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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

Interpolao e Aproximao

por Conjuntos Convexos

Luana de Lima Silva

Itajub, 26 de fevereiro de 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

Luana de Lima Silva

Interpolao e Aproximao

por Conjuntos Convexos

Dissertao submetida ao Programa de Ps-

Graduao em Matemtica como parte dos requisitos

para obteno do Ttulo de Mestre em Cincias em

Matemtica.

rea de Concentrao: Anlise Matemtica

Orientadora: Mrcia Sayuri Kashimoto

Fevereiro de 2015

Itajub - MG

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

Luana de Lima Silva

Interpolao e Aproximao

por Conjuntos Convexos

Dissertao aprovada por banca examinadora em 26

de fevereiro de 2015, conferindo ao autor o ttulo de

Mestre em Cincias em Matemtica.

Banca Examinadora:

Profa. Dra. Mrcia Sayuri Kashimoto (Orientadora)

Prof. Dr. Srgio Antonio Tozoni

Prof. Dr. Antonio Carlos Fernandes

Itajub-MG

2015

Sumrio

1 Preliminares 10

1.1 Espaos Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Espaos Vetoriais Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Interpolao e Aproximao Finita 24

2.1 Convexidade, Conjuntos Afins e Interior Relativo . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Aproximao e Interpolao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Cones Recessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Interpolao em Subespaos de Dimenso Finita . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Interpolao e Aproximao em Espaos de Dimenso Infinita 47

3.1 Propriedades do Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Interpolao e Aproximao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Existncia de Extenses Montonas Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliografia 61

ndice Remissivo 63

Lista de Smbolos

` Espao vetorial das sequncias complexas limitadas

mon(C[a, b]) Cone do conjunto das funes contnuas no decrescentes definidas em [a, b]

mon(Ck()) Cone das funes f Ck() montonas no decrescentes

mon(P [a, b]) Cone dos polinmios no decrescentes definidos em [a, b]

B(x, ) Bola aberta centrada em x com raio

Bn(f) Polinmio de Bernstein associado a funo f

C[a, b] Espao das funes contnuas em [a, b]

Ck,k() Espao das funes f cujas derivadas parciais fx , . . . ,kfxk

, fy , . . . ,kfyk

existem e

so contnuas em e podem ser continuamente estendidas para

Ck() Espao das funes de classe Ck em tal que suas derivadas parciais podem ser

continuamente estendidas para

P [a, b] Espao dos polinmios reais definidos em [a, b]

Aff(B) Envoltria afim de B

co (B) Envoltria convexa de B

Sumrio 3

cone F Cone gerado por F

cone co F Cone convexo gerado por F

cor(M) Core de M

rec F Cone recessivo de B

ri (M) Interior relativo de M

span(B) Span linear de B

Agradecimentos

Quero agradecer, em primeiro lugar, a Deus, que sempre guiou meus passos. Agradeo a

minha famlia, Maria Jos, Luiz Carlos e Matheus, pelo apoio incondicional, e ao meu noivo

Caio Cesar, pelo incentivo e companheirismo. Agradeo tambm a todos os professores que

me acompanharam durante o mestrado, em especial professora Mrcia Sayuri Kashimoto

responsvel pela orientao deste trabalho. Finalmente, agradeo FAPEMIG, Fundao

de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais, pelo apoio financeiro.

A razo o passo final

para reconhecer que h uma

infinidade de coisas alm dela.

Blaise Pascal

Resumo

Sejam X e Y espaos vetoriais topolgicos de Hausdorff reais, A : X Y uma transfor-

mao linear contnua, C um subconjunto de X, B um subconjunto convexo denso em C

e d Y. O objetivo deste trabalho estudar condies que garantam que B A1(d) seja

no vazio e denso em C A1(d). Apresentaremos aplicaes relacionadas com extenses

montonas suaves de funes definidas na fronteira do quadrado unitrio e problemas de

interpolao e aproximao de funes contnuas montonas por polinmios montonos.

Palavras-chave Espaos vetoriais topolgicos, interpolao, aproximao, conjuntos

convexos.

Abstract

Let X and Y be real topological vector Hausdorff spaces, A : X Y be a continuous

linear map, C X, B a convex subset dense in C, and d Y . In this work we are

mainly concerned in presenting conditions which guarantee that the set BA1(d) will be

nonempty and dense in C A1(d). Some applications to shape preserving interpolation

and approximation, and the existence of smooth monotone extensions of functions defined

on the boundary of the unit square are described.

Keyword Topological vector space, interpolation, approximation, convex sets.

Introduo

Sejam X e Y espaos vetoriais topolgicos de Hausdorff reais, C um subconjunto de X

e A : X Y uma transformao linear contnua. Consideremos o seguinte problema de

interpolao abstrata:

dado d Y encontrar x C tal que Ax = d. (1)

Quando o problema (1) tem uma soluo para um dado d Y, dizemos que d admis-

svel, isto , d A[C] := {Ax : x C} ou equivalentemente C A1(d) 6= , com

A1(d) := {x X : Ax = d}. Se C um subconjunto prprio de X, tal problema conhe-

cido como problema de interpolao com vnculos. Se C = X, o problema denominado

problema de interpolao sem vnculos.

O problema de interpolao com vnculos tem sido estudado por vrios autores, dentre

os quais destacamos Wong [14], Neamtu e Mulansky [8],[9]. Possui aplicaes em Teoria de

Splines e em CAD. Problemas envolvendo extenses de funes tambm podem ser vistos

como problemas de interpolao infinita.

O presente trabalho consiste em estudar resultados sobre aproximao e interpolao

com vnculos quando o conjunto C substitudo por um subconjunto convexo B de C,

conforme os artigos de Mulansky e Neamtu [8] e [9]. Basicamente, o problema se resume

em encontrar condies para que B A1(d) seja no vazio e denso em C A1(d).

Vale ressaltar que se d um ponto admissvel em C, no necessariamente d um ponto

admissvel em B.

Sumrio 9

O captulo 1 expe uma sntese do principais resultados sobre espaos topolgicos e

apresenta uma seo de espaos vetoriais topolgicos, que contm conceitos essenciais para

a elaborao dos captulos posteriores.

O Captulo 2 trata do problema de interpolao e aproximao por elementos do

conjunto B quando Y tem dimenso finita. A anlise convexa a ferramenta prin-

cipal para o desenvolvimento deste captulo. Veremos que se B denso em C e d

um ponto do interior relativo de A[C], ento os elementos de C podero ser aproxima-

dos e interpolados simultaneamente por elementos de B. Veremos tambm alguns casos

particulares quando substitumos X por um subespao S de dimenso finita. Uma aplica-

o do principal resultado a garantia de interpolao e aproximao de funes contnuas

montonas por polinmios montonos.

O Captulo 3 trata dos problemas de interpolao e aproximao para o caso em que Y

tem dimenso qualquer. Se Y tiver dimenso infinita, o problema (1) chamado de inter-

polao em dimenso infinita ou simplesmente interpolao infinita. Apresentaremos neste

captulo extenses de alguns resultados de aproximao e interpolao finita decorrentes

do Captulo 2. Veremos que, neste contexto, para a garantia da interpolao e aproxima-

o simultneas por elementos de B sero necessrias as hipteses utilizadas no caso de

dimenso finita e mais uma relao entre a transformao A e o conjunto B. Esta relao

se resume em tomar A B-aberta. Como aplicao, estudaremos as extenses montonas

suaves de funes definidas na fronteira do quadrado unitrio.

CAPTULO 1

Preliminares

Neste captulo, apresentaremos conceitos e resultados de Topologia Geral e Espaos Vetori-

ais Topolgicos que sero utilizados nos captulos que se seguiro. As referncias utilizadas

so [4], [10], [12] e [13].

1.1 Espaos Topolgicos

Definio 1. Uma topologia sobre um conjunto X uma coleo T de subconjuntos

de X tendo as seguintes propriedades:

T1. e X pertencem a T;

T2. A unio de elementos de qualquer subcoleo de T pertence a T;

T3. A interseo de elementos de qualquer subcoleo finita de T pertence a T.

Um espao topolgico um par (X,T), onde X um conjunto e T uma topologia para

X. Se X um espao topolgico munido com a topologia T, dizemos que um subconjunto

U de X um conjunto aberto de X se U pertence coleo T. Dizemos que U uma

vizinhana de x X se U um aberto contendo x. Um subconjunto F de X dito ser

fechado se X \ F aberto.

1.1. Espaos Topolgicos 11

Dado um subconjunto U de um espao topolgico X, definimos o interior topolgico

de U , denotado por int(U), como a unio de todos os conjuntos abertos contidos em U .

E definimos o fecho de F , denotado por F , como a interseo de todos os fechados que

contm F . Portanto, se U aberto, U = int(U) e se F fechado, F = F .

Proposio 2. Seja F um subconjunto de um espao topolgico X. Ento, x F se,

e somente se, toda vizinhana de x intercepta F .

Definio 3. Supon