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Problemlösen im Mathematikunterricht

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Problemlösen im Mathematikunterricht. Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen [email protected] Voraussetzungen. Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein - PowerPoint PPT Presentation

Text of Problemlösen im Mathematikunterricht

  • Problemlsen im MathematikunterrichtMichael RsingB. M. V. SchuleBardelebenstrae 945147 Essen

    [email protected]

  • Voraussetzungen Problemlsen kann man nur durch Problemlsen lernen Problemlsen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein Problemlsestrategien knnen in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingebt werden Schulbuchaufgaben mssen Anlsse zum Problemlsen bieten

  • Klasse 6:-wenden die heuristischen Strategien Beispiele finden, berprfen durch Probieren, Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Flle an-bersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)Klasse 8:-berprfen bei einem Problem die Mglichkeit mehrerer Lsungen-wenden die heuristischen Strategien Spezialflle finden und Verallgemeinern an und variieren damit die Problemstellung-nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur ProblemlsungKlasse 10:-zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme-nutzen verschiedene heuristische Strategien (Zerlegen, Analogie bilden, Zurckfhren auf Bekanntes, Vorwrts- und Rckwrtsarbeiten) und bewerten ihre Praktikabilitt

  • Problemlsen im Mathematikunterricht(Problemlsen im weiteren Sinne)Problem finden Schlerinnen und Schler entdecken Probleme und Fragestellungen in inner- wie auermathematischen Kontexten. Hierbei erfassen sie die Problemsituation genauer und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint.Problem lsen (Problemlsen im engeren Sinne) Schlerinnen und Schler setzen ihre erworbenen Kompetenzen in neuer Weise oder in neuer Kombination ein, um ein selbst gesetztes oder vorgegebenes Ziel zu erreichen. Hierbei werden vorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleich gefestigt und flexibilisiert.

  • Problemlsen im Mathematikunterricht(Problemlsen im weiteren Sinne)Problem weiterentwickeln Die Suche nach einer Problemlsung fhrt auf neue oder allgemeinere Ideen oder auf weiterfhrende Probleme. Hierbei entstehen neue mathematische Begriffe und Verfahren.

    aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

  • Warum Problemlsen? Durch Problemlsen wird Mathematik selbststndig entwickelt Probleme schaffen Anknpfungspunkte fr das Behalten und Erinnern Problemlsen ist Schlsselkompetenz Problemlsen vermittelt Erfolgserlebnisse (Aha-Erlebnisse)

    aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

  • Kriterien fr gute ProblemeEin Problem fhrt auf allgemeinere mathematische Ideen und macht bergreifende Zusammenhnge verstndlich. Dabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen ntig und zugleich einsichtig.Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und individuellen Erkundungen. Dabei sollte es vor allem unterschiedliche Anstze auch auf unterschiedlichem Niveau- erlauben.

  • Kriterien fr gute ProblemeEin Problem bietet einen (inner- oder auermathematischen) Kontext fr ein mathematisches Konzept. Dabei sollte es vor allem leicht zugnglich sein, die Problemsituation muss den Lernenden unmittelbar verstndlich sein.Ein Problem besteht aus einer Situation, in der Schlerinnen und Schler erst die Strategie selbst entwickeln mssen. Dabei knnen sie aus vorhandenen Kenntnissen schpfen und diese neu kombinieren.aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

  • Wie gestaltet man einen problemlsenden Unterricht? Schlielich mssen Schlerinnen und Schler fortschreitend auch effektive Problemlsestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese knnen sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schlern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfllen arbeiten darf. aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

  • Wie gestaltet man einen problemlsenden Unterricht? Schlielich mssen Schlerinnen und Schler fortschreitend auch effektive Problemlsestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese knnen sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schlern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfllen arbeiten darf. aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

  • Abgrenzung Problemlsen - ModellierenModellieren: Arbeiten in auermathematischen Kontexten

    Problemlsen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist(so wie es die Kernlehrplne in NRW verstehen)

  • Heuristische Strategien sind niemals Selbstzweck immer ein Angebot keine Garantie auf Erfolg nicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnen nur durch eigenes Handeln erlernbar

  • Weise nach, dass genau drei Runden gespielt wurden.Wer gewann die erste Runde?Wie viele Punkte erzielte Tom in der letzten Runde?Ria, Sarah und Tom spielen ein Spiel. Zu Anfang whlen sie drei ganze Zahlen a, b und c mit a > b > c > 0. Dann spielen sie mehrere Runden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird Erster und bekommt a Punkte, ein anderer wird Zweiter und bekommt b Punkte, der dritte wird Letzter und bekommt c Punkte. Auerdem wird noch als bekannt vorausgesetzt:In der zweiten Runde hatte Sarah a Punkte bekommen.Der Endstand lautete: Ria 20 Punkte, Sarah 10 Punkte, Tom 9 Punkte. Aufgabenbeispiel

  • LsungshinweiseGesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39Zerlegung in ein Produkt (4 Mglichkeiten):39 = 1 3939 = 3 13 39 = 13 3 39 = 39 1mehrere Runden3 Runden zu je 13 Punktenmindestens 6 Punkte pro Runde

  • LsungshinweiseZerlegung von 13 in drei Summanden

    Mit einschrnkenden Bedingungen: alle Summanden unterschiedlich alle Summanden grer 1 grter Summand 8a > b > ca > b > c > 0Sarah hat einmal gewonnen und insgesamt 10 Punkte

  • LsungshinweiseSystematische Darstellung in einer Tabelle

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  • LsungshinweiseSystematische Darstellung in einer Tabelle

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  • LsungshinweiseSystematische Darstellung in einer Tabelle

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  • LsungshinweiseSystematische Darstellung in einer Tabelle20 Punkte RiaProbe!

    a887766b435454c121223

  • LsungshinweiseDie einzige mgliche Lsung ist a = 8; b = 4; c = 1Ria: 20 Punkte20 = 8 + 8 + 4Sarah: 10 Punkte10 = a + d = 8 + 1 + 1Tom: 9 Punkte 9 = 4 + 4 + 1

    8 Punkte von Sarah in der zweiten Runde; somit hat Tom 4 Punkte in der dritten RundeProbe

  • Zusammenstellung einiger Problemlsestrategien

    Systematisches ProbierenVorwrtsarbeiten / RckwrtsarbeitenTransformation in eine andere Darstellungsart- Gleichung, Term, Graph, Skizze,TabelleMustererkennungReduktion des Schwierigkeitsgrades- Komplexitt, einfachere Werte, UmkehraufgabeZerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  • Systematisches ProbierenErfassen aller mglichen Flle und Ausschlieen der unmglichen FlleOhne Systematik verliert man leicht den berblick.Wurden wirklich alle Flle betrachtet?

  • Wie viele Punkte knnen die Kinder erreicht haben? Gib alle Mglichkeiten an.Es hat sich herausgestellt, dass der Punktabstand zwischen Anke und Bastian genau so gro ist wie der zwischen Bastian und Clemens. Gib alle Mglichkeiten der Punktverteilung an, fr die dies zutrifft.

    Mathematikolympiade Aufgabe 400521Anke, Bastian und Clemens haben an einem Wettbewerb teilgenommen. Dabei hat Anke mehr Punkte erzielt als die beiden anderen Kinder, und Clemens hat weniger Punkte erzielt als die beiden andern. Wenn man die Punktzahlen der drei Kinder miteinander multipliziert, ergibt sich das Produkt 120.

  • CBA1 2601 3401 4301 5241 6201 815110122 3202 4152 5122 6103 4103 5 84 5 6

    Abstand A-BAbstand B-C58 137 226 319 414 5 7 7 9 2 112 211 3 7 4 4 1 6 2 3 1 1

    CBA1 260

    CBA

    CBA1 2601 340

    CBA1 2601 3401 4301 5241 6201 81511012

    CBA1 2601 3401 4301 5241 6201 815110122 3202 4152 5122 610

    Abstand A-BAbstand B-C58 1

    Abstand A-BAbstand B-C58 137 2

    Abstand A-BAbstand B-C58 137 226 319 414 5 7 7 9 2 112 211 3 7 4 4 1 6 2 3 1 1

  • Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der greren Zahl

  • Problem der Eindeutigkeit der Lsung

  • Aufgabe 1Peter erzhlt seinen Freunden Paul, Kathrin und Maria von seinem letzten Sommerurlaub in Afrika: Auf einem Safariausflug sah ich zuerst genau so viele Geier noch auf einem Baum sitzen wie schon von einem toten Tier fraen. Nach einigen Minuten flogen 5 Geier von dem Baum zum Aas. Jetzt waren drei Mal so viele Vgel beim Aas wie oben noch auf dem Baum.Paul sagt: Dann hast du 6 Geier am Anfang auf dem Baum gesehen. Nein, sagt Maria. Es waren 9 Geier. Wer hat Recht?Kathrin schlgt vor, verschiedene Mglichkeiten auszuprobieren. Schreibe einige Mglichkeiten bersichtlich auf!

  • Arbeitsform: Gruppenarbeit Gruppenmitglieder: Zeit: Zeitnehmer: Lautstrkenwchter: Sprecher: alle Gruppenmitglieder mssen die Lsung erklren!I. Phase der Gruppenarbeit: Bearbeitet die Aufgabe 1Arbeitsanweisung fr die Schlerinnen und SchlerDauer 10 12 Minuten

  • II. Phase der GruppenarbeitDie alte Gruppe wird aufgelst und eine neue Gruppe gebildet.In der neuen Gruppe sind alle Gruppenmitglieder neu!Arbeitsform: Gruppenarbeit Gruppenmitglieder: Zeit: Zeitnehmer: Lautstrkenwchter: Sprecher: Schreiber:

  • Erklrt euch gegenseitig, wie ihr vorhin in der ersten Gruppenzusammensetzung (Phase I) vorgegangen seid und zu welcher Lsung ihr gekommen seid!Diskutiert, welches Verfahren zum Finden der Lsung am geeignetesten ist!Beschreibt, wie man am besten aus eurer Sicht vorgehen sollte, um die Wahrheit herauszufinden! Not