PROCESOS DIGITALES DE DISEÑO PARAMÉTRICO

Fritz, María Soledad; González Mues, Paula Eugenia; Kernot, Sandra Fabiana; Laspina, Cecilia Adriana; Lenarduzzi, Néstor; Speratti, Hurí Julia; Vuizot, María Victoria

Cátedra de Matemática. Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad Nacional del Litoral. http://www.fadu.unl.edu.ar

sandra.kernot@gmail.com

Innovaciones en el uso de tecnologías aplicadas en el aula de matemática

Resumen: Se presenta una actividad de investigación en donde participaron algunos integrantes de la cátedra de matemática de la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de la UNL, que vincula la matemática con el proceso proyectual arquitectónico utilizando como herramienta los softwares Rhino (CAD) y Grasshopper (plugin de diseño paramétrico), propios de las carreras de diseño. La presente investigación recupera un trabajo realizado con alumnos sobre la modelización digital. La misma partía de la abstracción y descomposición de partes de dos edificios a funciones matemáticas. Desde allí se avanza en la reconstrucción paramétrica de dichas partes de las obras arquitectónicas en la interface de Grasshopper, proceso que en paralelo pudo ser visualizado en Rhino. En esta última parte no participaron alumnos sino que se hizo en el marco de un proyecto de investigación de la cátedra. Al diseñar paramétricamente se desarrollan relaciones matemáticas y geométricas creando procesos generativos y sistemas algorítmicos, que nos permiten explorar más de un resultado, con ciertas premisas de diseño establecidas previamente. Teniendo un proceso de diseño y no una forma preestablecida se pueden manipular variables y propiedades, las cuales pueden ser modificadas en tiempo real y así comparar resultados, persiguiendo la eficiencia. Se presentan las obras arquitectónicas que han sido modelizadas matemáticamente, luego diseñadas paramétricamente mediante Rhino+Grasshopper y finalmente, materializadas a escala. FUNDAMENTO En la búsqueda permanente de la cátedra de matemática de la FADU-UNL por aplicar la matemática al diseño y la arquitectura, hubo intentos de acercamiento a variados software de matemática (graficadores) pero que por sus sistemas de programación complejos, sus limitaciones visuales y de uso, y su poca compatibilidad de formato con los softwares de diseño, no completaban la intencionalidad didáctica. Por ello se planteó una nueva búsqueda que permite de alguna manera, mejorar el estado de situación percibido de la aplicación de la matemática a las carreras relacionadas al diseño. El diseño paramétrico introduce la geometría desde una visión matemática-algorítmica. Propone la generación de geometría a partir de la definición de una familia de parámetros iniciales y la programación de relaciones formales entre ellos. En estos procesos de diseño, la utilización de algoritmos y recursos computacionales avanzados no se utilizan simplemente para representar formas complejas, sino para crear posibilidades proyectuales dinámicas y variables. A través de variables de algoritmos construye un árbol de relaciones matemáticas y geométricas, calculando el rango de las posibles soluciones que la variabilidad de parámetros o componentes iniciales elegidos lo permiten. La potencialidad que admite el diseño paramétrico una vez diseñado correctamente un proceso relacional interdependiente de parámetros, es la inmediatez y diversidad de resultados dentro de las condiciones proyectadas. El diseño paramétrico como herramienta digital permite aplicaciones dentro del campo del diseño en diferentes escalas. “El uso de nuevas herramientas digitales aplicadas al diseño, construyeron un avance enorme en términos de eficiencia en la producción de proyectos de arquitectura, y se han constituido en una fértil plataforma para la exploración de novedosas y seductoras formas a partir de la libertad que permite el computador para generar modelos virtuales; han permitido modificar y manejar las formas al antojo del diseñador. Hoy día es el aspecto de la materialización de la forma compleja generada por software lo que está permitiendo reorientar los procesos de diseño actuales que apuntan fuertemente a la creación de una interfaz que permita llevar a cabo en el mundo físico, lo que en el mundo digital aparentemente es diseñado sin ninguna restricción”. (Pinochet, 2009)

Fig. 1 Cúpula Iglesia San José

Para los docentes de la cátedra de Matemática que han participado de éste proceso, ha sido muy interesante conocer e incursionar en estos nuevos lenguajes y lógicas de programación, los cuales pueden aplicarse a estrategias de enseñanzas apropiadas, diseñadas para facilitar la penetración de los conocimientos de la matemática y en especial de la geometría en la formación del arquitecto, quién deberá estar capacitado para abordar las distintas situaciones contemporáneas que plantea nuestra sociedad, caracterizada por cambios constantes, múltiples y vertiginosos.

Valorizar la modelización matemática como una estrategia de enseñanza y aprendizaje en el contexto de la arquitectura es involucrar a los estudiantes en escenarios de investigación. Bajo esta idea, se presentó una actividad donde los alumnos de la cátedra de Matemática Básica, correspondiente al segundo año de la carrera de Arquitectura, debían seleccionar construcciones arquitectónicas de la ciudad de Santa Fe, para posteriormente realizar un trabajo de campo, obteniendo medidas que luego utilizaban en la modelización matemática de las obras seleccionadas. La modelización es un medio que da significado a los conocimientos matemáticos mediante sus aplicaciones habilitando un espacio donde el estudiante puede realizar actividades de comprensión como explicar, comparar, contextualizar, generalizar, encontrar nuevos ejemplos, justificar, aplicar, entre otras. Permite al estudiante aprender matemática de manera aplicada a las otras áreas del conocimiento, mejorando la capacidad para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones problemáticas y establecer lazos relacionales y conceptuales entre la realidad, el diseño y la matemática.

Además de explicitar las relaciones dentro del modelo, permite una crítica del mismo y de su posible uso, teniendo en cuenta que el modelo matemático suele no ser idéntico al objeto que se considera, que no transmite todas sus propiedades y peculiaridades. Basado en simplificaciones e idealizaciones, el modelo es la descripción aproximada del objeto. Su precisión está determinada por el grado de correspondencia y la semejanza adecuada entre el modelo y el objeto.

El objetivo de éste trabajo es completar lo desarrollado, incorporando esta nueva experiencia con la introducción del diseño paramétrico en Rhinoceros y Grasshopper. El diseño paramétrico permite la generación de geometría a partir de la definición de parámetros iniciales y la programación y diseño de las relaciones formales que hay entre ellos. Se utilizan variables y algoritmos para generar un diagrama de árbol de relaciones matemáticas y geométricas que permiten no sólo llegar a un diseño, sino generar toda una familia de posibles soluciones que permita el dominio dado a los parámetros.

Con el software de diseño paramétrico y modelado tridimensional es posible aumentar las posibilidades de concreción de ideas, no siendo la complejidad una limitante en la producción. Además, el diseño paramétrico permite una interacción permanente y reflexiva con el modelo lo que admite un ida y vuelta dinámico e interactivo entre el modelo físico y el digital. Durante la programación del proceso se manipularon parámetros y comandos, se visualizaron las diferentes representaciones, se exploraron los resultados, se analizaron errores y para luego materializar los modelos físicos a escala.

1.2 EJEMPLOS DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA TRABAJADOS POR LA CÁTEDRA

1.2.1 PROPUESTA I Se retoma la modelización realizada por alumnos en la materia Matemática Básica de 2º año de la Carrera de Arquitectura de la UNL. Obra seleccionada: Iglesia San José de los Padres Agustinos Recoletos Ubicación: Santiago del Estero 3048 1.2.1.1. Modelización Utilizando los datos en los trabajos presentados por los alumnos, y suponiendo que la cúpula se podía modelizar con un paraboloide, se obtienen las siguientes fórmulas: (todas las medidas en metros)

Ecuación de la cúpula (grande) - Paráblola )57,8(73,02

−−= yx

Fig. 2 Gráfica de la parábola en ejes cartesianos

Punto de la cúpula grande para el corte (0,8 ; 7,7)

Altura del corte 8,57 – 7,7 = 0,87 m, 6 columnas

sobre la corona circular del corte.

Paso de las columnas: 83,06

8,0.2=

π

m, Altura columnas: 3,30 m

Cúpula chica: - Altura: 3,30 m -Radio: 0,80 m

1.2.1.2 Construcción paramétrica digital.

Programas: Rinhoceros y Grasshoper.

(A-B) Cúpula superior (chica) (A1) Se ingresaron dos “slider”, uno que representa la altura de la cúpula chica, en este caso 3,3 m y el otro la mitad de la luz de la base que es en este caso 0,8m (radio de la circunferencia base de la cúpula). (A2) Usando los comandos de Math y específicamente “operators”, se generaron los puntos de la parábola chica. Esta fórmua responde en forma general a cualquier ecuación de una parábola ya que se expersa en función de los parámetros ingresados en (A1). (A3) se unieron los puntos de la parábola, con la componente “intercurva” (InTCurv). (A4) Se determinó el eje de rotación de la parábola, para generar la superficie de rotación, que es el paraboloide (A5) que modeliza la cúpula chica. (A6) Se genera el paraboloide interno con un “offset”

(B) Se definen las circunferencias bases de los paraboloides, el externo y el interno. (B1) circunferencia exterior (radio 0,8m) (B2) circunferencia interior (radio 0,6m) (B3) con un “loft” se genera la corona circular donde empiezan las columnas.

(C) Columnas (C1) se genera una circunferencia con radio 0,7 y con centro en el (0,-3.3,0) sobre la corona circular superior la cual es dividida en 6 puntos equidistantes, que serán los centros de las circunferencias de las bases de las columnas. (C2) sobre la circunferencia anterior, con un paso de 6 (por las seis columnas), se usa el componente “divide” para marcar 6 puntos sobre la circunferencia que serán el centro de cada columna. (C3) se generan los circunferencias de radio 0,1 sobre la corona circular superior, con centros en los 6 puntos anteriores. (C4) Una vez definidas las circunferencias de las bases de las columnas, se utiliza el componente “Extrude” con una altura de 3,3 unidades.

(D/I) Cúpula Inferior (Grande) (D1) Se generan los puntos de la parábola a través de una función polinómica de grado 2 que está en función de dos “sliders”. Uno es la altura de la cúpula y el otro el radio de la base del parabolide que representa a la cúpula. Esta parábola tiene el vértice en el centro de coordenadas. (D2) se genera la curva que une los puntos de la parábola con el componente “IntCurv”. (D3) se busca un punto para luego trazar una línea que pase por ese punto y por el centro de coordenadas, determinando así el eje de rotación de la parábola y utilizando el comando “revolution” (revsrf), para generar el paraboloide con vértice en (0, 0, 0).

(E) Se traslada el paraboloide según el eje “y” una distancia de 0,87 en el sentido negativo.

(F) Se genera el paraboloide interno con un “offset”. También con vértice en (0, 0, 0).

Fig. 3. Visualización en “Rhinoceros” del modelo generado con Grasshoper

(G) Se genera un círculo de centro (0, -6.6, 0) con radio igual a 0,8, para utilizarlo con el componente “Trim” y realizar la intersección de éste con el paraboloide, como elemento cortante del paraboloide. Este proceso se repitió para el paraboloide interior.

(H) Se definen las circunferencias bases de la parte inferior de los paraboloides exterior e interior y con un “loft” se genera la corona circular donde se apoyaran las columnas.

(I) Se cierra el paraboloide generando una corona circular en la parte inferior con “loft”

Fig: 4 Construcción paramétrica digital. Interface de Grasshopper. Fórmula para generar la superficie mostrada en fig. 3.

1.2.1.3 Materialización Se utilizó MDF de 1mm. Se cortaron círculos para superponer. Las columnas se realizaron con varillas cilíndricas de 2mm de diámetro.

Fig.5. Construcción de la maqueta análoga de la Cúpula

Fig. 6 Imagen del CPC ruta 20 - Córdoba

1.2.2 PROPUESTA II De igual manera se trabajó con una segunda propuesta. Donde se pedía calcular el área del techo ondulado del CPC Ruta 20 de Miguel Angel Roca, de la ciudad de Córdoba.

1.2.2.1 Desarrollo matemático utilizando los resultados del trabajo de campo. Para comenzar a resolver el problema se debe considerar dos condiciones iniciales, por un lado las medidas y por otro lado la forma del techo (forma de ojo). Como la forma del techo es simétrica, consideramos la mitad del área. Se indica la zona de la modelización

Se trata de encontrar un modelo matemático para la onda del techo. Por sus características de simetría y ritmo se asemeja a una función senoidal. Entonces, se realiza un esquema para ubicar puntos y medidas (figura 7).

Para comenzar la modelización de esta curva ondulada, se ubica en ejes cartesianos.

La curva se adapta aproximadamente a una función de la forma: y = 0,7 sen (π/4.x) (período de la función: 8, amplitud: 1,4)

Luego, se busca la ecuación de la parábola indicada en la gráfica (en este caso se supone que la mitad del ancho del techo es de 8 metros -figuras 8 y 9-).

Resulta la ecuación de la parábola: 20, 035. 1, 06. 8y x x= − +

1.2.2.2 Construcción paramétrica digital

Programas: Rinhoceros y Grasshoper.

Ante todo se define un dominio común para ambas curvas (A) parametrizado con los coeficientes “a” y “b” que son los coeficientes de las función polinómica de grado 2 de la parábola, definida como y= a. x2 + bx + c .

Figura 7

Figura 9 Figura 8

Para graficar la planta de la cubierta:

(B) se grafica la parábola, con los siguientes pasos: (B1) se grafican los puntos de la parábola en el plano XY a través de la función polinómica de grado 2, (B2) se genera la curva uniendo los puntos graficados con el comando “Interpolate” (InTCurv) (B3) se espeja la parábola para completar la silueta en planta de la cubierta, para esto se aplicó el comando “mirror” (Mirror) a los puntos primero para luego (B4) generar la curva. (B5) Se extruyeron ambas curvas para generar la superficie.

(C) Para graficar la vista de la cubierta: (C1) Se grafican los puntos de la curva sinusoidal de la onda de la cubierta en el plano YZ. (C2) se genera la curva uniendo los puntos graficados. (C3) se extruye la curva para generar la superficie.

(D) Se genera una intersección con el comando “Brep Brep” (Bbx), entre ambas superficies obteniendo el perímetro de la cubierta.

(E) Se copia el borde perimetral a una altura determinada para generar el volumen, con el comando “move” (move).

(F) Se generan las cuatro caras del volumen, con el comando “loft” (loft). Luego de graficar el volumen, se analizaron diferentes generaciones de la forma. Se selecciona la más adecuada con criterios económicos y según disponibilidad de materiales y herramientas. Se opta por trabajar con costillas curvas de MDF de 1mm de espesor unidas con varillas de pino de 2x4 mm. Una vez tomada la decisión, se realizan las operaciones necesarias para obtener las piezas requeridas.

(G) Se divide la tapa del volumen en 40 partes (pensando en la cantidad de varillas para la construcción de la maqueta). Se generan prismas para representar las varillas.

(H) Se divide la superficie base con el comando “Divide/surface” para generar las costillas (generatrices), luego se aplica una serie de operaciones para generar el volumen de las mismas.

(I) Se sustrajeron las secciones de las varillas, a las costillas, para generar el encastre con el comando “solid difference” (SDiff)

20, 035. 1, 06. 8y x x= − +

Fig. 10 Visualización en Rhino

1.2.2.3 Materialización

Se utilizó MDF de 1mm y varillas de 1x2 mm

1.3 CONCLUSIONES Ambos casos presentados muestran que los contenidos algebraicos y geométricos de la matemática, se utilizan como recurso para modelizar situaciones problemáticas reales, aumentando el rigor en el análisis de formas, estructuras y patrones. La incorporación de tecnologías digitales facilita y promueve el diseño y la construcción de formas complejas de una manera dinámica y precisa, algo que a través de herramientas tradicionales de diseño sería imposible de resolver.

Se considera entonces, que los conocimientos matemáticos forman parte del conjunto de saberes necesarios para la utilización de las nuevas herramientas digitales de diseño paramétrico.

Fig 12 Materialización del techo

Fig. 11 Construcción paramétrica digital. Interface de Grasshopper. Fórmula para generar la superficie mostrada en fig. 10

Se supone que la experiencia introducirá un alto grado de motivación que permitirá aumentar la dinámica del proceso enseñanza-aprendizaje, como así también favorecerá el trabajo interdisciplinario entre cátedras, la transferencia educativa y el desarrollo de posibilidades de los estudiantes de saber y saber hacer contextualizado.

El cambio y actualización tecnológica está en proceso y está generando nuevas posibilidades de enseñar, aprender, proyectar y construir. Es el momento de incorporar y desarrollar nuevas lógicas y procesos que se atañan y articulen a la elaboración de proyectos educativos que amplíen nuestras posibilidades y recursos educativos.

La utilización conjunta de la fabricación digital (conjunto de herramientas y metodologías que permiten fabricar objetos materialmente por medio del uso de equipos controlados digitalmente), y el diseño paramétrico (matemática y diseño formulas) evidencia que el proceso de materialización se hace directo entre el diseño digital y la maquinaria de fabricación, eliminándose pasos intermedios y dándoles a los diseñadores un control inmediato sobre el resultado final. Esto enriquece en gran medida la relación entre los estudiantes de las carreras de diseño y el campo disciplinar matemático, ofreciendo medios y herramientas que le son más familiares y útiles a los alumnos en su formación como profesionales.

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