Atatürk Üniversitesi
Anakütle Dağılımları
Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
İstatistik ve OlasılıkRastgele Değişkenlerin
Dağılımları I
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDers konusu
Bu derste;
Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması
Olasılık kütle fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Dağılım fonksiyonun
Olasılık fonksiyonlarının MATLAB kullanılarak elde edilmesi
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıTanım
Daha önceki bölümlerde olasılık hesaplamaları basit rastgele olaylar için toplama ve çarpma kuralı uygulanarak elde edilmişti.
Ancak ilgilenilen rastgele olaya ait
tüm olasılıklarıKarşılaştırmalarıistemin özel davranış göstergelerinive bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek
amacıyla tanımlanan rastgele değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır.
Bu matematiksel modeller, rastgele değişkenlerin kesikli veya sürekli olmasına göre tanımlanmaktadır.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıKesikli Rastgele Değişkenler
Rastgele değişken, aldığı sayısal değerlere göre iki farklı şekilde olabilir. Bu nedenle, rastgele değişkenler iki başlık altında ele alınır.
Kesikli (Süreksiz) Rastgele Değişken
Sürekli Rastgele Değişken
Kesikli Rastgele Değişken:X rastgele değişkeninin R ’deki değer kümesi olan A sayılabilir veya sayılabilir olarak sonsuz bir küme ise X ‘e kesikli (süreksiz) rastgele değişken denir.
Örnek:
Bir zar atışı,
Paranın yazı tura atışı
Bir fabrikanın haftalık üretimindeki kusurlu mal sayısı
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıSürekli Rastgele Değişkenler
X rastgele değişkeninin R ‘deki değer kümesi olan A sayılamaz bir küme ise X ‘e sürekli rastgele değişken denir.
Değer kümesinin olarak yazılacağı görülmektedir.A = {X | a X b }
Rastgele değişkenlerin kesikli ve sürekli ayrımı, basit olarak;
tanımlanan rastgele değişkenin tamsayı olma durumunda kesikli,
diğer durumlarda sürekli şekliyle olabilir.
Örnek:
bir malzemenin çekme dayanımı
bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluğu
aracın belirli bir zamanda aldığı yol,
bir koşuya katılanların bitirme süreleri
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Matematiksel Fonksiyonları
İlgilenilen tüm olasılıkları, karşılaştırmaları, sistemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır.
Rastgele değişkene ait matematiksel modeller (fonksiyonlar):
kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu
sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanır.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Olasılık Fonksiyonu:
X kesikli rastgele değişkenin değer kümesi
P(X): X’in olasılık fonksiyonu
Olasılık Fonksiyonun Özellikleri:
için
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Örnek 1:İki hilesiz zarın atılması olayını dikkate alalım. X; atılan iki zardaki sayıların toplamını gösteren rastgele değişkeni olsun.
a)X’in olasılık fonksiyonun bulunuz
Aşağıdaki olasılık değerlerini, olasılık fonksiyonu kullanarak elde ediniz
b)Toplamın 7 veya 11 olması
c) toplamın 8’den büyük olması
d)Toplamın 3 den büyük fakat 9 dan küçük olması
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Örnek 1 ÇÖZÜM:X rastgele değişkenin alacağı değerler 2,3,…,12 olduğundan X rastgele değişkeni kesikli rastgele değişkendir.
Olasılık fonksiyonun değerleri:
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Örnek 1 ÇÖZÜM devam:a)Olasılık ifadesi şeklinde yazarsak :
A-> toplamların 7 olması ve B-> toplamların 11 olması ise
b)
d)
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Örnek 1 ÇÖZÜM devam:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
zarların toplamı
p(x
)
olasılık fonksiyonu
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Fonksiyonu
Örnek 2:Hilesiz bir madeni paranın yazı veya tura gelme olasılığı grafiksel olarak Şekil de verilmektedir.
Şekilden de görüleceği gibi bir olayın ihtimali olasılık fonksiyonu değerini gösteren tek bir değer ile gösterilir.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Yazı/Tura
p(x
)
olasılık fonksiyonu
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X sürekli rastgele değişkenin değer kümesi
f(x): X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonun Özellikleri:
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonları da, olasılık fonksiyonları gibi grafiksel olarakelde edilebilir ve ilgilenilen rastgele olayın olasılıkları kolaylıkla grafiktengözlemlenebilir.
Bazı olasılık yoğunluk fonksiyonları
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Örnek 3:X, aşağıda verilen olasılık fonksiyonuna sahip bir sürekli rastgele değişken ise
Olasılıklarını hesap ediniz.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Örnek 3 Çözüm:
a) Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bir sürekli rastgele değişkene ait olasılık hesaplaması aşağıdaki ifade ile gerçekleştirilir:
Dolayısıyla Değerini hesaplamak için aşağıdaki ifade integralin hesaplanması gerekir.
Ancak olasılık yoğunluk fonksiyonun tanımlı olduğu aralık dikkate alınarak
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıOlasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Örnek 3 Çözüm:
b)
c)
d)
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu
X rastgele değişkenin (kesikli veya sürekli) verilen bir değere eşit veya küçükçıkma olasılığı ile ilgilenilen olaylar olasılık hesaplamalarında önemli bir yertutar.Örneğin:Makine elemanına gelen kuvvetlerin, emniyetli kuvvet değerinden daha küçük olma ihtimali vb..
Bu tür hesaplamalar için dağılım fonksiyonu kullanılır.
Dağılım Fonksiyonu:
Bu fonksiyona eklenik dağılım fonksiyonu (kümülatif dağılım fonksiyonu),(birikimli dağılım fonksiyonu) denir.
Kesikli rastgele değişken
Sürekli rastgele değişken
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Dağılım fonksiyonu grafiği, olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilen olasılıkların toplamını belirtir.
Örnek 4 (kesikli rastgele değişken):
Şekilde verilen basit mesnetli kiriş ve P1 ve P2 yüküne maruzdur.
Uygulanan P1 yükünün 4,5 ve 6 değerleri alma olasılığı
P(P1=4)=0.3
P(P1=5)=0.5
P(P1=6)=0.2
olsun.
Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek 4 Çözüm:
Olasılık fonksiyonu çiziminde:
X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleriY ekseni: bu değerleri alma olasılığını göstermektedir
Dağılım fonksiyonu ise; X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleriY ekseni: bu değerleri alma olasılıklarının eklenik toplamını göstermektedir
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek 4 Çözüm Devam:
Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonun grafiğini veren MATLAB kodları:
Olasılık fonksiyonu dağılım fonksiyonun
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek 5 (sürekli rastgele değişken):Yüksek bir yapının rüzgar hesabında kullanılacak olan maksimum rüzgar hızı için aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kabul edilmiştir.
a) Dağılım fonksiyonunu elde ediniz
b) Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz
c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığını hesaplayınız.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek 5 (sürekli rastgele değişken) Çözüm:
a) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir.
İpucu: MATLAB sembolik hesaplama ile kolaylıkla elde edilebilir.
syms f x
f=0.033*exp(-0.033*x)
F=int(f,x)
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm:
b) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir.
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rüzgar Hızı
F(x
)
0 20 40 60 80 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Rüzgar Hızı
f(x)
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu Grafiği
Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm:
c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığı dağılım fonksiyonu veya dağılım fonksiyonu grafiği yardımıyla elde edilebilir. Grafikten okunacak olasılık değeri
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rüzgar Hızı
F(x
)
İstenilen olasılık ise, tüm olasılık 1’ e eşit olduğundan:
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu sürekli artan (monotonic) bir
fonksiyondur ve özelliğine sahiptir. Bir olayın y1 ve y2 arasında
bir değer alma olasılığı o sürekli değişkenin y1 ve y2 deki dağılım
fonksiyonu değerleri arasındaki farka eşittir. Yani;
1 2 2 1( ) ( ) ( )Y YP y y y F y F y
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıDağılım Fonksiyonu
Örnek 6:X sürekli rastgele değişkene ait olasılıkfonksiyonu yanda verildiği gibi olsun.Aşağıdaki ifadelerin doğru olupolmadığını belirleyiniz.
a)
b) X in 1 civarında değer alma ihtimali 2 civarında değeri alma ihtimalinden daha büyüktür.
c)
d) X in 4’ten büyük değeri alma ihtimali oldukça azdır.
Atatürk Üniversitesi
Anakütle DağılımlarıGelecek Dersin Konusu
Sıklıkla kullanılan anakütle dağılımları…