Direccin General de Educacin Superior TecnolgicaInstituto Tecnolgico de Tijuana

ING. CIVIL

INVESTIGACION DE OPERACIONES

SISTEMA DE COLAS Y PROCESO DE MONTE CARLO

Tijuana, BC, a 16 de mayo de 2012.

ContenidoSISTEMA DE COLAS.- ........................................................................................................................... 3 PARA QUE SIRVE? .......................................................................................................................... 3 PROCEDIMIENTO: ............................................................................................................................ 5 EJEMPLOS. ..................................................................................................................................... 12 PROCESO DE MONTE CARLO.-........................................................................................................... 16 PARA QUE SIRVE? ........................................................................................................................ 16 PROCEDIMIENTO: .......................................................................................................................... 17 EJEMPLOS. ..................................................................................................................................... 19 BIBLIOGRAFIA. ................................................................................................................................... 31

SISTEMA DE COLAS.INTRODUCCION Parte de nuestra vida diaria es la de esperar algn servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, hacemos cola en la caja de algn almacn y nos formamos para recibir un servicio en la oficina de correos. Y el fenmeno de la espera no es una experiencia que se limite slo a los humanos: los trabajos esperan a ser procesados en una mquina, los aviones vuelan en crculo hasta que la torre de control les da permiso de aterrizar y los automviles se detienen ante la luz roja de los semforos. Desafortunadamente no se puede eliminar la espera sin incurrir en gastos desmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar es reducir el impacto desfavorable a niveles tolerables.

PARA QUE SIRVE?El estudio de las lneas de espera trata de cuantificar el fenmeno de esperar formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilizacin promedio de las instalaciones. El ejemplo que sigue demuestra cmo se usan esas medidas para disear una instalacin de servicio.

ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLA Los actores principales en una lnea de espera o cola son el cliente y el servidor. Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalacin pueden recibir servicio de inmediato, o esperar en una cola o lnea de espera, si la instalacin est ocupada. Cuando en una instalacin se termina un servicio, en forma automtica se atrae a un cliente que espera, si lo hay, de la cola. Si la cola est vaca, la instalacin se vuelve inactiva hasta que llega un cliente nuevo. Desde el punto de vista del anlisis de las colas, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente.

Por lo general, los tiempos entre llegadas y de servicio pueden ser probabilsticos, como en el funcionamiento de una oficina de correos, o determinsticos, como en la llegada de solicitantes a las entrevistas de trabajo. El tamao de la cola desempea un papel en el anlisis de las colas, y puede ser finito, como en el rea de reserva entre dos mquinas consecutivas, o puede ser infinito, como en las instalaciones de pedido por correo. La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el anlisis de los modelos de colas. La disciplina ms comn es la de primero en llegar, primero en servirse (PLPS; tambin FCFS, del ingls first come, first served). Entre otras disciplinas estn ltimo en llegar, primero en servirse (ULPS; tambin LCFS de last come, first served), y de dar servicio en orden aleatorio (SEOA; tambin SIRO, de service in random order). Tambin, los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales. El comportamiento de los clientes en espera juega un papel en el anlisis de las lneas de espera. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. Tambin pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado. El diseo de la instalacin de servicio puede comprender servidores en paralelo (por ejemplo, el funcionamiento de la oficina de correos). Tambin, los servidores pueden ordenarse en serie (por ejemplo, cuando los trabajos se procesan en mquinas sucesivas) o bien pueden formar una red (por ejemplo, los enrutadores en una red de computadoras). La fuente donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que llegan al servicio (por ejemplo, las mquinas que piden el servicio de mantenimiento). Tambin, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las llamadas que llegan a una central telefnica). Las variaciones de los elementos de un caso de colas dan lugar a diversos modelos de colas.

PROCEDIMIENTO:El sistema de colas consiste esencialmente de tres componentes principales: (1) la poblacin fuente y la forma como los clientes llegan al sistema, (2) el sistema de servicio y (3) la condicin en que los clientes que salen del sistema (vuelven o no la fuente de poblacin?). La Teora de Cola no es una tcnica de optimizacin, sino una herramienta que utiliza frmulas analticas (limitadas por suposiciones matemticas. No se asemejan a una situacin real, pero da una primer aproximacin a un problema y a bajo costo), que brindan informacin sobre el comportamiento de lneas de espera (estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene una cierta capacidad de atencin y no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar).

Proceso Bsico de las Colas El proceso bsico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren servicios, a travs del tiempo, provienen de una fuente de entrada. Estos clientes arriban al sistema de servicios y se unen a una cola. En un determinado tiempo se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se brinda el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, despus de lo cual el cliente sale del sistema de servicio. Componentes del Proceso de Colas 1 Fuente de Entrada Una caracterstica de la fuente de entrada es su tamao. El tamao es el nmero total de potenciales clientes que pueden requerir servicio en un determinado momento. Esta poblacin a partir de la cual surgen las unidades que arriban se conoce como poblacin o fuente de entrada. Puede suponerse que el tamao es infinito o finito (por lo cual se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Debe especificarse el patrn estadstico mediante el cual se generan los clientes a travs del tiempo. La suposicin normal es que se generan de acuerdo al proceso de Poisson. Este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes estn ya all (por lo que el tamao de la fuente de entrada es infinito). Una suposicin equivalente es que, la distribucin de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre

llegadas.

Poblacin Finita Es un grupo limitado de clientes que representa la fuente que usar un servicio y que en ocasiones forma una cola. En esta caso cuando un cliente deja su posicin como miembro de la poblacin de usuarios, se reduce en una unidad el tamao del grupo de usuarios, lo cual reduce la probabilidad que un usuario requiera servicio. Por el contrario, si se brinda mantenimiento a un cliente y ste regresa al grupo de usuarios, aumenta la poblacin y tambin la probabilidad de que un usuario requiera servicio. (Ejemplos: reparacin de cosechadoras, las PC de un gabinete, etc.). Poblacin Infinita Es aquella poblacin que tiene el tamao suficiente en comparacin con el sistema de servicio, para que los cambios en el tamao de la poblacin, ocasionados por disminuciones o incremento a la poblacin, no afectan de manera sustancial las probabilidades del sistema. (ejemplos: en un supermercado los clientes que hacen fila; la cola en un banco; en una estacin de gasolina, etc.). 2 Proceso de Llegada Es la forma en que los clientes de la fuente de entrada llegan a solicitar un servicio. La caracterstica ms importante del proceso de llegada es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas de clientes a un sistema de colas. Se supone que el proceso de llegada no es afectado por el nmero de clientes presentes en el sistema. Existen casos en los que el proceso de llegada puede depender del nmero de clientes presentes en el sistema, como en el caso de una poblacin pequea.

Ejemplo: hay cuatro barcos en un astillero, si los cuatro estn en reparacin, entonces ningn barco se puede descomponer en el futuro cercano. Por otro lado, si los barcos estn en el mar, en el futuro cercano hay una probabilidad relativamente alta de que alguno sufra una avera. Otro caso en el que el proceso de llegada depende del nmero de clientes presentes en cola, se tiene cuando la rapidez con la que llegan los clientes a la instalacin disminuye si est demasiado concurrida. Por ejemplo: si un banco tiene mucha gente, cuando llega un cliente se puede ir.

3 Cola Una cola se caracteriza por el nmero de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas; la suposicin de una cola infinita es la estndar en la mayora de los modelos, incluso las situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el nmero permitido de clientes. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequea que se llegan a ella con cierta frecuencia, se suponen como cola finita. Costos del Sistemas de Colas Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio; estos elementos se unen primero a la cola; si no hay lnea de espera se dice que la cola esta vaca. Costo de Espera Esperar significa desperdicio de algn recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por: Costo total de espera = Cw * L Cw = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, y L = a longitud promedio de la cola.

Sistema de Costo Mnimo Aqu hay que tomar en cuenta (ver Figura 2), que para tasas bajas de servicio se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminucin en el rendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mnimo.

4 Seleccin a Partir de la Cola o Lnea de Espera Disciplina de Cola La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes para recibir el servicio. Por ejemplo, el primero en entrar es el primero en salir; aleatoria; de acuerdo a algn procedimiento de prioridad o a algn otro orden. En general la disciplina de los modelos de cola es: primero en entrar, primero en salir. Las reglas de prioridades ms comunes para determinar el orden de servicio a los clientes que esperan en la cola son: PEPS: Primero Entrado, Primero Salido. UEPS. Ultimo Entrado, Primero Salido. SEOA: Servicio en Orden Aleatorio. GD: Disciplina General de Servicio (representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA). 5 Instalacin de Servicios o Estaciones El mecanismo de servicio consiste en una o ms instalaciones de servicio , cada una de ellas con uno o ms canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe ms de una instalacin de servicio, puede ser que sirva al cliente a travs de una secuencia de ellas (canales en serie de servicio). En una instalacin dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el nmero de servidores (canales paralelos) en cada una. El tiempo que transcurre para un cliente desde el inicio del servicio hasta su terminacin en una instalacin se llama tiempo de servicio (o duracin del servicio). Un modelo de sistema de colas determinado debe especificar la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos clientes), aunque es comn suponer la misma distribucin para todos los servidores. El flujo de los elementos que recibirn servicios puede formar

una cola nica, una cola mltiple o una combinacin de ambas y pueden ser brindadas por un servidor o mltiples servidores.

i) Un Servidor - Una Cola Es el tipo ms sencillo de estructura y existen frmulas directas para resolver el problema con distribucin normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavadero automtico de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc. ii) Mltiples Servidores (en paralelo) Varias Colas El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo de servicio para cada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas. Como resultado de esto, algunos clientes son atendidos antes que otros que llegaron primero y adems producen cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de los bancos y las cajas de pago de los supermercados). iii) Mltiples Servidores (en paralelo) Una Cola Para modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden de llegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible un servidor se le asigna el siguiente cliente. El principal problema con esta estructura es que requiere un estricto control de la cola para mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles. (Ejemplo: peluquera o una panadera en donde los clientes toman un nmero al entrar y se les sirve cuando llega el turno). iv) Mltiples Servidores (en serie) Una Cola Un factor crtico del caso de un solo canal con servicio en serie es la cantidad de elementos que se acumulan al frente de cada servicio, lo cual genera colas de (Limpieza con aspiradora, remojo, lavado, enjuague, secado, estacionamiento) en una secuencia bastante uniforme. Espera separada. Un ejemplo es el lavado de un automvil, donde se realizan varios servicios Por la variacin inherente de los tiempos de servicio, la situacin ptima para maximizar el uso del servicio es permitir que se forme una cola de espera infinita frente a cada servidor. La peor situacin es aquella donde no se permiten colas y

slo puede estar un cliente. Este problema es comn en muchos sistemas orientados a productos (lneas de montaje), en los sistemas orientados a procesos (talleres de trabajo, procesamiento rdenes por lotes), permite la utilizacin mxima del servidor al dejar que el inventario de artculos disponibles absorba la variacin en tiempo de desempeo.

v) Mltiples Servidores - Fases Mltiples En este caso se sigue una secuencia de pasos especficos, como en el caso de admisin de pacientes en un hospital (contacto inicial en el mostrador de admisin, llenar formularios, elaborar tarjetas de identificacin, obtener la asignacin de una habitacin, llevar al paciente a la habitacin, etc.). Es posible procesar ms de un paciente a la vez, ya que generalmente existen varios servidores disponibles para este procedimiento. 6 - Proceso de Salida Es la forma en que los clientes abandonan un sistema de colas. Para describir el proceso de salida de un sistema de cola, se especifica una distribucin de probabilidad. En la mayor parte de los casos suponemos que la distribucin de tiempo de servicio es independiente del nmero de clientes presentes, es decir que el servidor no trabaja ms rpido cuando hay ms clientes.

Modelos de Teora de Cola C Nmero Modelo Distribucin Distribucin de A E F Nro. Max de Disciplina Clientes Poblacin Permitidos del en el de Llegadas de Salidas Servidores Servicio Sistema M M 1 PEPS Infinito Infinita M M 1 GD N Infinita M M S GD Infinito Infinita M M S GD N Infinita M M 1 GD K K M M R GD K K B D

1 2 3 4 5 6

El modelo 5 y 6, suelen llamarse de servicio cerrado. El servidor atiende a un nmero constante de mquinas o unidades. Cuando una mquina se rompe, no puede generarse nuevos llamados mientras permanezca en servicio. En el caso del modelo 6 el sistema tiene un total de K mquinas que son atendidas por R operarios. Notacin para Modelos de Cola (A,B,C,):(D,E,F) A: distribucin de arribos (M=Poisson D=Determinista E=Erlang). B: distribucin de salidas (M=Poisson D=Determinista E=Erlang). C: Nmero de servidores en paralelo. D: Disciplina del servicio. E: Nmero mximo de clientes permitidos en el sistema (en cola + en servidores). F: Poblacin Modelo 1 2 3 4 5 6 Notacin (M,M,1):(GD,,) (M,M,1):(GD,N,) (M,M,S):(GD,,) (M,M,S):(GD,N,) (M,M,1):(GD,K,K) (M,M,R):(GD,K,K)

EJEMPLOS.EJEMPLO 1. McBurger es un restaurante de comida rpida, con tres mostradores de servicio. El gerente ha encargado que se haga un estudio para investigar las quejas por lo lento del servicio. El estudio indica la siguiente relacin entre la cantidad de mostradores de servicio y el tiempo de espera de los clientes. Cantidad 1 cajeros Tiempo 16.2 (min) 2 10.3 3 6.9 4 4.8 5 2.9 6 1.9 7 1.3

Al examinar esos datos se ve que hay un tiempo promedio de espera de 7 minutos para el caso actual de 3 mostradores. El gerente desea reducirlo a unos 3 minutos, resultado que solo se puede alcanzar con cinco (o ms) mostradores.

EJEMPLO 2. Una maquina en servicio tienen una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuando falle. El tiempo de falla (tiempo entre fallas) de la maquina (o de su unidad de reserva) es exponencial, y sucede cada 40 minutos, en promedio. El operador de la maquina dice que sta tiene la costumbre de descomponerse cada noche a eso de las 8:30 p.m. Analizar lo que dice el operador. La Tasa promedio de fallas de la maquina es =60/40=1.5 fallas por hora. Asi, la distribucin exponencial del tiempo a la falla es ( ) En cuanto a lo que dice el operador, ya se sabe que no puede ser correcto, porque se opone al hecho de que el tiempo entre fallas es exponencial y, en consecuencia, es totalmente aleatorio. La probabilidad de que una falla suceda a las 8:30 p.m. no puede usar para respaldar ni refutar esa afirmacin, porque el valor de esa probabilidad depende de la hora del dia (en relacin con las 8:30 p.m.) con la que se calcule. Por ejemplo, si ahora son las 8:20 p.m., la probabilidad de que lo que dice el operador sea cierto esta noche es que es baja. { }

Si en este momento son las 7:00 p.m., la probabilidad de que suceda una falla a las 8:30 p.m. aumenta hasta aproximadamente 0.9. Estos dos valores extremos indican que no se puede analizar la afirmacin del operador con base en estimaciones de probabilidad y que se debe confiar en las caractersticas de la distribucin exponencial (aleatoriedad total) para refutar la afirmacin.

EJEMPLO 3. Los nios nacen en un estado un poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribucin exponencial. Determinar lo siguiente: a) La cantidad promedio de nacimientos por ao. b) La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier da. c) La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas, cuando se emitieron 40 certificados durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas. La tasa diaria de nacimientos se calculo como sigue: Los nacimientos anuales en es estado son La probabilidad de que no haya nacimientos en algn da se calcula con la distribucin de poisson: ( ) ( )

Para calcular la probabilidad de emitir 50 certificados en 3 horas, cuando se han emitido ya 40 certificados en las primeras 2 horas, equivale a tener 10(=50-40) nacimientos en 1(=3-2) horas. Como = 60/12=5 nacimientos por horas, entonces ( ) ( )

Los clculos de la distribucin de poisson, y en realidad de todas las formulas de colas son tediosos, y requieren manejo especial para asegurar una exactitud de computo razonable. Se aconseja entonces usar Excel para hacer los clculos en especifico las plantilla ch17poissonQueues.xls.

Llenando como sigue:

Lamda 5

Mu 0

c 0

Limite del sist. infinito

Limite de Fte. infinito

t= 5 X 1= 5 nacimientos por da.

PROCESO DE MONTE CARLO.INTRODUCCION La simulacin es la mejor alternativa de la observacin de un sistema. Nos permite recopilar informacin pertinente acerca del comportamiento del sistema al paso del tiempo. La simulacin no es una tcnica de optimizacin. Ms bien se usa para estimar las mediciones del desempeo de un sistema modelado. La simulacin moderna suele manejar situaciones que se pueden describir en el contexto de una lnea de espera o cola. La simulacin no se limita a eso, porque casi cualquier situacin de funcionamiento se puede considerar como alguna forma de lnea de espera. sta es la razn por la que la simulacin ha gozado de aplicaciones tan tremendas en las redes de comunicaciones, manufactura, control de inventario, comportamiento del cliente, pronsticos econmicos, sistemas biomdicos y estrategias y tcticas blicas.

PARA QUE SIRVE?El mtodo de Montecarlo es un mtodo no determinstico o estadstico numrico, usado para aproximar expresiones matemticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Este precursor de la simulacin de nuestros das es un esquema dirigido hacia la estimacin de parmetros estocsticos o determinsticos con base en el muestreo aleatorio. La diferencia principal entre las dos tcnicas es que en el mtodo de Monte Carlo el elemento tiempo no es factor pertinente. Como ejemplos de las aplicaciones Monte Carlo est la estimacin del rea de una curva o, en forma ms general, la evaluacin de integrales mltiples, la estimacin de la constante, y la inversin de matrices. La simulacin es un experimento estadstico y en consecuencia sus resultados se deben interpretar con las pruebas estadsticas adecuadas.

PROCEDIMIENTO:Enfoque grafico: en este se construye una grafica en la cual se coloca en el eje de las abscisas a la variable aleatoria e la cual se vana generar los valores y en el de las ordenadas ala probabilidad acumulada para la cual aplica cada uno de los valores de la variable aleatoria. Esta probabilidad acumulada ser valida en un intervalo que ira desde el valor superior del intervalo anterior hasta el nivel de probabilidad acumulada que corresponde a cada valor de la variable aleatoria. Para el caso del primer valor de esta, se tomara el intervalo desde cero hasta el valor de su probabilidad acumulada, la cual ser igual a la probabilidad individual. 1. Generar una serie de nmeros aleatorios, r,r,,,,,,rm uniformemente distribuidos en [0,1] Generar un numero aleatoria, el cual se tomara con los dgitos que contenga como la fraccin entre cero y la unidad respectiva. Generacin de nmeros aleatorios: Son necesarios para proporcionar la secuencia aleatoria inicial (Uniformemente distribuida entre 0 y 1).Existen numerosos algoritmos de generacin de nmeros (pseudo) aleatorios. En particular, las diferentes variantes de RANLUX, disponibles en todas las bibliotecas matemticas modernas (CERN,GSL, etc.) 2. Con el valor obtenido en el paso anterior, se entra ala grafica por el eje de las ordenadas y se mueve uno paralelamente al eje de las abscisas hasta el escaln de la lnea correspondiente. Siendo:

Ambas probabilidades tienen que ser iguales Para determinar la transformacin x(r) para la que la condicin anterior se verifica puede imponerse (la receta no es nica) que:

3. Al llegar al escaln nos moveremos ahora hacia abajo paralelamente al eje de las ordenadas hasta alcanzar el eje de las abscisas. Mtodo de aceptar/rechazar. En muchos casos es difcil resolver analticamente la ecuacin que nos da x(r)por el mtodo de transformacin. En estos casos puede aplicarse el mtodo de aceptar/rechazar (Von Neumann) Considerar una pdf que puede ser totalmente acotada por una caja.

4. Obtendremos el valor de la variable aleatoria leyndolo en la escala del eje de las abscisas. Enfoque tabular: 1. se produce un nmero aleatorio mediante el generador respectivo, el cual se maneja como fraccin entre cero y la unidad con el nmero de dgitos que contenga. 2. Se analiza en cual intervalo de probabilidad acumulada se halla el nmero aleatorio. 3. El valor de la variable aleatoria que corresponde al intervalo localizado ene l pasos anteriores, ser el nmero buscado.

EJEMPLOS.EJEMPLO 1. Se usara muestreo monte carl para estimar el rea de un crculo cuya ecuacin es: (x-1)2 + (y-2)2=25 El radio del circulo es r= 5 cm, y su centro es (x,y)=(1,2).

El procedimiento para estimar el rea consiste en encerrar el circulo en forma apretada en un cuadrado cuyo lado sea igual al dimetro del circulo, como se ve en la figura 18.1. Los puntos de las esquinas se determinan con la geometra del cuadrado. La estimacin del rea del crculo se basa en la hiptesis que todos los puntos del recuadro tienen igual probabilidad de presentarse. Asi, si de una muestra aleatoria de n puntos en ele cuadrado sucede que m puntos estn dentro del circulo, entonces (Calculo del rea)= m/n (rea del cuadrado)= m/n (10X10) Para asegurar que todos los puntos del cuadrado tengan igual probabilidad de aparecer, se representara las coordenadas x y y de un punto en el cuadrado con las siguientes distribuciones uniformes: ( ) ( )

Un punto muestreado (x, y) con base en la distribucin f1(x) y f2 (y) garantiza que todos los puntos del cuadrado tienen igual probabilidad de ser seleccionados. El procedimiento para determinar una muestra (x, y) comienza con generar nmeros alea-torios independientes entre 0 y 1, y a continuacin localizndolos en los ejes x y y. Los nmeros aleatorios de 0 a 1 se determinan con la siguiente distribucin uniforme: ( ) *

En la tabla 18.1 se muestra una lista pequea de nmeros aleatorios (0, 1). Esos nmeros se determinan con operaciones aritmticas especiales, que generen valores estadsticamente in-dependientes con base en la distribucin uniforme f (z), como se explicar en la seccin 18.4. Dado un par de nmeros aleatorios R1 y R2, se determina un punto aleatorio (x, y) en el cuadrado como sigue: [ [ ( ( )] )]

Para demostrar la aplicacin del procedimiento, supongamos que R1 y 0.0589 y R2 = 0.6733, Entonces

Este circulo esta dentro del crculo porque (-3.411-1)2 + (3.733-2)2 = 22.46 < 25

A continuacin se investigar el efecto del muestreo aleatorio sobre la exactitud de la estimacin del rea del crculo. Se puede aumentar la fiabilidad de la estimacin aumentando el tamao de la muestra y/o usando replicaciones, rplicas o duplicaciones; son los mismos procedimientos que se emplean en los experimentos estadsticos ordinarios. Como los clculos correspondientes a cada muestra son sencillos, pero voluminosos y tediosos, la plantilla eh 18Circle.xls (con macros VBA de Visual Basic) tiene por objeto hacer esos clculos. Los datos incluyen el radio r del crculo y su centro, (cx, cy), junto con el tamao de la muestra n y la cantidad de replicaciones N. El elemento Steps (pasos) en la celda E4 permite ejecutar varios tamaos de muestra en la misma corrida. As, sin = 30,000 y Steps = 3, la plantilla producir en forma automtica resultados para n = 30,000, 60,000 y 90,000. En la figura 18.2 se resumen los resultados para Steps = 3 y N= 5 rplicas. El rea exacta es 78.54 cm2, y en los resultados de Monte Cario se ve que el rea promedio estimada para los tres tamaos de muestra vara desde A = 78.533 hasta A = 78.490 cm2 Tambin se observa que la desviacin estndar disminuye desde s = 0.308 paran = 30,000 hasta s = 0.191 para n = 90,000, indicio de que en general la exactitud de los resultados aumenta al aumentar el tamao de la muestra. Obsrvese que cada vez que se oprime el botn de comando press to execute monte carlo, se obtienen nuevas estimaciones, porque Excel refresca el generador de nmeros alea-torios para usar una secuencia distinta. Debido a la variacin aleatoria en el resultado del experimento, es necesario expresar los resultados en forma de intervalo de confianza. Si A y s son la media y la varianza de N rplicas, entonces, para un nivel de confianza A el intervalo de confianza para el rea real A es

El parmetro

se determina

con las tablas de distribucin t, para un nivel de confianza y N-1 grados de libertad (vase la tabla ten el apndice C). (Obsrvese que N es igual a la cantidad de rplicas, que es distinta den, el tamao de la muestra.) En trminos del experimento que nos ocupa, interesa

establecer el intervalo de confianza con base en el tamao mximo de la muestra (es decir, n = 90,000). Para N = 5, A = 78.490 cm2 y S = 0.191 cm2, t0.025, 4 = 2.776, y el intervalo de confianza de 95% resultante es 78.25