Estructura Discreta

Unidad 1

SAIA - Akristhian alexander medina perez

C.I:25894500

Proposiciones

• Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.

• Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.

• 1: Verdadero

• 0: Falso

ejemplos

• p: Coro es un municipio de Miranda• q:barquisimeto esta en el estado lara • r:La ingeniería es el conjunto de conocimientos

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0, VL(r)=1

Operaciones Veritativas

• Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.

Ejemplos de Proposiciones Atómicas

• p: Coro es un municipio de Miranda

• q:barquisimeto esta en el estado lara

• r:La ingeniería es el conjunto de conocimientos

Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación de dicha proposición.

La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica mediante la siguiente igualdad:

• VL (p)= 1- VL(~ p)

• En efecto

• Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0

• Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

conectivos logicos: negacion

conectivos logicos: negacion

Ejemplo

Si p es la proposición

P: La ingeniería es el conjunto de conocimientos

• Entonces su negación se puede expresar de cuatro formas:

• ~ p: Es falso que La ingeniería es el conjunto de conocimientos

• ~ p: No es cierto que La ingeniería es el conjunto de conocimientos

• ~ p: La ingeniería no es el conjunto de conocimientos.

• ~ p: De ninguna manera La ingeniería es el conjunto de conocimientos.

conectivos logicos: La conjunción

• Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números dados.

Ejemplo

Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.

q: Bolívar murió en Colombia.

r: Miranda nació en Coro.

Entonces

1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.

Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.

2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.

Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.

• Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

conectivos logicos:La disyunción inclusiva

Ejemplo

Si p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto.

q: La estatua de Miranda está en Caracas.

r: El Chorro de Milla está en Carabobo.

Entonces

p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o La estatua de Miranda está en Caracas.VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.

b. q v r: La estatua de Miranda está en Caracas o El chorro de Milla está en Carabobo.VL(q v r)= 0, ya que VL(q)= 0 y VL(r) = 0.

conectivos logicos:La disyunción exclusiva

• Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).

Ejemplo

Si, p: 17 es un número primo.q: 17 es un número par.r: 17 es mayor que 2.

Entoncesp v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1, ya que

VL(p) = 1 y VL(q) = 0.

p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p) = 1 y VL(r) = 1

conectivos logicos:condicional

• Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p->q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

Ejemplo

a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:

Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

Condición Necesaria y Condición Suficiente• El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática,

ya que la mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con las llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.

Así el condicional A - C puede ser leído de las siguientes maneras:

1. Si A entonces C

2. C es condición necesaria para A

3. Una condición necesaria para A es C

4. A es condición suficiente para C

5. Una condición suficiente para C es A

6. C si A

7. A sólo si C

8. A solamente si C

Condicionales Asociados

Dado un condicional p->q podemos asociarles los siguientes condicionales:

1. Directo: p ->q

2. Recíproco: q ->p

3. Contrarrecíproco: ~ q -> ~ p

4. Contrario: ~ p -> ~ q

Ejemplo

Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario del siguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7 es impar.

Solución

* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.

* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.

* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo.

conectivos logicos: Bicondicional

Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q

a la proposición p <->q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

o en otras palabras el VL (P <->q ) = 1 si VL (p) = VL (q)

La tabla nos dice que p <-> q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y es falsa cuando VL(p) ≠VL(q

Ejemplo Consideremos las siguientes proposicones:

a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3 b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3.

Entonces

VL(a)=1, VL(b)= 0, VL(d) = 0

Construir la "Tabla de Verdad"

para las proposiciones dadas:

• (p >q) Ù ~ (p > r)• Solución

(p > q) Ù ~ (p > r)1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 11 0 0 0 1 1 0 00 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 0 1 0

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinacionesPara dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinacionesPara tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:Pasos para construir la tabla: (- p q) Û (p =>- Ør)1. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones2. Determinamos las combinaciones:

Tablas de Verdad de las formas proposicionalesAdjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la variables sus valores de verdad :

Leyes del Algebra de Proposiciones

RazonamientoUn razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición, llamada

conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.Forma Proposicional de un Razonamiento

• Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma proposicional como:

• P1

• P2

• P3

• P4

• .

• .

• .

• Pn

• ----

• C

Razonamiento

• Ejemplo1: El siguiente es un razonamiento:• Si hoy es domingo, entonces mañana habrá examen.• Si hoy es sábado, entonces mañana no hay examen.• Hoy es domingo.• Luego, mañana habrá examen.• Este razonamiento lo podemos simbolizar de la manera siguiente:

• Premisa 1: d - > e

• Premisa 2: s > ~ e

• Premisa 3: d----------------------.

Conclusión: eDonde:d: hoy es domingos: hoy es sábadoe: mañana habrá examen

circuitos logicos

• Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Conexión en serie cual se representa como p q

Conexión en paralelo cual se representa como p V q

• Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

• 1) p (qV r)

• (2) (p q) V [( p r) V ~ s)]

• (3) t [q V (s p)]

• Sol

circuito logico

1)

(2)

(3)