riset operasional 1

Tinjauan Mata Kuliah

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita menjumpai masalah yang dalam penyelesaiannya kita menghendaki hasil yang optimum padahal sumber daya yang kita punyai untuk mencapai hasil tersebut terbatas. Kumpulan cara atau metode untuk memecahkan masalah tersebut di atas dikenal dengan Riset Operasional. Sebutan ini dikenal sejak selesainya perang dunia II (akhir tahun 1950-an). Sebenarnya masalah serupa serta metode penyelesaiannya sudah diketengahkan sejak lama. Namun, perkem-bangannya kurang begitu pesat, belum banyak ahli yang berkecimpung dalam penyelesaian masalah tersebut maupun belum banyak hasil temuan metode yang dipublikasikan. Akan tetapi, sejak adanya perang dunia kedua, dengan dipicu oleh keinginan pihak sekutu untuk mengakhiri perang secepatnya, para ahli strategi militer maupun ilmuwan banyak mencurahkan diri untuk mencari perencanaan strategi operasi militer yang diharapkan dapat menyelesaikan perang secepatnya. Masalah yang dihadapi sebenarnya serupa dengan masalah di atas, yaitu berangkat dari keterbatasan sumber daya (personil, biaya, peralatan), diharapkan diperoleh hasil yang optimum. Hasil yang optimum tersebut berhubungan dengan biaya, waktu maupun risiko yang minimum ataupun berhubungan dengan keuntungan, manfaat yang maksimum. Setelah selesainya perang dunia kedua, kumpulan metode yang telah ditemukan beralih diterapkan pada masalah yang berhubungan dunia industri sejalan dengan beralihnya kebutuhan yang dihadapi. Mulai saat itulah terjadi perkembangan pesat baik ragam masalah maupun metode penyelesaiannya. Untuk selanjutnya kumpulan metode penyelesaiannya tersebut disebut orang dengan Riset Operasional, sesuai dengan awal banyak digunakannya metode tersebut untuk keperluan operasi militer. Sejak saat itu bidang kajian masalah maupun metode penyelesaian masalahnya berkembang menjadi suatu disiplin keilmuan (bidang kajian) tersendiri.Dari uraian tersebut di atas, kita dapat menyatakan secara lebih umum bahwa disiplin keilmuan Riset Operasional berawal dari upaya untuk meme-cahkan masalah sebagai

berikut.

Dengan mempertimbangkan keterbatasan sumber daya yang ada, bagaimana kita melakukan tugas yang diberikan agar diperoleh hasil yang optimum?Sebelum tugas yang diberikan dilaksanakan, dilakukan dahulu riset (atau penelitian) untuk memperoleh rancangan. Diharapkan rancangan yang diperoleh dapat dioperasionalkan (dapat dilaksanakan) dan dapat memberikan hasil yang optimum dengan mempertimbangkan keterbatasan yang ada.

Kumpulan metode atau teknik yang digunakan untuk menghasilkan rancangan tersebut disebut selanjutnya dengan Riset Operasional.

Pada Modul 1 Anda akan mempelajari bagaimana melakukan analisis masalah dan menurunkannya ke dalam model kuantitatif, terutama yang berupa model optimisasi. Kemudian dilanjutkan dengan permasalahan praktis yang model matematisnya berupa model pemrograman linear, disajikan pada Modul 2. Modul 3 memberikan gambaran kepada Anda bagaimana bentuk masalah pemrograman integer dan metode penyelesaiannya. Pada Modul 4 akan diperkenalkan teori permainan khususnya permainan dua pemain jumlah nol dan dibatasi pada penggunaan teorema dalam metode penyelesaian masalah permainan tersebut. Selanjutnya, Anda akan mempelajari masalah pemrograman nonlinear satu peubah dengan metode penyelesaian menggunakan pendekatan analitis dan pendekatan hampiran, pada Modul 5. Pada Modul 6 akan dipelajari masalah pemrograman nonlinear peubah banyak tak berkendala dan pemrograman nonlinear peubah banyak berkendala. Metode penyelesaiannya meliputi pendekatan analitis dan pendekatan hampiran khususnya untuk masalah pemrograman nonlinear takberkendala. Kegiatan Belajar 1 Modul 7 akan membahas masalah pemrograman nonlinear yang berbentuk masalah pemrograman kuadratik. Kemudian dilanjutkan Kegiatan Belajar 2 tentang salah satu bentuk khusus dari pemrograman nonlinear yang dapat dibawa ke bentuk masalah pemrograman linear melalui proses aproksimasi linear. Bentuk khusus ini dikenal dengan bentuk pemrograman terpisahkan.Modul 8 membahas dasar-dasar pengertian dalam jaringan, salah satu bentuk masalah dalam jaringan yaitu pohon rentangan minimum berikut penyelesaiannya, dan masalah lintasan terdekat berikut metode penyelesai-annya. Di dalam Modul 9, Anda akan mempelajari model antrean berikut parameter-parameter yang diperlukan untuk mengetahui gambaran kinerja sistem pelayanan. Keterkaitan antara modul satu dengan modul yang lainnya disajikan dalam bentuk bagan berikut ini.

MODUL 1: MODEL OPTIMISASI DAN PEMROGRAMAN LINEARKegiatan Belajar 1:

Model Optimisasi sebagai Model Matematis

Anda telah mempelajari bagaimana proses menurunkan model matematis (atau model kuantitatif) dari masalah yang Anda hadapi. Model matematis yang akan Anda pelajari dalam modul riset operasional di sini berupa model optimisasi. Model ini berbentuk mengoptimumkan fungsi tujuan (disebut juga fungsi objektif) yang dapat dilengkapi dengan beberapa fungsi batasan (atau kendala). Sebelum menurunkan model matematis tersebut, pertama-tama Anda harus

menentukan dahulu parameter-parameter dalam masalah. Di antara parameter tersebut manakah yang dijadikan parameter utama dan manakah yang dapat diabaikan. Di antara parameter utama, manakah yang dapat dipertimbangkan menjadi peubah-peubah keputusannya. Selanjutnya, Anda periksa bentuk hubungan matematis antara peubah-peubah yang telah diperoleh. Akhirnya, dengan memeriksa manakah yang menjadi tujuan penyelesaian masalah dan manakah yang menjadi persyaratan atau keterbatasan dalam masalah. Jika Anda telah mengerjakan semua latihan serta telah memahami semua contoh yang diberikan, Anda dapat mengerjakan Tes Formatif 1 berikut ini.

Kegiatan Belajar 2:

Pemrograman Linear

Anda telah mempelajari bentuk model masalah program linear serta metode untuk menentukan penyelesaian optimalnya. Apabila dalam masalah hanya dilibatkan 2 peubah keputusan, kita dapat menggunakan metode grafik untuk menentukan penyelesaiannya. Dalam hal ini, penyelesaian optimalnya terletak pada salah satu titik puncak (titik pojok atau titik ekstrim) dari bidang layaknya. Apabila dalam masalah terdapat lebih dari 2 buah peubah keputusan maka dalam menentukan penyelesaian optimalnya digunakan metode simpleks. Sebelum digunakannya metode simpleks ini, model masalah terlebih dahulu harus dibawa ke dalam bentuk baku yang di dalamnya mengandung penyelesaian basis awal. Secara teknis metode ini dilakukan dengan menggunakan tabel (dikenal dengan tabel simpleks). Secara berulang dilakukan pergantian tabel sampai diperoleh tabel optimal (tabel dalam keadaan optimal). Pergantian tabel yang dilakukan merupakan hasil dari penyajian operasi pivot, yaitu operasi baris yang dilakukan untuk menggantikan suatu peubah basis oleh peubah bukan-basis dengan harapan agar nilai fungsi objektifnya menjadi lebih baik. Jadi, sebelum dilakukan operasi pivot, ditentukan dahulu peubah bukan-basis mana yang akan dimasukkan ke dalam basis (ini dipilih menggunakan baris evaluasi pada tabel simpleks). Kolom tempat peubah bukan basis tersebut berada disebut dengan kolom pivot. Selanjutnya, ditentukan peubah basis mana yang dikeluarkan (ini dipilih dengan menggunakan evaluasi rasio ruas kanan kendala dengan elemen pada kolom pivot). Baris tempat peubah basis tersebut berada disebut dengan baris pivot. Operasi pivot tidak dilakukan (pergantian tabel dihentikan) apabila keadaan optimal telah tercapai. Tercapai atau belum tercapainya keadaan optimal dapat diketahui dengan pemeriksaan baris evaluasi (baris terakhir) dari tabel simpleks.

DAFTAR PUSTAKA Anderson M.Q, R.J.Lievano. (1986). Quantitative Management – An Introduction. 2nd ed. Kent Publ.Co.

Gass, S.I. (2003). Linear Programming: Methods & Applications. 5th ed. Dover Publicatons.

Hillier, F., Lieberman, G.J. (1995). Introduction to Operations Research. Mc Graw-Hill.

Taha. H.A. (1997). Operations Research: An Introduction. Prentice Hall.

Thierauft R.J., R.A. Grosse. (1975). Decision Making Through Operation Research. 2nd ed. John Wiley & Sons.

Wu, N., Coppins, R. (1981). Linear Programming and Extention. Mc Graw-Hill.

MODUL 2: MASALAH TRANSPORTASI DAN MASALAH PENUGASANKegiatan Belajar 1:

Masalah Transportasi

Anda telah mempelajari masalah transportasi yang berupa masalah pengaturan pengangkutan barang dari beberapa tempat asal langsung ke beberapa tempat tujuan, dengan tujuan meminimumkan biaya pengangkutan barang. Bentuk baku masalah transportasi berupa peminimuman biaya dengan total banyaknya persediaan sama dengan total banyaknya permintaan (bentuk seimbang).Masalah transportasi tersebut dapat diformulasikan ke dalam model matematis berupa model pemrograman linear. Walaupun demikian, masalah transportasi tidak diselesaikan dengan menggunakan metode pemrograman linear, tetapi menggunakan metode transportasi.Metode transportasi terdiri dari dua tahap utama, yaitu (1) penentuan penyelesaian awal dan (2) perbaikan penyelesaian sampai diperoleh penyelesaian optimum. Untuk melakukan tahap (1) digunakan metode pojok-kiri atas, metode tabel minimum dan metode aproksimasi Vogel. Sedangkan untuk melakukan tahap (2) digunakan metode distribusi modifikasi. Di dalam metode ini terdapat langkah pemeriksaan keoptimuman dan langkah pendistribusian nilai modifikasi pada isi sel-sel dalam suatu lintasan tertutup untuk menghasilkan penyelesaian baru. Terdapat kasus khusus yang jarang terjadi, yaitu keadaan kemerosotan. Keadaan ini terjadi bilamana banyaknya peubah basis lebih kecil dari m+n–1, dengan m dan n masing-masing menyatakan banyaknya tempat asal dan banyaknya tempat tujuan.Untuk bentuk model transportasi yang tidak seimbang, kita dapat membawanya ke dalam bentuk seimbang dengan menambahkan tempat asal rekaan ataupun tempat tujuan rekaan sesuai dengan bentuk ketakseimbangannya. Apabila Anda telah memahami materi yang telah dipelajari pada Kegiatan Belajar 1 ini, Anda dapat mengerjakan Tes Formatif 1 di bawah ini.

Kegiatan Belajar 2

Masalah Penugasan

Masalah penugasan adalah masalah pemasangan satu sumber daya dengan tepat satu aktivitas dan satu aktivitas dengan tepat satu sumber daya, yang memenuhi tujuan (yaitu meminimumkan biaya). Masalah penugasan ini merupakan bentuk khusus masalah transportasi dengan n tempat asal dan n tempat tujuan. Penyelesaiannya berupa 1 (dipasangkan) atau 0 (tidak dipasangkan). Walaupun untuk menyelesaikan masalah penugasan ini dapat digunakan metode enumeratif ataupun metode transportasi, tetapi lebih disarankan untuk digunakan metode Hongaria.Prinsip dari metode Hongaria adalah dengan melakukan manipulasi terhadap matriks biaya yang diberikan. Manipulasi tersebut adalah operasi pengurangan elemen tiap baris dengan elemen minimum barisnya. Kemudian melakukan operasi pengurangan elemen tiap kolom dengan elemen minimum kolomnya. Setelah itu, melakukan pembuatan garis yang melalui elemen-elemen ‘0’. Selanjutnya, dicari elemen minimum pada submatriks

yang tidak dilewati garis. Akhirnya, elemen minimum tersebut dikurangkan dari setiap elemen pada submatriks yang tidak dilewati garis dan ditambahkan pada elemen yang dilalui dua garis. Manipulasi terhadap matriks biaya tersebut dilakukan beberapa kali sampai diperoleh matriks biaya optimum, yang dapat diidentifikasi dengan banyaknya garis (yang melalui elemen ‘0’) tepat sama dengan n. Apabila banyak sumber daya tidak sama dengan aktivitas maka diperkenalkan peubah rekaan. Apabila tujuannya adalah memaksimumkan (keuntungan) maka untuk hal ini diselesaikan dengan meminimumkan negatif dari biaya.

DAFTAR PUSTAKAHilier, F., Gerald J.Lieberman. (1995). Introduction to Operations Research. Mc Graw-Hill.

Kolman B, E.E.Beck. (1995). Elementary Linear Programming with Applications. 2nd ed. Academic Press.

Radin, R.L. (1998). Optimization in Operations Research. Prentice Hall.

Ravindran, A., D.T. Phillips, J.J. Solberg. (1987). Operations Research: Principles and Practice. 2nd ed. John Wiley & Sons.

Schrage L. (2000). Optimization Modeling With Lingo. Lindo System, Inc.

Taha, H.A. (1997). Operations Research: An Introduction. 6th ed. Prentice Hall.

Thierauft R.J., R.A. Grosse. (1975). Decision Making Through Operation Research. 2nd . John Wiley & Sons.

Wayne L.W. (1995). Introduction to Mathematical Programming: Application & Algorithm. Duxbury Press.

Wu, N., R.Coppins. (1981). Linear programming and Extension. Mc Graw-Hill.

MODUL 3: PEMROGRAMAN INTEGERKegiatan Belajar 1:

Pemrograman Integer

Telah Anda pelajari masalah Pemrograman Integer yang pada dasarnya adalah masalah Pemrograman Linear yang diberikan syarat tambahan, yaitu semua peubah keputusannya harus bernilai integer. Untuk mencari penyelesaian masalah pemrograman integer, pada tahap awalnya Anda harus mencari dahulu penyelesaian masalah pemrograman linearnya dengan menggunakan metode penyelesaian masalah pemrograman linear seperti yang telah Anda pelajari pada Modul 1. Apabila semua peubah keputusannya sudah bernilai integer maka penyelesaian integer optimum sudah diperoleh. Akan tetapi, apabila salah satu saja nilai peubah keputusannya belum bernilai integer maka Anda harus melanjutkan untuk mencari penyelesaian integernya. Selanjutnya, telah Anda pelajari bagaimana mencari penyelesaian integer optimum dengan menggunakan metode bidang potong (metode Gomory). Dengan metode ini, Anda harus membentuk dahulu persamaan bidang potongnya. Persamaan bidang potong ini diperoleh dengan menggunakan tabel simpleks optimum (untuk masalah

pemrograman linear) yang telah diperoleh pada tahap awal. Di sini Anda menggunakan salah satu baris yang berhubungan dengan salah satu peubah keputusan yang belum bernilai integer untuk membentuk dahulu kendala bidang potongnya. Kemudian dari pertaksamaan kendala tersebut diubah menjadi persamaan bidang potong. Selanjutnya, koefisien dari persamaan bidang ini dimasukkan ke dalam tabel simpleks sebagai baris terakhir. Akhirnya, Anda gunakan metode dual-simpleks untuk melakukan operasi pivot, dengan terlebih dahulu menentukan elemen pivotnya. Apabila dari tabel optimum yang diperoleh, peubah keputusannya masih belum bernilai integer, Anda harus menentukan lagi kendala bidang potong baru dengan cara seperti sebelumnya untuk selanjutnya melakukan operasi pivot lagi. Demikian seterusnya sampai semua peubah keputusan yang Anda peroleh sudah bernilai integer (penyelesaian integer optimum diperoleh).

Kegiatan Belajar 2:

Metode Cabang dan Batas

Telah Anda pelajari bagaimana mencari penyelesaian integer optimum menggunakan metode Cabang dan Batas. Seperti pada metode sebelumnya yang telah Anda pelajari pada Kegiatan Belajar 1, tahap awalnya adalah menentukan penyelesaian pemrograman integer dengan menggunakan metode pemrograman linear. Dengan perkataan lain mencari penyelesaian masalah dengan mengabaikan keintegeran penyelesaian. Apabila penyelesaian tahap awalnya sudah berupa integer maka penyelesaian integer optimum integer telah diperoleh. Akan tetapi, apabila penyelesaiannya bukan integer maka masalah pemrograman integer semula (kita sebut masalah 0) dibagi (atau dicabangkan) menjadi dua submasalah. Pembagian masalah tersebut mengacu pada salah satu peubah keputusan yang bernilai pecahan. Di sini apabila kita gunakan peubah keputusan dengan pecahan terbesar, pada umumnya akan memberikan lebih sedikit percabangan yang dilakukan. Submasalah-submasalah yang dihasilkan tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode program linear. Apabila penyelesaian yang diperoleh belum berupa integer maka proses pembagian (percabangan) menjadi dua submasalah dilakukan lagi. Pada metode tersebut, proses pembagian atau percabangan dari suatu submasalah dihentikan apabila (1) penyelesaiannya sudah bernilai integer, (2) penyelesaiannya bukan penyelesaian layak, dan (3) nilai fungsi objektif dari penyelesaiannya lebih kecil dari nilai fungsi objektif submasalah sebelumnya.Penyelesaian integer optimum dari masalah semula merupakan salah satu penyelesaian integer dari submasalah-submasalah yang memberikan nilai fungsi objektif terbesar.Pada Kegiatan Belajar 2 seperti yang telah Anda pelajari, banyaknya peubah keputusan yang terlibat dalam masalah adalah 2. Dalam hal ini, metode pemrograman linear yang digunakan adalah cukup dengan metode grafik. Akan tetapi, apabila dalam masalah terdapat lebih dari 2 buah peubah keputusan, mau tidak mau Anda harus menggunakan metode simpleks. Walaupun pada prinsipnya mudah, tetapi penggunaan metode simpleks ini memerlukan ketekunan dan kesabaran, terutama kalau Anda menggunakan proses perhitungan manual (dengan tangan).Jika Anda telah memahami semua prinsip metode cabang dan batas tersebut, contoh-contoh serta Latihan yang diberikan pada Kegiatan Belajar 2 ini, Anda dapat mengerjakan Tes Formatif 2.

DAFTAR PUSTAKA Anderson M.Q, Lievano R.J., Kent. (1986). Quantitative Management – An Introduction.

2nd ed. Publ Co.

Nesa Wu dan Richard Coppins. (1981). Linear Programming and Extention. Mac Graw-Hill.

Saul I. Gass. (1985). Linear Programming: Methods & Applications. 5th ed. NY: Mc Graw-Hill, Dover Publicatons, 2003.

MODUL 4: TEORI PERMAINAN Kegiatan Belajar 1:

Pengertian Dasar dan Permainan Strategi Tetap

Anda telah mempelajari pengertian-pengertian dasar dalam permainan, termasuk di dalamnya permainan dua orang, matriks perolehan (pay-off) dari permainan serta arti pembacaan menurut baris dan menurut kolom dari matriks tersebut. Selanjutnya, Anda telah mempelajari pula arti titik pelana dan keberadaan titik pelana dalam suatu permainan dua orang, melalui pemeriksaan terhadap matriks perolehan. Di samping itu, dengan menggunakan matriks tersebut, Anda telah pula mempelajari bagaimana menentukan ada atau tidak titik pelana dan hubungannya dengan nilai permainan. Apabila terlalu banyak alternatif rencana dari setiap pemain maka disarankan agar dalam melakukan pemeriksaan Anda menggunakan metode pendekatan maks min (untuk pemain I) dan min maks (untuk pemain II). Dalam hal ini, apabila maks min tidak sama dengan min maks maka permainan yang diberikan tidak mempunyai titik pelana. Selanjutnya, apabila maks min sama dengan min maks maka permainan mempunyai titik pelana. Titik pelana tersebut diperoleh dengan menghubungkan rencana pada baris dan kolom di mana terjadinya nilai maks min = min maks. Nilai permainan merupakan nilai yang menunjukkan di mana terjadi maks min = min maks. Dapat terjadi suatu permainan mempunyai lebih dari satu titik pelana, tetapi nilai permainan pada semua titik pelana yang diperoleh adalah sama.

Kegiatan Belajar 2

Permainan Strategi Campuran

Anda telah mengetahui bahwa permainan dengan strategi tetap yang tidak mempunyai penyelesaian akan mempunyai penyelesaian jika digunakan strategi campuran. Anda telah mempelajari bahwa suatu permainan strategi campuran selalu mempunyai penyelesaian yang tunggal. Penyelesaian tersebut berhubungan dengan strategi terbaik dari kedua pemain, yang berhubungan dengan probabilitas pemilihan rencana kedua pemain tersebut. Pada titik pelana, baik pada hubungan yang menunjukkan y bernilai 0 atau 1 maupun yang menunjukkan x bernilai 0 atau 1, terdapat paling sedikit satu hubungan yang berupa persamaan, hubungan lainnya berupa pertaksamaan. Di samping itu, Anda telah mempelajari pula bagaimana menentukan penyelesaian (yaitu menentukan titik pelana dan nilai permainan) dari permainan tersebut. Apabila kedua pemain hanya mempunyai 2 rencana, kita dapat menggunakan pendekatan perolehan harapan dari seorang pemain, apabila probabilitas pemilihan rencana pemain kedua adalah 0 atau 1. Akan tetapi, apabila terdapat seorang pemain dengan banyaknya rencana lebih dari dua maka pendekatan tersebut tidak dapat dilakukan, kita harus menggunakan metode yang lebih umum. Metode yang telah Anda pelajari untuk menyelesaikan permainan tersebut adalah metode secara aljabar, metode grafik, dan metode matriks.

Metode aljabar dapat lebih mudah digunakan apabila terdapat satu pemain yang mempunyai hanya 2 rencana. Akan lebih mudah lagi apabila dengan menganggap semua hubungan di titik pelana berupa persamaan maka penyelesaian sudah dapat diperoleh. Apabila belum dapat kita peroleh maka kita harus mencoba-coba dengan menganggap hubungan mana yang berupa persamaan dan mana yang berupa pertaksamaan. Dengan demikian, menentukan penyelesaian menggunakan metode ini memerlukan perhitungan dan pemeriksaan yang cukup panjang. Metode grafik dapat mudah digunakan apabila terdapat satu pemain yang mempunyai hanya 2 rencana, seperti pada metode aljabar. Pada penggunaan metode ini, ditentukan dahulu pertaksamaan yang diperlukan, selanjutnya digambarkan grafiknya pada bidang datar dengan sumbu vertikalnya berupa nilai permainan dan sumbu mendatarnya salah satu peubah dari x (atau y) yang dicari. Dengan menggambarkan grafik pertaksamaannya, ditentukan daerah yang memenuhi. Penyelesaian yang diperoleh merupakan salah satu elemen dari x (atau y) dan nilai permainannya. Nilai elemen lain dari x (atau y) diperoleh dengan menggunakan hubungan-hubungan pada titik pelananya, sedangkan metode matriks, dapat digunakan pada permainan dengan banyaknya rencana pemain lebih dari dua. Akan tetapi, perhitungannya cukup rumit dan panjang terutama pada saat melakukan operasi matriks (perhitungan adjoin, determinan, dan perkalian).

DAFTAR PUSTAKAChurchman, C.West, Russell L. Ackoff, E.Leonard Arnoff. (1992). Introduction to Operations Research. John Wiley & Sons, Inc.


Taha. H.A. (1997). Operations Research: An Introduction, Prentice Hall.

Thierauft R.J., R.A. Grosse (1975), Decision Making Through Operation Research. 2nd ed. John Wiley & Sons..


MODUL 5: PEMROGRAMAN NONLINEAR SATU PEUBAHKegiatan Belajar 1:

Masalah Pemrograman Nonlinear Satu Peubah (Pendekatan Analitis)

Kegiatan Belajar 2:

Masalah Pemrograman Nonlinear Satu Peubah (Pendekatan Hampiran)

DAFTAR PUSTAKA Hillier, F., Lieberman, G.J. (1995). Introduction to Operations Research. Mc Graw-Hill.

Luenberger, D.G. (1984). Linear & Nonlinear Programming. 2nd ed. Addison-Wesley.

Rao, S.S. (1996). Engineering Optimization: Theory & Application. 2nd ed. John Wiley & Sons Inc.



MODUL 6: PEMROGRAMAN NONLINEAR PEUBAH BANYAKKegiatan Belajar 1

Masalah Pemrograman Nonlinear Peubah Banyak (Pendekatan analitis)

Kegiatan Belajar 2:

Masalah Pemrograman Nonlinear Peubah Banyak (Pendekatan Hampiran)






MODUL 7: BENTUK KHUSUS PEMROGRAMAN NONLINEAR: PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN PEMROGRAMAN TERPISAHKANKegiatan Belajar 1:

Pemrograman Kuadratik

Anda telah mempelajari bentuk khusus masalah pemrograman nonlinear yang berupa masalah Pemrograman Kuadratik (PK). Masalah pemrograman kuadratik merupakan masalah berbentuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan fungsi

yang membentuk kendala utamanya berupa fungsi linear. Dengan menggunakan persyaratan Kuhn-Tucker, yang telah dipelajari pada Kegiatan Belajar 1 dalam Modul 6, bentuk masalah pemrograman kuadratik akan menjadi suatu sistem persamaan linear. Selanjutnya, dengan mengetengahkan peubah baru, sistem persamaan linear tersebut akan menjadi bentuk pemrograman linear yang ekivalen. Penyelesaian masalah pemrograman kuadratik semula diperoleh dari penyelesaian masalah pemrograman linear yang ekivalen tersebut.

Kegiatan Belajar 2:

Pemrograman Terpisahkan

Kita telah mempelajari bahwa bentuk masalah pemrograman nonlinear dapat diubah menjadi bentuk masalah pemrograman linear, apabila fungsi objektif dan fungsi kendalanya merupakan fungsi yang terpisahkan. Bentuk masalah tersebut dikenal dengan pemrograman terpisahkan. Perubahan masalah menjadi pemrograman linear dilakukan melalui pendekatan aproksimasi fungsi nonlinear yang diberikan dengan fungsi linear (dikenal dengan proses linearisasi). Proses linearisasi dilakukan dengan memperhatikan kisaran setiap peubah. Setelah menetapkan kisaran setiap peubah, dipilih subselang-subselang dari kisaran tersebut. Pada modul ini, untuk mempermudah, ditentukan kisaran yang panjangnya merupakan bilangan bulat (positif, tentu saja), kemudian ditentukan subselang-subselang yang panjangnya satu (subselang satuan). Proses linearisasi suatu fungsi dilakukan pada setiap subselang yang telah ditentukan. Dengan proses linearisasi ini, fungsi nonlinear dihampiri (diaproksimasi) oleh fungsi linear. Dengan demikian, pada akhir proses linearisasi, akan diperoleh fungsi linear-sepotog-sepotong. Oleh karena itu, masalah pemrograman linear yang dihasilkan kadang-kadang disebut dengan masalah pemrograman linear sepotong-sepotong.Dengan digunakannya pendekatan aproksimasi tersebut, penyelesaian yang diberikan bukan merupakan penyelesaian optimum yang sebenarnya, tetapi berupa penyelesaian hampiran (aproksimasi). Semakin kecil panjang subselang yang digunakan, mengakibatkan semakin banyak subselang yang digunakan. Hal ini akan memberikan semakin dekatnya penyelesaian hampiran dengan penyelesaian sebenarnya. Akan tetapi, ini akan mengakibatkan semakin besar ukuran masalah pemrograman linear yang dihasilkan.





Wu, N., Coppins, R. (1981). Linear Programming and Extention. Mc Graw-Hil

MODUL 8: JARINGANKegiatan Belajar 1:

Masalah Pohon Rentangan Minimum

Dalam Kegiatan Belajar 1 ini, Anda telah mempelajari pengertian jaringan bagian, jaringan parsial, pohon, serta pohon rentangan sebagai dasar memahami masalah PRM. Masalah utama yang Anda pelajari dalam Kegiatan Belajar 1 adalah bagaimana mencari PRM dari suatu jaringan yang diberikan. Pada dasarnya, masalah tersebut adalah mencari salah satu di antara pohon rentangan dari jaringan yang mempunyai bobot paling kecil (minimum) atau jumlah bobot busur-busurnya minimum.Untuk mencari PRM tersebut, telah Anda pelajari metode Kruskal sebagai metode penyelesaiannya dan bagaimana cara penggunaannya. Prinsip metode tersebut adalah setiap kali kita memilih busur berbobot minimum (tetapi tidak membentuk putaran dengan busur yang telah terpilih) dari semua busur yang belum terpilih sebagai anggota pohon. Pemilihan busur dilakukan langkah demi langkah, dan langkah pemilihan diakhiri setelah n – 1 langkah, dengan n adalah banyaknya simpul dari jaringan yang diberikan.

Kegiatan Belajar 2:

Masalah Lintasan Terdekat

Pada Kegiatan Belajar 2 ini Anda telah mempelajari suatu masalah yang sering dijumpai sehari-hari, yaitu bagaimana menentukan lintasan terpendek atau rute terdekat dari suatu tempat ke tempat lain dalam suatu jaringan jalan. Dalam penyajian model jaringan berarah, tempat-tempat disajikan sebagai simpul-simpul jaringan, jalan penghubung dua tempat disajikan sebagai busur berarah jaringan, serta panjang jalan (waktu tempuh) disajikan sebagai bobot busur. Dengan anggapan bahwa di dalam jaringan berarah tidak mengandung suatu putaran, masalah menentukan lintasan terpendek dapat diselesaikan menggunakan metode Dijkstra dengan teknik pelabelan,Dengan menggunakan teknik pelabelan, setiap simpul diberi label. Setiap kali dilakukan perubahan label sementara simpul suksesor dari simpul yang sudah berlabel tetap. Selanjutnya, dipilih label terkecil dari label-label sementara untuk dijadikan label tetap. Simpul yang berhubungan dengan label terkecil tersebut kita pilih sebagai simpul dalam lintasan terpendek. Demikian seterusnya sampai semua simpul berlabel tetap. Pada akhir proses pelabelan, bobot setiap lintasan terpendek dari sumber ke suatu simpul ditunjukkan oleh label tetap simpul tersebut.Pada akhir proses penggunaan metode tersebut, lintasan terpendek yang diperoleh dari sumber ke setiap simpul dalam jaringan akan membentuk pohon rentangan minimal dari jaringan yang diberikan.

DAFTAR PUSTAKA Ahuja, R.K., T.L. Magnanti, J.B.Orlin. (1993). Network Flows: Theory, Algorithm, and Applications. Englewood Cliffs. Prentice Hall.

Hillier, F., G.J. Lieberman. (1995). Introduction to Operations Research, Mc Graw-Hill.

Phillips, D.T., Alberto Gracia-Diaz. (1990). Fundamentals of Network Analysis. Prentice-Hall Inc.

Smith, David K. (1982). Network Optimization Practice: A Computational Guide. Ellis Horwood Ltd.

Taha. H.A.(1997). Operations Research: An Introduction. Prentice Hall

MODUL 9: MASALAH ANTREANKegiatan Belajar 1:

Model Antrean Saluran Tunggal

Anda telah mempelajari bagaimana terjadinya antrean dalam kehidupan sehari-hari. Hal yang dibahas pada Kegiatan Belajar 1 adalah model antrean saluran tunggal. Akan tetapi, sebelumnya Anda harus mempelajari dahulu penger-tian-pengertian dasar dalam model antrean, sistem pelayanan dan strukturnya, jenis model sistem pelayanan. Selanjutnya, Anda telah mempelajari bagaimana suatu sistem pelayanan akan mencapai keadaan mapan dengan pendekatan statistika. Dengan pendekatan ini, Anda pelajari juga parameter-parameter yang digunakan untuk mengetahui kinerja dalam sistem pelayanan serta persamaan yang digunakan. Di dalam materi Kegiatan Belajar 1 ini hanya dibahas beberapa model saluran tunggal, yaitu model (M/M/1) dan (M/U/1) dan akhirnya dibahas penerapannya pada perencanaan fasilitas.

Kegiatan Belajar 2:

Model Saluran Ganda

Telah Anda pelajari bagaimana struktur model antrean saluran ganda, serta bagaimana proses terjadinya antrean pada model antrean saluran ganda tersebut. Dalam model antrean saluran ganda ini, pelanggan yang datang ke dalam sistem akan menuju salah satu sarana pelayanan tanpa dipengaruhi oleh pelanggan sebelum maupun sesudahnya (saling bebas). Dalam keadaan mapan, rumus atau persamaan parameter-parameternya berbeda dengan model saluran tunggal. Dalam hal probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem (p0), oleh karena cukup memerlukan waktu yang panjang untuk menghitungnya maka untuk mempercepat perhitungan kita menggunakan tabel. Dalam modul ini hanya dibahas beberapa bentuk model saluran ganda, yaitu Model (M/M/s), model (M/M/s) dengan jenis pelayanan berbeda, model (M/M/∞). Akhirnya pada Kegiatan Belajar 2 ini dibahas penerapannya pada perancangan fasilitas

DAFTAR PUSTAKA Anderson M.Q, R.J. Lievano. (1986). Quantitative Management – An Introduction. 2nd ed. Kent Publ.Co.


Taha. H.A. (1997). Operations Research: An Introduction. Prentice Hall

Documents

riset operasional 1