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Tema 3. Procesos estocásticos básicos en teoría de colas.

Procesos estocásticos básicos en teoría de colas - ulpgc. · PDF filede colas. 3.3 El proceso de Poisson homogéneo Un proceso contador Nt t lq ≥0 es un Proceso de Poisson

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  • Tema 3.

    Procesos estocsticosbsicos en teora decolas.

  • 3.1 Introduccin. Planteamiento general.

    Un proceso estocstico es en esencia un modelomatemtico de un fenmeno que evoluciona en el tiempo de forma

    aleatoria.

    Ejemplos:

    El nmero de llamadas telefnicas recibidas en una centralitahasta cierto instante t.

    La sucesin de tiempos que permanecen en el buffer de unconmutador los paquetes de una conexin en espera de sertransmitidos.

    La sucesin de tamaos (en bytes) de los paquetes que llegan aun conmutador de red.

    De una manera ms formal, un proceso estocstico se define

    como una familia de variables aleatorias {s }sS, definidas sobre un

    mismo espacio de probabilidad (, B ,P), que representa el

    comportamiento aleatorio del fenmeno que se estudia. En este

    contexto s suele representar el valor de una variable de inters

    medida en el instante s, o el valor que toma esa variable sobre el s-

    simo objeto que interviene en el fenmeno analizado.

    En las aplicaciones que veremos a lo largo de este curso,

    cuando T es continuo suele ser T= +, y cuando es discreto suele

    ser T= .

  • Ejemplos:

    t = nmero de llamadas telefnicas recibidas en una centralitahasta cierto instante t.

    k = Tiempo que permanece en el buffer de un conmutador el k-simo paquete de una conexin desde que llega hasta que estransmitido.

    k = Tamao (en bytes) del k-simo paquete de una conexin.

    Asimismo el espacio de probabilidad (, B ,P) representa el azar.

    Los elementos son los posibles resultados aleatorios de la

    observacin del fenmeno, P es la funcin que asigna a los su

    probabilidad de ocurrencia P(), y B es la coleccin de conjuntos de

    a los que se puede asignar de modo consistente un valor de

    probabilidad.

    De acuerdo con esta definicin, a cada fijo, el proceso

    le asocia los valores {s()} que constituyen una funcin de S en

    denominada trayectoria del proceso asociada a . De esta forma,podemos considerar un proceso estocstico como una funcin de

    dos variables (s,) = s() de S en en la que:

    Para cada s fijo: s (): + es una variable aleatoria.

    Para cada fijo: (): S es una trayectoria del proceso

  • Si llamamos S al espacio de todas las funciones de S en ,

    tambin podemos interpretar un proceso estocstico con conjunto

    de parmetros S y valores en como una nica aplicacin:

    X : S

    que a cada le hace corresponder la funcin :

    X () = (): S

    Desde esta perspectiva puede entenderse un proceso estocsticocomo el conjunto de todas las posibles formas en que puede

    evolucionar la variable en estudio (trayectorias) ms una

    distribucin de probabilidad sobre dicho conjunto, que nos indique

    cul es la probabilidad de que se produzca cada trayectoria

    particular.

    El problema es cmo determinar la distribucin de probabilidad

    asociada a un proceso estocstico?. Aunque lo natural sera

    considerar como distribucin del proceso la distribucin conjunta de

    las variables aleatorias que lo componen, el hecho de que

    usualmente S sea infinito impide esta aproximacin. Los trabajos de

    Kolmogorov en los aos 30 del siglo pasado condujeron al teorema

    que lleva su nombre y que garantiza que bajo ciertas condiciones

    de regularidad, conocer la distribucin (finito-dimensional) de

    probabilidad de ( )1 2, , ..., ns s s para todo n y para cualesquiera s1, s2,..., sn S es equivalente a conocer la distribucin de probabilidad

    del proceso. Ello se traduce, en la prctica, en que el estudio de los

    procesos estocsticos se realiza a travs de sus distribuciones finito

    dimensionales.

  • 3.2 Procesos Puntuales

    Un proceso puntual aleatorio es un proceso estocstico cuyas

    realizaciones consisten en conjuntos de puntos distribuidos

    aleatoriamente sobre un cierto espacio continuo. Tales puntos

    suelen corresponder, en la prctica, a los instantes de tiempo en

    que han ocurrido algunos sucesos de inters, o a las localizaciones

    en el espacio de ciertos objetos.

    Ejemplos

    El conjunto de instantes en que se producen las llegadas o

    salidas de clientes en cola

    El conjunto de instantes en que se producen los

    nacimientos de los individuos de una poblacin.

    En estos dos ejemplos, el continuo sobre el que se hallan

    distribudos los puntos es el tiempo.

    El anlisis de los procesos puntuales se realiza habitualmente

    a travs de sus procesos contadores asociados.

    Dado un proceso puntual definido sobre un espacio continuo

    T, se define su proceso contador asociado como aquel proceso

    que a cada subconjunto A T le asigna el nmero N(A) deocurrencias del proceso puntual localizadas en A. Cuando T es el

    tiempo, el proceso contador suele expresarse como Nt tl q 0 , dondeNt representa el nmero de sucesos puntuales que han ocurridos

    en [0,t].

  • Si Nt tl q 0 es un proceso contador asociado a un procesopuntual temporal, para s

  • 3.3 El proceso de Poisson homogneo

    Un proceso contador Nt tl q 0 es un Proceso de Poissonhomogneo si verifica las siguientes condiciones:

    ( )

    { }

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )( )

    0

    0

    1. 0 1

    2.

    1

    1

    0t 0

    es de incrementos independientes

    3.-

    donde es un infinitsimo de orden superior a , esto es:

    lim

    t t

    t t t

    t t t

    P N

    N

    P N N t o t

    P N N o t

    o t t

    o tt

    +

    +

    = =

    = = +

    > =

    =

    En esta caracterizacin queda de manifiesto que aquellos

    procesos de incrementos independientes tales que, durante un

    tiempo infinitesimal es muy improbable que ocurra ms de un

    suceso seguirn una distribucin de Poisson.

    Como ejemplo en los que esta condicin se da

    frecuentemente, puede citarse las llegadas de clientes a una cola.

    En este caso Nt representa el nmero de clientes llegados a la cola

    en el intervalo de tiempo (0,t]

  • Calculemos ( ) ( ), 0n tp t P N n n= = :

    Si n 1:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    0 0

    2

    2

    1

    ,

    0 1 1

    1 1

    1

    n n

    n t t t t t t t tk k

    t t t t t t t t

    n

    t t t tk

    n

    t t tk

    n n n kk

    p t t P N k N N n k P N n k P N N k

    P N n P N N P N n P N N

    P N n k P N N k

    P N n t o t P N n t o t P N n k o t

    p t t o t p t t o t p t o t

    + += =

    + +

    +=

    =

    + = = = = = = =

    = = = + = = +

    + = = =

    = = + = + + = =

    = + + +

    2

    n

    =

    Si n=0:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    0

    0

    0, 0 0 0

    1t t t t t t t tp t t P N N N P N P N N

    p t t o t+ ++ = = = = = =

    =

    Estas ecuaciones pueden reescribirse como:

    ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0p t t p t p t t o t+ =

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

    12

    ,

    1

    n

    n n n n n kk

    p t t p t p t t o t p t t o t p t o t

    n

    =

    + = + + +

    Dividiendo por t y tomando lmite cuando t 0, nos queda:

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    0 0

    1

    '

    ' 1n n n

    p t p t

    p t p t p t n

    =

    = +

  • La primera ecuacin es fcil de resolver:

    ( ) ( ) ( )( )( )( )

    ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

    0 00 0 0 0

    0 0

    0 0 0 0

    ' ''

    ln ln 0 ln ln 1

    t t

    t

    p t p up t p t du du

    p t p u

    p t p t p t t p t e

    = = =

    = = =

    Para las siguientes ecuaciones procedemos recursivamente; as,

    para n=1 tenemos:

    ( ) ( ) ( )1 1 0'p t p t p t = +

    Si resolvemos en primer lugar la ecuacin homognea resulta:

    ( )1 ( ) tp t c t e =

    y aplicando el mtodo de variacin de la constante:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1' '( ) 'tt tp t c t e c t e c t e p t = =

    de donde:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    0

    1

    '( ) 't t

    t

    c t e p t e c t c t t c

    p t t c e

    = = = = +

    = +

    Imponiendo ahora la condicin de que p1(0)=0 nos queda c=0 y portanto:

    ( )1 tp t te =

    Procediendo de modo anlogo para n=2, 3, 4, llegamos a la

    frmula general (que puede probarse por induccin):

    ( ) ( )!

    nt

    n

    tp t e

    n =

    que corresponde precisamente a la distribucin de Poisson.

  • 3.3.1 Propiedades del proceso de Poisson

    El nmero de ocurrencias de un proceso de Poisson de

    parmetro en un intervalo de longitud sigue una

    distribucin de Poisson de parmetro

    En efecto, por ser el proceso de incrementos independientes, lavariable t tN N+ es independiente de 0t tN N N = . Por tanto:

    ( ) ( )

    ( ) ( )0

    !

    t t t t t

    n

    P N N n P N N n N

    P N n en

    + +

    = = = = =

    = = =

    El proceso de Poisson es de incrementos estacionarios,esto es:

    ( ) ( ) , , ,t h t s h sP N N n P N N n t s h n+ + = = = (la demostracin se sigue de la propiedad anterior, dado que seobtiene la misma probabilidad s,t,h,n)

    La distribucin de probabilidad de los tiempos entreocurrencias de sucesos de un proceso de Poisson esexponencial:

    En efecto, sea Wn=Tn-Tn-1. Entonces:

    ( ) ( )( )

    1 1/ 1 /

    1 0 1n n n n

    wt w t

    P W w T t P W w T t

    P N N e

    +

    = = > = =

    = = =

    que, como se observa, sigue una distribucin exponencial deparmetro , independientemente de n y Tn.