Prof. Dr. Hüseyin BAŞLIGİL

Faaliyetlerin Süreleri

Zamanların Hesabı

Kritik Yol ve Boş Zamanlar

Programlanan Zamanların Gerçekleşme Olasılığı

Bu bölümde aşağıdaki konuları inceleyeceğiz.

BÖLÜM 3 ZAMAN ANALİZİ

Süre, bir faaliyetin başlangıcından sonuna kadar olan zaman aralığıdır. Süre, bir zaman birimi (örneğin, saat, gün, ay) cinsinden verilir ve her ağ planı için belirlenir. Pratikte kullanılan ağ planlarının çoğunda zaman birimi gün (daha doğrusu iş günü) olarak alınır. Faaliyetlerin süreleri D ile gösterilir ve şekil 1.24 gibi ağ planlarına işlenir.

Şekil 1.24. Faaliyet Süreleri

3.1. Faaliyetlerin Süreleri

Faaliyetlerin süreleri belirli (deterministik) ve belirsiz (probabilistik) şeklinde iki ayrı gruba ayrılır. Özellikle faaliyetlerde belli zaman tahminlerindeki belirsizliği azaltabilmek amacı ile faaliyetin süresi için üç farklı değer tahmin edilir. (Şekil 1.25).

Bir faaliyetin optimum süresi (OD), özellikle elverişli şartlar altında gerçekleştirebildiği süredir.

Bir faaliyetin normal süresi (HD), normal şartlar altında en çok gerçekleşen süredir.

Bir faaliyetin kötümser süresi (PD), özellikle elverişsiz şartlar altında (olağanüstü şartlar, doğal felaketler vb. hariç) gerçekleştirilebilen süredir.

Şekil 1.25. Faaliyet Zaman Tahminleri

3.1.1. Faaliyet Zaman Tahminleri

Bu üç değerden hareket ederek, bir işlemin ortalama süresi (HD) beklenti değeri normal dağılıma uygun olarak hesaplanabilir.

(OD – 4HD –PD)MD= б

3.1.2. Beklenti Değeri

Ağ planlama tekniği standart programının açıklanmasında belirtildiği gibi, zamanların hesaplanması kurallar ile belirlenmiştir. Faaliyet süresinin bilinmesi ile bu zamanlar bilgisayar yoluyla da tespit edilebilir. Zamanların hesabı ayrıca, zaman planlaması, zaman hesabı, ağ planlarının değerlendirilmesi v.b. adlandırılır.

Şekil 1.26 da,

1. Her olayın belli bir süresi olduğu2. Her faaliyetin belli bir başlangıç anı ile belli bir bitiş anı olduğu açıklanmıştır.

Faaliyet süresi 8 gün

10 12 15Faaliyetin başlangıç olayının baş. noktası veya faaliyetin başlangıç noktası

20 25Faaliyetin bitiş olayının bit. noktası veya faaliyetin bitiş noktası

Gün olarak zaman

Şekil 1.26. Olayların ve Faaliyetlerin Durumu

3.2. Zamanların Hesabı

Olay veya faaliyetlerin durumları, verilen tüm şartları göz önünde bulundurarak zaman eksenine yerleştirilmelerin sonucunda belirlenir olay ve faaliyetlerin durumları her zaman Şekil 1.26’da olduğu gibi belirli değildir. Her olay ve faaliyetin zaman açısından

1. En erken durumu2. En geç durumu vardır.

En erken veya en geç durum çoğunlukla bir düğmeden birden fazla ok çıktığı veya birden fazla ok geldiği zaman farklı olur. Böylece Şekil 1.27’de verilmiş olan altı farklı zaman çeşidi ortaya çıkar. B ayırımdaki özellik,

1. Olay veya faaliyet2. En erken (mümkün olan) veya en geç (izin verilen) durum 3. Faaliyetin başlangıç veya sonudur.

Faaliyet oku ağ planında, olaya göre incelenmiş anlar FZ (Bir olayın en erken anı) ve SZ (Bir olayın en geç anı) dır.Faaliyet düğümü ağ planında, faaliyete göre incelenmiş zamanlar FAZ (erken başlama zamanı) ve FEZ (En erken bitiş zamanı) ile SAZ (En geç başlangıç zamanı) ve SEZ (En geç bitiş zamanı) kullanılmıştır.

3.2.1. Olayların ve Faaliyetlerin Durumu

Şekil 1.27. Zamanlar

3.2.2. Zamanlar Grafiği

Şekil 1.28 deki örnekte genel olarak,

1. Faaliyet oku ağ planında bir düğümün iki zamanı, 2. Faaliyet düğümü ağ planında bir düğümün dört zamanı ele alınmıştır.

Şekil 1.28. Düğümlerin Bölümleri ve Zamanların İşlenmesi

3.2.3. Örnek

Zamanların hesaplanması daima iki adımda gerçekleştirilir, önce öne doğru sonra arkaya doğru hesaplama yapılır. Bu arada en erken zamanı sıfır olan başlangıç düğümü ile hesaplama işlemine başlanır, daima sonuç düğümünde SZ=FZ veya SEZ=FEZ olduğu kabul edilir. (Şekil 1.29)

Şekil 1.29. VPN ve VKN’ de İleri ve Geriye Doğru Hesaplama

İzlenecek yol VPN VKN

İleriye doğru hesabın başlangıcı FZ(başlangıç)=0 FAZ(başlangıç)=0

İleriye doğru hesap Tüm FZ’lerin hesabı Tüm FAZ’lerin ve FEZ’lerin hesabı

Yerine koyma SZ(hedef)=FZ(hedef) SEZ(hedef)=FEZ(hedef)

Geriye doğru hesap Tüm SZ’lerin hesabı Tüm SAZ’lerin ve SEZ’lerin hesabı

Kontrol SZ(başlangıç)=0 SAZ(başlangıç)=0

3.2.3. Örnek

Şekil 1.30. Faaliyet-Ok Ağ Planında İleri Hesaplama

3.2.4. Faaliyet-Ok Ağ Planında İleri Hesaplama

Şekil 1.31. Faaliyet-Ok Ağ Planında Geriye Doğru Hesaplama

3.2.5. Faaliyet-Ok Ağ Planında Geriye Doğru Hesaplama

Şekil 1.32. Faaliyet Düğüm Ağ Planında İleri Doğru Hesaplama

3.2.6. Faaliyet Düğüm Ağ Planında İleri Doğru Hesaplama

Şekil 1.33. Faaliyet Düğüm Ağ Planında Geriye Doğru Hesaplama

3.2.7. Faaliyet Düğüm Ağ Planında Geriye Doğru Hesaplama

Her ağ planının başlangıç düğümü ile başlayan ve sonuç düğümü ile biten en az bir kritik yolu vardır. Kritik yol zaman belirleyicidir, kritik yol üzerindeki faaliyetlerinin sürelerinin toplamı proje süresini verir.

Şekil 1.30 ve 1.33 de kullanılan örneklerde kritik yol faaliyet B,E ile H dan dan oluşturulmuştur. Tahmin edilen tamamlanma süresine karşılık, bir projenin gerçekleştirilmesinde kritik faaliyetin süresi uzar ise, proje süresi de uzar. Kritik yol üzerindeki faaliyetlere kritik faaliyet adı verilir. Kritik faaliyetler, faaliyet oku ağ planında ve olay düğümü ağ planında çift çekilmiş oklar ile faaliyet düğümü ağ planında ise çift çekilmiş üst düğüm kenarları ile belirtilebilir.

Ağ planında yol denilince, birbirini takip eden oklar tarafından oluşturulan düğümler arasındaki ilişki anlaşılmalıdır. Başlangıç ve bitiş zamanları eşit olan düğümler arasındaki bağlantılar kritik yolu meydana getirir.

3.3. Kritik Yol ve Boş Zamanlar

Kritik yol üzerinde olamayan tüm faaliyetler zaman bakımından bir boşluğa, yani bir zaman yedeğine veya ek süreye sahiptirler. Tahmin edilen tamamlanma süresine karşılık, projenin gerçekleştirilmesinde kritik olmayan bir faaliyetin süresi uzar ise bu, mutlaka her durumda proje süresini etkilemeyebilir, ancak bu boş zamanın çeşit ve büyüklüğüne bağlıdır.

Şekil 1.34 de boş zamanların (tampon zamanların), tüm çeşitleri ve tanımlamaları verilmiştir. Şekil 1.35 de faaliyet oku ağ planı ile faaliyet düğümü ağ planında çeşitli boş zamanların hesaplanmasına ilişkin örnek verilmiş ve sayısal örnek ile anlatılmıştır. Şekil 1.38 ve 1.39 da ağ planları için toplam ve bağımsız boş zamanların hesaplanması belirtilmiştir, pratikte çoğunlukla bu iki boş zaman hesaplamalar için yeterli olur.

Kritik yol, sadece toplam boş zamanı (GP) minimum, olay veya faaliyetlerin meydana getirdiği bir yoldur.

“Boş zaman” (tampon zaman), proje süresini etkilemeden, bir olayın veya faaliyetin durumunu değiştirebilen süredir.

3.3. Kritik Yol ve Boş Zamanlar

3.3.1. Zaman Paylarının Tanımlamaları ve Kısa Gösterilişleri

3.3.2. Olayların ve Faaliyetlerin Zaman Payları

3.3.3. VPN için Toplam ve Bağımsız Zaman Paylarının Bulunması

3.3.4. VPN için Toplam ve Bağımsız Zaman Paylarının Bulunması

Programlanan zamanların gerçekleşme olasılığı (PERT) başlığı altında aşağıdaki konular incelenecektir.

İşlem sürelerindeki belirsizlik

Zincirleme işlem sürelerindeki belirsizlik

Olay zamanlarının gerçekleşme olasılığı

PERT sisteminin özellikleri

3.4. Programlanan Zamanların Gerçekleşme Olasılığı

İşlemin uygulamada gerçekleşen süresi, iki ucun yani iyimser süre ile kötümser sürenin, arasında herhangi bir noktada yer alabilir. Ancak normal süreye yakın düşmesi olasılığı uçlardan daha büyüktür. İki uç arasında kalan her sürenin belli bir gerçekleşme olasılığı vardır. Bu olasılıklar bir grafik biçiminde gösterilirse şekil 1.37.1’deki gibi bir dağılım eğrisi elde edilir. Bu eğrinin biçimi üç noktaya yani iyimser, normal ve kötümser sürelere dayanılarak matematiksel yoldan belirlenir.

PERT yönteminde eğrinin dağılımı biçiminde, tepe noktasının normal süreye yakın ve standard sapmasının iki aşırı süre arasındaki farkın 1/6 ‘sı olduğu varsayılmaktadır.

Şekil 1.37.1 deki dağılım eğrisinde iyimser süre 3, kötümser süre 12 ve normal süre 6 haftadır. Bu üç tahminden, beklenen süre aşağıdaki gibi bulunur ki,burada normal süreden biraz daha uzundur.

3 + 4 x 6 + 126

Sb= = 396

= 6.5 hafta

3.4.1. İşlem Sürelerindeki Belirsizlik

Bu süre yayılmasına STANDARD SAPMA denir ve б ile simgelenir.

Kötümser süre – İyimser süre6

б =

Şekil 1.37.1. β Dağılım Eğrisi

3.4.1.1. β Dağılım Eğrisi

Projeler, her birinin kendine özgü belirsizlikleri olan çeşitli işlemlerden oluşur. Bunların toplam proje süresine etkilerini, yani toplam proje süresinin olasılığını bulmak gerekir. Bunun için önce art arda gelen işlemlerin bileşik belirsizliği incelenir.

Sb1=(3+4*6+12)/6=6.5 haftaSb2=(4+4*8+24)/6=10 hafta

Bu iki işlemin beklenen bileşik süresi, beklenen sürelerinin toplamıdır. Yani:

Sb1+2=6.5+10=16.5 haftadır.

Standart sapmaları ve değişimleri ise:

б Sb1=(12-3)/6=1.5 б²Sb1=2.25б Sb2=(24-4)/6=3.33 б²Sb2=11.11

olur.

Bileşik standart sapma, değişimlerinin kareleri toplamının kareköküdür:

б Sb1+2 = = = 3.655

Standart sapma içinde kalma, yani 16.5 3.65 hafta arasında gerçekleşme olasılığı yine %38’dir.

3.4.2. Zincirleme İşlem Sürelerindeki Belirsizlik

Buraya kadar “İşlemlerin belirli süreler içinde gerçekleşme olasılıkları nedir” sorusuna karşılık arandı. Bunun yerine “Belirli bir olaya belirli bir zamanda erişme olasılığı nedir” diye de sorulabilir. İşte PERT sistemi bu sorunun karşılığını arar, yani olaya yöneliktir.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı, o olaydan geçen kritik veya kritiğe en yakın yol üzerinde bulunan tüm önceki işlemlerin bileşik standart sapmasınca belirlenir. Bu nedenle:

1. En kritik yolda olaydan önceki tüm işlemlerin standart sapmaları, yukarıdaki gibi saptanır.

2. Standart sapmaların her birinin karesi alınarak bulunan değişimler toplanır.

3. Bu toplanın karekökü, söz konusu yoldaki işlemlerin bileşik standart sapması ve aynı zamanda

o olayın standart sapmasıdır.

4. Olayın programlanan zamanı (tarihi) ile hesaplanan en erken zamanı arasındaki fark standart

sapmasına bölünerek R-oranı bulunur.

R=(S-Sb)/бSb

5. Bu oran karşılığında eğriden okunan %, aranan olasılıktır.

3.4.3. Olay Zamanlarının Gerçekleşme Olasılığı

Projenin işlemler için üç ayrı süre tahmini yapıp beklenen sürelerin ve gerçekleşme olasılıklarının hesaplanması biçiminde ele alınışına OLASICI YAKLAŞIM denir. PERT olasıcı bir yöntemdir.

Ayrıca PERT sisteminde işlemlerin gerçekleştirilme biçiminden çok olayların erişilmesine önem verilmektedir. Bu bakımdan PERT olaya yönelik bir ağ çözümleme yöntemidir.

3.4.4. PERT Sisteminin Özellikleri