PROCESO POISSONPROCESO POISSON

Poisson

Exponencial

Gamma Gamma

Beta

AutorDr. Hernán Rey

Ultima actualización: Mayo 2010

DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL A LA POISSON …En determinadas circunstancias, nos enfrentamos a problemas donde la cantidad de experiencias Bernoulli, n, es muy grande, la probabilidad de éxito, p, es pequeña y su producto np=m es moderado.

Si X es una VA con distribución Bi(n,p), el objetivo es encontrar la distribución límite (n tiende a infinito, p tiende a 0, pero m=np es moderado)

lim lim 1k n k

Xn n

np k

k n n

m m

! 1n kk nm m m

! 1

lim 1 1! !

n kk

kn

n

k n k n n n

m m m

1

n

ne m

1 1 1 2 1

lim lim1 1 1 1 1kn n

n n n k k

n n n n

lim!

k

Xnp k e

kmm

0,1,2,k

Poisson (m)

En la práctica se usa esta aproximación cuando n >100 y m=np≤10

1m

X Xp k p kk

Esta recursión permite evaluar rápidamente la Poisson incluso con la calculadora más sencilla. Además nos permite predecir la forma que tendrá la curva de la función de probabilidad.

0 m Xp k eLa Poisson satisface

0.4

0.45

0.5

Poisson(m=0.75)

Poisson(m=2)

Poisson(m=3.2)

Poisson(m=5.3)Si m≤1, la función será decreciente y su moda

MAS SOBRE POISSON

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

PD

F

decreciente y su moda estará en k=0 (si m=1, también tiene moda en k=1).

Si m>1, la función crecerá hasta que k exceda a m y luego decrecerá monotónicamente (si m es entero, tendrá moda en k=m y k=m-1).

MAS SOBRE POISSONSea X una VA con distribución Poisson, entonces

1

0 1! 1 !m m m mm m

m m m

k k

k k

E X k e e e ek k

22 2 2

0 2

1 1! 2 !

k k

k k

E X E X E X X k k e ek k

m mm mm m

2 2 2 m m m m 2 2 2 m m m m XTEOREMAS

Se prueba fácil resolviendo la suma de convolución (versión discreta de la integral de convolución vista al tratar la suma de variables aleatorias independientes) de las funciones de probabilidad. Puede luego extenderse a la suma de N por inducción.

1) Aditividad. Si X es una VA Poisson(mx) e Y es una VA Poisson(my) y son independientes, luego, X+Y es una VA Poisson(mx+my).

2) Competencia. Sean Xi VAs independientes Poisson(mi), X=X1+…+Xn, y m=m1+…+mn. Luego, para cada k≥1 vale:

X1,X2,…,Xn|X=k sigue una distribución multinomial(k,m1/m, m2/m,…, mn/m)

En particular, para cada j de 1 a n se cumple que la distribución marginal de Xj|X=k será Bino(k,mj/m), y entonces, P(Xj=1|X=1) =mj/m

Se prueba fácil desarrollando la probabilidad condicional por definición y teniendo en cuenta que X será Poisson de parámetro m.

3) Adelgazamiento. Sea N una VA Poisson(m) y X una VA tal que al

Se prueba fácil planteando la función de probabilidad conjunta de X y N-X. Al hacerlo notar que si dicha conjunta se evalúa en X=a y N-X=b, es necesario que N=a+b para que el resultado no sea nulo.

3) Adelgazamiento. Sea N una VA Poisson(m) y X una VA tal que al condicionarla a N=n, su distribución es Bino(n,p). Luego, X y N-X son VAs independientes con distribución Poisson(mp) y Poisson(m(1-p)), respectivamente.

Notar que entonces la distribución de N|X=x será Poisson(m(1-p)) pero desplazada x unidades hacia la derecha.

Esta distribución la hemos estudiado antes cuando vimos fiabilidad. Si T1 tiene distribución exponencial de parámetro , entonces vale:

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

1 , 0tP T t e tl l

Exp()

1

1 0tTF t e t l1

1

0tTf t e t l1

1

1tE T t e dt

1

2 2

2 2

1 1tT t e dt

Del mismo modo que vimos a la distribución Poisson como el límite de la Binomial, podemos obtener la distribución Exp() como el límite de una Geo(p= t) cuando t tiende a 0.

0

0

Análogamente a la geométrica en el caso discreto, la exponencial es la única distribución continua que tiene la propiedad de falta de memoria:

0

0

1 01 0 1 0 1

1 0

t tt

t

P T t t eP T t t T t e P T t

P T t e

l l l l

l

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

PD

FEN(=0.1)

EN(=0.5)

EN(=1)

EN(=2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Teorema: Sea {Ti} una secuencia de VAs Exp() iid. Si Tr es la suma de r de estas VAs, su distribución es Gamma de parámetros r y

DISTRIBUCION GAMMA

Gamma(r,)

1

01 !r

r rt

T

tf t e t

r

l

1

Si hago la transformación S=*Tr , S tiene unadistribución Gamma(r,=1). A ésta se la conoce

r

distribución Gamma(r,=1). A ésta se la conocecomo Gamma estándar (sólo requiere el parámetro r)

y hay tablas para su función de distribución.

r rE T 2

2rTr

1

r

r ii

T T

Como

con Ti Exp() iid

En realidad, la distribución Gamma puede generalizarse para que el parámetro r sea real positivo, en cuyo caso.

1

0xX

xf x e x

D D

D

l

.1

donde la función gammase define como:

1

0

uu e duDD

. que converge para todo D>0

Considerando que . (1)=1, y dada la recursión

1 1 , 1D D D D. . lsi Des entero mayor que 1,

1 1 1 2 2

1 2 1 1 !, 1,2,

D D D D D D

D D D D

. . .

.

1

1.5

PD

FGama(r=2,=0.5)

Gama(r=2,=1)

Gama(r=2,=2)

Gama(r=2,=4)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

x

1

1.5

PD

FGama(r=1,=1.5)

Gama(r=2,=1.5)

Gama(r=3,=1.5)

Gama(r=4,=1.5)

Gama(r=5,=1.5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

x

EJERCICIO

• Ciertas partículas se encuentran sujetas a choques, que generan que cada una se parta en dos. Sea Xi la fracción de la partícula (respecto de la anterior al choque) luego de la i-esima colisión. Se asume que las Xi son i.i.d. con distribución común U(0,1). Hallar la densidad de Zn:”la fracción luego de n colisiones (respecto de la original)”.

1

n

n ii

Z X

0yf y e y l1

lni iY X1i

i i

dy

dx xiY

iX e

1Y Exp 0i

yYf y e y l1 1iY Exp

1

n

n ii

S Y

, 1nS Gamma r n

nSnZ e

nSn

n

dze

ds

lnn nS Z

1ln

0 11 !n

n

Z

zf z z

n

n n

1

EJERCICIO

• En un depósito hay dos tipos de componentes. El 80% son de tipo A y el 20% de tipo B. Cada tipo presenta una duración con distribución Exp(i), i=A,B. Los tiempos son independientes entre sí. Se toman dos componentes al azar y se ponen en serie en una máquina, cuyo tiempo de vida es T.

0.8 0.2 0A B

m

t tT A Bf t e e t l1

a) Hallar la densidad de la duración de un componente cualquiera y con eso calcular P(T>t).

2

1 1mT TP T t F t F t l

Entonces T es el mínimo entre dos tiempos Tm1y Tm2

, que son i.i.d.

2

2 2

0.8 0.2

0.64 0.04 0.32

A B

A BA B

t t

tt t

e e

e e e

2 20 B Bt tP T t W e e l

b) Sea W la cantidad de componentes de tipo A usados en la máquina (W=0,1 ó 2). Hallar P(T>t|W=w) para cada w y con esto hallar P(T>t).

Dado W=0, entonces T es el mínimo entre dos tiempos TB1y TB2

, que son i.i.d.

1 A BA B tt tP T t W e e e l

Dado W=1, entonces T es el mínimo entre dos tiempos TA y TB, que son indep.

Dado W=2, entonces T es el mínimo entre dos tiempos T y T , que son i.i.d.

2 22 A At tP T t W e e l

Dado W=2, entonces T es el mínimo entre dos tiempos TA1y TA2

, que son i.i.d.

2

0i

P T t P T t W i P W i

l l

2, 0.8W Bi n p Reemplazando se obtiene el mismo resultado que en a)

c) Hallar E(T) en función de A y B. Cuanto vale si A=B=.

Una opción sería usar el resultado de P(T>t) para hallar la función de distribución, luego la de densidad y finalmente computar la esperanza con ella. Sin embargo, un camino más sencillo es:

G E T E E T W

Las densidades condicionales T|W=w son Exp con diferentes “”. Luego:

1 1 1

0 1 2E T P W P W P W 1 1 1

0 1 22 2B A B A

E T P W P W P W

2 21 1 1

0.2 2 0.8 0.2 0.82 2B A B A

E T

Si los lambdas son iguales E(T)=(2)-1, que no depende de las proporciones de cada tipo (lo que es obvio ya que los dos tipos quedan idénticamente distribuidos)

PROCESO POISSONEl proceso Bernoulli tiene un “índice temporal” discreto que representa el número de experimento realizado. El proceso Poisson que veremos ahora tiene asociado un dominio temporal continuo. A lo largo de este continuo se producirán eventos, que serán observados en diferentes tiempos. Sea t=0 el instante en que empieza a observarse el proceso.

t=0 t=t1 t=t2 t=t3 t=t4

x x x x

El proceso puede quedar descripto a través de la secuencia de VAs Ti, que mide el tiempo hasta la ocurrencia del i-esimo evento, o de las VAs D =T – T (con T =0), que miden el tiempo de espera entre eventos

Las ocurrencias no pueden ser simultáneas

El índice de estas secuencias es numerable (al igual que lo era en el proceso Bernoulli). Sin embargo, el proceso puntual admite definir un conjunto de variables “contadoras”, de modo que para cada instante t (no negativo) se define Nt como la cantidad de eventos observados en el intervalo (0,t]. El número de eventos en el intervalo (s,t] será N(s,t]=Nt –Ns.

Di=Ti – Ti-1 (con T0=0), que miden el tiempo de espera entre eventos consecutivos.

Es claro que a partir de la secuencia {Ti }, la VA Nt incrementa la cuenta en 1 cada vez que ocurre Ti ≤t. Surge entonces la equivalencia

t kN k T t El proceso de conteo tiene la misma información que el proceso de llegada de los eventos

En particular, se dice que un proceso puntual es un proceso de Poisson de intensidad >0 si satisface:

• Los incrementos en el proceso de conteo son independientes. (por ej., si t1<t2<t3, N(t1,t2] es independiente de N(t2,t3])

• Las VAs asociadas a cada incremento en un intervalo de longitud (b-a) siguen una distribución Poisson de parámetro m=(b-a).

k

b a 0,1,k

• Los incrementos son temporalmente homogéneos, es decir que la distribución de los incrementos depende de la longitud del intervalo de tiempo observado pero no de su posición absoluta en la recta

( , ] ( , ]!a b

k

b a

N a b

b ap k P N k e

k

0,1,k 0 a b n

El continuo asociado al proceso no queda limitadosólo al tiempo, sino que también puede ser un área,

volumen o incluso longitud y tiempo a la vez. Elparámetro representa el número medio deeventos que ocurren por unidad de continuo.

La independencia de lo incrementos y su La independencia de lo incrementos y su homogeneidad temporal proveen al proceso de lahomogeneidad temporal proveen al proceso de la

cualidad de falta de memoria, ya que si se locualidad de falta de memoria, ya que si se loreinicia en cualquier momento, la distribución de reinicia en cualquier momento, la distribución de

aparición de eventos será idéntica a la originalaparición de eventos será idéntica a la original

Es entonces razonable pensar que los tiempos de espera entre eventos, Di, deben ser independientes y con distribución común exponencial. De hecho, vimos antes que:

t kN k T t

l n l t k

1 1tT t N l n 1 0tP T t P N l Pero como Nt debe seguir una distribución Poisson (t), entonces

1 0tP T t e tl l1 Exp()

De hecho, con k>1 la equivalencia resulta en:

1

0

1!

ik

tk t

i

tP T t P N k e

i

l ,

1 1Gamma k Poisson tF t F k

t=0 t=t1 t=t2 t=t3 t=t4

x x x x

D1=T1 D2=T2-T1 D3=T3-T2 D4=T4-T3

1 12

r

r i ii

T T T T

1

r

r ii

T D

Para simular un proceso Poisson, es de hecho suficiente con generar valores exponenciales de parámetro independientes entre sí y asociarlos a los tiempos entre eventos del proceso.Supongamos ahora que entramos en un tiempo t=t0 al proceso Poisson

t=0t=t0

t=t1 t=t2

↑x x

new1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1P T t T t P T t t T t P T t t T t P T tl l l l l l l

t=t0

En este caso, sabemos que el tiempo T1 es Exp(), pero qué sucede con el tiempo T1-t0? Si contamos un tiempo desde t0, podemos decir que la cantidad de eventos en ese lapso de tiempo es una VA Poisson()?

Sea T1new = T1 - t0. Esta VA cuenta el tiempo transcurrido desde t0 hasta

la aparición del primer evento. Dada la restricción t0<T1, calculemos:

Si derivamos las expresiones anteriores a ambos miembros:

new11 1 0

0tTT T t

f t f t e t

l l1

Vemos entonces que la densidad del tiempo desde t0 hasta el primer éxito (si el t0 se define antes de la ocurrencia del primer éxito) es Exp(). Como el resto de los diferentes intervalos entre éxitos no cambió, puedo entonces definir un proceso Poisson de intensidad que comienza desde t=t0.

Que pasaría si t0 se encuentra en otro punto de la recta? Ciertamente, estará antes de un Tr+1 (para algún r) y después de un Tr. Queremos analizar entonces la distribución del tiempo T1

new = Tr+1 – t0.

x x

dr+1 que surge de una Exp()1 1 r r rT T X

0

0 new

1

1 00

1

1 !

rt sx

rt t s

s ee dxds

P T t r

l

t=tr t=t0

t=tr+1

x x↑

1 1r r r

suma de una Gamma y Exp indep.

new 0

0

1 0

/ !t t n n

r

e t n

P T t

l

1 1 new 0r r rT T X t t

rT

1rX

0t

1 0 new 0 1 0,r r rP T t t T t T t l n l

Por lo tanto:

1 0 new 0 1 0

1 0 new 1 0 0

0 1 0

,, r r r

r r r

r r

P T t t T t T tP T t t T t T t

P T t T t

l n ll l n

n l 1 0 0 1 0, l n lr r rP T t T t T t

newnew1 1 0 new 1 0 0, t

r r rP T T t t T t T t e l l n

0

0

01 0 0,

!

l n

r t

r r t

t eP T t T t P N r

r

0

new new0new

r tt tt e

P T t e e

l

Esto implica que la distribución del tiempo entre t0 y el primer evento es una Exp() !!!

Por lo tanto, el 0 de un proceso Poisson puede ubicarseen cualquier punto de la recta. Esto es consecuencia dela pérdida de memoria de la distribución exponencial.

new new0new

1 new0 !

t t

r

P T t e er

l

Otra manera de decir que el tiempo D2=T2-T1 de un proceso Poisson es una VA Exp() independiente de T1 es a través de la densidad condicional de T2|T1=t1, es decir:

2 1

2 1 1 2 2 1

t t

T T tf t e t t

l1

2 11 2

1 2

2, 1 2 1 2 1, 0t tt t

T Tf t t e e e t t t l l1 1

Siguiendo el mismo razonamiento con el resto de los incrementos, surge

1 2, , , 1 2 1 2, , , , 0r

r

trT T T r rf t t t e t t t n n n n

1 2 1, , , 1 2 1 1 2 11

1 !, , , , 0

r rT T T T a r rr

rf t t t t t t a

a

n n n n n

Quitando la restricción de que las Ti estén ordenadas en forma creciente, o sea, los Xi registran los tiempos de los eventos en cualquier orden,

1 2 1, , , 1 2 1 1

1, , , , 0 , 1,2, , 1

r rX X X T a r irf x x x x a i r

a n n

Esto indica que dado el tiempo de aparición delr-esimo evento, los tiempos de los r-1 eventosprevios están distribuidos uniformemente a lolargo del continuo de 0 a Tr=a (y de hecho son

independientes).

Más aun, en virtud de que el 0 del proceso Poissonlo podemos mover a lo largo de la recta, si una VA

Poisson Nt arroja un valor k, entonces los k eventosaparecen distribuidos uniformemente en el

intervalo t y en forma independiente ((la probabilidadla probabilidadde que un evento aparezca en un intervalo dede que un evento aparezca en un intervalo de

ancho ancho tt, contenido en t, es igual a , contenido en t, es igual a tt/t/t))

OTRA FORMA DE VERLO

Si en un intervalo de longitud t ocurrió un evento, que probabilidad hay de que haya ocurrido en un intervalo de longitud t incluido en t?

1 1 1 0P X X P X X

t

t

| | ||

1 1 1 0

1 11 1

t t t t tt t

t t

P X X P X XP X X

P X P X

01

1

1 0 1!

1 1! 0!

t ttt t t

tt

t t eP X P X t e t

P X tt e

TEOREMAS

Superposición. Si un proceso Poisson de tasa 1 se superpone con otro proceso Poisson de tasa 2, independientes entre sí, surge entonces un nuevo proceso Poisson de tasa 1+2

Competencia. Sean dos procesos independientes Poisson de tasas 1 y 2 que son superpuestos. Si T es el tiempo hasta el primer evento y J indica de qué proceso proviene el evento, luego T es Exp(1+2) y J es una VA discreta tal que P(J=i)= i/(1+2). Notar que T=min(T ,T ), siendo Ti el tiempo hasta el primer evento de cada

Adelgazamiento. Si un proceso Poisson de tasa es marcado con probabilidad p (es decir, cada evento recibe la marca con probabilidad p) en forma independiente, los puntos marcados forman un Proceso Poisson de intensidad p , mientras que los no marcados forman un Proceso Poisson de intensidad (1-p). Estos dos procesos son independientes.

1 2 i 1 2

T=min(T1,T2), siendo Ti el tiempo hasta el primer evento de cada proceso por separado.

Tomemos nuevamente la conjunta de los tiempos en orden creciente condicionada a Tr=1.

1 2 1, , , 1 1 2 1 1 2 1, , , 1 !, 0 1

n n n n r rT T T T r rf t t t r t t t

Se quiere ahora la distribución de Tk|Tr=1, para algún valor de k entre 1 y r-1. Para ello debe entonces integrarse la función anterior respecto a las otras variables donde los limites son:

1 2 2 3 1 1 2 10 ,0 , ,0 , , , 1 n n n n n n n n k k k k k k rt t t t t t t t t t t

111 !

1 0 1r kkr

f t t t t

n n1

VARIABLE ALEATORIA BETA

111

1 !1 0 1

1 ! 1 !k r

r kkT T

rf t t t t

k r k

n n

1

Beta (k,r-k)

Si bien en esta derivación k y r son enteros positivos, puede probarse que esta condición puede liberarse dando así lugar a la densidad más general:

11 1 0 1Tf t t t t

. n n

. .1

Beta ( ,) >0,>0

E T

2

21

T

1

2om

2

2.5

3

3.5

4

PD

FBeta( =1,=1)

Beta( =1,=2)

Beta( =2,=1)

Beta( =0.5,=0.5)

Beta( =5,=5)

Beta( =3,=10)

Beta( =10,=3)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

x

BONUS TRACKSBONUS TRACKS

EJERCICIO SOBRE TEORIA DE COLAS

• El tiempo entre llegadas de clientes (o llamadas a un centro de atención) a una cola es Exp() ( se denomina tasa de arribo). El tiempo que demora el cliente que esta primero en la cola hasta que sale de ella se denomina tiempo de servicio, cuya distribución es Exp(m) (m se denomina tasa de servicio). Se define como intensidad de trafico al cociente:

t

m

Si t<1, la cola se comporta bien, pero si es mayor, crece indefinidamente. En el caso t=1, la cola puede llegar a ser muy larga pero siempre habrá momentos en que este vacía.

Si t<1, sea Z la longitud de la cola y T el tiempo que un cliente espera en la cola hasta ser atendido.

Elija un valor de y otro de m>. Simule valores (clientes) Exp para los tiempos entre llegadas y los de servicio. A partir de ellos compute valores para Z y T. Realice histogramas para Z y T y verificar que:

Z Geo t

T EN m

E Z E T Ley de Little