18Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10!"#$%'( *%#'+*'( , $"+-./0%$+( ACTVDADES NCALES 10.I.Un espectador dice: CreoqueeIsnowboarderaIcanzaeIpuntoms aItojustoa mitaddecaminoentre eI punto de despegue y eI de aterrizaje. Otro espectador contesta: Eso depende de Ia aItura de Ios dos puntos. T qu piensas? Razona tu opinin y debteIa con tus compaeros. Actividad abierta 10.II.SitefijasenIafoto,IarampadesaItonoeshorizontaI.Porqucreesquetieneesa incIinacin?CmoIaeIegirastparaqueeIsnowboarderIIegaseIomsIejos posibIe? Actividad abierta 10.III.Juntaos por grupos y haced una Iista de situaciones cotidianas en Ias que aparezca Ia parboIa. Despus ponedIa en comn. Actividad abierta ACTVDADES PROPUESTAS 10.1. Actividad resueIta 10.2.Indica cuIes de Ias siguientes funciones son de proporcionaIidad directa. a) y = -5xd) y = 0,3x b) y = 0,04 + 23x e) y = -2x2 c) y = 1 - x2 f) y = -0,5x + 2 Son de proporcionalidad directa las funciones a y d. 10.3. CuI es Ia constante de proporcionaIidad de Ia funcin 37xy x = ? 3 3 417 7 7xy x x x| |= = = |\ .. La constante de proporcionalidad es 47 .

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 19 10.4.Expresa cada una de estas funciones mediante una ecuacin e indica cuI o cuIes sonde proporcionaIidad directa. a) A cada nmero reaI Ie corresponde su dobIe. b) A cada nmero reaI Ie corresponde su dobIe ms cinco. c) A cada nmero reaI Ie corresponde su cuadrado ms cinco. a) y = 2xb) y = 2x + 5 c) y = x2 + 5 Solo a) es de proporcionalidad directa. 10.5.Actividad resueIta 10.6.(TIC) Indica Ia pendiente y Ia ordenada en eI origen de Ias siguientes funciones IineaIes. RepresntaIas a) y = 3xc)1 y= e) y = 12 x + 3b)23xy= d) y = 3x +1 f) y = -5x + 2 a) m = 3, n = 0d) m = 3, n = 1 b) 1 2,3 3m n = = e) m = 21, n = 3 c)0, 1 m n = = f) m = 5, n = 2 10.7.HaIIa Ia ecuacin de Ia funcin IineaI que pasa por eI punto A(2, 9) y tiene pendiente -3. m = 3 y = 3x + n Si pasa por A(2, 9), entonces: 9 = 3 2 + n n = 15, y = 3x + 15. 10.8.Determina y representa Ia ecuacin de Ia funcin IineaI que pasa por Ios puntos A(2, -1) y B(5, 4).CuI es su pendiente? 1 = 2 m + n 4 = 5 m + n La ecuacin es: y = 53 x 133 . m = 53 , n = 133OYX 11OYXy = 3x11OYX 11y = 2 x3OYXy = 111OYXy = 3x + 111OYX 11y =x + 312OYX 11y = 5x + 2

20Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.9.Indica si estn aIineados Ios puntos P(1, 1), Q(2, 3) y R(1, 3). Grficamente, para ver si estos tres puntos estn alineados, se dibujan en el plano y se observa si existe una recta que pase por ellos. Analticamente, la ecuacin de una recta esy mx n = + . Si el punto P pertenece a la recta, entonces1 m n = + . Si el punto Q pertenece a la recta, se tiene que3 2m n = + . Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene que1 n = y2 m = , luego la recta es2 1 y x = . Como el punto R cumple la ecuacin de la recta, entonces tambin pertenece a ella. Por tanto, los tres puntos estn alineados. 10.10. Actividad interactiva 10.11. Escribe Ia ecuacin de dos rectas paraIeIas a cada una de estas funciones IineaIes. a) y = 2x - 3b) y = 3xc) y = -x + 1 d) y = -5x + 7 a) y = 2x; y = 2x + 3c) y = x + 2; y = x 7 b) y = 3x + 1; y = 3x + 10d) y = 5x; y = 5x + 4 10.12. (TIC) HaIIa grfica y numricamente eI punto deinterseccin de Ias rectas: a) y = 7x + 3, y = 6x2 b) y = x - 3, y = 3x + 1 a) El punto de interseccin de las rectas es 5 4,1313| | |\ .. b) El punto de interseccin de las rectas es( ) 1, 2 . 10.13.Cunto debe vaIer k para que Ia recta2 3 y kx = sea paraIeIa a( 1) 2 y k x = + + ? Paraquedosrectasseanparalelas,handetenerlamismapendiente,estoes, 2 1 1 k k k = + = . 10.14. (TIC) SeaIa si Ias siguientes rectas son horizontaIes o verticaIes y represntaIas. a) y = 5b) x = - 3c) y = -2d) y = 0e) x = 7 f)x = y a) Horizontal c) Horizontal e) Vertical b) Vertical d) Horizontal f) Ni horizontal, ni vertical OYX 11y = 6x 2y = 7x + 3OYXy = 3x + 111y = x 3OYXy = 5x = 3y = 2y = 0x = 7x = y11

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 21 10.15. Actividad interactiva 10.16. Actividad resueIta 10.17. Un cicIista parte deI kiImetro 10 de una carretera a una veIocidad constante de 20kiImetros por hora. a) HaIIa Ia expresin aIgebraica de Ia funcin que reIaciona eI punto kiIomtrico en que se encuentra eI cicIista con eI tiempo transcurrido desde eI inicio. b) Representa Ia funcin.a) y = 20x + 10, donde y es el punto kilomtrico de la carretera, y x, el tiempo transcurrido, en horas. b) 10.18. Se ha reaIizado una campaa de vacunacin en una regin. Los gastos de distribucinson 600 euros y Ios de vacunacin, 5 euros por cada vacuna administrada. Determina Ia expresin matemtica de esta funcin y represntaIa. y=5x+600,dondeyeseldineroquesegastaenlacampaa,yx,elnmerodevacunas puestas. 10.19.EI precio en euros que hay que pagar por un viaje en taxi de x kiImetros viene dado porIa expresin2 1,5 y x = + . Representa Ia funcin e interpreta eI vaIor 1,5. El valor 1,5 es la bajada de bandera. OYX 11y = 2x + 1,5O1010Distancia (km)Tiempo (horas)OYX10200

22Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.20.Cuando un espeIeIogo se adentra en una cueva, Ia temperatura aumenta 1 grado cada100 metros de profundidad. La temperatura en Ia superficie es de 10 grados. a) HaIIa y representa Ia funcin que reIaciona Ia temperatura con Ia profundidad.b) La expIoracin de Ia cueva de Krubera-Voronya aIcanz una profundidad de 2 kiImetros. Si en Ia superficie Ia temperatura era de 25 C, qu temperatura habr en eI fondo de Ia cueva? a) 110100T P = + b) 1 125 2000 25 45100 100T P C = + = + = 10.21.Actividad resueIta 10.22.Indica cuIes de estas funciones son cuadrticas. a) y = 3xb) y = -2x +3c) y = 5 + x2

Son cuadrticas a y c. 10.23.Dadas Ias funciones: y = -x2y = -3x2y = -5x2 a) Construye una tabIa de vaIores para cada unab) RepresntaIas en un mismo grfico. 10.24.Ordena Ias siguientes funciones cuadrticas de mayor a menor apertura de IaparboIa. a) 2215y x = +b) 2y x = c) 22 15 y x x = + d) 25 11 y x x = Cuanto menor sea el coeficiente en valor absoluto, mayor ser la apertura de la parbola; por tanto, la parbola 2215y x = +es la que tendr mayor apertura; despus sern las parbolas 22 15 y x x = + y 2y x = , que tienen la misma, y por ltimo, la parbola 25 11 y x x = . xy = x2y = 3x2 y = 5x2 241220 1135 0000 1135 241220 OT(C)P(m) 100 2002OYX55y = x 2y = 5x 2 11xy = x 2 +2x 15y =x 2 + 125OYX11 y = x2y = 3x2y = 5x2

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 23 10.25.Actividad resueIta 10.26.Dada Ia funcin y = -2x2 + 8x - 1: a) CuI es Ia abscisa de su vrtice?b) CuI es Ia ecuacin de su eje? a)2vx = b)2 x = 10.27.Representa estas funciones cuadrticas y estudia Ias grficas que obtengas. a) y = 2x - 4x - 6 b) y = -x - 6x + 27c) y = 2x - 6d) y = x - 5x a) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 6 (0, 6) Hallamos el vrtice de la parbola: 6 = 2x 4x 6 x = 0 o x = 2. El vrtice est en x = 1, y = 8 V(1, 8). Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x 4x 6 = 0 x 2x 3 = 0 2 4 12 2 4 312 2x + = = = (3, 0), (1, 0)b) Abierta hacia abajo, a < 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 27 (0, 27) Hallamos el vrtice de la parbola: 27 = x 6x + 27 x = 0 o x = 6. El vrtice est en x = 3, y = 36 V(3, 36). Puntos de corte con el eje X:y = 0 x 6x + 27 = 0 6 36 108 6 12 932 2x + = = = (9, 0), (3, 0) c) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 6 (0, 6) Hallamos el vrtice de la parbola: xv =0402= =ab El vrtice es V(0, 6). Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 6 = 0 3 = x ( 3 , 0), ( 3 , 0)d) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 0 (0, 0) Hallamos el vrtice de la parbola: xv =5 , 2252= =ab. El vrtice es V(2,5; 6,25). Puntos de corte con el eje X: y = 0 x(x 5) = 0 x = 0 o x = 5 (0, 0), (5, 0) OYX 22y = 2x 2 6OYX 22y = x 2 5xOYX22OYX66

24Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.28.Actividad interactiva 10.29.HaIIa Ia ecuacin de Ia siguiente parboIa. La ecuacin de la parbola es 23 y x = + . 10.30.Representa por trasIacin estas funciones. a) y = x + 3b) y = x - 2c) y = (x + 1)d) y = (x - 4) a)c) b)d) 10.31.Representa por trasIacin estas funciones. a) y = (x + 1) + 3b) y = (x - 4) - 2c) y = (x + 1) - 3d) y = (x + 4) - 2 a)c) b)d) OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11YX O11

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 25 10.32.CuI es Ia funcin resuItante de trasIadar Ia parboIa y = 2x2 + 2 tres unidades haciaarriba y dos hacia Ia izquierda? 22( 2) 5 y x = + + 10.33. HaIIa a y b para que Ia siguiente grfica corresponda a Ia funcin y = (xa)2 + b. 1 a = , y2 b = , luego la funcin quedara 2( 1) 2 y x = + . EJERCCOS Representacin de funciones lineales. Pendiente y ordenada en el origen 10.34.Una funcin viene dada por Ia siguiente tabIa. Expresa Ia funcin mediante una frmuIa, utiIizando como ayuda esta otra tabIa.x0123 1010 + 310 + 610 + 9 y 1010 + 3 110 + 3 210 + 3 3 Luego la expresin algebraica es:10 3 y x = + . 10.35. ReIaciona cada tabIa con su ecuacin correspondiente. x0123. y10131619. x510 y21 x48 y58 x53 y11 140, 2 1324xyy xxy +== += OYX 11

26Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.36. Indica cuIes de Ias siguientes ecuaciones corresponden a funciones IineaIes. En Ioscasos que s Io sean, haIIa Ia pendiente y Ia ordenada en eI origen. a)8 35xy=c) y = x2 + x - 3e) 567y x = +b)39 4xy= +d) 51 yx= f) 123y x = a) Lineal. m = 85 , n = 35 c) No lineale) Lineal. m = 57 , n = 6 b) Lineal. m = 19 , n = 34 d) No lineal f) Lineal. m = 13 , n = 2 10.37. CuIes de estas reIaciones son funciones IineaIes? ExprsaIas matemticamente a) A cada nmero se Ie hace corresponder eI tripIe deI siguiente. b) A cada nmero reaI se Ie hace corresponder eI mismo menos eI 10 % de su mitad. c)AcadanmeroreaIseIehacecorrespondereIproductodesuanteriorporsu posterior. a)3 3 ) 1 ( 3 + = + = x x yb)x x xxx y20192012 10010= = =c)1 ) 1 ( ) 1 (2 = + = x x x ySon lineales a y b. 10.38. HaIIa Ia ecuacin de Ia funcin IineaI que pasa por Ios siguientes pares de puntos: a) (5, 3) y (1, 1)c) (4, 1) y (1, 4)e) (1, 3) y (1, 3) g) (4, 2) y (4, 4) b) (0, 0) y 1 1,3 4| | |\ .d) (2, 1) y (3, 3)f) 3 1,2 2| | |\ .y 1 1,4 4| | |\ . h) (0, 3) y (0, 0) a)y mx n = + . Pasa por (5, 3)3 5m n = +y por (1, 1) 1 1, 2 2 m n m n y x = + = = = . b)y mx n = + . Pasa por (0, 0)0 n =y por 1 1,3 4| | |\ .

1 1 3 3, 04 3 4 4m n m n y x = + = = = . c)y mx n = + . Pasa por (4, 1)1 4m n = +y por (1, 4) 4 1, 5 5 m n m n y x = + = = = + . d)y mx n = + . Pasa por (2, 1)1 2m n = +y por (3, 3) 2 9 2 93 3 ,5 5 5 5m n m n y x = + = = = .

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 27 e)y mx n = + . Pasa por (1, 3)3 m n = +y por (1, 3) 3 0, 3 3 m n m n y = + = = = . f)y mx n = + . Pasa por3 1,2 2| | |\ . 1 32 2m n = +y por 1 1,4 4| | |\ .

1 1 3 2 3 2,4 4 5 5 5 5m n m n y x = + = = = + . g) La recta que pasa por esos dos puntos es x = 4, que no es una funcin lineal. h) La recta que pasa por esos dos puntos es x = 0, que no es una funcin lineal. 10.39.En cada caso, haIIa Ia ecuacin de Ia funcin IineaI que pasa por eI punto P y tienependiente m: a) P(2, 3) y m = 2c) P(3, 3) y m = 0e) P(2, 2) y 12m =b) 1 2,3 5P| | |\ .y m = 1d) P(1, 4) y m = 3 f) P(0, 0) y m = 1 a) y mx n = + . Como m = 2 2 y x n = + , sustituyendo las coordenadas del punto 3 4 7 2 7 n n y x = + = = + . b)y mx n = + . Como m = 1 y x n = + , sustituyendo las coordenadas del punto 2 1 1 15 3 15 15n n y x = + = = . c)y mx n = + . Como m = 0 y n = , sustituyendo las coordenadas del punto3 3 n y = = . d)y mx n = + . Como m = 3 3 y x n = + , sustituyendo las coordenadas del punto 4 3 1 3 1 n n y x = + = = + . e)y mx n = + . Como m = 1212y x n = + , sustituyendo las coordenadas del punto 12 1 1 12n n y x = + = = . f)y mx n = + . Como m = 1y x n = + , sustituyendo las coordenadas del punto 0 n y x = = . 10.40. Pertenece eI punto (2, 3) a Ia recta de ecuacin y = 2x - 1? Por qu? 3 = 2 2 1. S, verifica la ecuacin. 10.41. Determina eI vaIor de m para que Ia recta y = (2m - 1)x + 2 pase por eI punto A(-3, 2). Sustituimos las coordenadas de A(3, 2) en la ecuacin de la recta. 2 = (2m 1) (3) + 2 m = 12

28Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.42. Una funcin IineaI pasa por Ios puntos (3, 3), (4, 3) y (3, 3). Sin haIIar su ecuacin,cuI es su pendiente? Sobra aIgn dato? 0 m = , dibujando los puntos en el plano nos damos cuenta de que se trata de la recta 3 y = .Sobrara un punto, ya que con dos podemos dibujar la recta. 10.43. Sin haIIar su ecuacin, cuI es Ia pendiente de Ia funcin IineaI que pasa por (2, 3) y (5, 3)? 623m = = 10.44.(TIC) Representa Ias siguientes funciones IineaIes. a) y = 3x - 2c) y = 14 xe) y = 233 x +g) y = 1 32 4x +b) y = -2x - 1d) y = -5x + 2f) y = x - 12h) y = 5 10.45. (TIC) ReIaciona cada grfica con su ecuacin. a) y = 12 xb) y = 2xc) y = x + 1 OYX 11y = x + 1y = 2xy =x 1211OYXy = 2x 1 y = 3x 2 y = 5x + 2 y = x + 323y = x +1234y = x 12y = 5y =x14OYX 11

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 29 10.46. (TIC) HaIIa Ias ecuaciones de Ias funciones correspondientes a Ias siguientes grficas. a) 32y x = c) y x = b) 3 y x = d)23y x = 10.47. Estn aIineados Ios puntos (-1, 7), (2, -5) y (0, 3)? Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por dos de los puntos: (1, 7) y (2, 5). Si el tercer punto, (0, 3), pertenece a esa recta, es que s estn alineados. 74, 3 4 35 2m nm n y xm n = + = = = +` = +) Si x = 0 y = 3. El punto (0, 3) pertenece a esta recta. S, los tres puntos estn alineados. Rectas paralelas y secantes 10.48.De Ias siguientes rectas dadas por sus ecuaciones, indica cuIes son paraIeIas. a)2 3 y x = b)3 1 y x = + c)5 2 y x = +d)2 5 y x = + Las rectas2 3 y x = e2 5 y x = +son paralelas al tener la misma pendiente. 10.49. Indica si estas rectas son secantes o paraIeIas, y en eI primer caso, haIIa su punto deinterseccin: a)4 6 y x = b)5 3 y x = + c)15 4 y x = d)5 3 y x = + Las rectas4 6 y x = e5 3 y x = + se cortan en el punto( ) 1, 2 . Las rectas4 6 y x = e 15 4 y x = son paralelas. Las rectas4 6 y x = e5 3 y x = +se cortan en el punto( ) 9, 42 . Las rectas5 3 y x = +e15 4 y x = se cortan en el punto 429,3 3| | |\ .. Las rectas5 3 y x = +e5 3 y x = +se cortan en el punto( ) 0,3. Las rectas15 4 y x = e5 3 y x = +se cortan en el punto( ) 12,63 . OYX11a)OYX 11c)OYX11b)OYX11d)

30Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.50. Representa en Ios mismos ejes cuatro rectas paraIeIas con pendiente 3 y Ias siguientesordenadas en eI origen. a) n = 4b) n = 1c) n = 2 d) n = 5 10.51.(TIC) CuI de Ias siguientes rectas no es paraIeIa a Ias otras?CuI es su punto de cortecon eIIas? a) 3 16xy += b)2 3 0 x y + = c) 2xy= d) 162y x = +Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. a) m = 21b) 23 + =xy m = 21c) m = 21d) m = 21, no es paralela a las otras. El punto de corte con la recta 3 16xy +=es 3537,6 12| | |\ ., con la recta2 3 0 x y + =es 915,2 4| | |\ . y con la recta 2xy=es( ) 6,3 . 10.52.Escribe Ia ecuacin de Ia funcin IineaI paraIeIa a y = -7x + 1, y que tiene Ia mismaordenada en eI origen que y = 4x - 13 .Paralela a y = 7x + 1 m = 7 Misma ordenada en el origen que y = 4x 13 n = 13

10.53. Observa Ias dos tabIas. x-1-450 y3333 a) Dibuja Ias grficas que Ies corresponden. b) HaIIa sus ecuaciones y su punto de corte. c) Son Ias dos funciones IineaIes?a) b) y = 3,x = 2. Estas rectas se cortan en el punto( ) 2,3 . c) No, la segunda no es siquiera funcin porque f(x) no tiene una nica solucin para x = 2. x-2-2-2-2 y163-4 y = 7x 13

OYX11OYX22OYX 11y = 3x + 5y = 3x 2y = 3x + 1y = 3x 4

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 31 10.54.(TIC) Dada Ia recta de ecuacin2 3 y x = : a) Dibuja su grfica. b) Dibuja una recta simtrica respecto deI eje X y determina su ecuacin. c) Dibuja una recta simtrica respecto deI eje Y y determina su ecuacin.

a) b)2 3 y x = +c)2 3 y x = 10.55. Dada Ia recta de ecuacin7 2 y x = , escribe: a)LasecuacionesdedosrectasparaIeIasaeIIaquenopasenporeIorigende coordenadas. b) Las ecuaciones de dos rectas secantes a Ia dada. c) Las ecuaciones de dos rectas secantes a Ia dada, pero paraIeIas entre s. d) Las ecuaciones de dos rectas con Ia misma ordenada en eI origen que Ia dada. a) 7 1, 7 3 y x y x = + = b)3 2 , 5 1 y x y x = = +c)3 2 , 3 1 y x y x = = +d)6 2 , 3 2 y x y x = = 10.56.HaIIa Ia ecuacin de Ia recta paraIeIa a 15xy +=que pasa por eI punto A(3, -4). Si la recta que buscamos es paralela a 15xy += , entonces su pendiente debe ser m = 15 . Su ecuacin tendr la forma 15y x n = + . Sustituimos las coordenadas del punto A en la ecuacin de la recta para hallar la coordenada en el origen n. ( )1 174 35 5n n = + = La ecuacin de la recta es: 1 175 5y x = OYX 11y = 2x 3OYX 11y = 2x 3y = 2x + 3OYX 11y = 2x 3y = 2x 3

32Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas Funciones cuadrticas 10.57. CuI es eI nico punto de una parboIa que es simtrico a s mismo con respecto aI ejede Ia parboIa? El vrtice 10.58. Dadas Ias siguientes parboIas: I) y = 2x2 II) y = 2x2 - 3III) y =12x2 - 2x + 1IV) y = 5(x + 2)2 Indica: a) Hacia dnde se abren sus ramas? b) CuIes tienen iguaI abertura? c) CuI es Ia ms cerrada? d) CuI tiene eI vrtice en eI punto (-2, 0)? a) Todas hacia arribab) y c) V d) V 10.59.Dada Ia siguiente parboIa. HaIIa su vrtice, su eje de simetra y su ecuacin. Su vrtice es (2, 1), su eje de simetra es la recta x = 2. La ecuacin tendr la forma 2y ax bx c = + + .La funcin pasa por (0, 3), de donde se deduce que c = 3. Tambin pasa por (1, 0), de donde:0 3 3 a b a b = + + + = . Conocemos la abscisa del vrtice: 2 42bx b aa= = = . 1, 4 a b = = . La ecuacin es 24 3 y x x = + . 10.60. (TIC) Representa Ias siguientes parboIas. a) y = x2 - 4x + 3 c) y = x2 - 5x + 6 e) y = 2x2 - 10x b) y = x2 + 6x + 10 d) y = x2 - 6x + 10 f) y = x2 - 16 a)c)e) b)d)f) OYX11OYX22OYX22OYX22OYX 55OYX 55OYX 55

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 33 10.61.(TIC) Representa Ias siguientes funciones cuadrticas y estudia Ia grfica obtenida. a) y = -2x2 + 12x - 10b) y = x2 - 2x + 4c) y = 2x2 - 8x + 6d) y = 3x2 + 1 a) Abierta hacia abajo, a < 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 10 (0, 10)Hallamos el vrtice de la parbola:32vbxa= = yv = 8 V(3, 8) Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 + 12x 10 = 0 12 144 80 12 8 154 4x = = = (1, 0), (5, 0)b) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 4 (0, 4) Hallamos el vrtice de la parbola:12vbxa= = yv = 3 V(1, 3) Puntos de corte con el eje X: y = 0 x2 2x + 4 = 0, no tiene c) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 6 (0, 6) Hallamos el vrtice de la parbola:22= =abxv yv = 2 V(2, 2) Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 8x + 6 = 0 8 64 48 8 4 314 4x = = = (3, 0), (1, 0) d) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 1 (0, 1) Hallamos el vrtice de la parbola:02vbxa= = yv = 1 V(0, 1) Puntos de corte con el eje X: y = 0 3x2 + 1 = 0. No es posible. La parbola no corta el eje X. 10.62.Una parboIa pasa por Ios puntos (-1, 3) y (-5, 3). Escribe Ia ecuacin de su eje. La ecuacin del eje se puede hallar mediante estos dos puntos, pues son simtricos (tienen la misma imagen 3). Por tanto, el eje pasar por el punto intermedio entre x = 5 y x = 1. 5 ( 1) 632 2 + = = Eje x = 3 OYX22OYX11OYX22OYX11

34Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.63.Una funcin cuadrtica tiene su vrtice en eI punto (4, -4). CompIeta Ia tabIa utiIizando Iasimetra de Ia funcin. x265-3 y00-3-3 Como tiene su vrtice en (4, 4), el eje de simetra es x = 4. Entonces: x = 2 es un punto simtrico a x = 6 respecto al eje, con lo que f(6) = f(2) = 0. x = 5 es un punto simtrico a x = 3 respecto al eje, con lo que f(5) = f(3) = 3. 10.64. Representa, mediante una trasIacin de Ia parboIa y = x2, Ia grfica de cada funcin. a) y = x2 + 3 b) y = (x - 3)2 c) y = x2 - 2 d) y = (x + 1)2 - 5 10.65.Dada esta grfica de una parboIa, trasIada Ia grfica, sin variar Ia orientacin ni Iaabertura, de forma que eI vrtice sea eI indicado. Escribe Ia ecuacin de Ia parboIa. a) (0, -2)b) (-4, 0)c) (-1, 5)d) (-2, -3) a)22 = x y c)( ) 5 12+ + =x yb)( )24 + =x y d)( ) 3 2 2 + =x y 10.66.La parboIa de ecuacin y = (x + a)2 - 5 tiene eI vrtice en eI punto V(-3, b). HaIIa eI vaIorde a y b. 2 22 5 y x ax a = + + 3 3vx a a = = =26 45 53vvy x xy bx = + += = `= ) OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11OYX11

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 35 10.67.Dada Ia parboIa de ecuacin 22 4 5 y x x = , comprueba si tambin se puedeexpresar de Ia forma: 22( 1) 3 y x = + . Qu ventajas observas en esta manera de expresar Ia ecuacin? Delasegundaformasepuedeobservarqueapartirdelaparbola 2y x = ,trasladndola3 unidadeshaciaabajo,1unidadhacialaizquierda,lasramashaciaabajoymscerradas,se obtiene la parbola del enunciado. 10.68.Indica Ias condiciones que debe tener una parboIa para que: a) No corte aI eje de abscisas. b) Corte una soIa vez aI eje de abscisas. c) No corte aI eje Y. a) Que 24 0 b ac > b) Que 24 0 b ac =c) No es posible que una parbola no corte al eje Y. La condicin debera ser que no pasase por x = 0, es decir, que no fuera continua. 10.69. Averigua Ia ecuacin de Ia funcin cuadrtica que cumpIe Ias siguientes condiciones: - EI eje es x = -2. - EI recorrido es eI intervaIo [ -4, +). - La grfica pasa por eI punto (0, 8). Eje x = 2 2 42bb aa= =Recorrido [4, ) f(2) = 4 4 = a (2)2 + b (2) + c 4a + 2 b + c = 4 4a + c = 4 Pasa por (0, 8) 8 = a 02 + b 0 + c c = 8 Como 4a + c = 4, y c = 8 a = 3. Como b = 4a b = 12. La ecuacin es y = 3x2 + 12x + 8. PROBLEMAS 10.70. Actividad interactiva 10.71.Una cooperativa agrcoIa vende eI aceite a graneI a 3 euros eI Iitro y Ias patatas a 3 eurosIa boIsa.CuIdeIassiguientesrepresentacionescorrespondeacadaunadeIasfunciones IineaIes que reIacionan Ia cantidad de producto y eI precio? Precio de las bolsas de patatas. Precio de los litros de vinagre. YX O 13a) YX O 13b)

36Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.72.Para coIaborar con Ias personas sin techo, una ONG eIabora un peridico de repartocaIIejero.Cadavendedorrecibeunfijode25eurosaImesy,adems,50cntimospor ejempIar vendido. a)EscribeIafrmuIayrepresentaIagrficadeIafuncinquereIacionaeInmerode peridicos vendidos con eI dinero recibido aI mes. b) Cuntos ejempIares tiene que vender un sin techo para cobrar en un mes 185 euros? a)25 0,5 y x = + b) 185 25 0, 5 320 x x = + =peridicos 10.73.CaIcuIa eI rea deI tringuIo que forma Ia recta de ecuacin5 7 y x = +con Ios ejescoordenados. Larectacortaenlospuntos( ) 0,7y 7,05| | |\ ..Elreadeltringuloes: 774954,92 10= = . 10.74.HaIIa Ias ecuaciones de Ios Iados de un tringuIo de vrtices( ) ( ) 2, 1 , 3, 4 A B y ( ) 7, 3 C . La recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuacin5 11 y x = . La recta que pasa por los puntos A y C tiene por ecuacin 2 15 5y x = . La recta que pasa por los puntos B y C tiene por ecuacin 7 374 4y x = + . 10.75.Un Iadrn huye en moto a 100 km/h y Ia poIica Io persigue a 120 km/h. Cundo y en quIugar Io atrapar si IIeva una ventaja de 2 kiImetros? ResuIveIo grficamente. 1100 120 210x x x = = hora = 6 minutos Lo atrapar en el kilmetro 10. 10.76. CaIcuIa Ias coordenadas deI punto de corte de Ias diagonaIes deI trapecio de Ia figuraABCD.

La recta que pasa por D y B es 2 347 7y x = + . La recta que pasa por A y C es 2 127 7y x = + . El punto de corte es 1123,2 7| | |\ . . O2525 N.o de peridicosDinero (

)OYX 11A(1, 2) B(10, 2)C(8, 4) D(3, 4)O 2100horakmy = 100xy = 120x 2

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 37 10.77. Ana est de viaje en Estados Unidos y encuentra en Ia caIIe Ios dos termmetros de Iaderecha, donde se ve Ia equivaIencia entre Ias escaIas Fahrenheit y CeIsius. Sabiendo que Ia conversin entre Ias dos escaIas es IineaI: a) Qu funcin permite pasar de grados Fahrenheit a CeIsius? b) Y de CeIsius a Fahrenheit? a) 5( 32)9F C = b) 9325C F + = 10.78.Un depsito con 5000 Iitros de agua tiene una rotura por Ia que pierde 2 Iitros porminuto.EscribeyrepresentaIafuncinquereIacionaIosIitrosquequedaneneI depsito con eI tiempo transcurrido. 5000 2 y x = 10.79. Un peatn camina 3 metros en 2 segundos. Si contina andando a esa misma veIocidadconstante: a)HaIIaIafuncinquereIacionaeIrecorrido,enmetros,coneItiempoempIeado,en segundos. b) Representa grficamente esa funcin. a)32y x =b) 10.80. *Observa eI dibujo. CaIcuIa Ia pendiente de Ia carretera. 150,15100m = = 100908070605040302010021218032Celsius FarenheitO 5001000y = 5000 2xMinutosLitrosOms 11y =x32

38Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.81.Dibuja Ia grfica y haIIa Ia frmuIa de Ia funcin que reIaciona Ia Iongitud deI Iado de untringuIo equiItero con su permetro. Pon en eI eje X Ios vaIores deI permetro, y en eI Y, Ios deI Iado. 13y x = 10.82. ObservaIacaIcuIadora.ParacadavaIorqueseintroduceeneuros(pantaIIainferior) devueIve su vaIor en Iibras (pantaIIa superior). a) Se puede considerar que esta conversin de divisas es una funcin? De qu tipo? b)Siseintroducen36euros,quvaIorenIibrasdarIa caIcuIadora?c)EscribeIafuncinquepermitepasardeeurosaIibrasyIa que permite pasar de Iibras a euros. a) S, es una funcin lineal. b) 161,3236 23,7245= libras c) 161,32libras euros245= ;245euros libras161,32=10.83. La ecuacin deI espacio recorrido por un mviI es s = 5 + 3t + 2t2. a) Qu Iongitud ha recorrido eI mviI aI cabo de 5 segundos de iniciar eI movimiento? b) CuI es Ia Iongitud recorrida durante eI quinto segundo? c) Cunto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido 157 metros desde eI inicio? a) t = 5 s = 5 + 3 5 + 2 52 = 70 m b) t = 4 s = 5 + 3 4 + 2 42 = 49 m en 4 s Durante el 5. segundo recorre una longitud que es la diferencia entre las distancias recorridas al cabo de 5 y de 4 segundos: 70 49 = 21 metros. c) 157 = 5 + 3t + 2t2 2t2 + 3t 152 = 0 t = 3 9 12164 += 8 s(La respuesta negativa no tiene sentido.) 10.84.Expresa eI rea de un tringuIo equiItero en funcin de su Iado. Qu tipo de funcines? Llamamos L al lado, y h a la altura.2 22 2 232 2 2h Lh L h L L| | | |+ = = = ||\ . \ . 23322 4LLA L= =Es una funcin cuadrtica. O 11y =x13PermetroLado

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 39 AMPLACN 10.85. EI producto de todos Ios vaIores de z para Ios que Ias tres rectas: : 2 1 r y x = ,: 6 2 8 0 s x y =y: 7 t y zx = no forman tringuIo es: a) 6b) 56c) 17d) 24 Estas tres rectas no formarn tringulo si al menos dos de ellas son paralelas o si las tres son concurrentes. As pues, si z = 2 o z = 3, no hay tringulo, pero si t pasa por el punto de interseccin de r y s, es decir, por P(3, 5), tampoco. La recta t pasar por P(3, 5) si 5 = 3z 7, o sea, si z = 4, por lo que para z = 2, 3, 4 no hay tringulo, con lo que la respuesta es2 3 4 = 24. 10.86. Las grficas de 2x - y + 1 = 0 y de y = x2 se cortan en Ios puntos A y B. Las abscisas de A y B son Ias soIuciones de Ia ecuacin: a) 22 1 0 x x + + = c)2 1 0 x + =b) 22 1 0 x x = d) 20 x = Las abscisas de A y B son las soluciones de la ecuacin x2 2x 1 = 0 10.87. Si Ia pendiente m es un entero positivo y Ias rectas13 11 158 0 x y + + = ,79 y mx = se cortan en un punto de coordenadas enteras, m puede ser: a) SoIamente 4c) SoIamente 6 b) SoIamente 5d) SoIamente 7 La abscisa del punto de corte de las rectas dadas viene dada por la ecuacin 13 1587911 11mx x = , es decir, x(11m + 13) = 632, con lo que 632 8 7911 13 11 13xm m= =+ +. Al ser m entero positivo, 11m + 13 no puede dividir a 8, y como 79 es primo, la nica posibilidad para que x sea entero es que 11m + 13 sea 79, es decir, m = 6. 10.88. Hay muchos nmeros enteros k para Ios que Ia parboIa y = (2k - 1)x2 - 8x + 6 no cortaaI eje horizontaI. EI menor de eIIos es: a) 1b) 2c) 3d) 4 Dicha parbola no corta al eje horizontal si la ecuacin (2k 1)x2 8x + 6 = 0 no tiene soluciones reales, es decir, si 82 4(2k 1)6 < 0. As pues, 88 < 48k, con lo que 116k < , y el menor k entero con esa propiedad es k = 2. 10.89. Si Ia parboIa y = -x2 + bx - 9 tiene su vrtice en eI eje de abscisas, b es: a) 3b) 4c) 5d) 6 Al tener la parbola el vrtice en el eje de abscisas, la ecuacin x2 + bx 9 = 0, o sea, x2 bx + 9 = 0, tiene una nica solucin real, es decir, b2 4 9 = 0,6 b = , por lo que de las respuestas dadas, la correcta es la d: b = 6.

40Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 10.90. SieIreadeIareginIimitadaporIarecta4 y mx = + ,conmpositivo,Iosejesde coordenadas y Ia recta4 y= es 12, cuI es eI vaIor de m? A) 1B) 2C) 3D) 4 La regin limitada es el trapecio de vrtices A(0, 0), B(4m, 0), C(8m, 4) y D(8m, 0). El rea de ese trapecio es igual a 24m = 12, por lo que m = 2. AUTOEVALUACN 10.1.HaIIa Ias funciones IineaIes que cumpIen: a) Tiene ordenada en eI origen 2 y pendiente iguaI a 1. b) Los puntos A(3, 2) y B(0, 4) pertenecen a Ia grfica de Ia funcin. a)2 y x = +b) 243y x = +10.2.CuI es Ia ecuacin de esta grfica de funcin? Pasa por los puntos (1, 0) y (0, 3), con cuyas coordenadas hallamos m y n: 0 = m + n 3 = n 10.3. Representa Ias siguientes funciones IineaIes. a) y = 5x - 3b) y = 2 13 3x + m = 3 n = 3 y = 3x + 3OYX 11y = x +231311OYXOYX 11y = 5x 3

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 41 10.4.UnjoyerotienetresdiamantesconIassiguientesmasas,medidasenquiIates(ct)yen gramos (g): ct2,250,331,1 g0,450,0660,22 a) CuI es Ia funcin que reIaciona Ia masa en quiIates con Ia masa en gramos? b)Irenepesa53,5kgytienecuriosidadporconocersumasaenquiIates.Puedes ayudarIa? a) m(ct) = 5 m(g) b)553500 267500 = 10.5.HaIIa eI vrtice y Ia ecuacin deI eje de cada una de estas parboIas. a) y = 12 x2 - 3x + 1b) y = -3x2 + 2x + 9 a)332 1vbxa= = = ; 21 73 33 12 2vy = + = V(3, 72 ). Eje x = 3 b)2 12 6 3vbxa= = =; 21 1 283 2 93 3 3vy| | | |= + + = ||\ . \ . V( 13 , 283). Eje x = 13

10.6.Determina Ia ecuacin de Ia parboIa que resuIta de trasIadar eI vrtice de Ia parboIay = x2 aI punto (2, 1). y = ax2 + bx + cSabemos que a = 1 porque la parbola buscada es una traslacin de y = x2. 2 42vbx ba= = = , 22 42 1 5vy c c = + = =y = x2 4x + 5 = (x 2)2 + 1 10.7.Representa Ia parboIa y = 2x2 + 12x + 16, y estudia Ia grfica obtenida. Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 16 (0, 16) Hallamos el vrtice de la parbola:32vbxa= = yv = 2 V(3, 2) Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 + 12x + 16 = 0 x = 2 o x = 4 (2, 0), (4, 0) OYX 11y = 2x 2 + 12x + 16

42Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas PON A PRUEBA TUS COMPETENCAS nterpreta y deduce > Parbolas y deporte 10.1.Supn que eI centro de gravedad (C) deI atIeta se encuentra en Ios puntos azuIes y reaIiza Ias siguientes actividades. a) CaIca Ia cuadrcuIa con Ia situacin deI punto en Ias diferentes posiciones deI atIeta. b) Dibuja unos ejes cartesianos de forma que eI eje X sea paraIeIo aI sueIo y eI origen coincida con eI primer punto C. Cada cuadro corresponde a 0,2 metros.c)Haz una tabIa de vaIores con Ias posiciones (x, y) deI punto C. d)UtiIizando tres puntos, determina Ia ecuacin de Ia parboIa a Ia que pertenecen. e)Dibuja Ia parboIa sobre Ios ejes que hiciste antes y comprueba que contiene todos Ios puntos C.a y b) Si en lugar de hacer corresponder cada cuadro con 0,2 m, lo hacemos corresponder con 1 m, quedara de la siguiente forma: c) xy 00 1,40,6 2,80,8 4,20,6 5,60 71 OYX 11

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 43 d) Utilicemos los puntos (0, 0), (2,8; 0,8) y (5,6; 0).La parbola es y = 0,1x2 + 0,57x. e) 10.2.CopiaycompIetaIatabIaconIosnombresymarcasdeIoscampeonesoImpicosde saIto de Iongitud mascuIino. a) Representa Ios datos de Ia tabIatomandocomo abscisasIosaosde ceIebracindeIosjuegos oImpicos,ycomo ordenadas,Iasmarcas obtenidas por Ios atIetas. b)Discutecontus compaerossiIaevoIucin deIamarcadesaItode IongitudhasidonormaIo presentaaIguna caractersticaextraa.Qu razonespuedehaberpara esta anomaIa? a) b) Actividad abierta AoJJ. OO.CampenMarca (m) 1960RomaRalph Boston 8,12 1964TokioLynn Davies8,07 1968MxicoBob Beamon 8,90 1972MnichR. L. Williams 8,24 1976MontrealArnie Robinson8,35 1980Mosc Lutz Dombrowski 8,54 1984Los ngeIesCarl Lewis 8,54 1988SelCarl Lewis 8,72 1992BarcelonaCarl Lewis 8,67 1996AtIantaCarl Lewis8,50 2000Sidneyvn Pedroso 8,55 2004AtenasDwight Phillips8,59 2008Peknrving Saladino 8,34 Longitud10864201960196419681972197619921984198019881996200420002008Ralph Boston 8,12Lynn Davies 8,07Bob Beamon 8,90R. L. Williams 8,24Amie Robinson 8,35Lutz Dombrowski 8,54Carl Lewis 8,54Carl Lewis 8,72Carl Lewis 8,67Carl Lewis 8,50Ivn Pedroso 8,55Dwight Philips 8,59Irving Saladino 8,34OYX 11

44Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas Analiza y decide > La mejor tarifa 10.1.ReaIizauninformecompIetosiguiendoIosmismospasosqueIaagenciade matemticas. 1.Acacia:y = 0,05x + 0,30 Baobab:y = 0,2x Cocotero: y = 0,025x + 0,4 Drago: y = 0,6 2.Grfica 3.Obtengamos los puntos de corte de estas grficas y concluyamos: P:A y B:0,05x + 0,30 = 0,2x; x = 2 min Q:C y B:0,025x + 0,4 = 0,2x;x = 2,3 min = 2 min 20 s R:B y D:0,6 = 0,2x;x = 3 min S:A y C:0,05x + 0,30 = 0,025x + 0,4;x = 4 min T:A y D:0,05x + 0,30 = 0,6; x = 6 min U:C y D:0,6 = 0,025x + 0,4; x = 8 min As pues, si x < 2, el orden de preferencia es B, A, C, D. Si 2 < x < 2 min 20 s,el orden de preferencia es A, B, C, D. Si 2 min 20 s < x < 3 min, el orden de preferencia es A, C, B, D. Si 3 < x < 4, el orden de preferencia esA, C, D, B. Si 4 < x < 6, el orden de preferencia esC, A, D, B. Si 6 < x < 8, el orden de preferencia esC, D, A, B. Finalmente, si 8 < x, el orden de preferencia es D, C, A, B. 10.2.IncIuye en eI informe cuI es Ia operadora adecuada para cada una de estas IIamadas si su duracin es de: i) 1 minuto 30 segundosiii) 6 minutos 15 segundos ii) 3 minutos 50 segundosiv) 8 minutos 30 segundos i) Operadora Baobabii) Operadora Acaciaiii) Operadora Cocoteroiv) Operadora Drago O XY11AcaciaCocoteroDragoBaobab

Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas 45 Aprende a pensar > Parbolas y papiroflexia 10.1.ErescapazdeexpIicarporquhaaparecido?Unapista:Iasdistanciasde cuaIquier punto de una parboIa aI foco y a Ia directriz son siempre iguaIes. Si te ayuda, visuaIiza esta propiedad con GeoGebra enwww.e-sm.net/3esoz08. Al doblar el papel de esa forma, la distancia del punto (foco) al pliegue es igual que la distancia del pliegue a la recta (directriz), y esa es la propiedad que cumplen las parbolas. 10.2.Ahora supn que Ia recta horizontaI es eI eje X y eI foco se encuentra en (0, 2).Dibuja una cuadrcuIa y averigua Ia ecuacin de Ia parboIa. La ecuacin de la parbola es 214xy= + . OYX 11

46Unidad 10|Funciones lineales y cuadrticas Proyecto editorial: Equipo de Educacin Secundaria deI Grupo SM Autora: RafaeIa ArvaIo, Jos Luis GonzIez,Juan AIberto Torresano Edicin: EIena CaIvo, MigueI ngeI IngeImo, YoIanda Zrate Correccin: Ricardo Ramrez lustracin:FIixAnaya,ModestoArregui,JuanFranciscoCobos,DomingoDuque,FIix Moreno, Diseo: PabIo CaneIas, AIfonso Ruano Maquetacin: SAFEKAT S. L. Coordinacin de diseo: Jos Luis Rodrguez Coordinacin editorial: Josefina ArvaIo Direccin del proyecto: Ada Moya (*)Unapequeacantidaddeejerciciosoapartadosdeejercicioshansidomarcadosporque contienen alguna correccin en su enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra solopuedeserrealizadaconlaautorizacindesustitulares,salvoexcepcinprevistaporlaley. DirjaseaCEDRO(CentroEspaoldeDerechosReprogrficos,www.cedro.org)sinecesita fotocopiaroescanearalgnfragmentodeestaobra,aexcepcindelaspginasqueincluyenla leyenda de "Pgina fotocopiable. Ediciones SM mpreso en Espaa Printed in Spain