Regimen Permanente Senoidal Impresionante Apunte

Tema III: Rgimen sinusoidal permanente

Seales sinusoidales (rgimen permanente) ....................................................................... Representacin grfica de seales sinusoidales .................................................................... Caracterizacin matemtica de seales sinusoidales ............................................................. Respuesta de un circuito a una excitacin sinusoidal....................................................... Observaciones y procedimiento ............................................................................................ Identidades de Euler y nmeros complejos ....................................................................... Fasores........................................................................................................................................ Impedancias ............................................................................................................................... Caracterizacin de elementos pasivos en rgimen sinusoidal ................................................ Relaciones funcionales en rgimen sinusoidal ...................................................................... Ley de Ohm generalizada ..................................................................................................... Impedancias de elementos pasivos simples .......................................................................... Agrupacin de elementos pasivos ......................................................................................... Agrupacin de elementos activos .......................................................................................... Anlisis en rgimen sinusoidal............................................................................................... Ejemplo de anlisis por mallas ............................................................................................. Ejemplo de anlisis por nudos .............................................................................................. Induccin mutua....................................................................................................................... Caracterizacin de la autoinduccin ...................................................................................... Caracterizacin de la induccin mutua .................................................................................. Tensin total ......................................................................................................................... Tensin total en rgimen sinusoidal permanente .................................................................. Ejemplo 1 de circuito con induccin mutua .......................................................................... Ejemplo 2 de circuito con induccin mutua .......................................................................... Transformadores ...................................................................................................................... Transformador lineal ............................................................................................................... Reflexin de impedancias en un transformador lineal .......................................................... Ejemplo 1 de circuito con transformador lineal .................................................................... Ejemplo 2 de circuito con transformador lineal ....................................................................

102 102 103 104 105 106 107 108 108 108 108 109 109 110 110 111 112 113 113 114 114 114 115 116 117 118 118 119 120

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Anlisis de redes. Transparencias de clase

Transformador ideal ................................................................................................................ Reflexin de impedancias en un transformador ideal ........................................................... Ejemplo de circuito con transformador ideal ........................................................................ Circuitos con transformadores .............................................................................................. Ejemplo 1 ............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Ejemplo 3 ............................................................................................................................. Observaciones ...................................................................................................................... Potencia en rgimen sinusoidal permanente ...................................................................... Definiciones ......................................................................................................................... Valores eficaces.................................................................................................................... Caso particular ..................................................................................................................... Ejemplo 1 de clculo de potencias ........................................................................................ Ejemplo 2 de clculo de potencias ........................................................................................ Equivalente Thvenin.............................................................................................................. Equivalentes en rgimen sinusoidal permanente ................................................................... Obtencin de la impedancia equivalente ............................................................................... Desactivacin de fuentes independientes .............................................................................. Mxima transferencia de potencia ........................................................................................ Casos particulares ................................................................................................................ Equivalente Thvenin en rgimen permanente continuo........................................................ Ejemplo 1 de clculo de equivalente Thvenin ...................................................................... Ejemplo 2 de clculo de equivalente Thvenin ...................................................................... Ejemplo 3 de clculo de equivalente Thvenin ...................................................................... Ejemplos de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 1 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 2 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 3 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 4 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 5 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 6 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................ Ejemplo 7 de anlisis en rgimen sinusoidal ........................................................................

121 122 123 124 124 125 126 127 128 128 129 129 130 131 132 132 133 133 134 134 134 135 137 139 141 141 142 143 144 145 146 148

Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO


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Respuesta en frecuencia.......................................................................................................... Respuesta en frecuencia de resonadores ideales ................................................................... Caracterizacin matemtica de la respuesta en frecuencia ..................................................... Elementos reactivos y respuesta en frecuencia ...................................................................... Ejemplo 1 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 2 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 3 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 4 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 5 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 6 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 7 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 8 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 9 de respuesta en frecuencia ................................................................................... Ejemplo 10 de respuesta en frecuencia ................................................................................. Aplicacin del principio de superposicin .......................................................................... Ejemplo 1 de aplicacin del principio de superposicin ....................................................... Ejemplo 2 de aplicacin del principio de superposicin ....................................................... Ejemplo 3 de aplicacin del principio de superposicin .......................................................

150 151 152 153 154 156 157 158 160 161 162 164 165 166 167 168 170 172


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Seales sinusoidales (rgimen permanente)Inters prctico del rgimen sinusoidal permanente

Muchos circuitos funcionan en rgimen sinusoidal permanente (una o varias frecuencias)

En circuitos lineales seales no sinusoidales pueden ser tratadas como combinaciones lineales de seales sinusoidales (principio de superposicin)

Representacin grfica de seales sinusoidalesa(t) = A mcos(t + ) Am Variacin con el tiempo de la seal (a: corriente, tensin) en un punto dado de un elemento de circuito T - / T - Amelemento pequeo (teora de circuitos)

t

a(x)

Variacin con la distancia de la seal (a: corriente, tensin) en los puntos de un elemento de circuito en un instante dado

Am

x - Amelemento grande (teora de lneas de transmisin)



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Caracterizacin matemtica de seales sinusoidalesSmbolo a Am T=1 f f=1 T = 2f =c f c Corriente, tensin Mdulo, amplitud Periodo; separacin temporal entre dos instantes en los que las condiciones (valor y derivada) son idnticas Frecuencia Frecuencia angular Fase Longitud de onda; separacin longitudinal entre dos puntos en los que las condiciones (valor y derivada) son idnticas Velocidad de la luz en el elemento (en vaco, c = 3x108 m/s) Significado Dimensiones A, V A, V s

Hz, s-1 rad/s, s-1 rad, m

m/s

f, T, , y c son siempre positivos. Am puede ser positivo o negativo. Pero, recordando que - A m cos(t + ) = A m cos(t + + 180 ) es habitual considerar que el mdulo siempre es positivo e introducir, en su caso, una fase adicional de 180 . puede ser positiva o negativa. Debe tomarse la precaucin de expresar el argumento de la funcin coseno en unidades homogneas (radianes o grados). En rgimen permanente los valores de Am, f y permanecen constantes durante mucho tiempo (t >> T).


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Respuesta de un circuito a una excitacin sinusoidalt=0 R vg(t) i L

El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios. Se desea obtener la respuesta del circuito para t > 0. Son datos los valores de Vm, , v, R y L. Para t > 0 se tiene

v g(t) = V mcos(t + v)

Vmcos(t + v) = Ri + L di dt

Ecuacin diferencial que caracteriza la evolucin temporal de i para t > 0

La solucin de una ecuacin diferencial como la indicada es de la forma i(t) respuesta=

- I mcos( i)e -t/ transitorio (desaparece para t > 5) Im = Vm R2 + (L) 2

+

Imcos(t + i) permanente

=

+

, i = v - arctg L R



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Observaciones y procedimientoLas siguientes observaciones se deducen del ejemplo anterior, pero tienen validez general.Componente transitoria (desaparece).

Respuesta a una excitacin sinusoidal que se aplica bruscamente

No se considerar.

Componente permanente (no desaparece). Slo se considerar esta componente. La frecuencia de la respuesta es igual a la de la excitacin El mdulo y la fase de la respuesta dependen de las caractersticas de la excitacin y de los elementos del circuito

El objetivo del anlisis en rgimen sinusoidal permanente es obtener el mdulo y la fase de la respuesta

ProcedimientoLos elementos pasivos se tratan como impedancias

Las magnitudes fundamentales se tratan mediante fasores

Identidades de Euler Nmeros complejos Tcnicas de anlisis: mallas, nudos


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Identidades de Euler y nmeros complejosSean a y b dos nmeros reales cualesquiera. Un nmero complejo, z, construido a partir de tales nmeros puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes, que son todas equivalentes entre s: z = a + jb ke j k kcos() + jksen() siendo unidad de los nmeros imaginarios mdulo de z fase de z parte real de z parte imaginaria de z complejo conjugado de z j= -1 k = a2 + b2 = arctg b a Re z = a kcos() kRe e j Re ke j Im z = b ksen() kIm e j Im ke j z * a - jb ke -j zz * = k 2 = a 2 + b 2

Sean z 1 = k 1e j1 = a + jb y z 2 = k 2e j2 = c + jd dos nmeros complejos. Se verifica z 1z 2 = (k 1k 2) 1 + 2 = (ac - bd) + j(ad + bc) z1 k = 1 z2 k2 = (a + jb) (c - jd) = (ac + bd) + j(bc - ad) (c + jd) (c - jd) c2 + d2 1 2



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FasoresUn fasor es una magnitud (compleja, en general) que se asocia a una magnitud temporal de acuerdo con el siguiente esquema: Seal sinusoidal de frecuencia (corriente, tensin) a(t) = A mcos(t + ) da(t) dt fasor

A A A me j jA

Fasor

No tiene entidad real

Las magnitudes de potencia y energa carecen de fasores asociados

Combina en un solo nmero la informacin de mdulo y fase de la seal a la que est asociado

Las tcnicas de anlisis estn diseadas para obtener los fasores asociados a las magnitudes de inters

Obtenido un fasor, la expresin temporal (que es lo nico que tiene entidad real) correspondiente se determina como sigue: a(t) = A mRe e j(t + ) = Re A me j(t + ) = = Re A me je jt = Re Ae jt


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ImpedanciasCaracterizacin de elementos pasivos en rgimen sinusoidalElemento (R, L, C) Corriente y tensin reales (expresiones temporales) v(t) = V mcos(t + v) i(t) i(t) = I mcos(t + i) I = I me ji Fasores asociados V = V me jv

+ v(t) -

Relaciones funcionales en rgimen sinusoidalElemento Relacin funcional v(t) = Ri(t) v(t) = Ldi(t) dt i(t) = Cdv(t) dt Relacin funcional en expresin fasorial V = RI, I = V R V = jLI, I = V jL I = jCV, V = I jC Relacin entre fases v = i v = i + 90 v = i - 90

R L C

Las relaciones funcionales estn afectadas por un signo menos si la relacin entre la polaridad de la tensin y el sentido de la corriente no es la indicada.

Ley de Ohm generalizadaLa relacin funcional de cualquier elemento pasivo en rgimen sinusoidal puede expresarse como V = ZI = I , I = YV = V , Y 1 Y Z Z



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Impedancias de elementos pasivos simplesElemento Z (impedancia) Y (admitancia) 1 R 1 = -j jL L jC

R L C

R jL 1 = -j jC C

Agrupacin de elementos pasivosEn rgimen sinusoidal se puede agrupar elementos pasivos de distinta naturaleza. Agrupacin en serie Agrupacin en paralelo 1 = 1 + 1 + ... + 1 Z eq Z 1 Z 2 Zn Yeq = Y 1 + Y 2 + ... + Y n

Z eq = Z 1 + Z 2 + ... + Z n 1 = 1 + 1 + ... + 1 Yeq Y1 Y2 Yn

La agrupacin de elementos de distinta naturaleza da origen a impedancias (admitancias) complejas, con lo que, en general, Impedancia: Z[] = R + jX R[]: resistencia X[]: reactancia Admitancia: Y[S] = G + jB G[S]: conductancia B[S]: susceptancia


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Agrupacin de elementos activosAgrupacin de fuentes de corriente en paralelo (suma algebraica) I eq = I 1 + I 2 + ... + I n Agrupacin de fuentes de tensin en serie (suma algebraica) V eq = V 1 + V 2 + ... + V n

Fuentes independientes, de idntica naturaleza y de la misma frecuencia.

Anlisis en rgimen sinusoidalEl circuito se caracteriza en trminos de fasores e impedancias. Pueden aplicarse las leyes de Kirchhoffk=n k=1

V k = 0 (suma algebraica; n: nmero de elementos en una malla)k=n k=1

I k = 0 (suma algebraica; n: nmero de elementos en un nudo)

o procedimientos derivados de aqullas. Agrupacin de elementos. Divisores. Circuitos equivalentes. Anlisis por mallas o por nudos. Si el circuito es lineal, se puede aplicar el principio de superposicin. Obtenidos los fasores correspondientes a las corrientes y tensiones de inters, se deducen las correspondientes expresiones temporales.



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Ejemplo de anlisis por mallasig(t) RL RC

Rig(t) R2

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener la expresin temporal de la potencia en R2. Vm = 1.41 V, = 1 Mrad/s, v = 45 R = 1 , RL = 3 , RC = 1 , R2 = 1 L = 1 H, C = 1 F

vg(t) L C

v g(t) = V mcos(t + v) Caracterizacin en trminos de fasores e impedancias. Simplificacin del circuito.RI g Ig Vg I1 Z I2 R2

V g = V me jv = 1 + j V Z L = R L + jL = 3 + j Z C = RC + 1 = 1 - j jC 1 = 1 + 1 Z = Z LZ C = 1 - j0.5 Z ZL ZC Z L + ZC V g = I 1Z - I 2 Z 0 = - I 1Z + I 2(Z + R 2) + I gR

Ecuaciones de malla

Ecuacin adicional para la fuente dependiente

Ig = I 1

Resolviendo el sistema formado por las tres ltimas ecuaciones se obtiene I 2 = 0.3 - j0.1 A i 2(t) = Re I 2e jt = 0.32cos 10 6t + arctg(- 0.33) A (t en s) V 2 = R 2I 2 = 0.3 - j0.1 V v 2(t) = Re V 2e jt = 0.32cos 10 6t + arctg(- 0.33) V (t en s) p 2(t) = v 2(t)i 2(t) = 0.1cos 2[10 6t + arctg(- 0.33)] W (t en s)


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Ejemplo de anlisis por nudosig(t) RL RC

Rig(t) R2

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener la expresin temporal de la potencia en R2. Vm = 1.41 V, = 1 Mrad/s, v = 45 R = 1 , RL = 3 , RC = 1 , R2 = 1 L = 1 H, C = 1 F

vg(t) L C

v g(t) = V mcos(t + v) Caracterizacin en trminos de fasores e impedancias. Simplificacin del circuito.VZ Ig Vg Z RIg I2 R2

V g = V me jv = 1 + j V Z L = R L + jL = 3 + j Z C = RC + 1 = 1 - j jC 1 = 1 + 1 Z = Z LZ C = 1 - j0.5 Z ZL ZC Z L + ZC Ig = VZ + I2 Z

Ecuacin de nudo Ecuaciones adicionales para las fuentes

V Z = V g, V Z = RI g + R 2I 2

Resolviendo el sistema formado por las tres ltimas ecuaciones se obtiene I 2 = 0.3 - j0.1 A i 2(t) = Re I 2e jt = 0.32cos 10 6t + arctg(- 0.33) A (t en s) V 2 = R 2I 2 = 0.3 - j0.1 V v 2(t) = Re V 2e jt = 0.32cos 10 6t + arctg(- 0.33) V (t en s) p 2(t) = v 2(t)i 2(t) = 0.1cos 2[10 6t + arctg(- 0.33)] W (t en s)



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Induccin mutuaEn continua no hay induccin mutua El campo magntico es constante porque la corriente tambin lo es Ley de Faraday-Henry La tensin inducida es proporcional a la variacin del campo magntico Ley de Ampre Una corriente tiene un campo magntico asociado

Tensin en una inductancia

Tensin autoinducida Originada por la corriente que circula por la inductancia

Tensin por induccin mutua Originada por las corrientes que circulan por otras inductancias

Dos bobinas acopladas (L1, L2) se caracterizan por coeficiente de acoplamiento, k 0k1 coeficiente de induccin mutua, M[H] M = + k L1L2

Caracterizacin de la autoinduccini' + i vL v 'L L - +' v L = L di = - Ldi = - v 'L dt dt


114


Caracterizacin de la induccin mutuaSi la corriente entra en (sale de) una de las bobinas por el terminal marcado con el punto, la tensin inducida en la otra bobina es positiva (negativa) en el terminal marcado con el punto.i1 '

i2 M L1 L2 + v2M v ' 2M + i'2

+

di di ' v 1M = M 2 = - M 2 = - v '1M dt dt di di ' v 2M = M 1 = - M 1 = - v '2M dt dt

v 1Mv1M + i'1

Tensin totalEn L1 v 1 = v 1L + v 1M = v 1L - v '1M = = - v '1L + v 1M = - v '1L - v '1M = - v '1 En L2 v 2 = v 2L + v 2M = v 2L - v '2M = = - v '2L + v 2M = - v '2L - v '2M = - v '2

Tensin total en rgimen sinusoidal permanenteEn L1 V 1 = V 1L + V 1M = V 1L - V '1M = = - V '1L + V 1M = - V '1L - V '1M = - V '1 En L2 V 2 = V 2L + V 2M = V 2L - V '2M = = - V '2L + V 2M = - V '2L - V '2M = - V '2

La impedancia asociada a la induccin mutua es jM



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Ejemplo 1 de circuito con induccin mutuaM 34 VG L3 I2 C1 R1 C2 R2 L4 R3 M45 L5 I3 IS C3

M 12 L1 I1

L2

+ VS -

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular . Se desea obtener los fasores correspondientes a las corrientes de malla. VG = 35 + j77 V, IS = 1 A R1 = 100 , R2 = 10 , R3 = 15 L 1 = 4 , L 2 = 9 , L 3 = 1 , L 4 = 25 , L 5 = 25 M12 = 4 , M34 = 3 , M45 = 20 (C1)-1 = 5 , (C2)-1 = 7 , (C3)-1 = 10 0 = I1 1 + jL + jL + R - I R 1 2 1 2 1 jC 1 malla 1 sin induccin mutua - V G = - I 1R 1 + I 2 R 1 + jL 3 + I 1jM 12 L1 en L2 1 +R +V 2 S jC 2 + I 1jM 12 L2 en L1 I 3jM 34 L4 en L3 + I 3jM 45 L4 en L5 + I 3jM 45 L5 en L4

malla 2 sin induccin mutua V S = I 3 jL 4 + R 3 + jL 5 + 1 jC 3 + I 2jM 34 L3 en L4

malla 3 sin induccin mutua

Ecuacin adicional para la fuente de corriente IS = I 3 - I 2 Resolviendo el sistema formado por las cuatro ecuaciones se obtiene I 1 = - 2 A, I 2 = - 2 A, I 3 = - 1 A


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Ejemplo 2 de circuito con induccin mutuaR1 VG L1 I1 M L2 + R2 L3 V2 I2 -

Se desea obtener los valores de k y V2. VG = 9 + j30 V R1 = 3 , R2 = 5 L 1 = 1 , L 2 = 4 , L 3 = 1 M = 1

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular .

k=

M = 0.5 (L 1)(L 2) I 1jM L1 en L2 + (I1 - I 2)jM L2 en L1

V G = I 1(R 1 + jL 1 + jL 2) - I 2jL 2 malla 1 sin induccin mutua 0 = - I 1jL 2 + I 2(jL 2 + R 2 + jL 3) malla 2 sin induccin mutua

I 1jM L1 en L2

Resolviendo el sistema formado por las dos ltimas ecuaciones se obtiene I 1 = 5 + j5 A, I 2 = j3 A con lo que V 2 = (I 1 - I 2)jL 2 - I 1jM = - 3 + j15 V Obsrvese que se obtendra el mismo resultado si se hace V 2 = I 2(R 2 + jL 3) = - 3 + j15 V



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TransformadoresSon dispositivos que incluyen dos inductancias acopladas electromagnticamente (es decir, estn afectadas por un fenmeno de induccin mutua).transformador excitacin + otros elementossecundario primario

otros elementos

Esquema general de un circuito con transformador

bobinas acopladas

Un transformador modifica las condiciones en las que una excitacin afecta a una carga (conjunto de elementos pasivos) con relacin a las que existen en ausencia de aqul. Un transformador no funciona como tal en continua, ya que en tales condiciones no hay fenmenos de induccin mutua. Las inductancias que lo constituyen se comportan como cortocircuitos. Una aplicacin de los transformadores es eliminar la componente continua en una seal que incluye esa componente adems de otras.


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Transformador linealEl transformador lineal est constituido exclusivamente por dos bobinas afectadas por un fenmeno de induccin mutua como el ya considerado. Esquema general de un circuito con un transformador lineal (rgimen sinusoidal)

excitacin

VG

IG

M L1 L2 ZL

Z G: impedancia asociada a la excitacin Z 1: impedancia de prdidas asociada al primario del transformador Z 2: impedancia de prdidas asociada al secundario del transformador Z L: impedancia de carga

Reflexin de impedancias en un transformador linealUtilizando la siguiente nomenclatura Impedancia total en el circuito del secundario Impedancia reflejada en el primario Impedancia total en el circuito del primario (excluida la excitacin) Z S = Z L + Z 2 + jL 2 Z R = (M) ZS2

carga

ZG

Z1

Z2

Z P = Z R + jL 1 + Z 1

puede demostrarse que se verifica (independientemente de las posiciones de los puntos en las bobinas) VG = IG(ZG + ZP ) Obsrvese que el transformador altera las condiciones en que la excitacin ve la carga. Si no estuviera el transformador (con sus impedancias de prdidas asociadas), lo que vera la excitacin sera VG = IG(ZG + ZL) teniendo IG valores diferentes en ambos casos.



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Ejemplo 1 de circuito con transformador linealZG M VG L1 C2 L2 ZL + VL Se desea obtener VL. VG = 1 + j V Z G = 0.75 , ZL = 1 + j L 1 = 1 , L 2 = 1 , M = 0.5 C2 = 1 S

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular .

El circuito puede ser resuelto como en cualquiera de los casos de circuitos con induccin mutua considerados anteriormente. Un procedimiento alternativo es el que se detalla seguidamente. Se utilizan las propiedades de reflexin de impedancias para obtener la corriente en el circuito del primario. Obsrvese que, por estar afectada por induccin mutua, L 2 no est en paralelo con C2 y ZL, sino en serie. ZG VG IG Z S = jL 2 +2

Z

1 // Z = 1 L jC 2

Z R = (M) = 0.25 , Z = jL 1 + Z R = 0.25 + j ZS V G = I G(Z G + Z) I G = 1 A Por otro lado, considerando el circuito completo (agrupando impedancias en el secundario) la ecuacin correspondiente a la parte que incluye el secundario es 1 = jC + 1 Z = 1 - j 2 2L Z 2L ZL 0 = I GjM + I 2(jL 2 + Z 2L) I 2 = - j0.5 A En consecuencia, VL = I2Z 2L = - 0.5 - j0.5 V

L2 M I2

Z2L

+ VL -


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Ejemplo 2 de circuito con transformador linealZ1 VG I1 L1 M12 L2 Z2 I2 M23 L3 I3 Z3

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular . Se desea obtener las corrientes de malla y la impedancia total del circuito del secundario.

VG = - j54 V Z 1 = 2 - j4 , Z2 = 8 - j65 , Z3 = 23 - j36 L 1 = 4 , L 2 = 9 , L 3 = 36 M12 = 4 , M23 = 10 VG = I1(Z1 + jL 1) + I2jM12 0 = I2(jL 2 + Z2 + jL 3) - I3jL 3 + I1jM12 + I2jM23 + (I2 - I3)jM23 0 = - I2jL 3 + I3(jL 3 + Z3) - I2jM23 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene I1 = - j25 A, I2 = - 1 A, I3 = - j2 A

La impedancia total del circuito del secundario podra ser calculada agrupando las impedancias que aparecen en aqul. Sin embargo, esto es difcil por la presencia de fenmenos de induccin mutua. Un procedimiento alternativo es el que se detalla seguidamente. Aplicando reflexin de impedancias se tiene V G = I 1(Z 1 + jL 1 + Z R) Z R = 0.16 ZR = (M 12) 2 Z S = 100 ZS



121

Transformador idealEs un transformador lineal llevado al lmite: k = 1, L1 = H = L2 Pese a estas condiciones extremas, los transformadores ms utilizados en la prctica suelen aproximarse al tipo ideal (es posible obtener valores de k superiores a 0.99 y valores de inductancia suficientemente altos). La condicin sobre el valor de las inductancias impide aplicar el tratamiento matemtico correspondiente a otros fenmenos de induccin mutua. A cambio, y suponiendo que el transformador est constituido por dos bobinas, se utiliza la relacin de transformacin definida como n a = n21

ni: nmero de espiras de la bobina i (i = 1, 2)i1 - + v '1 v1 + i'1 1:a i2 -

1/a:1

+ v2 v ' - +2 i'2

El transformador ideal se denota con dos rayas entre las bobinas, e indicando la relacin de transformacin (en cualquiera de las dos formas mostradas en la figura)

Las tensiones engloban los fenmenos de autoinduccin y de induccin mutua. Se verifica v2 i =a= 1 v1 i2 La relacin de tensiones (corrientes) es positiva (negativa) si ambas tienen la misma polaridad en los puntos (si ambas entran o salen simultneamente por los puntos). v 2 = av 1 = - av '1, v '2 = av '1 = - av 1 En rgimen sinusoidal permanente V 2 = aV 1 = - aV '1, V '2 = aV '1 = - aV 1 I 1 = - aI 2 = aI '2, I '1 = - aI '2 = aI 2

i1 = - ai 2 = ai '2, i '1 = - ai '2 = ai 2


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Reflexin de impedancias en un transformador idealexcitacin carga

ZG VG IG

1:a ZL

Esquema general de un circuito con transformador ideal (rgimen sinusoidal)

Z G: impedancia asociada a la excitacin Z L: impedancia de carga

Utilizando la siguiente nomenclatura Impedancia reflejada en el primario ZR = ZL a2

puede demostrarse que se verifica (independientemente de las posiciones de los puntos en las bobinas) VG = IG(ZG + ZR) Obsrvese que el transformador altera las condicionesen que la excitacin ve la carga. Si no estuviera el transformador, lo que vera el transformador sera VG = IG(ZG + ZL) teniendo IG valores diferentes en ambos casos.



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Ejemplo de circuito con transformador idealR1 Ia VG 1:a1 1/a2:1 + R2 V2 Ib + V3 + R3 V4 I c IS + VS -

+ V1 -

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener el valor de VS . VG = 600 V, IS = 12 A, a1 = 6, a2 = 0.33 R1 = 24 , R2 = 18 , R3 = 2

Ecuaciones de malla

VG = IaR1 + V1 V2 = IbR2 + V3 V4 = IcR3 + VS Ic = - IS V2 = a1V1, Ia = a1Ib V4 = - a2V3, Ib = - a2Ic

Ecuacin adicional para la fuente de corriente Ecuaciones de los transformadores

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VS = 0 V Cada transformador ideal introduce dos ecuaciones adicionales en el anlisis.


124


Circuitos con transformadoresEjemplo 1R VG I1 bVL 1:a R I2 C L M L R I3 C ZL + VL -

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular . Son datos las caractersticas de todos los elementos y el valor de la frecuencia. Se desea formular un sistema de ecuaciones que caracterice completamente el circuito. Que el circuito quede completamente caracterizado significa que se conozcan las corrientes y las tensiones en todos los elementos. Para obtener estas magnitudes puede plantearse un sistema con las ecuaciones de malla, la ecuacin adicional de la fuente dependiente y las adicionales del transformador ideal. Pero, haciendo uso de las propiedades de reflexin de impedancias, puede plantearse un sistema ms sencillo, como es el siguiente.(M)2 V G = R + 1 R + jL + 1 + I 1 + bZ LI 3 jC R + jL + 1 + Z a2 L jCimpedancia reflejada en el primario del lineal impedancia reflejada en el primario del ideal

I1 = aI2 0 = I 3 R + jL + 1 + Z L + I 2jM jC Conocidas las corrientes, es posible determinar cualquier otra magnitud.



125

Ejemplo 2R1 VG IG L2 R2 M I1 + V1 1:a + V2 -

L1 C

I2

Z IS

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular . Son datos las caractersticas de todos los elementos y el valor de la frecuencia; en particular, a = 0. Se desea obtener los valores de IG, I2 y V1.

V2 = aV1 = 0 V a = 0 I1 = - aI2 = 0 A

El secundario del ideal es un cortocircuito El primario del ideal es un circuito abierto

El cortocircuito cancela el efecto de Z (el paralelo de un cortocircuito con cualquier impedancia es el propio cortocircuito). No hay efecto inductivo de L2 en L1 I1 = 0 A No hay cada de tensin en R2 R1 VG IG L2 + M V1 -

L1 C

+ V2 -

I2 IS I2 = IS

En las condiciones indicadas el circuito queda como se muestra en la figura.

IG =

VG R 1 + jL 1 + 1 jC

V 1 = - I GjM + I G jL 1 + 1 jC


126


Ejemplo 3Z IG + V1 1:a + R V2 I 2 L M L IS VS C

I1

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular . Son datos las caractersticas de todos los elementos y el valor de la frecuencia; en particular, a = . Se desea obtener los valores de I1, IS y V2.

a=

V V 1 = a2 = 0 V I1 I2 = - a = 0 A

El primario del ideal es un cortocircuito El secundario del ideal es un circuito abierto

El cortocircuito cancela el efecto de Z. I2 = 0 A + V1 + V2 -

No hay cada de tensin en RL M L IS VS C

I1 IG

En las condiciones indicadas el circuito queda como se muestra en la figura. I1 = IG

VS V S = I S 1 + jL + jL - I SjM - I SjM I S = jC 1 + j2L - j2M jC V 2 = I SjL - I SjM



127

ObservacionesNo se puede reflejar impedancias en un transformador (lineal o ideal) cuando Los circuitos del primario y el secundario comparten uno o ms elementos. Hay una fuente (dependiente o independiente) en la parte del circuito que se pretende reflejar en la otra.

Que la corriente sea nula en un elemento no implica que la tensin en l tambin haya de serlo.


128


Potencia en rgimen sinusoidal permanenteDefiniciones+ + V v(t) - i(t) I + + V v(t) - i(t) I

Z = R +jX fuente

Z = R +jX fuente

Potencia instantnea (potencia real) [W] Potencia compleja [VA, voltio-amperio] Potencia aparente [VA, voltio-amperio] Potencia media [W] Potencia reactiva [VAR, voltio-amperio reactivo] Potencia media en una impedancia resistiva pura Z=R Potencia reactiva en una impedancia reactiva pura Z = jX S, P y Q no son fasores.

p(t) = v(t)i(t) = = Re Ve jt Re Ie jt S = VI = P + jQ 2* S = VI = P + jQ 2 *

p(t) = - v(t)i(t) = = - Re Ve jt Re Ie jt S = - VI = P + jQ 2* S = - VI = P + jQ 2 *

P = Re{S} Q = Im{S} V 2 I 2R = 2 2R

P = Re{S} Q = Im{S} V 2 I 2R = 2 2R

P=

P=

V 2 I 2X Q= = 2 2X

V 2 I 2X Q= = 2 2X

p(t) Re Se jt



129

Valores eficacesValor eficaz de una funcin f(t) de periodo T F eff = 1 T f(t)dtT

En rgimen sinusoidal permanente

Tensin eficaz Corriente eficaz Fasor eficaz de tensin Fasor eficaz de corriente Potencia compleja

Veff =

Vm V = 2 2 I Im Ieff = = 2 2 V eff = V 2 I eff = I 2 S eff = V effI * eff

Tambin se utiliza rms (root mean square, valor cuadrtico medio) en vez de eff.

Caso particular+ v(t) -

v(t) = V mcos(t + )i(t)

i(t) = I mcos(t) cos(): factor de potencia V mI m sen() 2

Z = R +jX

P=

V mI m cos() 2

Q=

p(t) = P + Pcos(2t) - Qsen(2t) Z = R ( = 0 ) p(t) = P + Pcos(2t) 0 W para todo t Z = jL ( = 90 ) p(t) = - Qsen(2t) Z = - j ( = - 90 ) p(t) = - Qsen(2t) C En general, la frecuencia de la potencia es el doble de la excitacin, una resistencia siempre absorbe energa, y una inductancia y una capacidad absorben y liberan energa.


130


Ejemplo 1 de clculo de potencias+ VG + VL1 IG L2 R2 Ib + V2 1:a R3 + V3 I c -

Ia VS

M L1

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener las potencias instantnea, compleja, media y reactiva en la bobina del primario del transformador lineal. VS = 2 + j2 V, IG = - j2 , = 100 krad/s R2 = 5 , R3 = 4 L 1 = 10 H, L2 = 50 H, M = 10 H, a = 2

Ecuaciones de malla

VS = IajL 1 + IbjM - VG = IajM + Ib(jL 2 + R2) + V2 V3 = IcR3 Ib = IG Ib = - aIc, V3 = - aV2

Ecuacin adicional para la fuente de corriente Ecuaciones del transformador ideal

I a = 2 A i a(t) = Re I ae jt = 2cos(10 5t rad) A, t en s; I b = - j2 A; I c = j A I ajL 1 + I bjM = V L1 = V S = 2 + j2 V v L1(t) = Re V L1e jt = 2 2cos(10 5t + rad) V, t en s 4 p L1(t) = v L1(t)i a(t) = 4 2cos(10 5t rad)cos(10 5t + rad) W, t en s 4 S= V L1I * a = 2 + j2 VA, P = Re S = 2 W, Q = Im S = 2 VAR 2



131

Ejemplo 2 de clculo de potenciasZ1 VG IG 1:a Z2

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona a una frecuencia angular conocida. Se desea obtener las potencias instantnea, compleja, media y reactiva en la fuente.

VG = 2 - j2 V, a = 10 Z 1 = 1 , Z2 = - j100

Reflejando impedancias en el transformador, VG = IG Z 1 + Z2 IG = 2 A a2

V G = 2 - j2 V v G(t) = Re V Ge jt = 2 2cos(t - 45 ) V I G = 2 A i G(t) = Re I Ge jt = 2cos(t) A p G(t) = - v G(t)i G(t) = - 4 2cos(t - 45 )cos(t) W V GI * G = - 2 + j2 VA, P = Re S G = - 2 W, Q = Im S G = 2 VAR 2

SG = -


132


Equivalente ThveninDado un circuito, su comportamiento hacia el exterior desde la perspectiva de dos cualesquiera de sus terminales puede ser caracterizado indistintamente mediante el circuito equivalente de Thvenin o el circuito equivalente de Norton. Un circuito tiene tantos equivalentes (de Thvenin o Norton) distintos como pares distintos de terminales se elijan en l.

Equivalentes en rgimen sinusoidal permanenteCircuito original Ha de especificarse el orden de los terminales; en este caso, de a a b Equivalente de Thvenin El positivo de la fuente apunta al terminal citado primero (a) Equivalente de Norton La corriente sale de la fuente hacia el terminal citado primero (a)

a circuito b

ZTh VTh

a b IN

ZTh

a b

El equivalente queda completamente definido cuando se conocen dos de las tres magnitudes que se citan seguidamente. VTh IN Generador equivalente de Thvenin. Es igual a la tensin entre a y b cuando estn en circuito abierto. Generador equivalente de Norton. Es igual a la corriente que circula desde a hacia b cuando ambos estn en cortocircuito. Impedancia equivalente de Thvenin. Z Th = V Th IN

Z Th



133

Obtencin de la impedancia equivalenteAdems del procedimiento general indicado anteriormente, hay otras dos posibilidades para obtener la impedancia equivalente de Thvenin. El circuito no contiene fuentes dependientes Se desactivan las fuentes independientes Se calcula la impedancia total entre a y b (Zab) Z Th = Zab El circuito contiene fuentes dependientes Se desactivan las fuentes independientes Se aplica un generador auxiliar Vaux entre a y b (positivo en a) Se calcula la corriente Iaux que proporciona tal generador (saliente por a) Z Th = V aux I aux

Desactivacin de fuentes independientesFuente de tensin Se sustituye por un cortocircuito Fuente de corriente Se sustituye por un circuito abierto


134


Mxima transferencia de potenciaZ Th = R Th+ jXTh

Z L = R L + jX L

a

A un circuito caracterizado por su equivalente Thvenin se le conecta una carga ZL.

VTh b

Si Z L = Z * R L = R Th, X L = - X Th Th

la potencia media en la carga es la mxima posible, y vale P L = P max = V Th 2 8R Th

Casos particularesRL y XL no pueden tomar valores cualesquiera, sino unos fijados previamente La fase de ZL no puede ser cualquiera, sino una fijada previamente

Se escoge el valor de XL lo ms prximo posible a - XTh Se escoge el valor de RL lo ms prximo posible a R 2 + (X L + X Th) 2 Th

Se escoge Z L lo ms prximo posible a Z Th

En ninguno de los dos casos se obtiene la mxima potencia media en la carga, pero s la mxima posible en funcin de las restricciones indicadas.

Equivalente Thvenin en rgimen permanente continuoVale todo lo que se acaba de indicar con las siguientes excepciones: Se hace referencia a fuentes reales y no a fasores. No hay impedancias, sino slo resistencias. La resistencia de carga para mxima transferencia de potencia es RL = RTh. La mxima potencia posible en la carga es V2 P max = Th 4R Th



135

Ejemplo 1 de clculo de equivalente Thveninx VG M I1 L1 L2 I2 C + V2 y 1:a + I3 V3 - L 3

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial (I1, I2 e I3 son corrientes de rama), funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener el equivalente Thvenin entre x e y.

VG = j5 V, = 100 krad/s, a = 2 L 1 = 40 H, L2 = 20 H, L3 = 160 H M = 10 H, C = 5 F

Clculo de la tensin de circuito abiertoI2 L2 M I1 L1 C + V2 -

x VG

y 1:a + I3 V3 - L 3

Se considera el circuito tal y como est. Obsrvese que, desde la perspectiva externa, los terminales x e y estn en circuito abierto. I1 = 1 A I2 = 1 A I3 = 0.5 A

V G = I 1jL 1 + I 2jM V G = I 1jM + I 2 jL 2 + 1 + V 2 jC V 3 = I 3jL 3 V 3 = aV 2, I 2 = aI 3 V Th V xy = I 2 jL 2 + 1 + I 1jM = j V jC


136


Clculo de la corriente de cortocircuito Obsrvese que el cortocircuito no cancela los elementos con los que est en paralelo. Ello se debe al efecto de induccin mutua de L1 en L2; genera una tensin, que origina una corriente no nula. Obsrvese que las corrientes y tensiones ahora son distintas de las que haba al calcular la tensin VTh. I1 = 0 A I2 = 5 A IP = 5 A 4

x VG

IN L2 M L1

I2 C + V2 IP -

y 1:a

I1

+ I3 V3 - L 3

0 V = V xy = I 2 jL 2 + 1 + I 1jM jC V G = I 1jL 1 + I 2jM IP = V - V xy V2 = G jL 3 jL 3 a2 a2 I N = I P - I 2 = - 15 A 4

Circuito equivalente de Thvenin VTh = j VZ Th VTh x y

I N = - 15 A 4 Z Th = V Th =-j4 IN 15



137

Ejemplo 2 de clculo de equivalente ThveninZ M IG L L ZL Z bVL 1:a R + VL -

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea determinar el valor que ha de tener ZL para que en tal impedancia se disipe la mxima potencia media posible, sabiendo que, para realizarla, slo se dispone de impedancias de mdulo entero y 45 de fase. IG = - j5 A, a = 2, b = 0.25 R = 1 , L = 2 , M = 1 , Z = 1 - j2 Puesto que se hace referencia a mxima potencia media posible, la solucin consistir en la obtencin de la impedancia equivalente de Thvenin. El clculo se hace prescindiendo de ZL, ya que es la impedancia a determinar. Dado que slo interesa hallar la impedancia de Thvenin, no es necesario aplicar el procedimiento general para calcular el equivalente. Ya que el circuito contiene una fuente dependiente, se utiliza el procedimiento consistente en desactivar fuentes independientes y aplicar un generador auxiliar. En consecuencia, el circuito a considerar es el mostrado en la figura que sigue. x 1:a bVL + + + R Z V2 VL V3 I L I2 aux Vauxy La desactivacin de la fuente de corriente (sustitucin por un circuito abierto) hace que no circule corriente por el primario del transformador lineal, con lo que no hay efectos de induccin mutua en ste.


138


En el clculo de impedancias de Thvenin es indiferente el orden de los terminales entre los que ha de conectarse. En este caso se elige arbitrariamente el orden xy, con lo que el positivo del generador auxiliar apunta hacia x y la corriente correspondiente ha de salir por este terminal (es decir, el sentido de Iaux est determinado unvocamente). Se mantiene la indicacin de VL, puesto que denota la tensin entre x e y. En el circuito se verifica (obsrvese la posicin de a en el transformador ideal) VL = Vaux 0 = I2(jL + Z) - bVL + V2 Vaux = IauxR + V3 V3 = - aV2, I2 = aIaux Se trata de un sistema de cinco ecuaciones con seis incgnitas (dos corrientes y cuatro tensiones). Puede superarse esta dificultad asignando un valor (cualquiera) a Vaux, pero tambin puede manipularse el sistema para eliminar las restantes incgnitas y llegar a la relacin R V aux a(jL + Z) + a Z Th = = = 3.33 I aux 1 b+ a Dependiendo de los valores que se asignen a Vaux, as sern los obtenidos para Iaux, pero el cociente entre ambas es idntico en cualquier caso Para obtener la mxima potencia media posible, habra que hacer Z L = Z * = 3.33 Th Sin embargo, el enunciado indica que slo se dispone de impedancias del tipo 1 45 , 2 45 , 3 45 , 4 45 , ... En este caso, y siguiendo las recomendaciones indicadas anteriormente para el caso de limitacin en fase de las impedancias disponibles, se eligir la impedancia cuyo mdulo est ms prximo al resultante del clculo. En consecuencia, Z L = 3 45 = 2(1.5 + j1.5)



139

Ejemplo 3 de clculo de equivalente ThveninR M VG L ZL L C 1:a R

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea determinar el valor de ZL para obtener en ella la mxima potencia media posible.

VG = 4 - j2V, = 1 Mrad/s, a = 2 R = 1 , L = 1 H, M = 0.5 H, C = 1 F

Para realizar la impedancia de mxima transferencia de potencia slo se dispone de impedancias cuyas partes reales e imaginarias nicamente pueden ser mltiplos enteros de 0.4 . Hay que calcular la impedancia equivalente de Thvenin prescindiendo de ZL. Se utilizar el procedimiento consistente en desactivar la fuente independiente (sustituirla por un cortocircuito) y agrupar impedancias (no hay fuentes dependientes). En el proceso de agrupar impedancias se utilizarn las propiedades de reflexin de impedancias (obsrvese la disposicin del transformador ideal). R M L1:a R

L

C

1:a R

x y

L

C ZR1

x y

2 Z R1 = (M) = 0.25 R + jL 1 + j

R ZR2

x y

Z R2 = a 2 Z R1 + jL + 1 = 1 jC 1 + j

La reflexin de impedancias en el transformador lineal es simtrica; en el ideal, no


140


Z Th = Z xy = R + Z R2 = 1.5 - j0.5 Para obtener la mxima potencia media posible, habra que hacer Z L = Z * = 1.5 + j0.5 Th Sin embargo, el enunciado indica que se dispone de impedancias limitadas. En este caso, y siguiendo las recomendaciones indicadas anteriormente, se tiene XL ha de escogerse lo ms prxima posible a - XTh XL = 0.4 R L ha de escogerse lo ms prxima posible a RL = 1.6 Es decir, Z L = 1.6 + j0.4 R 2 + (X L + X Th) 2 = 1.503 Th



141

Ejemplos de anlisis en rgimen sinusoidalEjemplo 1 de anlisis en rgimen sinusoidal+ V1 IG aV2 C1 I1 x L y M L I2 R C2 + V2 -

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener la impedancia entre x e y, y la potencia media en R.

IG = 1 A, = 1 krad/s, a = 0.5 L = 1 mH, M = 0.5 mH, R = 0.5 C1 = 1.5 mF, C2 = 1 mF

V1 =

IG - I1 jC 1 I1 = - 2 A I2 = - j2 A

V 1 + aV 2 = I 1jL - I 2jM 0 = - I 1jM + I 2 jL + R + V2 = I2 jC 2 1 jC 2

V xy = I 1jL - I 2jM = - 1 - j2 V Z xy = Alternativamente, Z xy = jL +

V xy = 0.5 + j I1

(M) 2 = 0.5 + j jL + R + 1 jC 2

I 2 2R =1 W PR = 2


142


Ejemplo 2 de anlisis en rgimen sinusoidalx y El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener la impedancia entre x e y, y la potencia instantnea en la fuente independiente.

L M C + V1 I2 I1 IG - C L aV1 IG = 1 A, = 1 krad/s, a = 0.5 L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF

V1 =

IG - I1 jC

I1 = - 0.5 A I2 = 0 A

V 1 = I 1(jL + jL) - I 2jL + I 1jM + (I 1 - I 2)jM 0 = - I 1jL + I 2 jL + 1 + aV 1 - I 1jM jC

V xy = I 1jL + (I 1 - I 2)jM = - j0.75 V Z xy =

V xy = j1.5 I1

En este caso no es posible aplicar la propiedad de reflexin de impedancias, ya que una de las inductancias del transformador est compartida por el primario y el secundario IG - I1 = - j1.5 V v 1(t) = 1.5cos(t - 90 ) V ( = 1 krad/s) jC I G = 1 A i G(t) = cos(t) A ( = 1 krad/s) pG(t) = - v1(t)iG(t)

V1 =



143

Ejemplo 3 de anlisis en rgimen sinusoidalZG VG + V R jX

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener VG. V = V me j, V m = 5 V = arctg 4 , primer cuadrante 3 X absorbe 2 mVAR y minimiza la potencia media en R

R = 3 k Z G = 300 + j21 k

Designando por I la corriente en el circuito (sale por el positivo de la fuente), I= Vm = Vm V I= ; V G = IZ G + V 2 + X2 R + jX R Re{V} = 3 V Im{V} = 4 V V = 3 + j4 V (2) (1)

Re 2 V + Im 2 V

= arctg 4 3 primer cuadrante

I 2X V2 X m = 2 + X 2) 2 2(R Sabiendo que QX = 2 mVAR (positiva, porque el enunciado indica que es potencia absorbida), la ltima ecuacin proporciona dos posibles valores para X X = 4 k, X = 2.25 k QX = Para determinar cul es el correcto, se considera el dato sobre la potencia en la resistencia I 2R V2 R m PR = = 2 + X 2) 2 2(R P R mnima I mnima X mxima X = 4 k Sustituyendo (2-3) en (1), I = 1 mA, VG = 303 + j25 V

(3)


144


Ejemplo 4 de anlisis en rgimen sinusoidalR M C L L R C + V1 1:a x RS IS y

VG

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener el equivalente Thvenin entre x e y. VG = 10 V, IS = j A, = 100 krad/s, a = 5 RS = 50 , R = 1 , C = 5 F, L = 20 H, M = 10 H

El clculo ha de hacerse teniendo en cuenta la presencia de la fuente de corriente, ya que es dato. Es decir, si hubiera que colocar entre x e y la impedancia de mxima potencia, sta se colocara en paralelo con la fuente de corriente. Tensin de circuito abierto Considerando el circuito tal y como est, y observando que la corriente en el secundario del transformador ideal es la proporcionada por la fuente, (M) 2 + jL + R + 1 + V 1 V 1 = 10 + j10 V 1 + R + jL jC jC V Th = V xy = aV 1 + I SR = 50 + j100 V

V G = - aI S

Impedancia equivalente Desactivando las fuentes, y reflejando y agrupando impedancias, (M) 2 = 100 Z Th = Z xy = R S + a 2 1 + R + jL + jC 1 + R + jL jC



145

Ejemplo 5 de anlisis en rgimen sinusoidalx RS IS LS M y RG CG LG VG 1:a R C

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea calcular la impedancia que hay que colocar entre x e y para que en ella se disipe la mxima potencia media posible. VG = - 1 + j V, IS = 1 A, = 100 krad/s, a = 2 RS = 1 , RG = 1 , R = 1 L S = 20 H, LG = 20 H, M = 10 H, CG = 5 F, C = 10 F El clculo ha de hacerse teniendo en cuenta LS , ya que es dato. x RG LS M y LG CG Desactivando las fuentes, el circuito queda como se muestra en la figura adjunta (el cortocircuito de la fuente de tensin anula el transformador ideal, y el circuito abierto de la fuente de corriente cancela el efecto de RS ).

Reflejando impedancias, Z Th = Z xy = jL S + (M) 2 = 1 + j2 + R G + jL G

1 jC G

La impedancia de mxima potencia (que ha de ser dispuesta en paralelo con LS ) es Z L = Z * = 1 - j2 Th


146


Ejemplo 6 de anlisis en rgimen sinusoidal+ VL1 L1 R1 VG M L2 C I1 x

1:a y R2

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Se desea obtener la potencia instantnea en L1, y el equivalente Thvenin entre x e y.

VG = 4 V, = 100 krad/s, a = 2 R1 = 1 , R2 = 4 , C = 1 F L 1 = 40 H, L2 = 40 H, M = 10 H

Reflejando impedancias en el transformador ideal, R V G = I 1 R 1 + jL1 + jL2 + j2M + 1 + 2 jC a 2 I 1 = 2 A i 1(t) = 2cos(t) A ( = 100 krad/s) V L1 = I 1(jL1 + jM) = j10 V v L1(t) = 10cos(t + 90 ) V ( = 100 krad/s) pL1(t) = vL1(t)i1(t) Decir entre x e y es lo mismo que decir en el primario del transformador ideal, ya que las lneas inferiores del circuito constituyen un nico nudo. Para calcular el equivalente Thvenin se aplica el procedimiento general (no se desactiva la fuente y se agrupan impedancias debido a la dificultad que supone el que no estn totalmente separadas las inductancias del transformador lineal).



147

Tensin de circuito abierto Se considera el circuito tal como est, con lo que I1 tendr el valor calculado anteriormente. Reflejando impedancias, la tensin en el primario del transformador ideal es V xy = V Th = I 1 Corriente de cortocircuitoL1 R1 VG y M L2 C IN x

R2 =2V a2

Al conectar un cortocircuito en el primario del transformador ideal se anula ste.

V G = I N R 1 + jL1 + jL2 + j2M + 1 I N = 4 A jC Impedancia equivalente ZTh = V Th = 0.5 IN


148


Ejemplo 7 de anlisis en rgimen sinusoidalm R VG IG + VC L IC C M L M IL bVC n R I1 + V1 1:a RL I2

+ V2 -

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente (no hay error en la inductancia marcada con M; tiene ese valor). Los nicos datos que se conocen son: a = 2, RL = 4 ; en RL se disipa la mxima potencia media posible Se desea obtener el valor de R. Se trata de un problema inverso de equivalente Thvenin. En el problema directo equivalente se pedira determinar el valor de RL para que en ella se disipara la mxima potencia media posible. En el problema directo, el clculo se hara sin RL porque se tratara del parmetro a determinar. Tensin de circuito abiertom + V1 bV C

1:a

Al sustituir RL por un circuito abierto,+ V2 -

I2 = 0 A I 1 = 0 A V 1 = bV C V 2 = - abV C = V Th

n

Corriente de cortocircuitom R IP bVC n + V1 1:a

Al sustituir RL por un cortocircuito,+ V2 - IN

V2 = 0 V V 1 = 0 V bV C bV C IN = IP = R aR



149

En condiciones normales, VC sera distinta en ambos casos, ya que las condiciones del circuito son diferentes en uno y otro. Sin embargo, en este circuito particular, y como se demuestra ms adelante, VC tiene el mismo valor en los dos. En consecuencia,*

V R L = Z L = Z * = Th Th IN Tensin en la capacidadm A bVC n B

= (a 2R) * R = 1

VC est determinada exclusivamente por lo que sucede en la parte A del circuito. Por tanto, su valor no est afectado por los cambios que se produzcan en la parte B.

Otra forma de comprobar que VC no depende de la parte B es la siguiente. En el circuito se verifican las siguientes ecuaciones: I VG = IG R + 1 - C jC jC I 0 = - G + I C 1 + j2L + j2M - I L(jL + jM) jC jC I -I 0 = - I C(jL + jM) + I L(jL + jM) + b G C jC Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, que permite obtener los valores de IG, IC e IL. Obsrvese que ninguno de ellos depende de elementos incluidos en la parte B del circuito. Por tanto, lo mismo ocurrir con VC, ya que VC = IG - IC jC


150


Respuesta en frecuenciaExcitacinAmplitud y fase constantes Frecuencia variable

CircuitoLa salida depende deElementos del circuito Amplitud y fase de la excitacin Frecuencia de la excitacin

Funcin de transferencia T(), T(j), H(), H(j)Fasor de salida Fasor de excitacin

La dependencia del comportamiento de un circuito de la frecuencia de la excitacin (comportamiento tipo filtro) es una de las bases de la tecnologa de telecomunicaciones. Un circuito se comporta mejor que otros a unas frecuencias dadas. Un circuito se comporta mejor a unas frecuencias que otras.



151

Respuesta en frecuencia de resonadores idealesResonador paralelo Z eqexcitacin excitacin salida

Resonador serie Zeq

C IG L I G = IG0 , V o = Vo

R VG V G = VG0 , V o = Vo

T()

Vo 1 = Z eq = IG 1 + 1 + jC R jL

T()

Vo R = R = V G Z eq 1 + jL + R jC

0 rad/s T() jL j0 rad/s T() 1 - j0 jC intermedia T() no nula

0 rad/s T() jRC j0 rad/s T() R - j0 jL intermedia T() no nula

BW

Vo Vomax

Funcin de transferencia en el resonador paralelo; Vo = V o = = T()I G = T()IG T()

90 0 - 90 0V

c 1 creciente

2

Para el resonador serie se tendra una representacin similar.


salida

R

+ Vo -

C

L

+ Vo -

152


Caracterizacin matemtica de la respuesta en frecuenciaFrecuencia central Banda de paso (ancho de banda) c T( c) = mximo de T() BW = 2 - 1 T( c) = T( 2) 2 T( c) BW si T() 2 c BW T( 1) = bw = BW c

Ancho de banda relativo Factor de calidad

Q=

c = 1 BW bw

Resonadores ideales

c T( c) = 0 c Z eq = R c = 1 2 = 1 LC

Resonador paralelo Resonador serie

BW = 1 , Q = cRC RC BW = R , Q = 1 L cRC

Frecuencia de resonancia La impedancia que ve la excitacin es puramente resistiva (0 ) (se cancelan los efectos inductivos y capacitivos) En resonadores ideales 0 = c

En resonadores ideales, la frecuencia de resonancia est determinada por los elementos reactivos, y el factor de calidad, por la resistencia. Cuanto mayor es el factor de calidad, ms aguda es la curva del mdulo de la respuesta en frecuencia.



153

Elementos reactivos y respuesta en frecuenciaLa variacin de la respuesta (salida) de un circuito con la frecuencia de la excitacin se debe a la variacin de impedancia en los elementos reactivos. Para unos valores dados de L y C 0 rad/s -j (circuito abierto, fase de - 90 ) j0 (cortocircuito, fase de 90 ) Para un valor dado de L, C 0 (H, F) -j (circuito abierto, fase de - 90 ) j0 (cortocircuito, fase de 90 ) (H, F) -j0 (cortocircuito, fase de - 90 ) j (circuito abierto, fase de 90 ) rad/s -j0 (cortocircuito, fase de - 90 ) j (circuito abierto, fase de 90 )

Z= 1 jC Z = jL

Z= 1 jC Z = jL

Agrupaciones simples de elementos reactivos Z eq = 0 (cortocircuito) Z eq = (circuito abierto)

L

C

=

1 LC

L

C

En este tipo de agrupaciones no tiene sentido hablar de fases, ni de signos.


154


Ejemplo 1 de respuesta en frecuenciaR2 R1 VG L2 L1 C2 C1 Ro

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. + Las bandas de paso de los dos resonadores Vo (cada una de las agrupaciones serie RLC) - estn muy separadas. Adems, 2 = 1 1 = ,R >R >> 1 1 2 L 2C 2 L 1C 1 V T() = o VG

Se desea obtener una representacin cualitativa de la variacin del mdulo de la funcin de transferencia con la frecuencia.

V Ro i = 1, 2 Z i = R i + jL i + 1 T() = o = V G (Z 1//Z 2) + R o jC i Analizar la variacin del mdulo de T() con la frecuencia a partir de (1) tiene una complejidad matemtica importante. Por tanto, es preferible recurrir a otro procedimiento.Ri VG Li Ci Ro + Vo -

(1)

Considrese un circuito como el mostrado en la figura adjunta, en la que i vale 1 o vale 2. Es decir, se trata de examinar qu ocurrira si el circuito contuviera un solo resonador.

> i Z i j T() 0 efecto inductivo (circuito abierto) dominante En una agrupacin serie (paralelo) es dominante el efecto circuito abierto (cortocircuito).

(2)



155

T()

si slo estuviera el resonador 1

BW1 T 1() 1

T 2()

si slo estuviera el resonador 2

Ro Ro R + Ro R1 + R o 2 BW 2

T()

La figura muestra la representacin grfica de (2); se han combinado las representaciones correspondientes a ambos resonadores. La disposicin relativa de las curvas est justificada por los datos.

x

2

La frecuencia de resonancia del primer resonador es menor que la del segundo. En cada resonador coinciden las frecuencias central y de resonancia, porque son ideales. Si los anchos de banda estn muy separados, ello significa que las curvas respectivas no se superponen. Las posiciones relativas de los mximos se justifican por la relacin entre las resistencias. A la vista de lo anterior, Z (- j) Ro Z 1 T() > x Z 1//Z 2 Z 2 T() = T 2() j + Z 2 Z 2 + Ro el efecto del circuito abierto (inductivo) del primer resonador es cancelado por la impedancia finita del segundo T() Ro R1 + R o Ro R2 + R o T() La figura muestra la respuesta completa. Que sea aproximadamente igual a la suma de las respuestas parciales se debe nicamente a las condiciones particulares del problema, y no a que sea vlido en general considerar separadamente respuestas parciales en un circuito.

1

x

2


156


Ejemplo 2 de respuesta en frecuenciaR VG L C R L C + Vo El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos los valores de todos los elementos. La funcin de transferencia es T() = Vo VG

Se desea obtener los valores a los que tienden el mdulo y la fase de la funcin de transferencia para 0 rad/s, = 1 , rad/s LC-1

Z 1 = R + jL + 1 , Z 2 = 1 + 1 + jC R jL jC

T() =

Vo Z2 = VG Z 1 + Z2

0 rad/s

Z1 1 jC

T() 0 T() - 2LC

Z 2 jL T() 180 inductancias como cortocircuitos y capacidades como circuitos abiertos

= 1 LC

Z1 = R Z2 = R

T() = 0 cancelacin de efectos inductivos y capacitivos en cada resonador

T() = 1 2

T() = 1 2

Z 1 jL rad/s

T() 0

T() - 1 1 2LC Z2 T() 180 jC inductancias como circuitos abiertos y capacidades como cortocircuitos



157

Ejemplo 3 de respuesta en frecuenciaZG R VG R C + VC L C

V G = 0

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. Se desea obtener la impedancia que ve la fuente, y los valores a los que tienden el mdulo y la fase de VC cuando tiende a 0 rad/s y cuando tiende a rad/s. Agrupando impedancias,

ZG R Z VG R + VC -

ZG R Zeq VG + VC -

1 // jL + 1 = - jX, X = 1 1 - 2LC jC jC C 2 - 2LC 2 2 Z eq = R//Z = R eq - jX eq; R eq = RX , X eq = R X R2 + X 2 R2 + X 2 Z G = R + Z eq Z eq Z VC = V G = eq V G R + Z eq ZG Z= 0 rad/s X 1 Z R eq 2C V Z G 2R V C G 2 VG 2 V C V G = 0 VC VC 0 V V C - 90

rad/s X 1 Z eq - jX C jVG ZG R VC RC


158


Ejemplo 4 de respuesta en frecuenciaR VG L L C + VC -

V G = 0

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos del circuito. Se desea obtener los valores a los que tienden el mdulo y la fase de VC cuando tiende a 0 rad/s y cuando tiende a rad/s, y el valor de la frecuencia de resonancia del circuito. La impedancia que ve la fuente es

2 Z G = R + (jL)// jL + 1 = R + jL(1 - LC) jC 1 - 2 2LC

Por otro lado (utilizando las propiedades de un divisor de corriente), se tiene IG = VG jLI G I jLI G , VC = C = , IC = ZG jC R(1 - 2 2LC) + jL(1 - 2LC) jL + jL + 1 jC

Pueden utilizarse estas expresiones para determinar los lmites pedidos, pero tambin es posible recurrir al siguiente planteamiento alternativo. Para frecuencias muy bajas, las inductancias y las capacidades tienden a comportarse como cortocircuitos y circuitos abiertos, respectivamente. En consecuencia, no circula corriente por el conjunto L-C serie, y la tensin en la capacidad es la misma que en la inductancia que est en paralelo con l. 0 rad/s V C VG jL R VC 0 V V C 90



159

Para frecuencias muy altas, las inductancias y las capacidades tienden a comportarse como circuitos abiertos y cortocircuitos, respectivamente. En consecuencia, la corriente proporcionada por la fuente se reparte igualmente entre las dos ramas que contienen las inductancias (ya que son las impedancias dominantes). rad/s V C VG 1 2V G = jL jC 2LC 2 VC 0 V V C 180

La frecuencia de resonancia es aqulla para la que se cancelan los efectos inductivos y capacitivos del circuito de modo que la impedancia que ve la excitacin es puramente resistiva. = 0 Z G resistiva Im Z G = 0 0 = 0 rad/s 0L(1 - 2LC) 0 0 = 1 LC La solucin nula carece de sentido (el circuito no estara en rgimen sinusoidal). La solucin negativa carece de significado fsico.


160


Ejemplo 5 de respuesta en frecuencia+ VG R IG L1 C L2

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. Se desea obtener la frecuencia de resonancia (finita, no nula), y plantear la condicin para determinar la frecuencia a la que la tensin en la fuente tiene una fase 45 mayor que la de la corriente proporcionada por la fuente.

Para obtener la frecuencia de resonancia puede calcularse la impedancia que ve la fuente, y, a continuacin, imponer la condicin de que su parte imaginaria sea nula. Un procedimiento alternativo es el que se indica seguidamente. Para una frecuencia nula, las inductancias son cortocircuitos, con lo que L2 cancela el efecto de la capacidad, y la agrupacin en serie de ambas inductancias cancela el efecto de la resistencia que est en paralelo con ellas. La fuente ve una impedancia nula, pero la condicin de frecuencia nula est descartada. Para una frecuencia infinita, las inductancias son circuitos abiertos, con lo que no circula corriente por la agrupacin L1-(L2//C). La condicin de frecuencia infinita tambin est descartada en el enunciado. Para una frecuencia 0 = 1 L 2C

la agrupacin L2//C es un circuito abierto, con lo que toda la corriente proporcionada por la fuente circula por la resistencia. Es decir, la fuente ve una impedancia puramente resistiva, y la frecuencia indicada es la de resonancia. Siendo ZG la impedancia que ve la fuente, V G = I GZ G 45 = V G - I G = Z G 0 < Re Z G = Im Z G > 0 Resolviendo la ltima ecuacin (la condicin acerca de los signos es para evitar una fase distinta) se obtiene la frecuencia buscada



161

Ejemplo 6 de respuesta en frecuenciaC VG L R + Vo -

T() =

Vo VG

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. Se desea determinar el rango de frecuencias en el que el mdulo de la funcin de transferencia es superior a la unidad, y la condicin para que dicho rango exista realmente.

Aplicando la formulacin de los divisores de tensin, T() = Vo R//(jL) N() - 2LRC = = VG 1 + R//(jL) R(1 - 2LC) + jL D() jC

T() 1 N() D() ( 2LRC) 2 R 2(1 - 2LC) 2 + (L) 2 R L(2R 2C - L)

Para cualquier frecuencia superior a la indicada en la ltima expresin, el mdulo de la funcin de transferencia es superior a la unidad.

Ese rango existe si el radical del denominador es positivo. Es decir, ha de cumplirse L < 2R 2C


162


Ejemplo 7 de respuesta en frecuencia+ VG R IG IC C aI C R L

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos.

I G = 0

Se desea obtener la impedancia que ve la fuente independiente I G + aI C = VG VG + IC + R R + jL I C = V GjC VG = V GY Z

IG =

1 ,Z=1 Y = 1 + j(1 - a)C + R R + jL Y No es posible calcular la impedancia que ve la fuente agrupando impedancias porque, en principio, se desconoce la de la fuente dependiente. Se desea obtener los valores a los que tienden el mdulo y la fase de la tensin en la fuente dependiente cuando tiende a 0 rad/s y a rad/s Las tensiones en ambas fuentes son iguales; por tanto, I R 0 rad/s Y 2 V G G 2 R La capacidad impone un circuito abierto IG rad/s Y j(1 - a)C V G - j (1 - a)C La capacidad impone un cortocircuito VG 0 V V G - 90 si a < 1 IG R 2 V G 0 VG



163

Se desea obtener la frecuencia de resonancia = 0 Z resistiva Im Y = 0 S (1 - a) 0C = 0 rad/s (no vale) 0 = L - (1 - a)R 2C (1 - a)L 2C Para que exista realmente la frecuencia de resonancia el radical ha de ser positivo 0L R 2 + ( 0L) 2

Se desea obtener la corriente en la capacidad cuando sta tiene un valor infinito C = F V G = 0 V I G + aI C = I C I C = IG 1-a


164


Ejemplo 8 de respuesta en frecuenciaC VG IG L M L I1 C 1:a I2 R + Vo -

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos (a > 0). Se desea obtener la frecuencia para la que Vo est en fase con VG. Reflejando impedancias y utilizando la notacin que se indica, se tiene2 X = L - 1 , Z = R + jX, Z G = (M) + jX Z C a2 V I1 I G = G , I 1 = jM I G, I 2 = a ZG Z jRM V o = I 2R = V G N() V G D() 2 - X 2 + jXR a (M) a2

V o = V G N() = D() D() imaginario (ya que N() tambin lo es) Re D() = 0 2 =-X M =X= M 1 (L - M)C No vale, porque hara V o = - aV G V o = V G + 180

(M) 2 - X2 = 0 2



165

Ejemplo 9 de respuesta en frecuenciaIG R VG IC I1 + V1 C 1:a + I V2 2 + VL -

IL L

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial (las corrientes son de rama), funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. Se desea obtener la frecuencia para la que el mdulo de VL es mximo. A partir de las ecuaciones del circuito, V G = I GR + V 1, V 1 = IC + V 2, V 2 = I LjL jC I G = I 1 + I C, I C = I 2 + I L I 1 = - aI 2, V 2 = aV 1 se obtiene VL = V 2 = VG 1 + j (1 - a 2)RC - aR a a L VL mximo D() mnimo Puesto que la parte real de D() no depende de la frecuencia, a partir de la condicin anterior se obtiene2 a D() mnimo Im D() = 0 (1 - a a)RC = aR = L (1 - a 2)LC

VG D()


166


Ejemplo 10 de respuesta en frecuencia+ VG IR IG R L IC + 2C VL IM C - L/2 M L L 1:a R I1 RD bIR

El circuito de la figura, en cuya representacin se ha utilizado notacin fasorial, funciona en rgimen sinusoidal permanente. Son datos las caractersticas de todos los elementos. Se desea obtener la frecuencia para la que la potencia media en RD es mxima. Para dicha frecuencia, se desea obtener los valores de IC y VL. bI R 2R mximo I R mximo 2

P RD =

Esta condicin se cumplir cuando toda la corriente proporcionada por la fuente de corriente circule por la resistencia que tiene en paralelo. Ello exige que se cancelen mutuamente los efectos de la inductancia y la capacidad que estn en paralelo con aqullas. Esto equivale a decir que la agrupacin L-C paralelo est en circuito abierto. Es decir, I R mximo I R = I G L-C circuito abierto pmax = 1 LC Para = pmax = 1 LC

I R = I G, V G = I RR = I GR, I 1 = - abI R = - abI G 1 + j pmaxL - I 1j pmaxM I M = - abM I G 0 = I M j pmaxL + 2 j pmax2C L I C = V Gj pmaxC = jR C I G, V L = - I Mj pmaxL = j abM I G L 2 2 LC Obsrvese que, aunque Ly C estn en resonancia (tambin lo est la agrupacin L/2 - 2C), eso no significa que no haya corrientes en la agrupacin en paralelo (son iguales en mdulo y de signos opuestos), o que no haya tensiones en la agrupacin en serie (son iguales en mdulo y de signos opuestos).



167

Aplicacin del principio de superposicinVarias excitaciones Una o ms continuas y/o una o ms sinusoidales (de distintas frecuencias) Respuesta total

Circuito lineal

Suma de las respuestas (expresiones temporales) correspondientes a las distintas excitaciones (slo corrientes y tensiones)

Clculo de la respuesta correspondiente a cada excitacin por separado

Excitaciones en fuentes independientes distintas Para el clculo de cada respuesta las fuentes correspondientes a otras excitaciones han de estar desactivadas

Excitaciones en la misma fuente (todas de la misma naturaleza -corrientes o tensiones-) Para el clculo de cada respuesta se prescinde de la presencia de las otras excitaciones


168


Ejemplo 1 de aplicacin del principio de superposicinL1 vg(t) R1 R2 1:a L2 C R3 + vC(t) -

v g(t) = V D + V Acos(t) VD = 46 V, V A = 220 2 V R 1 = 6.5 , R 2 = 5 , R 3 = 43.5 L 1 = 10.8 , L 2 = 22 , a = 10 (C) -1 = 2 Se desea obtener la expresin temporal de la potencia en la capacidad.

En el circuito estn presentes dos excitaciones: una continua (VD), y una sinusoidal de frecuencia angular . Por tanto, habr que aplicar el principio de superposicin, con lo que la respuesta buscada ser de la forma vC(t) = VCD + vCA(t), iC(t) = ICD + iCA(t) Dado que ambas excitaciones estn contenidas en la misma fuente independiente, cuando se considere una se ignorar la presencia de la otra. Respuesta en continua (DC, direct current) L1 VD R1 R2 L2 + ICD VCD C R3 En continua el circuito queda en la forma indicada en la figura adjunta (las inductancias y las capacidades son cortocircuitos y circuitos abiertos, respectivamente). No hay corriente en el secundario del transformador debido al circuito abierto que impone la capacidad; pero eso no significa que no haya tensin en ella.

La ausencia de corriente en la capacidad hace que la tensin en ella sea la misma que en R2. Aplicando la frmula del divisor de tensin, VCD = R2 V = 20 V, I CD = 0 A R1 + R 2 D



169

Respuesta a la excitacin sinusoidal (AC, alternate current)L1 + V1 VA R1 I1 1:a + L2 V2 - C I2 R3 + VCA -

Con relacin a la excitacin sinusoidal el circuito queda en la forma indicada en la figura adjunta, en la que se ha utilizado notacin fasorial. V A = V A = 220 2 V

R2

V A = I 1(R 1 + jL 1 + R 2) + V 1 - I 2R 2 0 = - I 1R 2 - V 2 + I 2 R 2 + jL 2 + 1 + R 3 jC I 1 = aI 2, V 2 = aV 1

I 2 = 2(1 - j) A V CA = I2 = - 2 2(1 + j) V jC

v CA(t) = Re V CAe jt = 4cos(t + 225 ) V iCA(t) = Re I 2e jt = 2cos(t - 45 ) V

Respuesta total v C(t) = V CD + v CA(t) = 20 + 4cos(t + 225 ) V iC(t) = I CD + i CA(t) = 2cos(t - 45 ) A p C(t) = v C(t)i C(t) = [20 + 4cos(t + 225 )]2cos(t - 45 ) W Obsrvese que el resultado final no coincide con el que se obtendra si se sumaran las potencias continua y sinusoidal calculadas por separado.


170


Ejemplo 2 de aplicacin del principio de superposicinR VD R L R C R gvR(t) + vd(t) L C R + vR(t) R iA(t)

iA(t) = IAcos(t), IA = 1 A, = 1 rad/s, VD = 2 V R = 1 , g = 2 S, L = 1 H, C = 1 F Se desea obtener la expresin temporal de vd(t). En el circuito estn presentes dos excitaciones diferentes, representadas por distintas fuentes independientes. Se aplica el principio de superposicin. Respuesta en continuaR VD R L + VdD -

Bajo excitacin continua, el circuito queda como en la figura adjunta. La fuente de corriente est desactivada (sustituida por un circuito abierto), con lo que vR es nula y, por consiguiente, la fuente dependiente no entrega corriente (es un circuito abierto), aunque puede soportar tensin.

Las inductancias y las capacidades son cortocircuitos y circuitos abiertos, respectivamente. El cortocircuito de la inductancia ms prxima a la fuente de tensin anula los efectos de la capacidad y las resistencias a las que est conectada. V dD = R V =1V R+R D



171

Respuesta a la excitacin sinusoidalR R L-C paralelo + VRA R

Bajo excitacin sinusoidal el circuito queda en la forma indicada en la figura adjunta, en la que se ha utilizado notacin fasorial. IA = IA = 1 A Se ha desactivado la fuente de tensin (fue sustituida por un cortocircuito). L-C serie

R

R

gVRA

+ VdA -

R IA

Puede observarse que, a la frecuencia indicada, los conjuntos L-C serie y paralelo se comportan, respectivamente, como un cortocircuito y un circuito abierto. En consecuencia, agrupando resistencias, V RA = - I AR V dA = gV RA[R + (R + R) // (R + R)] = - 4 V V dA = V dAe j = - 4 V V dA = 4 V, = 180 Respuesta total vd(t) = VdD + VdAcos(t + ) = 1 + 4cos(t + 180 ) V, = 1 rad/s


172


Ejemplo 3 de aplicacin del principio de superposiciniL(t) R is(t) R L C R vg(t) vg(t) = VGcos(Gt) VG = 1 V, G(t) = 1 Mrad/s is(t) = IS cos(S t + i) IS = 2 A, S = 1 krad/s, i = - 45 R = 1 , L = 1 mH, C = 1 mF Se desea obtener la expresin temporal de iL(t). En el circuito estn presentes dos excitaciones sinusoidales de frecuencias distintas, representadas por fuentes independientes diferentes, por lo que habr que aplicar el principio de superposicin, y la respuesta total ser de la forma iL(t) = ILScos(S t + S ) + ILGcos(Gt + G) Respuesta a la excitacin de frecuencia SR IS R L ILS C I 3S R

En las condiciones indicadas, el circuito queda como se muestra en la figura adjunta (se ha desactivado la fuente de tensin), en la que se ha utilizado notacin fasorial. I S = I Se ji = 1 - j A

I 0 = - I SR + I LS R + jSL + 1 - 3S j SC jSC 0=I LS + I 3S R + 1 jSC j SC

I LS = 0.4 - j0.8 A I LS = 0.8 A, S = arctg(- 2) 4 cuadrante



173

Respuesta a la excitacin de frecuencia GL ILG R C I 3G R VG

En las condiciones indicadas, el circuito queda como se muestra en la figura adjunta (se ha desactivado la fuente de corriente), en la que se ha utilizado notacin fasorial. VG = VG = 1 V

0 = I LG R + j GL +

1 - I 3G 0 = I (1 + j10 3 - j10 -3) + I j10 -3 LG 3G j GC j GC

VG =

I LG - I 3G R + 1 1 = - I LGj10 -3 - I 3G(1 - j10 -3) j GC j GC

La resolucin de este sistema de ecuaciones no es sencilla. La gran diferencia de rdenes de magnitudes en los valores involucrados puede provocar errores importantes en la determinacin de las incgnitas. Por tanto, es preferible recurrir a un anlisis aproximado, como el que se muestra a continuacin.ZC ILG ZL I3G R VG

En las condiciones indicadas, el circuito puede representarse como se muestra en la figura adjunta, en la que

Z L = R + j GL = 1 + j10 3 j10 3 Z C = 1 = - j10 -3 j GC V R >> Z C

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