INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE GUASAVE

PROCESO DE LLEGADA POISSON

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

¿QUÉ ES?

la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta.

EXPRESA: la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo .

¿QUIÉN LA FORMULÓ?

"Ley de los sucesos raros" llamado así por el matemático Simeón Denis Poisson (1781–1840) es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "ley de los eventos raros") que ocurren a lo largo del tiempo.

CARACTERÍSTICAS

Determina la Probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo

Ocurren con una tasa media conocida donde cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último

Son procesos con ocurrencia infinita

COMO SE SUMAN VARIABLES ALEATORIAS

TOMA LA FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

DEFINICIONES

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

Llegada de un nuevo cliente al sistema de colas

NACIMIENTO

Salida delcliente servido

MUERTE

MODELOS DE NACIMIENTOS

PUROS Se define como

PO(t)=probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo.

Llegada de un nuevo cliente al sistema de colas

PROCESO DE NACIMIENTO PURO

Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 minutos en promedio.

a)Calcule la cantidad de nacimientos que se registrarán en un año(proceso de nacimiento)

b) Calcule la probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas cuando ya se emitieron 40 en las primeras 2 horas del periodo de 3horas.

n = 0,1,2,3….(nacimiento puro)

Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de llegadas durante t igual a λ t.

EJEMPLO

RESOLVIENDO

diasnacimientox

/7.2057

6024

Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de 7 minutos, la tasa de nacimiento en el país se calcula como:

HAY QUE MULTIPLICAR LA TASA DE LLEGADAS POR UNIDAD DE TIEMPO

λt = 205.7 x 365 = 75080 nacimientos/año La probabilidad de emitir las 10 actas en la hora

restante.

Po= 0.0992

CONVERTIMOS EL NUMERO DE NACIMIENTOS AL AÑO

RESOLVIENDO

10

PROCESO DE MUERTE PURA

En el modelo de muertes pura el sistema comienza con N clientes cuando el tiempo es cero, y no se permiten mas llegadas, las frecuencias se hacen con µ clientes por unidad de tiempo.

)!(

)()(

nN

ettp

tnN

n

N

nn tptp

10 )(1)(

n= 1,2 ……N

MUERTE PURA

µ: tasa madia de llegadan

PROCESO DE MUERTE PURA

Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un artículo de inventario para utilizarse durante la semana. Solo se hacen retiros del almacenamiento durante los primeros 6 días, y sigue una distribución de Poisson con la media de 3 unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5 unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades para ser entregado al principio de la semana entrante. Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas las unidades que sobran al final de la semana

EJEMPLO

Podemos analizar esta situación en varias formas. Primero, reconocemos que la tasa de calculo es µ = 3 unidades por día. Supóngase que nos interesa determinar la probabilidad de tener 5 unidades (el nivel de nuevo pedido) al día t; es decir,

t= 1,2,…,6

RESOLVIENDO

,)!515(

)3()(

3515

5

tettp

t (días) 1 2 3 4 5 6

µt 3 6 9 12 15 18

p5(t) 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015

unidad 3

unidad 6

unidad 9

unidad 12

unidad 15

unidad 18

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

dia 1dia 2dia 3dia 4dia 5dia 6

PROCESOS DE LLEGADA POISSON

PROCESO DE LLEGADA POISSON

P X k ek !

= = l lt) k t

( ) ( -

PROCESOS POISSON

ENTRE MAS COMPLEJO SEA UN PROCESO SERA MODULADO A

POISSON

NUMERO: EL NUMERO DE VENTOS DENTRO DE UN

INTERVALO DE LONGITUD FIJA.

EL INTERVALO: EL INTERVALO DE TIEMPO ENTRE EVENTOS

CONSECUTIVOS

SE REPRESENTA POR:

POBLACIÓN INFINITA

Probabilista ( hipótesis usual)Suposición habitual: distribución de probabilidad exponencial y llegadas de clientes independientes.

CONDICIONES DEL PROCESO POISSON

Al menos un cliente debe llegar a la cola en un intervalo de tiempo.

continuidad

Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de la misma longitud.

estacionario

La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro

independencia

PROCESO DE LLEGADA POISSON

P X ke

k != =

l lt) k t

( )( -

Donde:l = esperanza de llegada de un cliente por

unidad de tiempo

t = intervalo de tiempo.

e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

EJEMPLO

HARDWARE HANK’S

-Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución Poisson, Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial.

- ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana?

Valores de entrada para la Dist. Poissonl= 6 clientes por hora.t = 0.5 horas.l t = (6)(0.5) = 3.

P X ke

k( )

(

!

t) k t 0

0.224042

1 2 3 4 5 6 7 8

33!

3 3

DIFERENCIA ENTRE LAS

DISTRIBUCIONESDistribución Aplicación

exponencial Tiempo entre legadas de llamadas., cuando el trafico es generado por seres humanos.

Erlang-k Tiempo que transcurrió para que llegaran k llamadas.

Poisson Numero de llamadas en un sistema telefónico.

APLICACIONES

La cantidad de clientes que entran a una tienda.

El número de coches que pasan por una autopista.

La llegada de personas a una fila de espera.

El número de llamadas que llegan a una central telefónica.

Partículas emitidas por un material radiactivo

INTEGRANTES

Angulo castro Teódulo

Arrayales Zamora Katia

Bon Verdugo Karen

Cervantes Cota Rosario

López Arce Iván Eduardo

Median Buena Erika

Reyes Cervantes Jaime Ángel

Rubio Quevedo Venustiano