Problemas Diagramas de Venn PDF

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

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∴ B = { 0 , 1 }

CA

B = A – B = { -2, -1, +2 } 4. Si: A = { x ∈ N/ x > 4 → x = 6 }

B = { x ∈ N/ x > 0 ∧ x < 5 } C = { x ∈ Z/ ∼ [ x > 1 → x2 ≠ 4x – 3 ] } Determinar: M = (A ∩ B) – (B ∩ C) Solución: Para A : x > 4 → x = 6

x < 4 ∨ x = 6 A = { 1, 2, 3, 4, 6 }

Para B : x > 0 ∧ x < 5 B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Para C : ∼ [ x > 1 → x2 ≠ 4x – 3 ] x > 1 ∧ → x2 = 4x – 3 x > 1 ∧ (x – 3) (x – 1) = 0 x > 1 ∧ (x = 3 ∧ x = 1) C = { 3 }

M = (A ∩ B) – (B ∩ C) M = { 1, 2, 3, 4 } – { 3 } M = { 1, 2, 4}

5. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las

revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.

Solución:

n (A) = 95 n (A ∩ B – C) = 15 n (B ∩ C – A) = 6 n (C – (A ∪ B) ) = 10 y + 15 + 2x = 95 y + 2x = 80

- y + 2x = 80 4x + y + 31 = 135 + y + 4x = 104 4x + y = 104 2x = 24 x = 12

y = 56

A B y 15 2x

x 6

10

C


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6. Si: A = {2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 }

B= { 1; 2 ; 4 ; 7 ; 9} Hallar: (A∪B) – (A – B)

Solución:

A∪B = { 2;4;5;6;8} ∪ {1;2;4;7;9}

{1;2;4;5;6;7;8;9} A – B = {2;4;5;6;8} – {1;2;4;7;9}

{5;6;8}

Nos piden: {1;2;4;5;6;7;8;9} – {5;6;8} ∴{1;2;4;7;9}

7. Dados:

A = { x ∈ Z/x2 – 3x + 2 = 0} B = { x ∈ Z/x2 – 5x + 6 = 0}

Hallar: n (A ∆ B) Solución: Con “A”: Con “B”: x2 –3x + 2 = 0 x2 –5x + 6 = 0 x -2 x = 2 x -3 x = 3 x -1 x = 1 x -2 x = 2

A = {1;2} B = {2;3}

Nos piden: n (A ∆ B)

Luego: [ {1;2} ∪ {2;3}] – [ {1;2} ∩ {2;3} ] {1;2;3} – {2} {1;3}

Entonces: n(A ∆ B) = 2 8. A una reunión donde asisten 50 personas:

- 5 mujeres tienen 17 años - 14 mujeres no tienen 19 años - 16 mujeres no tienen 17 años - 10 hombres no tienen ni 17 ni 19años.

¿Cuántos hombres no tienen 17 ó 19 años?

Solución:

Graficando convenientemente con los datos:

V = 50

19 10

5 7 9

tienen tienen no tienen 17 años 19 años ni 17 ni 19

Nos piden: 19

H M


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9. Expresar el conjunto: A = {36;45;54;63;72} por comprensión.

Solución:

Buscando el término general

36 = 9 (22 + 0) 45 = 9 (22 + 1) 54 = 9 (22 + 2) 9 (22 + n), donde: 63 = 9 (22 + 3) 0 < n < 4 n ∈ Z 72 = 9 (22 + 4)

A = {x/x = 9 (22 + n); 0 < n < 4; n ∈ Z}

10. Sean los conjuntos:

A = {a ∈ Z/a = (-1)n, n ∈ Z} B = {b ∈ Z/b2 = (b-3)2 -3} C = {C ∈ Z/ 3C + 3 = 2C + 7/2 } 2 Entonces es cierto: A) B = C B) A = B ∪ C C) A = B ∩ C D) A = C E) B – A = A – C

Solución:

• Con “A”: n = par ∧ n = impar

A = {1;-1} • Con “B”:

b2 = b2 – 6b + 9 – 3 b = 1 • Con “C”:

3C - 2C = 7/2 – 3 C = -1 2

C = {-1}

Se cumple que: A = B ∪ C 11. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:

- Los 2/3 de ellas no beben. - Los 4/5 de ellas no fuman. - 72 no fuman ni beben.

¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?

Solución:

No beben: 2/3 (120) = 80 No fuman: 4/5 (120) = 96

U = 120

Fuman Beben

a b c

72

Con los datos: • a + 72 = 80 a = 8 • c + 72 = 96 c = 24


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De la figura: 8 + b + 24 + 72 = 120

b = 16

Nos piden: 16 + 72 = 88 12. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso

de filosofía. Si 27 alumnos nos siguen filosofía ni sociología, ¿cuántos alumnos llevan sólo uno de tales cursos?

Solución:

S F

x z y

27

Datos: • x + z = 49 = 100 x + z = 51 (1) • y + z + 53 = 100 y + z = 47 (2)

Sumando (1) y (2): x + y + z + z = 98 100 – 27 + z = 90 z = 25 x + y + 25 = 100 – 27 ∴ x + y = 48

13. Determinar por extensión: M = {x ∈ Z / x3 – 17x2 + 71x – 55 = 0 }

Solución:

Factorizando por Ruffini:

1 -17 71 -55

x1 = 5 5 -60 55 1 -12 11 0

x2 = 1 1 -11

1 -11 0 x - 11 = 0 x3 = 11

Luego: M = {1;5;11] 14. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne

o sólo los que toman leche son el 54%, ¿cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?

Solución:

L = 50% C = 40%

50-n x 40-n

x


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Dato: (50-n)% + (40-n)% = 54% 36% = 2n n = 18%

Con el total: (50-18)% + 18% + (40-18)% + x = 100% De donde: x = 28%

15. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron

literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron sólo literatura?

Solución: Sea: x = mujeres que aprobaron literatura y = hombres que aprobaron aritmética y literatura

A

7-y 4+y

y 5-y 8

5 6-y x

L

H = 16 M = 19

De la figura: (4 + y) + (5 – y) + x + 8 = 19

De donde: x = 2 16. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40

laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente? Solución:

Graficando con los datos:

Total = 62

A=25 B=33 A

x y 7 b c

z

C=40


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x + y + z + a + b + c + 7 = 62 (x + y + z) + (a + b + c) = 55 ……………… (1)

x + a + b = 18 y + a + c = 26 +

z + b + c = 33 (x + y + z) + 2 (a + b + c) = 77 …………… (2)

Restando (2) – (1) :

(a + b + c ) = 77 – 55 a + b + c = 22

17. De un grupo de 80 personas:

- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B. - 26 leían la revista B, pero no C. - 19 leían C pero no A. - 2 las tres revistas mencionadas. ¿Cuántos preferían otras revistas?

Solución:

Total = 80

A B m

a b 2 n p

c

x C

Con los datos: a + n = 27 b + m = 26 + c + p = 19

a + b + c + n + m + p = 72 ……………… (1)

De la figura: a + b + c + n + m + p + 2 + x = 80

72 De donde: 72 + 2 + x = 80 Luego: x = 6 18. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó física, el 42% aprobó química y el 56% de

los alumnos aprobó uno y sólo uno de los dos cursos. Además 432 aprobaron física y química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? Solución:

Total = x

F=50% G=42%

a b c

De los datos: a + b = 50%x

b + c = 42%x a + c = 56%x


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Sumando las tres relaciones: 2 (a + b + c) = 148% x a + b + c = 74% x 56% x + b = 74% x b = 18% x = 432 Luego: 18/100 = 432 ∴ x = 2400 19. Una persona come plátano o naranja cada mañana durante el mes de marzo, si come

naranja 25 mañanas y plátano 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come plátano y naranjas?

Solución:

Sea U = {mes de marzo} conjunto universal n(U) = 31 A = {mañanas que come plátano} n(A) = 18 B = {mañanas que come naranja} n(B) = 25

Ubiquemos la información en un diagrama de Venn-Euler.

U Mañanas que comen plátano y naranjas = x n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 31 = 18 – x + 25 – x – x 3x = 43 – 31 = 12 de donde x = 4

∴ 4 mañanas come plátano y naranja.

20. Sean A y B dos conjuntos tales que n(A∪B) = 24 y n(A – B) = 10, n(B – A) = 6- Hallar 5[n(A)] – 4 [n(B)]

Solución: Ubiquemos los datos en un diagrama de Venn-Euler.

Calculando se tiene: 5 [n(A)] – 4 [n(B)] = 5(18) – 4(14) = 90 – 56 = 34

21. En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios

idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3.

a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

Solución:

Ilustraremos el problema en un diagrama de Venn-Euler, para facilitar la solución. En el diagrama se observa que:

n (E∩A∩F) = 3; n(A∩F) = 5

n (E∩F) = 10 ; n(E∩A) = 8

n(F) = 42 ; n(A) = 30

n(E) = 28

A B

18-x x 25-x

A B

10 8 6

A B 13 5 20

3 7 2

30

F


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n(A∩E∩F) = n(A)+n(E) +n(F)– n(A∩E) – n(A∩F) – n(E∩F) + n(A∩E∩F) = 28 + 30 + 42 – 8 – 10 – 5 + 3 = 80

Por lo tanto: a) No estudian idiomas = 100 – 80 = 20 b) Solo francés 30

22. En un instituto de investigación trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el inglés, 35 el alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el alemán?

Solución:

Para facilitar la solución utilizamos el diagrama de Venn-Euler.

I = inglés, A = alemán

En el diagrama se observa que: n(I ∩ A) = 23, n(A) = 35, n(I) = 47 por conocer n(I ∪ A)

Hallaremos n(I’∩A’) = n(I∪A’) = n(U) – n(I∪A) = 67 – n (I∪A) (1) Además n(I∪A) = n(I) + n(A) – n(I∩A) = 47 + 35 – 23 = 59 (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

n(U)–n(I∪A) = 67–n(I∪A) = 67–59 = 8 Por lo tanto 8 personas no conocen el Inglés y Alemán.

23. Sea A un conjunto tal que n(A) = 3 p + q. B es un conjunto tal que n(B) = 2q + 3, y los

dos tienen elementos comunes n (A ∩ B) = p + q – 4. ¿Cuántos elementos tiene A ∆ B?

Solución: Debemos de calcular n(A∆B) = ? n (A∆B) = n [(A∪B) – (A∪B)] = n(A∪B) – n(A∩B)

= n(A) + n(B) – n(A∩B) – n(A∩B) n (A∆B) = n(A) + n(B) – 2n (A∩B) = (2p+q+2q+3) – 2(p+q– 4)

= 3p + 2q + 12 – 2p – 2q + 8 = p + 20 24. De 120 alumnos de una universidad se obtuvo la información siguiente:

72 alumnos estudian Análisis Matemático. 64 alumnos estudian Biología. 36 alumnos estudian Ciencias Sociales. 12 alumnos estudian las tres asignaturas. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos asignaturas? Solución: Sean: A = {estudiantes de Análisis Matemático}

B = {estudiantes de Biología} C = {estudiantes de Ciencias Sociales}

Ilustraremos mediante el diagrama de Venn-Euler. Las variables x,y,z representan a los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas.

A B

x

a b 12 y z

c

I A

24 23 12


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C Las variables a, b, c representan los estudiantes de una sola asignatura, de acuerdo a los datos del problema se tiene:

a + x + y + 12 = 72 b + x + z + 12 = 64 c + y + z + 12 = 36 (a + b + c) + 2 (x + y + z) = 136 ……… (1)

Como son 120 alumnos, del diagrama se tiene: a + b + c + x + y + z +12 = 120 De donde: (a + b + c) + (x + y + z) = 108 ……… (2) Ahora al restar (2) de (1) se tiene: x + y + z = 136 – 108 = 28 Por lo tanto, los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas son 28.

25. En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40%

leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio se pide:

a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión. b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente.

Solución:

Consideremos los siguientes conjuntos:

A = {conjunto de personas que escuchan radio} B = {conjunto de personas que leen periódicos} C = {conjunto de personas que ven televisión}

Personas que escuchan radio 70% de 10,000 es 7,000 Personas que leen periódicos 40% de 10,000 es 4,000 Personas que ven televisión 10% de 10,000 es 1,000

Para facilitar la solución utilizaremos diagramas de Venn.

A B U

1900

4820 1200 200 80 700

20

C

a) Observando el diagrama se tiene:

b(A∪B∪C) = 4820 + 1900 + 1200 + 700 + 200 + 80 + 20 = 4820 + 3100 + 1000 = 8920

Además se conoce que n(U) = 10,000

Los que no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. estará dado por: n(U) –n(A ∪ B ∪ C) = 10,000 – 8920 = 1080

Es decir: 1,080 personas adultas, no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V.

b) Según el diagrama de Venn-Euler las personas que leen periódicos solamente son 1,200.


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26. En una encuesta realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones:

6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan 5 personas desayunan y almuerzan solamente 8 personas almuerzan solamente

El número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente. ¿Cuántas personas cenan por lo menos? Solución:

Sean: A = {conjunto de personas que almuerzan}

B = {conjunto de personas que cenan} C = {conjunto de personas que desayunan}

Sea x el número de personas que desayunan solamente entonces las personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de los que desayunan solamente 6x y esto es el triple de los que quiere decir que los que cenan solamente es 2x.

Para facilitar la solución usaremos los diagramas de Venn-Euler.

A B U

0

8 2x 6x 5 6

x

D

Además se tiene que: n(U) = 154. Donde U = A ∪ C ∪ D, donde n(c) = 6x + 6 + 0 + 2x = 8x + 6 n(A ∪ C ∪ D) = n(U) = 154, de donde al observar el diagrama de Venn-Euler se tiene: 6x + 6 + 2x + 0 + 8 + 5 + x = 154 Simplificando 9x + 19 = 154 9x = 135 x = 15 Las personas que cenan por lo menos es:

n(c) = 8(15) + 6 = 120+6 = 126

27. En una encuesta realizada en una población sobre su preferencia de tres diarios A, B y C se encontró el 42% leen el diario A, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% lee A y B, el 15% lee A y C, el 8% lee B y C y el 66% leen al menos uno de los tres diarios, determinar: a) Que tanto por ciento leen un solo diario. b) Que tanto por ciento leen exactamente dos de los diarios. c) Que tanto por ciento ninguno de los tres diarios.

Solución:

A B U 17-x

a b x 15-x 8-x

c

C n(A) = 42, n(B) = 34, n(C) = 28 n(A ∩ B) = 17, n(A ∩ C) = 15, n(B ∩ C) = 8 y n(A ∪ B ∪ C) = 66

Sea x el porcentaje de personas que leen los tres diarios.


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Si n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) 66 = 42 + 34 + 28 – 17 – 15 – 8 + x De donde 66 = 62 + x x = 2 En el diagrama:

n(A) = a + (17-x) + (15-x) + x = 42 a =12 n(B) = b + (17-x) + (8-x) + x = 34 b =11 n(C) = c + (15-x) + (8-x) + x = 28 c =7

Luego: a) Leen un solo diario a + b + c = 30% b) Leen exactamente dos de los tres diarios 15 + 17 + 8 – 3x = 34% c) No leen ninguno de los tres diarios 100 – 66 = 34%

28. Se tienen los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a - 1} B = {3x + y; x - y + 12} Hallar: a + x + y Solución:

Para que {m;n} sea unitario debe cumplir que: m = n, luego. i) a2 + 1 = 3a – 1 ii) 3x + y = x – y + 12 a2 – 3a + 2 = 0 3x – x + y + y = 12 a -2 a = 2 2x + 2y = 12 a -1 a = 1 2 (x+y) = 12 a = 2 ó a = 1 x + y = 6

∴ a + x + y = 7 ó 8

29. Dados los conjuntos iguales: A = {a + 2; a +1} C = {b + 1; c + 1} B = {7 – a; 8 a} D = {b + 2; 4} Hallar: a + b + c

Solución:

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

i) Si A = B ii) A = C a + 2 = 8 – a a + 2 = b + 1 2a = 6 3 + 2 = b + 1 a = 3 4 = b

iii) C = D

c + 1 = 4 c = 4 – 1 c = 3

∴ a + b + c = 10


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30. Indicar el conjunto por extensión:

A = { x ∈ Z / 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 }

Solución: Con la ecuación: 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 3 -2 -2 3 x = -1 -3 5 -3

3 -5 3 0 3x2 – 5x + 3

(x + 1) (3x2 – 5x + 3) = 0

x = -1 3x – 5x + 3 = 0 x = 5 ± -17 (No)

6 ∴ A = {-1} x = 5 ± i

6 31. Si:

A = { a ∈ Z / a5 – 5a3 + 4a = 0 } B = { a ∈ Z / ∃ b ∈ Z, a = b2 }

Hallar: AB

Solución: Con A: a5 – 5a3 + 4a = 0 a (a4 – 5a2 + 4) = 0

a (a2 – 1) (a2 – 4) = 0 a (a2 – 1) (a + 1) (a + 2) (a – 2) = 0 Entonces: A = { -2; -1; 0; 1; 2 } Con B: Para a = -2 ó a = -1, no existe un b ∈ Z/a = b2

a = 0 ∃ b ∈ Z/0 = b2 b = 0 a = 1 ∃ b ∈ Z/1 = b2 b = -1;1 a = 2 ∃ b ∈ Z/2 = b2 Entonces: B = { 0; 1 } Piden: = Hallar: AB = A – B = { -2 , 2 , -1 }

32. Determinar el conjunto por comprensión: A = { 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 } Solución:

1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16

1 2 3 4 5

1 1 1 1

tn = an2 + bn + c n = 1 a + b + c = 1 a = ½ n = 2 4a + 2b + c = 2 b = - ½ n = 3 9a + 3b + c = 4 c = 1 Luego: tn = ½ n2 – ½ n + 1 A = { ½ (n2-n) + 1/n ∈ Z, 1 < n < 6 }


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33. De 76 alumnos; 46 no estudian lenguaje, 44 no estudian historia y 28 no estudian ni

lenguaje ni historia. ¿Cuántos estudian lenguaje e historia?

Solución: Estudian: L = 76 – 46 = 30

H = 76 – 44 = 32 Sea “x” los alumnos que estudian ambos cursos. (30 – x) + x + (32 – x) + 28 = 76 De donde: x = 14

34. De un grupo de 100 personas; 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres no estudian matemática. ¿Cuántos hombres no estudian matemática?

Solución: M = 40 H = 60

M = 73 De la figura: 12 + x + 73 0 100

∴ x = 15

12 x 35. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A ∪ B) tiene 32 subconjuntos.

¿Cuántos subconjuntos tiene (A ∩ B)?

Solución: Datos: 2n(A) = 24 n(A) = 4

2n(B) = 23 n(A) = 3 2n(A∪B) = 25 n(A ∪ B) = 5

A ∪ B = 5

L = 30 H = 32

30-x x 32-x

28

A = 4 B = 3

4 - x x 3 - x


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(4 – x) + x + (3 – x) = 5 7 – 5 = x x = 2 ↓ A ∩ B Piden: 2n(A ∩ B) 22 = 4

36. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne o sólo los que toman leche son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?

Solución: El total será: 100%

Dato: (50 – a) + (40 – a) = 54 De donde: 18 = a Reemplazando en la figura: a = 18 (50 – 18) + 18 + (40 – 18) + x = 100 De donde: x = 28 ∴ 28%

37. Tony come fréjoles y/o tortilla en su almuerzo en cada día durante el mes de enero.

Si come 19 días fréjoles y 20 días tortilla. ¿Cuántos días comió fréjoles con tortilla? Solución: Enero = 31 días (19 – x) + x + (20 – x) = 31

39 – x = 31 ∴ x = 8

38. Sean x, y ∈ Q tal que “y” es el menor posible. Sean A y B conjuntos tales que B ≠ ∅, A ∪ B es un conjunto unitario.

A = { x2 + 2y, x + 2y + 2 } A ∪ B = { - 5/4 x + 3y2, 3x + 4y + 3 } Hallar: A ∩ B. Solución: Como A ∪ B es unitario y B ≠ ∅, entonces A es unitario. Luego: A = B = A ∪ B

L = 50 C = 40

50 - a a 40 - a

x

F = 19 T = 20

19 - x x 20 - x


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De a se tiene: x2 + 2y = x + 2y + 2 x = 2, x = -1 ………… (α) De A ∪ B se tiene: { - 5/4 x + 3y2, 3x + 4y + 3 } ………… (β) De (α), si x = 2, en (β): - 5/4 (2) + 3y2 = 3(2) + 4y + 3

3y2 – 4y + 5/4 = 0 12y2 – 16y + 5 = 0 5/6 (se rechaza), y = ½ Finalmente: x = -1, y = ½ Como A = B = A ∪ B, entonces A ∩ B = A = { x2+2y, x+2y+2}= {2}

39. Sean: U = { x ∈ N / 1 < x < 15 } A = { x ∈ U / x es par } B = { x ∈ U / x es impar} C = { x ∈ A / x = 2n, n ∈ U } ∪ {12} Si D = { x ∈ U / x ∈ C x ∈ B } ∩ { x ∈ A / x es múltiplo de 4 } ¿Cuántos subconjuntos de C contienen a D? Solución: Desarrollando, tenemos: U = { 1, 2, 3, 4, …… 15 } A = { 2, 4 , 6, 8, …… 14 } B = { 1, 3, 5, 7, …… 15 } C = { 2, 4, 8 } ∪ {12} = { 2, 4 , 8, 12} Para D: x ∈ C x ∈ B ≡ x ∈ C’ ∪ B Entonces: D = { x∈U / x ∈ C’ ∪ B } ∩ { x∈A / x es múltiplo de 4} = ∅ Los subconjuntos de C que contienen a D = ∅, son en total 24 = 16, y son los elementos del conjunto potencia de C.

40. Dados los conjuntos: A = { x ∈ R / x/3 ∈ [-1,4] } B = { x ∈ R / (x+3) ∈ [4,7] } C = { x ∈ R / (1-2x)/2 ∈ [-1,2] } Hallar el conjunto S en términos de intervalos, sabiendo que: S = { x ∈ R / x ∈ A x ∈ (B – C) } Dar como respuesta la suma de los extremos finitos de cada uno de los intervalos que lo conforman. Solución: Trabajamos con las condiciones de cada conjunto: Para A: x/3 ∈ [-1, 4], entonces: -1 < x/3 < 4 Luego: -3 < x < 12 Finalmente: A = [ -3, 12 ] Para B: (x+3) ∈ [ 4, 7 ], entonces 4 < x + 3 < 7 Luego: 1 < x < 4 Por lo tanto: B = [ 1 , 4 ] Para C: 1-2x ∈ [-1, 2], entonces -1 < 1-2x < 2, Luego: -2<1-2x<4 2 2 De donde: -3 < -2x < 3, finalmente: -3/2 < x < 3/2 Luego: C = [ -3/2 , 3/2 ] Para S: x ∈ A ↔ x ∈ (B–C) ≡ x ∈ A ∩ (B – C) ∨ x ∈ A’ ∩ (B–C) …… (1)


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Pero: A ∩ (B – C) = [ -3, 12 ] ∩ ( [ 1 , 4] - [ -3/2 , 3/2 ] ) = [ -3, 12 ] ∩ < -3/2 , 4 ] = < 3/2 , 4 ] Ahora: A’ ∩ (B – C)’ = [ A ∪ (B - C) ]’ = ( [ -3 , 12] ∪ < -3/2 , 4 ] )’ = [ -3, 12 ]’ = < -∞ , -3 > ∪ < 12 , ∞ > En (1): x ∈ A ↔ x ∈ (B – C)’ ≡ x ∈ < -3/2 , 4 ] ∨ (x ∈ <-∞ , -3 > ∪

< 12 , ∞ >) = x ∈ < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ > Finalmente: S = < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ > Ahora: -3 + 3 + 4 + 12 = 29 2 2

41. Sean A, B y C subconjuntos de U tales que:

n (A ∩ B ∩ C) = 200, n (A’ ∩ B’ ∩ C’) = 150, n (A ∩ B ∩ C ) = 450,

n (A) = 1050, n (U) = 2000, n [ A ∩ (B ∩ C)’ ] = 250,

n [ (B – A) ∩ (B - C ) ] = 400, n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ]

Hallar n [ (A * B) ∆ (B * C)], si P * Q ≡ P Q’ Solución: Por dato: 250 + 450 + 200 + 150 + x + y + 150 + 400 = 2000

1600 + x + y + 2000 x + y = 400 ……… (1)

A B U

450

250 400 200 150 x

y

C 150 De n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ] se tiene: x + 200 = y Sabemos que P * Q ≡ P Q’ ≡ ∼ P ∨ Q’, luego: (A * B) ∆ (B * C) = (A’ ∪ B’ ) ∆ (B’ ∪ C’)

= [(A’∪ B’ ) ∩ (B’∪ C’)’] ∪ [(B’∪ C’ ) ∩ (A’ ∪ B’)’]

= [(A’ ∪ B’ ) ∩ (B ∪ C)] ∪ [(B’ ∪ C’ ) ∩ (A ∪ B)]

= (A’ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C’ )

= [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) ∩ C’ ]

Luego: n [ (A * B) ∆ (B * C) ] = n { [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) – C ] }

= n [ (B ∩ C) – A ] + n [ (A ∩ B) – C ]

= x + 450 = 550


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42. Si se sabe que: B ⊂ A , n (B ∩ C) = 4; n (A ∩ C) = 10, n(C) = 18 n(A) = 22, n(B - C) = 5, n [ A ∪ B ∪ C)’ ] = 9 Hallar el número de elementos de:

[ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] Solución:

U

A C B

7 5 4 6 8 9 n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] = = n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] = 6 x (8 + 9) = 6 x 17 = 102

43. Dados los conjuntos: A = { x ∈ R / (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 },

B = [ x ∈ R / x3/4 = x}, C = { y ∈ R / y = -2x, x = 0, 1, 2 } Hallar:

(A ∩ B) x C Solución:

2x+3 = 0 x = -3/2 Para A: (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 x – 4 = 0 x = 4

x + 2 = 0 x = -2 Luego: A = { -3/2, 4 , -2 } Para B: x 3 = x x3 – x = 0 x x2 – 1 = 0 x x – 1 x + 1 = 0 4 4 4 2 2 Luego: B = { 0 , 2 , -2 } Para C:

x y = -2x Luego: C = { -1 , -2 , -4 } 0 -1 1 -2 2 -4

Ahora: A ∩ B = {-2} Finalmente: (A ∩ B) x C = { -2 } x { -1, -2, -4 } = { (-2 , -1), (-2 , 2), (-2, -4) }


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44. Sean A y B conjuntos unitarios tales que: A = { x2 + y }, B = { x – 2y } , A ∩ B = { x + y2 } Hallar x + y, si es lo menor posible, donde x, y ∈ R Solución: Como A y B son conjuntos unitarios, se deduce: x2 + y = x - 2y x2 – x = – 3y ……(1) x2+y = x-2y = x+y2 = x2 + y = x + y2 x2 – x = y2 – y ……(2)

x - 2y = x + y2 y2 = -2y ……(3) De (3) : y2 + 2y = 0 y (y + 2) = 0 y = 0, y = -2 Si y = 0 en (2): x = 0, x = 1. Luego: x + y = 0, x + y = 1 Si y = -2 en (2): x2 – x = 6 x = -2, x = 3. Luego: x + y = -4, x + y = 1

45. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones representa la región sombreada? I) { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C }

II) {{ [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D } ∪ ( A ∩ B ∩ D )

III) { [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] ∩ D ∩ C’ } ( A ∩ B ∩ C )

U

A B

C

D

Solución:

I) [ (A ∆ B) ∩ D ] – C = { [ (A - B ) ∪ (B – A) ] ∩ D } – C representa la región sombreada

excepto la central. La región central está dada por: A ∩ B ∩ C. Luego: { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C } es toda la región sombreada. Es verdadera.

II) {[ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D representa la región sombreada excepto la central.

Pero A ∩ B ∩ D no representa la región sombreada. Es falsa.

III) En forma similar, es verdadera.

46. En un salón de clases, de 70 alumnos, (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10

varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años y 14 mujeres no tienen 25 años ni 26 años.

¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años?

Solución:

Total de alumnos = 70

(10 + x) + (11 + y) + (15 + 14) = 70 50 + x + y = 70 x + y = 20


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Luego hay 20 mujeres que tienen 25 ó 26 años.

25 años 26 años 10V 11V

xM y V

15 V 14 M

27 años o más

47. Sean A, B, C y D los conjuntos de actores de cuatro revistas r, s, t y u

respectivamente. Un anuncio de media página vale S/.2500 en “r” S/.1500 en “s” y S/.1000 en “t” ó “u”; el cual se desea publicar, disponiendo para ello de un presupuesto de S/.5000.

¿En qué revistas se debe hacer la publicación, de manera que tenga un máximo de lectores?

Se sabe que: n(A) = 700; n(B) = 500; n(C) = 450; n(D) = 350; n (A ∩ B ∩ C) = 100; n(A ∩ B ∩ D) = 110; n (A ∩ C ∩ D) = 20; n (B ∩ C ∩ D) = 50; n(A ∩ B) = 250; n (A ∩ C) = 250; n (A ∩ D) = 190; n (B ∩ C) = 250; n (B ∩ D) = 100; n (C ∩ D) = 150

Solución:

Teniendo un presupuesto de S/.5000, el máximo de lectores se consigue con el máximo de revistas, luego las combinaciones posibles son: Combinación 1. Revistas: r, s, t. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n(A ∩ B) – n (A ∩ C) –

n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) = 700 + 500 + 450 – 250 – 250 – 250 + 100 = 1000

Combinación 2. Revistas: r, s, u. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n (A ∪ B ∪ D) = 700 + 500 + 350 –250 – 190 – 100 + 110

= 1120 Combinación 3. Revistas: s, t, u. Gastos: 1500 + 1000 + 1000 = 3500 Número de lectores: n (B ∪ C ∪ D) = 500 + 450+ 350 –250 – 100 – 150 + 50

= 850

Combinación 4. Revistas: r, t, u. Gastos: 2500 + 1000 + 1000 = 4500

Número de lectores: n (A ∪ C ∪ D) = 700 + 450 + 350 – 250 – 190 – 150 + 20 = 930

La publicación debe hacerse de acuerdo a la combinación 2, revistas: r, s, u

48. Se encuesta a 4400 personas, que consumen los productos A, B y C. El número de

personas que consumen los tres productos es igual a:

1/6 de los que consumen sólo A 1/5 de los que consumen sólo B 1/4 de los que consumen sólo C 1/2 de los que consumen sólo Ay B


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1/3 de los que consumen sólo Ay C 1/4 de los que consumen sólo B y C

a) ¿Cuántas personas consumen A aunque consumen B? b) ¿Cuántas consumen B a menos que no consumen A?

Dar como respuesta la suma de ambos resultados.

Solución:

A B U 2x

6x 5x x 3x 4x

4c

C De acuerdo a los datos se tiene: Como n(U) = 4400 tenemos: 6x + 2x + x + 3x + 5x + 4x + 4x = 4400 25x = 4400 x = 176

a) Sean, p: consumen A.

q: consumen B. Luego consumen A aunque consumen B, queda expresado como p ∧ q; con la cual se tiene que nos piden el número de elementos de A ∩ B. Entonces: n (A ∩ B) = 2x+ x = 3x = 3 (176) = 528 b) Sean, p: consumen B q: consumen A

Luego, consumen B a menos que no consumen A, se expresa como p a menos que no q la cual equivale a: q p ≡ ∼ q ∨ p; con lo cual se tiene que nos piden el número de elementos de: A’ ∪ B.

Entonces: n (A’ ∪ B) = n (A’) + n (B) – n (A’ ∩ B) = (5x + 4x + 4x) + (2x + x + 5x + 4x) – 9x = 16x = 16 (176) = 2818

La respuesta es: 528 + 2816 = 3344

49. En una encuesta realizada a 4400 personas acerca de su preferencia política sobre

los candidatos A, B, C; se obtiene la siguiente información: El número de personas que simpatiza con los tres candidatos es:

1/3 de los que simpatizan con A y B 1/6 de los que simpatizan con B y C 1/7 de los que simpatizan sólo con B 1/6 de los que simpatizan sólo con A 1/8 de los que simpatizan sólo con C

Si el número de personas que simpatizan con A sí y sólo sí simpatizan con B ó C es 1800; hallar el número de personas que simpatizan sólo con A y C o con ninguno de los tres.

Solución:

Como n(U) = 4400, se tiene: 6x + 3x + x + y + 7x + 5x + 8x + x = 4400

30x + y + z = 4400 ……… (1)


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A B U 3x

6x 7x x y 5x

8x

C z Además: n [ A (B ∪ C) ] = 1800 Luego: 1800 = n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’]

= n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’] 1800 = 4x + y + z ……… (2) De (1) y (2): x = 100, y + z = 1400 Nos piden: n { [ ( A ∩ C) – B ] ∪ [ A ∪ B ∪ C]’ } = n [ ( A ∩ C) – B ]+ n ( [A ∪ B ∪ C]’) = y + z = 1400

50. El número de personas que leen las revistas A y B es 4, Ay C es 5, mientras que los que leen B y C también es 5. Si los que leen A pero no C es 6, y los que leen B pero no C es 7. Hallar el número de personas que leen las tres revistas si y sólo si leen A ó C; sabiendo que todas las personas encuestadas leen por lo menos una de las revistas y que:

n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8

Solución:

n (A ∩ B) = 4 x + s = 4 …… (1)

n (A ∩ C) = 5 x + r = 5 …… (2)

n (B ∩ C) = 5 x + t = 5 …… (3)

De: n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8

24 = 2s + 8 2s = 8 s = 3 En (1): x = 1 En (2) y (3): r = 4 = t Además: n [A – C] = 6 u + s = 6 u = 3 n [B – C] = 7 v + s = 7 v = 4

Piden: n [ ( A ∩ B ∩ C) (A ∪ C) ]: Sabiendo que n [ (A ∪ B ∪ C)’] = 0

Luego: n [ ( A ∩ B ∩ C) (A∪C) ] = n { [ (A ∩ B ∩ C) ∩ ( A ∪ C) ] ∪ ∪ [A ∩ B ∩ C] + n [B-( A ∪ C) ] = n [ A ∩ B ∩ C ] + n [B – (A∪C) ] = x + v = 1 + 4 = 5

A B U u s v

x r t

C


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51. Se obtuvo la siguiente información acerca de 90 postulantes:

El número de postulantes que prefieren solamente la especialidad C es el triple de los que prefieren sólo la carrera A, mientras que los postulantes que prefieren solamente la carrera B es el doble de los que prefieren sólo la especialidad A. El cuádruple del número de postulantes que prefieren sólo A, no prefieren ninguna de las tres carreras; mientras que hay 10 que prefieren las tres especialidades. Hay 68 postulantes que prefieren la especialidad B a menos que no prefieran A; y hay 45 que prefieren la carrera B sí y sólo sí prefieren C. Hallar el número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo Ay B.

Solución:

Luego:

68 = n [A’∪B] = 9x+y+Z+10 …… (1) n (B C) = 45 = n [(B ∩ C) ∪ (B’ ∩ C’)]

45 = (10 + Z) + 5x …… (2)

De (1) y (2): 4x + y = 23

El número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo A y B es: x + 3x + y = 4x + y = 23

52. En una encuesta acerca del consumo de bebidas gaseosas se obtuvo la siguiente información:

El 45% consumen la marca B El 40% consumen la marca C El 8% no consume ninguna de las tres El 63% consumen A y B, si y sólo si consumen C El 67% consumen B y C, si y sólo si consumen A El 5% consumen las tres marcas El 8% consumen sólo B y C

¿Qué porcentaje toman bebidas según la operación:

(A * B) * C = (A ∩ B) ∪ (C – A) ?

Solución: Tenemos: 67 = 5 + b + c + 8

b + c = 54

63 = 5 + a + b + 8 …… (1)

a + b = 50 40 = c + x + 13 ………… (2)

c + x = 25 45 = b + y + 13 ………… (3)

b + y = 32

Además: a + b + c + x + y + 21 = 100…… (4) a + b + c + x + y = 79 ………(5)

(3) y (4) en (5): a + 32 + 27 = 79 a = 20

En (2): b = 30, en (1): c = 24; en (3): x = 3; en (4): y = 2 Ahora: n [ ( A * B) * C ] = n [ (A ∩ B) ∪ (C – A) ] = (5 + y) + (c + ) = 7 + 32 = 39

53. Sea U = Z, y sean: A = {x ∈ Z / x es un número par}

A B U x y 2x

10 w z

3x 4x

C

A B U a y b

5 x 8

c 8

C


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B = {x ∈ Z / x es un número impar} C = {x ∈ Z / x es un número natural par} D = {x ∈ Z / x es un número natural impar}

En que parte del plano se encuentra el gráfico de (A–C)x(B–D). Solución:

Tenemos que: A – C = { x ∈ Z / x es un número par negativo, incluido el cero } B – D = { x ∈ Z / x es un número impar negativo }

Luego: (A – C) x (B – D) = { (x,y) / x es un número par negativo (incluido el cero), y es un impar negativo } Graficando, unos cuantos valores:

B – D

-12 –10 –8 –6 –4 –2 0 A – C

-1

-2

-5

-7

Se encuentra en el tercer cuadrante. 54. Sean A, B conjuntos, simplificar : (B ∩∅)-(AUB) SOLUCION B n ∅ = ∅ ⇒ (B n A) – (A U B)

∅ - (A U B) ∅

55. Sean A, B conjuntos y U conjunto Universal, simplificar:

[ (U ∩ A ) U A' ] U(B' U B) Solución

U ∩ A = A; B' U B = U ⇒ [ ( U ∩ A) U A' ] U (B' U B)

Por propiedad U ⇒ [ A U A' ] U U U U U = U

U

A A

A '

A


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EJERCICIOS PROPUESTOS

56. Si MCM, Simplificar : [(M U N ) n (N' ∩ P) ] 'U M' Solución

Graficamos la condición [ ( M ∩ N ) ∩ (N' ∩ P) ] U M'

[N ∩ (N' ∩ P)] U M' Condición M U N = N

N [(M U N' ) ∩ P ] U M' Prop. Asociat.

[∅ ∩ P ] U M' Prop. A ∩ A' = ∅

∅ ∩ M' Prop. A ∩ A' = ∅ M' Prop. A ∩ A' = ∅

1. Dado el conjunto unitario:

A = { a + b ; a + 3b – 3; 12 } Calcular: a2 + b2 a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) 39

2. Los conjuntos A y B son tales que n(A∪B) = 30, n(A- B) = 12 y n (B – A) = 10. Hal lar n(A) + n(B) a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

3. Si n[ P (A) ]=128, n[ P (B) ]=16 y n [ P (A ∩ B)]=8. Hal lar : n [ P (A ∪ B) ] a) 128 b) 32 c) 256 d) 1024 e) 512

4. Dados los conjuntos: A = { 1, 2, {1,2}, 3} B = { {2,1}, {1,3}, 3} Hallar el conjunto [ (A – B) ∩ B ] ∪ (B – A) a) { 1, {1,3} } b) { {1,3} } c) {1,3} d) { {1,3} , 3} e) { {1,2} }

5. Sean los conjuntos: A = { x ∈ R / 2 log x – 3 log x2 = 2 (log x)2 } B = { x ∈ R / 53 ( 2 x 2 - x ) = 125 } C = x ∈ R / x = 3 n ; n ∈ N, n < 4

n + 1 Hallar (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) a) {1,2} b) {1} c) {2} d) {1,3} e) N.A.

6. Si: U = { x ∈ N / 0 < x < 11 } A = { 1, 3, 5, 7 } B = { 2, 4, 6, 8 } A ∩ C = { 1, 3} A ∪ C = { 1,2,3,5,7,9 } Hal lar n(B ∪ C) + n(A ∪ C) a) 4 b) 10 c) 7 d) 11 e) N.A.

M


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7. Dados los conjuntos: A = { y ∈ R / y = 2x, x = -2, -1, 0, 1} B = x ∈ R / 3x – 5 = 1 _

x – 5 C = x ∈ R / x2 – 5 = x _

2 Hal lar (A ∪ B) ∩ (B – C) a) 2, 2/3 b) φ c) {1,2} d) { ¼, ½ } e) N.A.

8. Sea: U = {-5,π, 2, -2,0,2,4,3/8,1+π,π- 2,1+ -4 } J = { x ∈ U / x ∈ N x ∈ Q’ } K = { x ∈ U / x ∈ Z ∧ x ∉ R } L = { x ∈ U / x ∈ N ∨ x ∉ R } Hal lar M si M = ( J – K) ∪ (K ∧ L) a) { 2,3/8} b) {-5 ,3/8 } c) { π ,2} d) {2,4 } e) N.A.

9. En un tal ler mecánico se observa lo siguiente: 1/3 del total de los trabajadores saben arreglar motores, 7/12 del total son especial istas en arreglar l lantas; 1/12 del total arreglan l lantas y motores, s iendo 30 los que arreglan motores solamente. ¿Cuántos no saben arreglar l lantas y motores?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) N.A.

10. En una bibl ioteca había 100 alumnos, de los cuales 70 estudian ciencias y

30 estudiaban letras. Si 20 estudiaban letras y ciencias, señalar cuántos estudiaban letras, s i y sólo si estudiaban ciencias.

a) 40 b) 38 c) 32 d) 42 e) N.A.

11. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o lee un l ibro. Si escucha música 21 noches y lee un l ibro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un l ibro simultáneamente?

a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10

12. Un conjunto A t iene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B t iene 50 elementos. ¿Cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B?

a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 9

13. En una encuesta de un club se determinó que el 60% de los socios lee “La República” y el 30% lee “El Comercio”, se sabe que los que leen “La República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del c lub y hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios?

a) 240 b) 210 c) 180 d) 200 e) 150

14. De los 96 asistentes a una f iesta se sabe que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Si hay 18 hombres casados y más de 29 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras si entre el las hay más de 14 hombres?

a) 48 b) 45 c) 38 d) 32 e) 28

15. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos contenidos en U donde: n(U) = 95 n(A) = n(B) = 50 n(C) = 40 n[A-(B∪C)] = 24 n[(A∩B)-C)] = 8


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n[(B∩C)-C)] = 17 n[(A∪B∪C)’] = 10 Determinar el número de elementos de A∩B∩C a) 6 b) 8 c) 12 d) 17 e) 20

16. ¿Qué operación representa la región sombreada? A

a) A∪B∪C B b) A∩B∩C c) (A-B) ∩C d) A∩(B∪C) e) A∪(B∩C)

C

17. ¿Qué operación representa la región sombreada?

a) [(A∪C) – B ] ∪ (B∩C) A B b) [(B’∪C’) ∪A] ∩ (C∪B) c) [(A-B)∩C]∪B d) [(A ’∩B)-C]∩A e) [(A ’∪B)∩A]∩(B∪C)

C

18. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde se t iene:

A ∪ B = { 5 , 8 , 11 , 14, 15, 17 } A – B = { 8 , 15} Indicar el número de sub conjuntos de B a) 8 b) 6 c) 32 d) 64 e) 4

19. De un grupo de 200 comensales a 120 no les gusta el arroz con pato y a 130 no les gusta la carapulcra. Si a 80 no les gusta ambos potajes ¿A cuántos de el los les gusta el arroz con pato y la carapulcra?

a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42

20. De un total de 230 alumnos se conocer que 90 postulan a la UJCM,

mientras que 110 alumnos postulan a la UPT ¿cuántos alumnos postularon a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras universidades y no a estas dos?

a) 40 b) 60 c) 80 d) 70 e) 50

CLAVE DE RESPUESTAS:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d b c b b d a b c a

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a a d a c d b b c e

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