Rabotna tetratka po MATEMATIKAzaharievasnezana.weebly.com/.../1/1/4/11145769/rab_tet_matematika_… · Pri izu~uvaweto na matematikata vo oddelenie ti pomaga u~ebnikot po VII matematika

Rabotna tetratka po

MATEMATIKA za VII oddelenie

PREDGOVOR Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj moè{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da se potseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmoù-вaat da navleze{ vo tajnite na matematikata. Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del na u~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolka-vi znaewa si se steknal vo nastavata. Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na пет delovi soglasno temite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie. Taa sodrì:

• Tematski ve`bi za sekoja od nastavnite sodrìni so po 10 zada~i (nekade i pomalku) zavisno od obemnosta na sodrìnata. • Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekoja tema.

Во тестовите од тема I, тема IV и тема V, prvite 5 pra{awa (zada~i, koi se re{avaat usno ili bez pogolemi pote{kotii), predlagame da se vrednuvaat so 6 bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od testot da se vrednuvaat so 14 bodovi. Site zada~i od testovite vo tema II se vrednuvaat so 20 bodovi, a site zada~i od testovite vo tema III se vrednuvaat so 10 bodovi. Zna~i vo sekoj test vkupniot broj na mo`ni bodovi e 100. Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabe-la:

Bodovi 85 – 100 65 – 84 45 – 64 25 – 44 0 – 24

Ocenka Odli~en (5)

Mnogu dobar (4)

Dobar (3) Dovolen (2)

Nedovolen (1)

5

Tema I VEKTORI.

TRANSLACIJA

1. PRAVEC I NASOKA. NASOÊNA OTSE^KA - VEKTOR

1. Relacijata R: “pravata p e paralelna na ...” gi ima slednite svojstva:

a) Pravata p e ________________________________________________________ sama na sebe.

b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{ ___________________________________ .

v) Ako p II q i q II r, toga{ i ________________________________________________________ .

2. a) [ to e pravec opredelen so dadena prava? b) Kolku nasoki ima daden pravec? Odgovor: a) Mnoèstvoto ____________________________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Sekoj pravec ____________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Kolku pravi minuvaat niz: a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki. Odgovor: a) Niz edna to~ka __________________________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Niz dve razli~ni to~ki __________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a II b, a ја сече правата c, i pravata d gi se~e trite

pravi. Vo vrska so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en?

a) O1A2 ↑↑ O1A3 g) O2B1 ↑↓ O1A b) O

3

1A3 ↑↓ O1A1 __________ d) O2B2 ↑↑ O3C v) O

2

1A1 ↑↑ O3C3 |) O1A1 ↑↓ O3C

1

Odgovor: To~ni se slednite iskazi: ___________________________________________________ 5. Koja otse~ka se vika vektor? Odgovor: Otse~kata _________________________________________________________________

__________________________________________________________________________ .

6

6. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori moàt da se formiraat so po~etok vo edna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki? Odgovor: Moè da se formiraat ____________________ vektori.

Ima vkupno ____________________ vektori.

7. Dadeni se vektorite fedcba ,,,,, . Koi od niv se:

a) kolinearni; b) istonaso~eni; v) sprotivnonaso~eni?

Odgovor: a) Kolinearni se: __________, __________ . b) Istonaso~eni se: __________.

v) Sprotivnonaso~eni se: __________, __________ .

8. Vektorot a e napolno (ednozna~no) opredelen so: Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .

b) _______________________________________________________________________ .

v) ________________________________________________________________________ .

9. Neka to~kite M i N se sovpa|aat vo edna ramnina. a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N; b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor; v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor? Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .

b) _______________________________________________________________________ .

v) ________________________________________________________________________ .

7

2. EDNAKVOST NA VEKTORI 1. Na crteòt se dadeni pove}e vektori: a) Istonaso~eni se vektorite _________________ .

b) Sprotivnonaso~eni se vektorite ___________ .

v) Ednakvi se vektorite _______________________ .

2. Koga dva vektora a i b

se ednakvi?

Odgovor: Vektorite a i b

se ednakvi ako: a) _______________________________________________________________________________ .

b) ______________________________________________________________________________ .

3. Za koi dva vektori m i n velime deka se sprotivni? Odgovor: Vektorite m i n se sprotivni ako: a) _______________________________________________________________________ .

b) ________________________________________________________________________ .

4. Daden e vektorot MN ( MN = 3 cm). Prenesi go vektorot MN , taka {to to~kata SM ≡ .

Kolku takvi vektori ima? Odgovor: __________________________________________________________________________ .

5. Daden e vektorot AB . Konstruiraj:

a) Vektor MN ednakov na AB ,

b) Vektor EF sprotiven na AB . Odgovor: a) b)

8

6. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonalite AC i BD.

a) Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi? b) Koi vektori se ednakvi? v) Koi vektori se sprotivni? Odgovor: a) _____________________________ . b) ________________________________ .

v) _____________________________ .

7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP i MN . Konstruiraj vektor,

a) Sprotiven na vektor OP ?

b) Ednakov na vektor MN ? 8. Proveri ja to~nosta na iskazot:

Ako vektorot EFMN = , toga{ i vektorot NFME = . (Napravi crte`!).

9. Ako vektorite CDAB = i CNAM = , toga{ sleduva i vektorot DNBM = . Dokaì!

Dadeno: CDAB = i CNAM =

Tvrdime: DNBM = Dokaz:

9

3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA 1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori:

a) ba

+ , b) cba ++

Odgovor: a) b)

2. Najdi go zbirot na vektorite AB i CD , konstruktivno, po praviloto na triagolnikot. 3. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m , n i p so nadovrzuvawe i po~etna

to~ka S. 4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite:

a) CABCAB ++ b) DACDBCAB +++ Odgovor:

a) CABCAB ++ = _______________ b) DACDBCAB +++ = _______________

10

5. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etna to~ka S.

6. Pokaì deka za koi bilo vektori m i n vaì mnnm

+=+ (koristi go praviloto na pa-ralelogram za sobirawe na vektori).

7. Neka vektorite e i f

se sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir fe

+ .

8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvet-

no. Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot AB i CD (obrazloì go odgovorot).

Odgovor: =MN _____________________ 9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crteòt. Izrazi go vektorot:

a) AC so pomo{ na vektorite a i b

;

b) BD so pomo{ na vektorite b

i c ;

v) AD so pomo{ na vektorite AC i c ;

g) AD so pomo{ na vektorite a i BD ; [ to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori:

a) _________________ b) ___________________ v) ___________________ g) ________________ Odgovor: Operacijata sobirawe vektori e ____________________________________________

11

4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ 1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori a i b

:

a) ba

+ ako ba

> , b) ba

+ ako ba

< .

2. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m i n : a) nm

− ako nm > , b) nm

− ako nm < .

3. [ to zna~i vektorot b

da se odzeme od vektorot a ?

Odgovor: Da se odzeme vektorot b

od vektorot a _______________________________________

___________________________________________________________________________

4. Dadeni se nekolinearnite vektori AB i CD . Konstruiraj ja razlikata CDAB− so po~etna to~ka S.

5. Neka n e proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata: a) on

− b) nn − v) mn

− kade nm −=

12

6. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC i BD. Razlikata na vektorite e:

a) =−ADAB ______________

b) =−BDBC _______________

v) =− BCAB _______________

g) =−SCAS _______________

7. Vo koi slu~ai vaì ravenstvoto:

a) baba

+=+ b) baba

−=+ v) baba

−=−

Odgovor: a) _________________________________________________________________________

b) ________________________________________________________________________

v) _________________________________________________________________________

8. Neka a e proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:

a) am 3= b) an

43

=

9. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:

a) ba

32 + b) ba

23 − ako a i b

se dadeni vektori.

13

5. TRANSLACIJA 1. Neka vagon~eto se dviì pravoliniski po

{inite na prugata, pri {to vo sekoja na-

redna polo`ba ostanuva paralelno so pr-

vobitnata i pritoa formata i goleminata

ostanuvaat postojani. Vakvoto dvièwe

se vika paralelno pomestuvawe ili

______________________________________

2. Koe preslikuvawe se vika translacija? Odgovor: Translacija za vektorot a se vika

_____________________________________________________________________________________

3. So pomo{ na translacija nacrtaj: a) prava a paralelna na dadena prava p, b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B. 4. a) Pri translacija aτ , vektorot a se vika __________________________________________

to~kata ( )MM1 aτ= e _________________________________ na originalot ________________

b) Translacijata a−τ se narekuva _________________________ za translacijata _________

5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri

translacija AB

τ .

14

6. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~-ki pri translacija

PNτ .

Odgovor: PN

τ (M) = _________; PN

τ (N) = _________; PN

τ (P) = _________; PN

τ (Q) = _________. 7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n . Konstruiraj ja slikata M1N1

nτ na otse~kata MN pri

translacija .

Odgovor: nτ (MN) = _________ 8. Konstruiraj ja slikata na ∆ABC pri translacija τ za vektorot a . Odgovor: aτ (∆ABC) = _________

9. Neka a i b

se dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kite

M1 ba

+τ = (M) i M2 ab +τ = (M). Dali to~kite M1 i M2

se sovpa|aat?

Odgovor: To~kite M1 i M2 _________________________________________________________ .

15

6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA 1. Osnovni svojstva na translacijata aτ se:

a) Translacijata go zapazuva ________________________________________________________

b) Ako to~kata M leì me|u to~kite A i B, toga{ i ___________________________________

v) Sekoja figura F pri translacija aτ se preslikuva vo _______________________________

2. Izvr{i translacija τ za vektorot a na otse~kata MN. Ako ( )Μ= aτ1M i ( )NN1 aτ= , to-

ga{ sporedi gi otse~kite MN i M1N1

.

Odgovor: MN __________________ 11NM 3. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pri

translacija nτ . Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki.

Odgovor: Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e ______________________________

redosledot na to~kite A, M i B. 4. Daden e ∆ABC i vektor a . Konstruiraj ja slikata na ABC∆ pri translacija aτ . [ to mo-

è{ da zaklu~i{ za ABC∆ i negovata slika pri translacija aτ .

Odgovor: ∆ABC i negovata slika ________________________________________________________

16

5. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija τ za dade-niot vektor a .

6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija τ za vektorot a , ako a || p. Odgovor: Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo_______________________________ 7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to p∈P i q∈Q . Izvr{i trans-

lacija na pravite p i q za vektorot PQ . Odgovor: Pravata p pri

PQτ se preslikuva vo ____________, a pravata q vo _____________ .

8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija τ za vektorot

DCAD +=x .

9. Izvr{i translacija τ na kru`nicata k (O,r = 2 sm) za vektorot ОP=а , P to~ka od kru`-nicata k.

17

7. PRIMENA NA TRANSLACIJA

1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2,5 cm) pri translacija τ za vektor x so dol-

ìna rx 2=

, pravec i nasoka po tvoj izbor.

2. Dadeni se pravata a, b i vektorot n . Konstruiraj ja slikata M1

nτ na pravata b pri transla-

cija na to~ka M od pravata a. 3. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na trans-

lacija dokaì deka tie se ednakvi. Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↓O1B Tvrdime:

1 ∠AOB ≅ ∠A1O1B

1

Dokaz: 4. So pomo{ na translacija, dokaì deka sosednite agli kaj rombot se suplementni.

18

5. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q. 6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a1 nτ= (a) i b1 nτ= (b), toga{ i pravite a1 i b1

se, isto taka, zaemno normalni. Dokaì!

Dadeno: a ⊥ b ( ) ( )bbaa nn ττ == 11 ,i

Tvrdime: a1 ⊥ b

1

Dokaz: 7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (AB||CD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c.

Dadeno Skica Konstrukcija

8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a . Konstruiraj ja to~kata M1

aτ na pravata p,

slika na to~kata M {to leì na kru`nicata k pri translacijata .

29

Tema II STEPENI.

KVADRATEN KOREN

1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ.

1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi: a) =++ 444 i =⋅⋅ 444 b) =⋅⋅⋅ xxxx i =+++ xxxx

v) =⋅⋅⋅⋅22222aaaaa

g) ( ) ( ) ( ) ( ) mnoìteli10−

=⋅⋅⋅ xxxx 2.....222

2. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni:

a) ( ) =− 34 b) ( ) =42x v) =

2

43

g) ( ) =− 53a

3. Popolni ja tablicava:

Stepen 32 2

42

( )42x

( )5−

2

53

−

( )01+x ( )73−

Osnova 3− 1,3− 3n 32⋅

Eksponent 1 0 5 4

4. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 32 23 − ; b) ( )52 25 −+ ; v) 32 32 xx − ; za { }2,1,0,1,2 −−∈x

30

5. Odredi go znakot na brojot:

a) ( )201− ; b) ( )151− ; v) ( )33− ; g) ( )1004− .

6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite:

a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000.

7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite:

a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1.

8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite:

a) =⋅+−⋅ ⋅

641

449:7104,0 343 b) =+− 332 104:8200

31

2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN

1. Izvr{i go mnoèweto na stepenite:

a) =⋅442 b) ( ) ( ) =−⋅− 52 33 v) =⋅⋅ 34 xxx g) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅− 20 222 aaa

2. Za koj broj Ν∈n e to~no tvrdeweto:

a) 72 222 =⋅ n ; b) nxxxx =⋅⋅ 32 ?

3. Pokaì deka:

a) izrazot 45 1212 − e deliv so 11; b) izrazot 1012 55 − e deliv so 24.

4. Presmetaj gi slednive koli~nici:

a) =24 3:3 b) =

−

−

310

54:

54

v) =1230 : aa g) ( ) ( ) =−− 55 3:3 xx

5. Presmetaj:

a) ( ) 325 : xxx ⋅ ; b) ( )3210 : yyy ⋅ ; v) ( )

13

238

aaaa ⋅⋅

; g) ( )5

555 054 ⋅⋅.

32

6. Izrazi go stepenuvaweto:

a) ( )24xy ; b) ( )3axy− ; v) 4

23

21

− xa ; g)

233

52

yx.

7. Stepenuvaj gi dropkite:

a) 3

43

; b)

2

2

a

; v) 3

127

− ; g)

5

35

43

32

yaya

.

8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a:

a) ( )23a ; b) ( ) ( )4224 aa ⋅ ; v) ( )283 aa ⋅ ; g) ( )

7

233

aaaa ⋅⋅

.

9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot ( )10

325

xxx ⋅

za 2,4−=x .

33

3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ

1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni:

a) 24 ; b) ( )23− ; v) ( ) 25,0− ; g) 2

7

4

.

2. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj:

a) 33 ⋅ ; b) ( ) ( )44 −⋅− ; v) 32

32⋅ ; g) 00 ⋅ .

3. Popolni ja tablicata:

x 21

31

− 1− 1 0 4,0− 73

01,0 10 3− 2

2x

4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -2, -10, 7, -5. 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) ( ) ( )22 34 −−− ; b) ( ) 1434 2 +−⋅ ; v) ( ) 0370 22 ⋅+−⋅ ; g) 22

41

31

−−

.

34

6. Re{i gi ravenkite:

a) 492 =a ; b) 642 =x ; v) 12 =a ; g) .1002 =x

7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren:

a) 9 ; b) 144 ; v) 25,6 ; g) 225

169.


a) 254 ⋅ ; b) 1002− ; v) 01,010− ; g) 5625

.

9. Odredi ja vrednosta na izrazot:

a) 26 ; b) 2

74

; v) 25,0100 ⋅ ; g) 04,0:64 .

10. Uprosti go izrazot:

a) 264a ; b) 2100x ; v) 2

2

6425

ba

; g) 22 81:36 yx .

35

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ. 6. REALNI BROEVI. 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA.

1. Presmetaj:

a) 256 ; b) 3600 ; v) 25,12 ; g) 04,27 .

2. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dve

decimali:

a) 28 ; b) 280 ; v) 5,12 ; g) 8,47 . 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 25,725,664 +− ; b) 26,025,23253252 −−⋅−⋅ .

4. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja vrednosta na:

a) 2 ; b) 3 ; v) 10 ; g) 200 so to~nost od 0,01.

5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi:

a) 5− ; b) 7 ; v) 6− ; g) 13 .

36


a) 102 =x ; b) 252 =x ; v) 502 =a ; g) 1002 =b .

7. Dadeno e mnoèstvoto:

−−−= 5,2,3,

31,2,3,3R . Zapi{i gi mnoèstvata tabelarno:

{ RA ∈= xx i }Q∈x i { RB ∈= xx i }J∈x .

8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ;1015;2;

100141

a potoa sredi gi.

9. Na brojnata oska xO , pretstavi gi realnite broevi:

a) 31

; b) 17 ; v) 3,75; g) 10 .

10. Na brojnata oska na crteòt pretstavi gi to~kite:

A(-2), B(+4), C(-3,5), D( 2− ), E( 2 ) i F( 21+ )

43

Tema III

POLINOMI

1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI)

1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:

a) 2423 ⋅− ; b) 2224:820

−+

; v) 1,0

64:8)4( 22 +−; g) 24:86532 224 ⋅+⋅−⋅ .

2. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to:

a)

41205

5,0314

⋅−

⋅−; b)

3557168+⋅−

−; v)

1121001,010

3

2

+⋅⋅−

; g) 42

2

2411417

−+⋅−

.

3. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz:

a) 232 3 −− xx za 1−=x ; b) 2

2

35

abba

−+

za 1−=a i 3−=b .

4. Za racionalniot izraz x

xx−−

=3

1)(A3

, odredi )2(A − i )0(A .

44

5. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot:

a) 3

5

34

⋅⋅

aaaa

za 2−=a ; b) 2

3

54

⋅b

bbza 2−=b ; v) 45

234

xxxxx

⋅⋅⋅

za 1−=x .

6. Daden e izrazot P1

222

2

−−+−

=a

aa. Odredi ja negovata brojna vrednost za ( )24,1,0,1,2 −−∈a .

Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran?

7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: yxx ⋅− 33 , za:

a) 1,2 −== yx ; b) 0,2 =−= yx ; v) 1,0 −== yx ; g) 31

=x .2−=y

8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite:

),( ba ba − ab − ba −2 ab −2

)2,1(

)1,3( −

)4,2( −−

)5,1;21( −

[ to zabeleùva{? Kakvi se vrednosite na izrazite ba − i ab − t.e. ba −2 i ab −2 za ist par vrednosti na promenlivite a i b ?

45

2. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI

1. Dovedi gi vo normalen vid monomite:

a) 42 aa ⋅ ; b) )6(5,0 223 baab −⋅− ; v) )522(

41 2 aa −⋅ ; g) )

21(10

52 32 yyxx −⋅⋅ .

2. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot:

a) )2(5 4yx −⋅ ; b) )43(

32 32 aba −⋅− ; v) 34axy− ; g) 42 32 aab ⋅ .

3. Napi{i monomi so:

a) glavna vrednost 2xy i koeficient 21

− ; b) koeficient a31

i glavna vrednost 23 yx− ;

v) koeficient 1− i glavna vrednost yx3− ; g) glavna vrednost 23ba i koeficient 1 . 4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot:

a) 324 ba− za 1−=a i 2=b ; b) yx2

21

− za 21

−=x i 4−=y .

46

5. Popolni ja tablicata:

monom sprotiven monom sli~en monom

23axy−

bxy31

+

425,0 yx−

axy214

6. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni:

a) 32xy ; b) xy3− ; v) xy31

− ; g) 32,0 xy .

7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:

a) ab31

− ; b) 322,0 ba+ ; v) ab31

; g) ab2,0− .

47

3. BINOM. TRINOM. POLINOM. 4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT.

1. Od monomite: ;4ax ,2 2 xa− ,7ay ,2x− ,8− ,3x− formuliraj eden

a) binom; b) trinom; v) polinom.

2. Dovedi go polinomot vo normalen vid:

a) )3(4)3(2 22 yxyxyx −−−⋅ ; b) 322232 4,23,45,25,1 yaayayya +−+ .

3. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite:

a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd . 4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot:

a) 322 23 +− aa ; b) 231 2 −− xyx ; v)

5134 −+ ba

.

5. Svedi go polinomot vo normalen vid:

a) bababaaba 222 53473 −⋅+⋅−⋅⋅ ; b) 3333

103

51 yxyx − + baba 22

21

43

− .

48

6. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot:

a) 532 2 −+ aa za 5−=a ; b) yxxyxy 234 22 ++−− za 2−=x i 5−=y

7. Odredi go stepenot na monomot:

a) 2

312 xy ; b) 2a− ; v) 232 yx− ; g)

514 .

8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:

a) 122 23 −+− xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 −+− .

9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i y

a) 753 6423 xyyy ++−− ; b) xxyyxx 426,45,0 2536 −−+− . 10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x , po~nuvaj}i od najvisokiot stepen poli-

nomite:

a) 32543 352 +−+−− xxxx ; b) 7543 5,02,112 xyxyx +− .

49

5. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI 6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI

1. Odredi go zbirot na monomite:

a) 22xy , 2xy− , 23xy− , 25,0 xy ; b) 324 yx− , xy2− , xyyx 2,21 22 ++ .

2. Od monomot 233 yx− odzemi go monomot:

a) 235 yx− ; b) 233 yx+ ; v) 233 yx− ; g) 23 yx . 3. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto:

a) 2323

41

213 babax =− ; b) baxba 22 2,35,4 −=− .

4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot:

a) 2222 25,535,4 xyxyxyxy −+− ; b) 222

31

41 bababa +− .

5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:

a) 122 23 −+− xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 −+− .

50

6. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid:

a) );3()22( 2 xxx −+− b) )4()4( 33 −+−−−− aaaa .


a) )22()2( 2323 −+−++−+ xxxxx ; b) )342()342( 22 +−−+− xxxx .


a) −+ a24 7)43( =−a ; b) 100)107()34( =−−+ xx .

9. Dokaì deka vrednosta na izrazot:

)152()235()123( −−−−+−+− bababa ne zavisi od a i b .

10. Pretstavi go trinomot:

a) 242 2 +− aa ; b) 233 2 −+ xx vo vid na zbir od dva binoma.

51

7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI

1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot:

a) =+−−+−+ )1()12( 22 xxxx b) =−−− )32()34( 2222 abbaabba

2. Dadeni se polinomite: A ,132 2 +−= xx B 122 −+= xx , i C 32 −= x . Pokaì deka vaàt zakonite:

a) ABBA +=+ ; b) )CB(AC)BA( ++=++

3. Odredi polinom A , koj e ednakov na zbirot na polinomite:

a) xyxyyx +− 23 42 i xyxyyx −+ 23 2 ; b) 331

41 2 −− abba i 5

41

21 2 ++ abba .

4. Odredi polinom M , koj e ednakov na razlikata na polinomite:

a) 224 xx −+− i 423 2 −− xx ; b) 52 23 −+− xxax i 54 23 +−+− xxax .

52

5. Za polinomite: A 132 23 −+−= xxx , B 422 23 −++−= xxx i C 522 23 ++−= xxx odredi:

a) CBA ++ ; b) )CB(A ++ ; v) )CB(A +− ; g) )CB(A −− .

6. Pokaì deka e to~no ravenstvoto:

a) 0)432()423( 22 =−−++− xxxx ; b) 3232233223 8,4)4,23()4,23( xaxaxaxaxa =−−−+− .

7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot )5()54( −−−+ xx e ednakva na 0. 8. Dokaì deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no po

obraten red e deliv so 11.

53

8. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI 9. STEPENUVAWE NA MONOMI 10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM

1. Presmetaj go proizvodot na monomite:

a) 34 aa ⋅ ; b) )3(4 2 abab −⋅ ; v) )3(2 2 xx −⋅ ; g) )5,0()4( 22 xxy −⋅− .

2. Presmetaj:

a) xyyx434 24 ⋅− ; b) )4(6 22 ababx −⋅ ; v) )5,0()6,0( 2332 yxyx −⋅− .

3. Odredi gi slednive proizvodi:

a) nn xyyx 33 2 ⋅ ; b) nnn yxyx 2221

54

41 ++ ⋅ .

4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite:

a) )6(:24 45 xyccyx − ; b) yxyx 424 12,0:6,3 ; v) 222244

211:

311 yxayxa− .

5. Presmetaj:

a) )5,0(:4,0 333457 zyxzyx − ; b) )21(:

32 23234 xyayxa −− .

54

6. Stepenuvaj gi monomite:

a) 2)2( x ; b) 23)3( abx− ; v) 32 )( zxy− ; g) 342 )21( ba− .

7. Presmetaj:

a) 2)4( xy ; b) 3222 )2(43 abba −⋅− ; v) )()4( 2232 xyyx −⋅ .

8. Presmetaj:

a) xyx 2)32( ⋅− ; b) )2()346( 2 abaabab −⋅+− . 9. Odredi go polinomot P , taka {to:

a) 222 P)1()1( aaaaa +=+⋅+⋅+ ; b) )12(3)2(P 22 −−⋅=−− xxxxx . 10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot:

a) 6)2(3 ++x e ednakva na 10; b) )2(3)1(2 ++− xx e ednakva na 8?

55

11. MNO@EWE NA POLINOMI 1. Presmetaj gi proizvodite:

a) )5()12( +⋅− aa ; b) )33()1( 2 +−⋅− xxx ; v) )53()24( yxyxxy −⋅+ .

2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

a) )2()4()2()2()3()1( +⋅−+−⋅+−+⋅− xxxxxx ; b) )13(4)1()12( 22 −−⋅−+⋅+− xxxxxx .

3. Dadeni se polinomite: 1A += x , 23B += x , 32C −= x . Presmetaj:

a) CA ⋅ ; b) CB ⋅ ; v) CBA ⋅⋅ ; g) B)(A)(C −⋅⋅ .

4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot:

a) 10)4()32()23)(126( 22 −−⋅+−−+− xaaaa ; b) )1()1( 234 +⋅+−+− aaaaa .

56

5. Pokaì deka ravenstvoto e to~no:

2)1)(1()1()1( 22 +−++=+⋅+− aaaaaa .

6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot:

)23)(32(6 2 −−− xxx ima vrednost 7.

7. Dokaì deka za N∈a izrazot:

)5)(11()5( +−−+⋅ aaaa e deliv so 11.

8. Odredi )(C)(B)(A xxx ⋅− ako 1)12()(A +=++ xxx .

12)1()(B 2 −=+− xxx i 2)(C2 +=− xxx

9. Dokaì deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot

)23(3)12(5)2()3( 2 +++−+−⋅+ nnnnn e sekoga{ pozitiven.

57

12. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE 1. Presmetaj gi proizvodite:

a) )2)(2( +− aa ; b) )12)(12( −− xx ; v) )53)(35( xyyx +− .


a) ),())(( 22 yxyxyx +⋅+− b) )1()1)(1( 2aaa +⋅−+ .

3. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid:

a) )2()3()3( −−−⋅+ xxxx ; b) ( xyyxxyxyx 2)(2)2)(2 +−−+− .

4. Presmetaj gi proizvodite:

a) 23 17⋅ ; b) 7,5 6,5⋅ ; v) 10298 ⋅ ; g) 219

2110 ⋅ .

5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj:

a) 2)3( +x ; b) 2)4( a− ; v) 2)121( +x ; g) .)23( 2ba −

58

6. Odredi go monomot M , taka {to ravenstvoto da bide to~no:

a) ,8M)4( 2222 bbaba +−=− b) 422 4129)M3( xx ++=+ . 7. Uprosti go izrazot:

a) )3)(3()32()52( 22 xxxx +−++−− ; b) )1)(1(6)1(4)1( 22 −+−+−− aaaa . 8. Re{i gi ravenkite:

a) 20)5(2)1(2 2 =−−+ xxx ; b) 22)1)(1(4)12( 2 =+−−+ xxx . 9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite:

a) 251 ; b) 25,199 ; v) 22 99101 + ; g) 2105 .

59

13. DELEWE NA POLINOM SO MONOM. 14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM


a) 3:)186( yx + ; b) )5(:)1525( 2243 xyyxyx −− ; v) xxxx 8,0:)22,14,0( 23 +− . 2. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite:

a) )42(65:)1510( −⋅+− xx ; b) ⋅−⋅−−− )43

21(4)4(:)816( 2 aaaa

3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:

)13(:)1378169( 33334334 babababa −+− za 1−=a i 2=b .

4. Re{i ja ravenkata:

921:)32()2(:10 223 =−−−− xxxxx .

5. Odredi go koli~nikot:

a) )3(:)12( 2 −−+ aaa ; b) )1(:)12( 2 −+− xxx .

60

6. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto:

( ) ( )4 3 7 420 41 16 20 10 : 5 4x x x x x− + + − − .

7. Presmetaj gi koli~nicite:

a) )1(:)1( 2 −− aa ; b) )1(:)1( 5 ++ aa ; v) )1(:)1( 9 ++ xx .


a) 4)12(:)352( 2 =−−+ aaa ; b) 4)32(:)6136( 2 =−+− xxx .

9. Ako 3223 24128)(B)(A yxyyxxxx +−−=⋅ i yxx += 2)(B . Opredeli go )(A x . 10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok:

a) )23(:)4415( 2 −+− aaa ; b) )532(:)2537( 2234 ++++++ xxxxxx .

61

15. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI 1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi:

a) x2 ; b) 4

2 yx −; v)

y2

; g) 132

−−

aa

.

2. Zapi{i dva algebarski izraza: a) koi se racionalni; b) koi ne se racionalni. 3. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz:

a) 1

2−xx

; b) y

a 12 − ; v) )2)(1(

2+− xx

; g) a

aa31

12

−−−

.

4. Skrati gi dropkite:

a) 2

2

)1(1−−

xx

; b) )3)(3(

92

+−−xx

x; v) 22

2)(baba−+

.

62

5. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran:

a) aa

314−−

; b) a

a22

1++

; v) aa

513+−

; g) )23)(3( −+

+aaba

?

6. Odredi go mnoèstvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalnite

izrazi imaat smisla:

a)12

1+a

; b) 4

22 −a

a; v)

)23)(3( −++

aaba

.

7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla? a)

xx

324−−

; b) x

x22

2++

; v) x

x71

1−−

; g) 6

5−+

xx

.

63

16. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI

1. Izvle~i gi zaedni~kite mnoìteli pred zagrada:

a) 22 −a ; b) xyx −2 ; v) axay 63 − ; g) xax 43 −− .

2. Razloì gi polinomite na mnoìteli:

a) 23 4 xyxyxy +− ; b) 4332 201510 yxxyyx +− ; v) abbaba 24126 2243 +− .

3. Skrati ja dropkata:

a) 2)(22yx

yx++

; b) x

x927)3( 2

−−

; v) yyxxyyxx

⋅++−)(

2)(; g)

)(3)(2 2

baaabba

++++

.

4. So razloùvawe na mnoìteli pokaì deka izrazot:

a) 456 888 +− e deliv so 57; b) 12137 6636 +− e deliv so 31.

5. Razloì go na prosti mnoìteli izrazot cxbxax ++ , a potoa presmetaj ja brojnata vred-

nost za: 41=a , 34=b , 25=c i 55,0=x . 6. Razloì gi slednive binomi na mnoìteli: a) 19 22 −ba ; b) 222 25 yxx − ; v) 22 9100 yx − .

64

7. Presmetaj:

a) 22 1939 − ; b) 22 39111 − ; v) 22 )425()

437( − .

8. Skrati gi dropkite:

a) 255

2

2

−−

aaa

; b) 4

242 −−

xx

; v) 1

1 2

−−x

x.

9. Dokaì deka, za koj bilo N∈a vrednosta na izrazot:

a) 22)11( aa −+ e deliv so 11, b) 1)74( 2 −+a e deliv so 4. 10. Razloì gi na mnoìteli polinomite:

a) 269 xx ++ ; b) 22 44 yxyx +− ; v) 2

32

91 aa ++ ; g) 22 92416 baba ++ .


a) 962 ++ xx za 2−=x ; b) 22 4129 baba +− za 31

=a i 21

−=b .

12. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot:

a) =+⋅⋅+ 22 232369269 b) =+⋅⋅− 22 8,58,53,823,8

13. Skrati ja dropkata:

a) 169

3+−

−yy

xxy; b) 2

2

92525159

xxx

−+−

.

79

Tema IV KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK.

PLO[ TINA

1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA

1. Eden kruèn lak pretstavuva:

a) 125

; b) 53

; od kru`nicata.

Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica. a). b). 2. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica? Odgovor: ________________________________ 3. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 135O

?

Odgovor: ________________________________ 4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesu-

vaat kako 1 : 2 : 3. 5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa leàt na edna kru`nica so centar vo to~ka O i

pritoa EFCDAB == i FADEBC == . Dokaì deka ∠AOC = 120O

.

80

2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA 1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina: a) 70O; b) 130O; v) 90O

.

2. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina: a) 180O; b) 43O; v) 235O

25’ 36”?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Dokaì deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni. 4. Dokaì deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kruèn lak se se~at vo sredi-

nata S na toj lak. 5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata hc

kon nea.

81

3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA

1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k. a) b) 2. Kakvo mnoèstvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat: a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi ? Odgovor: a) ____________________ b) ____________________ 3. Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p ≠ q i p || q. Dokaì deka dopirni-

te to~ki p ∩ k i q ∩ k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata. 4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mnoèstvo od to~-

ki obrazuvaat presecite p ∩ q na site pravi p i q so toa svojstvo? 5. Neka ∠AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k vo

to~kite A i B, kolkav e agolot me|u to~kite A i B?

82

4. TETIVEN ÊTIRIAGOLNIK

1. Dali okolu pravoagolen trapez moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot i

napravi crte`. Odgovor: _________________________________ 2. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se: a) ∠A = 50O, ∠B = 70O, ∠C = 130O, b) ∠A = 65O, ∠B = 115O, ∠D = 80O

v) ∠B = 50,

O, ∠C = 60O, ∠D = 80O,

moè da se opi{e kru`nica?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________. 3. Dali moè da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ed-

nakvi na: a) 80O, 56O, 124O, b) 130O, 150O, 40O, v) 20O, 70O, 160O

?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 4. Dali okolu deltoid moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot? Odgovor: _________________________________ 5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70O, 80O i

140O

.

83

5. TANGENTEN ÊTIRIAGOLNIK

1. Vo koi paralelogrami moè da se vpi{e kru`nica? Zo{to? Odgovor: ________________________________ 2. Odredi ja dolìnata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tan-

genten, ako:

a) AB = 5 cm, CD = 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD = 8 cm i DA = 5 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dolìni

2 cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to? Odgovor: ________________________________ 4. Dokaì deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne moè da se vpi{e kru`nica! 5. Nacrtaj trapez vo koj moè da se vpi{e i se opi{e kru`nica.

84

6. OP[ TO ZA MNOGUAGOLNIKOT

1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik. 2. Kolku dijagonali moè da se povle~at: a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik? Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 3. Eden n – agolnik e takov {to vo nego moè da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja e

vrednosta na n? Odgovor: _________________________________ 4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165O,

148O, 172O, 155O i 163O

.

5. Dali postoi konveksen n – agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 130O

? Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!)

Odgovor: _________________________________

85

7. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI

1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi: a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik. 2. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45O

?

3. Dokaì deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nad-

vore{niot agol. 4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ram-

nokraki triagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen pet-agolnik?

Odgovor: ________________________________ 5. Ako A1A2A3A4 ..... An e pravilen n – agolnik, dokaì deka A1A4|| A2A3

.

86

8. OPI[ ANA I VPI[ ANA KRU@NICA

1. Odredi go mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od: a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik. Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 2. Za koj pravilen n – agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik? Odgovor: n = __________ 3. Ako A1A2A3 ..... A2k e pravilen 2k – agolnik (k > 2), pokaì deka A1A3A5 ..... A2k-1

e pravilen k – agolnik.

4. Eden pravilen n – agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol? Odgovor: _________________________________ 5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108O

pogolem od centralniot agol?

Odgovor: _________________________________

87

9. KONSTRUKCIJA NA NEKOI

PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica. 2. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik. 3. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik. 4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm. 5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik.

88

10. PITAGOROVA TEOREMA

1. Najdi ja dolìnata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta: a) c = 20 cm, b = 16 cm ; b) c = 29 cm, b = 21 cm ; v) c = 7 cm, b = 3 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________. 2. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi 2,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite na

strelkite koga tie pokaùvaat 3 ~asot? Odgovor: _________________________________ 3. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii kateti

se dolgi: a = 6 cm, b = 2,5 cm? 4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi 2,4 dm i 7 dm. Odredi ja dolìnata na

teì{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata. Odgovor: _________________________________ 5. Dali triagolnikot so strani: a) 15 cm, 2 dm i 2,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen?

89

Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA

1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 20 cm. Odgovor: ________________________________ 2. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot na

taa kru`nica. Odgovor: ________________________________ 3. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7

cm, b = 1,9 cm i visinata h = 2,5 cm. Odgovor: ________________________________ 4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius 3,9 cm se na rastojanie eden od drug 7,2 cm.

Presmetajte ja dolìnata na nivnata zaedni~ka tetiva. Odgovor: ________________________________ 5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj visinata kaj os-

novata e dolga 6,4 cm. Odredete gi dolìnite na stranite na triagolnikot.

90

Odgovor: _________________________________ 12. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA

KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ... 1. Da se konstruira otse~ka so dolìna:

a) 10 cm; b) 13 cm. 2. Da se konstruira otse~ka so dolìna:

a) 15 cm; b) 21 cm.

3. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 22 9ba + .

4. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 224 ab − .

5. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna ab4 .

(Upatstvo: ( ) ( )224 babaab −−+= )

91

13. POIM ZA PLO[ TINA

1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni. 2. Plo{tinata od 4 m 2

a) cm, izrazi ja vo:

2 ; b) mm 2

.

Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 3. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikot

AMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD. 4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi. 5. Neka F1 i F2 P (F

se dve geometriski figuri. Obidi se da dokaè{ deka: 1 ∪ F2) = P (F1) + P (F2) - P (F1 ∩ F2

).

92

14. PLO[ TINA NA PRAVOAGOLNIK

1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 240 m i 180 m treba da se nasadi so lozje.

Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, a rastojanieto me|u redovite e 1,2 m?

Odgovor: _________________________________ 2. Kvadrat so strana 12 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Ko-

ja od tie dve figuri ima pogolem perimetar? Odgovor: _________________________________ 3. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadeni

kvadrata so strani a i b. 4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa leàt na stra-

nite na kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL. Odgovor: ________________________________ 5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm.

Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik. Odgovor: _____________________________________________________________________________

93

15. PLO[ TINA NA PARALELOGRAM

1. Ako dolìnata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime 3 pati, kako treba da ja prome-

nime soodvetnata visina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromeneta? Odgovor: ________________________________ 2. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 43,2 cm 2

. Presmetaj ja visinata na rombot.

Odgovor: ________________________________ 3. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna visina 280 m. Za kolku

dena taa }e bide izorana: a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari; b) od eden traktor koj izoruva po 3,5 ha dnevno?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dolìna 6

cm, a pomaliot agol me|u stranite iznesuva 60O

.

Odgovor: ________________________________ 5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie 2,5 cm i 3 cm od pravite

na koi leàt negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negova-ta plo{tina iznesuva 60 cm 2

.

Odgovor: ________________________________

94

16. PLO[ TINA NA TRIAGOLNIK

1. Stranata i soodvetnata visina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Moè li negovata

plo{tina da bide ednakva na: a) 16 cm 2; b) 20 cm 2; v) 25 cm 2

Zo{to? ?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 2. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a visinata {to í

odgovara na osnovata ima dolìna 3,6 cm. Odgovor: _________________________________ 3. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimeta-

rot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: _________________________________ 4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strani 15 m, 10 m i 12 m. Presmetaj ja plo{tinata

na dvorot. Odgovor: _________________________________ 5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm2

i perimetar 20 cm. Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica.

95

Odgovor: ________________________________ 17. PLO[ TINA NA TRAPEZ

1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a visinata mu e

5,5 cm. Odgovor: ________________________________ 2. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi 2 dm i 2,5 dm, a podolgiot krak e 13 cm. Presme-

tajte go perimetarot i plo{tinata na toj trapez. Odgovor: ________________________________ 3. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 26

cm, b = 12 cm i krakot c = 17 cm. Odgovor: ________________________________ 4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm 2

, a osnovite mu se dolgi 13 cm i 4 cm. Presmetaj go negoviot perimetar.

Odgovor: ________________________________ 5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 63 cm i 32

cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.

96

Odgovor: _________________________________ 18. PLO[ TINA NA DELTOID

1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d1 = 7,3 dm i d2

= 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{-tina.

Odgovor: _________________________________ 2. Plo{tinata na eden deltoid e 256 cm2

. Presmetaj gi dolìnite na negovite dijagonali, ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.

Odgovor: _________________________________ 3. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana ima

dolìna 3 cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dolìna 3 cm. Odgovor: _________________________________ 4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dolìna 2 cm

i ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45O i 60O

so pomalata i pogolemata strana, soodvetno.

Odgovor: _________________________________ 5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite di-

jagonali imaat dolìni d1 = 7 cm i d2

= 11 cm.

97

Odgovor: ________________________________ 19. PLO[ TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK

1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r = 2,5 cm. Presmetaj gi pe-

rimetarot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: ________________________________ 2. Stranata na pravilen {estagolnik e 3,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na

{es tagolnikot. Odgovor: ________________________________ 3. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = 2 cm. Da se presmeta plo{tinata na osuma-

golnikot, ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dolìna ( )21+=r cm. Odgovor: ________________________________ 4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen

{es tagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina? Odgovor: ________________________________ 5. Okolu kru`nica so radius 3 cm opi{an e petagolnik so perimetar 32 cm. Presmetaj ja

plo{tinata na petagolnikot. Odgovor: ________________________________

98

20. DOL@INA NA KRU@NICA

1. Presmetaj ja dolìnata na edna kru`nica so radius r = 3,14 cm. Odgovor: _________________________________ 2. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dolìnata na

taa kru`nica. Odgovor: _________________________________ 3. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednoto

trkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km? Odgovor: _________________________________ 4. Edna trka~ka pateka ima radius 350 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva

6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo: a) metri vo sekunda, b) kilometri na ~as. Odgovor: _________________________________ 5. Eden kruèn stolb moè da se namota to~no 4 pati so edno jaè ~ija dolìna e 5 m. Pres-

metaj go radiusot na stolbot.

99

Odgovor: ________________________________ 21. DOL@INA NA KRU@EN LAK

1. Presmetaj ja dolìnata na kruèn lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovara

na centralen agol od 75O

.

Odgovor: ________________________________ 2. Eden kruèn obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kruèn lak {to od-

govara na kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na toj kruèn lak.

Odgovor: ________________________________ 3. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvato-

rot za vreme od: a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 6370 km.) Odgovor: ________________________________ 4. Ohrid i Belgrad se nao|aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me|usebna

oddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e α1 = 41O7’, a na Belgrad e α2 = 44O

48’. (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)

Odgovor: ________________________________ 5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me|usebno se dopiraat (vidi

go crteòt). Presmetaj ja dolìnata na kai{ot.

100

Odgovor: _____________________________________ 22. PLO[ TINA NA KRUG

1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kruèn bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m. Odgovor: _________________________________ 2. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tie

dve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku? Odgovor: _________________________________ 3. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina moè da zafati

zemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok? Odgovor: _________________________________ 4. Edna {uma ima forma na krug so radius 2 km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`-

no po 3 drva na sekoi 10 m2

. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma.

Odgovor: _________________________________ 5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {esta-

golnik. Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekoja plo~ka iznesuva 10 cm ?

Odgovor: _________________________________

101

23. PLO[ TINA NA KRU@EN ISEÔK I KRU@EN PRSTEN

1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na kruèn ise~ok, {to mu

odgovara na centralen agol od 70O

.

Odgovor: ________________________________ 2. Perimetarot na eden krug e L = 25,2 cm, a dolìnata na lakot na eden kruèn ise~ok od

nego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok. Odgovor: ________________________________ 3. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dolìni L1 = 9,42 dm i L2

= 6,28 dm. Presmetaj ja plo{tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat.

Odgovor: ________________________________ 4. êtiri kru`nici so ednakvi radiusi r = 2,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Pres-

metaj ja plo{tinata na delot od ramninata me|u niv. Napravi crte`. Odgovor: ________________________________ 5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednak-

voplo{ni figuri – kruèn prsten i krug.

102

Odgovor: _________________________________ 24. DIJAGRAMI

1. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so zelen~uk, 2,6 dekari so ovo{je, a 3,5 dekari posadil

so ìtarici. Ovie podatoci pretstavi gi so: a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram. 2. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram. 3. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana:

1997 1998 1999 2000 2001 1600 toni 1750 toni 1870 toni 1720 toni 1690 toni

Ovie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{? 4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 163 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40

bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }e go podeli{ krugot?

5. Edna fabrika ima proizvedeno 105

proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 53% se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pret-stavi gi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram.

103

115

Tema V FUNKCIJA.

PROPORCIONALNOST.

1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA 1. Vo podredeniot par ),( yx , prva komponenta e _________ , a vtora komponenta e _________ . 2. Zapi{i gi site podredeni parovi koi moàt da se formiraat od elementite na mnoèst-

voto { }6,4,2A = Odgovor: ____________________________________________________________________________ 3. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa|a na mnoèstvoto

{ }6,5,2A = , a vtora komponenta na mnoèstvoto { }ba,B = . Odgovor: ____________________________________________________________________________ 4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi: a) (4,5); b) (6,2); v) (3,3). Odgovor: 5. Dadeni se mnoèstvata { }7,5,3A = i { }4,2B = . Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so graf

mnoèstvoto: a) {=×BA b)

116

6. Dadeni se mnoèstvata { }ba,A = i { }5,4,3B = . Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna {ema mnoèstvoto =×AB

Re{enie:

a) {=×AB b) 7. Dadeno e mnoèstvoto { NxxA ∈= i }74 ≤< x . Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) so

graf mnoèstvoto 2AAA =× Re{enie: a) =2A b) 8. Dadeno e mnoèstvoto { })9,5(),8,2(),4,3(),4,2(),4,5(),8,3(BA =× . Zapi{i gi tabelarno mno-

èstvata: {=A {=B 9. Dadeni se mnoèstvata { }5,3,1M = i { }4,2B = . Formiraj gi mnoèstvata BA× i AB× i

obrazloì zo{to ABBA ×≠× Re{enie: a) {=×BA b) {=×AB v) ABBA ×≠× bidej}i ____________________________________________________________ 10. Dadeni se mnoèstvata { }2,1,0A = , { }3,2B = i { }5,4C = . Pokaì deka e to~no slednovo

ravenstvo: C)(BC)(ACB)(A ×∪×=×∪

117

2. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM

1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: )5,2(A ,

431B ; )3(C − ; )0(0 .

Odgovor: 2. Odredi go rastojanieto na to~kata M

od pravite Ox i Oy na crteòt. Odgovor: To~kata M: od Ox e oddale~ena _____ edinici. od Oy e oddale~ena _____ edinici. 3. Odredi gi apscisata i ordinatata na

to~kata )5,2;21(A −

Odgovor:

apscisa e: ___________________________

ordinata e: _________________________

4. Vo koj kvadrant se nao|aat

to~kite NT,M, i K , crte` 2. Odgovor: M se nao|a vo ___________________

T se nao|a vo ____________________

N se nao|a vo ___________________

K se nao|a vo ___________________

5. Zapi{i gi koordinatite na to~kite NT,M, i K , crte` 2. Odgovor: M( , ); T( , ); N( , ); K( , ). 6. Vo pravoagolniot koordinaten

sistem pretstavi gi to~kite: 3,2)A(− ; )4,1(B − ; )3;3(C ; )2;0(D − ; )0;1(E −

118

7. Vo pravoagolen koordinaten sistem pretstavi ja otse~kata AB , ako:

)1;2(A −− i )4;3(B 8. Vo pravoagolen koordinaten sistem

pretstavi go triagolnikot ⌠ABC, ako )2;1(A − )2;1(B − i )3,3(C

9. Vo pravoagolen koordinaten

sistem dadeni se koordinatite na to~kite )2;4(A −− i )3;2(D − . Konstruiraj go trapezot ABCD , na koj temiwata B i C se simetri~ni so A i D soodvetno vo odnos na koordinatnite oski.

10. Odredi gi koordinatite na

temiwata na kvadrat na koj ednoto teme e to~kata )2;1(A −− , dve po dve strani mu se paralel-ni so koordinantnite oski i stranata mu e dolga 4 edinici.

119

3. RELACIJA 1. Ako A i B se neprazni mnoèstva, sekoe podmnoèstvo od Dekartoviot proizvod BA × se

vika_______________________ od A vo B .

2. Vo mnoèstvoto M so graf zadadena e relacijata R . Zapi{i ja tabelarno relacijata R . Odgovor: R = ______________________________________________ 3. Vo mnoèstvoto { }8,7,6,5,4,3,2,1A = zadadena e relacijata R “...... e za dva pogolemo od ..... “.

Pretstavi ja relacijata : a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in. Odgovor: a) R = _______________________ b) R = _______________________ 4. Od mnoèstvoto { }10,8,6,4,2A = kon mnoèstvoto { }5,4,3,2,1B = dadena e relacijata: R ”..... e dva pati pomal od ..... “. a) Relacijata R pretstavi ja so graf; b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in. Odgovor: a) b) R = _______________________ 5. Vo mnoèstvoto { }6,4,2M = сe dadenи relaciите: а) ":"1 ≤R и б) ":"2 =R . Пretstavi ги овие релации табеларно. Odgovor: a) b)

120

4. FUNKCIJA 1. Na crteòt so graf dadeni se tri relacii. Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata. Odgovor: a) Funkcija e _______ ; b) Domen e mnoèstvo _________________________________ ; v) Kodomen e mnoèstvo ___________________ . 2. Kaj funkcijata BA: →f , simbolot A∈x se vika ___________, a y ili B(x)∈f se vika

___________. 3. Od mnoèstvoto { NxxA ∈= i }8x ≤ kon mnoèstvoto { }cba ,,B = dadeno e preslikuvawe-

to ...:f ako x e prost broj, toga{ ax → , ako x e sloèn broj, toga{ bx → , ako x ne e ni prost ni sloèn broj, toga{ cx → . Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf.

4. Sekoja to~ka ),K( yx od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka ),('K xy . Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite:

)0,5(D);2,0(C);4,3(B);3,1(A −−− . Napravi crteì:

Odgovor: 5. Funkcijata f e zadadena so grafikonot:

{ })5,2(),4,1(),3,0(),2,1(),1,2(),0,3( −−−=f . Opredeli gi : a) domenot na f ; b) kodomenot na f . Odgovor:

a) D = ____________________ ; b) B = ____________________ ;

121

5. ZADAVAWE NA FUNKCII 1. Zadadeni se funkciite: { }),4)(,3)(,2)(,1( acbaf = { }),3)(,2)(,1( cbaq = i { }),4)(,3)(,2)(,1( cacbh = .

Koi od ovie funkcii se ednakvi: Odgovor: Ednakvi se funkciite _______________________________________________________ 2. Za edna funkcija BA: →f velime deka e zadadena, ako se poznati: __________________________________________________________________________________ 3. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome|u po-

minatiot pat i potro{enoto vreme: Odgovor: 4. Grafikot na funkcijata e { })1,2(),4,5(),1,3(),0,2(),1,1( −−−−=f . Pretstavi ja funkcijata so tablica. Odgovor:

x

f(x)

5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi 3 ~asa i e dobiena slednata tablica.

~as 6 9 12 15 18 21 24 tem -6 -2 8 6 2 0 -4

Od tablicata odredi: a) )24()18();9( fff . b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisoka Odgovor: a) =)9(f _______________; =)18(f _______________; =)24(f _______________;

b) Temperaturata bila najvisoka vo _________ ~asot.

6. Grafikot na edna funkcija e { })1,0(),3,2(),1,1)(3,1(),5,2( −−−−=f .

Pretstavi ja funkcijata )(xf : a) tabelarno , b) grafi~ki. Re{enie: a) b)

x

f(x)

122

7. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mnoèstvoto Z so koja e izrazeno: “sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata”.

Odgovor: =)(xf ___________________________ 8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcija-

ta ZA: →f 2)( −= xxf , ako definicionata oblast na funkcijata e mnoèstvoto

{ }2;1;0;1;2;3A −−−=

x

f(x)

9. Dadena e funkcijata 1:)ZA(: −→→ xxq . Opredeli go mnoèstvoto podredeni parovi

qyx ∈),( , ako { }4;2;0;1;3;5A −−−= Odgovor: =Γq _____________________________ 10. Funkcijata h e zadadena so tablica.

x -2 -1 0 1 2

h(x) 5 3 1 -1 -3

Pretstavi ja grafi~ki.

123

6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA 1. Koi od slednive koli~nici se razmeri

a) 7 : 9; b) 54:

43

; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : 2 kg ; d) gg21:1,0 .

Odgovor: Razmeri se: __________________________________________________________________

2. Zapi{i go obratniot razmer na razmerot yx

.

Odgovor: Obratniot razmer e: _________________________________________________________ 3. Napi{i gi to~no slednite odnosi:

a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : 2 min; v) 1,2m2:4dm

2.

Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi:

a) 0,6 : 0,7; b) 41:

32

; v) 4,0:438 .

Re{enie: Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot:

a) 6:72 =x b) 511

412: =x

Odgovor: a) x = _____________ ; b) x =_______________ .

124

6. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite:

a) 12503020 ⋅=⋅ b) 56,142 ⋅=⋅

Odgovor: a) 20 : 50 = b) 2 : 1,6 = 7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 20:9:5,4 =x Odgovor: x = _____________ ; 8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 21:42)2(:18 =+x Odgovor: x = _____________ ; 9. Vo edno u~ili{te brojot na mомчиња sprema brojot na девојчиња se odnesuva kako 4 : 5.

Opredeli kolku bile mомочиња, a kolku девојчиња, ako vo u~ili{teto imalo vkupno 990 u~enici.

Re{enie: Odgovor: mомчиња bile _________________________

девојчиња ____________________________

10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat ka-

ko 3 : 4 : 5. Re{enie: Odgovor: α= ____________ ; β= ____________ ; ν= ____________ ;

125

7. PRAVA PROPORCIONALNOST

1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 32

.

Zapi{i ja zavisnosta so formula. Odgovor: 2. Ako elementot x od mnoèstvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mnoèst-

voto B (kodomen) po formulata kxy = , toga{ zavisnosta me|u tie dve veli~ini e________

__________________________________________________________________________________ 3. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (2,8),

(3,12), (5,20). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta: Odgovor: ______=k _________ 4. Eden avtobus se dviì so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa. Odgovor: Za t ~asa }e pomine_______ km. 5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4=k .

Opredeli go mnoèstvoto na vrednosta y , ako { }5,4,0,1,2,3 −−−∈x . Re{enie: Odgovor: {∈y 6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni. a) b) v)

x 3 6 9 12 x 4 8 12 16 x 9 12 15 18

y 5 10 15 20 y 6 12 8 4 y 3 4 5 6

Odgovor: Pravoproporcionalni veli~ini se: __________________________________________

126

7. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na porcionalnosta 4,0=k .

x 0.5 1,25 211

81

2

y

8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni:

x -3 -2 5 8

y -10 10 25 50

9. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost xy 2−=

x -2 -1 0 1 2 3

y

10. Koeficientot na pravoproporciolanost e 212 .

Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik

x -4 -2 0 2 4

y

127

8. OBRATNA PROPORCIONALNOST 1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako ko-

eficientot na proporcionalnost e 5. Odgovor: 2. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost.

a) x

y 2−= ; b) xy

43

= ; v) x

y 12 ⋅=

Odgovor: Obratnoproporcionalni se: _________________.

3. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 21

=k .

Odredi ja vrednosta na y , ako 6,0=x Odgovor: _________=y

4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 52

.

Odredi ja vrednosta x ako 4,0=y . Odgovor: _______=x _____ 5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na : __________________________________________________________________________________ 6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4.

Sostavi tablica za ovie veli~ini ako { }5,2,1,0,1,2,5 −−−∈x . Re{enie:

x -5 -2 -1 0 1 2 5

y

128

7. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go od-redi{ koeficientot na proporcionalnosta.

Re{enie: k = _____________________

x 4 6 8 24

y 8 4

8. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opre-

deli go koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena za-visnosta me|u x i y .

x 24 12 6 3

y 2 1 21

41

Odgovor: a) ______=k b) y =

9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijata x

y 4=

x 1 2 21

-21

-1 -2 -4 4

y

10. Nacrtaj go grafikot na funkcijata x

y 8−=

x

y

129

9. PROSTO TROJNO PRAVILO 1. Za {iewe na 12 ma{ki kostumi upotrebeno e 36 m {tof. Kolku metri e potrebno za {ie-

we na 16 takvi kostumi. Odgovor: Potrebni se _________ metri {tof. 2. Od 0,5 toni sveì jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka

}e se dobijat od 2,1 ton sveì jabolka. Odgovor: ] e se dobijat _________ jabolka. 3. Edna pumpa za voda dava 72 m3 voda za 4 ~asa i 12 minuti. Za kolku vreme pumpata }e dade

2143 m3

voda?

Odgovor: Za vreme od ____________ 4. 24 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 36

kravi? Odgovor: 36 kravi }e se hranat _________ dena. 5. Eden avtomobil na 120 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na pat

od 216 km? Odgovor: ] e potro{i _________ litri benzin.

130

6. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi 2278 oscilacii?

Odgovor: ] e napravi za ________ oscilacii ___________ minuti. 7. Eden traktor so tri pluga moè da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izora

ako raboti so 4 pluga so ista brzina. Odgovor: ] e izora ________ dekari zemja. 8. Eden zap~enik so 30 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enik

koj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa. Odgovor: Ima ________ zapci. 9. Edna rabota ja zapo~nale 33 rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me|utoa

posle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena e zavr{ena rabotata.

Odgovor: Rabotata }e se zavr{i za ________ dena. 10. 32 rabotnika moàt da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se

zgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota. Odgovor: Istata rabota }e se zavr{i za _______ dena.

131

10. RABOTA SO PODATOCI

1. Prose~nata temperatura vo tekot na edna nedela vo mesec januari iznesuva: -9OC, -11,5 OC, -7,8 OC, -3,2 OC, 2 OC, 5,5 OC i 6 O

vozduhot vo taa nedela: C. Presmetaj ja srednata temperatura na

Re{enie: Odgovor: Srednata temperatura e: _____ O

C

2. Odredi ja geometriskata sredina na broevite

a) 3 i 27 b) 365

i 54

Odgovor: a) _______________ ; b) _______________. 3. Vo nizata (podatoci) broevi: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 opredeli go modot. Odgovor: Mod _________

4. Dadena e nizata broevi 2; ;312 3; 3,5; 4; 5; 6. Opredeli go rangot.

Odgovor: Rang _________

5. Opredeli go rangot, modot i medijanata na podatoci. 2; ;436;

213 8; 8; 9; 9; 9; 12.

Odgovor: a) Rang ___________ ; b) Mod ___________ ; v) Medijana ___________

132

6. Vo edna kutija ima 15 beli, 25 crveni i 20 sini top~iwa. Koлку проценти од топчињата

биле а) бели, б) црвени, в) сини? Odgovor: а) __________ ; б) __________ ; в) __________ . 7. Една коцка за играње фрли ја 100 пати и запиши ги добиените броеви. Потоа, врз основа на тие податоци, најди ја аритметичката средина, модот и медијаната. Odgovor: ________________________________________________________________________ 8. Од еден шпил на карти извлечи 20 карти по случаен избор, а потоа запиши ги добиените броеви

од тој избор (за џандар запишувај број 12, за дама - број 13, а за поп - број 14). Од добиените податоци најди го рангот, аритметичката средина, модот и медијаната.

Odgovor: ________________________________________________________________________ 9. Нека 0<a<b. Обиди се да докажeш дека за aритметичката средина А и геометриската средина G,

важат неравенствата: a < A < G < b. 10. Најди низа од седум броеви, така што аритметичката средина да биде 5, медијаната да биде 5,

модот да биде 6, а рангот да биде 10. Odgovor: ___________________________________________

19

TEST - 1 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

a) Mnoèstvoto P od site pravi {to se ___________________________________ so pravata a

se vika ____________________________________ zadaden so pravata a.

b) Dva vektora se sprotivni samo, ako _______________________________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) CBAC + b) CBDCAD ++

Odgovor: a) CBAC + = ________________ b) CBDCAD ++ = ________________ 3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) ADAB− b) ABAC −

Odgovor: a) ADAB− =________________ b) ABAC − = ________________

4. Vo paralelogramot ADPN vektorite n=== CDBCAB i m== MNAM .

Izrazi go vektorot AP so pomo{ na vektorite m i n .

Odgovor: AP = _________________________________________ 5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

Pri translacija aτ pravata se preslikuva ___________________________________________

___________________________________________________________________________________

6. Daden e trapezot ABCD (AB 7 CD), to~kite M i N sredini na kracite AD i BC, soodvetno

i MP 7 BC. Izrazi go zbirot MPMN + so pomo{ na vektorite AB , DC i CB .

Odgovor: MPMN + = ___________________________________

20

7. Dadeni se nekolinearnite vektori m i n . Konstruiraj go vektorot: a) m + n b) m - n Odgovor: a) m + n = ________________

b) m - n = ________________

8. Dadeni se pravite p, q i vektorot a . Konstruiraj otse~ka AB, taka {to A ∈ p, B ∈ q i

a=AB .

9. Nacrtaj kru`nica k(O,r=2,5cm), a potoa preslikaj ja so pomo{ na транслација за даден

вектор AB , чија должина е 2,5cm.

10. Nacrtaj произволен триаголник ABC, а потоа транслтирај го за вектор АТ , каде што Т е тежиштето на дадениот триаголник.

21

TEST - 2

1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

a) Dve polupravi se istonaso~eni, ako leàt na edna prava i imaat _____________________

______________________ili leàt na razli~ni paralelni pravi, ako ___________________

___________________________________________________________________________________

b) Dva vektora se ednakvi, ako ______________________________________________________

2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) CBAC + b) DADC +

Odgovor: a) CBAC + = ________________ b) DADC + = ________________

3. Spored crteòt opredeli go vektorot:

a) ABAC − b) ACAD −

Odgovor: a) ABAC − = ________________ b) ACAD − = ________________

4. Vo ∆ABC vektorite a=== NBMNAM i

b

== PCAP . Izrazi go vektorot CB so

pomo{ na vektorite a i b

.

Odgovor: CB = ___________________________________


Pri translacijata aτ agolot se preslikuva vo ________________________________________

___________________________________________________________________________________

6. Neka m , n i p se tri proizvolni vektori. Pokaì ja konstruktivno to~nosta na ravenst-

voto ( ) ( )pnmpnm ++=++ - asocijativniot zakon.

22

7. Dadeni se kolinearnite vektori a i b

. Konstruiraj go vektorot:

a) ba

+

b) ba

− Odgovor: a) ba

+ = ________________

b) ba

− = ________________

8. Nacrtaj kru`nica k(O,r). So pomo{ na translacija mτ preslikaj ja kru`nicata, ako

OP2 ⋅=m i P to~ka od kru`nicata.

9. Nacrtaj две прави што се сечат, а потоа транслатирај ги за даден вектор AB .

10. Naцртај квадрат ABCD со центар во точка О. Транслатирај го квадратот за вектор CО .

23

TEST - 3 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

a) Podredeniot par to~ki (A,B) go opredeluva ________________________________________

b) Vektorite m i n se kolinearni, ako ______________________________________________

2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot

a) BDAB+ b) CDBC +

Odgovor: a) BDAB+ = ________________ b) CDBC + = ________________ 3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot

a) MQMN − b) QPMN −

Odgovor: a) MQMN − = ________________ b) QPMN − = ________________ 4. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Neka M i N

se sredini na kracite AD i BC, soodvetno.

Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorite

a=AB i b

=DC .

Odgovor: MN = ___________________________________


Translacija τ za vektorot a se vika ____________________________pri koe na sekoja

to~ka M i se pridruùva ___________________________________________________________

6. Otse~kite AA1, BB1 i CC1

111 CCBBAA ++

se тежишни линии na

∆ABC. Izrazi go vektorot so

pomo{ na vektorite bac

=== CA,BC,AB . Odgovor: 111 CCBBAA ++ = _______________________

24

7. Dadeni se nekolinearnite vektori a i b

. Opredeli go konstruktivno vektorot:

a) ba

+

b) ba

−

Odgovor:

a) ba

+ = ________________

b) ba

− = ________________

8. Preslikaj go ramnokrakiot ∆ABC so pomo{ na

translacijata aτ , kade vektorot AM=a i M e

sredi{na to~ka na stranata BC od ∆ABC.

9. Daden e pravoagolnikot ABCD i to~kata O kako presek na dijagonalite AC i BD. Izvr{i

транслација на правоаголникот за вектор OB . 10. Nad stranite AB i CD od paralelogramot ABCD konstruirani se kvadratite ABB1A1 i

DCC1D1 1AA, taka {to vektorite i 1DD se istonaso~ni. Ako prese~nite to~ki od dijago-

nalite na tie kvadrati se M i N, toga{ dokaì deka BCMN = . Dadeno: ABB1A1 i DCC1D1 M=AB

1∩BA1; N=DC1∩CD

Tvrdime: 1

BCMN = Dokaz:

25


a) Vektorot e napolno opredelen so _________________________________________________

b) Niz sekoja to~ka od ramninata _______________________________________ daden pravec.


a) BCAB+ b) MNAP +

Odgovor: a) BCAB+ = ________________ b) MNAP + = ________________


a) ADAB− b). DCAB−

Odgovor: a) ADAB− = ________________ b) DCAB− = ________________

4. Dadena e otse~kata MN, to~kata P sredina na

MN i to~kata S ∉ AB. Izrazi go vektorot SP so

pomo{ na vektorot SM i SN .

Odgovor: SP = ___________________________________

5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

Translacijata aτ gi ima slednite svojstva:

- __________________________________________________________________________________

- __________________________________________________________________________________

- __________________________________________________________________________________

6. Vo ∆ABC, to~kite M, N i P se sredini na

stranite AB, BC i AC, soodvetno.

Izrazi go vektorot PMPN + so vektorite AB i

CB .

Odgovor: PMPN + = _____________________________

26

7. Dadeni se nekolinearnite vektori a i b

. Konstruiraj go vektorot:

a) ba

+

b) ba

− Odgovor: a) ba

+ = ________________

b) ba

− = ________________ 8. So pomo{ na translacija aτ preslikaj go

rombot ABCD za vektorot ADAB−=a . 9. Konstruiraj ramnostran triagolnik ∆ABC so strana 3 cm. Потоа тој триаголник

транслатирај го така што темето С да дојде во центарот О на рамностраниот триаголник.

10. So pomo{ na translacija konstruiraj trapez ABCD, ako se dadeni site strani, t.e. a=AB ,

d=BC , b=CD i c=AD Dadeno Skica Konstrukcija

27


a) Za sekoi dva vektora vaì ____________________________ zakon, a za sekoi tri vektori

vaì ____________________________ zakon.

b) Proizvod na nenulti vektor a so brojot K ≠ 0 se vika ______________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot

a) BCAB+ b) CDBCAB ++

Odgovor: a) BCAB+ = ________________ b) CDBCAB ++ = ________________

3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot -

a) ABAC − b) ACAD −

Odgovor: a) ABAC − = ________________ b) ACAD − = ________________

4. Po te~enieto na edna reka se dviì brod so brzina 42 km/h, a sproti te~enieto na rekata

so brzina 28 km/h. Kolkava e brzinata samo na brodot, a kolkava na vodata na rekata. Odgovor: Brzinata na brodot e _______________________, a na vodata e _____________________

5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

a) Translacijata τ za vektorot - a , t.e. a−τ e _______________________ na translacija aτ .

b) Скаларни величини се: ____________________________________________________________

Векторски величини се: ____________________________________________________________

6. Neka vektorot CDAB = i CTAS = . Dokaì deka TDSB = .

Dadeno: CDAB = i CTAS =

Tvrdime: TDSB = Dokaz:

28

7. Dadeni se nekolinearnite vektori a , b

i c . Odredi go konstruktivno vektorot:

a) cba ++

b) ca −

Odgovor:

a) cba ++ = ______________________

b) ca − = ______________________

8. Dadeni se dva agla so zaemnoparalelni kraci od koi edniot par kraci se isto naso~eni, a

drugiot sprotivno naso~eni. Dokaì so pomo{ na translacija deka tie agli se suplement-ni.

Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↑O1B Tvrdime:

1 ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180

o

Dokaz:

9. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Izvr{i trans-

lacija na trapezot za vektorot DCAD +=x . 10. Dadeni se dve skladni kru`nici k1(S1,r) i k2(S2 a,r). Odredi go векторот на транслација

таков што aτ (k2) = k1

.

Odgovor:

Векторот на транслација е _________.

37

TEST - 1 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so sistemi:

a) =⋅⋅⋅ 503 aaaa

b) =73 )(a

v) =2

4

63

xx

g) =⋅⋅⋅⋅ 2

23

83)(

xxxxxx

2. Presmetaj i izvr{i proverka:

a) =3600 b) =25,12 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

=−⋅−⋅ 222 )8,0(55,42

4. Докажи дека 5 е ирационален број.

5. Нацртај бројна права и нанеси ги броевите: 2,6; -1,4; 2 +1; 13 − ; 32

− ; 2,5,

a potoa zapi{i gi ovie broevi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot.

38

TEST - 2 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova x, slednive izrazi:

a) =⋅⋅ 23 xxx

b) =46 )(x

v) =3

12

xx

g) 232

45)(

xxxxx

⋅⋅⋅ =

2. Presmetaj со помош на таблица i izvr{i proverka:

a) =2116 b) =04,27 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

=⋅−−⋅ 2332 4)21()2()

43(

4. Dali ima pove}e santimetri vo eden kilometer ili ima pove}e kubni santimetri vo eden

kuben metar?

Re{enie: 5. Zaokruì gi to~nite iskazi: a) Sekoj priroden broj e cel i racionalen, no ne e iracionelen broj. b) Sekoj cel broj e racionalen, no ne e realen broj. v) Postoi realen broj koj e racionelen i iracionalen broj. g) Ne postoi iracionalen broj koj e i cel broj. d) Sekoj realen broj e racionalen ili iracionalen broj, no ne moè da bide i racionalen i iracionalen broj. |) Zbirot na dva iracionalni broja e sekoga{ iracionalen broj. e) Proizvodot na dva iracionalni broja e sekoga{ racionalen broj.

39

TEST - 3

1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:

a) =⋅⋅ 056 xxx

b) =1510 : xx

v) =53 )(x

g) =⋅⋅

236

327

)()(

xxxx


a) 57 ; b) 5,38 . 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

=+⋅⋅+ )7529(439 22

4. Uprosti go izrazot 75 55 ⋅ , a potoa odgovori dali toj izraz pretstavuva racionalen ili iracionalen broj. Re{enie:

5. Daden e izrazot 1

132

)( −+−

=a

aaaA . Оdredi:

a) )2(A − , b) )2(A

40

TEST - 4 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:

a) =⋅⋅⋅ aaaa 035

b) =84 )(a

v) =⋅⋅⋅⋅ 3

543

32)(

aaaaaa

g) =10

20

aa

2. Presmetaj (со дигитрон или таблица) i izvr{i proverka:

a) 13600 = b) 25,2 = 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

=−+−−−+ 5333 )1()2()3(2


41C 2

3

)(−−−

=y

yyy . Odredi:

a) )2(C − , b) )

21(

C

5. Odговори на следните прашања: а) Колку грами има во еден тон? б) Колку нанометри има во еден милиметар? Одговор: а) б)

41

TEST - 5 1. Presmetaj:

a) =⋅⋅ 085 xxx

b) =⋅ 2)2( 43 yx

v) =714 : xx

g) =⋅⋅ 2

43)2(

yxyx


a) 625 = b) 437,94 = 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

=⋅−+⋅−− 323 2:1249:33)2(5


222A2

)( −−−

=x

xxx . Odredi:

a) )4(A − ; b) )0(A .

5. Докажи дека 13 + е ирационален број. Решение:

42

TEST - 6 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) =− 3)2(

b) =610

v) =− 100)1(

g) =4)1,0(


a) 961 = b) 25,42 =

3. Daden e izrazot ( )1

32B 2

2

++−

=x

xxx . Odredi:

a) ( )0B ; b) ( )1B − . 4. Presmetaj ja vrednosta na изразот:

a) =− 200)1(

b) =4)1,0(


52

2

)( −+−

=x

xxC x . Odredi:

a) )

21

(C ; b) )2(−C .

65

TEST - 1

1. Od monomite: xy , 222 yx− , xy3− i 22

21 yx

a) sostavi polinom -

b) svedi go vo normalen vid -

v) odredi go stepenot na polinomot po )(x -

г) одреди го спротивниот полином -

2. Za polinomite: 12A 23 −+−= xxx , 42B 2 −+−= xx i 24C 23 −−+= xxx , odredi B)(AC +− . 3. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

a) )32(:

43 3245 yxzyx − =

b) 332 )6( yx− =

v) )3()24( 223 axaxx −⋅− =

g) )32)(236( 222 xyyxxyxy +−+− =

4. Daden e monomot 43

21 yx . Оdredi:

a) sli~en monom -

b) sprotiven monom -

v) stepen na monomot -

g) koeficient na monomot -

5. Zbirot na polinomite: 234 2 +− xx i xx 445 2 −− namali go za trinomot 462 +− xx .

66


a) 232

32

21 xyyx ⋅− =

b) 342 )21( ba− =

v) )22( 232 aaaa −− =

g) )22)(125( 2 −+− xxx =

7. Pretstavi go so polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) =+− )3)(3( xx

b) =− 2)2(x

v) =272


a) abbaab32:)

87

43( 322− ; b) )347(:)7612139( 524725 xxxxxx ++−−++− .

9. Razloì go polinomot na prosti mnoìteli:

a) 1644 23 +++ aaa ; b) adacab 8124 −+ ; v) xxcxb −+−+− 3)3()3( . 10. Dokaì go identitetot:

25)1(100)510( 2 ++=+ nnn .

67

TEST - 2 1. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) 2)35( a− =

b) =⋅ 5,65,7

v) =+ 22 )34( x


a) =−+21:)1( ba b) =+++ )2(:)65( 22 bababa


a) =−+− )23(7)32(9 ybya

b) =+− 2222 12186 yxyxxy

v) =+++ yaxbybxa

4. Daden e monomot 235,0 xya− . Оdredi:

a) sli~en monom -

b) sprotiven monom -



5. Od polinomot 3642 23 −+− aaa odzemi go zbirot na polinomite:

524 23 +−+− aaa i 132 23 −+− aaa .

68


a) yaxax 2121,0 ⋅ =

b) 232 )2,0( yx− =

v) )22(2 22 yxxyx −− =

g) )1()72( 2 −⋅−+ aaa =

7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:

a) =−+ )5)(5( aa

b) 2)3( −a =

v) 2)32( +a =


a) =− xyxyx 4:)1816( 243 b) =−+−−+− )43(:)91212228( 432 xxxxx


a) 32223 1269 bababa +− ; b) nynxyxn −+− )( ; v) yxayaxyaxa ++−−+ 22 . 10. Dokaì go identitetot:

2

6)12)(1(

6)12)(1( nnnnnnn

=⋅−−

−++ .

69

TEST - 3

1. Od monomite: 32ba− ; ab3− ; ab21

i 327 ba−



v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ba -

g) odredi go sprotivniot polinom -

2. Odredi go polinomot M , taka {to: 422M)132( 2332 −−−=−++− xxxxxx . 3. Dokaì deka za sekoja vrednost na x izrazot: )21(5)424(5,1)87)(43( xxxxx −−+⋅−+− e negativen.

4. Daden e monomot 42

43 ba− . Оdredi:

a) koeficient na monomot -

b) stepen na monomot -

v) sli~en monom -

g) sprotiven monom -

5. Na polinomot 3653 23 −+−− xxx , dodaj ja razlikata na polinomite: 5452 32 −+− xxx i

xxx 321 23 −+− .

70


a) )3()2( 2xyxy −⋅ =

b) nyx )( 32 =

v) )32(4 cba +−⋅ =

g) )()2( 22 yxyxyx −−⋅− =

7. Pretstavi go vo normalen vid proizvodot:

a) =+ 2)52( x

b) =+− )72)(72( xx

v) 692

=


a) )5(:)1525( 322 abbyxyax −− ; b) )32(:)610159( 2432 ++−− xxxxx . 9. Razloì go polinomot na prosti mnoìteli:

a) mxxmxm 36 23 +−− ; b) )1()1()1( +++++−++ yxryxqyxp ; v) babzazbzaz +++++ 22 . 10. Dokaì go identitetot:

41)1()

21( 2 ++=+ aaa .

71

TEST - 4 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

a) )5(7 2223 yxzyx −⋅− =

b) 23 )43( cxy− =

v) 323 3)24( axaxa ⋅− =

g) )34()912( 23 +⋅−+ xxx = 2. Pretstavi go kako polinomot vo normalen vid, proizvodot:

a) =− 2)32( ba

b) =+ 2)43

21( yx

v) =⋅10298


a) =+− 2234 4,0:)32,104,04,2( xxxx b) =−−+− )53(:)15953( 23 xxxx

4. Dovedi go vo normalen vid monomot )()2( 3332 yxyx −⋅−⋅− , a potoa odredi:

a) sprotiven monom -

b) sli~en monom -



5. Od zbirot na polinomite 22 24 abab +− i 22 552 baba +− , odzemi ja razlikata na polinomi-

te 22 432 baab −+ i 22 323 aabb ++− .

72


a) )32(:

414 322 yxxyyx −⋅ =

b) 322 )4()5,0( xyxy ⋅− =

v) )32(4 32 xaxaxx −+−− =

g) )34()1( 222 yxyxxx +−⋅+− =


a) =− 2)32( a

b) =+− )3)(3( yxyx

v) =273

8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:

a) =−+− 334253 2:)268,4( ababbaba

b) =−− )1(:)1( 7 aa


a) 2324 3126 xyyxxy −+ ; b) )1()1( +−+ xbxa ; v) bcacaba +++ 224 2 . 10. Ako 10=+ cb , toga{ bcaacaba ++=++ )1(100)10)(10( . Dokaì!

73

TEST - 5 1. Razloì go polinomot na prosti mnoìteli:

a) =−+ 222443

313

312

95 nmnmnm

b) =+−+ )2(8)2(4 22 axyayx

v) =+−− xbyaybxa 2222

2. Od monomite: 2

21 ac , ac4− , 2

21 ac− i ac10



v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ca -


3. Dokaì deka ravenstvoto e to~no:

222 3148))((2)4( nmmnnmnmnm +=−−+−+ .

4. Dovedi go vo normalen vid monomot )2(931 22 xyxyx −⋅ , a potoa odredi:

a) koeficient na monomot -

b) stepen na monomot -

v) sprotiven monom -

g) sli~en monom -

5. Presmetaj )B(A C−+ , ako e:

2562A 23 −+−= xxx ; 634B 23 −+−−= xxx i 1422C 23 −++−= xxx .

74


a) )(:)2(2 222 axyaxxya −−⋅ =

b) 2432 )21()( xyyx ⋅− =

v) axxxx 2)765( 32 ⋅−+− =

g) )3)(42( xx −− =

7. Pretstavi go kako binom vo normalen vid, proizvodot:

a) =−⋅+ )43()34( ayya

b) 2)72( yx + =

v) =298


a) =−+− )2(:)46( 24 abbaba

b) =++ )1(:)1( 9 aa


a) 243322 423630 bababa −− ; b) )(4)(5 baxybax −−− ; v) yaxbybxa +++ .

10. Dokaì deka izrazot 22 22 ba + moè da se pretstavi kako zbir od dva kvadrata.

75

TEST - 6 1. Odredi go polinomot N , taka {to:

342)122(N 2323 −+−=−−++ aaaaaa .


a) )4(:16 3268 yxyx −− =

b) 43 )3( zxy− =

v) )532(4 2 +−⋅− xxx =

g) )354()27( 2 +−⋅+ aaa =

3. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) =⋅ 5,95,10

b) 22 )53( xx + =

v) =− 2)32( ca

4. Od monomite: 33 ;4;2 xyxyxy −−− i xy7



v) odredi go stepenot na polinomot po )(y -


5. Presmetaj ja tretata strana na triagolnikot, ako perimetarot e ba 340 − , a dvete strani

se ba 317 + i ab 311 − .

76


a) )3(2 25 abba −⋅− =

b) )21()4( 2235 xayx −⋅− =

v) )3()52( xx +⋅− =

g) )212(4 32 −+−− xxx =

7. Pretstavi go proizvodot vo normalen vid:

a) =+⋅− )53()35( xyyx

b) =− 2)53( ba

v) =284


a) =+− 32325344

23:)639( pcpcpcpc

b) =++ )1(:)1( 7 xx


a) 222443

313

312

95 yxyxyx −+ ; b) )8)(2(4)2( 22 xyayxa +−+ ; v) ybyaybxa 2222 −−− .

10. Dokaì go identitetot:

))(()()( 222222 yxbabxaybyax −−=+−+

77

TEST - 7 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

a) =+− xyxyyxyx 4:)163224( 5245 b) =+−−+− )32(:)674( 223 yyyyy 2. Razloì go polinomot na prosti mnoìteli:

a) =−+ 33245

105

411

212 bababa

b) =−+− )(18)(9 32 bayxbax

v) bybxayax 3232 +++ =


22)432()12()2( 22322 −=+−−⋅−+− xxxxxxxx .

4. Od monomite: yx32 ; 222 yx− ; 3xy+ ; yx34−



v) odredi go stepenot na polinomot po )(xy -


5. Zbirot 2073 +x denari e podelen na tri lica, taka {to liceto A dobilo 531 +x denari,

liceto B dobilo 520 −x denari, a tretoto lice go dobilo ostatokot. Po kolku denari dobile licata A, B i C.

78


a) )3(:24 243 yxyx =

b) 33 )43( xy− =

v) )534(2 2 +−⋅− xxax =

g) )23()458( 223 xxxx −⋅+− =

7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) =⋅1624

b) =+ 2)121( a

v) =− 2)32( yx


a) =+− 2356 4:)42,56( aaaa

b) =−− )1(:)1( 9 xx


a) =+ 2534 86,1 yaxa b) =+++− )(3)(12 yxabyxa v) =−−+ pxpxp 22 2


4245232 6)613(6)

3142(3 ccccccc =+−−+− .

103

TEST - 1 1. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Negovite vnatre{ni agli se __________,

nadvore{nite agli se __________, a centralnite agli se __________.

2. Proizvolen pravilen n – agolnik ima _______________ oski na simetrija. 3. Dve figuri koi imaat ednakvi plo{tini se vikaat ___________________________________ 4. [ irinata (R - r) na eden kruèn prsten e 1 cm, a negovata plo{tina e 5π cm 2

. Radiusite na

dvete koncentri~ni kru`nici se ____________________________________________________

5. Dali postoi pravilen n – agolnik so nadvore{en agol 37O

?

Odgovor: ___________________________ , bidej}i ______________________________________ 6. Obratnata na Pitagorinata teorema glasi: __________________________________________

___________________________________________________________________________________

104

7. Konstruiraj otse~ka so dolìna 13 , ako e dadena edini~na dolìna 1. 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden triagolnik, ako dve negovi strani imaat dolìni 3 cm i

6 cm, a agolot me|u niv e 60O

.

Odgovor: _________________________________ 9. Daden e krug so centar vo O i radius 6 cm. Presmetaj go radiusot na krug so centar vo

istata to~ka O, takov {to, plo{tinata na kru`niot prsten e 8 pati pogolema od plo{ti-nata na toj krug.

Odgovor: _________________________________ 10. Konstruiraj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo to~kata C, ako se poznati ot-

se~kite c1 i c2

na koi visinata spu{tena od praviot agol ja razdeluva hipotenuzata.

105

TEST - 2 1. Neka ABCDEF e pravilen {estagolnik so centar vo to~kata O. Goleminata na agolot BAD

e ____________________________________ .

2. Neka aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se 60O, 80O, 100O, 120O

. Toga{ eden moèn

posledovatelen redosled na goleminite na negovite agli e ____________________________

3. Perimetarot na eden deltoid iznesuva 30 cm, a radiusot na vpi{anata kru`nica e 1,5 cm.

Plo{tinata na deltoidot e _________________________________________________________

4. Dolìnata na kruèn lak {to odgovara na centralen agol α i radius r e ednakva na _____

___________________________________________________________________________________

5. Plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 2 cm iznesuva _________________________ 6. Da se presmeta plo{tinata na eden triagolnik ako se poznati dolìnite na negovite

strani: a=10cm, b=15cm i c=12cm.

Re{enie:

106

7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 10 cm se dopiraat odnadvor. Presmetaj ja dolìnata na nivnata zaedni~ka tangenta, {to e zaklu~ena me|u to~kite na dopir.

Odgovor: _________________________________ 8. Edna kru`na sala so dijametar 15 m pokriena e so parket. Dimenziite na edno par~e par-

ket se 4 cm × 22 cm. Kolku takvi par~iwa pribli`no se potrebni za pokrivawe na salata? Odgovor: _________________________________ 9. Vo dadenata kru`nica vpi{i deltoid, a potoa vo deltoidot vpi{i kru`nica. 10. Tri strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dolìni 12cm, 14cm i 16cm. Odredi gi

site mo`ni vrednosti na dolìnite na ~etvrtata strana. Odgovor: _________________________________

107

TEST - 3 1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kruèn lak se ___________________ 2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________ 3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6

pati, a visinata se nagolemi 2 pati. Odgovor : _____________________________________________________________________________ 4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati? Odgovor : _____________________________________________________________________________ 5. Visinata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ______________________ 6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade

___________________________________________________________________________________

108

7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica vo edna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastoja-nieto me|u centrite na dvete kru`nici.

Odgovor: _________________________________ 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O

i imaat dolìna 3 cm, a podolgata dijagonala ima dolìna 8 cm.

Odgovor: _________________________________ 9. Od kruèn lak od edna kru`nica so radius 20 cm {to odgovara na centralen agol od 72O

napravena e kru`nica. Kolkava e plo{tinata na taka dobienata kru`nica?

Odgovor: _________________________________ 10. êtiri agli na eden petagolnik se ednakvi na 110O, 111O, 112O, 113O

. Najdi go pettiot agol na petagolnikot.

Odgovor: _________________________________

109

TEST - 4 1. Neka radiusite na OA i OB na kru`nicata k (O,r) zafa}aat agol α. Toga{ agolot pome|u

tangentite ta i tb

na kru`nicata k vo to~kite A i B e __________________________________

2. Pravilen mnoguagolnik e takov mnoguagolnik na koj __________________________________

___________________________________________________________________________________

3. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez so normalni dijagonali so dolìni 8 cm iznesuva

___________________________________________________________________________________

4. Dolìnata na kruèn lak iznesuva 4,5 cm, a radiusot na kru`nicata e 6 cm. Plo{tinata

na soodvetniot kruèn ise~ok e _____________________________________________________

5. Eden pravilen n – agolnik ima neparen broj oski na simetrija. Dali toj e centralno

simetri~en? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 6. Nabroj gi vidovite dijagrami koi gi poznava{:

___________________________________________________________________________________

110

7. Neka triagolnikot ABC e pravoagolen so prav agol vo temeto C. Nad stranite AB, BC i CA od nadvore{nata strana na triagolnikot nacrtani se polukrugovi so dijametri AB, BC i CA. Dokaì deka PAB = PAC + PBC, kade PAB

e plo{tina na polukrugot so dijametar AB itn.

8. Najdi ja plo{tinata na eden paralelogram so strani 6 cm i 2 cm, ako agolot me|u osnovite

e ednakov na 60O

.

Odgovor: _________________________________ 9. Plo{tinata na kruèn ise~ok {to odgovara na centralen agol od 130O e 25 cm2

. Presme-taj go radiusot na kru`nicata.

Odgovor: _________________________________ 10. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Presmetaj gi aglite na triagolnikot ACD. Odgovor: _________________________________

111

TEST - 5 1. Centralen agol {to odgovara na

85

od kru`nicata iznesuva ___________________________

2. Neka dolìnite na stranite na eden ~etiriagolnik se 6 cm, 7 cm, 9 cm i 4 cm. Toga{ eden

moèn posledovatelen redosled na dolìnite na negovite strani e _______________________

3. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravilen {estagolnik so strana 6 cm iznesuva

___________________________________________________________________________________

4. Kako }e se promeni dolìnata na eden kruèn lak, ako centralniot agol se namali 9 pa-

ti, a radiusot se zgolemi 3 pati? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 5. Dijagonalata na eden pravoagolnik iznesuva 10 cm, a ednata strana e dolga 8 cm. Drugata

strana ima dolìna ________________________________________________________________

6. Dva od aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se ednakvi na 55 O i 45 O

. Najdi gi ostanatite dva agla na ~etiriagolnikot.

Odgovor: ____________________________________________________________________________

112

7. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolnik ako edna negova strana ima dolìna 21 cm, a dijagonalata ima dolìna 29 cm.

Odgovor: _________________________________ 8. Dolìnata na edna kru`nica e za 5 cm podolga od nejziniot dijametar. Presmetaj ja plo{-

tinata na krugot. Odgovor: _________________________________ 9. Najdi go vkupniot broj dijagonali vo konveksen mnoguagolnik so: a) 7 strani, b) 9 strani. Odgovor: _________________________________ 10. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so lozje, 2 dekari so praski i 2,5 dekari so kajsii.

Pretstavi go toa so sektoren dijagram.

113

TEST - 6 1. Goleminata na eden centralen agol e 146O

. Soodvetniot periferen agol e ______________

2. Brojot na site dijagonali vo eden n – agolnik iznesuva ________________________________ 3. Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ________________________ 4. Ako dolìnata na kruèn lak e l, a soodvetniot centralen agol e α, toga{ radiusot na

kru`nicata iznesuva ______________________________

5. Dijagonalite na eden romb imaat dolìni 6 cm i 8 cm. Stranata na rombot iznesuva

__________________________

6. Plo{tinata na eden mnoguagolnik so perimetar L, vo koj moè da se vpi{e kru`nica so

radius r, e ednakva na _______________________________________________________________

114

7. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 2 cm i 10 cm, a krakot ima dolì-na 5 cm.

Odgovor: _________________________________ 8. Eden kai{ povrzuva tri kruga so centri vo to~kite A, B i C so radius 1 cm. Presmetaj ja

dolìnata na kai{ot ako se znae deka AB = 3 cm, BC = 4 cm i CA = 5 cm. Odgovor: _________________________________ 9. Vo deltoid eden od vnatre{nite agli obrazuvan od neednakvi strani e 40O

. Odredi gi dru-gite agli, ako deltoidot e tetiven.

Odgovor: _________________________________ 10. Tri posledovatelni strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dolìni 5 cm, 10 cm, 8

cm. Najdi ja dolìnata na ~etvrtata strana. Odgovor: _________________________________

133

TEST - 1

1. Mnoèstvo R od podredenite parovi na relacijata R, go vikame _______________________ 2. Нека е дадено множеството М={1,2,3,4} и во него е зададена релација R на следниот начин:

(x,y)∈R ако и само ако |x−y|≤1. Apretstavi ja ovaa relacija so graf.

Re{enie:

3. Razmerite 24 : 6 i 16 : x se ednakvi za x = _____________________________________________ 4. Daden e grafikot na funkcijata { })6,3)(4,2();2,1();0,0();2,1( −−=f . Nejziniot analiti~ki zapis e: =)(xf _______________________________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se obratnoproporcionalni veli~ini:

x 2 3 6

y 12 4

6. Presmetaj ja geometriskata sredina za broevite 8 i 18. Re{enie: Odgovor: Geometriskata sredina e brojot ____________ . 7. Dadeno e mnoèstvoto { }5,3,1A = . Zapi{i go so graf i tabelarno mnoèstvoto A2

.

Odgovor: a) b)

{=2A

134

8. Presekot na dijagonalite na kvadratot leì vo koordinatniot po~etok. Temeto A ima koordi-nati (-4,-4). Opredeli gi koordinatite na osta-natite tri temiwa na kvadratot.

9. Vo eden den dvièweto na temperaturata na vozduhot bilo zapi{ano so sledniov grafik.

~as 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

temp. O C

Koristej}i go grafikot popolni ja tablicata, a potoa opredeli ja najniskata i najvisoka-ta temperatura na denot:

Odgovor: Тemperaturata bila najvisoka vo _______ ~asot, a najniska vo _______ ~asot. 10. Masata na èlezoto od 120 m3 e 93,6 g. Kolkava e masata na èlezoto od 20 cm3

?

Re{enie: Odgovor: Masata na èlezoto od 20 cm3 e ________ g.

135

TEST - 2

1. Mnoèstvoto od podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto A, a

vtorata od B se vika __________________ na mnoèstvoto A i B i se ozna~uva so _________.

2. Vrednostite na apscisata i ordinatata na edna to~ka so edno ime se vikaat _____________

na to~kata.

3. Izrazi ja so formula zavisnosta me|u stranite i perimetarot na kvadrat. Odgovor: 4. Kolku treba da iznesuva h vo ravenstvoto 3 : h = 6 : 8, za ravenstvoto da bide proporcija. Odgovor: h=_________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se pravoproporcionalni veli~ini so koeficient na

proporcionalnost 12=k . Odgovor:

x 2 3 4

y

6. Opredeli go procentot na sol vo rastvor, ako vo 5 kg rastvor ima 250 g sol. Re{enie: Odgovor: Vo rastvorot ima _________% sol. 7. Vo mnoèstvoto { NxA ∈= x i }13<x zadadena e relacijata { A),(R ∈= xyx i y A∈ i

}12=⋅ yx . Пretstavi ja relacijata tabelarno. Re{enie: Odgovor: a) R = ______________________________________________________________

b) Relacijata R e ____________________________________________________

136

8. Vodostojot na rekata od 1 do 6 juni se menuva spored dadenata tablica. Nacrtaj go grafi-kot na vodostojot na rekata vo ovoj vremenski period.

Datum 1 2 3 4 5 6

Vodostoj 4 0 -2 -3 -5 -6

9. Veli~inite x i y vo dadenata tablica se obratnoproporcionalni. Odredi go koefici-

entot na proporcionalnosta, a potoa popolni ja tablicata. Odgovor: a) ______=k ; b)

x 8 4 1 0,5

y 5 20 21

10. êtiri traktori moàt da izoraat edna niva za 12 dena. Za kolku dena istata niva }e ja

izoraat 6 traktori so ista mo}nost. Re{enie: Re{enie: [ este traktori }e ja izoraat nivata za __________ dena.

137

TEST - 3

1. Mnoèstvoto AA× se vika________________________________ i se ozna~uva so __________. 2. Kako od grafot na edna relacija se utvrduva deka taa e simetri~na? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 3. Нека grafikot na funkcijata e { })7,5(),6,4(),5,3(),4,2(),3,1(),2,0=f . Zapi{i ja funkcijata

analiti~ki. Odgovor: =)(xf

4. So formulata 3=xy

iskaàna e _______________________ proporcionalnost me|u veli~i-

nata x i y so koeficient na proporcionalnosta ______=k ____. 5. Popolni ja tablicata vo koja veli~inite x i y se vo obratna proporcionalnost.

x 1 3 9

y 18 6 1

6. Konstruiraj go grafikot na prvata proporcionalnost xy 2−= . Re{enie:

x

y

138

7. Grafikot na edna funkcija e { })6,3(),4,2(),1,1(),0,0(),0,3(),4,2(),1,1( −−−=f . Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Re{enie:

x

y

8. Opredeli ja vrednosta m vo proporcijata 2:149:)3( =+m . Re{enie: Odgovor: m = ____________ 9. Na slikata grafi~ki e pretstavena zavisnosta na vremeto t i brzinata v na telo koe se

dviì od mestoto A do mestoto B. So pomo{ na grafikot opredeli so koja brzina }e se dviì teloto na patot od A do B, ako mu e potrebno vreme od: a) 1 ~as; b) 2 ~asa; v) 4 ~asa; g) 8 ~asa.

Odgovor: a)________km,

b)________km,

v)________km,

g)________km

10. Eden patnik za 11 ~asa }e pomine 55 km. Kolku km pat, patnikot }e pomine za 9 ~asa, ako

se dviì so ista brzina? Re{enie: Odgovor: Za 9 ~asa }e pomine ________ km.

139

TEST - 4

1. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija{to prva komponenta mu pripa|a na mnoèstvoto

{ }8,5,2A = , a vtorata na mnoèstvoto { }ba,B = . Odgovor: 2. Vo grafot docrtaj dve strelki za relacijata da

bide relacija za podreduvawe. 3. Dopolni ja re~enicata za tvrdeweto da bide to~no. Za edna relacija R od mnoèstvoto A

kon mnoèstvoto B velime deka e preslikuvawe (funkcija), ako ________________________

___________________________________________________________________________________

4. Od broevite 3, 5, 9 i 15 sostavi edna proporcija. Odgovor:

5. So formulata x

y 6= opredlena e ________________________ proporcionalnost so koefi-

cient na proporcionalnost _________=k 6. Vo edno oddelenie imalo 30 u~enici, od koi 6 bile odli~ni. Izrazi go brojot na drugite

u~enici vo procent. Re{enie: Odgovor: Procentot na drugite u~enici bil_________%. 7. Funkcijata f e zadadena so mnoèstvoto parovi, { })3,2(),2,1(),1,0(),0,1(),1,2(),2,3(),1,4( −−−− .

Opredeli: a) definiciona oblast (mnoèstvo) i b) mnoèstvo na vrednosti

Odgovor: a) {=D b) {=V

140

8. Dadena e funkcijata R,2 ∈+−= xxy . Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik. Re{enie:

x -2 -1 0 1 2

y

9. Opredeli dali se pravoproporcionalni veli~inite dadeni vo tabelata, a potoa opredeli

go koeficientot na proporcionalnost ako go ima.

x 3 -4 -3 2,5 -6,1

y 9 -12 -9 7,5 -18,3

Odgovor: a) Veli~inite se: _______________ ; b) Koeficient na proporcionalnosta e ________=k . 10. Edna rabota 72 rabotnika }e ja zavr{at za 45 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr-{at 60 rabotnici? Re{enie: Odgovor: 60 rabotnici rabotata }e ja zavr{at za ___________ dena.

141

TEST - 5

1. Dadeno e mnoèstvo { })6,5)(5,4)(4,3)(3,2)(2,1(BA =× . Zapi{i gi na tabelaren na~in

mnoèstvata: {=A {=B 2. To~kata A (-3,-2) leì vo _____________________ kvadrat od koordinatnata ramnina. 3. Od mnoèstvoto A kon mnoèstvoto B so graf zadadena e funkcijata f Od grafot odredi: _______)1( =f ; _____)3( =f __; _____)4( =f ___ Odgovor: _______)1( =f ; _____)3( =f __; _____)4( =f ___ 4. Funkcijata f zadadena e so mnoèstvo poredeni parovi { })5,2(),4,1(),2,1(),0,3(),2,5( −−−− . Pretstavi ja funkcijata so tablica:

x

y

5. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y dadena e so podredenite parovi (2,8);

(3,12); (4,16); (6,24). Odredi go koeficientot na proporcionalnost? Odgovor: _______=k

142

6. Konstruiraj go grafot na obratna proporcionalnost x

y 8= .

X -1 -2 -4 -8 1 2 4 8

Y

7. Vo mnoèstvoto M = {A,B,V,G,D,\ ,E} e zadadena relaci-

jata R, “.... e sestra na ....”. a) relacijata pretstavi ja na tabelaren na~in R =________________________________________ b) zapi{i go mnoèstvoto na mомчиња

=A ________________________________________

8. Vo edno u~ili{te brojot na u~enici ~lenovi na grupite, mladi matemati~ari, mladi fi-

zi~ari i mladi biolozi se odnesuva kako 5 : 4 : 2 soodvetno, a nivniot vkupen broj e 55. Opredeli go brojot na ~lenovite vo sekoja grupa:

Re{enie: Odgovor: matemati~ari: ________; fizi~ari: ________ ; biolozi: ________ . 9. Se znae deka veli~inite x i y se obratnoproporcionalni.

a) Пopolni ja slednava tabela.

x 1 2 4 8 -1 -2 -4

y -2

b) Нapi{i ja formulata {to ja izrazuva proporcionalnosta me|u veli~inite x i y .

___________________________________)( =xf

10. 32 rabotnika moàt da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se

zgolemil za 16. Za kolku dena }e bide zavr{ena istata rabota? Re{enie: Odgovor: Rabotata }e bide zavr{ena za _________ dena.

143

SODR@INA

TEMA I - VEKTORI. TRANSLACIJA

1. PRAVEC I NASOKA. NASOÊNA OTSE^KA – VEKTOR ....................................................................................... 5 2. EDNAKVOST NA VEKTORI .................................................................................................................................... 7 3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA ................................................................................................................. 9 4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ ...................................................................... 11 5. TRANSLACIJA ...................................................................................................................................................... 13 6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA ........................................................................................................................ 15 7. PRIMENA NA TRANSLACIJA .............................................................................................................................. 17 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 19 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 21 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 23 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 25 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 27

TEMA II – STEPENI. KVADRATEN KOREN

1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ ..................................................................................... 29 2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN .................................................................................. 31 3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ................................................................................... 33

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ..................................................................... 35 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ ......................................................................................................................... 35 6. REALNI BROEVI .................................................................................................................................................. 35 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA ....................................................................... 35 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 37 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 38 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 39 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 40 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 41 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 42

TEMA III – POLINOMI

1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) ................................................................................................ 43

2. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI .................................................................................... 45 3. BINOM. TRINOM. POLINOM .............................................................................................................................. 47 4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT ............................................................................................................. 47 5. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI ........................................................................................................... 49 6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI ............................................................................ 49 7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI ....................................................................................................... 51 8. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI .................................................................................................................. 53 9. STEPENUVAWE NA MONOMI .............................................................................................................................. 53 10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM ............................................................................................................... 53 11. MNO@EWE NA POLINOMI ................................................................................................................................ 55 12. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE ................................................................................................................ 57 13. DELEWE NA POLINOM SO MONOM ................................................................................................................... 59 14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM ............................................................................................................... 59 15. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI ......................................................................................................................... 61 16. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI ...................................................................... 63

144

TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 65 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 67 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 69 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 71 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 73 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 75 TEST 7 ............................................................................................................................................................................ 77

TEMA IV – KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[ TINA

1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA ............................................................................................................................ 79 2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA ......................................................................................................... 80 3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA ............................................................................................... 81 4. TETIVEN ÊTIRIAGOLNIK ................................................................................................................................ 82 5. TANGENTEN ÊTIRIAGOLNIK ........................................................................................................................... 83 6. OP[ TO ZA MNOGUAGOLNIKOT .......................................................................................................................... 84 7. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ............................................................................................................................ 85 8. OPI[ ANA I VPI[ ANA KRU@NICA .................................................................................................................. 86 9. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ........................................................................... 87 10. PITAGOROVA TEOREMA ....................................................................................................................................... 88 11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA .............................................................................................................. 89 12. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA

KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , .. ......................................................................................... 90 13. POIM ZA PLO[ TINA............................................................................................................................................ 91 14. PLO[ TINA NA PRAVOAGOLNIK ......................................................................................................................... 92 15. PLO[ TINA NA PARALELOGRAM ......................................................................................................................... 93 16. PLO[ TINA NA TRIAGOLNIK .............................................................................................................................. 94 17. PLO[ TINA NA TRAPEZ ........................................................................................................................................ 95 18. PLO[ TINA NA DELTOID ..................................................................................................................................... 96 19. PLO[ TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK .................................................................................................... 97 20. DOL@INA NA KRU@NICA .................................................................................................................................... 98 21. DOL@INA NA KRU@EN LAK ................................................................................................................................. 99 22. PLO[ TINA NA KRUG ........................................................................................................................................... 100 23. PLO[ TINA NA KRU@EN ISEÔK I KRU@EN PRSTEN ................................................................................. 101 24. DIJAGRAMI .......................................................................................................................................................... 102 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 103 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 105 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 107 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 109 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 111 TEST 6 .......................................................................................................................................................................... 113

TEMA V – FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST

1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA ........................................................................................................ 115 2. PRAVOAGOLEN KOORDINATIVEN SISTEM ................................................................................................... 117 3. RELACIJA ............................................................................................................................................................ 119 4. FUNKCIJA ........................................................................................................................................................... 120 5. ZADAVAWE NA FUNKCII .................................................................................................................................. 121 6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA ................................................................................ 123 7. PRAVA PRAPORCIONALNOST .......................................................................................................................... 125 8. OBRATNA PROPORCIONALNOST .................................................................................................................... 127 9. PROSTO TROJNO PRAVILO .............................................................................................................................. 129 10. RABOTA SO PODATOCI ..................................................................................................................................... 131 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 133 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 135 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 137 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 139 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 141

Documents

Rabotna tetratka po MATEMATIKAzaharievasnezana.weebly.com/.../1/1/4/11145769/rab_tet_matematika_… · Pri izu~uvaweto na matematikata vo oddelenie ti pomaga u~ebnikot po VII matematika