BAB IPENDAHULUAN
1.1.LatarBelakangKarakteristik umum dari harga saham adalah
memiliki tingkat ketidakpastian. Ketidakpastian pergerakan harga
saham ini terjadi dalam jangka pendek, ataupun dalam jangka
panjang. Karakteristik ini tidak disukai oleh para investor karena
menimbulkan risiko pada investasi mereka. Namun ketidakpastian ini
tidak dapat dihindari dalam investasi. Salah satu hal yang dapat
dilakukan oleh investor dalam menghadapi ketidakpastian pergerakan
harga saham adalah mengurangi ketidakpastian tersebut yaitu dengan
cara melakukan prediksi harga saham (Van den Goorbergh, 1999).Salah
satu metode dalam memprediksi harga saham adalah metode deret
waktu. Pada metode ini dibuat model prediksi linear untuk melihat
pola dari data historis harga saham untuk menilai harganya di masa
depan. Nilai harga saham di masa depan dianggap sebagai kombinasi
linear dari data historisnya. Model linear ini terbagi menjadi dua
kategori model, yakni model regresi univariat dan model regresi
multivariat. Klasifikasi ini tergantung pada jumlah variabel yang
digunakan. Model Autoregressive (AR) merupakan salah satu metode
deret waktu yang sering digunakan dengan asumsi volatilitasnya
tidak berubah terhadap waktu (Homoscedastic). Model AR(1) digunakan
ketika galat-nya saling bebas dan stasioner. Jika tidak, maka galat
dapat dimodelkan dengan model deret waktu lainnya, salah satunya
adalah model AR(1)-NGARCH(1,1).Dalam beberapa kasus bivariat
dibutuhkan suatu fungsi yang dikenal dengan copula. Menurut Li
(2010) copula merupakan fungsi matematika yang menggabungkan
distribusi univariat menjadi distribusi multivariat. Copula
dipelopori pertama kali oleh Abe Sklar pada tahun 1959 (Nelson,
2005) dalam teoremanya yang membuktikan bahwa copula menghubungkan
marginal-marginal dari satu peubah acak menjadi distribusi gabungan
m peubah acak. Ada banyak model copula yang bisa digunakan
diantaranya Copula Gaussian, Copula-t, Copula Clayton, Copula
Frank, dan Copula Gumbel. Pada laporan tugas ini akan dilakukan
prediksi dengan menggunakan Copula Gaussian.
1.2.Tujuan PenulisanTujuandari penulisan ini adalah :1. Menaksir
parameter model AR(1).1. Menaksir parameter model
AR(1)-NGARCH(1,1).1. Mengetahui apakah model copula Gaussian cocok
untuk data harga saham telkomsel dan indosat
BAB IIKAJIAN TEORI
2.1. Estimasi Parameter Model AR (1)Model Autoregressive adalah
bentuk model Time Series yang mengidentifikasi nilai waktu sekarang
dengan menggunakan nilai dari observasi yang lalu dan galat yang
sekarang.Misalkan merupakan proses stokastik yang mengikuti model
AR(1) jika:
dengan asumsi sebagai berikut:1. 1. merupakan barisan peubah
acak yang saling bebas dan berdistribusi identik1. dan saling
bebas1. tidak saling bebas dengan dan Persamaan di atas merupakan
definisi model AR(1) dalam bentuk Forward Representatiton.Estimasi
parameter dan pada model AR (1) dilakukan dengan menggunakan metode
Ordinary Least Square (OLS). Metode OLS atau yang dikenal sebagai
metode kuadrat terkecil dipersembahkan untuk Carl Friedreich Gauss,
seorang ahli matematika Jerman. Pada hakikatnya, prinsip metode
kuadrat terkecil memberikan cara singkat untuk memilih
parameter-parameter yang tepat sedemikian sehingga menghasilkan
kuadrat residual yang sekecil mungkin. Dengan kata lain, agar
menghasilkan nilai yang sedekat mungkin dengan nilai aktual.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:1. Membentuk sebagai fungsi dari
dan
(1)1. Menurunkan persamaan (1) secara sebagian (parsial)
terhadap dan , kemudian menetapkan persamaan tersebut sehingga sama
dengan nol.
(2)dan
(3)dengan T adalah ukuran sampel.Persamaan (2) dan (3) di atas
dikenal sebagai persamaan normal (normal equation). Selanjutnya,
persamaan normal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks
berikut:
Dengan menyelesaikan bentuk matriks di atas, diperoleh
parameter-parameter berikut:
2.2. Estimasi Parameter Model AR (1) N.GARCH (1,1)Suatu proses
stokastik mengikuti model AR(1) N.GARCH(1,1), jika modelnya
tersebut merupakan model AR(1) dengan galatnya mengikuti proses
GARCH (1,1), sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
(1)dengan,
parameternya adalah dan .Langkah-langkah untuk mengestimasi
parameter model AR(1) N.GARCH(1,1) adalah sebagai berikut:1.
Asumsikan galat berdistribusi normal (0,1).1. Menentukan nilai
parameterdan dengan fungsi loglikelihoodnya adalah sebagai
berikut:
Untuk memperoleh parameter yang dimaksud, maksimumkan fungsi
loglikelihood di atas dengan menggunakan metode Newton-Rhapson.
Dalam tugas ini, estimasi parameter model AR(1) N.GARCH(1,1)
dilakukan dengan bantuan MATLAB.2.4.CopulaCopula berasal dari
bahasa latin yang artinya hubungan, ikatan. Istilah copula pertama
kali diperkenalkan oleh Abe Sklar tahun 1959 dalam teoremanya
tentang copula sebagai suatu fungsi yang menghubungkan fungsi
distribusi berdimensi satu untuk membentuk suatu fungsi distribusi
multivariat. Copula terbagi menjadi dua jenis, yaitu copula
elliptical dan copula archimedian. Copula elliptical terdiri dari
copula Gaussian dan copula t. Sedangkan copula archimedian terdiri
dari copula Frank, copula gumbel dan copula clayton. Pembahasan
tentang copula pada bagian ini dibatasi untuk copula bivariat,
khususnya copula Gaussian.Copula GaussianSalah satu tipe dari
copula elliptical yang dibentuk dari distribusi multivariat normal
adalah copula Gaussian. Misalkan (X,Y) bivariat normal yang
memiliki rata rata dan variansi dengan dan . Fungsi kepadatan
peluang dari adalah
Sehingga fungsi kepadatan peluang dari adalah
Berdasarkan Teorema Sklar, terdapat hubungan :
Dengan menurunkan persamaan diatas, akan diperoleh fungsi
peluang bivariat sebagai berikut:
dengan dan . Sehingga fungsi kepadatan peluang (pdf) copula
Gaussian adalah
dengan
dan dan . Dalam eksperimen ini, dan sehingga . adalah fungsi
distribusi kumulatif dari normal baku. Dengan demikian fungsi
kepadatan peluangnya adalah sebagai berikut:
Karena copula Gaussian berasal dari keluarga copula elliptical
maka fungsi distribusi komulatif (cdf) dari copula Gaussian
memiliki bentuk sebagai berikut:
dengan adalah fungsi distribusi kumulatif multivariat normal
dengan rata-rata dan kovariansi menggunakan kernel.Penentuan
Parameter Copula GaussianKarena korelasi antar variabel tidak dapat
diketahui, korelasi tersebut diaproksimasi dengan memanfaatkan
informasi dari data, yang dalam hal ini berupa indeks partisi
waktu. Matriks variansi-kovariansi didekati dengan matriks kernel,
yang memiliki sifat definit positif dan simetris. Matriks kernel
ini dipilih sedemikian sehingga memaksimumkan nilai fungsi
likelihood dari CopulaGaussian. Fungsi kernel yang digunakan
adalah:
Fungsi likelihood dari parameter copula Gaussian adalah
sehingga fungsi loglikelihoodnya adalah sebagai berikut :
dengan dan . merupakan matriks segitiga bawah dari hasil
faktorisasi cholesky sehingga Selanjutnya akan dicari estimasi
parameter h yang memaksimumkan fungsi likelihood dengan algoritma
sebagai berikut.Algoritma 1. Pilih 2. Dapatkan kernel
dengan
3. Tentukan matriks segitiga bawah L dengan melakukan
faktorisasi Cholesky pada matriks yang telah didapatkan di
atas.
4. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan .Dengan , dalam hal
ini adalah data Hitung
5. Pilih h yang mempunyai paling besar.
Copula Gaussian untuk BindingCopula binding dilakukan untuk
menggabungkan dua atau lebih copula. Khusus untuk copula Gaussian
bivariat, pdf dari copula bisa ditulis sebagai:
dengan cdf sebagai berikut
Dalam hal ini, adalah ukuran kebergantungan Pearson. Untuk
copula eliptik seperti copula Gaussian, dapat diperoleh sebagai
berikut:
dengan menyatakan koefisien korelasi Kendalls Tau.Misalkan
himpunan dari peubah acak bersama X dan Y berturut-turut, sehingga
setiap pasang nilai tunggal. Pasangan observasi sebarang dan
dikatakan concordant jika urutan dari masing-masing elemen sama,
dengan kata lain dan atau dan Kendalls Tau dihitung sebagai
berikut:
Berikut adalah contoh pengaruh dari nilai terhadap persebaran
data:
BAB IIISTUDI KASUS
3.1.DataData yang digunakan pada laporan ini adalah harga saham
harian Telkomsel dan Indosat sebanyak 261 data pada periode 1
Januari 2014 - 31 Desember 2014.3.2.Langkah-Langkah Prediksi Harga
Saham Menggunakan CopulaA. Konstruksi Model AR(1)-N.GARCH(1,1)1.
Analisis data2. Jika data belum stasioner maka distasionerkan
(digunakan transformasi log return)3. Analisis kebergantungan antar
variabel menggunakan plot ACF dan PACF4. Estimasi parameter AR(1)a.
Dengan metode Ordinary Least Squares diperoleh:
b. Memasukkan nilai parameter yang di dapat pada langkah 3 ke
dalam model AR(1) untuk memperoleh nilai galat.c. Menguji kebebasan
pada nilai galat dengan plot ACF dan PACF. Model AR(1) digunakan
ketika nilai galat-nya saling bebas dan stasioner. Jika tidak maka
nilai galat dapat dimodelkan dengan model deret waktu lainnya,
salah satunya adalah model AR(1)-N.GARCH(1,1).
5. Estimasi parameter AR(1)-N.GARCH(1,1)a. Menentukan nilai
parameter dan dengan menggunakan fungsi log-likelihood-nya sebagai
berikut:
Untuk memperoleh parameter yang dimaksud, maksimumkan fungsi
loglikelihood di atas dengan menggunakan metode optimisasi seperti
Newton-Rhapson. Dalam tugas ini, estimasi parameternya dilakukan
dengan bantuan matlab.b. Memasukkan nilai-nilai parameter yang
telah diperoleh kedalam model AR(1)-N.GARCH(1,1) untuk mendapatkan
nilai galat dari model tersebut.6. Melakukan uji kebebasan galat
AR(1)-N.GARCH(1,1) dengan menggunakan plot ACF dan PACF. Jika
saling bebas terhadap t, maka bisa dimodelkan dengan menggunakan
copula.
B. Aplikasi CopulaGaussian untuk Copula Univariat1. Melakukan
fitting distribusi untuk mengetahui distribusi dari galat data.a.
Estimasi parameter dari distribusi yang dikehendakib. Uji kecocokan
distribusi menggunakan uji Kolmogorov-Smirnovc. Jika uji distribusi
mengatakan bahwa distribusi yang dicari tidak cocok dengan data,
maka ulangi ke proses a.2. Estimasi parameter kernela. Pilih (dalam
hal ini misalkan )b. Tuliskan kernel
dengan
c. Tentukan matriks segitiga bawah L dengan melakukan
faktorisasi Cholesky pada matriks yang telah didapatkan di
atas.
d. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan .Dengan , dalam hal
ini adalah data Hitung e. Pilih h yang mempunyai paling besar.f.
Menggunakan h taksiran yang diperoleh pada langkah 5 untuk
mendapatkan kernel.
3. Mencari fungsi distribusi kumulatif dari fungsi marjinal
dengan memanfaatkan CopulaGaussian.
4. Melihat karakteristik pasangan data dan . Salah satu caranya
adalah dengan melihat scatterplot-nya.
BAB IV HASIL DAN ANALISIS PEMBAHASAN
4.1.Statistika Deskriptif
Statistika Deskriptif Harga Saham Telkomsel dan
IndosatTelkomselIndosat
Maksimum29854485
Minimum22653100
Mean2736.83944.7
Median28003985
Modus28354100
Standar Deviansi168.1485231.3770
Variansi2827453535
Perhatikan bahwa untuk kedua data, mean lebih kecil daripada
median. Selain itu pada kedua data harga saham, Telkomsel maupun
data harga saham Indosat terdapat pencilan. 4.2.Penstasioneran
Daerah di dalam pita biru menggambarkan interval penerimaan
hipotesis bahwa . Karena nilai ACF menurun secara perlahan, kita
bisa simpulkan bahwa data harga saham tidak stasioner. Oleh karena
itu, dilakukan penstasioneran data.Ada beberapa metode untuk
menstasionerkan data. Seperti yang kita ketahui bahwa jenis data
yang digunakan menentukan estimasi yang parameter yang akan
digunakan. Oleh karena harga saham tersebut tidak stasioner, maka
perlu dilakukan transformasi data harga saham. Transformasi yang
digunakan dalam tugas ini adalah menghitung return dari harga
saham. Rumus yang digunakan adalah:
Jika menyatakan harga saham pada saat maka log return harga
saham pada saat dinyatakan oleh . Pada saat diasumsikan agar banyak
data tetap sama.Dengan melakukan transformasi ini pada kedua data
deret waktu, diperoleh data log return harga saham yang
berfluktuasi di sekitar 0, yang dapat dilihat juga pada gambar
berikut:
4.3. Memodelkan Data Return Harga Saham
Perhatikan bahwa, ACF data setelah lag tertentu berada pada
daerah selang kepercayaan, yaitu yang berada di antara pita biru.
Sehingga dapat dikatakan bahwa log return data telkomsel dan
indosat sudah stasioner.
4.4.Model AR(1)Berdasarkan data, diperoleh hasil estimasi
parameter untuk model AR(1) sebagai berikut:DataI
Telkomsel17.733 -0.0624
Indosat21.100 -0.0175
Nilai artinya return harga saham Tekomsel maupun Indosat
mengalami fluktuasi setiap harinya.
Dilihat dari plot ACF di atas, dapat disimpulkan bahwa tidak
saling bebas. Ini berlawanan dengan asumsi AR(1) awal. Oleh karena
itu, kita modelkan menjadi dengan menggunakan GARCH(1,1).
4.5.Model AR(1) N.GARCH(1,1)Dengan menggunakan bantuan MATLAB,
diperoleh sebagai berikut:I
Telkomsel 19.047 0.27390.2104
Indosat22.564 0.76250.1497
Berikut dapat dilihat perbandingan data return harga saham
dengan data return menggunakan model GARCH(1,1).
Nilai-nilai taksiran parameter yang telah didapatkan selanjutnya
dimasukkan ke persamaan
untuk t = 3, ..., T
sehingga dari dapat ditentukan sebagai berikut
Kebebasan dari dapat dilihat dari plot ACF berikut.
Dari plot ACF dapat dilihat bahwa nilai galat berada di antara
selang kepercayaan dari uji kebebasan menggunakan plot ACF dapat
disimpulkan bahwa galat dari model GARCH(1,1) saling bebas.
4.6.Fungsi Distribusi Marginal dari Galat Model
AR(1)-N.GARCH(1,1)Berikut adalah plot galat dan yang diperoleh dari
model AR(1)-N.GARCH(1,1).
Dengan menggunakan bantuan MATLAB, diduga cukup sesuai dengan
distribusi t, dengan parameter sebagai berikut :SAHAM
Telkomsel
Indosat
Selanjutnya dilakukan fitting distribusi pada untuk mengetahui
fungsi marginalnya yang diperoleh dari model AR(1)-N.GARCH(1,1).
Dengan menggunakan bantuan easy fit diperoleh bahwa berdistribusi
t. Dengan menggunakan metode KS untuk data berukuran besarakan
diuji hipotesis bahwa berdistribusi t. Statistik uji yang digunakan
: dengan Kemudian dibangun selang kepercayaan dengan cara sebagai
berikut:for i:= 1 : NselangBangkitkan Nselang data berukuran dari
distribusi taksiran dengan parameter taksiran tersebut, misalkan
data tersebut adalah ,
Hitung endUrutkan KS(1) hingga KS(Nselang), pilih batas atas dan
batas bawah selang kepercayaan sesuai tingkat signifikansi yang
diinginkan
Dalam hal ini, digunakan 1000 nilai KS untuk membangun selang
kepercayaan, yang masing-masingnya dihitung dengan membangkitkan
1000 data dari distribusi taksiran yang telah diperoleh sebelumnya.
Dengan menggunakan uji 1 arah, diperoleh selang kepercayaan dan
statistik uji:Data Data
Selang kepercayaan
Statistik uji
Nilai ini berada pada daerah selang kepercayaan. Karena itu,
hipotesis bahwa distribusi dari berasal dari distribusi t dengan
parameter yang bersangkutan tidak ditolak.
4.7. CopulaGaussian
Gambar di atas menunjukkan fungsi likelihood maksimum yang
digunakan untuk mengestimasi matriks kovarians dari copulaGaussian.
Nilai h yang memaksimumkan fungsi likelihood adalah sebagai
berikut:Telkomsel
Indosat
Misalkan adalah nilai galat untuk Telkomsel dan adalah nilai
galat untuk Indosat yang diperoleh dari model GARCH. Dari fitting
distribusi yang telah dilakukan menggunakan metode grafis maupun
metode K-S diperoleh masing-masing F dan G adalah distribusi
students t.
Selanjutnya akan ditentukan distribusi bersyarat nilai galat
dari model sebagai berikut.
untuk mendapatkan , digunakan h taksiran yang memaksimumkan
likelihood yang telah diperoleh sebelumnya. Dengan formula yang
sama juga didapatkan . Misalkan danDiketahui rumus umum untuk dan
berupa distribusi normal dengan mean dan variansi yang diperbarui
untuk setiap hari ke-, . Berikut adalah scatter plot untuk dan
Dengan menggunakan MATLAB diperoleh histogram dari nilai dari
dan sebagai berikut. (Nilai Galat yang digunakan adalah 261)
Menurut Probability Integral Transformation (PIT), jika
transformasi memang sesuai dengan distribusi asli dari data,
kumpulan nilai-nilai fungsi distribusi kumulatif yang bersangkutan
akan mendekati distribusi Uniform(0,1).Dapat dilihat dari histogram
di atas, bahwa ada kecenderungan hasil berdistribusi uniform, namun
cenderung lebih banyak nilai yang berkumpul di ujung selang, yaitu
yang mendekati 0 dan 1.
Dengan menggunakan tes yang sama dengan ketika fitting
distribusi marginal, diperoleh:Data Data
SK 95%(0.0027, 0.0031)
(0.0049, 0.0057)
Statistik uji0.00050.0014
Karena nilai statistik uji berada di ujung selang kepercayaan
dengan tingkat signifikansi , maka ditolak hipotesis bahwa
distribusi dari nilai-nilai distribusi kumulatif berupa Copula
Gaussian mendekati distribusi uniform. Jadi data dapat dikatakan
tidak cocok dengan Copula Gaussian.
4.8 Copula Gaussian untuk BindingDengan menggunakan data dan ,
diperoleh Koefisien Korelasi Kendalls Tau . Ini berarti bahwa
data-data dan memiliki korelasi yang kuat. Diperoleh pula koefisien
korelasi Pearson Berikut adalah perbandingan dari plot data asli
dan data bangkitan berdistribusi Gaussian dengan parameter
Scatter plot ut dan vt dari data dan hasil bangkitan
Dapat dilihat, bahwa dengan parameter seperti yang tertera di
atas, Copula Gaussian tidak cukup dapat mewakili nilai-nilai data.
Lalu, dihitung pula nilai . Histogram dari nilai-nilai ini
disajikan sebagai berikut:
Histogram frekuensi copula binding
Dengan uji yang sama dengan sebelumnya, akan diuji bahwa
nilai-nilai dari berdistribusi . Diperoleh selang kepercayaan 95%:
dengan nilai statistik uji 0.0773. Nilai statistik uji berada tidak
berada di dalam selang kepercayaan. Jadi hipotesis sebelumnya
ditolak. Artinya adalah bahwa berdasarkan PIT, data dari dan tidak
sesuai dengan copula ini.
BAB V PENUTUP
5.1.KesimpulanBerdasarkan hasil simulasi yang dilakukan, dapat
disimpulkan hal-hal sebagai berikut: Hasil estimasi parameter model
AR(1) dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) pada
data harga saham Telkomsel dan Indosat adalah sebagai
berikut:Datai
Telkomsel17.733 -0.0624
Indosat21.100 -0.0175
Hasil estimasi parameter model AR(1)-N.GARCH(1,1) dengan
menggunakan bantuan MATLABpada data harga saham Telkomsel dan
Indosat adalah sebagai berikut:I
Telkomsel 19.047 0.27390.2104
Indosat22.564 0.76250.1497
Copula Gaussian dengan menggunakan model AR(1)-N.GARCH(1,1)
tidak cocok digunakan untuk menganalisis data saham Telkomsel dan
Indosat.
5.2.SaranGunakan model-model copula lainnya, baik di dalam
proses univariat maupun bivariat (binding) lalu bandingkan
masing-masing kecocokannya menggunakan ukuran seperti AIC atau
ukuran lainnya.1
