulação de fluxo através da barragem de terra foram

simulados.

Em ambos os casos I e II investiga-se as condições de fluxo devido ao

enchimento inicial do reservatório. No caso I, a análise é feita considerando-se um

valor do coeficiente de permeabilidade saturada kdreno = 4x10-5

m/s, estabelecido

para o dreno de acordo com o projeto original da barragem, baseado em

modelagem do problema 2D, enquanto que no caso II o material do dreno foi

admitido com coeficiente de permeabilidade saturada kdreno = 4x10-4

m/s.

Finalmente no caso III simula-se o rebaixamento rápido do reservatório de água e

as condições de fluxo assim geradas.

Figura 5.15 - Modelo geométrico simplificado e condições de contorno para análise de

fluxo 3D na barragem de terra Macusani, Peru.

Nos casos I e II, a posição da superfície freática inicial é obtida a partir da

condição de fluxo permanente na base da barragem, devido à diferença de cargas

nas superfícies livres de montante (4.244,0m) e de jusante (4.236,0 metros).

Assume-se que a sucção é incrementada linearmente com a carga de elevação,

acima da superfície freática, alcançando valores muito elevados da ordem de

1.000 kPa na crista da barragem (solos muito secos). Para o caso III, as condições

iniciais são aquelas obtidas quando o regime permanente é estabelecido na análise

do caso II.

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Estudo de casos 92

Para os três casos, assume-se uma condição de contorno sob forma de carga

hidráulica variável prescrita na superfície do talude da montante, representando

dessa forma as etapas de primeiro enchimento ou de rebaixamento rápido do

reservatório.

A função de variação da carga hidráulica prescrita na simulação do

enchimento, aplicável nas análises dos casos I e II empregando a subrotina

DATBOUI, está apresentada na tabela 5.2. A variação da carga para representar o

rebaixamento rápido do reservatório da barragem no caso III é apresentada na

tabela 5.3. Uma condição de contorno de fluxo nulo (impermeável) é aplicada na

crista da barragem e no talude de jusante, quando as cargas de pressão são

negativas neste talude; na hipótese de positivas, é imposta então a condição de

fluxo livre utilizando a subrotina SEEPAGE, conforme descrito anteriormente no

capítulo 3.

Na região de saída, sobre a superfície da fundação de jusante, a carga

hidráulica é considerada constante, no valor de 36m. Também é assumido que as

superfícies das ombreiras da barragem são impermeáveis, i.e., admite-se que não

haja fluxo através das fundações laterais da barragem.

Tabela 5.2 - Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude de montante

(primeiro enchimento do reservatório).

Tabela 5.3 - Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude da montante

(rebaixamento rápido do reservatório).

Etapa Tempo (dias) Carga total H (m) Altitude (m)

-- 0 100,0 4300,0

1 0,2 92,0 4292,0

2 0,4 83,0 4283,0

3 0,6 70,0 4270,0

4 0,8 61,0 4261,0

5 1,0 44,0 4244,0

Etapa Tempo (dias) Carga total H (m) Altitude (m)

-- 0 44,0 4244,0

1 5 49,0 4299,0

2 10 61,0 4261,0

3 15 70,0 4270,0

4 20 83,0 4283,0

5 25 92,0 4292,0

6 30 100,0 4300,0

DBD


Estudo de casos 93

5.2.3. Propriedades dos materiais

Nas análises foram considerados quatro materiais para o corpo da barragem

e um material para a fundação, os quais estão apresentados junto aos seus

respectivos coeficientes de condutividade hidráulica na tabela 5.4. Os valores

foram obtidos a partir de ensaios de laboratório executados no CISMID - Centro

de Pesquisas da Universidade Nacional de Engenharia de Lima, Peru.

Tabela 5.4 - Materiais empregados na barragem Macusani e seus respectivos

coeficientes de condutividade hidráulica na condição saturada. (CISMID)

Zona da Barragem Material ks (m/s)

Corpo da Barragem Espaldar 2x10-5

Corpo da Barragem Núcleo 1x10-7

Corpo da Barragem Dreno 4x10-5

Corpo da Barragem Depósito fluvio glacial 1x10-5

Fundação Tufa vulcânica 1x10-7

As curvas de retenção de água foram as mesmas empregadas por Huertas

(2006) e para sua representação empregou-se também o modelo de van Genuchten

(1980), com utilização do programa computacional RETC v.6 (Simunek et al.,

1985). Tais parâmetros, são listados na tabela 5.5, abaixo.

Tabela 5.5 - Materiais empregados na barragem Macusani e respectivos parâmetros do

modelo de van Genuchten (1980) utilizado para análise sob regime transiente. (CISMID)

Material Zona θs θr αvg q

Núcleo 1 0,41 0,105 0,147 1,78

Dreno 2 0,39 0,020 2,670 2,29

Espaldar 3 0,38 0,105 1,077 3,01

Depósito fluvio glacial 4 0,30 0,035 0,315 1,93

Turfa vulcânica 5 0,38 0,024 0,400 3,74

5.2.4. Modelagem no espaço e no tempo

As figuras 5.16 e 5.17 mostram os modelos geométricos empregados nas

simulações 2D e 3D assim como suas respectivas malhas de elementos finitos.

Nas análises bidimensionais empregou-se uma malha com 2.140 nós conectados a

DBD


Estudo de casos 94

4.025 elementos triangulares do tipo TRIA3. Nas análises 3D foram empregados

26.691 nós, conectando 133.826 elementos tetraédricos do tipo TETR4.

Em todos os casos empregaram-se passos de tempo de 0,1 dias de duração,

no início das simulações, incrementados para 0,5 dias após 100 dias. Para o

tratamento da não-linearidade adotou-se uma tolerância de 1% e um máximo

número de iterações para convergência da solução numérica igual a 40. Os tempos

de simulação computacional foram muito rápidos nos três casos para a análise 2D,

enquanto que nos casos 3D, pela maior quantidade de equações, os tempos de

processamento chegaram a durar até 1,5 dias.

(a) (b)

Figura 5.16 - (a) Modelo geométrico 2D da barragem Macusani, (b) malha de

elementos finitos com o tipo TRIA3.

(a) (b)

Figura 5.17 - (a) Modelo geométrico 3D da barragem Macusani, (b) malha de

elementos finitos com o tipo TETR4.

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Estudo de casos 95

5.2.5. Análise e discussão dos resultados

5.2.5.1. Caso I: Primeiro enchimento do reservatório (kdreno = 4x10-5 m/s)

A figura 5.18 mostra a evolução no tempo da superfície freática da

barragem para o caso de fluxo 3D durante o primeiro enchimento do reservatório,

utilizando um coeficiente de permeabilidade do dreno na condição saturada igual

a 4x10-5

m/s. Assim como no caso dos estudos feitos na barragem Gouhou, podem

ser distinguidas duas regiões: uma escura, na qual a poropressão é positiva (zona

saturada), e uma região mais clara onde a poropressão é negativa (zona não-

saturada). Observa-se que a frente de umedecimento alcança o núcleo da

barragem em 25 dias, a partir dos quais o fluxo torna-se mais lento tendo em vista

a baixa condutividade hidráulica do material do núcleo, demorando 300 dias para

atingir o dreno e estabelecer condições de fluxo permanente em 1.000 dias. Nesta

condição, nota-se que a superfície freática encontra-se acima do dreno,

evidenciando um aspecto de comportamento hidráulico da barragem não previsto

com base na utilização de modelos bidimensionais pelo método dos elementos

finitos.

15 dias 30 dias

300 dias 1.000 dias

Figura 5.18 - Evolução da superfície freática na barragem Macusani para o caso I sob

diferentes tempos

DBD


Estudo de casos 96

A figura 5.19 mostra os contornos de poropressão na seção transversal A-A

em z = 290m, para diferentes instantes de tempo, com o propósito de comparar as

condições de fluxo obtidas através de modelagens 2D e 3D.

Observa-se que a frente de umedecimento avança ligeiramente mais rápida

na simulação 3D, o que pode ser atribuído (em comparação com os resultados

computados da análise 2D) à contribuição das componentes de velocidade fora do

plano que, obviamente, não podem ser representadas em modelos bidimensionais

do problema. Nota-se também que a frente de umedecimento avança rapidamente

através da zona do espaldar da montante até chegar ao núcleo, onde o fluxo torna-

se então muito lento.

Análise 3D Análise 2D

15 dias

30 dias

300 dias

1.000 dias

Figura 5.19 – Evolução no tempo dos contornos de poropressão (kPa) na seção

transversal em z = 290 m para o caso I.

Quando a frente se estabelece no regime permanente, no tempo t=1.000

dias, observa-se que na análise 3D a condutividade hidráulica do dreno não é

suficiente para transportar toda a quantidade de água que percola pela barragem e,

conseqüentemente, a superfície freática termina estabelecendo-se acima da face

DBD


Estudo de casos 97

superior do dreno. Dos resultados da análise 2D, o dreno parece no entanto

funcionar perfeitamente.

Finalmente, constatou-se certas oscilações na definição da superfície

freática na interface entre o núcleo e o dreno, tais oscilações podem ser explicadas

devido a que não se considerou uma zona de transição apropriada nos modelos,

ocasionando mudanças bruscas de propriedades entre um material e outro, porém

sem significativa influência nos resultados gerais do problema.

5.2.5.2. Caso II: enchimento do reservatório (kdreno = 4x10-4 m/s)

No caso II simula-se o primeiro enchimento do reservatório considerando-se

um coeficiente de permeabilidade do material do dreno (kdreno = 4x10-4

m/s), na

condição saturada, dez vezes maior do que no caso I.

A figura 5.20 mostra os contornos de poropressão na seção transversal A-A

para o caso II. Observa-se uma semelhança de comportamento com o caso I, até o

tempo t = 300 dias, necessário para que a frente de umedecimento atinja o dreno.

No entanto, devido à mudança no valor do coeficiente de condutividade hidráulica

do dreno, desta vez a superfície freática se estabelece no interior da região do

dreno, indicando que a mudança na permeabilidade do dreno assegurou que o

mesmo funcione perfeitamente dentro de limites de segurança adequados

inclusive incorporando a quantidade de água adicional gerado pelos efeitos 3D das

condições de fluxo.

15 dias 30 dias

300 dias 1000 dias

Figura 5.20 – Evolução dos contornos de poro pressão (kPa) na secção de corte em z =

290 m para o caso II.

DBD


Estudo de casos 98

Apresentam-se nas figuras 5.21 e 5.22 as distribuições finais de carga de

pressão e de carga total, respectivamente, na condição de regime permanente no

caso II. Nota-se que na superfície do talude da jusante tem-se uma re-distribuição

das cargas hidráulicas em conseqüência do afloramento de água pelo pé do dreno.

Figura 5.21 - Distribuição final das cargas de pressão (m) na barragem Macusani depois

de 1000 dias (condição de regime permanente) para o caso II.

Figura 5.22 - Distribuição final das cargas totais (m) na barragem Macusani depois de

1000 dias (condição de regime permanente) para o caso II.

DBD


Estudo de casos 99

5.2.5.3. Caso III: Rebaixamento rápido do reservatório

No caso III simula-se o rebaixamento rápido do reservatório considerando a

função de rebaixamento mostrada anteriormente na tabela 5.5. A figura 5.23

mostra a evolução da superfície freática na barragem Macusani. Nota-se que logo

após a ocorrência do rebaixamento rápido, o nível da superfície freática na região

de montante desceu muito pouco, não tendo havido tempo suficiente para a

dissipação dos excessos de poropressão no espaldar de montante que, em quase a

sua totalidade, apresenta-se saturado. Este aspecto do problema hidráulico aliás

evidencia os cuidados com que devem ser feitas as análises de estabilidade de

taludes de montante de barragens, considerando-se a possibilidade de ocorrência

de rebaixamentos rápidos do nível de água do reservatório.

1 dia 200 dias

400 dias 1000 dias

Figura 5.23 - Evolução da posição da superfície freática com o tempo, após

rebaixamento rápido do reservatório.

A figura 5.24 mostra a evolução da superfície freática, assim como os

contornos de poropressão negativos, na superficie do talude de montante, após o

rebaixamento do reservatório. Observa-se aqui que após o rebaixamento total do

reservatório em um dia, a superfície freática desce ligeiramente mais próximo da

zona da seção transversal máxima A-A, enquanto que se retarda na direção das

DBD


Estudo de casos 100

ombreiras laterais, principalmente da ombreira esquerda, região mais afastada da

seção máxima A-A.

1 dia 200 dias

400 dias 1000 dias

Figura 5.24 – Evolução no tempo dos contornos de poropressão (kPa) na superfície de

talude de montante após o rebaixamento rápido.

5.2.6. Comparação de resultados com o programa computacional Seep3D

Os resultados obtidos nas análises 3D pelo programa GEOFLUX3D na

condição de regime permanente são aqui comparados com aqueles obtidos por

Huertas (2006) através da utilização do programa comercial SEEP3D, v.1.15.

Compararam-se em primeiro lugar as posições finais das superfícies

freáticas obtidas para o caso I, como mostrado na figura 5.25. Como apreciado

nesta figura as linhas freáticas são estabelecidas acima do nível superior do dreno,

porém, aprecia-se diferencias à saída no talude da jusante. A linha freática

estabelecida no SEEP3D é fixada à saída do pé do dreno (elevação de 36m)

devido à condição de contorno imposta nessa posição enquanto que para o

GEOFLUX3D a linha freática á saída termina estabelecendo se acima do nível

superior do dreno (elevação de 49m) devido à condição de contorno SEEPAGE

imposta na superfície do talude de jusante.

DBD


Estudo de casos 101

Figura 5.25 - Comparação das linhas freáticas na seção máxima A – A , determinadas

pelo GEOFLUX3D e pelo programa comercial SEEP3D v.1.15, em análises 3D na

condição de fluxo em regime permanente para o caso I.

Em segundo lugar foram comparadas as posições finais das superfícies

freáticas obtidas para o caso II, como mostrado na figura 5.26. Desta vez as linhas

freáticas são muito parecidas sendo ambas estabelecidas praticamente no pé do

dreno não influenciando a condição de contorno SEEPAGE como acontecido no

caso I.

Figura 5.26 - Comparação das linhas freáticas na seção máxima A – A , determinadas

pelo GEOFLUX3D e pelo programa comercial SEEP3D v.1.15, em análises 3D na

condição de fluxo em regime permanente para o caso II.

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Estudo de casos 102

A tabela 5.6 mostra as comparações das vazões obtidas na superfície do

talude de jusante pelo GEOFLUX3D e pelo SEEP3D. Constata-se que as vazões

obtidas pelo GEOFLUX3D são maiores do que aquelas computadas utilizando o

programa SEEP3D, e ainda que na aplicação do programa GEOFLUX3D a vazão

determinada no caso I é quase o dobro de aquela calculada na análise do caso II.

Tabela 5.6 - Comparação de vazões totais calculadas pelos programas GEOFLUX3D e

Seep3D em análises 3D da barragem de terra Macusani.

Caso de análise Vazão total Q (m

3/s)

GEOFLUX3D

Vazão total Q (m3/s)

Seep3D

I) 3D (kdreno=4x10-5

m/s) 7,92x10-3

1,89x10-3

II) 3D (kdreno=4x10-4

m/s) 3,86x10-3

2,00x10-3

As diferenças de vazões podem ser explicadas justamente com base na

posição final da superfície freática determinadas em ambas as análises. Na

simulação executada com o SEEP3D foi prescrita uma condição de contorno que

permitia a saída de água apenas pelo pé do dreno, o que produziu maiores

velocidades através de pequenas áreas de saída. No caso do GEOFLUX3D,

devido à atualização constante da posição da superfície freática na região de saída

do talude de jusante, obtiveram-se menores velocidades de fluxo, porém através

de maiores áreas de saída, produzindo finalmente maiores valores de vazão em

relação àquelas determinadas por Huertas (2006) com o programa computacional

SEEP3D.

DBD


Conclusões e Sugestões 103

6 Conclusões e Sugestões

O objetivo principal desta dissertação de mestrado foi o desenvolvimento de

um programa de computador, escrito em linguagem Fortran, baseado no método

dos elementos finitos, para análise de problemas de fluxo tridimensional, em

regime transiente ou permanente, na condição saturada ou não-saturada. O

programa, denominado GEOFLUX3D, foi elaborado com base em uma versão

preliminar GEOFLUX desenvolvido por Machado (2000) para simulações de

fluxo no plano.

Varias modificações foram feitas na versão original para solucionar o

problema proposto, iniciando-se pela implementação de elementos triangulares

TRIA3 e tetraédricos TETR4 para facilitar a criação de malhas em domínios com

contornos irregulares. A vantagem destes elementos é que não necessitam de uma

quadratura numérica na avaliação das matrizes e vetores do método dos elementos

finitos, diminuindo portanto o tempo de processamento, embora requeiram uma

discretização mais refinada tendo em vista que as funções de interpolação são

lineares em relação à variável primária (carga de pressão).

A principal dificuldade na implementação foi a elaboração de um algoritmo

que pudesse armazenar os elementos não nulos da matriz de coeficientes e que,

simultaneamente, solucionasse o sistema de equações geradas pelo MEF. Esta

dificuldade foi ultrapassada com o estabelecimento de duas matrizes para

armazenamento das posições dos coeficientes matriciais não nulos e de seus

respectivos valores, o que permitiu a utilização do método de gradiente bi-

conjugado para resolver o sistema de equações sob velocidade de processamento

bastante rápida.

Implementou-se também o método de Picard Modificado para a solução da

não-linearidade na equação de Richards, com a diagonalização da matriz F

(equação 2.36) para permitir a obtenção de respostas de forma mais eficiente,

como indicam os excelentes resultados computados nos exemplos de validação

(capítulo 4).

DBD



Análises tridimensionais de fluxo transiente / permanente considerando

regiões de fluxo saturado e não-saturado foram feitas com o objetivo de ressaltar

os efeitos da geometria 3D nos resultados de um problema hidráulico. No caso

específico desta dissertação, entenda-se nos resultados de fluxo através de

barragens de terra projetadas para vales estreitos em forma de V, onde ainda hoje

prevalecem análises 2D considerando-se os resultados obtidos com uma seção

transversal típica da barragem em estudo.

Foram feitos dois exemplos de aplicação com o programa computacional

GEOFLUX3D. No primeiro, analisou-se as condições de fluxo transiente através

da barragem de enrocamento Gouhou, China. A evolução no tempo dos contornos

de poropressão indicaram que os gradientes próximos às ombreiras são mais

elevados do que aqueles observados na parte central da barragem e, em

decorrência, a frente de umedecimento avança mais rapidamente junto às

ombreiras, constituindo estas regiões em zonas de alto risco de erosão interna

quando a água flui para dentro do corpo da barragem. Os resultados computados

pelo GEOFLUX3D foram comparados por aqueles obtidos por Chen e Zhang

(2006), apresentando boa concordância entre si.

O segundo exemplo de aplicação se refere à barragem de terra Macusani,

Peru, analisada sob 3 diferentes situações: na primeira delas, simulou-se o

primeiro enchimento do reservatório considerando-se um dreno no pé de jusante

cujas propriedades foram verificadas anteriormente através da análise do

problema de fluxo através de um modelo 2D. Destas comparações concluiu-se

que em regime de fluxo transiente a frente de umedecimento apresenta avanços

mais rápidos nas simulações 3D e que em condições de fluxo permanente 3D a

posição da superfície freática situou-se acima da posição do dreno.

Estas diferenças observadas nos resultados de regime permanente também

foram apontadas por Huertas (2006), e são mais significativas ainda quando se

compara com os cálculos de simulações 2D, onde se conclui que o dreno funciona

aparentemente de modo adequado e a posição da superfície freática é delimitada

no interior e por toda a extensão do dreno.

Na segunda situação envolvendo a barragem Macusani, considerou-se o

mesmo problema de primeiro enchimento do reservatório porém considerando-se

um material de dreno dez vezes mais permeável do que aquele obtido no projeto

inicial da barragem. Os resultados numéricos mostraram que, apesar da influência

DBD



dos efeitos tridimensionais no fluxo, o dreno agora operava de forma satisfatória,

sem riscos associados à elevação da posição da superfície freática, como

evidenciava a análise numérica da situação anterior.

Finalmente, na terceira situação, investigou-se os efeitos do rebaixamento

rápido do reservatório, observando-se que as regiões junto ao talude de montante

conservam-se na condição saturada por um tempo considerável, justificando-se os

cuidados nas análises de estabilidade de taludes de montante sujeitos a casos de

rebaixamento do reservatório.

Foram também comparadas as posições das linhas freáticas em regime de

fluxo permanente obtidas nesta dissertação através do programa GEOFLUX3D e

por Huertas (2006) empregando o software comercial Seep3D v.1.15. Conclui-se

que devido às condições de contorno variáveis prescritas no talude de jusante pelo

programa GEOFLUX3D, seus resultados aparentemente devem estar mais

próximos da realidade.

Como sugestões para trabalhos futuros neta área, recomenda-se:

Consideração da existência de fraturas na fundação de barragens e

verificação numérica dos seus efeitos no problema de fluxo;

Implementar o acoplamento hidráulico-mecânico para análise de problemas

de fluxo transiente;

Verificar a influência das zonas de transição no comportamento do

resultados computados no caso de barragens de terra zoneadas ou de

enrocamento.

DBD


Referências Bibliográficas 106

7 Referências Bibliográficas

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Roberto Juan Quevedo Quispe Implementação Numérica para ...livros01.livrosgratis.com.br/cp069016.pdfA equação de Richards é solucionada ... o modelo exponencial proposto por