Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Imuhserv.atauni.edu.tr/makine/ikaymaz/istatistik/lecture_notes/DERS_5... · Atatürk Üniversitesi Tanım Anakütle Dağılımları Daha önceki

Atatürk Üniversitesi

Anakütle Dağılımları

Prof. Dr. İrfan KAYMAZ

İstatistik ve OlasılıkRastgele Değişkenlerin

Dağılımları I


Anakütle DağılımlarıDers konusu

Bu derste;

Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması

Olasılık kütle fonksiyonu

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Dağılım fonksiyonun

Olasılık fonksiyonlarının MATLAB kullanılarak elde edilmesi


Anakütle DağılımlarıTanım

Daha önceki bölümlerde olasılık hesaplamaları basit rastgele olaylar için toplama ve çarpma kuralı uygulanarak elde edilmişti.

Ancak ilgilenilen rastgele olaya ait

tüm olasılıklarıKarşılaştırmalarıistemin özel davranış göstergelerinive bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek

amacıyla tanımlanan rastgele değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır.

Bu matematiksel modeller, rastgele değişkenlerin kesikli veya sürekli olmasına göre tanımlanmaktadır.


Anakütle DağılımlarıKesikli Rastgele Değişkenler

Rastgele değişken, aldığı sayısal değerlere göre iki farklı şekilde olabilir. Bu nedenle, rastgele değişkenler iki başlık altında ele alınır.

Kesikli (Süreksiz) Rastgele Değişken

Sürekli Rastgele Değişken

Kesikli Rastgele Değişken:X rastgele değişkeninin R ’deki değer kümesi olan A sayılabilir veya sayılabilir olarak sonsuz bir küme ise X ‘e kesikli (süreksiz) rastgele değişken denir.

Örnek:

Bir zar atışı,

Paranın yazı tura atışı

Bir fabrikanın haftalık üretimindeki kusurlu mal sayısı


Anakütle DağılımlarıSürekli Rastgele Değişkenler

X rastgele değişkeninin R ‘deki değer kümesi olan A sayılamaz bir küme ise X ‘e sürekli rastgele değişken denir.

Değer kümesinin olarak yazılacağı görülmektedir.A = {X | a X b }

Rastgele değişkenlerin kesikli ve sürekli ayrımı, basit olarak;

tanımlanan rastgele değişkenin tamsayı olma durumunda kesikli,

diğer durumlarda sürekli şekliyle olabilir.

Örnek:

bir malzemenin çekme dayanımı

bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluğu

aracın belirli bir zamanda aldığı yol,

bir koşuya katılanların bitirme süreleri


Anakütle DağılımlarıOlasılık Matematiksel Fonksiyonları

İlgilenilen tüm olasılıkları, karşılaştırmaları, sistemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır.

Rastgele değişkene ait matematiksel modeller (fonksiyonlar):

kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu

sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanır.


Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu

Olasılık Fonksiyonu:

X kesikli rastgele değişkenin değer kümesi

P(X): X’in olasılık fonksiyonu

Olasılık Fonksiyonun Özellikleri:

için



Örnek 1:İki hilesiz zarın atılması olayını dikkate alalım. X; atılan iki zardaki sayıların toplamını gösteren rastgele değişkeni olsun.

a)X’in olasılık fonksiyonun bulunuz

Aşağıdaki olasılık değerlerini, olasılık fonksiyonu kullanarak elde ediniz

b)Toplamın 7 veya 11 olması

c) toplamın 8’den büyük olması

d)Toplamın 3 den büyük fakat 9 dan küçük olması



Örnek 1 ÇÖZÜM:X rastgele değişkenin alacağı değerler 2,3,…,12 olduğundan X rastgele değişkeni kesikli rastgele değişkendir.

Olasılık fonksiyonun değerleri:



Örnek 1 ÇÖZÜM devam:a)Olasılık ifadesi şeklinde yazarsak :

A-> toplamların 7 olması ve B-> toplamların 11 olması ise

b)

d)



Örnek 1 ÇÖZÜM devam:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

zarların toplamı

p(x

)

olasılık fonksiyonu



Örnek 2:Hilesiz bir madeni paranın yazı veya tura gelme olasılığı grafiksel olarak Şekil de verilmektedir.

Şekilden de görüleceği gibi bir olayın ihtimali olasılık fonksiyonu değerini gösteren tek bir değer ile gösterilir.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yazı/Tura

p(x

)

olasılık fonksiyonu


Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu

X sürekli rastgele değişkenin değer kümesi

f(x): X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonun Özellikleri:



Olasılık yoğunluk fonksiyonları da, olasılık fonksiyonları gibi grafiksel olarakelde edilebilir ve ilgilenilen rastgele olayın olasılıkları kolaylıkla grafiktengözlemlenebilir.

Bazı olasılık yoğunluk fonksiyonları



Örnek 3:X, aşağıda verilen olasılık fonksiyonuna sahip bir sürekli rastgele değişken ise

Olasılıklarını hesap ediniz.



Örnek 3 Çözüm:

a) Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bir sürekli rastgele değişkene ait olasılık hesaplaması aşağıdaki ifade ile gerçekleştirilir:

Dolayısıyla Değerini hesaplamak için aşağıdaki ifade integralin hesaplanması gerekir.

Ancak olasılık yoğunluk fonksiyonun tanımlı olduğu aralık dikkate alınarak



Örnek 3 Çözüm:

b)

c)

d)


Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu

X rastgele değişkenin (kesikli veya sürekli) verilen bir değere eşit veya küçükçıkma olasılığı ile ilgilenilen olaylar olasılık hesaplamalarında önemli bir yertutar.Örneğin:Makine elemanına gelen kuvvetlerin, emniyetli kuvvet değerinden daha küçük olma ihtimali vb..

Bu tür hesaplamalar için dağılım fonksiyonu kullanılır.

Dağılım Fonksiyonu:

Bu fonksiyona eklenik dağılım fonksiyonu (kümülatif dağılım fonksiyonu),(birikimli dağılım fonksiyonu) denir.

Kesikli rastgele değişken

Sürekli rastgele değişken


Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği

Dağılım fonksiyonu grafiği, olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilen olasılıkların toplamını belirtir.

Örnek 4 (kesikli rastgele değişken):

Şekilde verilen basit mesnetli kiriş ve P1 ve P2 yüküne maruzdur.

Uygulanan P1 yükünün 4,5 ve 6 değerleri alma olasılığı

P(P1=4)=0.3

P(P1=5)=0.5

P(P1=6)=0.2

olsun.

Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz.



Örnek 4 Çözüm:

Olasılık fonksiyonu çiziminde:

X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleriY ekseni: bu değerleri alma olasılığını göstermektedir

Dağılım fonksiyonu ise; X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleriY ekseni: bu değerleri alma olasılıklarının eklenik toplamını göstermektedir



Örnek 4 Çözüm Devam:

Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonun grafiğini veren MATLAB kodları:

Olasılık fonksiyonu dağılım fonksiyonun



Örnek 5 (sürekli rastgele değişken):Yüksek bir yapının rüzgar hesabında kullanılacak olan maksimum rüzgar hızı için aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kabul edilmiştir.

a) Dağılım fonksiyonunu elde ediniz

b) Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz

c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığını hesaplayınız.



Örnek 5 (sürekli rastgele değişken) Çözüm:

a) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir.

İpucu: MATLAB sembolik hesaplama ile kolaylıkla elde edilebilir.

syms f x

f=0.033*exp(-0.033*x)

F=int(f,x)



Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm:

b) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rüzgar Hızı

F(x

)

0 20 40 60 80 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Rüzgar Hızı

f(x)



Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm:

c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığı dağılım fonksiyonu veya dağılım fonksiyonu grafiği yardımıyla elde edilebilir. Grafikten okunacak olasılık değeri

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rüzgar Hızı

F(x

)

İstenilen olasılık ise, tüm olasılık 1’ e eşit olduğundan:



Kümülatif dağılım fonksiyonu sürekli artan (monotonic) bir

fonksiyondur ve özelliğine sahiptir. Bir olayın y1 ve y2 arasında

bir değer alma olasılığı o sürekli değişkenin y1 ve y2 deki dağılım

fonksiyonu değerleri arasındaki farka eşittir. Yani;

1 2 2 1( ) ( ) ( )Y YP y y y F y F y



Örnek 6:X sürekli rastgele değişkene ait olasılıkfonksiyonu yanda verildiği gibi olsun.Aşağıdaki ifadelerin doğru olupolmadığını belirleyiniz.

a)

b) X in 1 civarında değer alma ihtimali 2 civarında değeri alma ihtimalinden daha büyüktür.

c)

d) X in 4’ten büyük değeri alma ihtimali oldukça azdır.


Anakütle DağılımlarıGelecek Dersin Konusu

Sıklıkla kullanılan anakütle dağılımları…

Documents

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Imuhserv.atauni.edu.tr/makine/ikaymaz/istatistik/lecture_notes/DERS_5... · Atatürk Üniversitesi Tanım Anakütle Dağılımları Daha önceki