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Rimozione di artefatti �siologici negli studi di
connettività funzionale del cervello
Paolo Barucca
October 9, 2009
1
Contents
1 Introduzione 4
2 Risonanza magnetica nucleare 4
2.1 Spin e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Equazione di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Imaging da Risonanza Magnetica 8
3.1 Eccitazione selettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Segnale temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Trasformata di Fourier in due dimensioni (2DFT) ed equazione
del segnale temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 2DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Requisiti di campionamento nell'Imaging 2DFT . . . . . . . . . . 113.6 Ricostruzione dell'immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Proprietà e tecniche di imaging 14
4.1 E�etti fuori risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Spin-Echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Contrasto dell'immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3.1 Saturation Recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.2 Sequenza spin-echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 SNR e CNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Sequenze rapide di acquisizione MRI . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5.1 EPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 E�etto BOLD 18
5.1 Metabolismo cerebrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 fMRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Fluttuazioni spontanee 21
6.1 Fluttuazioni spontanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Default Mode Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Connettività funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.1 Tecniche di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4 Artefatti �siologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.5 RETROICOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6 Regressione lineare multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.7 Reti funzionali anticorrelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.8 Regressione del segnale globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.8.1 Dimostrazione teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.8.2 Simulazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.8.3 Test sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.8.4 Rimozione del segnale globale . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
7 Conclusioni 32
8 Appendice 33
8.1 A.1 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 A.2 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 A.3 Teorema di Nyquist-Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.4 A.4 Metabolismo neuronale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.5 A.5 Metodo dei minimi quadrati per la stima dei coe�cienti di
regressione parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Bibliogra�a 37
3
1 Introduzione
La presente tesi tenta di fornire le conoscenze minime per un approccio con-sapevole all'analisi della connettività funzionale del cervello ricavata da dati dirisonanza magnetica funzionale (fMRI). Per tale ragione si è deciso di strut-turare il lavoro in due parti: da un lato la trattazione �sico-matematica dellatecnica di fMRI, dall'altro lo studio dei fondamenti biologici, le �nalità teo-retiche e i metodi di analisi statistica dell'applicazione della tecnica MRI alcervello. In particolare il lavoro introduce il problema della rimozione degliartefatti �siologici nelle sequenze temporali dei segnali fMRI del cervello e glie�etti sull'analisi di connettività funzionale della rimozione del segnale globale.
2 Risonanza magnetica nucleare
L'esperimento di Stern-Gerlach nel 1922 [1] portava alla luce l'esistenza di ungrado di libertè interno ai nuclei di argento mettendo in evidenza la natura quan-tizzata della energia in presenza di un campo magnetico esterno. L'introduzioneda parte di Goudsmith e Ulhenbeck del concetto di momento magnetico intrin-seco di spin per la comprensione di questo e di altri fenomeni incompatibilicon la meccanica classica osservati nei primi decenni del 900 costituisce unadelle pietre miliari nel cammino della meccanica quantistica. Il concetto di spinabbinato al principio di esclusione di Pauli è risultato indispensabile nelle spie-gazioni e predizioni teoriche della �sica delle particelle, della meccanica statisticae della struttura della materia. Lo studio dello spin e della sua interazione con ilcampo magnetico oltre agli importanti risultati teorici in Fisica si è guadagnatoun posto di rilievo in Chimica, Biologia e Medicina per la sua applicazione nellaRisonanza Magnetica Nucleare (NMR) che ha acquisito un ruolo preminentenelle scienze biomediche specialmente per la possibilitè di e�ettuare analisi �invivo�.
2.1 Spin e campo magnetico
L'interazione fra campo magnetico B1, e una particella dotata di spin S puo'essere descritta da una hamiltoniana di tipo dipolare:
HS = −~µ ·B
in cui ~µ rappresenta il momento di dipolo magnetico associato al momentodi spin S tramite la relazione che evidenzia la quantizzazione dello spin:
−→µ = γS = γ~I
I = −S,−S + 1..., S − 1, S1Convenzioni gra�che: i vettori in lettere latine sono espressi in grassetto, i vettori in lettere
greche sono esplicitati con una freccia
4
dove γ è il fattore giromagnetico caratteristico della particella. Nel caso diun nucleo di idrogeno:
γ2π=42.575 MHz/T
Il campo magnetico induce uno splitting in energia per particelle aventi val-ori distinti della proiezione dello spin sull'asse de�nito dal campo applicato.Nel caso dell'idrogeno il modulo dello spin S vale 1/2 e ammette due valori diproiezione separati da un intervallo ∆E di energia:
∆E = γ~|B|
2.2 Magnetizzazione
In un sistema composto da N particelle dotate di spin , lo splitting introdottodal campo magnetico porta ad una leggera di�erenza tra il numero di particellenello stato ad energia piu' bassa n− e il numero di particelle nello stato adenergia piu' alta n+. Ad una temperatura per cui risulti valida la distribuzionedi Boltzmann, il rapporto tra le popolazioni dei due stati risulta:
n−n+
= e−∆E/kT
(n+ + n− = N)
Tale di�erenza di popolazione genera una magnetizzazione M avente, all'equilibriotermico, la direzione del campo magnetico applicato.
Se il vettore di magnetizzazione non è orientato nella direzione del campo(per il non raggiugimento dell'equilibrio, inomogeneità locali o impulso di ecci-tazione in radiofrequenza) quest'ultimo eserciterà un momento torcente tramitela relazione:
dMdt = M× γB
che ha come soluzione un moto di precessione di M intorno all'asse di B allafrequenza di Larmor ωL = γB. L'applicazione di un campo magnetico B1 atale frequenza consente la rotazione del vettore di magnetizzazione di un an-golo dipendente dall'intensità e dalla durata del segnale. Idealmente per unaparticella isolata la frequenza di eccitazione (o di risonanza) coincide con la fre-quenza di Larmor tuttavia per una particella non isolata una leggera di�erenzaè causata dallo schermaggio dovuto al moto orbitale degli elettroni intorno alnucleo. La quanti�cazione di tale schermaggio consente di ottenere informazionisull'ambiente chimico in cui sono immersi i nuclei e sugli eventuali legami che in-teressano gli atomi responsabili della magnetizzazione. Nella NMR si introducea tal proposito il chemical shift δ de�nito a partire dalla frequenza di riferimento
5
ωR e dalla frequenza del campione analizzato ωS :
δ =ωS − ωRωR
× 106
In questo modo è possibile discriminare diverse specie chimiche presenti nelsistema in studio.
2.3 Rilassamento
La variazione temporale di un vettore di magnetizzazione all'interno di unaunità di volume contenente N particelle oltre al momento torcente applicato dalcampo magnetico deve tener conto di due processi legati all'equilibrio termicoentrambi caratterizzati da un andamento esponenziale: il rilassamento longitu-dinale ovvero il ripristino dell'allineamento lungo l'asse del campo caratterizzatodalla costante di rilassamento spin-reticolo T1 e il disallineamento degli spin nelpiano trasverso alla componente longitudinale caratterizzato dal tempo di rilas-samento spin-spin T2.
Il tempo di rilassamento T1 (la vita media dei nuclei nello stato ad energiapiù alta) dipende dal fattore giromagnetico del nucleo e dalla mobilità dei nu-clei che lo circondano. L'energia guadagnata dai nuclei dall'impulso RF vienedissipata all'aumentare delle vibrazioni e delle rotazioni all'interno del reticoloche coincide con l'aumento della temperatura nell'intorno del nucleo (da ciò ilnome tempo di rilassamento spin-reticolo).
Un possibile meccanismo soggiacente al fenomeno di disallineamento in unsolido emerge dall'allargamento dello spettro delle frequenze di precessione dovutoal campo magnetico locale che ogni nucleo esercita sull'altro (da ciò il nome spin-spin). Considerando tale meccanismo si può fornire una stima teorica del tempoT2 poiché Bloc il campo magnetico locale dovuto ai nuclei vicini di momentomagnetico µ a distanza media r risulterà:
Bloc ≈ µr3
Se i nuclei sono in fase al tempo t = 0 in un tempo τ tali che γBlocτ ≈ 1ci sarà uno sfasamento non trascurabile e il vettore somma risulterà signi�cati-vamente diminuito. Visto che il τ così de�nito deve essere comparabile con T2,una stima di quest'ultimo può essere data da τ stesso, ovvero:
T2 ≈ 1γBloc
≈ r3
γ2~
Un'altra fonte di disomogeneità del campo magnetico è l'imperfezione delmagnete che genera il campo la quale a sua volta contribuisce all'allargamentodella risonanza. Si introduce, al �ne di considerare anche tale contributo, iltempo di rilassamento trasversale e�ettivo T ∗2 :
T ∗2 = 1π∆ν 1
2
6
dove ∆ν 12è la larghezza a metà altezza dello spettro in frequenza del rilas-
samento della componente trasversa del vettore di magnetizzazione.
2.4 Equazione di Bloch
L'equazione di Bloch, che descrive la dinamica della magnetizzazione nucleare,risulta dunque:
dMdt
= M× γB− Mxi +MyjT2
− (Mz −M0)kT1
(1)
Si dimostra che l'equazione di Bloch (1) ha come soluzione:
Mt(r, t) = M0t (r)e−t/T2 exp
(−i∫ t
0ω(r, τ)dτ
)Mz(r) = M0
z (r)(1− e−t/T1)
date le condizioni iniziali M(r, 0) = M0 (r)
Dimostrazione
Se isoliamo la componente z della equazione di Bloch otteniamo immediata-
mente l'equazione di�erenziale:
dMz
dt = −Mz−M0T1
che ha soluzione:
Mz(r) = M0z (r)(1− e−t/T1)
Introducendo la notazione complessa il piano ij puo' essere identi�cato conil piano complesso e la magnetizzazione trasversa con un numero complesso:
Mt = (Mx,My)→Mt = Mx + iMy
Tramite tale trasformazione l'equazione di Bloch assume in due passaggi una
forma facilmente risolvibile:
dMt
dt = ω(r, t)(My i−Mx j)− Mxi+MyjT2
dMt
dt = ω(r)(My − iMx )− Mt
T2
dMt
dt = −(iω(r, t) + 1T2
)Mt
7
che ha come soluzione:
M t(r, t) = Mt°(r)e−t/T2 exp(−i∫ t
0ω(r, τ)dτ
)�
Se oltre al campo magnetico statico è presente un gradiente di campo mag-
netico G(t), funzione del tempo:
B(r, t)= B0 + G(t) · r
la frequenza di precessione sarà caratterizzata da una dipendenza spazialedel tipo:
ω(r, t)= ω0 + γG(t) · r
Il vettore di magnetizzazione trasversa risulterà:
Mt(r, t) = M0t (r) e−t/T2e−iω0t exp
(−iγ
∫ t
0
G(τ) · rdτ)
(2)
3 Imaging da Risonanza Magnetica
La dipendenza spaziale che si introduce nella frequenza di precessione appli-cando un gradiente di campo magnetico è alla base delle tecniche di imaging inrisonanza magnetica.
Tramite la soluzione dell'equazione di Bloch per un campo magnetico non-uniforme, si dimostra che il segnale emesso dalla rotazione a diverse frequenzedei vettori di magnetizzazione di un campione contiene le informazione nec-essarie per la ricostruzione della immagine spaziale. Infatti Il segnale risultaessere la trasformata di Fourier della distribuzione dei nuclei responsabili dellamagnetizzazione.
3.1 Eccitazione selettiva
La frequenza di precessione ha la stessa dipendenza spaziale del campo mag-netico applicato. Introducendo un gradiente Gz lungo l'asse de�nito da B0 lafrequenza di precessione dipenderà dalla coordinata z. Risolvendo l'equazione(2) si pu dimostrare che l'applicazione di un campo magnetico B1 oscillante aduna frequenza ω lungo l'asse x eccita solo il piano di spin per cui sia soddisfattala relazione:
ω = ω0 + γGzz
8
3.2 Segnale temporale
Nei sistemi di Imaging di Risonanza Magnetica (MRI) il solenoide di ricezionecirconda il campione ed è (idealmente) uniformemente sensibile al segnale prove-niente dall'intero volume di interesse. Il ricevitore è realizzato in maniera taleda misurare i contributi di �usso in direzione trasversa all'asse di simmetriadel solenoide, che generalmente de�nisce la coordinata z. Il segnale temporalericevuto costituito dal contributo di tutti i vettori di magnetizzazione trasversanel volume, ovvero semplicemente:
sr(t) =∫V ol
Mt(r, t)dV
Per il calcolo si utilizzano tre sempli�cazioni:
1. Si trascura il termine di decadimento della componente trasversa e−t/T2
2. Si considerano metodi di imaging in 2D, in particolare si considera unazona di spazio con�nata tra il piano trasverso all'altezza z0 - ∆z e il pianoall'altezza z0 + ∆z con ∆z piccolo, e ci si concentra sulla ricostruzionedella funzione m(x, y)de�nita dalla relazione:
m(x, y) =
z0+∆z∫z0−∆z
M0t (x, y, z)dz
3. Si isola il termine e−iω0t, perché il segnale ricevuto viene demodulato infrequenza tramite un metodo di rivelazione di fase.
Il segnale risultante diviene perciò, considerando un gradiente G solo nelle co-ordinate x-y:
s(t) =∫x
∫ym(x, y) exp
[−iγ(
∫ t0Gx(τ)dτ)x
]exp
[−iγ(
∫ t0Gy(τ)dτ)y
]dxdy
e introducendo i vettori d'onda kx(t) e ky(t) de�niti come:
kx(t) =γ
2π
∫ t
0
Gx(τ)dτ (3)
ky(t) =γ
2π
∫ t
0
Gy(τ)dτ (4)
si giunge all'equazione del segnale temporale
s(t) =∫x
∫y
m(x, y)e−i2π[kx(t)x+ky(t)y]dxdy (5)
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3.3 Trasformata di Fourier in due dimensioni (2DFT) edequazione del segnale temporale
L'equazione (5) a�erma che il segnale temporale al tempo t è pari alla trasfor-mata di Fourier della magnetizzazione calcolata in un punto dello spazio deivettori d'onda kx e ky (spazio-k), dato dalle relazioni (3)-(4). Se viene indicatocon F2D l'operatore di trasformata in due dimensioni e con M la trasformatastessa è possibile scrivere:
s(t) = F2D [m(x, y)] |kx=kx(t),ky=ky(t) =M (kx(t), ky(t))
Il segnale temporale rivela dunque i valori della trasformata per un determi-nato cammino nello spazio-k dato dalle relazioni (3)-(4).
Teoricamente la conoscenza completa della funzione trasformataM(kx, ky)consente di ottenere esattamente la funzione di magnetizzazione cercata me-diante l'antitrasformata di Fourier. In pratica nei sistemi MRI si campionaun numero �nito di punti tramite una sequenza di traiettorie nello spazio-k esi ottiene la funzione di magnetizzazione con una risoluzione �nita legata allaprecisione dell'acquisizione.
3.4 2DFT
La sequenza temporale di impulsi di campo magnetico (Fig.1) per il campiona-mento è costituita da:
1. Applicazione di un impulso di eccitazione in RF associato ad un gradienteGz che seleziona la zona di analisi della magnetizzazione trasversa (Slice-select Gradient);
2. Applicazione di un gradiente di campo magnetico Gy lungo l'asse y perun tempo ty in concomitanza con un gradiente negativo −Gxmax lungol'asse x che seleziona la retta dello spazio-k ky = (γ/2π)Gyty a partire dalpunto (-kxmax=(−γ/2π)Gxmaxty, ky) (Phase-encoding Gradient);
3. Applicazione di un gradiente positivo Gx costante per un tempo t perl'acquisizione di s(t) a Nread valori distinti di kx (a intervalli di ∆kx)lungo la direzione ky �no al punto (kxmax, ky) (Read-out Gradient);
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Figura 1 Sequenza temporale di impulsi di campo magnetico per il
campionamento e della componente trasversa del vettore di
magnetizzazione Caso Gxmax = 0. Dall'alto: impulso RF, Slice-select
Gradient, Phase encoding Gradient, Read-out Gradient, Decadimento a
induzione libera (FID) della componente trasversa del vettore di
magnetizzazione.
La sequenza viene ripetuta Npe volte variando Gy a intervalli di ∆ky in mododa acquisire il valore della funzione M (kx(t), ky(t))in Npe × Nread punti dellospazio-k.
Se consideriamo l'equazione del segnale al termine del gradiente di fase essarisulta:
s(t) =∫x
∫ym(x, y)e−iγ[Gxxt+Gyyty−Gxmaxxty ]dxdy =
=M(γ
2π(Gxt−Gxmaxty),
γ
2πGyty) =M(kx(t)− δkx, δky)
In cui si osserva che:
1. La dipendenza temporale è limitata alla componente kx della trasformataed è governata dal gradiente di campionamento Gx
2. Il gradiente (−Gxmax, Gy) corrisponde ad una traslazione nello spazio-kdi un vettore (−δkx, δky).
3.5 Requisiti di campionamento nell'Imaging 2DFT
L'acquisizione a �letto di chiodi� della funzione trasformata della magnetiz-zazione m(x, y) pu essere rappresentata analiticamente tramite l'uso della delta
11
di Dirac e della funzione a barriera di cui riportiamo le de�nizioni in Appendice(A.1).
Indicando con M̂ la funzione campionata:
M̂ (kx, ky) =M (kx, ky) · ( 1∆kx∆ky
) ·Υ( kx∆kx
,ky
∆ky) ·∏
( kxWkx
,kyWky
)
in cui la funzione Υ rappresenta la numerabilità dell'insieme di misura e lafunzione
∏è la scrittura analitica della �nitezza della regione dello spazio-k
campionata (A.1). Si sono inoltre introdotte le grandezze:
Wkx=2(kxmax + ∆kx2 )
Wky=2(kymax + ∆ky2 )
che rappresentano l'estensione del campionamento nello spazio-k. Grazie aduna proprietà delle trasformate di Fourier è possibile ottenere la forma analit-ica per la magnetizzazione campionata. È noto infatti (A.2) che la funzioneantitrasformata del prodotto delle funzioni trasformate è pari al prodotto diconvoluzione delle funzioni di partenza, ovvero nel caso di un sistema MRI:
m̂ (x, y) = m (x, y) ?Υ(∆kxx,∆kyy) ? WkxWkysinc(Wkxx)sinc(Wkyy) (6)
Se consideriamo come approssimazione un campionamento in�nito in esten-sione nello spazio-k la relazione (5) si riduce a:
m̂ (x, y) = m (x, y) ?Υ(∆kxx,∆kyy)
Esplicitando il prodotto di convoluzione:
m̂ (x, y) = 1∆kx∆ky
Σi,jεZ
m(x− i∆kx
, y − j∆ky
)
m(x, y) è limitata spazialmente ( pari a zero al di fuori del campione) quindia�nché la sommatoria contenga un solo termine non nullo è su�ciente chel'intervallo di campionamento 1
∆k sia maggiore o uguale dell'estensione spazialedella funzione di magnetizzazione (Teorema di Nyquist-Shannon A.3). Talecriterio può essere anche espresso dalla condizione che il campione sia contenutoall'interno del campo visivo (F.O.V.) del sistema MRI de�nito da:
FOVx = 1∆kx
FOVy = 1∆ky
Utilizzando la notazione introdotta nel paragrafo 3.4 e chiamando ∆t il pe-riodo di campionamento del segnale s(t) è possibile esprimere il campo visivodel sistema in funzione dei tempi di acquisione e dei gradienti utilizzati:
FOVx = 1∆kx
= 1γ2πGx∆t
FOVy = 1∆ky
= 1γ2πGyty
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Riprendendo l'espressione completa della funzione campionata (5) è possibileintrodurre i coe�cienti δx e δy di risoluzione spaziale come rapporto fra il campovisivo e il numero di acquisizioni:
δx = FOVxNread
= 1∆kxNread
= 1Wkx
δy = FOVyNpe
= 1∆kyNpe
= 1Wky
Il kxmax ottenibile nel tempo t e un valore massimo kymax in corrispondenzadel gradiente di fase massimo Gyp applicato sono dati da:
kxmax = γ2πGx
t2
kymax = γ2πGypty
In tal modo la risoluzione spaziale può essere scritta nella forma:
δx = 1Wkx
= 1γ2πGx(t+∆t)
δy = 1Wky
= 1γ2π (2Gyp+Gy)ty
Nel caso di un numero alto di acquisizioni:
δx ≈ 1γ2πGxt
δy ≈ 1γ2π 2Gypty
3.6 Ricostruzione dell'immagine
La procedura di acquisizione descritta consente di ottenere un numero su�cientedi punti della funzione M (kx, ky). Su tale insieme di punti viene e�ettuatal'anti-trasformata di Fourier:
I(a, b) =Nread/2
Σu=1−Nread/2
Npe/2
Σv=1−Npe/2
M(u, v) exp(i 2πNread
au) exp(i 2πNpe
bv)
con a ε [−Nread2 + 1, Nread2 ] e b ε [−Npe2 + 1, Npe2 ]Ricordando la relazione (5) possiamo in�ne a�ermare che I(a, b) è pari alla
funzione di magnetizzazione cercata:
I(a, b) = m̂(aδx, bδy)
In generale la funzione magnetizzazione potrebbe risultare una funzione avalori complessi e per tale ragione spesso l'immagine visualizzata rappresenta|I(a, b)|.
13
4 Proprietà e tecniche di imaging
Le assunzione teoriche utilizzate nel capitolo precedente hanno consentito ditrovare una formulazione esatta per la ricostruzione dell'immagine di NMR euna chiara interpretazione matematica delle operazioni e�ettuate sul sistema.A partire da tali basi è possibile ora a�rontare le caratteristiche non ideali delcampione e i vincoli dettati dalle misure, in modo da comprendere le prestazionidelle diverse sequenze di imaging.
4.1 E�etti fuori risonanza
Vengono denominati e�etti fuori risonanza tutti i fenomeni che causano unoscarto dalla frequenza di risonanza associata al campo magnetico principale B0.I principali sono tre:
1) Non-omogeneità del campo principale2) Variazioni del campo indotte dalla suscettività3) Chemical shiftIl primo è dovuto all'imperfezione del magnete che genera il campo esterno.
I miglioramenti nella tecnologia e l'utilizzo di solenoidi ausiliari di a�namentoconsentono di ottenere una su�ciente uniformità di campo all'interno dei cam-pioni. L'e�cienza viene quanti�cata in termine di parti per milione (ppm)all'interno di un volume ovvero un campo magnetico di 1T a�nato ad una uni-formità di 1 ppm su di un volume sferico di diametro 48 cm ha una variabilitàall'interno del volume di 1 µT che corrisponde ad uno scarto in frequenza di42.6 Hz per i protoni.
Il secondo e�etto è dovuto alla di�erenza di suscettività tra le sostanzeall'interno del campione. Diviene rilevante nelle zone di congiunzione fra duemateriali in cui possono essere presenti diverse concentrazioni di aria (legger-mente paramagnetica) e di acqua (diamagnetica). Nell'encefalo le aree partico-larmente soggette a tale e�etto sono i seni cerebrali.
Il terzo e�etto è già stato parzialmente discusso. Quantitativamente la dif-ferenza di chemical shift di 3.5 ppm per l'idrogeno in grasso e idrogeno in acqua(preso come riferimento) causa ad 1T uno scarto in frequenza di 150 Hz.
4.2 Spin-Echo
Gli e�etti fuori risonanza e il gradiente di campo applicato causano l'insorgenzadi uno sfasamento nella frequenza di precessione degli spin all'interno di unaunità di volume (voxel). Tuttavia un interessante fenomeno della MR è rappre-sentato dai cosiddetti echi, durante i quali le di�erenze di fase sono rifocalizzate.Lo sfasamento accumulato al tempo t nel punto r del voxel è rappresentato dallaformula:
φ(r, t) = ω (r)t+ γ∫ t
0G · rdτ
in cui si è usata l'approssimazione �sica che lo scarto in frequenza dovuto ade�etti fuori risonanza all'interno di una unità di volume sia costante nel tempo
14
poiché dipendente dal campo magnetico esterno e dalla distribuzione dei tessuti.Rivedendo la sequenza temporale del gradiente Gx si osserva una inversionein corrispondenza del tempo ty che causa un eco dello sfasamento dovuto algradiente di campo magnetico al tempo 2ty. Per quanto riguarda lo sfasamentolegato agli e�etti fuori risonanza si immagini che al tempo ty venga applicatoun impulso in radiofrequenza che faccia ruotare gli spin nel voxel di 180 gradiintorno ad un asse del sistema di riferimento rotante rispetto al quale si staaccumulando lo sfasamento. Immediatamente dopo tale impulso, lo sfasamentorisulterà:
φ(t+y ) = π − φ(t−y )
Dopodiché ogni spin tornerà ad accumulare lo sfasamento alla propria fre-quenza caratteristica, senonché al tempo 2ty esso sarà tali che per ogni r:
φ(r, 2t+y ) = π
ovvero gli spin saranno tutti di nuovo in fase (spin-echo).L'intervallo temporale che separa due impulsi di spin-echo è detto TE.
4.3 Contrasto dell'immagine
I fenomeni sopra descritti uniti alle condizioni all'equilibrio dei vettori di magne-tizzazione consentono di associare ad ogni sequenza di impulsi in radiofrequenzauna immagine con di�erente dipendenza da parametri �sici della MR e dalleproprietà intrinseche del sistema in studio ovvero densità protonica ρ, tempo dirilassamento longitudinale T1 e tempo di rilassamento trasversale T2.
4.3.1 Saturation Recovery
La sequenza SR è costituita da una serie di impulsi a 90 gradi separati da untempo di ripetizione TR che genera una immagine I(x, y) pesata dal fattoreesponenziale di rilassamento del vettore di magnetizzazione sulla componentelongitudinale:
I(x, y) = Kρ(x, y)[1− e−TR/T1 ]
4.3.2 Sequenza spin-echo
Leggermente più elaborata la Saturation Recovery con eco di spin consta di:una sequenza con impulsi RF a 90 e 180 gradi intervallati fra di loro da untempo TE/2 e un tempo TR fra due serie di impulsi. Tale sequenza generauna immagine I(x, y) pesata sia dal fattore di saturazione sia dal fattore didecadimento della componente trasversa:
I(x, y) = Kρ(x, y)[1− e−TR/T1(x,y)]e−TE/T2(x,y)
15
Tramite una sequenza Spin-Echo è possibile ottenere tre tipi fondamentalidi immagini di MR a seconda dei parametri temporali di misura (Tabella 1):
1) Densità protonica (DP)2) T1-pesata3) T2-pesataUna immagine che evidenzi la densità protonica si ottiene con un tempo TR
lungo (in rapporto a T1) che consenta la saturazione longitudinale (celando ladipendenza da T1) ed un TE breve (relativamente a T2) che metta in luce ladi�erenza di rilassamento trasversale, in tal modo l'intensità del segnale dovutaprincipalmente al numero di protoni presenti nel voxel.
Utilizzando sia un TR che un TE brevi vengono evidenziate le di�erenzenella saturazione della componente di magnetizzazione longitudinale (immag-ine T1-pesata), mentre con TR e TE lunghi divengono signi�cativi i fattori dirilassamento trasversale (immagine T2-pesata).
Contrasto TR TE
DP 2s 3msT1 100ms 3msT2 2s 80ms
Tabella 1
Valori relativi ad un campo magnetico B0di 3T
4.4 SNR e CNR
Una delle misure fondamentali della qualità dell'immagine è il rapporto segnale-rumore (signal-to-noise ratio, SNR). L'analisi dei parametri che regolano l'SNRdeve tener conto di due dipendenze fondamentali:
1) parametri �sici e strumentali2) parametri della sequenza di imagingI primi includono le disomogeneità del campo magnetico B0, la conduttiv-
ità del solenoide e del campione, il rumore introdotto dal preampli�catore delricevitore. Questi parametri determinano il rumore intrinseco del segnale tem-porale. I secondi sono i parametri di acquisizione: risoluzione spaziale, coperturadello spazio-k, tempo di acquisizione, tempi delle sequenze di impulsi di campomagnetico, angoli di rotazione.
Una de�nizione generalmente adottata dell'SNR è:
SNRdef= Ampiezza del segnale
Deviazione standard del rumore
Un'altra misura importante della qualità dell'immagine MR è il rapportocontrasto-rumore (CNR) che descrive la distinguibilità delle strutture presentinel campione (ad esempio, sostanza grigia e sostanza bianca).
Il CNR è de�nito come il rapporto fra la di�erenza di segnale tra due strut-ture di interesse e la deviazione standard del rumore:
16
CNRdef= Di�erenza del segnale
Deviazione standard del rumore
4.5 Sequenze rapide di acquisizione MRI
Si è illustrato come le immagini di MR possano variare molto in funzione degliimpulsi in RF con cui si decide di ruotare il vettore di magnetizzazione. D'altraparte l'interpretazione di Fourier dell'equazione del segnale temporale consentedi trovare l'adeguata sequenza di gradienti che realizza una traiettoria desideratanello spazio-k. La combinazione di impulsi in radiofrequenza e traiettorie hareso possibile l'ottimizzazione di risoluzione, contrasto e velocità di acquisizione.Non potendo fornire una trattazione completa si descrive brevemente a titolo diesempio la tecnica denominata echo-planar-imaging (EPI).
4.5.1 EPI
L'echo-planar-imaging, introdotto da Mans�eld [4] è una delle tecniche di imag-ing più veloci utilizzate attualmente. Similmente alla sequenza tradizionale MR(3.4) viene condotta seguendo linee parallele nello spazio-k, tuttavia, a di�erenzadi essa, utilizza uno schema di campionamento molto e�ciente che consentedi acquisire un alto numero di linee nello spazio-k con un singolo impulso dieccitazione (eventualmente tutte con la single-shot EPI). L'idea fondamentaleintrodotta da Mans�eld sta nella scelta di una traiettoria bustrofedica2(Fig. 2b)nello spazio-k che viene realizzata tramite l'uso opportuno di un piccolo gradi-ente di codi�ca di fase (blip), che consente di cambiare linea ky, e di un gradientedi lettura a segno alterno(Fig. 2a).
Figura 2 Lo schema a sinistra (a) mostra dall'alto verso il basso: im-pulso in RF, gradiente di slice, gradiente di fase (con blip), gradiente dilettura, andamento temporale della componente trasversa del vettore dimagnetizzazione. A destra (b) la traiettoria nello spazio-k dell'EPI.
2Nella scrittura bustrofedica al termine di ogni riga viene invertito il senso di scrittura in
modo tale che la prima lettera della riga successiva venga a trovarsi sotto l'ultima lettera della
riga antecedente.
17
5 E�etto BOLD
Nel 1890 lo studio di Roy e Sherrington �Sulla regolazione del rifornimento disangue al cervello � testava l'ipotesi che l'attività neurale fosse accompagnataad un aumento regionale di �usso sanguigno.
Nel 1936 Pauling e Coryell [5] dimostrarono la natura diamagnetica dellaemoglobina ossigenata e la paramagneticità della desossiemoglobina.
Una conseguenza di questa proprietà �sica dell'emoglobina è che sangue pocoossigenato possiede un tempo di rilassamento T ∗2 più breve e dunque un segnalepiù debole del sangue ossigenato in una immagine T ∗2 -pesata. Se un aumentodell'attività cellulare provoca un aumento improvviso del �usso sanguigno etale variazione non è accompagnata da un commisurato consumo di ossigeno,l'ossigenazione nei capillari e nelle vene limitrofe a zone attive risulta maggiore[6]. Ogawa [7] e colleghi nel 1990 hanno dimostrato che tale fenomeno avrebbeportato ad un aumento rilevabile del segnale MRI al quale hanno dato il nomedi contrasto BOLD.
Figura 3 Immagine da �Brain Work and Brain Imaging�[9]. In alto(a) il compito visivo cui viene sottoposto il soggetto. In basso (b) l'emodinamicache conduce al segnale BOLD nell'area occipitale.
La correlazione fra �usso sanguigno e attività neuronale attestata dal contrastoBOLD tuttavia è lungi dall'essere compresa appieno. Lo studio del metabolismocerebrale dovrebbe fornire gli strumenti per conoscere tale legame.
5.1 Metabolismo cerebrale
La grande maggioranza dell'energia consumata dal cervello è fornita dal metabolismodel glucosio che ha come prodotti di reazione anidride carbonica e acqua (A.4).Tale processo comincia con la glicolisi e si conclude con la fosforilazione ossida-tiva. Entrambe le reazioni producono energia sotto forma di ATP. La glicolisifornisce 2 molecole di ATP per unità di glucosio mentre la fosforilazione circa 30.Malgrado la scarsa e�cienza produttiva la glicolisi oltre ad avere il vantaggiodi poter veri�carsi in assenza di ossigeno, è molto più veloce. Poiché la velocitàdi produzione del piruvato nella glicolisi è molto maggiore che nella reazione
18
completa di ossidazione, l'ATP può essere prodotto molto più rapidamente con-vertendo il glucosio in piruvato, che accumulandosi porta alla formazione dilattato. Questa velocità può fornire la spiegazione del ruolo chiave della glicol-isi nei cambi repentini di attività che il metabolismo cerebrale deve a�rontare.L'ipotesi che la glicolisi (A.4) avesse un ruolo preminente nel bilancio energeticodel sistema neuroencefalico ha stimolato l'attenzione verso le cellule che risul-tavano svolgere un ruolo importante in tale reazione, gli astrociti. Dal lavorodel gruppo legato al nome di Magistretti è emerso che l'aumento della glicolisi ècausato dall'acquisizione del glutammato e dell'Na provenienti dalle sinapsi ecc-itatorie da parte degli astrociti. Il ruolo rivestito dalla glicolisi riguarda anche lastessa genesi del �usso sanguigno poiché il rapporto lattato/piruvato che quan-ti�ca la velocità della glicolisi rispetto alla fosforilazione è correlato all'aumentodi �usso sanguigno tramite l'equilibrio NADH/NAD+.
Nel di�cile compito di comprendere la dinamica biologica dell'e�etto BOLDsembra quindi di intravedere la sequenza esatta delle cause che collegano l'attivitàneuronale al segnale MRI:
l'aumento di attività in una certa area si concretizza nel rilascio del glutam-mato da parte delle sinapsi eccitatorie. Il glutammato all'interno degli astrocitiporta ad una maggiore attività di glicolisi, tale attività non commisurata allavelocità della fosforilazione provoca l'accumulazione di lattato e il rapporto lat-tato/piruvato è direttamente connesso all'aumento del �usso sanguigno. Nonessendo associato tale �usso all'aumento del consumo di ossigeno l'attività puòessere osservata in MRI grazie alla presenza di una alta frazione di emoglobinaossigenata.
5.2 fMRI
L'imaging funzionale di risonanza magnetica (fMRI) è una tecnica di acqui-sizione tramite la quale è possibile, con buona pace di quanto detto sul metabolismo,monitorare l'attività cerebrale. L'utilità di tale tecnica nel campo delle neuro-scienze consiste nella opportunità di generare una topogra�a funzionale dellospazio cerebrale a partire dallo studio �siologico dell'attivazione di determinatearee dell'encefalo in relazione a determinate situazioni emotive, compiti cogni-tivi o stimoli somatosensoriali. Nel 1992 Ogawa pubblica il primo articolo difMRI [8]. In tale lavoro in seguito alla stimolazione visiva dell'occhio destroe dell'occhio sinistro di 6 volontari vengono identi�cate tramite l'analisi dellesequenze temporali MRI tre di�erenti zone di attivazione nella corteccia visivaprimaria. Una situata nella regione caudale e le altre due situate simmetrica-mente rispetto alla scissura longitudinale in una regione rostrale. L'esperimentoattestava l'attivazione dell'area prossima al polo occipitale in entrambe le stimo-lazioni e una attivazione dell'area rostrale nell'emisfero destro in corrispondenzadella stimolazione all'occhio sinistro e viceversa concordemente con la nota lat-eralizzazione degli emisferi.
19
Figura 4 Immagine dell'esperimento di Ogawa [8] che mostra l'intensità in funzione
del numero dell'immagine MR (ovvero del tempo) con stimolo a occhio destro (R) e
sinistro (L): (dall'alto a destra in senso orario) nell'area prossima al polo occipitale,
nell'area rostrale situata nell'emisfero destro e nell'area rostrale nell'emisfero sinistro.
Nella fMRI, in generale, si sottopone il soggetto ad un compito speci�co (cog-nitivo, sensoriale, motorio, etc.) avente una dipendenza temporale prede�nitae si localizzano le aree cerebrali la cui attività sia solidale con tale dipendenza(regioni task-positive) tramite una analisi di statistica parametrica multivariata.La fMRI ha permesso di identi�care le reti neuronali responsabili del linguaggio,della visione, dell'apparato motorio, delle diverse emozioni e di trovare corre-lazioni tra di esse. L'elaborazione di un atlante funzionale dell'encefalo tramitela fMRI costituisce un passo nella comprensione ad alto livello del funziona-mento cerebrale con svariate applicazioni diagnostiche, e fonda le basi per unacomprensione più dettagliata della dinamica delle reti neuronali del sistema ner-voso.
Nell'analisi e nella condivisione dei dati fMRI viene tenuto conto dell'altavariabilità intersoggetto nella struttura cerebrale grazie all'introduzione di unatlante stereotassico di riferimento (ad esempio l'atlante di Tailarach). Tramiteuna misura della struttura del cervello (ottenuta solitamente con una MRI T1-pesata) è possibile e�ettuare una trasformazione dei dati ottenuti in laboratoriodalle coordinate �siche di un particolare soggetto alla cosiddette coordinate diTalairach.
20
6 Fluttuazioni spontanee
6.1 Fluttuazioni spontanee
La modulazione del segnale BOLD in relazione al paradigma sprerimentale con-sente di collegare la topogra�a del cervello alla funzione stimolata. Ciònondi-meno nel segnale BOLD è presente una modulazione spontanea non attribuibileall'input funzionale o ad ogni altro input. Negli studi di fMRI in cui il soggettoè sottoposto a compiti l'attività spontanea viene considerata rumore, mediatae minimizzata. Nonostante i risultati portati dalla fMRI tradizionale due con-siderazioni hanno spostato l'attenzione verso lo studio di tale �rumore�. Laprima di carattere energetico: l'encefalo rappresenta solo il 2 % della massatotale del corpo e consuma il 20% dell'energia, la cui maggior parte è usataper alimentare la continua attività dei neuroni. Gli aumenti nel metabolismoneuronale in presenza di compiti funzionali sono solitamente molto inferiori alconsumo energetico in assenza di essi, da ciò segue che le �uttuazione spontaneeconcorrono in larga parte alla spesa energetica del corpo umano. La secondaconsiderazione è di carattere sperimentale: si è osservato [11] che, in assenza diun comportamento motorio esplicito, le �uttuazioni spontanee nella cortecciamotoria sinistra sono correlate con le �uttuazioni nella corteccia motoria destrae con le aree motorie mediali, ovvero l'attività spontanea del sistema a riposo(in assenza di compiti cognitivi) non è un rumore casuale ma è organizzato inmaniera speci�ca.
Le �uttuazioni spontanee oltre ad una forte coerenza spaziale sono caratteriz-zate da uno spettro in frequenza con una distribuzione del tipo 1/f , a di�erenzadel rumore casuale che ha uno spettro piatto. In particolare le frequenze re-sponsabili di pattern di correlazione spaziale nel segnale BOLD spontaneo sonoquelle al di sotto degli 0.1 Hz e per tale ragione nella gran parte degli studi di�uttuazioni spontanee vengono utilizzati �ltri passa-basso.
6.2 Default Mode Network
Un dato sperimentale interessante, venuto alla luce da studi di imaging funzion-ali tradizionali che comparavano l'attività media cerebrale a riposo con l'attivitàmedia durante un compito cognitivo, è la presenza di un gruppo di regioni chediminiscono la loro attività in presenza di tale compito. Il fatto che alcuneregioni presentassero tale comportamento e che contemporaneamente esse man-ifestassero coerenza spaziale delle �uttuazioni spontanee ha condotto all'ipotesidi una rete di organizzazione de�nita durante lo stato di riposo denominatadefault mode network (DMN). Lo studio della funzionalità che viene mediatada tale rete e del motivo per cui essa venga soppressa da compiti cognitivi sonol'oggetto delle attuali ricerche di connettività funzionale.
La scoperta del DMN è associata a Raichle [12] che ha condotto i primi es-perimenti sistematici �nalizzati alla comprensione della natura delle �uttuazionispontanee a bassa frequenza. Nelle analisi svolte dal gruppo di Raichle si os-servava che il valor medio della OEF (frazione di estrazione dell'ossigeno ovvero
21
il rapporto fra consumo e disponibilità di ossigeno) delle aree del DMN nondi�eriva dal valore nelle altre aree del cervello e dunque non veniva rilevato unpicco di attività locale nel segnale MRI durante lo studio nello stato a riposo.D'altra parte in presenza di diversi compiti cognitivi con il contrasto BOLD inMRI era possibile veri�care solamente l'attivazione delle aree funzionali speci-�che. L'informazione signi�cativa sulla deattivazione si è potuta ottenere solotramite l'uso della PET (tomogra�a ad emissione di positroni) che ha consen-tito di stabilire l'e�ettiva diminuzione dell'OEF in determinate aree (regionitask-negative) durante un compito cognitivo ovvero di stabilire l'esistenza di undefault mode.
6.3 Connettività funzionale
L'analisi delle �uttuazioni spontanee di�erisce radicalmente da quella legata acompiti speci�ci sia per il diverso trattamento del rumore, poiché non è piùpossibile mediare il segnale per veri�care correlazioni con l'andamento tempo-rale del compito funzionale sottoposto al soggetto, sia per le di�erenti �nalitàteoretiche legate all'esperimento: mentre la fMRI è tesa all'identi�cazione delleregioni che si attivano nell'esercizio di una determinata funzione la rsfMRI (rest-ing state fMRI) ha come obiettivo la ricostruzione della connettività funzionaletra regioni diverse o all'interna di una di esse. La connessione fra i due tipi diesperimenti è ben spiegata da un possibile schema iterativo di ricerca [13]: infMRI si stabiliscono due regioni di interesse (ROI) A e B che si attivano duranteil compito assegnato, in rsfMRI si veri�ca la correlazione fra le due ROI e si os-serva una ulteriore correlazione fra B e una terza regione C, susseguentementesi ipotizza un esperimento fMRI che possa veri�care che a tale correlazioneintrinseca corrisponda una attivazione funzionale delle due regioni B e C. E�et-tuata tale veri�ca è possibile realizzare una nuova analisi di correlazione tramitersfMRI e così via. Tale procedura è stata utilizzata ad esempio nella veri�cadi un modello dell'attenzione basato sulla interazione di un sistema neuronaledorsale e uno ventrale. In particolare [14] tramite lo studio delle �uttuazionispontanee è stata ver�cata la distinzione delle due aree preposte all'attenzioneed è stata individuata nel lobo frontale una potenziale regione di interazione.
6.3.1 Tecniche di correlazione
Per l'analisi di correlazione del segnale MR a bassa frequenza si parte solitamenteda una ROI A (costituita da un insieme di voxel solitamente situati intorno aipicchi di attivazione funzionale di una regione nota) in cui si e�ettua una mediadel segnale per ogni istante t:
SA(t) =ΣvεA
sv(t)
NA
dove NA è il numero di voxel contenuti in A.si calcola la correlazione parziale rv tra il segnale di ogni voxel non apparte-
nente ad A e il segnale medio di A :
22
rv =NΣi=1
(SA(ti)−S̄A)(sv(ti)−s̄v)
(N−1)σAσv
doveN è il numero di volumi (ovvero di tempi) di acquisizione) S̄A, s̄v, σA, σvsono rispettivamente medie temporali e deviazioni standard nella ROI A e nelvoxel v.
I coe�cienti cosi trovati vengono normalizzati ad una gaussiana e stabilizzatiin varianza tramite la trasformazione di Fisher [15]:
zv = 12 log 1+rv
1−rv
Variando la ROI è possibile ottenere diversi valori di correlazione con lediverse regioni per ogni voxel.
Tali valori de�niscono un grado di similarità fra i voxel sui quali viene appli-cato un algoritmo di clustering gerarchico agglomerativo che consente di costru-ire una mappa topologica per riconoscere regioni di voxel, e quindi reti neuronali,correlate o anticorrelate.
6.4 Artefatti �siologici
Le �uttuazioni del segnale BOLD, a riposo e non, presentano componenti chenon sono direttamente legate all'attività sinaptica locale ma sono in larga partedi natura �siologica. Le pulsazioni cardiache e gli artefatti legati alla respi-razione possono causare modi�che signi�cative nella correlazione del segnalenella vicinanza di grandi vasi sanguigni e in tutta la materia grigia mascherandole �uttuazioni neuronali spontanee. Misurando le tracce cardiache e respirato-rie durante l'acquisizione dei dati fMRI l'in�uenza delle �uttuazioni di natura�siologica possono essere in larga parte rimosse usando tecniche di correzioneretrospettiva dell'immagine (RETROICOR [16]). Ulteriori sorgenti di rumoresono le �uttuazioni legate al volume respiratorio e al conseguente livello arte-rioso di CO2, le �uttuazioni di pulsazione cardiaca e le alterazioni dovute almoto della testa. Spesso nel tentativo di tener conto di potenziali sorgenti dirumore �siologico non identi�cate si introduce il segnale globale che viene cal-colato come media del segnale di tutti i voxel nel cervello ad un dato istante ditempo e sottratto tramite il metodo di regressione lineare [18].
6.5 RETROICOR
Il metodo RETROICOR assume che alle serie temporali delle intensità sv(t) neivoxel sia sovrapposto un rumore additivo legato all'attività cardiaca e respirato-ria. Per monitorare il ritmo cardiaco e respiratorio si utilizzano un pulsossimetroe una cintura pneumatica che avvolge l'addome del soggetto. Seguendo la trat-tazione di Glover si assume che i processi �siologici siano quasi-periodici cosìche risulti possibile attribuire in maniera univoca una fase respiratoria ϕr e car-diaca ϕc ad ogni immagine della serie temporale. Sotto tali ipotesi è possibileespandere la componente di rumore �siologico yδ(t) in serie di Fourier di ordineM nel seguente modo:
23
yδ(t) =M
Σm=1
[acmcos(mϕc(t))+bcmsin(mϕc(t))+armcos(mϕr(t))+b
rmsin(mϕr(t))]
dove gli apici dei coe�cienti di Fourier a e b si riferiscono alla funzionecardiaca e respiratoria.
Si de�nisce la fase cardiaca come
ϕc(t) = 2π t−t1t2−t1
in cui t1 è il tempo del primo picco dell'onda R della sequenza QRS dellapulsazione cardiaca e t2 è il tempo del picco successivo. Si osserva che la fasevaria linearmente in ogni intervallo R-R e torna a zero al termine di ogni ciclo(a meno di multipli di 2π).
Nella stima della fase respiratoria bisogna tenere conto sia della fase respi-ratoria sia della intensità della respirazione, per fare ciò si utilizza una funzionedi trasferimento ad istogramma.
Si de�nisce R(t) l'ampiezza del segnale respiratorio che varia nell'intervallo[0, Rmax]. L'istogramma H(b) si ottiene come il numero di occorrenze H neidiversi bin costruiti dividendo l'intervallo di ampiezza in N bin. Ogni bin risultacentrato sul valore bRmax
N , dove b è il numero del bin. L'istogramma realizza unafunzione di trasferimento equalizzata tra R(t) e la fase respiratoria nel seguentemodo:
ϕr(t) = π
β(t)Σb=1
H(b)
NΣb=1
segno(dRdt )
in cui β(t) rappresenta il bin di ampiezza raggiunto al tempo t, ovvero:
β(t) = parteintera[NR(t)Rmax ]
e la funzione segno() è introdotta per tener conto delle fasi di inspirazione(+) ed espirazione (-). La derivata del segnale respiratorio si può ottenere con un�t dei dati che ricostruisca la funzione R(t). Ciò è reso necessario dal fatto chelocali diminuzioni dell'ampiezza possono non essere legate ad un cambiamentodi fase di respirazione.
I coe�cienti di Fourier axm e bxm si ottengono calcolando la proiezione sullecomponenti dello sviluppo in serie:
axm(t) =NtΣi=1
[(y(ti)− y)cos(mϕx(ti)]/NtΣi=1
[cos2(mϕx(ti)]
bxm(t) =NtΣi=1
[(y(ti)− y)sin(mϕx(ti)]/NtΣi=1
[sin2(mϕx(ti)]
(x = c/r)La componente legata al rumore �siologico yδ(t) così ricostruita viene in�ne
sottratta al segnale totale.È possibile implementare la RETROICOR qui descritta inserendo termini
non lineari che descrivino l'interazione fra segnale cardiaco e respiratorio [17]. Lostudio dell'e�cienza di tali procedure viene spesso condotta sul tronco encefalicopoiché tale zona presenta un alto grado di rumore �siologico.
24
6.6 Regressione lineare multipla
Unmetodo generale che viene applicato per ottimizzare la valutazione dell'in�uenzadei segnali non neuronali è la regressione lineare multipla in cui si ipotizza cheil segnale totale sia dato dalla sovrapposizione lineare dei segnali delle diversesorgenti [22]. Il valore dell'intensità y(t) in ciascun voxel ad ogni tempo risultaesprimibile quindi da una relazione del tipo
y(t) = ~β · x(t) + ε (7)
in cui il vettore x = (x1, x2, ..., xk) rappresenta le diverse sorgenti indipen-
denti, le componenti vettore−→β sono i coe�cienti di regressione parziale ed ε
un errore gaussiano a media nulla e varianza σ. Avendo un campionamentotemporale discreto delle sorgenti possiamo scrivere la relazione (6) esprimendox(t) come una matrice N × k in cui l'elemento xij rappresenta il valore dellasorgente i-esima all'istante tj e y(t) come un vettore ad N componenti:
y = X~β + ~ε (8)
Il metodo della regressione multipla è �nalizzato ad ottenere la stima ot-timale di y come combinazione lineare delle k sorgenti. Si utilizza a tal �neil metodo dei minimi quadrati e si può dimostrare (A.5) che il vettore ~β cheminimizza gli errori ~ε è dato dalla relazione:
~β = (XTX)−1XTy
Noti i coe�cienti di regressione parziale è possibile esplicitare la componentealla quale si è interessati, ovvero, nel caso della connettività funzionale, delsegnale legato all'attivazione neuronale pulito dagli artefatti �siologici.
6.7 Reti funzionali anticorrelate
Nel 2005 viene pubblicato un articolo del gruppo di Raichle e Fox [18] chetestimonia l'esistenza di due reti funzionali altamente anticorrelate nel cervelloumano tramite lo studio della connettività funzionale nel segnale di rsfMRI.
La ricerca era stata condotta su dati ottenuti tramite EPI su 10 personein tre di�erenti condizioni a riposo: occhi �ssi, occhi chiusi ed occhi aperti conbassa illuminazione. Le sorgenti di variabilità del segnale non dovute all'attivitàneuronale rimosse con il metodo di regressione lineare multipla erano il motodella testa, il segnale da una ROI ventricolare (per la regressione del segnaledovuto alla respirazione), il segnale da una regione nella materia bianca (perla regressione del segnale di origine cardiaca) ed il segnale globale ottenutomediando su una regione �ssa dell'atlante cerebrale.
25
Per l'analisi di correlazione erano 6 le ROI selezionate, 3 ROI task-positive(IPS3, regione FEF del solco precentrale, MT+) e 3 ROI task-negative (MPF,PCC e LP).
Tramite il calcolo dei coe�cienti di correlazione venivano ricostruite le 6mappe di connettività relative alle ROI considerate. Dall'analisi delle mappe siosservava in maniera decisiva che le �uttuazioni BOLD erano correlate all'internodi due reti che tra di loro risultano fortemente anticorrelate. Fig.1
Figura 5 Immagine dellle mappe di correlazione [18]. Le tre mappedall' alto nella colonna a sinistra sono relative a ROI nelle tre zone task-negative (MPF, PCC, LP). Nella colonna a destra sono mappe relativealle ROI nelle tre zone task-positive (IPS, FEF, MT+). In basso unamappa di congiunzione delle mappe task-positive.
Lo studio confermava ed estendeva la nozione di default mode sostenendo chel'attivazione e la deattivazione di alcune aree del cervello durante compiti fun-zionali fosse una conseguenza di una divisione strutturale e organizzativa deiprocessi neuronali.
3
IPS = Solco intraparietale
FEF = Frontal eye �eld
MT+ = Regione mediotemporale
MPF = Corteccia mediale prefrontale
PCC = Precuneo del cingolato posteriore
LP = Corteccia lateroparietale
26
I risultati venivano connessi ai dati sulla dualità nell'analisi comportamen-tale fra attenzione ad un compito cognitivo e pensiero indipendente dagli sti-moli. Era nota infatti la diminuzione dell'attività legata al pensiero indipen-dente dagli stimoli in relazione all'aumento della di�coltà del compito cognitivoassegnato. Nelle conclusioni del lavoro il gruppo di Raichle ipotizzava che �talecomportamento emergesse come un semplice ri�esso dell'organizzazione dinam-ica soggiacente e intrinsica del cervello� e che, in generale, gli stimoli sensoriali�modulassero più che determinassero� l'attività del sistema nervoso.
Le radicali interpretazioni dei risultati da parte del gruppo erano giusti�-cate dal fatto che le alte correlazioni e anticorrelazioni riscontrate provenivano,per gli autori, unicamente dalle �uttuazioni spontanee del segnale BOLD e,trascurando altri e�etti, la giusti�cazione per tali dati sperimentali poteva es-sere e�ettivamente trovata nelle connessione �siologiche delle reti neuronali delcervello e nella netta divisione dei compiti fra le due reti anticorrelate osservate.
6.8 Regressione del segnale globale
Nel 2008 un articolo del gruppo di Bandettini [19] porta alla luce tramite unadimostrazione teorica, una simulazione numerica e un test su dati sperimentaliMRI che la regressione lineare del segnale globale (GSR) può introdurre retianticorrelate.
6.8.1 Dimostrazione teorica
Sia yi il vettore colonna che rappresenta la serie temporale del voxel i-esimo cheassumiamo a media nulla. Sia si il vettore che identi�ca la serie temporale delvoxel i-esimo dopo la regressione del segnale globale g, ovvero:
yi = gβi + si (9)
con il vettore colonna del segnale globale pari a:
g = 1N
N
Σi=1
yi
dove N è il numero totale di voxel.La stima dei coe�cienti di regressione βi è data dalla relazione (A.5):
βi = (gTg)−1gTyi
La media nei voxel dei valori βi è data da:
N
Σi=1βi = (gTg)−1gT 1
N
N
Σi=1
yi = (gTg)−1gTg = 1 (10)
Sostituendo in (9) la de�nizione di segnale globale si ottiene:
yi = βi1N
N
Σj=1
yj + si
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Sommando sull'indicei si ricava:N
Σi=1
yi =N
Σi=1
βi( 1N
N
Σj=1
yj) +N
Σi=1
si
Da cui segue che:
N
Σi=1
si = 0 (11)
Sia ora s1 il segnale del voxel di riferimento per l'analisi di correlazione. Lasomma dei prodotti scalari degli altri voxel con quello di riferimento è:
N
Σi=2
s1 · si = s1 · s2 + s1 · s3 + ...+ s1 · sN
ma dalla (11) si ricava:
s2 = −s1 − s3 − ...− sN
e di conseguenza:N
Σi=2
s1 · si = s1 · (−s1 − s3 − ...− sN ) + s1 · s3 + ...+ s1 · sN = −s1 · s1 ≤ 0
La somma dei coe�cienti di correlazioni, avendo supposto i segnali a medianulla, assume la semplice forma:
N
Σi=2
c1i = Σi=2
s1·siMσ1σi
dove M è il numero di punti temporali e σi è la deviazione standard delsegnale temporale nel voxel i-esimo, strettamente positiva. Da tale condizionesegue che:
N
Σi=2
c1i ≤ 0 (12)
Si è dunque dimostrato che la regressione del segnale globale introduce cor-relazioni negative.
Bisogna tuttavia notare che la regressione multipla viene sempre e�ettuata inpresenza di più regressori mentre la presente trattazione include esclusivamenteil segnale globale. Solo uno studio della regressione lineare del segnale globalein presenza di altri regressori potrebbe consentire di applicare rigorosamente lateoria all'analisi degli e�etti della regressione del segnale globale.
6.8.2 Simulazioni numeriche
Per studiare le conseguenze sperimentali del calcolo teorico mostrato vengonocondotte tre tipi di simulazioni numeriche. La prima per confermare le equazioni(10-11-12) con la generazione di 1000 serie temporali sinusoidali con frequenze
28
casuali scelte nel range delle frequenze caratteristiche delle �uttuazioni sponta-nee in due e tre voxel. Una seconda simulazione di fase dimostra che la GSRgenera correlazioni negative con una ROI (ad alto o basso SNR) anche in seg-nali temporali della medesima frequenza sfasati in modo casuale. Una terzasimulazione di tipo spaziale rivela che la GSR fa ridurre i valori di correlazioneall'aumentare dell'area in cui vengono introdotte �uttuazioni. Voxel in cui ilsegnale è unicamente dovuto a rumore gaussiano non debbono risultare corre-lati con una ROI che presenti �uttuazioni quindi la GSR genera anticorrelazioniin tali voxel.
6.8.3 Test sperimentali
Per i test dell'ipotesi sullo stato a riposo vengono e�ettuate due scansioni di 5minuti su 12 soggetti con una sequenza SE-EPI di parametri: TR = 2s, TE =30m, matrice 64×64, FOV/∆z= 24cm/4mm, angolo di rotazione = 90°, volumi(scansioni complete del cervello e�ettuate) = 150. con misure di dati �siologicitramite un pulsossimetro e una cintura pneumatica.
I dati ottenuti sono trasformati nelle coordinate di Tailarach e vengonoprodotte le mappe di correlazione estraendo la serie temporale da una ROInel PCC de�nita disegnando una sfera di diametro 12 mm centrata nel puntodell'atlante di Tailarach di coordinate [-5, -49, 40]. Vengono calcolati i coe�ci-enti di correlazione. Le mappe di correlazione vengono tracciate in ogni soggettocon una soglia di correlazione |r| > 0.35. La rete task-negative è formata daivoxel che presentano una correlazione positiva con la ROI superiore alla soglia,la rete task-positive dai voxel a correlazione negativa con la ROI superiore allasoglia.
Viene introdotto un metodo alternativo al GSR per eliminare �uttuazioninon neuronali a bassa frequenza dai dati e per confrontarne gli e�etti sui valori dicorrelazione. Il metodo consiste nella regressione lineare di �uttuazioni dovutea cambiamenti del volume respiratorio (RVT, respiration volume per time) cal-colate tramite l'inviluppo della traccia respiratoria. I valori di correlazione ven-gono calcolati in tre condizioni: senza GSR ed RVT, solo con correzioni RVT esolo con GSR.
I risultati sperimentali confermano teoria e simulazioni numeriche. NellaFigura 6 vengono mostrate le correlazioni con la ROI nella PCC mediate sui 12soggetti con e senza correzione del segnale globale. Gli istogrammi dei valori dicorrelazione per ogni soggetto (Fig. 7) mostrano, prima della GSR, distribuzionicriticamente tendenti verso valori positivi mentre assumono un andamento acampana centrato nello zero dopo la GSR.
Combinare simulazioni numeriche e dati sperimentali conduce a diverse os-servazioni signi�cative sul segnale globale delle �uttuazione spontanee: perprima cosa, l'area task-negative è su�cientemente grande da generare anticor-relazioni nei voxel con segnale a basso SNR a seguito della GSR, l'utilizzo dellacorrezione RVT mostra che rimuovere le �uttuazioni dovute alla respirazione(una dei fattori principali che si considerano parte del segnale globale) alteraa malapena i valori di correlazione, le aree task-negative ricavate dopo la GSR
29
sono sempre un sottoinsieme di quelle che mostrano correlazioni positive con laROI nella PCC.
Le aree con i valori più bassi di correlazione vengono dunque convertitead aree anti-correlate dalla regressione del segnale globale, tuttavia e�ettiva-mente queste regioni coincidono in larga parte con le task-positive funzionali.La ragione per cui queste aree risultano meno correlate potrebbe risiedere nellaspeci�ca task-negative ROI scelta. La PCC presenta un alto rumore di fondolegato alla respirazione rispetto alle aree task-positive, inoltre di�erenze di fasepotrebbero dipendere da proprietà emodinamiche non legate all'attività neu-ronale.
Figura 6 Immagine tratta da [19]. Correlazioni con una ROI nel PCC mediate tra i
soggetti usando la trasformazione di Fisher, prima e dopo la GSR. Le reti
task-positive sono visibili sono dopo la regressione. La soglia di correlazione per la
costruzione delle mappe varia nei due casi per tener conto dei cambiamenti nella
distribuzione dei valori di correlazione dovuti alla GSR.
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Figura 7 Immagine tratta da [19]. Le distribuzioni dei valori di correlazione sono
mostrate prima (sopra) e dopo (sotto) la regressione del segnale globale. Si nota come
la GSR trasformi la distribuzione in una funzione a campana centrata sullo zero.
6.8.4 Rimozione del segnale globale
Lo studio del gruppo di Bandettini contro le conclusioni cui era giunto il lavorodel gruppo di Raichle ipotizza che la rilevazione di reti anticorrelate di attivitàneuronale sia dovuta principalmente alla regressione del segnale globale, tut-tavia non esclude che il segnale globale possa rappresentare una sorgente dinatura �siologica, la cui rimozione risulti egualmente necessaria, e che le retianticorrelate rilevate in seguito alla GSR non possano essere parzialmente dinatura neuronale. In tal caso una tecnica alternativa alla GSR che consentadi rimuovere i segnali di natura �siologica parte del segnale globale potrebbeconsentire di rilevare ugualmente le anticorrelazioni.
Uno studio di Raichle [20] a�ronta tali temi di ricerca. Per valutare l'e�cienzadel metodo di regressione lineare per la rimozione del segnale globale vengonotestati due ulteriori metodi di rimozione del segnale globale: la stabilizzazionedell'intensità volume per volume (frame-to-frame) e il distribution-centeringpost-hoc. La prima normalizza la somma dei segnali nei voxel dividendo, per
31
ogni volume, il segnale di ogni voxel per il segnale globale. Nella distribution-centering viene calcolata la media tra i voxel dei coe�cienti di correlazioni z edessa viene sottratta al segnale in ogni voxel.
Il secondo metodo tuttavia fornisce reti di correlazioni in maniera avulsadalla scelta della ROI mentre la stabilizzazione frame-to-frame conduce a risul-tati simili a quelli della GSR. A sostenere ulteriormente l'utilità della rimozionedel segnale globale, e l'e�cienza della GSR malgrado gli artefatti introdotti datale metodo, è l'osservazione di reti anticorrelate anche attraverso l'ottimizzazionedelle ROI di riferimento in assenza di metodi di regressione del segnale glob-ale. Tale dato sperimentale conferma la natura neuronale delle reti rilevateapplicando la GSR.
Il segnale globale maschera la neuro�siologia poiché una sua rimozione con-sente l'osservazione di reti anticorrelate sussistenti ma non rilevabili, le ricerche�n qui condotte tuttavia non consentono ancora di stabilire se esso stesso sialegato ad attività sinaptica o se sia costituito da sole �uttuazione dei segnalicardiaco e respiratorio. Conoscere la natura del segnale globale consentirebbe distimare con più precisione il segnale neuro�siologico a partire dal segnale rilevatotramite MR ed ottenere mappe di correlazione del cervello più dettagliate.
7 Conclusioni
Una stima ottimale degli artefatti �siologici nei segnali misurati in fMRI è labase per la stesura di mappe di correlazione del cervello. La conoscenza di talimappe a�ancata a dati anatomici di connettività strutturale aprirebbe ampiepossibilità diagnostiche per la fMRI e costituirebbe il punto di partenza perla veri�cabilità di proprietà di correlazione di modelli teorici di reti neuronalibasati su connessioni anatomiche realistiche. Lo sviluppo di metodi alternativialle analisi di correlazione per l'identi�cazione di reti di attivazione cerebrale(Analisi a componenti indipendenti, ICA) e dall'altro ha fatto emergere che lacomprensione della dinamica di correlazione del sistema di reti del cervello portacon sé la necessità di una conoscenza più approfondita della connettività �sio-logica, della miscrostruttura del tessuto nervoso e del fenomeno della di�usionedelle molecole nella materia bianca, conoscenze ottenibili tramite l'Imaging delTensore di Di�usione (DTI) [23].
Lo sviluppo avuto nelle neuroscienze negli ultimi 30 anni sta avvicinandodue sfere quella della �siologia del sistema nervoso e della teoria cognitiva chesembrano convogliare, più o meno simmetricamente, tramite lo studio delle retineurali realistiche4, della meccanica statistica dei sistemi disordinati [24] e dellaconnettività cerebrale, �siologica e funzionale, verso la determinazione di unmodello dinamico sperimentabile dell'attività del cervello umano [25] che of-frirebbe prospettive di ricerca senza pari in un ramo della scienza di alto inter-esse sociale.
4Una menzione in particolare la merita il programma NEURON sviluppato dall'Università
di Yale per la simulazione di neuroni e reti neuronali realistiche.
32
8 Appendice
8.1 A.1 Distribuzioni
Delta di Dirac δ
La distribuzione delta di Dirac è de�nita dalla proprietà:∫ +∞
−∞f(x)δ(x− x0)dx = f(x0)
per ogni f(x) continua in un intorno dello zero.
Funzione a barriera∏
∏(x)
def={
1 se |x| ≤ 1/20 altrimenti
Funzione di campionamento Υ
È possibile modellizzare un insieme di misure con una opportuna combinazionedi δ di Dirac. Si introduce a tal �ne la funzione Υ:
Υ(x)def= Σ
iεZδ(x− i)
Per un campionamento ad intervalli arbitrari ∆x
Υ(x/∆x) = ∆x ΣiεZδ(x− i∆x)
Dalla proprietà della delta di Dirac segue:
∫ +∞
−∞f(y)Υ(∆x(x− y))dy =
1∆x
ΣiεZf(x− i
∆x)
8.2 A.2 Convoluzione
Si considerino due funzioni reali f(t) e g(t). Si de�nisce convoluzione di f e g lafunzione de�nita nel seguente modo:
(f ? g)(t) :=∫∞−∞ f(τ)g(t− τ)dτ =
∫∞−∞ f(t− τ)g(τ)dτ
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Teorema di convoluzione
Enunciato
Sia F l'operatore che rappresenta la trasformata di Fourier.Il teorema di convoluzione a�erma che per f e g integrabili:
1) F(f ? g) = F{f} · F{g}
2) F{f · g} = F{f} ? F{g}
Applicando la trasformata inversa F−1, si ottiene inoltre:
3) f ? g = F−1{F{f} · F{g}
}La dimostrazione del teorema richiede conoscenze di matematica che esulano
dallo scopo della presente tesi, si rimanda quindi ad altri testi [21]
8.3 A.3 Teorema di Nyquist-Shannon
Enunciato
Sia F (ω) lo spettro di f(t). Ovvero:
f(t) = 12π
∫∞−∞ F (ω)eiωt dω
e sia F (ω) pari a zero al di fuori della banda [−2πW, 2πW ].Allora la funzione f(t) è univocamente determinata da un campionamento
discreto di passo:
∆t = 12W
Dimostrazione
Dalle condizioni di annullamento della F (ω)
f(t) = 12π
∫∞−∞ F (ω)eiωt dω = 1
2π
∫ 2πW
−2πWF (ω)eiωt dω
Si e�ettui un campionamento ai tempi tn:
t = n2W
dove n è un intero relativo, si ottiene:
f(n
2W
)= 1
2π
∫ 2πW
−2πWF (ω)eiω
n2W dω.
ma lo sviluppo di Fourier di F (ω) è pari a:
F (ω) = ΣnεZcn exp( i2πnωW )
dove i coe�cienti cn sono pari ai valori della funzione ottenuti con il campi-onamento:
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f(n
2W
)= cn
da ciò segue che il campionamento scelto consente di conoscere tutti i coe�-cienti dello sviluppo di Fourier di F (ω) valido nella banda di frequenze W. Il suosviluppo in serie determina univocamente la funzione F (ω) ed f(t) è de�nitadal suo spettro. Quindi i campioni determinano univocamente la funzione f(t).�
8.4 A.4 Metabolismo neuronale
Figura 8 Immagine della reazione di glicolisi da [10].
Figura 9 Immagine del ciclo del glutammato [10]. Rappresentazioneschematica degli eventi metabolici cellulari associati al ciclo del glutam-mato. Di particolare importanza è il ruolo della glicolisi aerobica negli as-trociti nel rifornire l'energia usata dai canali Na+/K+ per estrarre Na+
dalle sinapsi assieme al glutammato e nel convertire quest'ultimo in glu-tammina. Il lattato in eccesso può essere o spostato nei neuroni adiacenti
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o convertito in piruvato e successivamente essere metabolizzato tramite lafosforilazione ossidativa e convertito in CO2e H2O o ancora rimosso dalcervello con il �usso sanguigno.
8.5 A.5 Metodo dei minimi quadrati per la stima dei co-e�cienti di regressione parziale
Enunciato
Data l'equazione () che de�nisce il modello di regressione lineare multipla.La scelta dei k coe�cienti ~β che minimizza la somma dei quadrati delle
deviazioni fra la variabile indipendente e la combinazione lineare dei regressoriè:
~β = (XTX)−1XTy (13)
Dimostrazione
Dalla relazione lineare (13) si ricava il modulo del vettore ~ε :
~ε · ~ε = (y −X~β) · (y −X~β)
da cui segue per la linearità del prodotto scalare:
~ε · ~ε = y · y − 2y·X~β +X~β ·X~β
derivando tale espressione rispetto a ~β, ovvero rispetto a ciascuno dei coef-�cienti, ed eguagliando a zero si ottengono k equazioni esprimibili nella forma:
∂~ε·~ε∂~β
= 0− 2XTy + 2XTX~β = 0
Essendo XTX una matrice quadrata di rango k ammette inversa e consentedi esplicitare la relazione in ~β:
~β = (XTX)−1XTy �
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