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Matematicas Discreta

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MATEMATICA DISCRETAVersion preliminarDepartamento de MatematicaUniversidad Nacional del SurMaterial elaborado por Estela Bianco Aldo V. Figallo Claudia Sanza Alicia N. ZilianiBaha Blanca 2004Indice General1 Introducci on informal a la l ogica matematica 11.1 El lenguaje coloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 El lenguaje simb olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Tautologas, contradicciones y contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Equivalencia semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Conjunto adecuado de conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Formas argumentativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Consecuencias sem anticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Formas proposicionales normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Conjuntos 362.1 Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 El conjunto vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Descripcion graca de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Subconjuntos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 El conjunto de las partes de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.8 Propiedades de las operaciones conjuntistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Principio de inclusion y exclusi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Relaciones y funciones 563.1 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Relaciones narias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Producto directo de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Conjuntos coordinables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81i4 Multigrafos y multidigrafos 924.1 Multigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2 Arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3 Arboles binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4 Multidigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175 Relaciones binarias especiales 1245.1 Relaciones binarias entre los elementos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . 1245.2 Digrafos y relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3 Pclausura de una relaci on binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4 Clausuras: reexiva, simetrica, transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.6 Relaci on de equivalencia asociada a una funci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.7 Relaci on de equivalencia asociada a una partici on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.8 Clases de equivalencia y conjunto cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.9 Partici on asociada a una relaci on de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.10 Funciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.11 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.12 Diagrama de Hasse de un conjunto ordenado nito . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.13 Subconjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.14 Elementos especiales de un conjunto ordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.15 Cotas y conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.16 Retculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.17 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576 Sistemas algebraicos 1676.1 Operaciones narias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 Sub algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.4 Sub algebra generada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.5 Homomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.6 Congruencias y algebras cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.7 Algebras libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183ii6.8 El semigrupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897 Retculos distributivos y algebras de Boole 1957.1 La clase R de los retculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.2 La clase D de los retculos distributivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.3 Elementos irreducibles, primos y atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4 La clase B de las algebras de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.5 Algebras de Boole nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238 Sistemas proposicionales 2308.1 Lenguajes de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2308.2 Sistemas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.3 Sistemas proposicionales sem anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.4 Sistemas Proposicionales sint acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.5 El sistema proposicional clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.6 El Teorema de la deducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.7 El Teorema de la completud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479 Bibliografa 249iii1 Introduccion informal a la l ogica matematicaEn este captulo describiremos, de manera intuitiva, algunos conceptos importantes de lalogica matem atica. Como creador de esta disciplina debemos considerar al losofo y matem aticoalem an del siglo XVII, G. W. Leibniz (16461716), pero quien la redescubre y desarrolla es elmatem atico ingles G. Boole (18151864). Entre los que hicieron un aporte decisivo se encuen-tran el l ogico alem an G. Frege (1848-1925) y el l ogico y l osofo norteamericano Ch. S. Peirce(18391914).1.1 El lenguaje coloquialOraciones declarativas y proposicionesDe los m ultiples usos del lenguaje, los que interesan a la logica son aquellos que cumplenuna funci on informativa, esto es, cuando se lo utiliza para suministrar informacion medianteoraciones declarativas o para presentar argumentos.Adem as, lo que interesa de las oraciones declarativas es su signicado.Recordemos que en Gram atica se indican las siguientes deniciones:(i) Oracion: Palabra o conjunto de ellas, con sentido completo (plano sem antico) y au-tonoma sint actica (plano sint actico). No necesita de ning un elemento extraoracionalpara completar su signicacion.(ii) Oraciones declarativas:Son las oraciones que cumplen una funcion informativa, es decir,las que arman o niegan algo y a las cuales se les puede asignar un valor de verdadverdadero o falso.Por otra parte, en L ogica y en Matem atica es frecuente usar la siguiente denicion:(iii) Oraciones equivalentes: Son aquellas que tienen el mismo signicado.Cuando admitimos la noci on de equivalencia entre las oraciones declarativas, a las clases deoraciones equivalentes las llamaremos proposiciones.11El uso que se le da en L ogica a la palabra `proposicion no coincide con el que se le da en Gram atica. EnMatematica tambien se utiliza `enunciado como sinonimo de `proposicion.1Ejemplos(1) El Dr. Perez estudia el contrato de locacion.(2) El contrato de locacion es estudiado por el Dr. Perez.(3) Rodrguez aborrece las obligaciones.(4) Rodrguez detesta las obligaciones.(5) Si 6 > 4, entonces 6 > 2.(6) De 6 > 4 resulta 6 > 2.(7) 6 > 2 es consecuencia de 6 > 4.(8) De 6 > 4 se deduce 6 > 2.Las oraciones declarativas indicadas en (1) y (2) tienen el mismo signicado y por lo tantorepresentan a la misma proposici on.Las enunciadas en (3) y (4) representan la misma proposici on siempre que aceptemos a lapalabra `detestar como sin onimo de la palabra `aborrecer.Las enunciadas en (5), . . . ,(8) est an referidas a propiedades de los n umeros reales y enMatem atica se acepta que representan a la misma proposici on.Otros ejemplos(9) Siete es mayor que doce.(10) Quien es?.(11) Ella es inteligente.(12) En otros planetas del sistema solar hay diversos tipos de seres vivos.La oraci on indicada en (9) es una proposici on, y m as precisamente una proposicion falsa.La oraci on del ejemplo (10) es int

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