Problema nº 1: “El disco cifrado de Odón” Problema nº 2 “Patrones geométricos” Problema nº 3: “La coqueta Pitagorina” Problema nº 4: “Problema CASIO:

Problema nº 1: “El disco cifrado de Odón”

Problema nº 2 “Patrones geométricos”

Problema nº 3: “La coqueta Pitagorina”

Problema nº 4: “Problema CASIO: La pirámide de Topolicán”

Problema nº 5: “Carril bici”

Problema nº 6: “Evoluciones en el ranking”

Cada una de ellas tiene un disco cifrante

como el que tenéis en la mesa. Ellas ya han

acordado que cada día van a hacer

corresponder a la letra A el número del día

del mes en el que estén, si es mayor de 27

siguen contando. Así, a la letra A le

corresponderá el número XIII los días 13, y el

número III los días 3 y 30.

Si quieren mandar el mensaje HOLA, el

día 13 de Enero, escribirían: XXIXXIVXIII

Problema nº 1: EL DISCO CIFRADO DE ODÓN

Lola y sus amigas quieren mandarse por WhatsApp mensajes cifrados para que si

alguien los lee no se enteren de lo que se están contando.

SoluciónSolución MenúMenú

a) El día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma el siguiente mensaje:

XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI?

Descífralo para saber que le decía Paloma en el mismo.

b) En la mañana de hoy, día de la Olimpiada Matemática Thales, Lola ha

vuelto a recibir un mensaje de Paloma: VIVIIIXVIIIVVIIXVIII

¿Qué le dice Paloma en este nuevo mensaje?

c) Si quiere contestar al mensaje recibido con la palabra GRACIAS,

¿cómo sería el mensaje cifrado que tendría que mandarle Lola a Paloma?

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

a) El mensaje que el día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma:


Colocamos por tanto la letra A de nuestro disco con el número V.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Mensaje del 5 de Febrero:


MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

VOY A LA



MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Análogamente con las siguientes palabras:



VOY A LA OLIMPIADA, ¿Y TÚ?

MenúMenúEnunciadoEnunciado

b) En la mañana de hoy, día de la

Olimpiada Matemática Thales, Lola ha

vuelto a recibir un mensaje de Paloma:

VIVIIIXVIIIVVIIXVIII

¿Qué le dice Paloma en este nuevo

mensaje?

c) Si quiere contestar al mensaje

recibido con la palabra GRACIAS,

¿cómo sería el mensaje cifrado que

tendría que mandarle Lola a Paloma?

Solución:

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Mensaje del 14 de Marzo VIVIIIXVIIIVVIIXVIII

Vamos realizando las mismas operaciones en la palabra:

SUERTE

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Mensaje del 14 de Marzo GRACIAS

Sería fácil escribir la palabra realizando las mismas operaciones con el disco:

XXVXIVXVIXXIIXIVVI

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Solución:

EnunciadoEnunciado

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de hallarlas?

a) El día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma el siguiente mensaje: VOY A LA OLIMPIADA, ¿Y TÚ? (XXVIIXXIII V XVIV XXVIXIIIXVIIXXIXXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI?)

b) En la mañana de hoy 14 de Marzo, día de la Olimpiada Matemática Thales, Lola recibió de Paloma el siguiente mensaje : SUERTE (VIVIIIXVIIIVVIIXVIII)

Reagrupemos las respuestas:

c) Lola contesta al mensaje de Paloma, recibido en el día de hoy, con la palabra: XXVXIVXVIXXIIXIVVI (GRACIAS)


Problema nº 2: PATRONES GEOMÉTRICOS

Javier está muy preocupado con el patrón de desbloqueo de su móvil, el de los nueve puntos. Se trata de unir los puntos que se deseen, acabando siempre en el primero que se elija.

Como es un enamorado de la Geometría, le propone a su amigo Jesús que encuentre todos los patrones que formen cuadrados. ¿Cuántos cuadrados distintos pueden formarse?

Jairo, un tercer amigo de Javi y Jesús, les dice que sólo con las dos primeras líneas de puntos se pueden formar más triángulos que cuadrados con todos los puntos. ¿Tiene razón Jairo? ¿Cuántos triángulos ha encontrado?

Justifica todas tus respuestas.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Comencemos contabilizando los cuadrados

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Ahora contabilicemos los triángulos eliminando una fila

En estos momentos hemos superado el número de cuadrados, por lo que Jairo tiene razón.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Hemos construido nueve triángulos en los que la base está en la fila superior.

De la misma manera podemos encontrar otros nueve con la base del triángulo en la fila inferior.

Estos son los casos:

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Solución:

EnunciadoEnunciado

YA TENEMOS LA SOLUCIÓN...

… pero ¿habrá más formas de encontrarla?

Problema nº3: LA COQUETA PITAGORINA

Pitagorina es un poco coqueta y no quiere revelarnos su edad, ni la de su marido (mayor que ella), ni la de su hija Alejandra. Como hemos insistido mucho, ha aceptado darnos una pista:

“Si averiguáis los números que faltan en cada uno de los pentágonos del dibujo, sabréis nuestras edades”

¿Cuántos años tiene cada uno de los integrantes de la familia de Pitagorina?.

Explica cómo has obtenido sus edades.


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Solución:

EnunciadoEnunciado

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Las edades de la familia de Pitagorina son:

-- Edad de la coqueta Pitagorina 57 años

-- Edad de su esposo 79 años

-- Edad de su hija Alejandra 20 años.

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de calcularlas?

PROBLEMA CASIO


Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN

El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos:

• La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9,72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4,28 m de lado y la altura total del monumento es de 5,25 m.

• Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante).

Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán.

Solución:

EnunciadoEnunciado

Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas:

Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados

dentro del más grande:

Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos:

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Solución:

Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones:

Solución aritméticaSolución aritmética

Solución geométricaSolución geométrica

Solución generalSolución general


Solución:

El cálculo del área del cuadrado, es fácil:

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2

Solución Aritmética

1/5

9,72 metros

Aproximadamente 94,48 m2

para la vista desde arribaAproximadamente 94,48 m2

para la vista desde arriba


Solución:

La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas.

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros


2/5


Solución:

Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1,05 m de alto (5,25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión:

Calculamos dicha razón:

9,72 - 4,28 = 5,445,44 / 4 = 1,36

Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos…


3/5


Solución:

Base Altura Área

Rectángulo 1 4,28m 1,05 m 4,494 m2

Rectángulo 2 5,64 m 1,05 m 5,922 m2

Rectángulo 3 7 m 1,05 m 7,35 m2

Rectángulo 4 8,36 m 1,05 m 8,778 m2

Rectángulo 5 9,72 1,05 m 10,206 m2

Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2


4/5


Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Área de UNO de los cuatro laterales:

36,75m2

Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2



5/5


Otra forma de resolución


Resultado final

Resultado final

Solución:

El cálculo del área del cuadrado, es fácil:

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 · 9,72 = 94,4784

Aproximadamente 94,48 m2

Solución Geométrica

1/6

9,72 metros


Solución:

En la vista lateral, vemos que a la izquierda de la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio?

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros


2/6


Solución:

Los trasladamos a otro sitio.Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice…

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros


3/6


MenúMenú

Solución:

Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un…

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros


4/6

EnunciadoEnunciado

Solución:

¡Un trapecio!¡Un trapecio!

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros


5/6


Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Calculamos el área del trapecio:





6/6

MenúMenú

4,28 metros

9,72 metros

Siendo:BM=Base mayorBm=Base menorh=Altura

5,25 m

EnunciadoEnunciado



Resultado final

Resultado final

Solución:

¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones»?

Solución General

1/7

Solución General

1/7


9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros… más escalones…

Solución:

Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones:

Solución General

2/7

Solución General

2/7


9,72 metros

4,28 metros


Solución:

Vamos ahora con las áreas de los rectángulos:

Solución General

3/7

Solución General

3/7


9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética.

… más escalones…

Solución:

Sumamos todos los escalones como progresión aritmética…

Solución General

4/7

Solución General

4/7


9,72 metros

4,28 metros


Solución:

Aplicamos la fórmula…

Solución General

5/7

Solución General

5/7


9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros… …

Solución:

Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma:

94,48 m2


Solución General

6/7

Solución General

6/7

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2

9,72 metros

Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Área de UNO de los cuatro laterales:36,75 m2





Solución General

7/7

Solución General

7/7

… …



Resultado final

Resultado final

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241,48 m2

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ...

… pero ¿habrá más formas de calcularla?


Problema nº 5: CARRIL BICI

En Matelandia se ha puesto en marcha un carril bici con cinco paradas: Albert Einstein, Bisectriz, Cubo, Dodecaedro y Emy Noether. Su trazado es el que puedes ver en la figura.

Contesta razonando la respuesta ¿cuántos recorridos distintos pueden hacerse para ir de Albert Einstein a Emy Noether?

Has de tener en cuenta que la bici debe ir por los caminos marcados en el circuito y que no se puede recorrer ningún tramo dos veces.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Estamos ante un ejercicio cuyo objetivo es examinar la capacidad de análisis sistemático en la búsqueda de soluciones.

El primer paso para su resolución debería ser establecer una notación que nos permita referirnos a cada parada de forma precisa y concisa. Por ejemplo, la primera letra de cada una de ellas:

• Albert Einstein A• Bisectriz B• Cubo C• Dodecaedro D• Emy Noether E

Estamos ahora en condiciones de explorar las soluciones, lo haremos realizando el recorrido partiendo de A y hasta llegar a E o a un punto sin salida

Para encontrar los distintos caminos que existen vamos a realizar un diagrama de árbol.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

A

B

B

C

C

CD

D

D

D

E

E

EE

E

E

E

ABCDEABCE

ABDCEABDE

ACBDE

ACDEACE

AB

AB

AC E ACBDCE

B AC E ACDBCE

!!VAMOS A PEDALEAR!!


Se han encontrado por tanto 9 caminos distintos que nos permiten ir de Albert Einstein (A) a Emy Noether (E) sin pasar dos veces por el mismo tramo.

ABCDE ABCE ABDCE

ABDE ACBDE

ACDE ACE

RECAPITULANDO

ACBDCE

ACDBCE

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...


Solución:

Problema nº6: EVOLUCIONES EN EL RANKING

El verano de 2013 fue una fecha importantísima en la evolución del ranking de los dos mejores deportistas españoles. Según se puede observar en estas informaciones gráficas encontradas en distintos medios de comunicación deportivos, la evolución sufrió un gran cambio.

¿En qué momento el actual número 1 superó en el ranking al veterano campeón?

Razona la respuesta. Veterano campeón Actual nº 1


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Solución:

EnunciadoEnunciado

Representemos las dos funciones en la misma gráfica teniendo en cuenta sus escalas.

Las coordenadas de los extremos de las funciones lineales son:(0,6000), (12,0), (0,1500) y (18, 6000).

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Solución:

EnunciadoEnunciado



Para facilitar la representación conjunta tomamos como escala en el eje X, el máximo común divisor de las abscisas no nulas: M.C.D.(12, 18) = 6. Y como escala en el eje Y, el de las ordenadas. M.C.D.(6000, 1500) = 1500.

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Solución:

EnunciadoEnunciado



Para facilitar la representación conjunta tomamos como escala en el eje X, el máximo común divisor de las abscisas no nulas: M.C.D.(12, 18) = 6. Y como escala en el eje Y, el de las ordenadas. M.C.D.(6000, 1500) = 1500.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Ambas gráficas se cortan en el punto (6,3000).

Por tanto, 6 meses después de agosto de 2013 el actual campeón superó al veterano.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

EL ACTUAL CAMPEÓN SUPERÓ AL VETERANO EN FEBRERO DE 2014

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...


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Problema nº 1: “El disco cifrado de Odón” Problema nº 2 “Patrones geométricos” Problema nº 3: “La coqueta Pitagorina” Problema nº 4: “Problema CASIO: